2 Unid Mates Eso3

Potencias y raíces

ÍNDICE DE LA UNIDAD 1. Potencias. Operaciones con potencias 2. Raíces 3. Operaciones con raíces

Las colmenas de abejas están formadas por miles de individuos. Para expresar cantidades grandes, como el número de abejas de una colmena, o distancias enormes, como las astronómicas, se suelen utilizar las potencias. Las abejas construyen los panales con una precisión matemática prodigiosa. Para estudiar la geometría de las celdas, así como para calcular las dimensiones de las construcciones humanas, precisamos de las potencias y raíces. La producción de miel de una colmena es aproximadamente igual al cuadrado del peso de su población de abejas. Inversamente, la raíz cuadrada del peso de la miel obtenida de una colmena equivale al peso aproximado de las abejas que viven en ella.

2. Potencias y raíces

1 Potencias. Operaciones con potencias 1.1. Definición de potencia

Observa que… No es lo mismo (−3) que −3 : 2

2

¿Cuántos cubitos componen un cubo de Rubik como el de la figura del margen? Hay 3 cubitos en cada dirección (ancho, alto y largo) y, por tanto, en total: 3 · 3 · 3 = 33 = 27

(−3)2 = (−3) · (−3) = 9 −32 = −3 · 3 = −9 (−3)2 es una potencia donde la base es un número negativo.

Una potencia es una multiplicación de varios factores iguales: an = a · a · a · ........ · a

−32 es opuesto de una potencia donde la base es un número positivo.

El factor que se repite, a, se llama base; el número de veces que se repite, n, se denomina exponente, y el resultado, an, se conoce como potencia.

an base exponente El signo de una potencia depende del signo de la base y de la paridad del exponente: Signo de la base

Paridad del exponente

Signo de la potencia

Ejemplo

En resumen:

+

Par

+

24 = 8

Si es a > 0, an > 0 sea n par o impar.

53 = 125

Impar −

Si es a < 0 y n par, an > 0.

Par

+

(−2)4 = 16

Impar

−

(−3)3 = −27

Si es a < 0 y n impar, an < 0.

1.2. Potencias de exponente 0 y 1 Potencias de exponente 0 y 1

Expresión general

Potencias de exponente 0

a = 1 si a π 0

Potencias de exponente 1

a =a

50 = 1; (−3)0 = 1;

0

0

⎛ 2⎞ ⎜⎝ ⎟⎠ = 1 3 (−5)1 = −5; 71 = 7;

1

1

4 ⎛ 4⎞ ⎜⎝ ⎟⎠ = 5 3

Calcula las siguientes potencias:

1

a) 23

b) 24

c) 25

d) 33

e) 70

0

f) 10

⎛ 3⎞ g) ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

f) −102

g) (−7)8

h) (−9)3

g) (−3)4

⎛ −1 ⎞ h) ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

h) 106

Indica el signo de las siguientes potencias y hállalas:

2

a) (−2)4

b) (−6)3

c) (−4)0

d) −52

c) 2−2

⎛ 1⎞ d) ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

e) −53

Desarrolla y calcula:

3

a) −34

b) (−2)5

2

⎛ 1⎞ e) ⎜ ⎟ ⎝ 3⎠

2

⎛ −1 ⎞ f) ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

0

Escribe el signo en cada casilla, sabiendo que a es un número positivo:

4

2

a) an = 3n + 4 b) an = n2+ 1 c) an = (−1)n d) an = n2 −n

Ejemplos

4

2. Potencias y raíces

1.3. Operaciones con potencias de la misma base Producto de potencias de la misma base El resultado de multiplicar potencias con la misma base es otra potencia de igual base cuyo exponente es la suma de los exponentes: an · am = an + m Por ejemplo: a) 33 · 32 = (3 · 3 · 3) · (3 · 3) = 33 + 2 = 35

b) (−2)2 · (−2)3 · (−2)4 = (−2)2 + 3 + 4 = (−2)9

Cociente de potencias de la misma base El resultado de dividir potencias con la misma base es otra potencia de igual base cuyo exponente es la resta de los exponentes: an / am = an − m Por ejemplo: a)

57 ( 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5) = = 57 – 4 = 53 = 125 54 ( 5 · 5 · 5 · 5)

b)

32 1 = 3-2 = 2 34 3

Potencia de una potencia La potencia de una potencia es igual a la base elevada al producto de los exponentes: (an)m = an · m

{

(an)m = an · an · ...... · an = an · m m factores Por ejemplo: a) (23)4 = 212 = 4 096

{

(23)4 = 23 · 23 · 23 · 23 = 212 4 factores

5

Efectúa las siguientes operaciones con potencias de igual base: a) 54 · 53 · 52

6

b)

105 109

c)

d) (43)5

2 6 · 22 24 · 20

c) (5 · 2 · 3)2

54 · 53 52

d)

Di si son verdaderas o falsas las siguientes igualdades: a) (2 · 3)4 = 64

8

74 73

Opera las siguientes potencias dejando el resultado en forma de potencia: a) (34)2 · 33

7

b)

b) 52 + 54 = 56

c) (−2)3 = 23

d) −(3)2 = (−3)2

Simplifica: a)

( )

25 · 2 4

22 · 29

7

b)

56 · 54

(5 ) 2

3

· 53 · 59

(3 ) · (3 ) c) (3 ) · 3 3

4

4

2

2

3

4

3

2. Potencias y raíces

1.4. Potencias de exponente negativo

Recuerda que… El inverso de un número es 1 dividido por ese número.

Al dividir dos potencias de la misma base, si el exponente del denominador es mayor que el del numerador, obtenemos una potencia de exponente negativo.

