190

˘ M2 TESTE DE MATEMATICA PENTRU ADMITERE 2008 Conf. Conf. Asist. Asist.

dr. Ariadna Lucia Pletea dr. Narcisa Dumitriu Silviu C˘ at˘ alin Nistor Gabriela Grosu March 15, 2008

Cuprins 1 Analiz˘ a matematic˘ a

3

2 Subiecte date la admitere 37 2.1 Subiecte 2006 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37 2.2 Subiecte 2007 . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39 2.3 Indicat¸ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41 3 Indicat¸ii ¸si r˘ aspunsuri

45

4 Modele de teste 77 4.1 Indicat¸ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85 4.2 Bibliografie . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 90

1

2

CUPRINS

Capitolul 1 Analiz˘ a matematic˘ a n2 7n n2 1. Dac˘a an = − 7n, bn = − , n ∈ N, atunci: 2 3 2 (a) min an = a0 , max bn = b0 ; (b) min an = a7 , max bn = b3 ; n

n

n

n

(c) min an = a3 , max bn = b2 ; (d) min an = a2 , max bn = b3 ; n

n

n

n

(e) min an = a7 , max bn = b2 . n

n

2. Fie l = lim

n→∞

Atunci:

µ

1 2 n + 2 + ··· + 2 2 n n n

¶

.

(a) l = 1; (b) l = 12 ; (c) l = 0; (d) l = ∞; (e) l ∈ ∅. 3. Limita

√ √ lim n( n + 1 − n)

n→∞

este: (a) 1; (b)

1 3 ; (c) ; (d) ∞; (e) −1. 2 4

4. S˘a se precizeze termenul general al ¸sirului (an )n≥1 definit prin relat¸ia de recurent¸˘a: an+2 (n + 2)(n + 1) = n2 an ¸stiind c˘a a1 = 0, a2 = 1. (a) a2n+1 = 0, a2n+2 =

2n+1 (2n)! ; (2n + 1)(2n + 2) 3

˘ MATEMATICA ˘ CAPITOLUL 1. ANALIZA

4 (b) a2n+1 = 0, a2n+2 =

22n+1 (n!)2 ; (2n + 2)!

(c) a2n+1 = 0, a2n+2 =

2(2n)! ; (2n + 1)(2n + 2)

(d) a2n+1 = 1, a2n+2 =

2n+1 · n! ; (n + 1) . . . (2n + 1)(2n + 2)

(e) a2n+1 = 1, a2n+2 =

2(n!)2 . (2n + 2)!

5. S˘a se afle

n2 + 1 n + 1 ln . n→∞ n+2 n √ (c) e ; (d) e ; (e) ∞ . lim

(a)

1 2

;

(b) 1 ;

6. Dac˘a an =

n X k=2

(a) an+1 < an ,

¡ ln 1 −

(c) an < an+1 , (e) an < an+1 ,

s

1 k2

¢

, n ≥ 2, atunci:

lim an = ln 2; (b) an+1 < an ,

n→∞

lim an =

n→∞

1 ; ln 2

(d) an+1 < an ,

lim an = ln 12 ;

n→∞

lim an = 1 − ln 2;

n→∞

lim an = 1 + ln 2.

n→∞

n X k2 + k 7. Dac˘a an = , atunci: 3 + k2 n k=1

(a) lim an = 0; (b) lim an = 13 ; n→∞

n→∞

(c) lim an = 1; (d) lim an = 12 ; n→∞

n→∞

(e) lim an = 14 . n→∞

8. S˘a se afle valorile lui a ∈ R astfel ˆıncˆat: p an(a + 5)(n + 1) + (a + 9)(n + 3)(n + 5) √ lim = 3. n→∞ a2 n2 + 1 © ª (a) a ∈ 32 , − 34 ; (b) a = 9; (c) a ∈ {3, 9} ; © ª (d) a ∈ 32 , 3 ; (e) a = 14 .

5 9. S˘a se precizeze valoarea lui a = lim (b1 + b2 + · · · + bn ) , unde n→∞

bk =

2k + 1 . k 2 (k + 1)2

1 (a) a = ∞; (b) a = 0; (c) a = 1; (d) a = ; (e) a = 2. 2 √ 10. S˘a se calculeze l = lim sin2 (π n2 + n + 1). n→∞

(a) l = 1; (b) l = 12 ; (c) l = 0; (d) l = ∞; (e) l ∈ ∅. 11. Se consider˘a ¸sirul de numere reale: µ ¶ 3 n−1 2+ , ∀n ∈ N∗ . xn = (−1) n Atunci: (a) lim xn = 2; n→∞

(b) (xn )n∈N∗ e ¸sir monoton;

7 (c) min∗ xn = − ¸si max∗ xn = 5; n∈N 2 n∈N

(d) min∗ xn = −2 ¸si max∗ xn = 2; n∈N

n∈N

(e) (xn )n∈N∗ e ¸sir nem˘arginit. 12. Fie a0 , a1 , ..., ak numere reale astfel ˆıncˆat a0 + a1 + ... + ak = 0 ¸si ³ √ ´ √ √ 3 3 3 l = lim a0 n + a1 n + 1 + ... + ak n + k . n→∞

Atunci:

(a) l = 0;

(b) l = +∞;

(c) l = 1;

(d) l nu exist˘a;

(e) l = ln 3.

13. Se consider˘a ¸sirul de numere reale 2 + (−1)n xn = , ∀n ∈ N. 2n + (−1)n Atunci (a) (xn )n∈N este ¸sir cresc˘ator; (d) max xn = 1; n∈N

(b) @ lim xn ; n→∞

xn+1 ; n→∞ xn

(c) @ lim

(e) (xn )n∈N este ¸sir nem˘arginit.

˘ MATEMATICA ˘ CAPITOLUL 1. ANALIZA

6 14. Fie

µ f : (0, +∞) → R, f (x) = ln 1 −

¶ 2 . x+2

Fie l limita ¸sirului cu termenul general µ ¶ n2 + 1 bn = n an + ln unde an = f (1) + f (2) + ... + f (n). 2

Atunci:

(a) l = 0;

(b) l = ∞;

(c) l = 1;

(d) l = −3;

(e) l = e.

1 15. Fie an = lim (1 − x sin nx) x2 ¸si bn = a1 + a2 + · · · + an . S˘a se precizeze x→0 valoarea lui b = lim bn . n→∞

(a) b = 1; (b) b = ∞; (c) b =

1 ; 1−e

1 e ; (e) b = . 1−e e−1 r 1 + xn 16. Fie x0 ∈ [−1, 1] , xn+1 = , yn = 4n (1 − xn ) ¸si L1 = lim xn , n→∞ 2 L2 = lim yn . Atunci: (d) b =

n→∞

(a) L1 = 0, L2 =

α α ; (b) L1 = 1, L2 = 2 ; (c) L1 = 1, L2 = α; 2 2 2

α α2 ; (e) L1 = 1, L2 = , 2 2 unde x0 = cos α, α ∈ [0, π] . (d) L1 = 0, L2 =

17. Fie ¸sirul (an )n∈N definit prin relat¸ia de recurent¸˘a 1 an+1 = (1 + an + a2n−1 ), a0 = a1 = 0. 3 Atunci (a) (an )n∈N este monoton descresc˘ator; (b) (an )n∈N este convergent ¸si lim an = 1; n→∞

(c) (an )n∈N este convergent ¸si lim an = 0; n→∞

(e) (an )n∈N este divergent.

(d) an > 1, ∀n ∈ N ;

7 18. Valoarea num˘arului p ∈ R pentru care limita ¸sirului (an )n≥1 definit prin termenul general n X np p an = √ k + k2 − 1 k=1 este finit˘a ¸si nenul˘a, este:

(a) p = 0; (b) p = − 12 ; (c) p = 12 ; (d) p = 1; (e) p = −1. 19. Se consider˘a ¸sirul a1 = 1, an+1 =

4a2n + 1 , ∀n ∈ N . 3an

Atunci l = lim an este: n→∞

(a) l = 0; (b) l = 1; (c) l = 2; (d) l = ∞; (e) ¸sirul (an )n∈N nu are limit˘a. 20. Dac˘a (an )n∈N este ¸sir real definit de √ √ a1 = a, an = a + an−1 , a > 0, atunci: (a) (an )n∈N este m˘arginit ¸si lim an = 12 (a + n→∞

√ 1 + 4a),

(b) (an )n∈N este nem˘arginit ¸si lim an = ∞, n→∞ √ (c) (an )n∈N este m˘arginit ¸si lim an = 12 1 + 4a, n→∞ √ (d) (an )n∈N este m˘arginit ¸si lim an = 12 (1 + 1 + 4a), n→∞

(e) (an )n∈N este nem˘arginit ¸si lim an = −∞. n→∞

21. Fie x0 > 0, x1 > 0 ¸si xn+1 =

√ xn xn−1 pentru n ≥ 1. S˘a se afle lim xn .

p x0 + x1 x0 + x1 √ (a) 1; (b) 3 x0 x21 ; (c) x0 x1 ; (d) ; (e) √ . 2 x0 x1

22. Domeniul maxim de definit¸ie al funct¸iei r ln (−x2 + 4) f (x) = −x2 + 4

n→∞

˘ MATEMATICA ˘ CAPITOLUL 1. ANALIZA

8 este:

£ √ √ ¤ (a) x ∈ [0, ∞) ; (b) x ∈ − 3, 3 ; (c) x ∈ (−1, 1] ;

(d) x ∈ (−∞, 1] ; (e) x ∈ (−2, 2) .

23. Domeniul maxim de definit¸ie al funct¸iei r x2 − 1 f (x) = 3x + + ln (ln x) x+2 este: (a) x ∈ (−∞, 0) ; (b) x ∈ (0, 1) ; (c) x ∈ [−1, 1] ; (d) x ∈ (−2, 2] ; (e) x ∈ (1, +∞) (−∞, 0) . 24. Mult¸imea punctelor de continuitate ale funct¸iei f : R → R unde ½ x, dac˘a x ∈ Q f (x) = x2 , dac˘a x ∈ R\Q este: (a) {0, 1} ; (b) [0, 1] ; (c) Q; 25. S˘a se calculeze

(a) 1;

(b) ln 2;

26. Fie

() ∅ ; (e) {−1, 0, 1} .

(2x − 1) ln (1 + sin x) ¢ lim ¡√ . x→0 1 + x − 1 tg 2x

(c) 0;

(d) 14 ;

(e) ∞.

esin x − etg x . x→0 esin 2x − etg 2x

l = lim Atunci:

(a) l = 0; (b) l = 18 ; (c) l = 14 ; (d) l = 12 ; (e) limita nu exist˘a. 27. Fie l = lim

x→∞

√ ¶√x x+ x √ . Valoarea lui l este: x− x

µ

(a) l = ∞; (b) l = −∞; (c) l = 2; (d) l = e2 ; (e) l = e.

9 28. Valoarea limitei:

ln(x2 − x + 1) x→∞ ln(x10 + x + 1)

L = lim este:

(a) L = 1; (b) L = 15 ; (c) L = −1; (d) L = 13 ; (e) L = 14 . 29. Valoarea limitei ln (1 + x + x2 ) + ln (1 − x + x2 ) x→0 x2 lim

este: (a) 3; (b) 2; (c) − 1; (d) 1; (e) 4. 30. Fie ecuat¸ia t2 + 2(x − 1)t + 4 = 0 cu r˘ad˘acinile t1 (x) respectiv t2 (x), x ∈ R ¸si fie L1 = lim xt1 (x) ¸si x→−∞

L2 = lim xt2 (x). Valorile lui L1 ¸si L2 Sunt: x→−∞

(a) L1 = ∞, L2 = ∞; (b)L1 = −∞, L2 = ∞;

(c) L1 = −∞, L2 = −2; (d) L1 = 0, L2 = −∞; (e) L1 = ∞, L2 = −2.

31. S˘a se determine: L = lim (sin(ln(x + 1)) − sin(ln x)) . x→∞

(a) L =

√ 2 ; 2

(b) L = −1; (c) L = 1;

(d) L = 0; (e) L = 12 . 32. Pentru cˆate valori ale lui n ∈ N exist˘a limita x cos x − sin x x→0 xn lim

(a) 1; (b) 2; (c) 3; (d) 4; (e) o infinitate.

˘ MATEMATICA ˘ CAPITOLUL 1. ANALIZA

10

33. S˘a se determine valoarea limitei ln x − 1 . x→e x − e lim

(a) e; (b) 1/2; (c) 3; (d) 1/e; (e) 4. 34. Dac˘a

µ ¶1 1 + |x| − x |x| , x 6= 0, x 6= 1, f (x) = 1−x

atunci: (a) (b) (c) (d)

1 lim f (x) = ; x→0,x>0 e

lim f (x) = e,

x→0,x<0

1 lim f (x) = , x→0,x<0 e

1 lim f (x) = e ; x→0,x>0 e

lim f (x) = −e,

lim f (x) = e;

x→0,x<0

lim f (x) = e,

x→0,x<0

x→0,x>0

lim f (x) = −e;

x→0,x>0

(e) lim f (x) = e. x→0

35. S˘a se calculeze lim

x→0

(a) 0;

(b) ∞;

(c) e;

(d)

µ

√ 3 e;

tg x x

¶

1 sin2 x

(e) nu exist˘a.

36. S˘a se precizeze valoarea limitei L = lim

n→∞

(a) L = ∞;

(b) L = 1;

√ n n4 + n2 + 1 + 5n .

(c) L = 5;

(d) L = 0;

(e) L = 7.

37. Funct¸ia f : (0, 1) ∪ (1, ∞) → R unde f (x) = logx (x + 1) este: (a) strict cresc˘atoare; (b) strict descresc˘atoare;

(c) strict cresc˘atoare pe (0, 1) ¸si strict descresc˘atoare pe (1, ∞);

(d) strict descresc˘atoare pe ambele intervale, dar nemonoton˘a; (e) constant˘a.

11 38. Fie funct¸iile f ¸si g definite pe R astfel ˆıncˆat f (x) = (x + 2)g(x), ∀x ∈ R, g funct¸ie derivabil˘a ˆın origine ¸si g(0) = 2, g 0 (0) = −1. Atunci valoarea lui f 0 (0) este: (a)−2; (b) 2; (c) −1; (d) 0; (e) 1. 39. Valorile lui m pentru care funct¸ia f : R → R, f(x) = mx − ln(x2 + 1) este monoton cresc˘atoare pe R sunt: (a) m ≤ 1; (b) m ∈ (0, 1] ; (c) m ≥ 1; (d) m ∈ [0, 1] ; (e) m ∈ [−1, 1] . 40. Fie f : R\ {−1, 1} → R unde f (x) = ale ecuat¸iei f (5) (x) = 0.

(a) 1;

(b) 2;

(c) 5;

(d) 6;

x+3 . Se cere num˘arul de solut¸ii x2 − 1

(e) 0.

41. Ecuat¸ia x2 − 2 ln x + m = 0, m ∈ R, admite dou˘a solut¸ii reale distincte dac˘a: (a) m > 1; (b) m < −1; (c) m ∈ R;

(d) m ∈ ∅; (e) m < 0.

42. Fie p(x) = x3 + x − m ¸si f : R → R o funct¸ie care satisface relat¸ia p(f (m)) = 0, ∀m ∈ R. Care din urm˘atoarele afirmat¸ii este fals˘a: (a) funct¸ia f este unic˘a; (b) functia f este continu˘a ¸si derivabil˘a pe R; (c) funct¸ia f este strict cresc˘atoare pe R; (d) funct¸ia f admite un singur punct de inflexiune; (e) funct¸ia f admite dou˘a puncte de inflexiune.

˘ MATEMATICA ˘ CAPITOLUL 1. ANALIZA

12

43. S˘a se determine asimptotele (orizontale, oblice ¸si verticale) pentru urm˘atoarea funct¸ie: f : D → R, D fiind domeniul maxim de definit¸ie al funct¸iei x f (x) = 2 . x −1 (a) nu admite asimptote; (b) x = 1, y = 0; (c) x = −1, x = 1, y = 0; (d) x = 1, y = −1; (e) x = 1, x = 0. 44. Pentru ce valori reale ale constantelor a, b funct¸ia f : R → R, definit˘a prin: ½ 2 2x + b, x ≤ 2, f (x) = 2ax3 + 11a, x > 2, este continu˘a pe R ¸si derivabil˘a pe R. 1 2 (a) a = 0, b = −8; (b) a = , b = −5; (c) a = , b = −2; 9 3 1 1 (d) a = , b = 1; (e) a = , b = −1. 3 3 45. Funct¸ia f (x) = xex + e−2x , x ∈ R, verific˘a egalitatea f 000 (x) + af 00 (x) + bf 0 (x) + cf (x) = 0, x ∈ R, ˆın care: (a) a = 1, b = −1, c = 2;

(c) a = 0, b = −3, c = 2;

(b) a = −1, b = −1, c = 3;

(d) a = 1, b = 0, c = 3;

(e) a = 0, b = 2, c = −3. 46. Pentru funct¸ia f (x) = ln x2 + ln (x + 1)2 domeniul maxim de definit¸ie, punctele de extrem ¸si natura lor sunt: (a) R\ {0} , x = −1 punct de maxim;

(b) R\ {−1} , x = 1 punct de minim;

(c) R, x= 12 punct de minim;

(d) R\ {−1, 0} , x = 1 punct de maxim;

(e) R\ {−1, 0} , x = − 12 punct de maxim.

13 47. Se consider˘a funct¸ia f (x) =

x2 + mx + 2 , x2 + 2x + m

unde m ∈ R este un parametru. S˘a se determine m, astfel ˆıncˆat domeniul ei de definit¸ie s˘a fie R ¸si s˘a admit˘a exact dou˘a puncte de extrem. (a) m ∈ (1, 2) ∪ (2, ∞) ;

(d) m ∈ (1, 2);

(b) m ∈ (2, ∞) ;

(e) m ∈ (−∞, 1).

