2. Materi Utama Geometri Dadang.pdf

PENDAHULUAN

Kegiatan belajar ini menyajikan bahasan mengenai Geometri. Secara rinci kegiatan belajar ini menyajikan tentang: 1. Dasar-dasar geometri 2. Segi banyak (Kurva, segi tiga dan segi empat). 3. Kesebangunan dan kekongruenan 4. Keliling dan luas bangun datar (segi tiga dan segi empat) 5. Bangun ruang (prisma dan limas) 6. Luas permukaan dan volume (prisma dan limas) serta debit Kegiatan belajar ini selain disajikan dalam modul berisi materi utama, juga dilengkapi oleh materi penunjang yang dapat dipelajari untuk lebih memperkuat konsep dan pemahaman mengenai pembelajarannya di Sekolah Dasar yang berupa video, ppt, dan contoh pengembangan lembar kerja pada materi geometri di Sekolah Dasar. Selain itu juga dilengkapi dengan link rujukan yang dapat dipelajari mengenai konsep geometri. Setelah mempelajari modul pada materi utama serta materi penunjang, peserta diharapkan mampu: 1. Menganalisis unsur-unsur pada geometri. 2. Memahami konsep teoritis materi geometri ruang khususnya segi tiga,

(bangun datar dan bangun

segi empat, prisma dan limas) secara

mendalam. 3. Memahami pengetahuan konseptual dan prosedural pada materi geometri (bangun datar dan bangun ruang khususnya segi tiga, segi empat, prisma dan limas). 4. Melakukan pemecahan masalah matematis pada materi geometri (bangun datar dan bangun ruang khususnya segi tiga, segi empat, prisma dan limas) serta penerapannya dalam kehidupan sehari-hari. 5. Mengembangkan pembelajaran geometri

(bangun datar dan bangun ruang

khususnya segi tiga, segi empat, prisma dan limas) pada saat workshop penyusunan perangkat pembelajaran.

1

BAB I DASAR-DASAR GEOMETRI

Struktur geometri modern menyepakati istilah dalam geometri, yaitu: 1) unsur yang tidak didefinisikan, 2) unsur yang didefinisikan, 3) aksioma/postulat, 4) teorema/dalil/postulat. Unsur yang tidak didefinisikan merupakan konsep yang mudah dipahami dan sulit yang dibuatkan definisinya, contoh titik, garis dan bidang. Unsur yang didefinisikan merupakan konsep yang dikembangkan dari unsur yang tidak dapat didefinisikan dan merupakan konsep yang memiliki batasan, contoh sinar garis, ruas garis, segitiga. Aksioma/postulat merupakan konsep yang disepakati benar tanpa harus dibuktikan kebenarannya, contoh postulat garis sejajar. Teorema/dalil/rumus adalah konsep yang harus dibuktikan kebenarannya

melalui

serangkaian

pembuktian

deduktif,

contoh

Teorema

Phytagoras. A. Titik Titik merupakan salah satu unsur yang tidak dapat didefinisikan. Titik merupakan konsep abstrak yang tidak berwujud atau tidak berbentuk, tidak mempunyai ukuran dan berat. Titik disimbolkan dengan noktah. .

.

A

P

B. Garis Garis juga merupakan salah satu unsur yang tidak dapat didefinisikan. Garis merupakan gagasan abstrak yang lurus, memanjang kedua arah, tidak terbatas.

B

m A

2

Sinar garis merupakan bagian dari garis yang memanjang ke satu arah dengan panjang tidak terhingga. B

A Ruas garis merupakan bagian dari garis yang dibatasi oleh dua buah titik di ujung dan pangkalnya. A

B

Dua garis g dan h dikatakan sejajar (g // h) jika kedua garis tersebut tidak mempunyai titik sekutu (titik potong). g k h m (a)

(b)

Aksioma Kesejajaran Melalui sebuah titik P di luar sebuah garis g, ada tepat satu garis h yang sejajar dengan g. h

g

C. Bidang Bidang merupakan sebuah gagasan abstrak, sehingga bidang termasuk unsur yang tidak didefinisikan. D

C

A

B

D. Ruang Ruang diartikan sebagai unsur geometri dalam konteks tiga dimensi.

3

E. Sudut

Sudut terbentuk oleh dua sinar garis yang berhimpit di titik pangkalnya. Ukuran sudut berkaitan dengan besar

putaran. Untuk mengukur besar

sudut, dapat menggunakan busur derajat. Ukuran sudut standar mulai dari nol derajat (0o ) yaitu jika sinar A dan sinar B berimpit, hingga 360 derajat (360o ) atau satu putaran penuh dari sinar A berputar berlawanan arah jarum jam hingga berimpit kembali dengan sinar B. Sudut siku-siku adalah sudut berukuran 90 derajat, sudut lurus adalah sudut berukuran 180 derajat. Sudut penyiku (komplemen) adalah sudut yang membuat dua sinar menjadi sudut siku-siku, dan sudut pelurus (suplemen) adalah sudut yang membuat dua sinar menjadi sudur lurus.