Por ejemplo:

Por ejemplo:

El inverso de 5 es 1 . 5

52 = 52 – 6 = 5-4 56

4 El inverso de 3 es . 3 4

Por otra parte, simplificando la fracción: 52 5·5 1 1 = = = 56 5 · 5 · 5 · 5 · 5 · 5 5 · 5 · 5 · 5 54

El inverso de 23 es 13 . 2

Identificando los dos resultados anteriores: 1 5−4 = 4 5 Una potencia de exponente negativo es igual a otra cuya base es la inversa de la base dada, y su exponente, el opuesto del primero.

Observa que…

a−n = 1 / an, si a π 0

En esta unidad, al operar con potencias, no es necesario que efectúes las operaciones a no ser que se te indique explícitamente.

Ejemplos: 2−3

Así, para realizar una operación del tipo [35 · 81 · 92], los pasos que debes seguir son:

1 ⎛ 3⎞ ; ⎜ ⎟ 23 ⎝ 4 ⎠

−2

⎛ 4⎞ =⎜ ⎟ ⎝ 3⎠

1.5. Operaciones con potencias de exponente entero

1. Expresar los términos como potencia de base 3: 35 · 34 · 34.

Las operaciones con potencias de exponente entero (positivo, cero o negativo) siguen las mismas reglas que las de exponente natural. En las sumas, las restas o los productos de exponentes se aplican las reglas habituales de los signos.

2. Efectuar la operación: 35 · 34 · 34 = = 35 + 4 + 4 = 313.

Observa los ejemplos:

El resultado es 313.

a) 3−4 · 36 = 3−4 + 6 = 32; 5−7 · 5−8 = 5−7 − 8 = 5−15 6- 4 2-11 b) - 9 = 6- 4 – (- 9 ) = 65 ; = 2-11 – 3 = 2-14 6 23 c) (4−1)−5 = 45; (32)−4 = 3−8

Calcula las siguientes potencias:

9

a) 3−4

b) 2−3

c) 5−2

d) 6−1

e) 10−6

f) (−3)−4

10 Calcula estas potencias y simplifica el resultado si es posible:

a) ⎛⎜ 3 ⎞⎟ ⎝ 5⎠

−2

b) ⎛⎜ 4 ⎞⎟ ⎝ 8⎠

−3

c) ⎛⎜ 1 ⎞⎟ ⎝ 3⎠

−6

d) ⎛⎜ −1 ⎞⎟ ⎝ 2⎠

−7

e) ⎛⎜ -2 ⎞⎟ ⎝ 5⎠

−4

f) ⎛⎜ −5 ⎞⎟ ⎝ 10 ⎠

−1

11 Opera las siguientes potencias dejando el resultado en forma de potencia:

a) (3−4)2 · 3−3

b)

2 −6 · 22 2 −4 · 2 0

c) (5 · 2 · 3)−2

d)

12 Simplifica las siguientes operaciones:

a)

4

( )

2- 5 · 2 4

2 -1 · 2 9

-9

b)

5- 3 · 54

(5 ) -8

3

2

· 53 · 5- 4

(3 ) · (3 ) (3 ) · 3 0

c)

4

−5

2

2

−6

−7

54 · 5- 2 5- 3

2. Potencias y raíces

1.6. Otras operaciones con potencias

Recuerda que…

Suma y resta de potencias Para sumar y restar potencias, primero hay que efectuar las potencias y después las sumas o las restas. Por ejemplo: a) 22 + 32 = 4 + 9 = 13

El orden para realizar las operaciones es: 1. Paréntesis. 2. Potencias y raíces.

b) (−3)2 + (−3)3 = 9 + (−27) = −18

3. Multiplicaciones y divisiones.

Producto de potencias de distinta base e igual exponente El producto de potencias de distinta base e igual exponente es igual a la potencia del producto de las bases:

4. Sumas y restas.

an · bn = (a · b)n Por ejemplo: a) 22 · 52 = (2 · 5)2 = 102 = 100

b) 54 · 34 · (−2)4 = [5 · 3 · (−2)]4 = (−30)4 = 810 000

Cociente de potencias de distinta base e igual exponente El cociente de potencias de distinta base e igual exponente es igual a la potencia del cociente de las bases: n

a ⎛a⎞ =⎜ ⎟ n ⎝ b⎠ b

n

Recuerda que… El orden para realizar las operaciones es: Las diez primeras potencias de 2 son:

Por ejemplo: 3

123 ⎛ 12 ⎞ a) 3 = ⎜ ⎟ = 4 3 = 64 ⎝ 3⎠ 3

b)

( −2)4 54

4

4 ⎛ −2 ⎞ = ⎜ ⎟ = ( −0, 4 ) = 0,0256 ⎝ 5⎠

Producto y cociente de potencias de distinta base y distinto exponente Si las potencias no se pueden expresar como potencias de la misma base, primero hay que efectuar las potencias y después la multiplicación o la división.

21

22

23

24

2

4

8

16 32

26

27

28

25

210

29

128 256 512 1 024

64

Las cinco primeras potencias de 3 son:

Por ejemplo: a) 23 · 52 = 8 · 25 = 200

b)

3

2

=

9

( −5 )3 ( −125 )

= −0,072

Si las potencias se pueden expresar como potencias de la misma base, el resultado se puede indicar en forma de potencia única.