(c) m ∈ (−3, ∞) ;

48. Fie funct¸ia

x2 . e1−x S˘a se determine n ∈ N∗ ¸stiind ca f (n) (1) = 57. f : R → R, f(x) =

(a) n = 6;

(b) n = 8;

(c) n = 7;

(d) n = 10;

(e) n = 12.

49. S˘a se calculeze derivata funct¸iei: ³ π π´ f: − , → R, f(x) = arccos(sin x). 2 2 (a) − ctg x; (b) cos x; (c) sin x; (d) 1; (e) − 1.

50. Fie funct¸ia f : R → R, f(x) =

½

e−x − x2 − 1, x ≤ 0 . −ex − x3 + 1, x > 0

Precizat¸i care din urm˘atoarele afirmat¸ii este adev˘arat˘a: (a) x = 0 este punct de extrem relativ ¸si punct de inflexiune; (b) x = 0 nu este punct de extrem relativ dar este punct de inflexiune; (c) x = 0 este punct de extrem relativ dar nu este punct de inflexiune; (d) x = 0 nu este nici punct de extrem relativ ¸si nici punct de inflexiune; (e) x = 0 este punct de minim relativ. 51. Dac˘a g(x) = |x| − 1, x ∈ R ¸si f = g ◦ g atunci:

(a) x = −1 ¸si x = 1 sunt puncte de minim relativ pentru f ;

(b) x = −1 este punct de maxim relativ pentru f ¸si x = 1 este punct de minim relativ pentru f ;

˘ MATEMATICA ˘ CAPITOLUL 1. ANALIZA

14

(c) x = −1 ¸si x = 1 sunt puncte de maxim relativ pentru f ;

(d) x = −1 este punct de minim relativ pentru f ¸si x = 1 este punct de maxim relativ pentru f ; (e) x = −1 ¸si x = 1 nu sunt puncte de extrem pentru f.

x + m −x e , ˆın care x+2 m este parametru real. S˘a se precizeze valorile lui m pentru care f are dou˘a puncte de extrem. ¤ ¡ ¢ ¡ (a) m ∈ [2, 6]; (b) m ∈ −∞, 23 ; (c) m ∈ 23 , 6 ; ¢ ¡ (d) m ∈ (−∞, 2) ∪ (6, ∞); (e) m ∈ −∞, 23 ∪ (6, ∞).

52. Se d˘a funct¸ia f : R \ {2} → R, definit˘a prin f (x) =

53. Dac˘a

f (x) =

½

e−x + ax2 + b, x ≤ 0 aex + bx3 + 1, x > 0,

atunci exist˘a derivata f 0 : R → R continu˘a pe R dac˘a: (a) (a, b) = (−1, −1); (b) (a, b) = (−1, 1); (c) (a, b) = (1, −1); (d) (a, b) = (1, 1); (e) (a, b) = (2, 1). 54. S˘a se precizeze valorile reale ale lui m astfel ca funct¸ia f : R → R, f (x) =

mex − (1 + m) e−x 1 + ex

s˘a fie strict monoton˘a pe R. (a) m ∈ [0, ∞) ; (d) m ∈ R;

(b) m ∈ [0, 1] ;

(c) m ∈ (−∞, −1] ∪ [0, ∞) ;

() m ∈ {0, 1} .

55. S˘a se calculeze derivata funct¸iei: f : (0, π) → R, f(x) = arctg

r

1 − cos x . 1 + cos x

(a) x; (b) 2x; (c) 12 ; (d) x2 ; (e) 1. 56. Fie A = {a ∈ R | e4x ≥ 4x3 + a2 x + 1, ∀x ∈ R} . Atunci: (a) A = ∅; (b) A = {2} ; (c) A = {−2, 2} ; (d) A = (−1, 1) ; (e) A = R .

15 57. S˘a se calculeze derivata funct¸iei: f : (0, π) → R, f(x) = arcsin(cos x). (a) x2 ; (b) − sin x; (c) x; (d) 12 ; (e) − 1. 58. Dac˘a I este un interval deschis ¸si nevid ˆın R, a ∈ I este un punct de minim relativ al unei funct¸ii f : I → [0, ∞) ¸si g(x) = f 2 (x), x ∈ I, atunci: (a) a este un punct de minim relativ al funct¸iei g; (b) a este un punct de maxim relativ al funct¸iei g; (c) a nu este punct de extrem relativ al funct¸iei g. (d) a este un punct de minim relativ al funct¸iei (−g); (e) a este un punct de maxim relativ al funct¸iei f + g. 59. Funct¸ia

⎧ µ ¶ x1 ⎪ (a + b)x + 1 ⎪ ⎪ , x<0 ⎪ ⎪ ⎨ bx + 1 1, x = 0 f (x) = ⎪ ¶1 µ ⎪ ⎪ ax2 + bx + 1 x2 ⎪ ⎪ , x>0 ⎩ bx + 1

este continu˘a ˆın x = 0 dac˘a:

(a) (a, b) = (1, −1); (b) (a, b) = (1, b), b ∈ R; (c) (a, b) = (0, b), b ∈ R; (d) (a, b) = (−1, b), b ∈ R; (e) (a, b) = (1, 1). 60. Pentru ce valori ale parametrului real m, funct¸ia f (x) =

(m + 1)ex + me−x 1 + e−x

satisface condit¸iile: i) este cresc˘atoare pe (−∞, ∞) ,

ii) este descresc˘atoare pe (−∞, ∞) . (a) i) m > −1; ii) m < −2; (b) i) m > −2; ii) m ≤ −2;

˘ MATEMATICA ˘ CAPITOLUL 1. ANALIZA

16

(c) i) m > 0; ii) m ∈ (−1, 0); (d) i) m ∈ [−1, 0] ; ii) nu exist˘a m cu proprietatea cerut˘a; (e) i) m ∈ [1, 0] ; ii) m ∈ (−∞, 0). 61. Fie A mult¸imea punctelor de continuitate ¸si B mult¸imea punctelor de derivabilitate ale funct¸iei: ⎧ x ⎪ , x ∈ (−∞, 0] ⎨ x−1 f (x) = . x ln x, x ∈ (0, 1) ⎪ ⎩ x 1 e − e , x ∈ [1, ∞) S˘a se precizeze mult¸imile A ¸si B.

(a) A = R\ {0, 1} , B = R\ {0, 1}; (b) A = R\ {0} , B = R\ {0, 1}; (c) A = R\ {1} , B = R\ {0, 1}; (d) A = R, B = R\ {0, 1}; (e) A = R, B = R. 62. Pentru ce valori ale parametrului real m, funct¸ia f (x) =

mex − (m + 1)e−x 1 + ex

este cresc˘atoare pe tot domeniul s˘au de definit¸ie?

£ ¤ (a) m ≥ 0; (b) m ∈ [0, 1]; (c) m ≥ 1; (d) m ≤ 0; (e) m ∈ 0, 12 .

63. Precizat¸i valorile parametrului real m, funct¸ia

mex + (m − 1)e−x f (x) = 1 + e−x satisface condit¸iile: i) f 0 (ln 2) = 0; ii) este descresc˘atoare pe (−∞, ∞) . (a) i) m = 12 ; ii) m ∈ [0, 1]; (b) i) m = − 17 ; ii) m ∈ [0, 1];

17 (c) i) m = −2; ii) m ∈ [1, 2]; (d) i) m = 3; ii) m ∈ [−1, 1]; (e) i)m = 34 ; ii)m ∈ [1, ∞) . 64. Fie f : (−1, 1) \ {0} → R,f (x) =

µ

2 |x| − x (x + 1)2

1 ¶ ln|x|

¸si l = lim f (x) . x→0

Atunci: (a) l = −1; (d) l = e;

(b) nu exist˘a limit˘a ;

(c) l = 1;

(e) l = +∞.

65. Fie f : R → R,f (x) = Atunci:

½

ex − x − 1, x ≤ 0 . x3 − 3x2 , x > 0

(a) f e strict cresc˘atoare pe (0, +∞) ; (b) x = 0 e punct critic ¸si nu e punct de extrem local; (c) x = 2 e punct de maxim local (d) min f (x) = −3; x∈R

(e) f nu e derivabil˘a ˆın x = 0. 66. S˘a se precizeze: i) monotonia funct¸iei µ ¶x+1 1 f : (0, ∞) → R,f (x) = 1 + . x

¡ ¢n+1 pentru n ≥ 1. ii) monotonia ¸si convergent¸a ¸sirului an = 1 + n1 (a) i) f e cresc˘atoare; ii) (an ) este cresc˘ator ¸si lim an = e. n→∞

(b) i) f e cresc˘atoare; ii) (an ) este cresc˘ator ¸si lim an = 1e . n→∞

(c) i) f e descresc˘atoare; ii) (an ) este descresc˘ator ¸si lim an = e. n→∞

˘ MATEMATICA ˘ CAPITOLUL 1. ANALIZA

18

(d) i) f e descresc˘atoare; ii) (an ) este cresc˘ator ¸si lim an = e. n→∞

(e) i) f e cresc˘atoare; ii) (an ) este descresc˘ator ¸si lim an = e. n→∞

67. Fie funct¸ia f : R \ {1, 2, 3, 4} → R, f(x) =

1 1 1 1 + + + + 5. x−1 x−2 x−3 x−4

Atunci: (a) Graficul lui f nu intersecteaz˘a axa Ox. (b) Graficul lui f intersecteaz˘a axa Ox ˆıntr-un punct. (c) Graficul lui f intersecteaz˘a axa Ox ˆın dou˘a puncte. (d) Graficul lui f intersecteaz˘a axa Ox ˆın trei puncte. (e) Graficul lui f intersecteaz˘a axa Ox ˆın patru puncte. 68. Fie

x2n − x2 + 6 . n→∞ x2n + x2 + 4

f : R → R, f (x) = lim Atunci (a) f este constant˘a pe R;

(b) x = 0 este punct unghiular pentru f ;

(c) f este discontinu˘a ˆın x = −1;

(d) f este derivabil˘a ˆın x = 1;

(e) max f (x) = f (0) . x∈R

69. Fie f : R → (−∞, 0) o funct¸ie derivabil˘a pe R. Fie a ∈ R un punct critic al funct¸iei f, f 0 (x) ≥ 0 pentru x ∈ (−∞, a] , f 0 (x) ≤ 0 pentru x ∈ [a, ∞) ¸si g(x) = f 2 (x), x ∈ R. Atunci: (a) a este punct de maxim relativ pentru f ¸si minim relativ pentru g. (b) a este punct de maxim relativ pentru f ¸si g. (c) a este punct de minim relativ pentru f ¸si g. (d) a este punct de minim relativ pentru f ¸si maxim relativ pentru g. (e) a nu este punct de extrem pentru f ¸si g. 70. Fie (xn )n∈N ¸si (yn )n∈N dou˘a ¸siruri de numere rat¸ionale ce verific˘a relat¸ia ³ √ √ ´n 3 + 7 = xn + yn 7, ∀n ∈ N.

19 xn atunci: n→∞ yn

Dac˘a l = lim (a) l = 1;

(b) l = 0;

(c) l =

√ 3;

(d) l =

71. Fie

√ 7;

(e) l = 3.

1 + xn (x2 + 4) . n→∞ x (xn + 1)

f : (0, +∞) → R, f (x) = lim Atunci: (a) f e continu˘a pe (0, +∞) ;

(b) x = 2 este punct critic pentru f dar nu este de extrem local; (c) x = 1 este punct unghiular; (d)

max f (x) = 1;

x∈(0,+∞)

(e) f e strict descresc˘atoare pe (0, 1) .

72. S˘a se determine derivata funct¸iei µ f (x) = 1 +

1 x+1

¶x

,x ≥ 0

¸si s˘a se ¡ precizeze ¢n dac˘a f este monoton˘a. S˘a se studieze monotonia ¸sirului 1 an = 1 + n+1 ¸si s˘a se afle lim an . n→∞

¡ (a) f 0 (x) = x 1 +

¢x £ ¡ 1 ln 1 + x+1

1 x+1

(an )n∈N cresc˘ator ¸si lim an = e; n→∞

¢

¡ ¢x h ¡ ¢ 1 1 ln 1 + x+1 (b) f 0 (x) = 1 + x+1 − (an )n∈N cresc˘ator ¸si lim an = e;

−

1 x+2

¤

, f (x) cresc˘atoare, ¸sirul

x (x+1)(x+2)

n→∞

¢x £ ¡ ¢ ¡ 1 1 ln 1 + x+1 + (c) f 0 (x) = 1 + x+1 1 (an )n∈N descresc˘ator ¸si lim an = e ; n→∞

x x+2

¤

i

, f (x) cresc˘atoare, ¸sirul

, f (x) descresc˘atoare, ¸sirul

i ¡ ¢x h ¡ ¢ 1 1 x ln 1 + x+1 − (x+1)(x+2) , f (x) descresc˘atoare, (d) f (x) = 1 + x+1 ¸sirul (an )n∈N descresc˘ator ¸si lim an = e; 0

n→∞

¡ ¢x h ¡ 1 (e) f 0 (x) = 1 + x+1 ln 1 +

(an )n∈N descresc˘ator ¸si

¢

1 x − (x+1)(x+2) x+1 lim an = 1e . n→∞

i

, f (x) cresc˘atoare, ¸sirul

˘ MATEMATICA ˘ CAPITOLUL 1. ANALIZA

20

73. S˘a se studieze monotonia funct¸iei f : [2, ∞) → R, f (x) = x cos

π − x, (∀) x ≥ 2. x

(a) f este strict descresc˘atoare pe [2, ∞); (b) f este strict cresc˘atoare pe [2, ∞);

(c) f este strict cresc˘atoare pe [2, 4] ¸si strict descresc˘atoare pe [4, ∞);

(d) f este strict cresc˘atoare pe [2, 8] ¸si strict descresc˘atoare pe [8, ∞);

(e) f este strict descresc˘atoare pe [2k, 2k + 1] ¸si strict cresc˘atoare pe [2k + 1, 2k + 2], (∀) k ∈ N∗ . 74. S˘a se determine asimptotele funct¸iei f : R\ {−1, 0} → R, f (x) =

x2 1/x e . x+1

(a) Asimptote verticale x = −1, x = 0; (b) Asimptot˘a vertical˘a x = −1;

(c) Asimptote verticale x = −1, x = 0 ¸si asimptot˘a orizontal˘a y = −1; (d) Asimptote verticale x = −1, x = 0 ¸si asimptot˘a oblic˘a y = x;

(e) Asimptote verticale x = −1, x = 0 ¸si asimptote oblice y = x + 1, y = x − 1. 75. Fie f : R→R, f (x) =

p 3 x2 + (a − 2) x − a + 2.

Valorile parametrului real a pentru care domeniul de derivabilitate al funct¸iei f coincide cu domeniul de definit¸ie sunt date de: (a) a ∈ R\ {−2, 2} ; (b) a ∈ (−∞, −2) ∪ (2, ∞) ;

(c) a ∈ (−2, 2) ; (d) a ∈ (−∞, −2]; (e) a ∈ [2, +∞). 76. Pentru ce valori ale lui x > 0 are loc inegalitatea ¡ ¢ x arctg x > ln 1 + x2 ?

(a) x ∈ (0, π/2) ; (b) x ∈ (0, 2π) ; (c) x ∈ (1, ∞) (d) x ∈ (0, 1) ∪ (e, ∞) ; (e) x ∈ (0, ∞) .

21 77. Se consider˘a funct¸ia f : R→R, ⎧ 21 ⎪ ⎪ x+ , x<1 ⎪ ⎪ 2 ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ 25x ⎪ ⎨ − 1, x ∈ [1, 2] x2 + 1 f (x) = ⎪ ⎪ (x + 1)2 ⎪ ⎪ ⎪ , x ∈ (2, 3] ⎪ ⎪ x−1 ⎪ ⎪ ⎩ 8, x > 3.

S˘a se studieze continuitatea ¸si derivabilitatea lui f pe R.

(a) f este continu˘a pe R ¸si derivabil˘a pe R\ {1, 3} ; (b) f este continu˘a pe R\ {3} ¸si derivabil˘a pe R\ {1, 3} ; (c) f este continu˘a pe R\ {3} ¸si derivabil˘a pe R\ {1, 2, 3} ; (d) f este continu˘a pe R ¸si derivabil˘a pe R\ {1} ; (e) f este continu˘a pe R ¸si derivabil˘a pe R\ {1, 2} . 78. Se consider˘a funct¸ia ¾ ½ x2 + ax 2 →R, f (x) = . f : R\ − b bx + 2 Determinat¸i a, b ∈ R, b 6= 0, astfel ˆıncˆat extremele funct¸iei f s˘a aib˘a loc pentru x = −8 ¸si x = 4. (a) a = 2, b = −1; (b) a = −16, b = 1; (c) a = 8, b = 0; (d) a = −1, b = 2; (e) a = 4, b = −4. 79. Se consider˘a funct¸ia f : R→R, f (x) =

½

sin x , x

pentru x 6= 0, 1, pentru x = 0.

¸si a = f 0 (0), b = f 00 (0). Atunci: (a) a = 0, b = −1; (b) a = 0, b = 13 ; (c) a = 0, b = ∞; (d) a = 1, b = − 13 ; (e) a = 0, b = 0 .

˘ MATEMATICA ˘ CAPITOLUL 1. ANALIZA

22

80. Care este cea mai mic˘a valoare a funct¸iei f : R → R, definit˘a prin: ³ ´ √ 2 f (x) = ln 1 + 1 + x ? (a) −3 ln 2; (b) ln 2, 5; (c) 0; (d) ln 2; (e) ln(1 + e).