Sudut Komplemen (Penyiku) BOC komplemen AOB, atau AOB suplemen  BOC. C B O

A

Sudut Suplemen (Pelurus) AOC suplemen COB, atau COB suplemen  AOC.

Dua Sudut Kongruen AOB kongruen dengan CPD (biasanya ditulis sebagai: APD  CPD). Dua buah sudut dikatakan kongruen jika besar ukuran dua sudut sama. 4

A

O

C

B

P

(a)

D (b)

Sudut Siku-siku Sudut siku-siku adalah sudut yang kongruen dengan suplemennya dan mempunyai besar sudut 900 . AOC  COB dan AOC suplemen COB, maka AOC dan COB sudut siku-siku.

Sudut Bertolak Belakang Andaikan terdapat dua buah garis yang saling berpotongan,

Maka AOB  COD

BOC  AOD Sudut AOB dan sudut COD disebut bertolak belakang, begitu pula dengan

BOC dan AOD , keduanya bertolak belakang.

5

BAB II SEGI BANYAK

A. Kurva Kurva adalah bangun geometri yang merupakan kumpulan semua titik yang digambar.

Terdapat dua jenis kurva, yaitu kurva tertutup dan kurva tidak tertutup. Kurva tertutup dibagi menjadi kurva tertutup sederhana dan kurva tertutup tidak sederhana. Salah satu contoh kurva tertutup sederhana yang dibentuk dari beberapa segmen garis adalah segi banyak. Beberapa contoh segi banyak antara lain, segi tiga dan segi empat (yang akan dibahas lebih lanjut pada bagian selanjutnya.

B. Segitiga Segitiga adalah poligon (segi banyak) yang memiliki tiga sisi. Segi tiga merupakan bangun geometri yang dibentuk oleh tiga buah ruas garis yang berpotongan di tiga titik sudut. A1

A2

A3

6

Alas segitiga merupakan salah satu sisi dari segitiga tersebut. Tinggi segitiga tegak lurus dengan alas dan melalui titik sudut yang berhadapan dengan alas. Segitiga dapat dikelompokkan menurut panjang sisi dan salah satu besar sudutnya. Berikut ini pengelompokkan segitiga berdasarkan panjang sisi nya

1) Segitiga Sebarang, adalah segitiga yang semua sisinya tidak sama panjang. Segitiga sembarang memiliki ciri-ciri sebagai berikut : a. Panjang ketiga sisinya berlainan. b. Besar ketiga sudutnya tidak sama. c. Tidak memiliki simetri lipat d. Tidak mempunyai simetri putar

2) Segitiga Sama Kaki, adalah segitiga yang memiliki dua buah sisi yang sama panjang, Segitiga sama kaki memiliki ciri-ciri sebagai berikut : a. Dua buah sisinya sama panjang (panjang AB = panjang AC). b. Mempunyai dua buah sudut sama besar (sudut B = sudut C). c. Memiliki satu simetri lipat. d. Tidak Memiliki simetri putar

3) Segitiga Sama Sisi, adalah segitiga yanng semua sisinya sama panjang. Segitiga sama sisi memiliki ciri-ciri sebagai berikut : a. Ketiga sisinya sama panjang (panjang AB = panjang BC = panjang AC).

7

b. Sudut-sudutnya sama besar, yaitu masing-masing 60° (sudut A = sudut B = sudut C). c. Memiliki tiga simetri lipat. d. Memiliki tiga simetri putar.

Jenis Segitiga Ditinjau dari Besar Sudut-sudutnya 1) Segitiga Lancip,

adalah segitiga yang ketiga sudutnya merupakan sudut

lancip. 2) Segitiga Siku-siku, adalah segitiga yang salah satu sudutnya siku-siku. 3) Segitiga Tumpul, adalah segitiga yang salah satu sudutnya tumpul. Besar seluruh sudut pada segitiga adalah 1800 . Pembuktian besar seluruh sudut pada suatu segitiga 1800 , dapat dilakukan seperti gambar derikut ini:

Dalil Pythagoras:

C

a

b L c

B

Gambar tersebut adalah segitiga siku-siku ABC. Sisi AB dan AC adalah sisi siku-siku, sedangkan sisi BC disebut hipotenusa atau sisi miring

Dalil Pythagoras untuk segitiga ABC di atas dirumuskan menjadi: (BC)2 = (AC)2 + (AB)2 ↔ BC =