31

32

33

3

9

27 81 243

34

35

Por ejemplo: a) 27 · 43 · 162 = 27 · (22)3 · (24)2 = 27 · 26 · 28 = 27 + 6 + 8 = 221 2 2 2 54 · 52 58 b) 5 · 25 = = 12 = 5−4 4 4 5 125 53 13 Comprueba, calculando por separado cada una de las operaciones, que no es lo mismo:

( ) ( )

a) 22 + 23 y 25

b) (2 + 3)2 y 22 + 23

c) (8 − 5)2 y 82 − 52

14 Opera las siguientes potencias:

a) 52 − 42

b) (5 − 4)2

c) 52 + 42 − 32 − 22 − 10

d) (10 − 8)2

e) 102 − 82

f) (2 + 8)2

15 Expresa en forma de una única potencia:

a) 24 · 42

b) 42 · 83

c) 38 · 95 · 27

d) (32)3 · (93)2

16 Simplifica y efectúa las siguientes operaciones: 2 a) 10 2 5

3 b) 24 3 6

4 c) 18 4 9

5 c) 90 455

17 Expresa en forma de una única potencia: 4 6 5 a) 8 · 4 · 2 163

2 b) ( ) 3

2

· 44

3

8

−3 5 c) 2 · 2 −1 −6 2 ·2

−5 2 d) 3 · 9 9 −7 3 ·3

5

2. Potencias y raíces

2 Raíces Observa que…

2.1. Definición de raíz

Todos los números positivos tienen dos raíces cuadradas que son números opuestos, ya que

¿Qué número elevado al cuadrado da como resultado 100? ¿Qué número elevado al cubo da como resultado 8? ¿Qué número elevado al cuadrado da como resultado −9? ¿Qué número elevado al cubo da como resultado −27? 2 3 2 3 Se trata de completar las igualdades: = 100; = 8; = −9; = −27 La operación que tienes que realizar en cada caso es la inversa a la potenciación, la cual recibe el nombre de radicación. Se expresa con el símbolo radical, .

r2 = (−r)2. Esto se expresa de la siguiente forma: N = ±r

ⵦ

ⵦ

ⵦ

ⵦ

La raíz n-ésima de un número N es otro número r, de forma que rn = N. n

N= r

si

rn = N

donde n es el índice de la raíz, N es el radicando y r es la raíz n-ésima. Por ejemplo: 102 = 100 → 100 = 10; 23 = 8 → 3 8 = 2; ( −3)3 = −27 → 3 −27 = −3 Habrás observado que es imposible calcular un número que cumpla la igual2 dad = −9, ya que el signo de las potencias con exponente par es siempre positivo. Lo mismo ocurre si intentas completar las siguientes igualdades:

ⵦ

ⵦ = −4; ⵦ = −100; ⵦ = −16; ⵦ = −64; ⵦ = −256 2

2

4

6

8

Si el índice de la raíz es 2, se lee raíz cuadrada; si el índice es 3, raíz cúbica; si es 4, raíz cuarta, y así sucesivamente. Dependiendo del índice de la raíz y del signo del radicando, existen los siguientes casos: Índice de la raíz

Radicando

Tipo de raíz

Ejemplo

Positivo

Dos números opuestos entre sí

100 = ±10 (+10 y −10)

Negativo

No existe

Positivo

Un número positivo

a) Todos los números positivos tienen dos raíces de índiceNegativo ____.

Un número negativo

Par

18 Completa:

Impar

b) La raíz de índice _____ de un número negativo es un número con signo __________. c) Los números negativos no tienen raíces de índice ____. 19 ¿Por qué no existen las raíces cuadradas de los números negativos? 20 Completa:

Índice de la raíz

2

6

3

5

−2

2

±2

3

4

4

7

−1000 8 −16 625

−6

Radicando Raíz o raíces

2

−10

±5 −1

−16 : no existe 3

5

8= 2

−32 = −2

2. Potencias y raíces

2.2. Expresión de una raíz en forma de potencia de exponente fraccionario Una raíz de índice n y radicando N se puede expresar como una potencia 1 de base N y exponente de la siguiente forma: n 1 n

N = Nn

Por ejemplo: 1

1

83 = 3 8 = 2 ;

1

27 3 =

3

27 = 3 ;

1

16 4 = 4 16 = 2 ;

814 = 4 81 = 3

Si el radicando tiene exponente, dicho exponente figura como numerador de la fracción. m n

Nm = N n

Por ejemplo: 7 3

57 = 5 3

5

23 = 2 5

3

6

46 = 4 2 = 4 3 De la misma forma, una potencia con exponente fraccionario se puede expresar en forma de raíz. Por ejemplo: 2

35 =

5

32

3

42 =

4 3 = 64 = 8

n

az =

z

an

21 Completa con exponentes fraccionarios y simplifica:

a) 3 1000 = 10

......

b) 4 625 = 625

......

c) 5 = 5

......

d ) 3 26 = 26

......

22 Escribe en forma de potencia de exponente fraccionario:

a) 6 53

b) 7

d ) 3 15

c) 4 9

23 Escribe en forma de raíz: 2

3

1

1

a) 7 5

b) 6 2

c) 9 4

d) 82

24 Calcula el resultado de las siguientes potencias de exponente fraccionario: 1

2

4 2 a) ⎛⎜ ⎞⎟ ⎝ 9⎠ b) ⎛ 32 ⎞ ⎜⎝ 3125 ⎟⎠

5 c) ⎛⎜ 27 ⎞⎟ ⎝ 8⎠

−1 5

2

4 d) ⎛⎜ 25 ⎞⎟ ⎝ 9⎠

7

2. Potencias y raíces

2.3. Raíces cuadradas Un número real positivo, N, tiene dos raíces cuadradas, r y −r: N = ±r

ya que

r2 = N y (−r)2 = N

No existe la raíz cuadrada de un número real negativo. El cero tiene una sola raíz cuadrada. Fíjate en los siguientes números:

· 1 = 12

d

Observa que… Las dos raíces cuadradas de los números cuadrados perfectos son números enteros: 1 = ±1