81. Valoarea integralei definite: I=

Z0

−1

1+x dx. (1 − x)2

este: e e 3 (a) ; (b) ln ; (c) arctg 2; (d) ; (e) 1. 4 2 2 82. Fie funct¸ia: f : (1, ∞) → (0, ∞) , f (x) = ¸si I(a) =

Za

1 f 2 (x)

r

x3 − 1 x

dx, a > 2. Atunci lim I(a) este: a→∞

2

√ 3π + 16 ln 7;

√1 ( π 3 2

(a)

1 6

(c)

√1 ( π 3 2

+ arctg √53 ) + 16 ln 7;

(e)

√1 ( π 3 2

− arctg √53 ).

(b)

− arctg √53 ) + 16 ln 7; (d)

√1 ( π 3 2

− arctg √53 ) − 16 ln 7;

83. Valoarea integralei π

Z2

0

este: (a) 23 ; (b) 1; (c) 13 ; (d)

¢ ¡ 3 cos x + sin3 x dx 2π ; 3

(e) 43 .

84. Valorea integralei Z1

−1

t2 (1 − et ) dt 1 + et

23 este: (a) 1;

(b) e;

(c) e−1 ;

(d) 0;

(e) ln 2. xF (x) . x→∞ f (x)

2

85. Fie f : R → R, f (x) = ex ¸si F o primitiv˘a a lui f. Se cere lim (a) ∞; (b) 0; (c) 12 ; (d) 1; (e) e. 86. Valorea integralei Z

xdx , x ∈ (−a, ∞) , a 6= 0. (x + a)3/2

este:

µ ¶ √ 1 x+a+ √ (a) 2 + c; x+a x − 2a + c; (c) √ x+a

(d)

µ ¶ √ a x+a− √ (b) 2 + c; x+a

2x+a+1 √ +c ; 3 x+a

x + 2a (e) 2 √ + c. x+a

87. Valorea integralei π

I=

Z2

sin x dx. 1 + cos2 x

0

este: (a) I = 1; (b) I = ln 2; (c) I = π2 ; (d) I = π4 ; (e) I = − π4 . 88. Fie I=

Z1 0

4x3 − 6x2 + 8x − 3 dx. (x2 − x + 1)3

Atunci: (a) I = 6; (b) I = 3; (c) I = 0; (d) I = 4; (e) I = 2. 89. Valorea integralei I= este:

Z

ln x dx pentru x > 0. x2

˘ MATEMATICA ˘ CAPITOLUL 1. ANALIZA

24

(a) I = 12 ln2 x + C; (b) I = 12 ln2 x; (c) I = − x1 − x1 ln x + C;

(d) I = − x1 + x1 ln x + C; (e) I =

1 x

− x1 ln x + C.

90. Valorea integralei I= este:

Z

dx p x 4 + ln2 x

pentru

x > 0.

p √ a) I = ln(ln xp + 4 + ln2 x) + C; (b) I = ln(x + 4 + x2 ) + C; (c) I = ln(ln x − 4 + ln2 x) + C; p (2 ln x + 8) (d) I = √ + C; (e) I = ln(ln x + 4 − ln2 x) + C. ln x + 4

91. Valorea integralei

Z

cos x dx sin x − 2 cos x ³ π π´ pe care este adev˘arat˘a ¸si intervalul de lungime maxim˘a, inclus ˆın − , 2 2 formula g˘asit˘a sunt: 2 (a) I = 15 ln(2 cos x − sin x) − x + C, intervalul de lungime maxim˘a 5 ´ ³ π − , arctg 2 ; 2 2 (b) I = 15 ln(2 cos x − sin x) − x + C, intervalul de lungime maxim˘a 5 ³ π´ ; arctg 2, 2 2 (c) I = 15 ln(2 cos x + sin x) − x + C, intervalul de lungime maxim˘a 5 ³ π´ arctg 2, ; 2 2 (d) I = 15 ln(2 cos x − sin x) − x + C, intervalul de lungime maxim˘a 5 ³ π π´ ; − , 2 2 2 (e) I = 15 ln(2 cos x + sin x) − x + C, intervalul de lungime maxim˘a 5 ³ π π´ . − , 2 2 I=

25 92. Valorea integralei I=

Z

(x2

dx . + 1)2

este: x + C; 2(x2 + 1) x (b) I = 12 arctan x − + C; 2 2(x + 1) (a) I = 12 arctan x +

(c) I = 12 arctan x + C; x ; + 1) x (e) I = − 12 arctan x + + C. 2 2(x + 1)

(d) I = 12 arctan x +

2(x2

93. Valorea integralei I= este:

Z

x+1 dx (x2 + 2x + 5)2

x 1 + C; 2 x2 + 2x + 5 1 x (b) I = − 2 + C; 2 x + 2x + 5 1 x (c) I = + C; 2 2 x + 2x + 5 1 x (d) I = − 2 ; 2 x − 2x + 5 x 1 + C. (e) I = − 2 2 x − 2x + 5 (a) I =

94. Valorea integralei I= este:

Z

1 √ dx 2 x +1+x

´ x√ 2 x√ 2 1 ³ x√ 2 x + 1 + C; (b) I = x + 1 + ln x + x + 1 + C; (a) I = 2 2 2 2 ´ x2 x√ 2 1 ³ x√ 2 (c) I = x + 1 + ln x + x +1 − + C; 2 2 2 2

˘ MATEMATICA ˘ CAPITOLUL 1. ANALIZA

26

³ ´ x√ 2 2 x + 1 − x2 + C; (d) I = 12 ln x + 2 ´ x2 x√ 2 x√ 2 1 ³ (e) I = + C. x + 1 + ln x + x +1 + 2 2 2 2

95. Valorea integralei

I= este:

Z µ

x+1 x+2

¶2

dx

(a) I = x + ln(x + 2) + C; (b) I = x − ln (x + 2) + C; (c) I = ln (x + 2) −

1 x+2

+ C;

(d) I = x − 2 ln (x + 2) − (e) I = 2 ln (x + 2) − 96. Fie I =

Z2

1 x+2

1 x+2

+ C;

+ C.

f (x)dx, unde f : [0, 2] → R este definit˘a de

0

© ª f (x) = ex max 1, x2 .

Atunci:

(a) I = e2 − 1; b) 2(e2 − 1); (c) e2 − 2; (d) 3(e2 − 1); (e) 2e2 − 1. 97. Fie I =

Z2

f (x)dx, unde f : [0, 2] → R este definit˘a de

0

½ f (x) = min x,

2 1 + x2

¾

.

Atunci: 1 π 1 + 2 arctg 2 − ; b) I = + 2 arctg 2; (c) I = 2; 2 2 2 π (d) I = 2 arctg 2; (e) I = 2 arctg 2 − . 2

(a) I =

27 98. Fie f : [−1, 1] → R, f (x) = max {ex , e−x } .Valoarea integralei I=

Z1

f (x) dx este :

−1

(a) I = 0; (b) I = 1; (c) I = 2 (e − 1); (d) I = 3; (e) I = 4. 99. Valoarea integralei

Ze

ln x dx. x

1

este: (a) 2; (b) 1; (c) 1/2; (d) 0; (e) 3. 100. S˘a se determine valoarea integralei Z3

tdt . 1 + t2

2

(a)

1 ln 3 3 ln 2 ; (b) ; (c) ; (d) ; (e) 2. 2 3 3 2

101. S˘a se calculeze

π

Z4

cos xdx . 1 + sin2 x

0

√ √ 2 3 1 1 . (a) ; (b) ; (c) arctg 3; (d) arctg √ ; (e) arctg 2 2 2 3 102. Valoarea integralei Z4

dx √ 1+ x

0

este: (a) 3; (b) 2 − 2 ln 2; (c) 3 + 2 ln 2; (d) 4 − 2 ln 3; (e) 1.

˘ MATEMATICA ˘ CAPITOLUL 1. ANALIZA

28

103. S˘a se determine valoarea integralei: I=

Z1

√ (x + 1) x2 + 1dx.

0

(a) I =

√ √ 2 + ln(2 + 2);

(b) I =

√ 7√ 1 1 2 − + ln(1 + 2); 6 3 2 √ √ 3 7 (e) I = + ln(1 + 2) + 2. 4 6 (c) I =

104. S˘a se calculeze:

√ 3√ 2 + ln(1 + 2); 2 √ 7√ 1 (d) I = 2 + − ln(1 + 2); 6 3

Z1 √ x3 − x2 − x + 1dx. I= 0

√ √ 2 √ (a) 8 2 + 3; (b) 8 2 − 3; (c) (8 2 − 7); 15 2 √ 2 √ (d) 8 (8 2 + 7); (e) (8 2 − 3). 15 15 105. Fie funct¸ia f : R → R, definit˘a prin relat¸ia: ¢ ¡ f (x) = x2 + 4x + 5 ex .

Dac˘a x1 ¸si x2 (x1 < x2 ) sunt cele dou˘a puncte de inflexiune ale funct¸iei, s˘a se afle aria S, cuprins˘a ˆıntre graficul funct¸iei f, axa Ox ¸si dreptele de ecuat¸ie x = x1 , respectiv x = x2 . (a) 6(3 − e)e−3 ; (d) 5(e2 − 1)e;

(b) 6(e2 − 3)e−5 ;

(c) 5(e2 − 2)e−2 ;

(e) 18 + 5e3 .

106. S˘a se calculeze: I=

Z1

x arcsin xdx.

0

(a)

2π ; 3

π π (b) 1 + ; (c) ; 2 8

(d)

√ π 3+ ; 2

(e)

√ 3 + π.

29 107. Fie (In )n∈N,n≥2 ¸sirul cu termenul general In =

Zn

x−1 dx, ∀n ∈ N,n ≥ 2 x+1

In . n→∞ n

¸si l = lim

1

Atunci: 1 (b) l = ; 2

(a) l = 0;

(c) l = 1;

(d) l = −1;

(e) l = 2.

108. Fie funct¸ia f : R → R, f(x) = x−2+|x − 1|+|x − 3| . Fie F o primitiv˘a a lui f astfel ˆıncˆat F (2) = 2. Atunci F (4) este egal cu: (b) −6;

(a) 0;

(c) 8;

(d) 10;

109. S˘a se calculeze: I=

Z1 0

µ ¶ 8 1 1 1 ln − arctg ; (a) I = 5 5 2 2 µ ¶ 16 1 1 ln + arctg ; (c) I = 10 5 2 (e) I = ln

32 . 5

(e) 9.

dx , + + 4x + 4 µ ¶ 1 16 1 (b) I = ln − arctg ; 10 5 2 µ ¶ 1 16 1 (d) I = − ln + arctg ; 10 5 2

x3

x2

110. S˘a se determine valoarea integralei I =

(a) I =

π2 ; 4

(b) I = 0;

(c) I =

π ; 2

Zπ

x · sin x dx. 1 + cos2 x 0 √ π 2 π2 (d) I = ; (e)I = ; 2 8

111. Valoarea integralei: Z 2x + 3 dx, n ∈ N ∗ In = x(x + 1)(x + 2)(x + 3) + n + 1 este: 2

+ C; (a) arctg x √+3x n (d)

√1 n

2 +3x+1

arctg x

√ n

(b) ln|x2 + 3x + n| + C; + C;

2 +3x+2

(e) arctg x

√ n

(c)

+ C.

√1 n

2

arctg x √+3x ; n

˘ MATEMATICA ˘ CAPITOLUL 1. ANALIZA

30

112. Pentru a ∈ (1, 3) valoarea integralei I=

Z3 1

dx , |x − a| + 1

este: (a) I = ln [a(4 − a)] ;

; (d) I = ln 4−a 2−a

(b) I = ln(4 − a);

(e)I = ln [(2 − a)(4 − a)] ;

(c) I = ln [a(a − 4)] ;

113. Se cosider˘a funct¸ia f (x) =

x3

1 1 − ; x 6= −1. + x + 2 4(x + 1)

S˘a se calculeze I=

Z1

f (x)dx.

Za

xdx √ , x+a

0

√ 3 7 1 3 1 ; (a) I = √ arctg √ ; (b) I = √ arcsin √ ; (c) I = 2 2 7 7 7 7 √ √ 2 1 7 + arctg √ . (d) I = √ + ln(1 + 7); (e) I = 2 7 7 114. S˘a se calculeze I=

0

unde a > 0 este o constant˘a. √ √ √ √ (a) I = (2 − 2)a 2; (b) I = 23 (2 + 2)a a; √ √ √ (c) I = 23 (2 − 2)a a; (d) I = (2 + 2)a2 ; √ √ (e) I = (2 − 3)(a + a). 115. Integrala I=

Z

a

−a

unde a > 0 este dat, este egal˘a cu:

x2 dx √ , x2 + a2

31 p √ √ √ ¡ ¢ (a) I = a2 2 − a2 ln 3 + 2 2; (b) I = a2 1 + 1 + a2 ; √ √ a2 ; (d) I = 2a2 2 − a2 arctg (2/a) ; (c) I = 2a2 2 − √ 1 + a2 √ (e) I = a2 2 − a2 π/2. 116. Se consider˘a funct¸ia ∙µ ¶x ¸ 1 x f : [−1, 1] → R, f (x) = max ,3 . 3 Atunci valoarea integralei I =

Z1

f (x) dx este:

−1

(a) 2/ ln 3; (b) −2/ ln 3; (c) 4/ ln 3; (d) −4/ ln 3; (e) 9 − (1/9) . 117. Se consider˘a funct¸ia x2n + x3 + x . n→∞ x2n−1 + x2 + 1

f : [0, ∞] → R, f (x) = lim Atunci valoarea integralei I =

Z2

f (x) dx este:

1 2

(a) 3/2; (b) 15/8; (c) 17/8; (d) 0; (e) -2/3. 118. Valoarea integralei I =

π/4 Z

cos2 xdx este:

π/6

π (a) cos ; (b) sin2 8 √ 3 1 π + − ; (d) 12 4 8

√ π 1 π 2 ; (c) + + ; 8 3 4 4 √ 3 π 1 (e) + − . 24 4 8

119. Valoarea parametrului a ∈ R pentru care are loc relat¸ia Zπ 0

(x2 + ax) sin nxdx =

π2 , ∀n ∈ N∗ , n

˘ MATEMATICA ˘ CAPITOLUL 1. ANALIZA

32 este:

(a) a = 2π; (b) a = −2π; (c) a = 3π; (d) a = −3π; (e) a = 0. 120. S˘a se determine num˘arul p al perechilor ordonate (m, n) ∈ R2 astfel ˆıncˆat Z2 3 P (x) = x − 3mx + n s˘a aib˘a o r˘ad˘acin˘a real˘a dubl˘a ¸si P (x)dx = 2. 0

(a) p = 1; (b) p = 3; (c) p = 0; (d) p = 4; (e) p = 2. 121. Fie funct¸ia f : RÂ {2} → R, f (x) =

x2 − 1 . (x − 2)2

Aria cuprins˘a ˆıntre graficul funct¸iei f ¸si dreptele x = 3 ¸si x = 4 este: (a) ln 2 + 52 ; (b) 4 ln 2 + 52 ; (c) ln 2 + 5; (d) 52 ; (e) 4 ln 2. 122. Lungimea graficului funct¸iei f (x) = ln x cuprins ˆıntre x = 1 ¸si x = e este: √ √ √ √ 2 + 1 + 1 + ln 1+ √ 2 − 1; (b) √ 2 − e 2; (a) ln 1+1+ e2 +1 1+ e2 +1 √ √ √ √ √ 2 ;(d) ln 1+ √ 2 − (c) e2 + 1 + 1 + ln 1+1+ 2; 2 2 e +1 1+ e +1 √ (e) e2 + 1 + 1. √ 123. Lungimea graficului funct¸iei f (x) = x x cuprins ˆıntre x = 0 ¸si x = 1 este: √ √ √ √ 13+8 (a) 4 32−2 ; (b) 4 32+2 − 2; (c) 13 27 ; (d)

√ 5 5−8 ; 3

(e)

√ 13 13−8 . 27

124. Coordonatele centrului de greutate al pl˘acii omogene, definit˘a prin x2 + y 2 = R2 , x ≥ 0, y ≥ 0 sunt: ¡ ¢ ¡ ¢ (a) (0.0) ; (b) R2 , R2 ; (c) 4R , 4R ; 3π 3π ¡R R¢ ¡ ¢ 3R (d) 2π , 2π ; (e) 3R , . 4π 4π

33 125. Folosind sume Riemann, s˘a se calculeze: µ ¶ 1 1 1 lim √ . +√ + ··· + √ n→∞ n2 + n n2 + 2n n2 + n2 √ √ √ (a) 2( 2 − 1); (b) 2 2; (c) 2 − 1; (d)

√ 2 ; 2

(e) 2 +

√ 2.

126. Aria domeniului plan cuprins ˆıntre parabolele de ecuat¸ii y 2 = 2x ¸si x2 = 2y este: (a) 0; (b) 43 ; (c) 1; (d) 13 ; (e) ∞. 127. Aria domeniului plan cuprins ˆıntre parabolele de ecuat¸ii y 2 = ax ¸si x2 = by, unde a ¸si b sunt constante reale pozitiv, este: (a) 2ab; (b) a2 b; (c) ab2 ; (d) ab; (e)

ab . 3

128. Fie f : (0, π) → R, f(x) = (cos x) · ln(sin x). Aria mult¸imii cuprinse ˆıntre graficul lui f, axa Ox ¸si dreptele de ecuat¸ii x = π4 , x = π2 este: (a) 1 −

√ 2 2

(d) −1 +

−

√ 2 2

√ 2 4

+

ln 2;

√ 2 4

ln 2;

(b) −1 + (e) 1 −

√ 2 2

+

√ 2 4

ln 2;

√ 2 2

+

√ 2 4

ln 2.

