1m12-2009s

MATEMÀTIQUES 1r Batxillerat 1r trimestre

1.

SOLUCIÓ

2a prova

Qualificació

Classe:

Data: 23-11-09

/10

Una persona situada a la vora d'un riu, veu sota un angle de 60º un arbre a la vora oposada. S'allunya 38 m i l'angle es redueix a 35º. Calcula l'altura de l'arbre i l'amplada del riu.

[2 punts]

º

tan60 = h º

60

º

35

x

tan35 =

º

38

x=

º

h º ⇒ h=x⋅tan60  x º

h x⋅tan60  º º º = ⇒  tan60 −tan35   x=38⋅tan35  x38 x38 º

38⋅tan35  ≃25,79 m º º tan60 −tan35 

º

h=x⋅tan 60 ≃25,79⋅tan60 =44,66 m

L'arbre té una alçada de 44,66 m i l'amplada del riu és d'uns 25,79 m.

2.

Comprova si són certes:



x −sinx=tanx 2 1cosx 2⋅tanx⋅ −sinx=tanx ⇒ tanx⋅ 1cos x −sinx=tanx 2 tanx⋅ 1cos x −tanx=sinx ⇒ tanx⋅[ 1cosx−1 ]=sinx sinx tanx⋅cosx=sinx ⇒ tanx= Cert. cosx 2

a)

2⋅tanx⋅cos

b)

sinx⋅cosx⋅ tanx





sinx⋅cosx⋅

2







sinx cosx 1 =1 ⇒ sinx⋅cosx⋅  =1 tanx cosx sinx 2



sin xcos x 2 2 =1 ⇒ sin xcos x=1 cos x⋅sin x

Cert [2 punts]

3.

Calcula el perímetre i l'àrea d'un pentàgon regular inscrit en una circumferència de 12,4 cm de radi.

[2 punts]

Dividim 360º entre 5 i obtindrem l'angle central: 72º r x

sin

 

 

72 º x/2 x 72 º = = ⇒ x=2r⋅sin ≃14,58 cm 2 r 2r 2

El perímetre del pentàgon és L'àrea del pentàgon és

5x≃72,89 cm

5⋅A triangle=5⋅

r⋅r⋅sin72º 2 ≃365,59 cm 2

4.

4

Calcula z= −33 i i dibuixa la gràfica de les seves solucions.

[2 punts]

Passem el nombre -3+3i a forma polar: 2



angle=arctan

2

radi= −3 3 =  18

z=

5.

4

   18 

135º 360º⋅k

=  18  135 360 ⋅k

Donats els vectors a) b) c)

a)

8

º

º

 

3 º =135 −3

on k=0,1 ,2,3

4

 a=3,−4 i  b=−1,4 

Raoneu si poden formar una base del pla. a de mòdul 2. Trobeu els vectors perpendiculars a  Trobeu l'angle que forma el vector 2⋅ a−3⋅ b amb l'eix OY.

[0,5 punts] [0,5 punts] [1 punt] [2 punts]

Raoneu si poden formar una base del pla. Els dos vectors formaran una base del pla ja que tenen direccions diferents. No són paral·lels; tenen pendents diferents. 4  pendent de  a=− ≠−4=pendent de b 3

b)

 de mòdul 2. Trobeu els vectors perpendiculars a a a és  4,3 ja que  3,−4 ⋅ 4,3=12−12=0 Un vector perpendicular a 

 

2 8 6  a de mòdul 2 és w= ⋅4,3= , ∣4,3∣= 169=5 . Per tant, un vector perpendicular a  ; 5 5 5 8 6  − ,− i l'altre seria −w= . 5 5



c)



Trobeu l'angle que forma el vector 2⋅ a−3⋅ b amb l'eix OY.  2⋅ a−3⋅ b= 6,−8− −3,12= 9,−20=v 0,1= e2 L'eix OY ve determinat pel vector  v⋅e2=∣ v∣⋅∣e2∣⋅cos Així doncs,  2 2  v⋅e2=−20 ; ∣ v∣= 9 −20 =  481 ; ∣e2∣=1

 v⋅e2=∣ v∣⋅∣e2∣⋅cos ⇒ −20=  481⋅cos ⇒ cos=−

20 º ⇒ ≃155,77 481 

6.

Comproveu que el nombre complex afirmatiu calculeu l'altra solució.

2 z=1− 3 i és solució de l'equació z -2z+4=0. En cas

[2 punts] 2

z =1− 3 i⋅1− 3 i=1−3−2  3 i=−2−2  3 i z −2z4= −2−2  3 i − 2−2  3 i 4=−44=0 2

Les solucions són: z=

2± 4−16 2± −12 2±2 −3 = = =1±  3 i 2 2 2