4 = ±2

9 = ±2

16 = ±4

25 = ±5

36 = ±6

49 = ±7

64 = ±8

81 = ±9

100 = ±10

··· ·· ·· 4 = 22

··· ··· 9 = 32

····· ····· ····· ····· 16 = 42

Estos números son cuadrados perfectos porque con ellos se puede formar un cuadrado de puntos. Los diez primeros números cuadrados perfectos son: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81 y 100. Las dos raíces cuadradas de los números cuadrados perfectos son dos números enteros opuestos entre sí. Por ejemplo, 121 = ±11 porque 112 = 121 y (−11)2 = 121. Las dos raíces cuadradas de los números que no son cuadrados perfectos no son números enteros. Por ejemplo, 8 ≅ ±2,828 porque 2,8282 ≅ 8 y (−2,828)2 ≅ 8. Ejemplo resuelto Calcular los metros lineales de rodapiés necesarios para cubrir el perímetro de una habitación de forma cuadrada de 121 m2 de superficie. La superficie de un cuadrado es S = l2, donde l es el lado del cuadrado. En el caso del ejemplo: 121 = l 2 ⇒ l = 121 = 11m . Como el perímetro (P) del cuadrado es igual a la suma de todos los lados, P = 4 · 11 m = 44 m, que son los metros lineales de rodapiés necesarios. Valor aproximado de una raíz cuadrada Para calcular un valor aproximado de 55 , buscamos cuadrados perfectos que se acerquen al 55, siendo los más cercanos 49 = 72 y 64 = 82. Es decir, 55 está entre 7 y 8, con lo que el resultado es un número cuya parte entera es 7.

25 ¿Es posible construir un cuadrado con 8 cuadraditos? ¿Y con 9? ¿Con 13? ¿Y con 16? Razona la respuesta.

(Observa que el número de cuadraditos necesarios para construir un cuadrado tiene que ser un cuadrado perfecto). 26 Indica qué números de entre los siguientes son cuadrados perfectos:

a) 40

b) 81

c) 8

d) 100

e) 121

f) 200

g) 330

h) 400

27 Calcula la diagonal de un cuadrado de 10 cm de lado. 28 Halla mentalmente la parte entera de las siguientes raíces cuadradas:

a) 10

b) 50

c ) 90

d ) 125

29 Completa:

a) Las dos raíces cuadradas de un número positivo son dos números _________ entre sí. b) Las dos raíces cuadradas de un número __________ ____________ son dos números enteros. 2 2 8c) Todos los números positivos tienen ___ raíces cuadradas, ya que r = (−r) .

2. Potencias y raíces

2.4. Raíces cúbicas Todos los números positivos, negativos o cero tienen raíz cúbica, y el signo de la raíz coincide con el signo del radicando. 3

N = r si r3 = N

Por ejemplo: 3

8 = 2 porque 23 = 8

3

−27 = −3 porque ( −3)3 = −27

3

0=0

DIBUJO CUBOS DE LA PÁG SIGUIENTE

Observa los cubos del dibujo y añade tres números más a la serie: 8, 27, 64...... Estos números tienen la propiedad de que con ellos se puede formar un cubo. Se denominan cubos perfectos. Los diez primeros números cubos perfectos son: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729 y 1000. Las raíces cúbicas de los números cubos perfectos, y las de sus opuestos, son números enteros. Las raíces cúbicas de los números que no son cubos perfectos no son números enteros. Por ejemplo: 3

729 = 9

3

-729 = -9

3

90 ≅ 4, 48

30 Comprueba con qué números de entre los siguientes se puede formar un cubo:

a) 343

b) 125

c) 1000

d) 880

31 Se quiere construir un cubo lo más grande posible con 514 cubitos.

a) ¿Cuántos cubitos formarán el cubo? b) ¿Cuántos sobran? 32 Completa:

a ) 3 64 = 4 porque (........)3 = 64 b) 3 −125 = − 5 porque ( − 5)3 = c)

3

−1000 =

........

porque

........

........

= −1000

33 Completa:

a) 3 30 ≅ 3,1;

b) 3 18 ≅

;

........

c)

3

54 ≅

;

........

d ) 3 100 ≅

........

9

2. Potencias y raíces

3. Operaciones con raíces 3.1. Extracción de factores en un radical Si aparece bajo el signo radical algún factor con exponente igual que el índice, puede extraerse hallando su raíz. Si el exponente es mayor que el índice, se descompone previamente en producto de potencias. Procedimiento

Ejemplos

1. Extracción de factores de una raíz cuadrada.

Extraer factores en: 20 20 = 22 · 5

a) Se descompone el radicando en factores primos. b) Se extraen aquellos factores que tengan un exponente par, dividiendo dicho exponente entre el índice.

20 =

2. Extracción de factores en una raíz cualquiera si el radicando está en forma de potencia.

22 · 5 = 2 5

Extraer factores en: 20 =

a) Los factores que tengan exponente mayor que el índice, se descomponen en producto de potencias, de modo que una de ellas tenga un exponente divisible por el índice.

3

b) Se extraen aquellos factores que tengan su exponente divisible por el índice, Procedimiento Ejemplos dividiendo dicho exponente entre el índice.