(c) 1 +

√ 2 2

−

√ 2 4

ln 2;

129. Calculat¸i volumul corpului de rotat¸ie obt¸inut prin rotirea ˆın jurul axei Ox a subgraficului asociat funct¸iei f : [0, a] → R, f (x) = (a) V = πa3 (e − e−1 + 2) /8; ¡ ¢ (b) V = aπ e1/a + e−1/a /2;

¢ a ¡ x/a e + e−x/a , cu a > 0 dat. 2

(c) V = πa2 (2e2 /a − 2e−2 /a + 2) /4; ¢ ¡ (d) V = πa2 e1/a − e−1/a + 1 /4;

(e) V = πa3 (e2 − e−2 + 4) /8.

˘ MATEMATICA ˘ CAPITOLUL 1. ANALIZA

34

130. Fie f : [0, 2π] → R o funct¸ie continu˘a, descresc˘atoare, f (π) = 0 ¸si F o Z2π primitiv˘a a sa, iar I = F (x) cos xdx. Atunci: 0

(a) I = 0; (b) I ≤ 0; (c) I ≥ 0; (d) I < 0; (e) I > 0. 131. Fie funct¸ia f : R → R continu˘a ¸si derivabil˘a pentru care exist˘a o primitiv˘a a lui f astfel ˆıncˆat 3F (x) = x(f (x)+x4 ), ∀x ∈ R. S¸tiind c˘a f (1) = 1, s˘a se precizeze valoarea lui f (2). (a) f (2) = 26; (b) f (2) = −26; (c) f (2) = −36; (d) f (2) = 36; 132. Fie In =

Z1

(e) f (0) = −40.

√ x2n 1 − x2 dx. Se cere lim In . n→∞

0

(a) 1; (b)

π ; 2

(c)

√ 2; (d) 0; (e) ∞.

133. Funct¸ia f = f (x) are derivata de ordinul trei continu˘a pe [a, b] ¸si f (a) = f (b) = 0, f 0 (a) = f 0 (b). Valoarea integralei: I=

Zb

f (x)f 000 (x)dx,

a

este: (a) I = a+b; (b) I = b −a; (c) I = 0; (d) I =

a+b ; 2

(e) I =

√ b − a.

134. Funct¸iile f = f (x) ¸si g = g(x) au derivate de ordinul doi continue pe R. Valoarea integralei: Z I(x) = f (x)g 00 (x)dx, este:

0

0

(a) I(x) = f (x)g (x) − f (x)g(x) + 0

(b) I(x) = f (x)g(x) − f (x)g(x) + (c) I(x) = 0;

Z

Z

f 00 (x)g(x)dx; f 00 (x)g(x)dx;

35 Z

0

(d) I(x) = f (x)g (x) − f (x)g(x) + 0

0

(e) I(x) = f (x)g (x) − f (x)g(x) +

f 00 (x)g(x)dx;

Z

f 0 (x)g(x)dx.

135. Fie f : [a, b] → [c, d] (a < b, c < d) o funct¸ie inversabil˘a ¸si derivabil˘a cu derivata continu˘a. Atunci expresia

E=

Zb

f (x) dx +

a

fZ(b)

f −1 (y) dy

f (a)

este egal˘a cu: (a) E = bf (a) − af (b) ; (b) E = bf (b) − af (a) ;

(c) E = bf −1 (c) − af −1 (d) ; (d) E = f 0 (b) − f 0 (a) ; (e) E = 1 + f (b) − f (a) .

136. S˘a se determine valoarea limitei

lim

x→0

(a) 0;

(b) ∞;

Z

x

sin t2 dt 0

.

x3

(c) nu exist˘a; (d) 1;

(e) 13 .

137. S˘a se determine valoarea limitei 1 x→0 x2 lim

4 +1 xZ

1 dt. t

x2 +1

(a) 0;

(b) 1;

(c) 12 ; (d) − 1;

(e) − 12 .

138. Definim ¸sirul (an )n∈N astfel: an =

2 (n+1) Z

dx √ , n ≥ 1. x(1 + x)

n2

S˘a se determine expresia lui (an )n∈N , lim an ¸si lim nan . n→∞

n→∞

˘ MATEMATICA ˘ CAPITOLUL 1. ANALIZA

36 2

(n+1) , lim an = 0, lim nan = 0; (a) an = 2 ln n(n+2) n→∞

n→∞

2

(n+1) , lim an = 0, lim nan = 1; (b) an = 4 ln n(n+2) n→∞

n→∞

(c) an = ln n+2 , lim an = 0, lim nan = 0; n+1 n→∞

n→∞

(n+1)2

(d) an = 2 ln n(n+2) , lim an = 0, lim nan = ∞; n→∞

n→∞

2

(n+1) , lim an = 0, lim nan = 0. (e) an = ln n(n+2) n→∞

n→∞

139. Definim ¸sirul (an )n∈N astfel: an =

Zn

(x + 4)dx , n ≥ 1. x2 + 3x + 2

n−1

S˘a se determine a = lim (n + n→∞

(a) a = 0;

(b) a = 1;

√ n + 3)an .

(c) a = 12 ;

(d) a = ∞;

(e) a = 2.

Capitolul 2 Subiecte date la admitere 2.1

Subiecte 2006

1. Fie funct¸ia: f : [−1, a] → R, f (x) = |3x − 2| − 5, a > 1.

S˘a se determine valoarea maxim˘a a astfel ˆıncˆat f s˘a ˆındeplineacs˘a condit¸iile din teorema lui Rolle. 1 2 (a) a = 0; (b) a = 1; (c) nu exist˘a; (d) a = ; (e) a = . 3 3

2. S˘a se determine valoarea limitei Zx sin t2 dt lim

x→0

0

x3

(a) 1; (b)

.

1 ; (c) 0; (d) ∞; (e) nu exist˘a. 3

3. Fie x2 + 1 . x2 + ax + a unde D este domeniul maxim de definit¸ie. S˘a se determine a astfel ˆıncˆat graficul funct¸iei s˘a admit˘a o singur˘a asimptot˘a vertical˘a. f : D ⊂ R → R, f (x) =

(a) a ∈ {0, 4} ; (b) a = 0; (c) a = 2; (d) a = 1; (e) a ∈ (0, 4) . 4. Primitivele funct¸iei 37

38

CAPITOLUL 2. SUBIECTE DATE LA ADMITERE ¡ ¢ f : 0, π2 → R, f (x) =

1 sin x cos2 x 2

sunt:

(a) − 2 ctg 2x + C; (b) 2 tg 2x + C; (c) tg x + ctg x + C; (d) tg x + 2 ctg x + C; (e) 2 tg x − ctg x + C. 5. Fie a ∈ R, b ∈ R∗ ¸si

⎧ ³ √ ´ x−3 ⎪ √ , x ∈ 2 2, 3 ⎪ ⎪ ⎨ 1 − x2 − 8 ¢ ¡ √ 4 f : 2 2, ∞ → R, f (x) = . x − a, x ∈ [3, 4] 3 ⎪ ⎪ sin [b(x − 4)] ⎪ ⎩ , x ∈ (4, ∞) x−4 ¢ ¡ √ S˘a se determine a ¸si b astfel ˆıncˆat f s˘a fie continu˘a pe 2 2, ∞ .

13 13 , b = 1; (b) a = 1, b = 1; (c) a = , b = 4; 3 3 (d) ¡ √a = ¢1, b = 3; (e) nu exist˘a a ¸si b astfel ˆıncˆat f s˘a fie continu˘a pe 2 2, ∞ .

(a) a =

6. Se d˘a ¸sirul an = adev˘arat˘a:

(−1)n+1 , n ∈ N∗ . Care din urm˘atoarele afirmat¸ii este n2

(a) a1 = −1; (b) ¸sirul este strict cresc˘ator cu limita 1; (c) ¸sirul este strict descresc˘ator cu limita −1; (d) ¸sirul este nem˘arginit; (e) ¸sirul nu este monoton ¸si are limita 0. 7. Fie funct¸ia f : R → R, f (x) = x3 − 12x. Care din urm˘atoarele afirmat¸ii este adev˘arat˘a: (a) funct¸ia nu admite puncte de extrem local; (b) x = −2, x = 2 sunt puncte de minim; (c) x = −2, x = 2 sunt puncte de maxim; (d) x = −2 punct de maxim, x = 2 punct de minim; (e) x = −2 punct de minim, x = 2 punct de maxim.

2.2. SUBIECTE 2007

8. Fie l = lim

x→∞

µ

39

2x − 1 2x + 1

2 +2 ¶ xx−1

. Valoarea lui l este:

(a) l = 1; (b) l = ∞; (c) l = 0; (d) l = 1e ; (e) l = 9. Valoarea integralei I =

Z1

x √ dx este: 2 x +4

0

(a)

√ e.

√ √ √ 1 1 5 − 2; (b) √ ; (c) ; (d) ln 5; (e) ln( 5 + 2). 2 5

10. Mult¸imea de definit¸ie a funct¸iei √ f (x) = x2 − 4 + ln(−x + 3) este:

(a) [2, 3) ; (b) (−∞, 2] ∪ [2, 3) ; ∈ (]

(c) [1, 3] ; (d) (−∞, 3) ; (e) ∅.

2.2

Subiecte 2007

1. S˘a se determine parametrul real a astfel ˆıncˆat 2n3 + 5n2 + 7n − 2 =1 n→∞ an3 + 2n2 − n + 6 a) a = 3; b) a = 1; c) a = 2; d) a = 0; e) a = −1. lim

2. S˘a se calculeze ln (5x2 + ex ) . lim x→∞ ln (x4 + e2x ) (a) ∞; b) 0;

c)

3. Fie a ∈ R, b ∈ R ¸si

1 1 1 ; d) ; e) . 2 4 5 ⎧ ⎪ ⎪ ⎪ ⎨

ex + a, x ∈ (−1, 0] arctg x √ , x ∈ (0, 1] . f : (−1, ∞) → R, f (x) = x+ x ⎪ x−1 ⎪ −1 ⎪ ⎩ π b, x ∈ (1, ∞) x−1 S˘a se determine a ¸si b astfel ˆıncˆat f s˘a fie continu˘a pe (−1, ∞).

40

CAPITOLUL 2. SUBIECTE DATE LA ADMITERE π π π ; b) a = 1, b = ; c) a = 0, b = ; 8 ln π 8 ln π 4 ln π d) a = 0, b = 0; e) nu exist˘a a ¸si b astfel ˆıncˆat f s˘a fie continu˘a pe (−1, ∞).

a) a = 0, b =

4. Pentru funct¸ia f : R → R, f (x) = e2x+3 cos 5πx s˘a se determine f 0 (0) a) e3 ; b) 2e3 ; c) e3 sin 5π; d) −e3 ; e) nu exist˘a.

© ª x2 + ax 5. Se consider˘a funct¸ia f : R\ − 2b → R, f (x) = . Determinat¸i bx + 2 a, b ∈ R, b 6= 0, astfel ˆıncˆat punctele de extrem ale funct¸iei s˘a fie x = −8 ¸si x = 4. a) a = 2, b = −1; b) a = −16, b = 1; c) a = 8, b = 0; d) a = −1, b = 2; e) a = 4, b = −4. 6. O primitiv˘a a funct¸iei f (x) =

4x este: +1

x4

2 ; c) ln (x4 + 1); +1 d) ln (x2 + 1); e) 2 arctg x2 . a) arctg (x + 1); b)

x4

π

7. Valoarea integralei I =

Z4

cos xdx este:

π 6

√ √ √ √ 2 2 1 2 1 3 1 1 a) ; b) ; c) + ; d) − ; e) − . 2 2 2 2 2 2 2 2 8. Fie funct¸ia f : R\ {1} → R, f (x) = afirmat¸ii este adev˘arat˘a:

1 .. Care din urm˘atoarele x−1

a) x = 1 este asimptot˘a vertical˘a la graficul funct¸iei; b) x = 1 este punct de maxim pentru f ; c) f este monoton cresc˘atoare; d) graficul funct¸iei intersecteaz˘a axa Ox; e) y = x este asimptot˘a oblic˘a.

2.3. INDICAT ¸ II

41

9. Se d˘a funct¸ia f : [−1, 1] → R, f (x) = max {3−x , 3x }. Atunci valoarea integralei este: Z1 I = f (x)dx este: −1

a)

2 2 4 4 1 ; b) − ; c) ; d) − ; e) 9 − . ln 3 ln 3 ln 3 ln 3 9

x . (x − 2)2 S˘a se calculeze aria cuprins˘a ˆıntre graficul funct¸iei, axa Ox ¸si dreptele de ecuat¸ii x = 3 ¸si x = 4.

10. Fie funct¸ia f : R\ {2} → R definit˘a prin relat¸ia f (x) =

a) 1; b) 1 − ln 2; c) 1 + ln 2; d) −1 − ln 2; e) 1 − ln 7.

2.3

Indicat¸ii

Subiecte 2006 1. Funct¸ia f (x) =

½

3x − 7, x ≥ 23 , −3x − 3, x > 23 .

f este continu˘a pe R, f este derivabil˘a pe R \

R˘aspuns corect (e).

©2ª 3

2. Se ¸tine seama de proprietatea primitivei ¸si se aplic˘a l’Hˆospital. Zx sin t2 dt 1 sin x2 = lim = . lim 0 3 2 x→0 x→0 3x x 3 R˘aspuns corect (b). 3. Numitorul trebuie s˘a fie p˘atrat perfect. R˘aspuns corect: (a). Z Z 1 sin2 x + cos2 x 4. dx = dx = tg x − ctg x + C. sin2 x cos2 x sin2 x cos2 x R˘aspuns corect (a).

42

CAPITOLUL 2. SUBIECTE DATE LA ADMITERE √ ¡ ¢ (x − 3) 1 + x2 − 8 x−3 √ 5. Observ˘am c˘a lim = lim = x%3 1 − 9 − x2 x2 − 8 x%3 √ 1 1 + x2 − 8 =− , = − lim x%3 3+x 3 4 . lim 3 x − a = 4 − a ⇒ 4 − a = − 13 ⇒ a = 13 3 x&3

lim 4 x x&4 3

−

13 3

= 1,

sin [b(x − 4)] = b ⇒ b = 1. x%4 x−4 R˘aspuns corect: (a) . lim

6. Observ˘am c˘a a2k = − 4k12 , a2k+1 =

1 . (2k+1)2

R˘aspuns corect (e). 7. Se studiaz˘a r˘ad˘acinile ¸si semnul funct¸iei f 0 (x) = 3x2 − 12. R˘aspuns corect (d).

8. Cazul 1∞ . R˘aspuns corect (d). 9. I =

Z1 0

¯1 √ √ x ¯ √ dx = x2 + 4¯ = 5 − 2. 2 0 x +4

R˘aspuns corect (a).

10. Se pun condit¸iile: x2 − 4 ≥ 0, −x + 3 > 0. R˘aspuns corect (b).

Subiecte 2007 1. R˘aspuns corect (c). ³

´ + 1 ln (5x + e ) ¢ = 2. ¡ 4 = lim 2. lim x→∞ ln (x4 + e2x ) x→∞ ln e2x x + 1 e2x 2

x

R˘aspuns corect (c).

ln ex

5x2 ex

2.3. INDICAT ¸ II

43

3. lim f (x) = a, lim f (x) = 0 ⇒ a = 0, x%0

x&0

lim f (x) = π8 , lim f (x) = b ln π ⇒ b =

x%1

x&1

π . 8 ln π

R˘aspuns corect (a). 4. f 0 (x) = 2e2x+3 cos 5πx − e2x+3 5π sin 5πx ⇒ f 0 (0) = 2e3 . R˘aspuns corect (b).

(2x + a) (bx + 2) − b (x2 + ax) bx2 + 4x + 2a = , (bx + 2)2 (bx + 2)2 f 0 (−8) = 0, f 0 (4) = 0 ⇒ ½ 64b − 32 + 2a = 0 , ⇒ [a = −16, b = 1] . 16b + 16 + 2a = 0

5. f 0 (x) =

R˘aspuns corect (b). Z 0 (x2 ) 6. I = 2 dx = 2 arctg x2 . 2 2 (x ) + 1 R˘aspuns corect (e). √ π 2 1 4 − . 7. I = sin x| π = 6 2 2 R˘aspuns corect (d). 8. R˘aspuns corect (a). 9. I =

Z0

3−x dx +

−1

Z1

3x dx =

4 . ln 3

0

R˘aspuns corect (c). 10. I =

Z4 µ 3

1 2 + x − 2 (x − 2)2

R˘aspuns corect (a).

¶

dx = ln 2 + 1

44

CAPITOLUL 2. SUBIECTE DATE LA ADMITERE

Capitolul 3 Indicat¸ii ¸si r˘ aspunsuri 13 . Pentru n ≤ 6 ⇒ −24 = a6 < a5 < . . . < 2 49 a2 < a1 < a0 iar pentru n ≥ 7 ⇒ − = a7 < a8 < . . . < an < . . . . 2 Obt¸inem a7 < a6 ⇒ a7 = min an .

1. Varianta I. an+1 − an = n −

n

11 11 − n. Rezult˘a c˘a pentru n ≤ 1 ⇒ b0 < b1 = iar pentru 6 6 8 n ≥ 2 ⇒ . . . < bn < . . . < b3 < b2 = . Obt¸inem b1 < b2 ⇒ b2 = max bn . n 3 R˘aspuns corect (e). bn+1 − bn =

Varianta II. An =

n2 49 1 − 7n = [(n − 7)2 − 49] ≥ a7 = − ⇒ 2 2 2

a7 = min an . n

# "µ µ ¶ ¶2 7n n2 14n 1 1 7 bn = − 49 ⇒ − =− n2 − =− n− 3 2 2 3 2 3 µ ¶2 7 49 1 49 bn = − n− < , n ∈ N ⇒ e suficient s˘a verific˘am pentru + 2 3 18 18 14 4 21 9 8 5 n = 2 ¸si n = 3. b2 = − = ; b3 = − = ; 3 2 3 3 2 2 8 5 < ⇒ b2 = max bn . n 2 3 Varianta III. Rezultatele se pot obt¸ine simplu analizˆand graficele celor dou˘a parabole: 45

˘ CAPITOLUL 3. INDICAT ¸ II S¸I RASPUNSURI

46 y=

x2 − 7x, 2

y=

7x x2 − 3 2 y

y -5

-2.5

0

0

2.5

x 5

37.5

-5 25

-10

12.5

0 -5

-2.5

-15 0

2.5

5

7.5

10 x

-12.5

-20

2. Utiliz˘am formula 1 + 2 + . . . + n = 12 n (n + 1). R˘aspuns corect: (b). Observat¸ie. Fiecare termen al sumei tinde la 0, dar num˘arul acestora nu este m˘arginit. 3. Se amplific˘a cu conjugatul. R˘aspuns corect (d). 4. a1 = 0 ⇒ a2n+1 = 0; a2 = 1 ⇒ a4 =

22 22 a2 = , 3·4 3·4

42 a4 , . . . , 5·6 (2n)2 22 42 . . . (2n)2 a2n+2 = a2n = = (2n + 1) · (2n + 2) 3 · 4 · 5 · 6 · · · · · (2n + 1) · (2n + 2) a6 =

22n+1 · (n!)2 . Induct¸ie. (2n + 2)! R˘aspuns corect (b). =

5. Expresia de sub radical se rescrie

n2 +1 n2 +2n

¢n ¡ · ln 1 + n1 .

R˘aspuns corect: (b). £¡ ¢¡ ¢ ¡ ¢¡ ¢ ¡ ¢¡ ¢¤ 6. an = ln 1 − 12 1 + 12 . . . 1 − k1 1 + k1 . . . 1 − n1 1 + n1 = ¡ ¢¡ ¢ ¡ ¢ n+1 , = ln 12 23 23 35 . . . n−1 = ln n+1 n n 2n 2

+2n < 0, lim an = lim ln n+1 = ln 12 . an+1 − an = ln n2n+2n+1 2n n→∞

n→∞

47 R˘aspuns corect (b). X k2 + k X k2 + k k2 + k k2 + k k2 + k 7. 3 ⇒ . < < < a < n n + n2 n3 + k2 n3 + 1 n3 + n2 n3 + 1 k=1 k=1 n

R˘aspuns corect: (b). p an(a + 5)(n + 1) + (a + 9)(n + 3)(n + 5) √ 8. lim = n→∞ a2 n2 + 1 q a(a + 5)(1 + n1 ) + (a + 9)(1 + n3 )(1 + n5 ) q = = lim n→∞ 1 2 a + n2 3.

n

√ a2 +6a+9 |a|

=

R˘aspuns corect: (a) . 1 1 1 − ⇒ an = 1 − → 1. 2 2 k (k + 1) (n + 1)2 R˘aspuns corect (c). √ ¢ ¢¤ £ ¡¡√ n2 + n + 1 − n + n = 10. sin2 (π n2 + n + 1) = sin2 π ¶¸ ∙ µ ¢¤ £ ¡√ n+1 2 2 2 ⇒ = sin π n + n + 1 − n = sin π √ n2 + n + 1 + n ¶¸ ∙ µ n+1 2 lim sin π √ = 1. n→∞ n2 + n + 1 + n R˘aspuns corect: (a). ⎧ ⎪ ⎨ −2 − 3 , n = 2k, k ∈ N∗ n 11. Se expliciteaz˘a xn = . 3 ⎪ ⎩ 2 + , n = 2k + 1, k ∈ N n Cum 3 3 x2k+2 = −2 − +2+ > 0, ∀k ∈ N∗ ⇒ 2k + 2 2k ⇒ (x2k )k∈N∗ este sub¸sir cresc˘ator. Mai mult 3 3 −2− < 0, ∀k ∈ N⇒ x2k+3 − x2k+1 = 2 + 2k + 3 2k + 1 ⇒ (x2k+1 )k∈N este sub¸sir descresc˘ator. Atunci 9. bk =

x2 < x4 < ... < x2k < ... < −2 < 2 < ... < x2k+1 < ... < x3 < x1 .

|a+3| |a|

=

˘ CAPITOLUL 3. INDICAT ¸ II S¸I RASPUNSURI

48

ˆIn consecint¸˘a, min xn = x2 = − 7 ¸si max xn = x1 = 5 n∈N∗ 2 n∈N∗ R˘aspuns corect: (c). 12. Cum a0 = −a1 − a2 − ... − ak ⇒ ¡√ ¡√ √ ¢ √ ¢ l = lim [a1 3 n + 1 − 3 n + +a2 3 n + 2 − 3 n + ... n→∞

+ak

¡√ √ ¢ n+1−n 3 n + k − 3 n ] = a1 lim q + ...+ √ p n→∞ 3 3 (n + 1)2 + 3 n (n + 1) + n2

n+k−n = +ak lim q √ p n→∞ 3 3 2 3 2 (n + k) + n (n + k) + n = a1 · 0 + a2 · 0 + ... + ak · 0 = 0.

R˘aspuns corect: (a). 13. Se expliciteaz˘a xn =

½

3 , n = 2k, k ∈ N 2n+1 1 , n = 2k + 1, k ∈ N 2n−1

.

Se observ˘a c˘a (x2k )k∈N este sub¸sir descresc˘ator ¸si (x2k+1 )k∈N este sub¸sir descresc˘ator ⇒ max xn = max (x0 , x1 ) = max (3, 1) = 3 ⇒ (d) e fals. De n∈N

asemenea, se observ˘a c˘a 0 < xn ≤ 3, ∀n ∈ N⇒ ⇒ (xn )n e ¸sir marginit ⇒ (e) e fals. Mai mult ∃ lim xn = 0 ⇒ (b) e fals. n→∞

Cum (xn )n∈N admite sub¸sirul (x2k )k∈N descresc˘ator⇒ (xn )n nu poate fi ¸sir cresc˘ator ⇒ (a) e fals. R˘aspuns corect: (c). Observat¸ie: Se poate explicita xn+1 xn

=

2+(−1)n+1 2+(−1)n

¸si se observ˘a c˘a ¸sirul

· µ

2n+(−1)n 2n+2+(−1)n+1

xn+1 xn

¶

n∈N

x2k+1 x2k+2 1 = , lim = 3. k→∞ x2k 3 k→∞ x2k+1 lim

=

½

1 , 3 3 2n−1 , 2n+3

n = 2k, k ∈ N n = 2k + 1, k ∈ N

admite dou˘a sub¸siruri cu limite diferite:

49 14. Se calculeaz˘a: an =

n P

k ln k+2 =

n P

ln k −

k=1 k=1 n2 +1 n2 +1 . Scriem (n+1)(n+2) (n+1)(n+2) i nαn 1

bn = n ln h bn = ln (1 + αn ) αn

n P

k=1

2 ln (k + 2) = ln (n+1)(n+2) ;

3n+1 = 1 + αn cu αn = − (n+1)(n+2) ¸si

. Deoarece αn → 0 ⇒ bn → ln e−3 ⇒ l = −3.

R˘aspuns corect: (d)

x sin nx 1 − 1 − e−n x2 15. an = lim (1 − x sin nx) x2 = lim e = e−n . bn = e−1 ⇒ x→0 x→0 1 − e−1 1 b= . e−1 R˘aspuns corect (e). α ⇒ L1 = 1. 2n 2 µsin α ¶ 2 α α 2n+1 · α · 4n · 2 ⇒ yn = 4n (1 − cos n ) = 4n · 2 · sin2 n+1 = α 2 2 22n+2 n+1 2 2 α L2 = 2 R˘aspuns corect (e).

16. Fie x0 = cos α, α ∈ [0, π] ⇒ xn = cos

17. Remarc˘am c˘a an > 0, a2 = 13 , a3 = 49 < 1. Presupunem an < 1. Se¡ demonstreaz˘a prin induct ¢ ¸ie c˘a 0 < an < 1. Scriem an+1 − an = 1 2 2 − a + a − a a si se demonstreaz˘a prin induct¸ie c˘a ¸sirul este n n−1 n−1 n−2 ¸ 3 monoton cresc˘ator Rezult˘a c˘a ¸sirul este convergent ¸si trecˆand la limita ˆın relatia de recurenta rezulta ca lim an = 1. n→∞

R˘aspuns corect (b). p √ √ ¢ ¡√ 18. k + k2 − 1 = √12 k + 1 + k − 1 ¸si

n √ ¡√ √ X ¢ √ 1√ p 2 √ an = n 2 = n n + n + 1 − 1 ⇒ p = − 12 . 2 k+1+ k−1 p

k=1

R˘aspuns corect (b).

19. Demonstr˘am prin induct¸ie c˘a an > 0 ¸si monoton cresc˘ator: an+1 − an = a2n +1 > 0. Presupunem c˘a ar fi m˘arginit superior, deci convergent. Tre3an

˘ CAPITOLUL 3. INDICAT ¸ II S¸I RASPUNSURI

50

2

cem la limit˘a ˆın relat¸ia de recurent¸˘a ¸si obt¸inem l = 4l 3l+1 ⇒ l2 + 1 = 0 ⇒ l∈ / R. Rezult˘a c˘a ipoteza c˘a ¸sirul ar fi m˘arginit este fals˘a, deci an → ∞. R˘aspuns corect (d).

√

20. 0 < an−1√≤ an ⇒ a2n = a+an−1 ≤ a+an ⇒ a2n −an −a ≤ 0 ⇒ 1− 21+4a ≤ an ≤ 1+ 21+4a ⇒ (an )n∈N m˘arginit. Rezult˘a c˘a exist˘a l = lim an ∈ R, n→∞

l ≥ 0.¡Trecˆ and la limit˘ a ˆın egalitatea a2n = a + an−1 rezult˘a l2 = a + l ⇒ ¢ √ l = 12 1 + 1 + 4a . R˘aspuns corect: (d).

21. x2n+1 = xn xn−1 ⇒ lg x2n+1 = lg xn + lg xn−1 ; dac˘a not˘am an =

= lg xn , n ≥ 0 ⇒ 2an+1 = an + an−1 , n ≥ 1. C˘aut˘am solut¸ii de forma an = = rn ⇒ 2rn+1 = rn + rn−1 ⇒ r1 = 1, r2 = − 12 ⇒ an = c1 + c2 (− 12 )n . Rezolvˆand sistemul format din ecuat¸iile obt¸inute pentru n = 0 ¸si n = 1 2 x0 1 1 n x0 2 1 obt¸inem c1 = lg(x0 x21 ) 3 , c2 = lg( ) 3 ⇒ xn = (x0 x21 ) 3 ( ) 3 (− 2 ) , n ≥ 0. x1 x1 R˘aspuns corect: (b).

22. Se pun condit¸iile pentru existent¸a radicalului, fract¸iei ¸si logaritmului: £ √ √ ¤ ln (−x2 + 4) 2 + 4 > 0 ¸ s i se g˘ a se¸ s te x ∈ − 3, 3 . ≥ 0 ¸ s i −x −x2 + 4 R˘aspuns corect (b). 23. Se pun condit¸iile pentru existent¸a radicalului, fract¸iei ¸si logaritmului: x2 − 1 ≥ 0, x + 2 6= 0 ¸si ln x > 0 ¸si se g˘ase¸ste x ∈ (1, +∞). x+2 R˘aspuns corect (e). 24. Considerˆand ¸siruri de argumente rat¸ionale respectiv irat¸ionale se constat˘a c˘a punctele de continuitate sunt doar cele unde x2 = x. R˘aspuns corect: (a). 25. Scriem expresia astfel : ´ sin x 2x − 1 ln (1 + sin x) ³√ cos 2x 1+x+1 x sin x sin 2x

¸si aplic˘am limite fundamentale. R˘aspuns corect: (b).

51 etg x (esin x−tg x − 1) = x→0 etg 2x (esin 2x−tg 2x − 1)

26. l = lim

etg x esin x−tg x − 1 sin 2x − tg 2x sin x − tg x = x→0 etg 2x sin x − tg x esin 2x−tg 2x − 1 sin 2x − tg 2x

= lim

cos x − cos12 x sin x − tg x = lim = = lim 2 x→0 sin 2x − tg 2x x→0 2 cos 2x − cos2 2x

1 cos3 x − 1 1 lim = . 3 2 x→0 cos 2x − 1 8 R˘aspuns corect: (b) . =

27. l = lim

x→∞

2x √ ¶√x √ lim x+ x x→∞ x − x = e2 . √ =e x− x

µ

R˘aspuns corect (d).

ln x2 (1 − x + x12 ) 2 ln x + ln(1 − x + x12 ) = lim . x→∞ ln x10 (1 + 19 + 110 ) x→∞ 10 ln x + ln(1 + 19 + 110 ) x x x x

28. L = lim

R˘aspuns corect (b). ln (1 + x + x2 ) + ln (1 − x + x2 ) 29. lim = x→0 x2 ln (1 + x + x2 ) (1 − x + x2 ) ln (1 + x2 + x4 ) lim = lim = x→0 x→0 x2 x2 2x + 4x3 2 + 4x2 lim = lim = 1. x→0 2x (1 + x2 + x4 ) x→0 2 (1 + x2 + x4 ) R˘aspuns corect (d). p p 30. t1 = (x + 1)(x − 3) − x + 1, t2 = − (x + 1)(x − 3) − x + 1, L1 = −∞, L2 = −2

R˘aspuns corect (c).

x x cos ln(x+1)+ln = 31. L = lim 2 sin ln(x+1)−ln 2 2 x→∞ ´ ³ ´ ³ 1 1+x 12 2 = lim 2 sin ln( x ) cos ln [(x + 1)x] = 0. x→∞

R˘aspuns corect (d).

˘ CAPITOLUL 3. INDICAT ¸ II S¸I RASPUNSURI

52

32. Pentru n = 0, 1, 2, 3 limita se obt¸ine u¸sor calculˆand direct sau cu regula lui l’Hˆospital. Dac˘a n ≥ 4 obt¸inem, cu aceea¸si regul˘a, c˘a limitele laterale sunt diferite dac˘a n este par ¸si sunt egale dac˘a n este impar(limita este infinit˘a). R˘aspuns corect: (e) . µ ¶ ln x − 1 1 x 1 x−e 33. lim = lim ln = ln 1 + = x→e x − e x→e x − e e x−e e 1 "µ e #e ¶ x−e x−e 1 = lim ln 1 + = ln e e = 1e . x→e e R˘aspuns corect (d). ⎧ µ ¶− x1 ⎪ x ⎪ ⎪ ,x < 0 ⎨ 1+ x−1 34. f (x) = µ ¶ x1 ⎪ x ⎪ ⎪ , x > 0, x 6= 1. ⎩ 1+ 1−x

1 "µ # x−1 ¶− x−1 x −x lim f (x) = lim 1+ = e, x→0,x<0 x→0,x<0 x−1

lim f (x) =

x→0,x>0

"µ 1+ lim

x→0,x>0

x 1−x

1 # 1−x ¶ 1−x x

= e.

R˘aspuns corect (e). 1

35. Suntem ˆın cazul 1∞ . Putem scrie f (x) = e sin2 x ·ln lui l’Hˆospital. R˘aspuns corect: (d) . q 4 2 36. L = lim 5 n n5n + n5n + n→∞

1 5n

tg x x

, apoi aplic˘am regula

+ 1 = 5.

R˘aspuns corect: (c) .

¸si calcul˘am f 0 (x) observˆand c˘a este negativ˘a. 37. Scriem f (x) = ln(x+1) ln x Totodat˘a f (x) < 0 dac˘a x < 1 ¸si f (x) > 0 dac˘a x > 1. R˘aspuns corect: (d).

53 38. Se calculeaz˘a f 0 (x) = g(x) + (x + 2)g 0 (x) ⇒ f 0 (0) = 0. R˘aspuns corect (e).

mx2 − 2x + m . Se impune condit¸ia ca derivata s˘a x2 + 1 fie pozitiv˘a pentru orice x real, m > 0, ∆ ≤ 0.

39. Se calculeaz˘a f 0 (x) = R˘aspuns corect (c).

2 1 40. Descompunem f (x) = − de unde x−1 x+1 ¶ µ ¶6 µ x−1 2 1 (5) = 0 ⇔ − = 2, x ∈ f (x) = −5! x+1 (x − 1)6 (x + 1)6 R\ {−1, 1} . R˘aspuns corect: (b).

41. Funct¸ia f (x) = x2 − 2 ln x + m este convex˘a, avˆand limita ∞ ˆın 0 ¸si ∞. Punctul de minim este x = 1 deci condit¸ia este ca f (1) < 0. R˘aspuns corect: (b). 42. Varianta I. Funct¸ia g : R → R, g(x) = x3 + x este o biject¸ie cresc˘atoare continu˘a ¸si derivabil˘a avˆand doar un punct de inflexiune ˆın x = 0. Ecuat¸ia p(f (x)) = 0 ⇔ g(f (m)) = m de unde f = g −1 , de asemenea biject¸ie cresc˘atoare, continu˘a ¸si derivabil˘a ¸si cu o singur˘a inflexiune. Varianta II. Utilizˆand ¸sirul lui Rolle rezult˘a c˘a ecuat¸ia p(x) = 0 are o singur˘a r˘ad˘acin˘a real˘a, ∀m ∈ R.

Din relat¸ia

[f (m) − f (m0 )] [f 2 (m) + f (m)f (m0 ) + f 2 (m0 ) + 1] = m − m0 ,

trecˆand la limit˘a pentru m → m0 , ∀m ∈ R rezult˘a continuitatea. f (m) − f (m0 ) 1 = 2 ⇒ c˘a f este cresc˘atoare Calculˆand lim m→m0 m − m0 3f (m0 ) + 1 pe R. Pentru a studia punctele de inflexiune deriv˘am de dou˘a ori ecuat¸ia: f 3 (m) + f (m) − m = 0 ⇒ 3f 2 (m)f 0 (m) + f 0 (m) − 1 = 0,

6f (m)f 02 (m) + 3f 2 (m)f 00 (m) + f 00 (m) = 0 ⇒ 6f (m)f 0 (m) 6f (m) . =− f 00 (m) = − 2 2 3f (m) + 1 (3f (m) + 1)3

˘ CAPITOLUL 3. INDICAT ¸ II S¸I RASPUNSURI

54

Rezult˘a c˘a f 00 (m) = 0 ⇒ f (m) = 0 ⇔ m = 0 ⇒ f (0) = 0, iar f este strict cresc˘atoare pe R ⇒ funct¸ia are un singur punct de inflexiune. R˘aspuns corect (e). 43. Observ˘am c˘a x = ±1 sunt asimptote verticale. Singurul r˘aspuns care le cont¸ine este r˘aspunsul corect. R˘aspuns corect (c). 44. Se impune condit¸ia de continuitate⇒ b = 127a−8. Condit¸ia ca derivatele laterale ˆın 2 s˘a fie egale implic˘a a = 13 . R˘aspuns corect (d). 45. Calculˆand derivatele, ˆınlocuind ˆın egalitate ¸si identificˆand coeficient¸ii se obt¸ine sistemul a + b + c + 1 = 0, 2a + b + 3 = 0 ¸si 4a − 2b + c − 8 = 0. R˘aspuns corect: (c) . 46. Domeniul exclude punctele x = 0 ¸si x = −1 iar f 0 (x) = 0 ne d˘a x = − 12 . R˘aspuns corect: (e) . 47. Funct¸ia este definit˘a pe R dac˘a x2 + x + m > 0, ∀x ∈ R de unde (2 − m) (x2 − 2x − (m + 2)) m > 1. Calcul˘am apoi f 0 (x) = . Pentru (x2 + 2x + m)2 ca f 0 (x) = 0 s˘a admit˘a exact dou˘a r˘ad˘acini este necesar ca m 6= 2 ¸si m > −3. R˘aspuns corect: (a). 48. Se scrie f (x) = ex−1 x2 . Atunci f (n) (x) = Cn0 ex−1 x2 + Cn1 ex−1 2x + Cn2 ex−1 2 de unde obt¸inem c˘a f (n) (1) = n2 + n + 1. R˘aspuns corect: (c). 49. , f 0 (x) = − √

1

1−sin2 x

cos x = −1

R˘aspuns corect: (e) . ½ −e−x − 2x, x ≤ 0 0 50. f (x) = , f 0 (0) = −1 ⇒ x = 0 nu este punct critic −ex − 3x2 , x > 0 pentru f ⇒ x = 0 nu este punct de extrem local pentru f.

55 ½

e−x − 2, x < 0 . Dar f 00 (0) = −1 deci x = 0 nu este punct −ex − 6x, x > 0 de inflexiune pentru f. 00

f (x) =

R˘aspuns corect (d). 51. Varianta I.

⎧ −x − 2, ⎪ ⎪ ⎨ x, f (x) = g(g(x)) = ||x| − 1| − 1 = −x, ⎪ ⎪ ⎩ x−2

x < −1 −1 ≤ x < 0 . 0≤x≤1 x>1

Pentru x ∈ (−2, −1) ⇒ f (x) − f (−1) = −x − 1 > 0 ¸si deoarece pentru x ∈ [−1, 0) ⇒ f (x) − f (−1) = x + 1 > 0 ⇒ x = −1 punct de minim relativ. Pentru x ∈ [0, 1] ⇒ f (x) − f (−1) = 1 − x ≥ 0 ¸si deoarece pentru x ∈ [1, 2) ⇒ f (x) − f (−1) = x − 1 ≥ 0 ⇒ x = −1 punct de minim relativ. ¸ inˆand sema de expresia lui f ca funct¸ie liniar˘a pe subinVarianta II. T tervale, se traseaz˘a graficul funct¸iei ¸si se cite¸ste rezultatul de pe grafic. f (x) = ||x| − 1| − 1

y

3 2.5 2 1.5 1 0.5 0

-5

-2.5

-0.5

0

2.5

5 x

R˘aspuns corect (a). 2 −(m+2)x−3m+2

52. Derivata funct¸iei este f 0 (x) = −x r˘ad˘acini diferite ˆın R \ {−2} .

(x+2)2

e−x ¸si trebuie s˘a aib˘a dou˘a

R˘aspuns corect: (d).

53. Funct¸ia f este continu˘a ˆın x = 0 dac˘a lim f (x) = f (0) sau b = a. x→0 ½ −x −e + 2ax, x < 0 f 0 (x) = aex + 3bx2 , x > 0.

˘ CAPITOLUL 3. INDICAT ¸ II S¸I RASPUNSURI

56

Exist˘a lim f (x) ∈ R dac˘a a = −1. Pentru ca f 0 s˘a fie continu˘a ˆın x = 0 x→0 ½ −e−x − 2x, x < 0 0 0 trebuie ca f (0) = −1. Atunci f (x) = este con−ex − 3x2 , x > 0. tinu˘a pe R dac˘a (a, b) = (−1, −1). R˘aspuns corect (a). mex + (1 + m) e−x + 2 (1 + m) . Observ˘am c˘a, dac˘a (1 + ex )2 m ≥ 0, f 0 (x) > 0, ∀x ∈ R iar, dac˘a m ≤ −1, f 0 (x) < 0, ∀x ∈ R. Pentru 1 < m < 0 fie g (x) = mex + (1 + m) e−x + 2 (1 + m). Avem lim g (x) = −∞ ¸si lim g (x) = ∞ deci f 0 (x) are semn variabil pe R

54. Calcul˘am f 0 (x) =

x→∞

x→−∞

astfel c˘a f nu este monoton˘a. R˘aspuns corect: (c) .

55. f 0 (x) =

1 x 1+ 1−cos 1+cos x

1 sin x(1 + cos x) + sin x(1 − cos x) q = x (1 + cos x)2 2 1−cos 1+cos x

sin x 1 sin x 1 = q = = . x 1 + cos x 2 sin x 2 2 1−cos 1+cos x

R˘aspuns corect (c).

56. Not˘am f (x) = e4x − 4x3 − a2 x − 1. Deoarece f (0) = 0 ¸si din problema f (x) ≥ 0, rezulta c˘a f (x) ≥ f (0) = 0, ∀x ∈ R, deci x = 0 este punct de minim pentru f ⇒ f 0 (0) = 0, f 0 (x) = 4e4x − 12x2 − a2 , f 0 (0) = 4 − a2 ⇒ a = −2 sau a = 2. R˘aspuns corect (c). 57. f 0 (x) =

√ − sin x 1−cos2 x

=

− sin x sin x

= −1.

R˘aspuns corect (e). 58. Conform ipotezei: ∃V ∈ Va : ∀x ∈ I ∩ V ⇒ f (x) ≥ f (a) ≥ 0 ⇒ f 2 (x) ≥ f 2 (a) sau g(x) ≥ g(a), ∀x ∈ I ∩ V. Atunci a ∈ I este punct de minim relativ al funct¸iei g. R˘aspuns corect (a).

57 ⎧ µ ¶ x1 ⎪ ax ⎪ ⎪ ⎪ 1+ ,x < 0 ⎪ ⎪ bx + 1 ⎪ ⎨ 1, x = 0 59. f (x) = , ⎪ ⎪ 1 µ ¶ 2 ⎪ ⎪ x ⎪ ax2 ⎪ ⎪ ,x > 0 ⎩ 1+ bx + 1 lim f (x) = ea , lim f (x) = ea .

x→0,x<0

x→0,x>0

f este continua ˆın x = 0 dac˘a ea = 1 sau (a, b) = (0, b), b ∈ R. R˘aspuns corect (c). ¤ £ e−x (m + 1)e2x + 2(m + 1)ex − m . Not˘am ex = t ¸si 2 (1 + e−x ) studiem semnul trinomului (m + 1)t2 + 2(m + 1)t − m pentru t > 0.

60. f 0 (x) =

Avem ∆ = 4(m + 1)(2m + 1)

¡ ¢ i) impunˆand condit¸iile m + 1 > 0 ¸si ∆ < 0 ⇒ m ∈ −1, − 12 . Impunˆand condit¸iile m + 1£ > 0 ¸s¤i ∆ ≥ 0 ¸si ambele r˘ad˘acini s˘a fie mai mici sau egale cu zero⇒ m ∈ − 12 , 0 .

ii) m+1 < 0 ¸si ∆ < 0 este imposibil; m+1 < 0 ¸si ∆ ≥ 0 ¸si ambele r˘ad˘acini ale trebuie s˘a fie mai mici sau egale cu zero deasemenea imposibil. Nu exist˘a m cu proprietatea cerut˘a. R˘aspuns corect: (d). 61. lim f (x) = lim f (x) = f (0) = 0, lim f (x) = lim f (x) = f (1) = 0, x%0

x&0

x%1

x&1

⎧ 1 ⎨ − (x−1)2 , x ∈ (−∞, 0) f 0 (x) = , lim f 0 (x) = −1; lim f 0 (x) = −∞; 1 + ln x, x ∈ (0, 1) x%0 x&0 ⎩ x e , x ∈ (1, ∞) lim f 0 (x) = 1; lim f 0 (x) = e1 .

x%1

x&1

R˘aspuns corect: (d). 62. f este definit˘a pe (−∞, ∞) . Derivata f 0 (x) =

mex + (m + 1)e−x + 2(m + 1) (1 + ex )2

˘ CAPITOLUL 3. INDICAT ¸ II S¸I RASPUNSURI

58

trebuie s˘a astisfac˘a condit¸ia f 0 (x) ≥ 0 pentru x ∈ (−∞, ∞) . Not˘am 2 ex = t ¸si problema se reduce la rezolvarea inegalit˘a¸tii mt +2(m+1)t+1+m ≥0 t pentru t > 0. Evident m < 0 este imposibil. Pentru m ≥ 0 derivata este evident pozitiv˘a pentru ∀t > 0. R˘aspuns corect: (a).

¤ £ 2x e−x me + 2mex + 1 − m . f 0 (x) = 0 ⇒ m = − 17 . −x 2 (1 + e ) ii) Not˘am ex = t > 0 ¸si studiem semnul funct¸iei mt2 + 2mt + ¡1 + ¢m pentru t > 0. Dac˘a m > 0 ¸si ∆ = 4m(2m − 1) < 0 ⇒ m ∈ £0, 12 ¤ . Observ˘am c˘a ¸si valorile m = 0 ¸si m = 12 sunt bune, deci m ∈ 0, 12 . Dac˘a m > 0 ¸si ∆ ≥ 0 atunci ambele r˘ad˘acini ale t1 , t2 trinomului £rebuie ¤ s˘a fie ≤ 0 ⇒ m > 0 ¸si m ≥ 12 , t1 + t2 < 0 ¸si t1 t2 ≥ 0 ⇒ m ∈ 12 , 1 . Reunum cele dou˘a rezultate ¸si obt¸inem m ∈ [0, 1] .

63. i) f 0 (x) =

R˘aspuns corect: (b).

ln(2 |x| − x) − ln(x + 1)2 ¸si g˘asim ln |x| ln(2 |x| − x) = 1, deci l = e. lim ln f (x) = lim x→0 x→0 ln |x| R˘aspuns corect: (d).

64. Scriem: ln f (x) =

65. Se observ˘a c˘a f e continu˘a pe R. Mai mult, f este derivabil˘a pe (−∞, 0), respectiv pe (0, +∞) . Se calculeaz˘a ¡ ¢ x x fs0 (0) = lim e −x−1−0 = lim −1 + e x−1 = −1 + 1 = 0. x−0 x→0 x<0

x3 −3x2 −0 x x→0 x>0

fd0 (0) = lim

x→0 x<0

= 0.

⎧ x ⎨ e − 1, x < 0, 0 0 0 0, x = 0, Deci ∃f (0) = 0 ⇒ ∃f : R→R,f (x) = ⎩ 2 3x − 6x, x > 0.

Studiind tabelul de variat¸ie pentru f tragem concluzia c˘a: f e strict descresc˘atoare pe (0, 2] ¸si strict cresc˘atoare pe [2, +∞) ; x = 2 e punct de minim local ¸si global pentru f ¸si min f (x) = f (2) = −4; x = 0 e x∈R

punct critic pentru f ¸si nu e punct de extrem local.

59 R˘aspuns corect: (b). ¡ ¢x+1 £ ¤ 66. i) f 0 (x) = 1 + x1 ln(1 + x1 ) − x1 . Dar ln(1+ x1 )− x1 < 0 ⇔ ln(1+ x1 ) < 1 1 ⇔ 1 + x1 < e x pentru x > 0 (deoarece 1 + α < eα pentru α 6= 0). Deci x f 0 (x) < 0 pentru x > 0 ⇒ f descresc˘atoare (descre¸ste de la ∞ la 0 pe intervalul (0, ∞)). ii) an = f (n) ⇒ (an ) descresc˘ator ¸si lim an = e. n→∞

R˘aspuns corect: (c). 1 1 1 1 − − − < 0 ⇒ f este 2 2 2 (x − 1) (x − 2) (x − 3) (x − 4)2 monoton descresc˘atoare pe subintervale, dreptele x = 1, x = 2, x = 3, x = 4 sunt asimptote verticale. lim f (x) = 5, lim f (x) = −∞, f

67. f 0 (x) = −

x→−∞

x%1

descresc˘atoare⇒ f intersecteaz˘a axa Ox ˆıntr-un punct x0 ∈ (−∞, 1) ; lim f (x) = ∞, lim f (x) = −∞ ⇒ f intersecteaz˘a axa Ox ˆıntr-un punct x&1

x%2

x1 ∈ (1, 2) etc.

R˘aspuns corect: (e). 68. Se expliciteaz˘a f : R→R,f (x) =

½

6−x2 , 4+x2

1,

−1 < x < 1 . |x| ≥ 1.

Se observ˘a c˘a f este continu˘a pe R. Se observ˘a c˘a pentru f punctul x = 0 3 este un punct de maxim local ¸si global pentru f ¸si max f (x) = f (0) = . x∈R 2 6−x2 ( 4+x2 atinge maximul pentru x = 0, num˘ar˘atorul scade ¸si numitorul cre¸ste). Se calculeaz˘a 0

0

f : R− {−1, 1} → R,f (x) =

½

−20x , −1 (4+x2 )2

<x<1 . 0, |x| > 1

lim f 0 (x) = − 45 , lim f 0 (x) = 0 ⇒ f nu este derivabil˘a ˆın x = 1.

x%1

x&1

Observat¸ie. F˘acˆand tabelul de variat¸ie pentru f ⇒ x = 0 este un punct 3 de maxim local ¸si global pentru f ¸si max f (x) = f (0) = . x∈R 2 R˘aspuns corect: (e). 69. Din ipotez˘a a este punct de maxim relativ pentru f.

˘ CAPITOLUL 3. INDICAT ¸ II S¸I RASPUNSURI

60

g0 (x) = 2f (x)f 0 (x), x ∈ R ⇒ g 0 (a) = 0 ⇒ a punct critic pentru g. Pentru x ≤ a, f 0 (x) ≥ 0, f (x) < 0 ⇒ g0 (x) ≤ 0 iar pentru x ≥ a, f 0 (x) ≤ 0, f (x) < 0 ⇒ g 0 (x) ≥ 0, rezult˘a a este punct de minim relativ pentru g.

R˘aspuns corect: (a) .

70. Utilizˆand dezvoltarea binomului lui Newton se observ˘a c˘a: √ ¢n √ √ √ ¢n ¡ ¡ 3 + 7 = xn + yn 7, ∀n ∈ N ⇒ 3 − 7 = xn − yn 7, ∀n ∈ N. Atunci xn = ⇒

xn yn

=

√

√

n

n

(3+ 7) +(3− 7)

¸si yn =

2

√ n √ n √ 7[(3+ 7) +(3− 7) ] √ n √ n (3+ 7) −(3− 7)

¯ √ ¯ ¯ √7 ¯ Cum ¯ 3− ¯ < 1 ⇒ lim 3+ 7

xn n→∞ yn

=

=

√ 7·

√ 7·

√

n

√

n

−(3− 7) (3+ 7) √

2 7  √ n 3−√7 1+ 3+ 7  √  . 3−√7 1− 3+ 7

1+0 1−0

=

⇒

√ 7.

R˘aspuns corect: (d).

⎧ ⎪ ⎨

1 , x

0<x<1 3, x=1 . 71. Se expliciteaz˘a f : (0, +∞) → R, f (x) = 4 ⎪ ⎩ x + , x > 1. x Se observ˘a c˘a f este continu˘a pe (0, 1)∪(1, +∞) , dar ⎧ nu este continu˘a ˆın 1 ⎪ ⎨ − , 0<x<1 2 x x = 1. Mai mult ∃f 0 : (0, 1)∪(1, +∞) → R,f 0 (x) = 2 ⎪ ⎩ x − 4 , x > 1. x2 Din tabelul de variat¸ie pentru f se deduce c˘a x = 2 e punct de minim local ¸si global pentru f ¸si c˘a f e strict descresc˘atoare pe (0, 1) . Preciz˘am c˘a x = 1 nu este punct unghiular, deoarece f nu este continu˘a ˆın x = 1. R˘aspuns corect: (e). µ ¶x ∙ µ ¶ ¸ 1 1 x 72. f 0 (x) = 1 + ln 1 + − . Semnul derivatei x+1 x+1 (x + 1)(x + 2) µ ¶ 1 − este dat de expresia din paranteza p˘atrat˘a. Not˘am g(x) = ln 1 + x+1 x 3x + 4 < 0 pentru x ≥ 0. , ¸si calcul˘am g0 (x) = − 2 (x + 1)(x + 2) (x + 3x + 2)2 Rezult˘a c˘a g este descresc˘atoare ¸si deoarece g(∞) = 0 ⇒ g(x) > 0 pentru x ≥ 0 ⇒ f 0 (x) > 0 pentru x ≥ 0 ⇒ f cresc˘atoare pe [0, ∞) . an = f (n) ⇒ (an )n∈N cresc˘ator ¸si lim an = e. n→∞

61 R˘aspuns corect: (b) . π π π π2 π + sin − 1 ¸si f 00 (x) = − 3 cos < 0 pe (2, ∞). x x x x x Deci f 0 este monoton strict descresc˘atoare pe [2, ∞). Atunci, pentru 2 ≤ x < ∞, f 0 (x) > lim f 0 (x) = 0. Deci f este strict cresc˘atoare pe [2, ∞).

