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1). En la actualidad, las ciudades A y B tienen poblaciones de 70000 y 60000 habitantes, respectivamente. La ciudad A crece a razón de 4% anual y la de B a razón de 5% anual. a) Determine la diferencia entre las poblaciones al final de cinco años. Dé su respuesta al entero más cercano. b) Identifique la fórmula o ecuación que permite determinar la población de las ciudades A y B pasados x años. c) ¿En qué tiempo las poblaciones coinciden? Solución: b). Como las poblaciones crecen a una razón porcentual anual sobre el original se usa la fórmula de interés compuesto: Nuestros datos iniciales son: 𝐴(1) = 70000 𝐵(1) = 60000 𝐴(𝑥) = 70000 ∗ (1 + 0.04)𝑥

𝐵(𝑥) = 60000 ∗ (1 + 0.05)𝑥

𝐴(𝑥) = 70000 ∗ 1.04𝑥

𝐵(𝑥) = 60000 ∗ 1.05𝑥

a). Para la ciudad A tenemos que la población es:

Para la ciudad B tenemos que la población es:

𝐴(5) = 70000 ∗ 1.045

𝐵(5) = 60000 ∗ 1.055

La diferencia de poblaciones de las ciudades A y B pasados 5 años es: 𝐷5 = 𝐴(5) − 𝐵(5) 𝐷5 = 70000 ∗ 1.045 − 60000 ∗ 1.055 𝐷5 = 85165,70317 − 76576,89375 𝐷5 = 8588,809418 ≅ 8589 c). Para este punto igualamos las ecuaciones de A y B. 𝐴(𝑥) = 𝐵(𝑥) 70000 ∗ 1.04𝑥 = 60000 ∗ 1.05𝑥 ln(70000 ∗ 1.04𝑥 ) = ln(60000 ∗ 1.05𝑥 ) ln(70000) + 𝑥ln(1.04) = ln(60000) + 𝑥 ln(1.05)

𝑥 ln 1.04 − 𝑥 ln 1.05 = ln 60000 − ln 70000 6 ln ( ) 7 𝑥= 1.04 ln ( ) 1.05 𝑥 = 16.11 ≅ 16 𝑎ñ𝑜𝑠 𝑡𝑟𝑎𝑛𝑠𝑐𝑢𝑟𝑟𝑖𝑑𝑜𝑠 2). Un fabricante encontró que si trabajan m empleados, el número de unidades producidas por día es 𝑞 = 10√𝑚2 + 4900 − 700, La ecuación de demanda para el producto es 8𝑞 + 𝑝2 − 19300 = 0 , donde p es el precio de venta cuando la demanda para el producto es q unidades por día. a) Determine el producto de ingreso marginal del fabricante cuando m =120. b) Encuentre la razón de cambio relativa del ingreso con respecto al número de empleados cuando m =120. Solución: a). 𝐼 = 𝑞∗𝑝 𝐼𝑚 =

𝑑𝐼 𝑑𝑝 =𝑝+𝑞 𝑑𝑞 𝑑𝑞

𝑝 = √19300 − 8𝑞 𝐼𝑚 =

𝑑(√19300 − 8𝑞) 𝑑𝐼 = √19300 − 8𝑞 + 𝑞 𝑑𝑞 𝑑𝑞

𝐼𝑚 =

𝑑𝐼 −2 = √19300 − 8𝑞 + 𝑞 𝑑𝑞 √4825 − 2𝑞

𝑞 = 10√𝑚2 + 4900 − 700 = 10√1202 + 4900 − 700 = 869 𝐼𝑚 =

𝑑𝐼 2𝑞 2 ∗ 869 = √19300 − 8𝑞 − = √19300 − 8 ∗ 869 − = 79.84 𝑑𝑞 √4825 − 2 ∗ 869 √4825 − 2𝑞

𝐼𝑚 = 79.84 b). Para el punto b debemos hallar la derivada de 𝐼 con respecto a 𝑚 y evaluarla en 𝑚 = 120, que se halla utilizando la regla de la cadena, así: 𝑑𝐼 𝑑𝐼 𝑑𝑞 𝑑𝐼 𝑑𝑝 = + 𝑑𝑚 𝑑𝑞 𝑑𝑚 𝑑𝑝 𝑑𝑚 𝑑𝐼 −2 𝑑𝑞 10𝑚 = √19300 − 8𝑞 + 𝑞 , = 𝑑𝑞 √4825 − 2𝑞 𝑑𝑚 √𝑚2 + 4900

𝑑𝐼 = 79.84 ∗ 8.63 = 689.02 𝑑𝑚 3). Para cierta población, suponga que 𝑙 es una función tal que 𝑙(𝑥) es el número de personas que alcanzan la edad 𝑥 en cualquier año. Esta función se llama función de la tabla de vida. Bajo 𝑥+𝑛

condiciones apropiadas, la integral ∫𝑥

𝑙(𝑡)𝑑𝑡 , proporciona el número esperado de personas en la

población que tiene entre 𝑥 Y 𝑥 + 𝑛 años, inclusive. Si 𝑙(𝑥) = 10000√100 − 𝑥 . Determine el número de personas que tienen exactamente entre 36 y 64 años, inclusive. Dé su respuesta al entero más cercano, puesto que la respuestas fraccionarias no tienen sentido. Solución: Realizamos la integral definida de 𝑙(𝑥), con límites de integración los años dados, así: 64

∫ 10000√100 − 𝑥 𝑑𝑥 36 64

= 10000 ∫ √100 − 𝑥 𝑑𝑥 36

Realizamos la integral por sustitución 𝑢 = 100 − 𝑥

𝑑𝑢 = −1 64

= −10000 ∫ 𝑢1/2 𝑑𝑢 36 𝑢3/2

= −10000 ( 3/2 ) Evaluada entre 36 y 64 =−

20000 ((100 − 3

=−

20000 [(100 − 64)3/2 − (100 − 36)3/2 ] 3

𝑥)3/2 ) Evaluada entre 36 y 64

= 1973333.333 ≅ 1973333 Personas tienen exactamente entre 36 y 64 años.