8

(AC) 2 + (AB) 2

C. Segi Empat Segiempat adalah poligon yang memiliki empat sisi. Segi empat dapat dibentuk dari empat buah garis dan empat buah titik dengan tiga titik tidak kolinier. Sebelum membahas lebih lanjut mengenai macam-macam segi empat dan karakteristiknya, perhatian diagram berikut ini:

SEGI EMPAT 2pasang sisi berhadapan sejajar

Tepat memiliki sepsang sisi sejajar TRAPESIUM

JAJAR GENJANG

Layanglayang

Keempat sudutnya sikusiku Keempat sisinya sama panjang PERSEGI PANJANG

Keempat sisinya sama panjang

BELAH KETUPAT

PERSEGI Keempat sudutnya sikusiku

1. Trapesium Trapesium adalah segiempat yang memiliki tepat sepasang sisi sejajar. Trapesium dapat dikelompokkan menjadi: (1) trapesium sembarang, adalah trapesium yang tepat memiliki sepasang sisi sejajar dengan panjang tidak sama serta besar sudutnya tidak ada yang 900 .

9

(2) trapesium sama kaki, adalah trapesium yang tepat memiliki sepasang sisi sejajar dan sepasang sisi yang lain sama panjang. (3) trapesium siku-siku, adalah trapesium yang tepat memiliki sepasang sisi sejajar dengan dua sudut yang besarnya 900 .

Pada suatu trapesium, jumlah sudut yang berdekatan pada suatu trapesium adalah 1800 .

2. Jajar Genjang Jajargenjang adalah segiempat dengan sisi-sisi yang berhadapan sejajar, serta sudut-sudut yang berhadapan sama besar. Jajargenjang dapat dibentuk dari gabungan suatu segitiga dan bayangannya setelah diputar setengah putaran dengan pusat titik tengah salah satu sisinya.

Beberapa sifat jajargenjang, antara lain: a. Pada setiap jajargenjang, sisi yang berhadapan sama panjang dan sejajar. b. Pada setiap jajargenjang, sudut-sudut yang berhadapan sama besar. c. Jumlah dua sudut yang berdekatan dalam jajargenjang adalah 180 0 .

Nah, bagaimana jika terdapat sebuah bangun jajargenjang tetapi besar salah satu sudutnya adalah 900 , apakah bangun tersebut adalah sebuah jajargenjang?coba analisislah!

10

3. Belah Ketupat Belah ketupat merupakan segiempat yang khusus. Belah ketupat didefinisikan sebagai segiempat dengan sisi yang berhadapan sejajar, keempat sisinya sama panjang, dan sudut-sudut yang berhadapan sama besar. Belah ketupat juga merupakan jajargenjang yang semua sisinya sama panjang. Oleh karena itu, semua sifat yang berlaku pada jajargenjang berlaku pula pada belah ketupat. Keistimewaan belah ketupat adalah dapat dibentuk dari gabungan segitiga sama kaki dan bayangannya setelah dicerminkan terhadap alasnya.

Berikut ini adalah sifat-sifat khusus belah ketupat: a. Semua sisinya sama panjang b. Diagonal-diagonal belah ketupat menjadi sumbu simetri c. Kedua diagonalnya saling berpotongan tegak lurus dan saling membagi dua sama panjang. d. Sudut-sudut yang berhadapan sama besar dan dibagi dua sama besar oleh diagonal-diagonalnya.

Nah, bagaimana jika terdapat sebuah bangun belah ketupat tetapi besar salah satu sudutnya adalah 900 , apakah bangun tersebut adalah sebuah belahketupat?coba analisislah!

11

4. Persegi panjang Persegi panjang adalah jajar genjang yang besar keempat sudutnya 900 . Persegi panjang adalah segiempat yang kedua pasang sisinya sejajar dan keempat sudutnya 900 . Beberapa sifat persegi panjang: a. Sisi-sisi yang berhadapan sama panjang dan sejajar b. Setiap sudutnya sama besar, yaitu 90 0 c. Diagonal-diagonalnya sama panjang d. Diagonal-diagonalnya berpotongan dan saling membagi dua sama panjang.

5. Persegi Persegi adalah persegi panjang yang keempat sisinya sama panjang. Beberapa sifat persegi adalah: a. Sisi-sisinya sama panjang b. Diagonalnya sama panjang c. Diagonalnya saling berpotongan dan membagi dua sama panjang. d. Sudut-sudut dalam setiap persegi dibagi dua sama besar oleh diagonal-diagonalnya. e. Diagonal-diagonalnya merupakan sumbu simetri. f.

Diagonal-diagonalnya berpotongan tegak lurus.

6. Layang-layang Layang-layang adalah segiempat yang mempunyai sisi yang berdekatan sama panjang dan kedua diagonalnya saling tegak lurus. Layang-layang juga merupakan segiempat yang terdiri dari dua segitiga sama kaki yang alasnya sama panjang dan saling berimpit.