22 · 5 = 2 5

27 =

20 =

3

26 · 2

22 · 5 = 2 5

3.2. Introducción de factores en un radical. Para introducir un factor en un radical, se multiplica su exponente por el índice de la raíz. Por ejemplo: a) 2 3 =

22 · 3 = 12

b) 32 · 3 2 =

3

36 · 2 = 3 1458

34 Saca los posibles factores de:

a) 125

b) 72

c ) 48

d ) 32

35 Saca los posibles factores de:

a) 3 250

b) 3 378

c) 3 160

d) 3 3888

36 Extrae todos los factores posibles y determina qué radicales son semejantes:

a) 8 ,

50 ,

200

b) 27 ,

12

75

37 Introduce dentro del radical:

a) 5 2

b)

2 2

c ) 52 3 4

d)

9

e) 5 3 2

3

f) 3 2

38 Realiza las siguientes sumas y restas:

a) 360 − 6 10

b) 2 18 + 5 27

39 Efectúa expresando el producto de las raíces como la raíz del producto de los radicandos:

a) 2 · 32 ; 10

b) 3 · 27 ;

c)

2 · 18 ;

d)

20 · 5

2. Potencias y raíces

3.3. Producto y cociente de raíces Definiciones

Ejemplos

1. El producto de raíces del mismo índice es igual a la raíz del producto de los radicandos: n a · n b = n a · b

9 · 4= 9·4=

2. El cociente de raíces del mismo índice es igual a la raíz del cociente de los n a a radicandos: n = n b b

100 = 25

36 = 6

100 = 25

4=2

3.4. Suma y resta de raíces Para sumar y restar raíces, primero hay que efectuar las raíces y después las sumas o las restas. Por ejemplo: 9+

4 = 3 + 2 = 5;

100 −

49 = 10 − 7 = 3

En el caso de que los radicandos sean iguales, los términos de las sumas y/o las restas se pueden agrupar en uno solo. a) 2 + 3 2 + 5 2 = 9 2 ;

b) 7 4 − 4 5 −

5=2 5

Procedimiento

Ejemplos Efectuar: + 3 −

Suma y resta de raíces cuadradas.

45 = 3 · 5; 20 = 22 · 5; 125 = 53

1. Descomponemos los radicandos en factores primos.

32 · 5 + 3 · 22 · 5 −

2. Extraemos factores de los radicales.

45 + 3 20 − 125

2

3. Si resultan radicales iguales, sacamos factor común y efectuamos.

52 · 5 = 3 · 5 + 3 · 2 · 5 − 5 · 5

3 5 + 6 5 − 5 5 = ( 3 + 6 − 5) 5 = 4 5

3.5. Racionalización de denominadores

Observa que…

Cuando aparece una raíz en el denominador de una expresión fraccionaria, lo correcto es eliminarla de allí, aun a costa de trasladarla al numerador. Para ello, si el denominador es una raíz cuadrada, se multiplica y se divide la expresión fraccionaria por la misma raíz del denominador. Por ejemplo:

No es lo mismo la raíz de una suma que la suma de raíces. Por ejemplo, 3+6=

2 6· 5 2· 3 2· 3 = = = 3 3 3· 3 32

3 +

En el caso de que el denominador sea una raíz cúbica, se multiplican numerador y denominador por dicha raíz cúbica dos veces, hasta obtener en el radicando un exponente que se simplifique con el índice, como en el siguiente ejemplo:

3+6≠

3 +

6

9 = 3;

6 = 1,73 + 2, 45 = 4,18

Recuerda que un factor es un término que está multiplicando.

2 3· 32 · 32 3 · 22 3· 34 = 3 = = 3 3 3 3 2 2 2· 2· 2 2 40 Simplifica las siguientes expresiones: 3

a)

3 3 · 8 2

b) 2 ·

3 2

c)

3 20 · 5 3

41 Realiza las siguientes sumas y restas de radicales, extrayendo primero todos los factores posibles:

a) 75 − 12

b) 150 +

600 −

24

c)

735 −

375

d ) 343 − 175 +

63 11

2. Potencias y raíces

RESUMEN NÚMEROS REALES Operaciones Potencias de exponente 0

De la misma base De distinta base e igual exponente

Cociente de potencias

a0 = 1 si a π 0

40 = 1

1 si a π 0 an

1 23

22 + 32 = 4 + 9 = 13

an · an = an + m

33 · 32 = 33 + 2 = 35 = 243

an · bn = (a · b)n

22 · 52 = (2 · 5)2 = 102 = 100

No se pueden expresar con la misma base.

Primero se efectúan las potencias y después la multiplicación.

Se pueden expresar con la misma base.

El resultado se puede expresar en forma de potencia única.

De la misma base

an = an − m an

De distinta base e igual exponente

an ⎛ a ⎞ =⎜ ⎟ bn ⎝ b ⎠

De distinta base y distinto exponente

2−3 =

Primero se efectúan las potencias y después las sumas o las restas.

Suma y resta de potencias

De distinta base y distinto exponente

Ejemplos

a− n =

Potencias con exponente negativo

Producto de potencias

Propiedades

23 · 52 = 8 · 25 = 200

27 · 43 = 27 · (22)3 = 27 · 26 = 213 57 = 57 − 4 = 53 54

n

No se pueden expresar con la misma base.

Primero se efectúan las potencias y después la división.

Se pueden expresar con la misma base.

El resultado se puede expresar en forma de potencia única.

22 ⎛ 2 ⎞ =⎜ ⎟ 52 ⎝ 5 ⎠

34 81 = = 10,125 23 8

273 · 32 = (33)3 · 32 = 39 · 32 = 311

(an)m = an ·m

Potencia de una potencia

2

(23)2 = 26 = 64

RAÍCES Suma y resta de raíces Multiplicación de raíces

Primero se efectúan las raíces y después las sumas o restas. n

a·nb=

n

a·b

49 −

4 · 16 =

36 = 7 − 1 = 6

4 · 16 = 64 = 8

n a na 100 100 = = 4 =2 = POTENCIAS Y RAÍCES RELACIÓN ENTRE n b 25 b 25 n Una potencia de base a y exponente fraccionario, , es igual a una raíz en la cual el índice es el denominador del z exponente, z, y el radicando es igual a la base, a, elevada al numerador del exponente, n.

