1a Serie De Ejercicios Ecuaciones Diferenciales

Serie de ejercicios diferenciales

Ecuaciones

1.-Clasifique las siguientes ecuaciones:

1) dydx + x2y =x ex

2) ∂2u∂x2 + ∂2u∂y2=0

3)(ym+1)-2yn+3xy=0

Orden.-1º

Orden.-2º

Orden.-3º

Grado.-1º

Grado.-1º

Grado.-2º

Homogénea.-No

Homogénea.-Si

Homogénea.-No

Ordinaria.-Si

Ordinaria.-No

Ordinaria.-Si

Linealidad.-Si

Linealidad.-Si

Linealidad.-No

4)d2ydx2+senx+y=sen x

5) yy´+2y =1+x2

Orden.-1º Orden.-2º Grado.-1º Homogénea.-No Ordinaria.-Si Linealidad.-Si

Grado.-1º Homogénea.-No Ordinaria.-Si Linealidad.-No

2.-Verifique la satisfacción de las siguientes ecuaciones:

16) 4y´+4y=32 4(0)+4(8)=32

∴y=8

2y´=0

y´=02=0

32=32

17) y´´-3y+2y=2x+1 ∴y=C1ex+C2e2x+x+2 (C1ex+4C2e2x)-3(C1ex+2C2e2x+1)+2(C1ex+C2e2x+x+2)=2x+1 ´=C1ex+2C2e2x+1

y

C1ex+4C2e2x-3C1ex-6C2e2x-3+2C1ex+2C2e2x+2x+4=2x+1 y ´´=C1ex+4C2e2x 2x+1=2x+1

18) y´+y=x+1 (1-3e-x)+(x+3e-x)=x+1

∴ f(x)=x+3e-x f(x)´=1-3e-x

1-3e-x+x+3e-x=x+1 x+1=x+1

19) xy´=2y X(4x)=2(2x2) 4x2=4x2

20) dydt+20y=24 24e-20+20(65- 65 e-20t)=24

∴ f(x)=2x2 y=2x2 y´=4x

∴y=65-65e-20t dy´dt=24e-20t

24e-20t+24-24e-20t=24 24=24

3.- Resuelva separando variables 31) x seny dx+(x2+1)cosy dy= 0

X seny dx= -(x2+1)cosy dy

x dx(x2+1) = -cosy dyseny

32) 4xy dx + (x2+1) dy= 0

4xy dx= -(x2+1) dy

24x dx(2x2+1) = -dyy

122x dx(x2+1) = - cosy dyseny

2Ln (2x2+1) = -Ln y

12ln(x2+1)+C= - Ln(seny)

(2x2+1)2= - y

eLn(x2+1)12∙C= e-Ln(seny)

Y= -(2x2+1)2

(x2+1)12∙C= - seny

Y= Sen-1- Cx2+1

33) ( x - 4 )y4dx-x3y2-3dy = 0

34) y´=y cosx 1+2y2

( x – 4)y4dx = x3(y2-3) dy

dy 1+2y2y=dx Cosx

x-4dxx3= y2-3 dy y4

dy 1+2y2y=dx Cosx dyy+2ydy=dx Cos

x dxx3-4 dxx3 = y2dyy4-3dyy4 Ln y + y2= sen x +C

dxx2-4dxx3=dyy2-3dyy4 y2=Sen x+ C-ln y x-2dx-4x-3dx=y-2dy-3y-4dy Y = senx+c-lny x-1-1-4x-2-2=y-1-1-3y-3-3

1-x+2x2-1y3=-1y

y=11x-2x2+1y3

35) dydx=(1+y2)1+x2xy

dy (1+x2)xy=dx(1+y2)

y dy(1+y2)=dx(1+x2)x

122y dy(1+y2)=dx(1+x2)dxx

12lny=arc tanx+Clnx

y12=x(arc tanx+C)

y=(x arc tanx+C)2

4.- Resuelva las ecuaciones homogéneas. 1.- u = yx→y=ux →dy=udx+xdu 2.- v = xy→x=vy→dx=vdy+ydv