12

A

B

D

Beberapa sifat layang-layang: a. Pada setiap layang- layang sepasang sisinya sama panjang. b. Pada setiap layang-layang terdapat sepasang sudut berhadapan yang sama besar. c. Salah satu diagonal layang- layang merupakan sumbu simetri. d. Salah satu diagonal layang-layang membagi dua sama panjang dan tegak lurus terhadap diagonal lainnya.

8. Lingkaran Lingkaran adalah kumpulan titik-titik yang berjarak sama terhadap sebuah titik (pusat lingkaran).

13

BAB III KESEBANGUNAN DAN KEKONGRUENAN

A. Kesebangunan

Perhatikan gambar tersebut. Dua persegi panjang tersebut merupakan conroh dua persegi panjang yang sebangun. Dua atau lebih bangun dikatakan sebangun jika mempunyai syarat: 1. Panjang sisi-sisi yang bersesuaian pada bangun-bangun tersebut memiliki perbandingan yang sama. 2. Sudut-sudut yang bersesuaian pada bangun-bangun tersebut sama besar. Pada bangun segitiga, dua atau lebih segitiga dikatakan sebangun jika memenuhi salah satu syarat sebagai berikut: 1. Perbandingan sisi-sisi yang bersesuaian sama (sisi – sisi – sisi) 2. Sudut-sudut yang bersesuaian sama besar (sudut – sudut – sudut) 3. Dua sisi yang bersesuaian memiliki perbandingan yang sama dan sudut bersesuaian yang diapit sama besar (sisi – sudut – sisi)

Berdasarkan uraian tersebut, coba identifikasi pada bangun datar di bawah ini ada berapakah segitiga yang sebangun?

14

B. Kekongruenan

Perhatikan gambar tersebut, persegi satuan yang terdapat pada gambar memiliki besar yang sama besar. Dua bangun atau lebih dikatakan kongruen jika bangun tersebut memiliki bentuk dan ukuran yang sama serta sudut yang bersesuaian sama besar (sama dan sebangun). Pada bangun segitiga, dua atau lebih segitiga dikatakan kongruen jika memenuhi salah satu syarat sebagai berikut: 1. Sisi-sisi yang bersesuaian sama panjang (sisi – sisi – sisi) 2. Dua sisi yang bersesuaian yang sama panjang dan sudut yang diapit sama besar (sisi – sudut – sisi) 3. Dua sudut yang bersesuaian sama besar dan satu sisi yang bersesuaian sama panjang.

15

BAB IV KELILING DAN LUAS DAERAH BANGUN DATAR

A. Keliling

Perhatikan gambar tersebut! Bagaimanakah cara menghitung keliling bangun tersebut? Untuk mengilustrasikan kepada siswa, kita dapat gunakan cerita berapakah jarak yang ditempuh untuk mengelilingi tanah atau taman yang berbentuk seperti gambar tersebut. Keliling adalah jarak perpindahan titik dari lintasan awal sampai ke lintasan akhir (titik awal dan titik akhir adalah titik yang sama). Atau dengan kata lain Keliling adalah jumlah keseluruhan panjang sisi yang membatasi suatu bangun. Kasus berbeda pada saat kita ingin menentukan keliling lingkaran. Langkah yang dapat kita lakukan adalah sebagai berikut: Dari benda yang berbentuk lingkaran, siswa menentukan panjang diameter (dengan menggunakan tali), dan diameter lingkaran. Setelah itu tentukalah 𝑘𝑒𝑙𝑖𝑙𝑖𝑛𝑔 𝑑𝑖𝑎𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟

, hasil yang diharapakan adalah nilai phi(𝜋 = 3,14 … . =

Karena 𝜋 =

𝑘𝑒𝑙𝑖𝑙𝑖𝑛𝑔 𝑑𝑖𝑎𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟

22 7

maka keliling = 𝜋 𝑥 𝑑𝑖𝑎𝑚𝑒𝑡𝑒𝑟 = 𝜋𝑑 = 2𝜋𝑟

16

)

B. Luas Daerah

Jika kita memiliki sebuah daun dan ingin menghitung berapa luas daun tersebut, bagaimanakah cara kita menghitung daun tersebut? Untuk

memudahkan kita akan membimbing siswa membuat persegi

satuan, tetapi bagaimana siswa menentukan luas tersebut? Untuk memudahkan memahami konsep luas, permasalahan yang diberikan kepada siswa dapat menggunakan bangun yang beraturan. Perhatikan gambar berikut ini:

Untuk menentukan luas dua bangun tersebut, kita dapat membimbing siswa dengan bantuan persegi satuan seperti di bawah ini

17

Luas bangun datar adalah luas daerah yang dibatasi oleh sisi-sisi bangun datar tersebut.