Cociente de raíces

n

az = 2 12 Ejemplo: 3 5 =

5

32

z

an

2. Potencias y raíces

ACTIVIDADES 1

POTENCIAS. OPERACIONES CON POTENCIAS

42

Empareja las expresiones de la primera columna con las de la segunda de forma que tengan el mismo resultado:

1) 23 · 24 4

a) 24

0

50 a)

b)

12

2) 2 · 2

b) 2

2 6

3) (2 )

c) 27

4) 22 · 22 · 2 · 20

d) 25

43

Niveles de dificultad:

51

sencillo

38 36 ⎛ 2⎞ ⎜⎝ 3 ⎟⎠

3

⎛ 2⎞ ⎜⎝ 3 ⎟⎠

1

c)

5-2 52

d)

4 40

Expresa en forma de una sola potencia: −3

Escribe el signo en cada casilla sabiendo que a es un número negativo:

a) (223)4

⎛ −1 ⎞ ⎛ −1 ⎞ c) ⎜ ⎟ · ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠ ⎝ 4⎠

b) (32)3

d)

Signo

52 Expresa en forma de una única potencia: 2

3

a) 9 · 3

45

4

16 · 32 b) 5 3 8 ·4

4

9

3 c) 4 9

c) 32 · 23

5

2

5

b) 2 · 3

46

c) 33

b) (23)

47

· (3)2 · (3)−3

Expresa en forma de una sola potencia las siguientes operaciones:

a)

103 10 4

c) 33 · 92 · 2724

b)

5-3 · 25-7 5- 4

d)

54

Efectúa los siguientes productos de potencias:

b) 103 · 102

d) 53 · 5−2

Reduce las siguientes potencias:

b

4

2

10

2

26

3

a3 · a3

a3 · b3

a5 b5

c) 52 · 52 · 5

b) 23 · 24 · 20

⎛ 3 ⎞ ⎛ 15 ⎞ d) ⎜ ⎟ · ⎜ ⎟ ⎝ 5⎠ ⎝ 6 ⎠

5

a)

56

Completa la siguiente tabla:

a 2 3

a5 a3

a2

a22

a3 · 25 · 33

1

a) x2 · x3 · x5

55

Completa la siguiente tabla:

a

0 ,12 · 10 2 0 , 001−4

1

c) 3−1 · 34

49

−2

d) (23)

a) 22 · 24

48

53

4

Calcula: 2

( −32 )5 · ( −3)5 ( −34 )2

Realiza las siguientes operaciones:

⎛ 2⎞ a) ⎜ ⎟ ⎝ 3⎠

d) 4 · 8

a) 32

3

b) (230) · (23)2 · (23)3

Indica en cuál de las siguientes operaciones el resultado puede expresarse en forma de una única potencia:

a) 32 + 34

alto

Expresa en forma de una sola potencia:

Potencia -a0 (-a)0 -a2 (-a)2 -a5 (-a)7 -a14 (-a)20 -a21 (-a)23

44

medio

Simplifica las siguientes expresiones: ⎛ 2⎞ ⎜⎝ 3 ⎟⎠

4

⎛ 2⎞ ⎜⎝ 4 ⎟⎠

3

b)

x3 · x 4 x7

c) 23 ·

35 · 24 36

Expresa en forma de potencia:

⎛ 22 ⎞ a) ⎜ 2 ⎟ ⎝3 ⎠

56

5

−1

⎛⎛ 2⎞2 ⎞ · ⎜⎜ ⎟ ⎟ ⎝ ⎝ 3⎠ ⎠

−1

⎡⎛ 3 ⎞ 2 ⎤ b) ⎢⎜ ⎟ ⎥ ⎢⎣⎝ 2 ⎠ ⎥⎦

−1

⎡⎛ 2 ⎞ −2 ⎤ · ⎢⎜ ⎟ ⎥ ⎢⎣⎝ 3 ⎠ ⎥⎦

−1

Expresa en potencia de base 2:

83 · 44 · 2 −5 ( −2)6 · 16−2 · 8−3

13

2. Potencias y raíces

AC T I V I D A D E S 58

69

Opera: 2

3

⎛ 2⎞ ⎛ 1⎞ ⎛ 3⎞ a) ( −3)3 + ( −5)2 + ( −2)3 b) ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ + ⎜ ⎟ c) ( −2)4 · 2 −4 ⎝ 3⎠ ⎝ 6⎠ ⎝ 2⎠

59

3

60

61

−2

=2

70 71

Calcula el resultado de las siguientes potencias de exponente fraccionario:

72

1

⎛ 32 ⎞ b) ⎜ ⎝ 3125 ⎟⎠

−1 5

2

⎛ 25 ⎞ 4 d) ⎜ ⎟ ⎝ 9⎠

Se dice que 25 = ±5 porque 52 = 25 y (−5)2 = 25. De forma similar, completa:

a)

16 = ........ porque ........2 = 16 y (−......)2 = 16

b)

49 = ........ porque ........2 = 49 y (−......)2 = 49

c)

144 = ........ porque ........2 = 144 y (−......)2 = 144

c)

10 000 = ........ porque .......2 = 10 000 y (−......)2 = 10 000

63

Calcula por aproximación la parte entera del resultado de las siguientes raíces cuadradas:

a) 20

b) 97

c) 46

d)

61

64

Calcula el largo y el ancho de una habitación de forma cuadrada con 81 m2 de superficie.