4). Una caja rectangular sin tapa debe tener un volumen de 6 𝑝𝑖𝑒𝑠 3 . El costo por pie cuadrado de material es de $3 para el fondo, $1 para el frente y la parte de atrás, y $0.50 para los otros dos lados. Encuentre las dimensiones de la caja de manera que el costo de los materiales sea mínimo.

Solución 𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 = 𝑥 ∗ 𝑦 ∗ 𝑧 6=𝑥∗𝑦∗𝑧 𝑥=

6 𝑦𝑧

𝐶 = 3𝑥𝑦 + 2𝑥𝑧 + 𝑦𝑧 , 𝐶 = 𝑐𝑜𝑠𝑡𝑜 Reemplazamos el valor de x en C 𝐶=

18 12 + + 𝑦𝑧 𝑧 𝑦

Hallamos las derivadas parciales de C con respecto a 𝑦 y 𝑧 : 𝜕𝐶 12 =𝑧− 2 𝜕𝑦 𝑦 𝜕𝐶 18 =𝑦− 2 𝜕𝑧 𝑧 Igualamos a 0 amabas derivadas y resolvemos el sistema de ecuaciones planteado: 𝑧−

12 =0 𝑦2

𝑦−

18 =0 𝑧2

Despejamos 𝑦 en la segunda ecuación

𝑦=

18 𝑧2

Ahora reemplazamos el valor de 𝑦 en la primera ecuación 𝑧−

𝑧−

12 18 2 ( 2) 𝑧

=0

12𝑧 4 =0 324

𝑧4 𝑧− =0 27 Multiplicamos en ambos lados por (-27) 𝑧 4 − 27𝑧 = 0 𝑧(𝑧 3 − 27) = 0 respuesta válida.

De aquí tenemos 𝑧 = 0 pero en el contexto de nuestro ejercicio no es una

𝑧 3 − 27 = 0 𝑧 3 = 27 De aquí obtenemos otras 3 soluciones para 𝑦 de la cual solo 𝑧 = 3 es una respuesta válida en el contexto del ejercicio. Ya que obtuvimos el valor de 𝑧 lo reemplazamos en la segunda ecuación para obtener el valor de 𝑦 𝑦−

18 =0 32

𝑦−2=0 𝑦=2 Ahora reemplazamos los valores de 𝑦 y 𝑧 en la ecuación de volumen donde despejamos 𝑥 𝑥=

6 (2) ∗ (3)

𝑥=1 Por ultimo reemplazamos los valores de 𝑥 𝑦 y 𝑧 en la ecuación del costo 𝐶 = 3(1)(2) + 2(1)(3) + (2)(3) 𝐶 =6+6+6

𝐶 = 18 Una compañía de computadoras tiene un presupuesto mensual para publicidad de $60 000. Su departamento de mercadotecnia estima que si se gastan 𝑥 dólares cada mes en publicidad en periódicos, y 𝑦 dólares cada mes en publicidad por televisión, entonces las ventas mensuales estarán dadas por 𝑆 = 90𝑥 1/4 𝑦 3/4 dólares. Si la utilidad es el 10% de las ventas, menos el costo de la publicidad, determine cómo asignar el presupuesto publicitario para maximizar la utilidad mensual (Puede suponerse que el punto crítico obtenido corresponde a una utilidad máxima). Solución La utilidad será igual a: 𝑈 = 𝑆 ∗ 10% − 60000 𝑈 = 90𝑥 1/4 𝑦 3/4 ∗ 0.1 − 60000 Sujeta a la condición 𝑥 + 𝑦 = 60000 Realizamos las derivadas parciales de U y las igualamos a cero: 3

𝜕𝑈 9𝑦 ⁄4 (90𝑥 1/4 𝑦 3/4 ∗ 0.1 − 60000) = 3 = 0 𝜕𝑥 4𝑥 ⁄4 1

𝜕𝑈 27𝑥 ⁄4 =0 (90𝑥 1/4 𝑦 3/4 ∗ 0.1 − 60000) = 1 𝜕𝑦 4𝑦 ⁄4 Como ambas ecuaciones son iguales a cero las podemos igualar entre si y despejar 𝑦:

𝑦

3⁄ 4

9𝑦

3⁄ 4

4𝑥

3⁄ 4

∗𝑦

1⁄ 4

=

27𝑥 4𝑦

= 3𝑥

1⁄ 4

1⁄ 4

1⁄ 4

∗𝑥

3⁄ 4

𝑦 = 3𝑥 Reemplazamos el valor de y en la condición: 𝑥 + 3𝑥 = 60000 4𝑥 = 60000 𝑥 = 15000 ,

𝑙𝑢𝑒𝑔𝑜 𝑦 = 45000