1. Luas Persegi panjang Luas persegi panjang adalah luas daerah yang dibatasi oleh sisi persegi panjang tersebut.

Rumus luas persegi panjang adalah: L  panjang  lebar

Untuk membantu siswa menemukan rumus tersebut, salah satu cara yang dapat dilakukan sebagai berikut:

18

2. Luas Persegi Sedangkan luas persegi adalah luas daerah yang dibatasi oleh sisi persegi tersebut. Karena persegi memiliki ukuran panjang dan lebar yang sama yang disebut sisi, maka rumus luas persegi adalah:

L  sisi  sisi Untuk membantu siswa menemukan rumus tersebut, salah satu cara yang dapat dilakukan sebagai berikut:

Contoh: Tentukan luas persegi jika panjang sisi persegi tersebut adalah (a + b)! Jawab: Untuk menentukan luas persegi tersebut, perhatikan gambar berikut ini: a a

I

b II

Luas = Luas I + Luas II + Luas III + Luas IV (a+b)(a+b) = a2 + ab + ab + b2 = a2 + 2ab + b2

b

III

IV

19

3. Luas Segitiga

(1)

(2)

Perhatikan ketiga bangun tersebut, segitiga (1) dan segitiga (2), dapat diperleh dari setengah persegi panjang. Sehingga luas segitiga adalah setengah dari luas persegi panjang. LABD

1

= 2 𝐿 𝐴𝐵𝐶𝐷 1

= 2 𝐴𝐵 𝑋 𝐴𝐷 1 =

2

x alas x tinggi

Untuk menentukan luas segitiga tersebut, dapat ditentukan dengan: LABC

= LABD + L CBD 1 =

2 1

=

2 1

=

2

1

(𝐴𝐷)(𝐵𝐷) + (𝐶𝐷)(𝐵𝐷) 2

(𝐴𝐷 + 𝐶𝐷)(𝐵𝐷) x alas x tinggi

Untuk menentukan luas segitiga tersebut, dapat ditentukan dengan: LABC

= LLCB - L LAB 1 =

2

(𝐿𝐶)(𝐿𝐵) − 1 (𝐿𝐴)(𝐿𝐵) 2

20

1 =

2 1

=

2

(𝐿𝐶 − 𝐿𝐴)(𝐿𝐵) x alas x tinggi

Menentukan luas segitiga juga dapat dilakukan dengan langkah berikut ini:

Luas segitiga = =

1 × alas × tinggi 2 1 ×a×t 2

Coba buktikan untuk rumus luas segitiga sama sisi!

4. Luas Jajargenjang

Perhatikan dua bangun jajargenjang tersebut. Untuk menetukan luas jajargenjang Dalam menentukan luas jajargenjang dapat menggunakan konsep luas segitiga.

Ljajargenjang = 2  L

21

 2  12  a  t  at Dengan

menggunakan

konsep

luas

persegi

panjang,

maka

luas

jajargenjang juga dapat ditentukan sebagai: Ljajargenjang = a × t. Jadi, untuk setiap jajargenjang, dengan alas a, tinggi t, serta luas L, maka berlaku: L=a×t

5. Luas Belah Ketupat Karena belah ketupat merupakan jajargenjang, maka tentu saja luas belah ketupat pun memiliki rumus yang sama dengan rumus luas jajargenjang, yaitu menggunakan konsep luas segitiga:

LABCD  LACD  LABC LABCD  12  AC  DP  12  AC  BP LABCD  12  AC  ( DP  BP ) LABCD  12  AC  BD LABCD 

1  diagonal1  diagonal 2 2

6. Luas layang-layang Luas layang- layang dapat dihitung sebagai jumlah luas dua segitiga, yaitu:

LABCD  LACD  LABC

A B

P

D

LABCD  12  AC  DP  12  AC  BP LABCD  12  AC  ( DP  BP ) LABCD  12  AC  BD LABCD 

1  diagonal1  diagonal 2 2

C

22

7. Luas Trapesium Untuk menghitung luas trapesium, kita tarik garis diagonal sehingga membagi daerah trapesium menjadi dua buah segitiga. Trapesium ABCD terbagi manjadi dua bagian yaitu  ABD dan  BCD. A

a

D

t

B

L

trapesium ABCD

b

C

 LABD  LBCD  12  a  t  12  b  t  12  (a  b)  t 

1  jumlah sisi sejajar  tinggi 2

Pembuktian rumus luas di atas dicontohkan untuk trapesium siku-siku, sekarang coba buktikan rumus luas trapesium sembarang?apakah sama?

8. Luas Lingkaran Luas lingkaran merupakan luas daerah yang dibatasi oleh keliling lingkaran. Misalkan, diketahui sebuah lingkaran yang dibagi menjadi 12 buah juring yang sama bentuk dan ukurannya. Kemudian, salah satu juringnya dibagi dua lagi sama besar. Potongan-potongan tersebut disusun sedemikian sehingga membentuk persegipanjang.