65

Calcula, reduciendo todo lo posible:

66

c) 3 3 2 4

d) ab 3 33

e) 100

b) 10 000

d) 0, 01

f)

a)

73

3 5 4 3

c)

10

5

d)

3

−27

c) 3 1000

e)

b) 3 0, 001

d) 3 125

f) 3 −1000

Calcula el valor de las siguientes raíces: b) 16

c) 100

d) 25

c) 3 1

3 7

b) 5 −32

Realiza los siguientes productos con raíces: 3

b)

5

2 5 3 2

3

c)

5 7

Extrae del radical:

5 b) 10

3 5 d) 24a

f)

c) 3a 2

( 3)

d) 3 2

363

e) 34

(

3

)

3

f) 2 3x

b) 540

c) 3 811

d) 32

Calcula los siguientes productos, simplificando al máximo el resultado:

a)

3· 8· 5

b)

c)

2 · 5 5

d)

78

98

Extrae factores fuera del radical:

a) 3 1281

a)

363

( )

5

75

98

Efectúa los siguientes ejercicios, para los que solo se necesita la definición de raíz y las propiedades habituales de las operaciones:

a) 2 · 52 b)

−8

c) 3 27 000

e)

74

3

d)

Calcula las siguientes raíces:

3 c) 24 000

77

49

a) 3 8

b) 3 27

a) 700

Calcula las siguientes raíces cúbicas:

a) 9

50

Realiza las siguientes raíces cúbicas:

a) 169

Calcula las siguientes raíces cuadradas: c) 25

68

14

b) a 4 26

a) 16

67

3

a) 3 8

76

a) 3 273

b)

2

⎛ 27 ⎞ 3 c) ⎜ ⎟ ⎝ 8⎠

RAÍCES. OPERACIONES CON RAÍCES

62

27

......

Para pintar las caras de un cubo hemos empleado 10,8 kg de pintura. Calcula el volumen del cubo sabiendo que para pintar una 1 dm2 se necesitan 200 gramos de pintura.

⎛ 4⎞ 2 a) ⎜ ⎟ ⎝ 9⎠

2

a)

Escribe el número que falta:

((−2) )

Efectúa los siguientes cocientes con raíces:

3

3

3 · 7·35· 2 5 14 · 2 15

Calcula los siguientes cocientes de radicales: 2 3 27 8

11 3 b) 22 5

9 c) 49

d)

1 7 51

Halla, descomponiendo en factores primos:

a) 4 20736

b) 4 108

c) 5 1010

3 d) 26

2. Potencias y raíces

AC T I V I D A D E S 79

82

Calcula y simplifica lo posible:

a) 5 +( 2 )2

c) 3 − ( 2 · 2 −

2 b) 2 3 − 5 ( 2 )

2 d) 5 + ( 3)

80 81

83

b) 3 54

2

3

84

2

( )

c) −2

2

⎛ ⎛ 2 ⎞ −3 ⎞ b) ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ ⎝ 3⎠ ⎠

−3

−3

Extrae los factores que sea posible:

a) 3 3 000

Extrae los factores que sea posible y determina qué radicales son semejantes:

a) 3 16

3

a) 2

c) 32 · 3 12

b) 5 · 4 45

⎛⎛ 2⎞ 0⎞ b) ⎜ ⎜ ⎟ ⎟ ⎝ ⎝ 5⎠ ⎠

( )

2

Introduce los factores en los radicales:

a) 23 · 3 2

Calcula las siguientes potencias de potencias:

b) 4 848

c) 37500

d) 9800

Realiza las siguientes sumas y restas:

c) 3 250

3

80 −

3

567 + 2 3 10

ACTIVIDADES DE SÍNTESIS

85

Observa la tabla de los cuadrados de los números terminados en 5 y después deduce:

152

52 5·5 25

252

452

352

552

752

652

852

1052

952

15 · 15 25 · 25 35 · 35 45 · 45 55 · 55 65 · 65 75 · 75 85 · 85 95 · 95 105 · 105 225

625

2 025

1 225

3 025

4 225

5 625

7 225

11 025

9 025

a) ¿Cuáles son siempre las dos últimas cifras? b) ¿Qué regla puedes utilizar para determinar las primeras cifras? c) Calcula, sin hacer la operación, el valor de 1152. d) Completa: 15 · 16 = ............ ? 152 = ............ e) Sabiendo que 29 · 30 = 870, escribe el valor de 292.

86

Expresa en forma de raíz las siguientes potencias y calcula luego sus valores:

a) 2

87

1 2

b) 3

3 5

c) 2

1 2

2

⎛ 4⎞ 3 b) ⎜ ⎟ ⎝ 5⎠

Las matemáticas y la Música Matemáticas y Música son disciplinas que comparten varias propiedades, como, por ejemplo, la de poseer ambas un lenguaje universal. Una de las escalas utilizadas en lenguaje musical es la escala cromática, que es una sucesión de doce semitonos contenidos en una octava en la que todos los intervalos son iguales.

Ejemplo resuelto Observa la tabla siguiente, correspondiente a la escala cromática. Comprueba que la relación entre las frecuencias que produce cada nota es siempre la misma y calcula el valor de esta relación. Do 2 Frecuencia que produce cada nota

Do# 2

11 12

Re 2

10 12

Re# 2

9 12

Mi

Fa

8 12

7 12

2

2

Fa# 2

6 12

Sol 2

5 12

Sol# 2

4 12

La 2

3 12

La# 2

2 12

Si 2

1 12

Do 1

261,63 277,18 293,66 311,13 329,63 349,23 369,99 392,00 415,30 440,00 466,16 493,88

Solución La relación entre las frecuencias que produce cada nota viene dada por: 277,18 = 1, 0594; 261,63

293,66 = 1, 0594; 277,18

........;

493,88 = 1, 0594 466,16

1

El valor de esta relación es, por tanto, 1,0594 = 212 . Es decir, la frecuencia de cada nota se obtiene multiplicando la fre1

cuencia anterior por 212 .

