2 Lenguaje Algebraico

Lenguaje algebraico Capitulo 2 2. LENGUAJE ALGEBRAICO. 2.1. Definición de Álgebra. 2.2. Notación algebraica (lenguaje algebraico). 2.3. Signos algebraicos de operación, de relación y de agrupación. 2.4. Término algebraico y sus partes. 2.5. Clasificación de los términos algebraicos; semejantes ó no semejantes. 2.6. Clasificación de las expresiones algebraicas por su número de términos. 2.7. Grado de una expresión algebraica. 2.8. Ordenamiento de una expresión algebraica. 2.9. Valor numérico de una expresión algebraica.

2.1 DEFINICIÓN DE ÁLGEBRA Así como la aritmética surgió de la necesidad que tenían los pueblos primitivos de medir el tiempo y de contar sus posesiones, el origen del álgebra es muy posterior puesto que debieron de transcurrir muchos siglos para que el hombre llegara al concepto abstracto de número que es el fundamento del álgebra. El gran desarrollo experimentado por el álgebra se debió sobre todo a los matemáticos árabes y, muy en particular, a Al-Hwarizmi (Siglo IX d.C.), que sentó las bases del álgebra tal como la conocemos hoy en día. El álgebra es la parte de las matemáticas que tienen por objeto generalizar todas las cuestiones que se pueden proponer sobre las cantidades. El concepto algebraico de cantidad es mucho más amplio que el aritmético, puesto que mientras en aritmética las cantidades se representan mediante números que expresan valores determinados, en álgebra las cantidades se representan mediante letras que pueden representar cualquier valor que se les asigne.

2.2. NOTACIÓN ALGEBRAICA Los símbolos que se emplean en álgebra para representar cantidades pueden se de dos tipos: números y letras. Donde, los números se emplean para representar cantidades conocidas y perfectamente determinadas.

LENGUAJE ALGEBRAICO

Las letras se utilizan para representar todo tipo de cantidades tanto conocidas como desconocidas. En general, las cantidades conocidas se representan utilizando las primeras letras del alfabeto: a, b, c, d…, mientras que las cantidades desconocidas se representan utilizando las últimas letras del alfabeto: x, y, z… Una misma letra puede representar distintos valores diferenciándolos por medio de comillas; por ejemplo a’, a’’, a’’’ que se leen a prima, a segunda, a tercera, o también por medio de subíndices: a1, a2, a3, que se leen a subuno, a subdos, a subtres. Consecuencia de la generalización que implica la representación de las cantidades por medio de letras son las fórmulas algebraicas. Una fórmula algebraica es la representación, por medio de letras, de una regla o de un principio general.

2.3. SIGNOS ALGEBRAICOS DE OPERACIÓN, DE RELACIÓN Y DE AGRUPACIÓN Con las cantidades algebraicas se efectúan las mismas operaciones que con las aritméticas, es decir: suma o adición, resta, multiplicación o producto, división, potenciación, radicación, logaritmación, etc.

SIGNOS DE OPERACIÓN 

En la suma se utiliza el signo (+). Así, por ejemplos x+y se leerá “equis más ye”.



En la resta se utiliza el signo (-). Así, por ejemplo x-y se leerá “equis menos ye”.



En la multiplicación se utiliza el símbolo multiplicado por (x) ó (). Así, por ejemplo x x y = xy se leerá “equis multiplicado por ye”. El signo suele omitirse cuando los factores están indicados por letras o bien por letras y números. Por ejemplo x x y x z = xyz = xyz



En la división se utiliza el signo dividido entre (:)() ó (/). Así, por ejemplo x:y = x/y = xy y se leerá “equis dividido entre ye”.



En la potenciación se utiliza un superíndice denominado exponente que se sitúa arriba y a la derecha de una cantidad llamada base por sí misma. Así, por ejemplo x4= xxxx… (4 veces) y se leerá “equis elevado a la ye”. En el caso de que una letra no lleve exponente se sobreentiende que el exponente es uno.



En la radicación se utiliza el signo radical (

), debajo del cual se coloca la

cantidad a la que se le extrae la raíz. Así, por

x , se leerá “raíz cuadrada de equis”;

3

x “raíz cúbica de equis” y así sucesivamente.

SIGNOS DE RELACIÓN Los signos de relación se utilizan para indicar la relación que hay entre dos cantidades.

2-2

LENGUAJE ALGEBRAICO



El signo = se lee igual a. x=y se leerá “equis igual a ye”.



El signo  se lee diferente de. xy se leerá “equis diferente de ye”.



El signo > se lee mayor que. x>y se leerá “equis mayor que ye”.



El signo < se lee menor que. x


El signo  se lee mayor que o igual.



El signo  se lee menor que o igual.

SIGNOS DE AGRUPACIÓN Los signos de agrupación más utilizados son: los paréntesis ( ), los corchetes [ ] y las llaves { }. Los signos de agrupación indican que la operación encerrada en su interior debe efectuarse en primer lugar.

2.4 TÉRMINO ALGEBRAICO Y SUS PARTES

Se llama término a toda expresión algebraica cuyas partes no están separadas por los signos + o -. Así, por ejemplo xy2 es un término algebraico. En todo término algebraico pueden distinguirse cuatro elementos: el signo, el coeficiente, la parte literal y el grado.

signo

coeficiente

-4x

2

exponente

base o literal

Signo Los términos que van precedidos del signo + se llaman términos positivos, en tanto los términos que van precedidos del signo – se llaman términos negativos. Pero, el signo + se acostumbra omitir delante de los términos positivos; así pues, cuando un término no va precedido de ningún signo se sobreentiende de que es positivo. Coeficiente Se llama coeficiente al número o letra que se le coloca delante de una cantidad para multiplicarla. El coeficiente indica el número de veces que dicha cantidad debe tomarse como sumando. En el caso de que una cantidad no vaya precedida de un coeficiente numérico se sobreentiende que el coeficiente es la unidad. Parte literal La parte literal está formada por las letras que haya en el término.

2-3

LENGUAJE ALGEBRAICO

Grado El grado de un término con respecto a una letra es el exponente de dicha letra. Así, por ejemplo el término x3y2z, es de tercer grado con respecto a x, de segundo grado con respecto a y y de primer grado con respecto a x.

2.5 CLASIFICACIÓN DE LOS TÉRMINOS ALGEBRAICOS; SEMEJANTES Ó NO SEMEJANTES. Los términos que tienen las mismas variables con los mismos exponentes se llaman términos semejantes.

5x y 6x son términos semejantes.

27x 2 y 3 y 32x 2 y 3 son términos semejantes.

4x y 17 y no son términos semejantes.

15x 2 y y 6xy 2 no son términos semejantes.

REDUCCIÓN DE TÉRMINOS SEMEJANTES Se llama reducción de términos semejantes a la operación que consiste en reemplazar varios términos semejantes por uno solo. En la reducción de términos semejantes pueden presentarse los tres casos siguientes: a) Para reducir términos semejantes que tengan igual signo se suman los coeficientes anteponiendo a la suma el mismo signo que tienen todos los términos y a continuación se escribe la parte literal. Ejemplo

Reducir las siguientes expresiones

2 xy  3xy  5xy  7 xy  17 xy x 2

x 2

x 2

3a  5a  8a 1 2 3 4 7 ab  ab  ab  ab 2 3 6 6 1 2 1  2 3  xy  xy  xy   xy   xy 3 3 3 3 b) Para reducir términos semejantes que tengan distintos signos se restan los coeficientes anteponiendo a la diferencia el signo del mayor y a continuación se escribe la parte literal. Ejemplo

Reducir las siguientes expresiones

2 xy 2  5xy 2  3xy 2 3a  4a  a 18x  11x  7 x 1 2 3 4 1 xy  xy  xy   xy 2 3 6 6

2-4

LENGUAJE ALGEBRAICO

c) Para reducir varios términos semejantes que tengan distintos signos se reducen todos los términos positivos a un solo término y todos lo términos negativos a un solo término y se restan los coeficientes de los términos así obtenidos anteponiendo a la diferencia el signo del mayor y a continuación se escribe la parte literal. Ejemplo

Reducir 5a -8a +a -6a + 21a Reduciendo los positivos: 5a +a + 21a = 27a Reduciendo los negativos: -8a -6a = -14a Aplicando a los resultados obtenidos (27a y -14a), la regla del caso anterior, se tiene 27a -14a =13a Tendremos: 5a -8a +a -6a + 21a= 13a Ejemplo

2 2 1 2 3 2 bx  bx  bx  4bx 2  bx 2 5 5 4 1 3 39 2 Reduciendo los positivos: bx 2  bx 2  bx 2  bx 5 4 20 2 22 2 Reduciendo los negativos:  bx 2  4bx 2   bx 5 5 39 2 22 2 49 Tendremos: bx  bx   bx 2 20 5 20 Reducir 

2.6. CLASIFICACIÓN DE LAS EXPRESIONES ALGEBRAICAS POR SU NÚMERO DE TÉRMINOS. Monomios: Son aquellos que constan de un solo término, en la que números y letras están ligadas por la operación multiplicar. 5 x,  3ab,

x2 z 2a 3 x ,  , 2y 7b

3ab 3

Polinomios: Son aquellos que constan de más de un término, es decir, es la suma algebraica de dos o más monomios. 2a+b, 3x2-5y+z, 2x3-7x2-3x+8 a) Binomio.- Polinomio de dos términos: 5x2-3y2, u +at, 4a2b +x2y6, b) Trinomio.- Polinomio de tres términos: x+y+z, 2ab-3a2+5b2, m-2n-8 Término nulo: Si el coeficiente de un término es cero, se tiene un término cuyo valor absoluto es cero o nulo. (0)x2y = 0 (0)a2 = 0

2.7 GRADO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA. El exponente de mayor orden de la variable se conoce como grado del polinomio. Para encontrar el grado de un polinomio, basta examinar cada término y hallar el exponente de

2-5

LENGUAJE ALGEBRAICO

mayor orden de la variable. Por lo tanto, el grado de 3x2 + 5x4 - 2 se halla examinando el exponente de la variable en cada término. El exponente en 3x2 es 2 El exponente en 5x4 es 4 El exponente en -2 es 0, porque -2=-2x0 (x0=1) Entonces el grado de 3x 2  5x 4  2 es 4, el exponente de mayor orden de la variable en el polinomio. De manera semejante, el grado de 4 y 3  3 y 5  9 y 2 es 5, puesto que 5 es el exponente de mayor orden de una variable presente en el polinomio. Por convención, un número como -4 o 7 se conoce como polinomio de grado 0, porque si a0, a=ax°. El grado de un polinomio puede ser “absoluto” o “relativo” a una literal. Grado absoluto: El grado absoluto de un polinomio se determina por el exponente mayor, de uno de sus términos.

a4  5a3  7a 2  3a  1

El grado absoluto es cuatro.

2 x5  6 x3 y 5  2 x 2 y 6  4 x

El grado absoluto es sexto.

2ab  a2b3  3a3b3  5b5

El grado absoluto es quinto.

Grado relativo a una literal: El grado relativo de un polinomio con respecto a una literal, es el mayor exponente que tiene la literal que se considere del polinomio. xy 7  x 4 y 3  x 2 y 6  4 x

El grado con relación a x es séptimo, de quinto grado con relación a y.

a  2a b  7ab  8

El grado con relación a a es tres, de segundo grado con relación a b.

5

2

2

Polinomio cero El mismo número 0 se conoce como polinomio cero y no se le asigna grado. Se hace notar que 0x4=0, 0x2=0, 0x3=0, y así sucesivamente de modo que los polinomios cero no pueden tener grado.

2.8. ORDENAMIENTO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA.

Se dice que un polinomio está ordenado con respecto a una letra cuando los exponentes de una letra determinada van aumentando o disminuyendo desde el primero hasta el último con respecto a la letra considerada, que recibe el nombre de letra ordenatriz. Esto simplifica muchas veces las operaciones con polinomios.

2-6

LENGUAJE ALGEBRAICO

Así, por ejemplo, el polinomio x 4  x 3 y  x 2 y 2  xy 3 está ordenado en orden ascendente con respecto a la letra ordenatriz y y está ordenado en orden descendente con respecto a la letra ordenatriz x. Ejemplo

Escribir en orden ascendente el polinomio 5 y 3  8 y 5  43  20 y 7  11y  2 y 4 SOLUCIÓN:

Ordenamos

los

términos

43  11y  5 y  2 y  8 y  20 y 3

4

5

de

menor

a

mayor

según

su

grado,

así:

7

Ejemplo

Ordenar el polinomio x5 –x7 +x4 –x6 en orden descendente con respecto a la letra x SOLUCIÓN: Deberíamos escribirlo así: –x7 –x6 +x5 +x4 Ejemplo

Escribir en orden descendente el polinomio 4w3 z 5  32wz 7  14w8  21w2 z 3  45w6 z , con respecto a cada una de las variables. SOLUCIÓN: Debemos ordenar los términos del polinomio de mayor a menor respecto a cada variable. Respecto a la variable w tenemos:  14w8  45w6 z  4w3 z 5  21w2 z 3  32wz 7 Respecto a la variable z tenemos: 32wz 7  4w3 z 5  21w2 z 3  45w6 z  14w8 Así pues, ordenar un polinomio consiste en escribir todos sus términos en un orden tal que los exponentes de una misma letra, llamada ordenatriz, vayan disminuyendo o aumentando desde el primer término hasta el último.

2.9. VALOR NUMÉRICO DE UNA EXPRESIÓN ALGEBRAICA.

La evaluación de expresiones algebraicas, es el proceso que consiste en sustituir los valores numéricos asignados para las literales de una expresión algebraica y que al efectuar las operaciones indicadas se obtiene la evaluación correspondiente.

JERARQUÍA DE LAS OPERACIONES 1. Se efectúa toda operación que se encuentre entre paréntesis o arriba o debajo de una raya de fracción. 2. Se efectúan todas las operaciones de multiplicación o división en el orden que se presenten de izquierda a derecha. 3. Se efectúan las sumas y las restas en el orden de izquierda a derecha.

2-7

LENGUAJE ALGEBRAICO Ejemplo

Resuelve 2a2bc3,

cuando a=2, b=3 y c=1 2(2)2(3)(1)3 = 2(4)(3)(1) = 24

Ejemplo

Evaluar 4 bx 3 ,

cuando b=8 y x=2

4 8  2  4 8  8  48  32 3

Ejemplo

8a 5b 2 2a 2b   2 x y x y

Evaluar

cuando a=1, b=2, y=4 y x=3.

81 52 21 2 81 54 212 8 4 96  180  4 272 5       5   7 2 94 3 3 4 4 36 36 36 9 3 4 3 2

2

Ejemplo

Resuelve

4x  6 2

para x=3.

43  6 4  3  6 12  6 18    9 2 2 2 2

Ejemplo

Resuelve xy  3 y

para x=2 y=3.

 2 3  3 3  6  9  15 Ejemplo

Evaluar

5w  3 z cuando w = -4.2 z = 3.6 w  2z 5w  3z 5 4.2  33.6  21  10.8  31.8     10.6 w  2z  4.2  23.6  4.2  7.2 3

2-8

LENGUAJE ALGEBRAICO

EJERCICIOS 2.1: Reducir los siguientes términos: 1) 7 x a  2 y b1  5x a  2 y b1 

17) 12 y 2  3 y 2  9 y 2  8 y 2 

2) 4 x  6 x  7 x 

18)  2 x  3x  4 x  5x  3x 

3)  2 y  3 y  5 y 

19)  3 y  4 y  y  2 y  5 y 

4) 3xy  4 xy  5xy 

20)  2 xy  3xy  xy  3xy  4 xy 

5) 7a  8a  a 

21) 3x 2 y  4 x 2 y  5x 2 y  6 x 2 y  7 x 2 y 

6)  7 xy  4 xy  5xy 

22) 2 x  x  2 x  3x  x  2 x 

7)  3x a  2 x a  4 x a 

23) 2 x a  3x a  4 x a  x a  2 x a 

8)  5a x1  2a x1  3a x1 

24) 2 x a 1  3x a 1  x a 1  3x a 1  x a1 

9) x  2 x  3x  4 x 

25) 2 x  3x  x  2 x  4 x  3x 

10) 2 xy  3xy  xy  2 xy 

26)  2 y  3 y  y  4 y  2 y  y 

11) 3 y 2  2 y 2  4 y 2  3 y 2 

27) 1 a  1 a 

2

12) ab  2ab  3ab  ab 

2

28) 3 ab  1

5

13) 4 xy  2 xy  3xy  5xy 

10

ab 

14)  3ab 2  4ab 2  ab 2  2ab 2 

29) 1 xy  1 xy 

15) 15xy  7 xy  xy  3xy 

30)  1 xy  4 xy 

3

6

5

16)  3ab  4ab  ab  5ab 

5

EJERCICIOS 2.2: Reducir los siguientes términos: a)  x 2 y  2 x 2 y  b) 

5 2 5 a b  a 2b  6 12 7 h)  a m b n  a m b n  8 3 i)  5mn  mn  4 1 j) 4a 2  a 2  3 5 m1 7 m1 a  a  k) 6 12 g)

4 2 9 x y  x2 y  7 11

c)  x a 1  x a 1  d)  9ab 2  9ab 2  e)

3 5 am  am  8 4

f)

25m a1  32m a1 

2-9

LENGUAJE ALGEBRAICO

u) 7 x 2 y  7 x 2 y 

1 1  a m2  a m2  4 2

l)

m)  x

a 1

v)  101mn  118mn  w) 502ab  405ab  x)  1024 x  1018x  y)  15ab  15ab 

a 1

x  3 n)  am  am  5 5 7 o) mn  mn  6 8 3 p)  a 2 b  a 2 b  11

1 3 a a  2 4 3 1 aa) a  a  4 2 z)

q) 3.4a 4 b 3  5.6a 4 b 3  r)  1.2 xy  3.4 xy 

bb) 55a 3b 2  81a 3b 2  cc)  15xy  40 xy 

s) 4a x  2a x 

dd)  m 2 n  6m 2 n 

 8a x1  8a x1 

t)

EJERCICIOS 2.3: Reducir los siguientes términos: i. ii.

v.

 11ab  15ab  26ab 

vi.

19m  10m  6m 

vii.

–x +19x -18x=

viii.

12mn  23mn  5mn 

3 1 1  m m m  5 4 2 2 1 y yy 3 3 x2

 24a

iv.

 5a  9a  35a 

xi.

 21ab  52ab  60ab  84ab  31ab  ab  23ab 

xii.

40a  81a  130a  41a  83a  91a  61a 

xiii.

5 3 2 2 3 2 1 3 2 5 3 2 a a  a a  a a  a a  4a 3 a 2  6 3 4 8

xiv.

84m 2 x  501m 2 x  604m 2 x  715m 2 x  231m 2 x  165m 2 x 

xv.

 a 2 b  15a 2 b  a 2 b  85a 2 b  131a 2 b  39a 2 b 

xvi.

 9b  11b  17b  81b  b  110b 

xvii.

a  6a  2a  150a  80a  31a 

xviii.

 a x1  7a x1  11a x1  20a x1  26a x1 

xix.

x

 39a

x2

iii.

x

 15a

x2



x

7a x  30a x  41a x  9a x  73a x 

ix.

–8x +9x -x=

x.

9a  3a  5a 

xx.

2 - 10

 2x 

3 1 5 x xx x  4 4 6

LENGUAJE ALGEBRAICO

xxi.

1 2 7 1 x x x xx  2 3 6 2

xxii.

 a  a  a  a  3a  6a 

xxiii.

a 2 y  7a 2 y  93a 2 y  51a 2 y  48a 2 y 

xxvii.

5 1 3  ab 2  ab 2  ab 2  ab 2  6 6 8

xxviii.

3 2 1 1 a b  a 2b  a 2b  a 2b  5 6 3

xxix.

1 1 1 1 y y y y 3 3 6 12

xxx.

1 1 1 1 x x x x  2 3 4 5

 mn  14mn  31mn  mn  20mn 

xxiv. xxv.

 7c  21c  14c  30c  82c 

xxvi.

 a  8a  11a  15a  75a 

EJERCICIOS 2.4: Resolver cuando a=1, b=2, c=3, d=4, m=½, n=2/3, p=¼, x=0:

1. (a+b) c-d= 2. (a+b)(b-a)= 3. (b-m)(c-n)+4a2= 4. (2m+3n)(4p+b2)= 5. (4m+8p)(a2+b2)(6n-d)= 6. (c-b)(d-c)(b-a)(m-p)= 7. b2(c+d)-a2(m+n)+2x= 8. 2mx+6(b2+c2)-4d2=  8m 16 p   a  b   9n

9. 





10. x  m a b  d c  c a  11.

4m  p  a 2  b 2   a c2

12. 2m  3n  4 p 8 p  6n  4m9n  20 p   13. c 2 m  n  d 2 m  p   b 2 n  p  

 c2  d 2 2   m 14.   

a

d 

2 - 11

LENGUAJE ALGEBRAICO

15. 4 p  2b18n  24 p   28m  240 p  a  

2 d 5 2 b m  16. d b p2 a

17. a  b  c 2  8b  m n 2 

 ac 6n    c  d  p    2 b  

18. 

19. 3c  b  32n  2d  a  16 p  20.

2  n

6abc 3mn cdnp    2 8b 2b  a  abc 2

 1 1  1 1   1 1            a b  b c   n m 

21. b 2  

22. 2m  3n4 p  2c   4m 2 n 2 

c 3  n  23. 2ab  m b  m b2 

24. 5ab  25.

2bc 2 

26.

4a  3bc

27.

2m

28.

29.

n2



24mn 2 n2 p2



2 4 2 3 a b m  3

30. 24m 2 n 3 p 

2 - 12

LENGUAJE ALGEBRAICO

RESULTADOS 1) 7 x

a2

y

b 1

 5x

EJERCICIOS 2.1:

DE LOS

a2

y

b 1

 2x

a2

y b1

17) 12 y 2  3 y 2  9 y 2  8 y 2  10 y 2

2) 4 x  6 x  7 x  5x

18)  2 x  3x  4 x  5x  3x  5x

3)  2 y  3 y  5 y  4 y

19)  3 y  4 y  y  2 y  5 y  5 y

4) 3xy  4 xy  5xy  2 xy

20)  2 xy  3xy  xy  3xy  4 xy  xy

5) 7a  8a  a  0

21) 3x 2 y  4 x 2 y  5x 2 y  6 x 2 y  7 x 2 y  3x 2 y

6)  7 xy  4 xy  5xy  2 xy

22) 2 x  x  2 x  3x  x  2 x  3x

7)  3x a  2 x a  4 x a  3x a

23) 2 x a  3x a  4 x a  x a  2 x a  0

8)  5a x1  2a x1  3a x1  4a x1

24) 2 x a1  3x a1  x a1  3x a1  x a 1  4 x a1

9) x  2 x  3x  4 x  2 x

25) 2 x  3x  x  2 x  4 x  3x   x

10) 2 xy  3xy  xy  2 xy  2 xy

26)  2 y  3 y  y  4 y  2 y  y  y

11) 3 y 2  2 y 2  4 y 2  3 y 2  2 y 2

27) 1 a  1 a  a

12) ab  2ab  3ab  ab  ab

2

2

28) 3 ab  1

5

13) 4 xy  2 xy  3xy  5xy  0

10

ab  7 ab 10

14)  3ab 2  4ab 2  ab 2  2ab 2  0

29) 1 xy  1 xy  1 xy

15) 15xy  7 xy  xy  3xy  7 xy

30)  1 xy  4 xy   xy

3

5

16)  3ab  4ab  ab  5ab  5ab

RESULTADOS

DE LOS

5

7 m n 1 a b  a mb n  a mb n 8 8 3 17 i)  5mn  mn   mn 4 4 1 11 j) 4a 2  a 2  a 2 3 3 5 m1 7 m1 1 m1 a  a  a k) 6 12 4 1 1 1 l)  a m2  a m2  a m2 4 2 4 h) 

4 2 9 1 x y  x2 y  x2 y 7 11 14

c)  x a 1  x a 1  0 d)  9ab 2  9ab 2  0 e)

2

EJERCICIOS 2.2:

a)  x 2 y  2 x 2 y  0 b) 

6

3 5 7 am  am   am 8 4 8

25m a1  32m a1  7m a1 5 2 5 5 a b  a 2b  a 2b g) 6 12 12 f)

m)  x a 1  x a 1  0

2 - 13

LENGUAJE ALGEBRAICO

w) 502ab  405ab  97ab x)  1024 x  1018x  6 x y)  15ab  15ab  0

3 2 am   am 5 5 5 7 1 o) mn  mn   mn 6 8 24 3 8 p)  a 2 b  a 2 b   a 2 b 11 11 n)  am 

1 3 1 a a a 2 4 4 3 1 1 aa) a  a  a 4 2 4 z)

q) 3.4a 4 b 3  5.6a 4 b 3  2.2a 4 b 3 r)  1.2 xy  3.4 xy  2.2 xy

bb) 55a 3b 2  81a 3b 2  26a 3b 2 cc)  15xy  40 xy  25xy

s) 4a x  2a x  2a x

dd)  m 2 n  6m 2 n  5m 2 n

 8a x1  8a x1  0

t)

u) 7 x 2 y  7 x 2 y  0 v)  101mn  118mn  17mn

RESULTADOS i.  ii.

DE LOS

EJERCICIOS 2.3:

3 1 1 17 m m m   m 5 4 2 20

2 1 y  y  y 0 3 3

iv.  5a  9a  35a  31a x

vi. 19m  10m  6m  15m vii. –x +19x -18x=0

iii.  24a x2  15a x2  39a x2  0 x

v.  11ab  15ab  26ab  0

x

x

viii. 12mn  23mn  5mn  16mn ix. –8x +9x -x=0 x. 9a  3a  5a  11a

xi.  21ab  52ab  60ab  84ab  31ab  ab  23ab  0 xii. 40a  81a  130a  41a  83a  91a  61a   28a xiii.

5 3 2 2 3 2 1 3 2 5 3 2 5 a a  a a  a a  a a  4a 3 a 2  4 a 3 a 2 6 3 4 8 8

xiv. 84m 2 x  501m 2 x  604m 2 x  715m 2 x  231m 2 x  165m 2 x  1340m 2 x xv.  a 2 b  15a 2 b  a 2 b  85a 2 b  131a 2 b  39a 2 b  162a 2 b xvi.  9b  11b  17b  81b  b  110b  9b xvii. a  6a  2a  150a  80a  31a  88a xviii.  a x1  7a x1  11a x1  20a x1  26a x1  a x1 xix. 7a x  30a x  41a x  9a x  73a x  0

2 - 14

LENGUAJE ALGEBRAICO

xx.  2 x  xxi.

3 1 5 5 x xx x  x 4 4 6 6

1 2 7 1 1 x x x xx  x 2 3 6 2 2

xxii.  a  a  a  a  3a  6a  3a xxiii. a 2 y  7a 2 y  93a 2 y  51a 2 y  48a 2 y  0 xxiv.  mn  14mn  31mn  mn  20mn  2mn xxv.  7c  21c  14c  30c  82c  80c xxvi.  a  8a  11a  15a  75a  64a xxvii.  xxviii.

5 2 1 2 3 1 ab  ab  ab 2  ab 2   ab 2 6 6 8 6

3 2 1 1 7 a b  a 2b  a 2b  a 2b   a 2b 5 6 3 30

xxix.

1 1 1 1 1 y y y y y 3 3 6 12 12

xxx.

1 1 1 1 13 x x x x  x 2 3 4 5 60

RESULTADOS 1. (a+b) c-d=

DE LOS

EJERCICIOS 2.4: 11.

2. (a+b)(b-a)=

4m  p  a 2  b 2   a c2

3. (b-m)(c-n)+4a2=

12. 2m  3n  4 p 8 p  6n  4m9n  20 p  

4. (2m+3n)(4p+b2)=

13. c 2 m  n  d 2 m  p   b 2 n  p  

5. (4m+8p)(a2+b2)(6n-d)=

 c2  d 2 2   m 14. 

6. (c-b)(d-c)(b-a)(m-p)= 7. b2(c+d)-a2(m+n)+2x= 8. 2mx+6(b2+c2)-4d2=

a

d 

15. 4 p  2b18n  24 p   28m  240 p  a  

2 d 5 2 b m  16. d b p2 a

 8m 16 p  9.   a  b   9n



 



10. x  m a b  d c  c a 

2 - 15

LENGUAJE ALGEBRAICO

17. a  b  c 2  8b  m n 2 

25.

 ac 6n    c  d  p   b   2

2bc 2 

18. 

26.

4a  3bc

2 19. 3c  b  32n  2d  a  16 p   n

27.

2m

6abc 3mn cdnp 20.    2 8b 2b  a  abc

28.

2

 1 1  1 1   1 1            a b  b c   n m 

21. b 2  

22. 2m  3n4 p  2c   4m 2 n 2 

29.

n2



24mn 2 n2 p2



2 4 2 3 a b m  3

30. 24m 2 n 3 p 

c 3  n  23. 2ab  m b  m b2 

24. 5ab 

2 - 16