Susunan potongan-potongan juring tersebut menyerupai persegipanjang dengan ukuran panjang mendekati setengah keliling lingkaran dan lebar sebesar jari-jari, sehingga luas bangun tersebut adalah 23

Luas lingkaran = Luas persegi panjang

=pxl 1

= 2 𝑘𝑒𝑙𝑖𝑙𝑖𝑛𝑔 𝑙𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛 𝑥 𝑟 1

= 2 𝑥2𝜋𝑟 𝑥 𝑟 = 𝜋𝑟2 Jadi, luas daerah lingkaran tersebut dinyatakan dengan rumus sebagai berikut. Luas Lingkaran = 𝜋𝑟2

24

BAB V BANGUN RUANG

Bangun ruang adalah bagian ruang yang dibatasi oleh himpunan titik-titik yang terdapat pada seluruh permukaan bangun tersebut. Permukaan yang dimaksud pada definisi tersebut adalah bidang atau sisi. Perpotongan dari dua buah sisi adalah rusuk. Perpotongan tiga buah rusuk atau lebih adalah titik sudut.

Diagonal sisi atau diagonal bidang adalah garis yang menghubungkan dua buah titik sudut yang berhadapan pada sebuah sisi. Diagonal ruang adalah garis yang menghubungkan dua buah titik sudut yang saling berhadapan pada sebuah ruang. Pada bangun ruang sisi datar, terdapat hubungan antara banyaknya sisi, banyaknya titik sudut dan banyaknya rusuk. Hubungan tersebut dinamakan Kaidah EULER. Kaidah Euler menyatakan bahwa “ banyaknya sisi ditambah dengan banyaknya titik sudut adalah sama dengan banyaknya rusuk ditambah dengan 2 (S + T = R + 2)”

Untuk lebih jelasnya buatlah sebuah tabel untuk membuktikan kaidah euler!

25

A. PRISMA

Prisma adalah bidang banyak yang dibentuk oleh dua daerah polygon kongruen yang terletak pada bidang sejajar, dan tiga atau lebih daerah jajaran genjang yang ditentukan oleh sisi-sisi dua daerah polygon tersebut sedemikian hingga membentuk permukaan tertutup sederhana. Dua daerah polygon kongruen yang terletak pada bidang sejajar dapat berupa segitiga, segiempat, segilima, dan lain-lain.

Bidang banyak yang keenam sisinya persegi yang kongruen disebut kubus.Jika bidang banyak tersebut memili tiga pasang sisi yang kongruen maka disebut balok. Dan jika dua polygon tersebut berbentuk menyerupai lingkaran akan disebut tabung (silinder).

26

B. Limas Limas adalah bidang banyak yang ditentukan oleh daerah polygon (yang disebut alas), suatu titik yang tidak terletak pada bidang polygon dan segitigasegitiga yang ditentukan oleh titik tersebut dan sisi-sisi dari polygon.

Alas-alas dari suatu limas dapat berupa segitiga, segiempat, segilima, dan lain lain. Dan jika alas limas itu menyerupai lingkaran maka dinamakan kerucut.

27

BAB VI LUAS PERMUKAAN DAN VOLUME BANGUN RUANG

A. Luas Permukaan Perhatikan gambar-gambar berikut ini:

Gambar

tersebut

merupakan

prisma

(balok)

dan

jaring-jaringnya.

Untuk

menentukan luas permukaan sebuah bangun ruang, kita perlu menghitung jumlah masing- masing luas sisi yang membatasinya. Luas permukaan adalah jumlah seluruh luas sisi yang membatasi sebuah bangu ruang. Sehingga luas permukaan balok tersebut di atas = 2 x (8 x 5) + 2 x (5 x 3) + 2 (8 x 3) = 2 x (p x l) + 2 x (l x t) + 2 x (p x t) = 2 x (pl + lt + pt) Jadi, Luas permukaan Balok = 2 x (pl + lt + pt)

Perhatikan gambar kubus berikut ini: Kubus merupakan sebuah balok yang panjang seluruh rusuknya sama.

28

Untuk menetukan luas permukaan kubus, ingat kembali rumus luas permukaan balok yaitu: 2 x (pl + lt + pt), karena pada kubus p = l = t = rusuk (s), maka: Luas permukaan kubus

= 2 x (pl + lt + pt) = 2 (s2 + s2 + s2 ) = 6 s2 Jadi luas permukaan kubus = 6 s 2

Untuk menentukan rumus luas prisma perhatikan kembali rumus luas balok: luas permukaan balok = 2 x (p x l) + 2 x (l x t) + 2 x (p x t) Luas sisi tegak

Luas alas

Atau dapat disimpulkan:

Luas permukaan prisma = 2 (luas alas) + (jumlah luas sisi tegak) Dimana luas sisi tegak = keliling alas x tinggi (perhatikan gambar jaring jaring balok di atas)

Perhatikan gambar tabung dan jaring-jaringnya berikut ini!