15

2. Potencias y raíces

E N TO R N O M AT E M Á T I C O

El panal de abejas ¿Cuál de las tres celdas tiene mayor capacidad? Para saberlo, calcula la superficie de estas tres figuras:

FALTA FOTO DE PANAL DE ABEJAS

Hexágono regular A=

Cuadrado

P · ap 2

Triángulo equilátero A=

A = l2

b·h 2

• ¿En cuáles de estos cálculos has utilizado las potencias? ¿Y en cuáles las raíces?

Producción de miel de una colmena

La forma de las celdas de un panal Las abejas construyen sus celdas economizando la cera. Para ello, no dejan huecos entre las celdas y las hacen con la forma geométrica que les proporciona mayor capacidad. Se puede formar una agrupación geométrica de figuras sin dejar huecos mediante triángulos, cuadrados o hexágonos.

FALTA DIBUJO

¿Cuál será la ventaja de las celdas hexagonales de los panales? Un tamaño de celda hexagonal frecuente en los panales es la que tiene 3 mm de lado, es decir, la formada por un hexágono cuyo perímetro es 18 mm. • Supongamos tres tipos de celdas regulares, hexagonal, cuadrada y triangular, con un mismo perímetro de 18 mm.

16

La cantidad de miel que produce una colmena es aproximadamente igual al cuadrado del peso de sus abejas, como muestra la siguiente tabla: N.o total de obreras

1 · 104

2 · 104

3 · 104

Peso de las abejas

1 kg

2 kg

3 kg

Producción de miel

1 kg

4 kg

9 kg

4 · 104

5 · 104 5 kg

6 kg

16 kg

• Completa la tabla. • ¿Cuánto pesan 100 000 abejas? ¿Cuál es el peso medio de una abeja? • Si el peso de las abejas de una colmena es 8 kg, ¿qué cantidad de miel producen? • Un apicultor tiene tres colmenas de 20 · 103, 22 · 104 y 568 · 102 abejas. ¿Cuántas abejas tiene en total? ¿Cuál será su producción de miel? • ¿Qué operación nos permite averiguar el peso de una población de abejas a partir de la cantidad de miel producida? • Si el rendimiento de una colmena es de 81 kg de miel, averigua el número de abejas obreras que tiene en total. • Estima el número de abejas de una colmena que produce 40 kg de miel.

1. Números racionales e irracionales

TECNOLOGÍ@S

información

comunicación

cálculo

Utilización del excel Cálculo de potencias y raíces Abre una hoja de cálculo en la que vas a operar con potencias y raíces. Sigue las instrucciones que se indican a continuación.

Después de haber introducido las fórmulas, utiliza la hoja de cálculo para completar las siguientes tablas: n 1 −1 2 −2 3 10 0,5 0,1 −2 −0,5

n2

n3

n4

n5

n6

n7

n8

n9

n10

n n−2 n−3 n−4 n−5 1 2 −2 3 10 1/2 −1/2

17

2. Potencias y raíces

E VA LUAC I Ó N 1

7

Indica la frase correcta:

a) Una potencia de exponente negativo es siempre negativa.

Efectúa las siguientes divisiones y señala el resultado correcto: I.

b) Una potencia de exponente par es siempre positiva.

2 4 · 25 23

c) Una potencia de base par es siempre positiva.

a) 212

d) Una potencia de exponente negativo es siempre negativa.

II.

2

3

-2 ⎡ b) ⎢⎛⎜ -1 ⎞⎟ ⎢⎣⎝ 2 ⎠

-2

El resultado de

a) 4

4

64

4

16

b) 1

3 8

b) 2

-3

⎛ 1⎞ d) ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

a) 71

es:

a) 211 d) 8

8

−

1 2

·3

−

c)

23

d)

7

28

3 2

⎛ 3⎞ a) ⎜ − ⎟ ⎝ 25 ⎠

−

b) 15 3

a) 2 2 −1

c) 15

⎛ 3⎞ · ⎜− ⎟ ⎝ 5⎠

−

4 2

18

b) 35

b)

34 57

⎛ 3⎞ c) ⎜ − ⎟ ⎝ 5⎠

b) 18 36

c) 1 8

−

7 2

II.

3

2 −1 211

c)

1

b) 2

c) Error.

b) −3

c) Error.

−27

a) 3

10 d) 216

b)

−4

a) −2

12 4

c) 0

Calcula las siguientes raíces y señala la respuesta correcta: I.

⎛ 2 3⎞ El resultado de ⎜ · ⎟ es: ⎝ 3 4⎠

a) 8

c) 223

7

3

6

b) 23

3 −4 II. 2 · 2 5 2 · 2 −6

9 −

c) 3432

Resuelve los siguientes productos de potencias y señala la respuesta correcta.

a) 27

3 2

a) 5 · 27

⎛ 1⎞ II. ⎜ − ⎟ ⎝ 2⎠

b) 711

I. 3 · 30 · 32

Calcula las siguientes operaciones de potencias de exponente fraccionario y selecciona la respuesta correcta:

I. 25

c) 34 · 251

III. 72 · 74 · 75

-3

2 · 2 · 2 es:

1 8

b) 38 · 53

IV. 24 · 27

c) 2

El resultado de

a) 2

5

3

⎛ -1 ⎞ c) ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

c) 46

34 · 55 · 32 52 · 32

a) 34 · 53

Indica la frase correcta:

⎛ -1 ⎞ a) ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

b) 26

El resultado de racionalizar la fracción

a) 25

b)

5

c) 5

d)

5 5 5 5

es: