2 Ejercicios Mas-convertido.pdf

(9.1) Modos normales clásicos a Quantum Estados propios Considere dos partículas, cada una de masa m en una dimensión conectado por un resorte (K), en la parte inferior de un potencial bien (con resorte constante k). Escribimos el potencial energía como:

• •

Escribe las ecuaciones clásicas de movimiento. Transformar en relativo xrel = (x1 −x2) y centro de masa Xcm = (x1 + x2) / 2 coordenadas. (a) Demuestre que en estas coordenadas transformadas, la sistema se desacopla, lo que demuestra que los dos normales los modos tienen frecuencias:

Tenga en cuenta que ya que hay dos grados iniciales de libertad, Hay dos modos normales. Consideremos ahora la versión cuántica-mecánica del el mismo problema. El hamiltoniano es:

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De nuevo se transforman en coordenadas relativas y centro de masa. Defina los momentos correspondientes a los Prel = (p1 - p2) / 2 y pcm = (p1 + p2). Solucion:

(a) Las ecuaciones de movimiento son:

Tomando la suma y la diferencia de estas dos ecuaciones da:

Los cuales identificamos como osciladores armónicos de frecuencias.

Modo de impureza fonón * Considere una cadena armónica donde todas las constantes de primavera tienen el mismo valor κ y las masas tienen valor m, excepto para la masa en la posición n = 0 que en cambio tiene valor M <m como se muestra en esta figura:

Junto con las soluciones de ondas viajeras, puede haber una Modo normal de onda estacionaria localizado cerca de la impureza. Usa un ansatz de la forma.:

Con q real para resolver la frecuencia de esta impureza. modo. Considera tu resultado en el contexto del ejercicio.9.4. Solucion: Otro error aquí: q necesita tener partes tanto reales como imaginarias. Este problema es bastante fácil una vez que haya resuelto 9.4. Para 0 <ω < ωmáx es la única solución para nuestras ecuaciones de movimiento (excepto en la impureza sitio) es para las olas habituales

con ω> ωmax = 2 pag κ / m tenemos soluciones en descomposición de la forma dada por el habitual donde (como se muestra en Ejercicio 9.4)

con q aqui real. Luego a la izquierda elegimos + y a la derecha elige - para que la ola desaparezca de la impureza. Entonces tenemos:

con q> 0 esto resuelve todas las ecuaciones de movimiento excepto la una en n = 0

Conectando nuestro ansatz, obtenemos las tres ecuaciones.

Tomando esta ecuación con a la ec. 9.6 y eliminando ω2 obtenemos:

Ahora, si M = m, el único lugar donde los dos lados son iguales es en q = 0, que significa que no hay un estado límite Además, ya que el lado izquierdo crece. Con el aumento de q y la derecha se reduce con q está claro que puede no hay solución para M> m. Sin embargo, para M <m hay un cruce de las dos curvas, que encuentra el q apropiado para el estado enlazado. En De hecho, uno puede ir un poco más analítico, escribiendo z = 𝑒 𝑞𝑎 tenemos

que es una ecuación cuadrática en z, que podemos resolver para dar:

O

el cual, ya que requerimos q> 0 tiene una solución solo para M <m. Finalmente Para obtener la frecuencia, uno solo tiene que volver a meterse en nuestra dispersión. relación para dar:

lo que da una frecuencia real mayor que ωmax.