1taller 1 Binomial.docx

MODELO INFERENCIAL

Tema: Distribución Binomial

Estudiante: Carmen Julia SALCEDO MERCADO Keyla Sofia HERNANDEZ Tutor: Luis Gorrostola.

UNIVERSIDAD DE CARTAGENA CREAD CERETÉ-CÓRDOBA ADMINISTRACIÓN FINANCIERA VI SEMESTRE 2018

INTRODUCCIÓN

El siguiente taller se ha elaborado con la finalidad de poner en practicas la temática socializada en tutoría sobre Distribución binomial.

Una distribución binomial es una distribución de probabilidad discreta que describe el número de éxitos al realizar n experimentos independientes entre sí, acerca de una variable aleatoria.

Su fórmula tiene la forma: (𝑥 + 𝑎)𝑛 = ∑

𝑛

(𝑛𝑘)𝑥 𝑘 𝑎𝑛−𝑘

𝑘=0

Taller

1. Se inspeccionan los grandes lotes de productos que llegan a una planta manufacturera a fin de encontrar artículos defectuosos, mediante un plan de muestreo. Se selecciona una muestra aleatoria de n artículos de cada uno de los lotes y se inspeccionara la muestra, anotando el numero X de defectuoso. Si X es menor que o igual a algún número de aceptación a especificado, se aceptara el lote. Si X es mayor que a, se rechazara el citado lote. Supóngase que 1un fabricante utiliza un plan de muestreo con n=10 y a=1. Si el lote contiene exactamente 5% de artículos defectuoso, ¿Cuál es la probabilidad de que el lote sea aceptado?. ¿Cuál es la probabilidad de que sea rechazado? Solución.

¿Cuál es la probabilidad de que el lote sea aceptado? Cuando X ≤ a. Datos: n=10; r= {0,1}; p=0.5; q= 0.5 𝑃(X ≤ 1) = (10 )0.50 0.510−0 0

10!

10𝑋9

𝑃(X ≤ 1) = 0!∗ (10−0)! = 1∗(10𝑋9) = 1 * 1 * 0.000976562

𝑃(X ≤ 1) = 0.000976562 +

(10 ) ∗ 0.51 ∗ 0.510−1 1

+

+

(10 ) ∗ 0.51 ∗ 0.59 1

(10 ) ∗ 0.51 ∗ 0.59 1

𝑃(X ≤ 1) = 0.000976562 +

10! 1!∗ (10−1)!

10𝑋9𝑥8

𝑃(X ≤ 1) = 0.000976562 +

0.009765625

= 1∗(9𝑥8) =

10 1

= 10 ∗ 0.5 ∗ 0.001953125

𝑃(X ≤ 1) = 0.010742187 R// La probabilidad de aceptación del lote es de un 1.07%.

¿Cuál es la probabilidad de que sea rechazado? Cuando X ≥ a. Hay dos formas para resolver este punto, la primera es calcular la probabilidad desde 1hasta 10 y la segunda es restar 1 a la probabilidad de 1 calculada anteriormente. Solución 1 Datos: n=10; r= {1,2,3,4,5,6,7,8,9,10}; p=0.5; q= 0.5 𝑃(1 ≤ x) = (10 )0.51 0.510−1 + (10 ) ∗ 0.52 ∗ 0.510−2+ (10 ) ∗ 0.53 ∗ 0.510−3 1 2 3 + (10 ) ∗ 0.54 ∗ 0.510−4 + (10 ) ∗ 0.55 ∗ 0.510−5 + (10 ) ∗ 0.56 ∗ 0.510−6 4 5 6 + (10 ) ∗ 0.57 ∗ 0.510−7 + (10 ) ∗ 0.58 ∗ 0.510−8 + (10 ) ∗ 0.59 ∗ 0.510−9 7 8 9 + (10 ) ∗ 0.510 ∗ 0.510−10 10 10 𝑃(1 ≥ x) = ( ) ∗ 0.51 ∗ 0.510−1 = 1

10! 10𝑋9𝑥8 10 = = = 10 ∗ 0.5 ∗ 0.001953125 1! ∗ (10 − 1)! 1 ∗ (9𝑥8) 1

𝑃(1 ≥ x) = 0.010742187

10 𝑃(2 ≥ x) = ( ) ∗ 0.52 ∗ 0.510−2 = 2

10! 10𝑋9𝑥8 90 = = = 45 ∗ 0.25 ∗ 0.00390625 2! ∗ (10 − 2)! 2 ∗ (8!) 2

𝑃(2 ≥ x) = 0.043945312

𝑃(3 ≥ x) = (

10 ) ∗ 0.53 ∗ 0.510−3 = 3

10! 10𝑋9𝑥8𝑥7 720 = = = 120 ∗ 0.125 ∗ 0.0078125 3! ∗ (10 − 3)! 3𝑥2𝑥1 ∗ (7!) 6

𝑃(3 ≥ x) = 0.1171875

𝑃(4 ≥ x) = (

10 10! 10𝑋9𝑥8𝑥7𝑥6 5.040 ) ∗ 0.54 ∗ 0.510−4 = = = 4 4! ∗ (10 − 4)! 4𝑥3𝑥2𝑥1 ∗ (6!) 24 = 210 ∗ 0.0625 ∗ 0.015625

𝑃(4 ≥ x) = 0.205078125

10 10! 10𝑋9𝑥8𝑥7𝑥6𝑥5 30.240 𝑃(5 ≥ x) = ( ) ∗ 0.55 ∗ 0.510−5 = = = 5 5! ∗ (10 − 5)! 5𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1 ∗ (5!) 120 = 252 ∗ 0.03125 ∗ 0.03125

𝑃(5 ≥ x) = 0.24609375

10 10! 10𝑋9𝑥8𝑥7𝑥6𝑥5𝑥4 151.200 𝑃(6 ≥ x) = ( ) ∗ 0.56 ∗ 0.510−6 = = = 6 6! ∗ (10 − 6)! 6𝑥5𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1 ∗ (4!) 720 = 210 ∗ 0.015625 ∗ 0.0625

𝑃(6 ≥ x) = 0.205078125

10 10! 10𝑋9𝑥8𝑥7𝑥6𝑥5𝑥4𝑥3 604800 𝑃(7 ≥ x) = ( ) ∗ 0.57 ∗ 0.510−7 = = = 7 7! ∗ (10 − 7)! 7𝑥6𝑥5𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1 ∗ (3!) 5.040 = 120 ∗ 0.0078125 ∗ 0.125

𝑃(7 ≥ x) = 0.1171875

10 10! 10𝑋9𝑥8𝑥7𝑥6𝑥5𝑥4𝑥3𝑥2 1814400 𝑃(8 ≥ x) = ( ) ∗ 0.58 ∗ 0.510−8 = = = 8 8! ∗ (10 − 8)! 8𝑥7𝑥6𝑥5𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1 ∗ (2!) 40320 = 45 ∗ 0.00390625 ∗ 0.25

𝑃(8 ≥ x) = 0.043945312

10 10! 10𝑋9𝑥8𝑥7𝑥6𝑥5𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1 90 𝑃(9 ≥ x) = ( ) ∗ 0.59 ∗ 0.510−9 = = = 9 9! ∗ (10 − 9)! 9𝑥8𝑥7𝑥6𝑥5𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1 ∗ (1!) 9 = 10 ∗ 0.001953125 ∗ 0.5

𝑃(9 ≥ x) = 0.009765625

𝑃(10 ≥ x) = (

10 10! 10𝑋9𝑥8𝑥7𝑥6𝑥5𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1 10 ) ∗ 0.510 ∗ 0.510−10 = = = 10 10! ∗ (10 − 10)! 10𝑥9𝑥8𝑥7𝑥6𝑥5𝑥4𝑥3𝑥2𝑥1 ∗ (1!) 10 = 1 ∗ 0.000976562 ∗ 1

𝑃(10 ≥ x) = 0.000976562

𝑃(1 ≤ x) = 0.010742187 + 0.043945312 + 0.1171875 + 0.205078125 + 0.24609375 + 0.205078125 + 0.1171875 + 0.043945312 + 0.009765625 + 0.000976562 = 0.999999998

Solución 2. Datos: n=10; r= 1 p=0.5; q= 0.5

1 − 𝑃(1 ≤ x) 10 𝑃(1 ≤ 𝑥) = 1 − ( ) ∗ 0.51 ∗ 0.510−1 1 10 𝑃(1 ≤ 𝑥) = 1 − ( ) ∗ 0.51 ∗ 0.510−1 = 1

10! 10𝑋9𝑥8 10 = = = 10 ∗ 0.5 ∗ 0.001953125 1! ∗ (10 − 1)! 1 ∗ (9𝑥8) 1

𝑃(1 ≤ 𝑥) = 1 − (10 ∗ 0.5 ∗ 0.001953125) 𝑃(1 ≤ x) = 1 − 0.009765625 𝑃(1 ≤ 𝑥) = 0.990234375

R// La probabilidad de que el lote sea rechazado es de un 99%.