29

Luas permukaan tabung = 2(luas alas) + (luas selimut tabung) = 2(luas alas) + (kel alas x tinggi) = 2𝜋𝑟2 + (2𝜋rt) Jadi, Luas permukaan Tabung = 2𝝅𝒓𝟐 + (𝟐𝝅𝐫𝐭)

Perhatikan gambar limas dan jaring-jaringnya berikut ini:

Seperti halnya pada prisma, luas permukaan limas adalah luas seluruh permukaan (sisi) sebuah limas. Luas permukaan limas ABCD = Luas ABCD + (Luas ABE + Luas BCE + Luas CDE + Luas ADE) = Luas alas + jumlah luas sisi tegak

Jadi Luas Permukaan Limas = Luas Alas + Jumlah Luas Sisi Tegak

Perhatikan gambar kerucut dan jarig-jaringnya berikut ini:

Jaring-jaring kerucut berbentuk lingkaran (sebagai alas kerucut) dan juring dari lingkaran yang lain (sebagai selimut kerucut). Untuk menentukan luas selimut sebuah kerucut perhatikan gambar berikut ini:

30

Perhatikan

juring

lingkaran

sebagai

selimut

kerucut,

diperoleh

perbandingan (antara juring dan lingkaran besar) sebagai berikut: 𝑙𝑢𝑎𝑠 𝑗𝑢𝑟𝑖𝑛𝑔 𝑝𝑎𝑛𝑗𝑎𝑛𝑔 𝑏𝑢𝑠𝑢𝑟 = 𝑙𝑢𝑎𝑠 𝑙𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛 𝑘𝑒𝑙𝑖𝑙𝑖𝑛𝑔 𝑙𝑖𝑛𝑔𝑘𝑎𝑟𝑎𝑛 𝑙𝑢𝑎𝑠 𝑠𝑒𝑙𝑖𝑚𝑢𝑡 𝑘𝑒𝑟𝑢𝑐𝑢𝑡 2𝜋𝑟 = 𝜋𝑠 2 2𝜋𝑠 2𝜋𝑟 2 𝐿𝑢𝑎𝑠 𝑠𝑒𝑙𝑖𝑚𝑢𝑡 𝑘𝑒𝑟𝑢𝑐𝑢𝑡 = 𝜋𝑠 2𝜋𝑠 𝑙𝑢𝑎𝑠 𝑠𝑒𝑙𝑖𝑚𝑢𝑡 𝑘𝑒𝑟𝑢𝑐𝑢𝑡 = 𝜋𝑟𝑠 Sehingga luas permukaan kerucut

= luas lingkaran + luas selimut = 𝜋𝑟2 + 𝜋𝑟𝑠 = 𝜋𝑟(𝑟 + 𝑠)

Luas permukaan kerucut = 𝝅𝒓(𝒓 + 𝒔)

B. VOLUME Hakikat volume adalah

isi yang memenuhi sebuah bangun ruang berongga.

Untuk menemukan volume bangun ruang kubus dan balok, salah satu cara yang dapat dilakukan adalah sebagai berikut:

31

Bentuk Bangun

Panjang

Banyak Kotak

rusuk

Satuan

2

8

Hubungan rusuk

(panjang

dan

banyak

kotak) 2x2x2=8

3 x 3 x 3 = 27 3

27

4

64

S

sxsx s

s S

4 x 4 x 4 = 64

s

A t a Sehingga u dapat disimpulkan volume kubus = s x s x s,

dimana s = panjang rusuk kubus.

Untuk menentukan volume balok, perhatikan tabel berikut :

32

Bentuk Bangun

Panjang

Lebar

(p)

(l)

Tinggi (t)

Banyak

Hubungan p,

kubus

l,

satuan

kubus

t,

dan

satuan 6

4

1

24

6 x 4 x 1 = 24

3

2

3

18

3 x 2 x 3 = 18 4 x2x3=

4

2

3

P

l

t

24

24

Pxlxt

t

p

l

Dari tabel diatas dapat disimpulkan bahwa untuk menentukan volume balok adalah V= panjang x lebar x tinggi

Untuk menentukan volume prisma, perhatikan gambar berikut ini:

Perhatikan volume prisma tegak segitiga tersebut. Prisma segitiga tersebut diperoleh dari membelah sebuah balok dan membaginya pada salah satu bidang diagonalnya, sehingga

33

1

Volume prisma tegak segitiga = 2 𝑉olume balok =

1 2

(𝑝𝑙 )𝑡

1

= ( 𝑝𝑙)𝑡 2

= luas alas x tinggi Jadi, dapat disimpulkan VOLUME PRISMA = LUAS ALAS X TINGGI

Setelah kita menemukan volume prisma, maka kita akan dapat menentukan rumus volume tabung.

Karena Volume prisma = luas alas x tinggi, dimana alas tabung berbentuk lingkaran, maka: Volume prisma

= luas alas x tinggi = 𝜋𝑟2 𝑡

Jadi, volume tabung = 𝝅𝒓𝟐 𝒕

Perhatikan gambar prisma berikut ini!

Jika dicermati pada prisma ABCD.EFGH (semua sisi prisma kongruen) tersebut terdapat 6 limas segiempat yang kongruen (limas T. ABCD, T.BCGH, T.DCGH, 34

T.ADHE, T.ABFE, T .EFGH) dengan alas limas kongruen dengan alas prisma 1

dan tinggi limas = 2 tinggi prisma atau tinggi prisma = 2 tinggi limas. Sehingga, Volume prisma

= 6 x volume limas

Volume limas

= 6 volume prisma

1 1

= 6 luas alas x tinggi prisma = =

1 6 1 3

luas alas x 2 x tinggi limas luas alas x tinggi

Jadi, Volume limas =

𝟏 𝟑

luas alas x tinggi

Perhatikan gambar tabung dan kerucut berikut ini:

Untuk menentukan volume kerucut, siswa sapat melakukan praktik melalui kegiatan berikut ini: Siapkan sebuah tabung dan kerucut yang memiliki alas dan tinggi yang sama. Siswa diminta untuk menakar jagung, beras, ataupun pasir. Dari hasil tersebut diperoleh hasil bahwa untuk memenui tabung tersebut dibutuhkan 3 kerucut yang memiliki alas dan tinggi yang sama. Sehingga siswa dapat menyimpulkan: 𝟏

VOLUME LIMAS = 𝑳𝑼𝑨𝑺 𝑨𝑳𝑨𝑺 𝑿 𝑻𝑰𝑵𝑮𝑮𝑰 𝟑 𝟏

= 𝟑 𝝅𝒓𝟐 𝒕 Permasalahan dalam kajian volume tidak hanya sekedar menghitung berapa volume dari sebuah bangun ruang tetapi juga berhubungan juga dengan Debit. Debit merupakan ukuran untuk mengukur volume zat cair yang mengalir untuk setiap satuan waktu. Satuan yang biasa digunakan adalah volume persatuan waktu (m3 /detik, m3 /jam, liter/menit, liter/detik ataupun liter/jam). 35

𝑑𝑒𝑏𝑖𝑡 =

𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢

Contoh: 1. Sebuah drum dengan jari-jari 60cm dan tinggi 1m ingin diisi dengan air hingga penuh. Jika waktu yang dibutuhkan untuk mengisi drum tersebut adalah 125menit, berapakah debit airnya? Sebelum menentukan debit, sebelumnya tentukan lah dahulu volume drum. Volume drum = 𝜋𝑟2 𝑡 = 3,14 x 0,6m x 1m = 1,884 m3 = 1884 liter 𝑑𝑒𝑏𝑖𝑡 = 𝑑𝑒𝑏𝑖𝑡 =

𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑤𝑎𝑘𝑡𝑢 1884 𝑙𝑖𝑡𝑒𝑟 125 𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡

𝑑𝑒𝑏𝑖𝑡 = 15,072𝑙𝑖𝑡𝑒𝑟/𝑚𝑒𝑛𝑖𝑡

2. Sebuah kolam renang memiliki kedalaman di tempat yang dangkal adalah 1m dan kedalaman kolam di tempat yang paling dalam adalah 2,5m. Jarak antara dinding kolam bagian dangkal dan dalam adalah 10 m, dan jarak antara dinding yang kongruen adalah 3 m. Pada pukul 07.25 kolam tersebut diisi air dengan menggunakan pompa dengan debit 125 liter per menit, dan pada pukul 09.00 pompa tersebut sempat mati selama 45 menit. Pada pukul berapa kolam renang tersebut penuh terrisi air? Berdasarkan permasalahan tersebut, kolam renang tersebut berbentuk prisma dengan alas trapesium (mengapa?coba gambarkan!) Volume prisma = luas alas x tinggi = ((1 + 2,5)/2 x 10) x 3 = 52,5 m3 = 52.500 liter Waktu = =

𝑣𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒 𝑑𝑒𝑏𝑖𝑡 52.500 125

36

= 420 menit Mulai diisi pukul 07.25 dan pada pukul 09.00 terhenti selama 45 menit jadi akan penuh pada pukul 15.05 (mengapa?)

37