48) 2ydx-xdy=0 →dy=udx+xdu

1.- u = yx→y=ux

2y dx – x dy=0 2 (ux) dx- x (udx+xdu)=0

Lnx = Lnu

2ux dx- xudx - x2du

Lnu = Lnx + C

ux dx - x2du=0

U= Cx

ux dx= x2du

1…

yx=cx

xdxx2= duu

2…

y = x2c

49.- dydx=yx+xy →dy=udx+xdu

1.- u = yx→y=ux

udx+xdudx=uxx+xux udx+xdudx=u2x+xux dx(u2x+x)=ux(udx+xdu)

2Lnx = u2

u2xdx+xdx=u2xdx+ux2du

Lnx2=u2

u2xdx+xdx-u2xdx-ux2du

u2 = lnx2

xdx- ux2du

1…

u= lnx2

x dx= ux2du

2…

y = xlnx2 +C

x dxx2= udu Lnx=u22

50.- dydx=y+xx →dy=udx+xdu

1.- u = yx→y=ux

dy(x) = dx (y+x) (udx+ xdu)(x)= dx (ux+x)

1…

xudx + x2du= dxux + xdx x2du= xdx

u = ln x yx=Lnx

2…

y = Lnx2+C

du = xdxx2 du=dxx

51.- (x3+y3)dx-3xy2dy = 0 →dy=udx+xdu

1.- u = yx→y=ux

(x3+(xu))3)dx -3x(xu)2(udx + xdu) x3+x3u3dx-(3x3u2)udx+ xdu x3-2x3u3dx = 3x4u2du

Lnx-13 =Lnu

x3-2x3dx3x4=u2duu3

x-13 = u

-x3dx3x4 = duu

1…

-x3dx3x4=duu

YX=x-13

-13dxx=duu

2…

u = x-13

+c

+c

Y =x23+ C

-13 Lnx = Lnu

52.- dydx= x2+3y22xy →dy=udx+xdu

1.- u = yx→y=ux

udx+xdudx= x2+3(xu)22x(xu) dx(x2+x2u2) = udx + xdu( 2 x2u)

1...

ex+x=u

x2dx + 3 x2u2dx = 2 x2u2dx+ 2x3udu

yx=ex+x

x2dx+3 x2u2dx-2 x2u2dx= 2x3udu

2…

x3dx+ x2u2dx=2x3udu

y= ex+x2+c

x3+x2dxx3 = 2u duu2 x3x3dx+x2x3dx=2u duu2 ex+x=u

53.- dydx=x+3yx-y udx+xdudx=x+3(xu)x-(xu) dx (x+3xu)=(x-xu)(udx+xdu) 1u – Lnu

Lnx + lnx + lnx =-

xdx+3xudu = xudx+x2du-xu2dx-x2udu

3Lnx=-1u – Lnu

xdx+2xudx = x2du-xu2dx-x2udu xdx-2xudx+xu2dx = x2du-x2udu xdx+u (2xdx+xudx) = x2( du-udu)

X3= e-1u -u 1…

u= x+ e1u yx=x+e1yx

xdx+2xdx+xudxx2=du-uduu2 (x+exy)

2…

xdxx2+2xdxx2+xdxx2=duu2-uduu2

54.- xdy - ydx-x2-y2 dx =0 Xdy-ydx= x2-y2 dx

u = x –x

X( udx+xdu) – (ux)dx= x2-(ux)2 dx

1…

xudx + x2du – uxdx = x – uxdx x2du = x – uxdx duu=x-xdxx2 duu=dxx-xdxx2 Lnu = Lnx – Lnx

u=0 yx=0

2…

y=x

y= x

5.-Encuentre las flechas máximas de los siguientes elementos Ma+Pl= 0

∑Fy=0

Ma=PL

Ra-P=0

Ra=P

M(x)=-Pl+Px d2ydx2=1EI-Pl+Px d2ydx2=1EI-Pl+Pxdx Θ=dydx=1EI-Plx+px22+C1 dydx=1EI(-Plxdx+P2x2dx+C1dx Y= 1EI(-Plx22+Px36+C1x+C2)

∴C2=0

∴C1=0

6.- Resuelvas las ecuaciones exactas:

75.- (3x2+1)+(3y2+1) y´=0 (3x2+1) dx + (3y2+1) dy= 0 3y2+1dy=3y2dy-dy y3 + y +g(x) = C

g´xdx=(3x2+1)dx g(x) =x3 + x 1…

C d( y3 + y +g(x)dx=g´(x) g´(x)= (3x2+1)dx

76.- x2y3dx + x3y2dy = 0 d(x2y3)dy= 3x2y2 d(x3y2)dx= 3x2y2

h´y=dy h(y)= y

y 3 + y + x3 + x=

x2y3= y3x2dx = x33y3+h(y)

1…

x33y3+y=C

d(x33 y3+hy)dy= x3y2+h´(y) x3y2+h´(y) = x3y2 dy

77.- 2xydx + (1+x2)dy = 0 d(2xy)dy= 2x

h´(y)dy= dy

d(1+x2)dx= 2x

h(y) = y

2xydx= y2xdx= x2y +h(y)

1…

x2y + y = C

d(x2y+hy)dy= x2+h´(y) X2+h´(y)= (1+x2)dy

78.- x3y4dx + x4y3dy = 0 d(x3y4)dy= 4x3y3 d(x4y3)dx= 4x3y3 axx3y4dx+byx4y3dy

1…

x4y44 + x4y44 = a4-y44 + b4x44

y4 x44x-a +x4y44y-b

↑K

y4x44-a44+x4y44-b44= x4y44-a4-y44+x4y44-b4x44=

79.- (3e3xy-2x)dx+exdy=0 d(3e3xy-2x)dy= 3e3x

3h´y=dy

d(e3xdy)dx= e3x

h(y) = y

(3e3xy-2x)dx= 3ye3xdx - 2xdx 3ye3x-x2+ h(y) d(3ye3x-x2+ hy)dy= 3e3x+h´(y) 3e3x+h´(y)= e3xdy

1…

3ye3x-x2+y

7.- Auxiliado por los factores de integración resuelva:

88.-ydx-xyd =0

I=1y2

1y2ydx-xdy=0 Yy2dx-xy2dy=0 d(y-1)dy = -y-2 d(-x y-2)dx = -y-2

h´ydy=dy 1…

h (y) = y

2…

y x + y= C

∴ydx= ydx= y x h(y)= C d(yx+h´y)dy = x +h´(y) x +h´(y)=x dy

89.- (y+1) dx-x dy =0

I=-1x2

-1x2(y+1) dx –(-1x2 (xdy))=0 -yx2-1x dx+ 1x dy=0 d-yx2-1x dy= -2x-3

h´y=o

d- 1x dydx = -2x-3 ∴-yx2dx-1x2dx = yx+1x+h´(y)

1… 2… yx+1x+0=C

d(yx+1x+h´y)dy=1x+h´y 1x+h´y=1xdy

90.- 6xy dx + (4y+9x2)dy=0

I= y2

h(y)=0

y26xy dx + (4y+9x2)dy =0 6xy3dx+4y3+9x2y2dy=0

h´ydy=4y3dy

d(6xy3dx)dy= 18xy2

1…

h(y)=y4 d(4y3+9x2y2)dx=18xy2

2… 3x2y3+y4= C

∴6xy3dx = 6y3xdx=3x2y3+h(y) d3x2y3+h´ydy=9x2y2+h´y 9x2y2+h´y=4y3+9x2y2

91.- dx-2xy dy=0

I=e-y2

e-y2dx-2xy dy=0 e-y2dx-2xy e-y2dy=0 d(e-y2dx)dy=-2ye-y2

h´(y)=0

d(2xy e-y2)dx=-2ye-y2

h(y)=C

∴e-y2dx=e-y2dx=e-y2x+h(y)

1…

e-y2x =C

de-y2x+hydy=-2xye-y2+h´(y) -2xye-y2+h´(y)=-2xy e-y2dy

92.- (4x3y-x3)dx+dy=0

I=ex4

ex4(4x3y-x3)dx+dy=0 (4x3yex4-x3ex4)dx+ex4dy=0

g´xdx=-144x3ex4dx

d(4x3yex4-x3ex4)dy=4x3ex4 dex4dx=4x3ex4 ∴ex4dy=ex4dy=ex4y+g(x) dex4y+gxdx=4x3yex4+g´(x) 4x3yex4+g´(x)= 4x3yex4-x3ex4

g(x)=- 14 ex4 1…

ex4y-14 ex4=C

93.- (y + x3+xy2)dx + xdy = 0

I(x,y)=-1x2+y2

dy+x3+xy2dy=1+2xy

d(-x)dx= -1

y dx+ x3 dx+x y2 dx – xdy = 0 x( x2dx +y2dx) -(y+x3+xy2)x2y2dx+xx2+y2=0 d-y3-x3-xy2x2-y2dy=x2-y2-1-2xy--y-x3-xy2(2y)(x2-y2)2=-x2+y2(x2-y2)2 ↔1a Parcial d(xx2+y2)dx=x2-y21-x(2x)(x2-y2)2=-x2+y2(x2-y2)2 ↔2a Parcial ∴ Las Parciales deben ser iguales. xx2+y2dy=x1x arc tanyx=arctanyx+gx=C darctanyx+gxdx=11+(yx)2 ∙x0-y1x21=-yx2x2+y2x2=-yx2x2x2+y2=yx2+y2+g´x -yx2+y2+g´x=-y-x3-xy2x2+y2 g´x=-x(x2+y2)x2+y2=-x g´(x)dx = -xdx

g´(x)=-x g(x)= -x22

Sol.- arctanyx-x22=C

8.- Resuelva las siguientes ecuaciones de Bernoulli:

107.- y´+xy=xy2 Z=1y

y2=1z2

y= 1z

y´=-z-

2∙Z´ ∴ y´+xy=xy2 Mult (-z2)(-z-2∙z´)+x (z-1)=x (z-2) z´-x z = -x

I(x,y)= e-x22

(e-x22 )z´-x z = -x Z´e-x22- x z e-x22= -xe-x22 ddxe-x22 Z=-xe-x22 e-x22 Z=e-x22+C Z=e-x22e-x22+ C e-x22 Z= 1+ C ex22

108.- y´+y = x y2 Z=1y

y2=1z2

y=1z

´=-Z-2∙ Z´ Mult.(-Z2)(-1z2∙z´) +( 1z )=x ( 1z2 ) Z´- Z = - X (e-x) (Z´- Z = - X) Z´e-x- Ze-x=-xe-x ddxe-x zdx=-xe-xdx e-x Z = e-x+C

I(x,y)= e-x

y

Z =1 + C ex

109.- y´+2xy =-xy4 Z =y-3

y4= z-43

y=z-13

y

´=-13Z-43∙z´ Mult ( -13Z43) (-13Z-43∙z´+2xZ-13=-x(Z-43) Z´- 23x z= x3

I(x,y)= e-x23

e-x23Z´-23x z= x3 Z´e-x23-23x z e-x23=x3 e-x23 ddxe-x23 z´dx=13-xe-x23dx e-x23 Z= 13e-x23+ C Z= 13+ C ex23

110.- y´+1x y=xy2 Z = 1y

y = z-1

y2=z-2

´ Mult (-z2)-z-2∙z´+1x z-1=x z2 -x (z´-1x z=-x) -z´x + z = x2 ddx-x zdx=x2dx -x z = x33+c Z=-x3+C3x

I(x,y)=-x

y´=-z-2∙z