73. Avem f 0 (x) = cos

x→∞

R˘aspuns corect: (b). 74. Deoarece lim f (x) = +∞ ¸si lim f (x) = −∞, rezult˘a c˘a f admite x&−1

x%−1

asimptot˘a vertical˘a de ecuat¸ie x = −1. Apoi lim f (x) = 0, dar aplicˆand x%0

1 e1/x . lim 1/x 2 x+1 x&0 x&0

teorema lui l’Hˆopital de dou˘a ori, avem lim f (x) = lim x&0

−1/x2 e1/x 3 x&0 −2/x

lim

=

1/x 1 lim e 2 x&0 1/x

=

2 .e1/x 1 lim −1/x 2 x&0 −1/x2

=

= +∞,deci x = 0 este ecuat¸ia

unei asimptote verticale. ˆIntrucˆat lim f (x) = +∞ ¸si lim f (x) = −∞, x→∞

x→−∞

rezult˘a c˘a nu exist˘a asimptote orizontale. Dac˘a f admite asimptote oblice, acestea au ecuat¸iile de forma y = mx + n, unde f (x) x→±∞ x

m = lim

x2 1/x 2 +x e x x→±∞

= lim

x2 (e1/x x→+∞ x+1

n1 = lim [f (x) − mx] = lim x→+∞

= 1, x ,dac˘a x→+∞ x+1

− 1) − lim

prima

limit˘a exist˘a. Aplicˆand de dou˘a ori regula lui l’Hˆospital, se obt¸ine

1/x x2 (e1/x − 1) = lim [2x(e1/x − 1) − x2 . x12 e1/x ] = lim 2(e 1/x−1) x+1 x→+∞ x→+∞ x→+∞ −1/x2 .e1/x 1/x − 1 = 1, de unde n1 = 0. Analog n2 = lim e = 2 lim −1/x2 x→+∞ x→+∞

lim

− 0,

deci asimptota oblic˘a are ecuat¸ia y = x (atˆat la +∞ cˆat ¸si la −∞). R˘aspuns corect: (d)

75. Domeniul de definit¸ie al lui f este R. Funct¸ia f este derivabil˘a pe R dac˘a ¸si numai dac˘a x2 + (a − 2) x − a + 2 6= 0, (∀) x ∈ R, ceea ce se realizeaz˘a dac˘a ¸si numai dac˘a discriminantul ∆ al trinomului este strict negativ, adic˘a (a − 2)2 − 4 (−a + 2) < 0 sau a ∈ (−2, 2) . R˘aspuns corect: (c). 76. Not˘am f (x) = x arctg x − ln (1 + x2 ) . Funct¸ia f este derivabil˘a de dou˘a x 2x2 00 ori ¸si avem f 0 (x) = arctg x − 1+x .Cum f 00 (x) > 0, 2 , f (x) = (1+x2 )2 rezult˘a c˘a f 0 este strict cresc˘atoare pe (0, ∞) , deci f 0 (x) > f 0 (0) = 0,

˘ CAPITOLUL 3. INDICAT ¸ II S¸I RASPUNSURI

62

(∀) x > 0. De aici se obt¸ine c˘a f este strict cresc˘atoare pe (0, ∞) ; a¸sadar, f (x) > f (0) = 0, (∀) x > 0, deci f > 0 pe (0, ∞) . R˘aspuns corect: (e). 77. Notˆand cu ls (a) ¸si ld (a) limita la stˆanga, respectiv la dreapta a funct¸iei f ˆın a, avem ls (1) = ld (1) = 23/2, ls (2) = ld (2) = 9, ls (3) = ld (3) = 8, rezult˘a c˘a f este continu˘a pe R. Apoi, evident c˘a f derivabil˘a pe R\ {1, 2, 3} ¸si ⎧ ⎪ ⎪ ⎨

1, x < 1 2 25(−x + 1)/ (x2 + 1) , x ∈ (1, 2) 0 f (x) = ⎪ (x2 − 2x − 3) / (x − 1)2 , x ∈ (2, 3) ⎪ ⎩ 0, x > 3. 2

Notˆand fs0 (a) ¸si fd0 (a) derivata la stˆanga, respectiv la dreapta ˆın a, avem fs0 (1) = 1 6= fd0 (1) = 0, fs0 (2) = fd0 (2) = −3 ¸si fs0 (3) = fd0 (3) = 0. Deci f este derivabil˘a pe R\ {1} . R˘aspuns corect: (d). 78. Pentru x 6= −2/b, avem bx2 + 4x + 2a . f (x) = (bx + 2)2 0

Punctele x = −8 ¸si x = 4 sunt puncte de extrem pentru f dac˘a f 0 (−8) = 0, f 0 (4) = 0 ¸si f 0 schimb˘a semnul la stˆanga ¸si la dreapta acestor dou˘a puncte. Deci ½ 32b − 16 + a = 0 16b + 16 + 2a = 0, de unde a = −16, b = 1. Atunci f : R\ {−2} → R, f (x) =

x2 − 16x , iar x+2

x2 + 4x − 32 . Avem f 0 (x) > 0 pentru x ∈ (−∞, −8) ∪ (4, +∞) 2 (x + 2) ¸si f 0 (x) < 0 pentru x ∈ (−8, −2) ∪ (−2, 4) . Deci x = −8 este punct de maximum, iar x = 4 este punct de minimum pentru f. f 0 (x) =

R˘aspuns corect: (b).

63 79. f continu˘a pe R, f 0 (0) = lim

sin x −1 x

x→0

f 00 (0) = lim

x→0

− 13 .

x−0

= lim

x→0

x cos x−sin x −0 x2

x−0

sin x−x x2

= lim

= lim

x→0

x→0

cos x−1 2x

x cos x−sin x x3

= lim

x→0

= lim

x→0

− sin x x

−x sin x 3x2

= 0, f 0 (0) = 0 = lim

x→0

− cos x 3

=

R˘aspuns corect (b).

2x √ ¡ ¢. Se observ˘a c˘a x = 0 este 80. Se calculeaz˘a f 0 (x) = √ 1 + x2 1 + 1 + x2 punct de minim. R˘aspuns corect (d).

81. Se descompune ˆın fract¸ii simple ¸si calculeaz˘a

Z0 ³

1 1−x

+

2 (1−x)2

−1

´

dx.

R˘aspuns corect (b). 82. Se calculeaza integrala Za ¢ x 1 1 ¡ 2 dx = ln (−1 + a) − ln a + a + 1 + I(a) = x3 − 1 3 6 2 √ √ √ √ 1 + 3 3 arctan 13 3 (2a + 1) + 16 ln 7 − 13 3 arctan 53 3. R˘aspuns corect (b).

83. Avem

π/2 Z

cos3 xdx =

0

R˘aspuns corect: (e) .

π/2 Z 0

¢ ¡ 1 − sin2 x d sin x =

2 3

etc.

84. Limitele de integrare, ce sunt numere opuse, ne sugereaz˘a s˘a studiem paritatea integrandului ce se dovede¸ste a fi impar. R˘aspuns corect: (d). Observat¸ie. Calculul integralelor definite, care sunt numere, nu se face neap˘arat prin formula Leibniz-Newton care presupune determinarea prealabil˘a a unei primitive.

˘ CAPITOLUL 3. INDICAT ¸ II S¸I RASPUNSURI

64

85. DeoareceF 0 (x) = f (x) > 0 ⇒ F strict cresc˘atoare. Din teorema lui 2 Lagrange⇒ F (x + 1) − F (x) = ec pentru c ∈ (x, x + 1) . Rezult˘a c˘a lim F (x) = ∞ ¸si putem aplica de dou˘a ori regula lui L’Hˆospital. x→∞

R˘aspuns corect: (c). R y2 − a √ dy = 86. Not˘am x + a = y ¸si, schimbˆand variabila se obt¸ine 2 y2 µ ¶ a =2 y+ + c. y R˘aspuns corect: (e). π

87. I =

Z2

sin x dx = − 1 + cos2 x

0

Z0

dt 1 = − arctg t|01 = π 2 1+t 4

1

R˘aspuns corect: (d) . 88. T ¸ inˆand seama de descompunerea 4x3 − 6x2 + 8x − 3 = (4x − 2)(x2 − x + 1) + (2x − 1) obt¸inem: Z1

(4x − 2)(x2 − x + 1) + (2x − 1) dx = (x2 − x + 1)3

Z1 µ

(4x − 2)(x2 − x + 1) (2x − 1) + (x2 − x + 1)3 (x2 − x + 1)3

I=

0

=

0

¯1 ¯1 ¯ ¯ 2 1 ¯ =0 ¯ − =− 2 x − x + 1 ¯0 2(x2 − x + 1)2 ¯0

¶

dx =

R˘aspuns corect (c). ¶0 µ Z Z Z ln x 1 1 ln x ln x 1 89. I = + − + C. dx = ln x − dx = − dx = − 2 2 x x x x x x R˘aspuns corect (d).

90. Se face substitut¸ia ln x = t. I = R˘aspuns corect (a).

Z

√ dt √ = ln(t + 4 + t2 ) + C. 4 + t2

65 91. Impunem x − 2 cos´x 6= 0 ⇒ tg x³6= 2 ⇒ x 6=´ arctg 2 ⇒ g˘asim dou˘a in³ sin π π tervale, − , arctg 2 ¸si respectiv arctg 2, . Cel de lungime maxim˘a 2 Z Z ³ π 2 ´ dx dt este − , arctg 2 . I = , tg x = t ⇒ I = = 2 tgx − 2 (t − 2)(t2 + 1) ¢ 2 1 1 ¡2 − arctan t + ln |t − 2| − ln t + 1 + C. 5 5 10 R˘aspuns corect (a). Z Z Z xdx dx (x2 + 1 − x2 ) dx − x 2 = = arctg x − 92. I = 2 2 2 (x +¶1) (x + 1) µ (x¶ + 1)2 Z Z µ 0 0 1 1 1 x x − dx = arctg x + dx = 2 2(x2 + 1) x2 + 1 ∙ ¸ Z x 1 1 = arctg x + 2 2 − dx . x +1 x2 + 1 R˘aspuns corect (a). 93. Observ˘am c˘a x2 + 2x +Z 5 = (x + 1)2 + 4Z⇒ x + 1 = 2y ⇒ dx = 2dy 2y2dy ydy 1 1 1 ¸si integrala devine I = +C = = − (4y 2 + 4)2 4 (y 2 + 1)2 8 y2 + 1 etc. R˘aspuns corect (b). 94. ˆInmult¸im fract¸ia de sub integral˘a cu conjugata ei ¸si obt¸inem Z ¢ ¡√ I= x2 + 1 − x dx.

R˘aspuns corect (c). Z Z ³ ¢2 ¡ 1 95. I = 1 − x+2 dx = 1− c.

2 x+2

+

1 (x+2)2

´

1 + dx = x−2 ln(x+2)− x+2

R˘aspuns corect (e). ½ x e pentru 0 ≤ x ≤ 1 96. f (x) = ⇒ 2 x x e pentru 1 ≤ x ≤ 2 I=

Z1 0

x

e dx +

Z2

x2 ex dx = e − 1 + e (2e − 1) = 2e2 − 1.

1

R˘aspuns corect (e).

˘ CAPITOLUL 3. INDICAT ¸ II S¸I RASPUNSURI

66

2 4x , g0 (x) = 1 + >0⇒g 2 1+x (1 + x2 )2 strict cresc˘atoare, g(x) = 0 ⇒ x = 1. Z1 Z2 π 1 2 I = xdx + + 2 arctg 2 − . dx = 1 + x2 2 2

97. Fie g : [0, 2] → R, g(x) = x −

0

1

R˘aspuns corect (a). ½ x e pentru 0 ≤ x ≤ 1 98. f (x) = ⇒ e−x pentru − 1 ≤ x < 0 I=

Z0

Z1

−x

e dx +

−1

ex dx = − (1 − e) + (e − 1) = 2 (e − 1) .

0

R˘aspuns corect (c). ¯e R e ln x ln2 x ¯ 99. 1 x dx = 2 ¯ = 12 . 1

R˘aspuns corect (c).

100.

Z3

tdt = 1 + t2

2

1 2

¯3 ln (1 + t2 )¯2 = 12 (ln 10 − ln 5) = 12 ln 2.

R˘aspuns corect (a). π

101. I = arctg sin x|04 = arctg

√ 2 . 2

R˘aspuns corect (e). √ √ 4 102. I = 2 x − 2 ln(1 + x)|0 = 4 − 2 ln 3. R˘aspuns corect (d).

103. I =

Z1

√ x x2 + 1dx +

0

I1 =

Z1 0

=

1 3

Z1

√ x2 + 1dx = I1 + I2 .

0

√ x x2 + 1dx =

¢ ¡ √ 2 2−1 .

1 2

Z1

0

2

1/2

(x + 1)

2xdx =

1 3

2

¯1 ¯ =

3/2 ¯

(x + 1)

0

67

I2 =

Z1 0

=

¯1 √ √ x2 + 1dx = x x2 + 1¯0 −

√ 2−

Z1 0

Z1 0

x dx = x√ 2 x +1

x2 + 1 − 1 √ dx, x2 + 1 Z1

√ √ ¡ ¢¯1 1 √ dx = 2 − I2 + ln x + x2 + 1 ¯0 ⇒ x2 + 1 0 √ √ √ ¢ √ ¢ ¡ ¡ 2I2 = 2 + ln 1 + 2 ⇒ I2 = 22 + 12 ln 1 + 2 .

√ I2 = 2 − I2 +

R˘aspuns corect (c).

104. Observ˘am c˘a x3 − x2 − x + 1 = (x + 1) (x − 1)2 ⇒ Z1 Z1 √ √ I = |x − 1| x + 1dx = (1 − x) x + 1dx = I1 − I2 . 0

I1 =

0

Z1

√ 2 √ x + 1dx = (2 2 − 1), 3

Z1

√ √ √ 4 2 16 2 4 x x + 1dx = − + . 3 15 15

0

I2 =

0

R˘aspuns corect: (c). 105. f 00 (x) = (x + 5) (x + 3) ex , f 00 (x) = 0 ⇒ x1 = −5, x2 = −3 care sunt −3 Z punctele de inflexiune. S = (x2 + 4x + 5)ex dx = 6(e2 − 3)e−5 . −5

R˘aspuns corect: (b). 106. I =

Z1

1 2

Z1

µ

0

+

0

x

¶0

π dx = − 4

Z1

1 π x2 √ · dx = + 2 2 4 1−x

³√ ´0 π 1 1 − x2 dx = − 4 2

Z1

√ π 1 − x2 dx = . 8

x2 arccos x 2

0

0

˘ CAPITOLUL 3. INDICAT ¸ II S¸I RASPUNSURI

68

Deoarece

Z1

π

√ 1 − x2 dx =

0

Z2

cos2 xdx =

π . 4

0

Raspuns corect: (c). 107. Varianta I. Calcul˘am µ ¶ Rn 2 n+1 1− dx = (x − 2 ln (x + 1))|x=n ⇒ In = x=1 = n − 1 − 2 ln x+1 2 1 (n+1) In n − 1 n + 1 ln 2 ⇒ = − · n+1 . n n n 2 In (1) = n→∞ n

Atunci lim

1 − 1 · 0 = 1. Am utilizat (1) n→∞ lim n∈N

ln n = 0, deoarece n

ln x lim = 0. x→∞ x x∈R Varianta II. Calcul˘am, cu regula lui l’Hˆospital, Rx t − 1 dt x−1 1 t+1 = lim = 1. Am utilizat faptul c˘a pentru f continu˘a lim x→∞ x→∞ x + 1 x¶ µ 0 Rx f (t)dt = f (x). a

R˘aspuns corect: (c). ⎧ ⎨ 2 − x, x ∈ (−∞, 1) x, x ∈ [1, 3) 108. f (x) = ⇒ ⎩ 3x − 6, x ∈ [3, ∞) ⎧ x2 ⎨ 2x − 2 + C1 , x ∈ (−∞, 1) x2 . F (x) = + C2 , x ∈ (1, 3) 2 ⎩ 3x 2 − 6x + C3 , x ∈ (3, ∞) 2

Din condit¸ia ca F s˘a fie continu˘a rezult˘a C3 = 9 ⇒ F (4) = 9. R˘aspuns corect: (e).

1 1 1 109. f (x) = 3 = = 2 2 x + x + 4x + 4 (x + 1) (x + 4) 5 Atunci

µ

¶ 1 x−1 − . x + 1 x2 + 4

69 ¡ 2 ¢¯1 1 x ¯¯1 1 1 1 ¯ I = ln (x + 1)|0 − ln x + 4 0 + arctg ¯ = 5 10 10 2 0 µ ¶ 1 16 1 = ln + arctg . 10 5 2 R˘aspuns corect: (c).

110. Se face schimbarea de variabil˘a x = π − t ¸si se obt¸ine Zπ R0 (π − t) sin t sin t I= −I ⇒ 2 (−1) dt = π 1 + cos2 t π 1 + (− cos t) 0

⇒I =

−π π π arctg (cos t)|t=π arctg 1 = π arctg 1 = t=0 = − arctg (−1) + 2 2 2

π2 . 4 R˘aspuns corect: (a). =

111. Not˘am x2 + 3x = t ¸si facˆand schimbarea de variabil˘a obt¸inem: Z 2 dt √ = √1n arctg x +3x+1 + C. In = t(t+2)+n+1 n R˘aspuns corect: (d) . 1 (x+1)(x2 −x+2)

112. f (x) = I=

Z1

− 14

0

x−2 dx x2 −x+2

−

1 4(x+1)

=

− 14

Z1 0

= − 4(x2x−2 . −x+2) [(2x−1)−3]dx x2 −x+2

=

3 √ 2 7

arctg √17 .

R˘aspuns corect: (a). 113. I =

Za

√xdx x+a

0 2 √ a a(2 3

=

Za

√ x + adx−a

√ 0 − 2).

0

R˘aspuns corect (c). 114. I =

Za 1

1 dx + a−x+1

R˘aspuns corect: (a).

Za

Z3

a

¯ ¯ 3 a 1 a dx (x + a) 2 ¯¯ (x + a) 2 ¯¯ √ = ¯ −a ¯ = 3 1 ¯ ¯ x+a 2 2

1 dx = ln [a(4 − a)] . x−a+1

0

0

˘ CAPITOLUL 3. INDICAT ¸ II S¸I RASPUNSURI

70

115. Integrˆand prin p˘art¸i avem √ √ R a x2 + a2 √ Ra √ I = x x2 + a2 |a−a − −a x2 + a2 dx = 2a2 2− −a √ dx = 2a2 2− x2 + a2 √ √ ¡ ¢ R 1 a I − a2 −a √ dx = 2a2 2 − I − a2 ln x + x2 + a2 |a−a , deci I = 2 + a2 xp √ √ 2 2 a 2 − a ln 3 + 2 2. R˘aspuns corect: (a).

116. Explicit˘am funct¸ia f :

Atunci I = 4/ ln 3.

Z0

−1

¡ 1 ¢x 3

⎧ 3x , 0 ≤ x ≤ 1 ⎨ µ ¶ x 1 f (x) = , −1 ≤ x < 0. ⎩ 3 dx +

Z1

3x dx = [(1/3)x ]|0−1 / ln (1/3) + (3x )|10 / ln 3 =

0

R˘aspuns corect: (c). 117. Integrala se mai scrie

I = (1/2)

π/4 Z

π/4

(1 + cos 2x)dx = (1/2) (x + (sin 2x)/2)|π/6 ,

π/6

deci I = π/24 + 1/4 −

√ 3/8.

R˘aspuns corect: (e). ⎧ x3 + x ⎪ ⎪ Z2 ⎨ 2 pentru x ∈ [0, 1) x +1 118. f (x) = 1 pentru x = 1 , I = xdx = ⎪ ⎪ ⎩ x 1 pentru x > 1 2

R˘aspuns corect: (b).

119. Se integreaz˘a prin p˘art¸i. R˘aspuns corect: (d).

15 . 8

71 √ 120. P 0 (x) = 3x2 − 3m ⇒ m ≥ 0 ¸si x = ± m. √ √ √ Pentru x = m ¸si P ( m) = 0 ⇒ n = 2m m. Din R2 0

(x3 − 3mx + n)dx = 2 ⇒ 4 − 6m + 2n = 2 ⇒ 3m − n = 1.

Din cele dou˘a relat¸ii rezult˘a m = 1, n = 2. √ √ √ Pentru x = − m ¸si P (− m) = 0 ⇒ n = −2m m. Din cele dou˘a relat¸ii 1 1 rezult˘a m = , n = − ⇒ p = 2. 4 4 R˘aspuns corect (e).

121.

Z4 3

x2 − 1 dx = (x − 2)2

Z4 µ 1+

4 3 + x − 2 (x − 2)2

3

¶

dx =

5 + 4 ln 2. 2

R˘aspuns corect (b). 122. l = 1 x

Ze

1

Ze q 1+

p 1 + f 02 (x)dx =

1 dx. x2

Facem schimbarea de variabil˘a

1

= y ⇒ x = y1 , dx = − y12 dy.

1 1 µ ¶0 Ze p Ze p 2 1+y 1 Integrala devine l = − dy = 1 + y2 dy ¸si se inte2 y y

1

1

greaz˘a prin p˘art¸i..

R˘aspuns corect (b).

123. l =

Z1 0

p 1 + f 02 (x)dx =

Z1 q 1 + 94 xdx. Facem schimbarea de variabil˘a 0

1 + 94 x = t ⇒ 94 dx = dt ⇒ l =

13

Z4

1

R˘aspuns corect (e). 124. x2 + y 2 = R2 , x ≥ 0, y ≥ 0.

4 9

√ tdt etc.

˘ CAPITOLUL 3. INDICAT ¸ II S¸I RASPUNSURI

72 y

2 1.8 1.6 1.4 1.2 1 0.8 0.6 0.4 0.2 0 0

0.2

0.4

0.6

0.8

1

1.2

1.4

1.6

1.8

2 x

f (x) =

√ R2 − x2 , 0 ≤ x ≤ R.

1 A = πR2 . 4 ZR

π

√ x R2 − x2 dx =

0

Z2

π

R sin tR cos tR cos tdt = R3

0

Z2

cos2 t sin tdt =

R3 3

⇒

0

3

xG =

4R 1 R = . 3 3π

πR2 4

Din motive de simetrie rezult˘a c˘a xG = yG . R˘aspuns corect (c). 125. σ∆n (f, nk ) =

1 n

⎛

⎝q 1 1+

1 n

1 +q 1+

2 n

⎞

1 ⎠ reprezint˘a suma + ··· + p 1 + nn

1 ¸si diviziunii Riemann asociat˘a funct¸iei f : [0, 1] → R, f (x) = √ 1+x echidistante a intervalului [0, 1] , ¡ ¢ ∆n = x0 = 0 < x1 = n1 < · · · < xn = nn = 1 . Deci lim

n→∞

=

Z1

µ

1 1 1 √ +√ +···+ √ 2 2 2 n +n n + 2n n + n2

√ dx √ = 2( 2 − 1). 1+x

0

R˘aspuns corect: (a).

¶

=

73 126. Parabolele se intersecteaz˘a ˆın punctele (0, 0) ¸si (2, 2). Astfel aria este Z2 ³ ´ √ x2 egal˘a cu 2x − 2 dx. 0

y

3 2.5 2 1.5 1 0.5 0

-1

-0.5 -0.5

0

0.5 1

1.5 2

2.5 3

3.5 4

4.5 5 x

-1 -1.5 -2 -2.5 -3

R˘aspuns corect: (b). Observat¸ie. Datorit˘a simetriei domeniului fat˘a de prima bisectoare puZ2 ³ ´ x2 x − 2 dx. tem calcula mai simplu aria = 2 0

127. Parabolele se intersecteaz˘a ˆın punctele (0, 0) ¸si

Astfel aria este egal˜a cu

√ 3 Zab2 0

³√ ax −

x2 b

´

³√ ´ √ 3 3 ab2 , a2 b .

dx = 13 ab.

R˘aspuns corect: (e). 128. Deoarece f (x) < 0 pentru x ∈ π

A=− =

1 2

Z2

π 4

£π 4

¤ , π2 rezult˘a

√ ¢√ ¡ (cos x) · ln(sin x)dx = 12 ln 12 2 2 +

√ ¡ 1√ ¢ √ ln 2 2 2 + 1 − 12 2 = 1 −

R˘aspuns corect: (a)

√ 2 2

−

√ 2 4

ln 2.

π

Z2

π 4

cos x dx =

˘ CAPITOLUL 3. INDICAT ¸ II S¸I RASPUNSURI

74

129. Volumul corpului de rotat¸ie obt¸inut prin rotirea ˆın jurul axei Ox a subgraficului asociat funct¸iei f se calculeaz˘a dup˘a formula Ra V = π 0 f 2 (x) dx,deci ¡ ¢ V = (πa2 /4) ae2x/a /2 − ae−2x/a /2 + 2x |a0 , de unde V = πa3 (e2 − e−2 + 4) /8. R˘aspuns corect: (e).

130. Pentru x ∈ [0, π] , deci x ≤ π ⇒ f (x) ≥ f (π) = 0.

Pentru x ∈ [π, 2π] , deci x ≥ π ⇒ f (x) ≤ f (π) = 0. R2π R2π Rπ − f (x) sin xdx = − f (x) sin xdx − I = F (x) cos xdx = sin xF (x)|2π 0 0 0 0 Z 2π f (x) sin xdx ≤ 0. π

R˘aspuns corect (b).

131. Deriv˘am relat¸ia 3F (x) = x(f (x) + x4 ) ¸si obt¸inem ecuat¸ia diferent¸ial˘a xf 0 (x) − 2f (x) + 5x4 = 0 ⇔ f 0 (x) − x2 f (x) + 5x3 = 0 care este o ecuat¸ie diferent¸ial˘a liniar˘a ¸si a c˘arei solut¸ie este f (x) = − 52 x4 + x2 C. Dar f (1) = C − 52 ⇒ C = 72 ⇒ f (2) = −26 R˘aspuns corect: (b).

132. RDeoarece, pentru 0 ≤ x ≤ 1, avem 0 ≤ 1 2n 1 1 x dx = 2n+1 iar lim 2n+1 = 0. 0

√ 1 − x2 ≤ 1 deducem 0 ≤ In ≤

n→∞

R˘aspuns corect: (d) .

Observat¸ie. De¸si nu este necesar, se poate calcula In stabilind, ˆın prealabil, o formul˘a de recurent¸˘a prin metoda integr˘arii prin p˘art¸i. Se obt¸ine π π In = (2n−1)!! de unde 0 < In < 4(n+1) . (2n+2)!! 2 133. Intergˆand prin p˘art¸i ¸si ¸tinˆand seama de condit¸iile impuse obt¸inem: I = Zb Zb b d 1 00 0 00 (f 0 (x))2 dx = f (x)f (x)|a − f (x)f (x)dx = − 2 dx −

¯

a

b 1 d (f 0 (x))2 ¯a 2 dx

a

= 0.

R˘aspuns corect (c).

75 134. Se integreaz˘a de dou˘a ori prin p˘art¸i. Se poate ¸si prin derivare. R˘aspuns corect (a). 135. Cum f este derivabil˘a cu derivata continu˘a ¸si bijectiv˘a, rezult˘a c˘a putem aplica Teorema de schimbare de variabil˘a ˆın a doua integral˘a din E, anume facem schimbarea de variabil˘a y = f (x) . Din bijectivitatea lui f, y = f (a) dac˘a ¸si numai dac˘a x = a ¸si y = f (b) dac˘a ¸si numai Rb Rb dac˘a x = b. Atunci E = a f (x) dx + a f −1 (f (x)) f 0 (x) dx, de unde Rb E = a [f (x) + xf 0 (x)]dx. Cum f (x) + xf 0 (x) = (xf (x))0 , conform formulei lui Leibniz-Newton avem E = bf (b) − af (a) . R˘aspuns corect: (b).

136. Aplic˘am regula lui l’ Hˆospital, ¸stiind c˘a

d dx

Z

x

sin t2 dt = sin x2 . 0

R˘aspuns corect: (e). Z x4 +1 4 4 1 dt = ln xx2 +1 . lim ln xx2 +1 = 0. Aplic˘am regula lui l’ Hˆospital, 137. t +1 +1 x2 +1 4 lim x12 ln xx2 +1 +1 x→0

x→0

= −1.

R˘aspuns corect: (d) . 138. Facem substitut¸ia x = t2 ¸si obt¸inem an = ³ nan = 2 ln 1 +

1 n(n+2)

R˘aspuns corect: (a) .

139. an =

Zn

(x+4)dt (x+1)(x+2)

=

n−1

´n

Zn

n−1

n+1 Z

2dt t(1+t)

n

0

→ 2 ln e = 0 ¡

3 x+1

−

2 x+2

¢

5

dx = ln n(n+1) 3 (n+2)2 → 0;

´n ³ 5 4 3 +10n2 +5n+1 = nan = n ln n3 (n+2)2 = ln n +5n n+10n 5 +4n4 +4n2 ³ ´n 4 3 +10n2 +5n+1 →1 = ln 1 + n +6n 5 4 3 n +4n +4n √ Analog nan → 0. (n+1)5

R˘aspuns corect: (b) .

2

(n+1) = 2 ln n(n+2) . Deci

76

˘ CAPITOLUL 3. INDICAT ¸ II S¸I RASPUNSURI

Capitolul 4 Modele de teste Testul nr. 1 1. Domeniul maxim de definit¸ie al funct¸iei f : D → R, 2x + 5 f (x) = √ 2 x −9 este: (a) R; (b) R \ {−2, 3}; (c) (3, ∞); ¶ µ 5 (d) (−∞, −3) ∪ (3, ∞); (e) −∞, − . 2 1 2. Se consider˘a ¸sirul (xn ) , dat prin relatia xn = (1 + xn−1 ) pentru n ≥ 1, 2 ˆın care x0 < 1 este un num˘ar real fixat. S˘a se studieze monotonia ¸sirului ¸si s˘a se afle lim xn . n→∞ √ (a) (xn ) cresc˘ator ¸si lim xn = 2; (b) (xn ) cresc˘ator ¸si lim xn = 1; n→∞

n→∞

1 (c) (xn ) descresc˘ator ¸si lim xn = ; n→∞ 2 (d) (xn ) descresc˘ator ¸si lim xn = 2; (e) (xn ) cresc˘ator ¸si lim xn = 32 . n→∞

3. Limita

n→∞

ex + e−x − 2 cos x x→0 3x2 lim

este egal˘a cu: (a) 0; (b) ∞; (c) 1; (d)

2 1 ; (e) . 3 3 77

78

CAPITOLUL 4. MODELE DE TESTE 4. S˘a se calculeze derivata funct¸iei: f : (0, π) → R, f (x) = arcctg (a) x; (b) sin x2 ; (c) π2 ; (d)

r

1 + cos x . 1 − cos x

1 ; (e) 0. 2

5. Fie f : D → R, f (x) =

x2 + ax , x ∈ D, bx − 2

unde D ⊂R este domeniul maxim de definit¸ie al funct¸iei f iar a ¸si b constante reale. Valorile lui a ¸si b pentru care funct¸ia f are extreme locale ˆın x = −2 ¸si x = 6 sunt: (a) a = 6, b = 1; (b) a = 1, b = 1; (c) a = −1, b = 1; (d) a = 0, b = −1; (e) a = 1, b = −1. 6. Valoarea sumei Sn = Cn1 + 2Cn2 + 3Cn3 + · · · + nCnn , n ∈ N, este: (a) (n + 1) · 2n ; (b) n2 ; (c) n · 2n−1 ; (d) 2n+1 ; (e) 2n .

7. Pentru polinomul P (X) = X 3n − nX n+2 + nX n−1 − 1, n ≥ 2, (a) 0 este r˘ad˘acin˘a dubl˘a; (b) 1 este r˘ad˘acin˘a simpl˘a; (c) 1 este r˘ad˘acin˘a dubl˘a; (d) 1 este r˘ad˘acin˘a tripl˘a; (e) 1 nu este r˘ad˘acin˘a. 8. S˘a se determine valoarea parametrului real α astfel ˆıncˆat graficul funct¸iei f : R → R, f (x) =

√ 3 8x3 + αx2

1 ca asimptot˘a oblic˘a. 3 1 4 (a) 4; (b) − ; (c)1; (d) -4; (e) . 3 4

s˘a admit˘a dreapta y = 2x −

79 9. Primitivele funct¸iei f : (0, ∞) → R, unde f (x) =

x3

1 , +x

sunt funct¸iile F : (0, ∞) → R, date prin:

¡ √ ¢ x2 2 + 1 + C; + C; (b) F (x) = ln x x x2 + 1 x + C; (c) F (x) = ln x − arctg x + C; (d) F (x) = ln √ 2 x +1 √ (e) F (x) = x + x2 + 1 + C.

(a) F (x) = ln

10. S˘a se determine parametrul a, astfel ˆıncˆat s˘a avem 1<

Z1

x2 + a dx < 2. x2 + 3

0

√ √ 2 3 3 (a) 3 < a < 3 + ; (b) 3 − < a < 3; π Ã π √ ! 2 3 π (c) 3 < a < 3 1 + ; (d) 3 − < a < π; π 6 √ 7 π . (e) 3 < a < 3 + 2

Testul nr. 2 1. Se d˘a ¸sirul definit recurent prin relat¸ia: xn+1 = xn + (−a)n , n ∈ N , x1 = 0, unde 0 < a < 1. Care din urm˘atoarele afirmat¸ii este adev˘arat˘a: (a) ¸sirul este strict cresc˘ator cu limita ∞;

(b) ¸sirul este strict descresc˘ator cu limita −∞;

a ; (c) ¸sirul nu este monoton, dar are limita − a+1

(d) ¸sirul este strict cresc˘ator cu limita 1;

(e) ¸sirul nu este monoton, deci nu are limit˘a.

80

CAPITOLUL 4. MODELE DE TESTE 2. S˘a se determine valorile parametrului a pentru care ecuat¸ia: ¯ ¯ ¯ ¯ 2 − a a − x x − 1 ¯ ¯ 2 2 ¯=0 ¯ 1−x x −1 ¯ ¯ ¯ 2 − a − 2x x + a x − 2 ¯ admite ca r˘ad˘acin˘a dubl˘a un num˘ar ˆıntreg. a) a = −1;

b) a = −2 sau a = 1;

c) a = 0;

e) a ∈ ∅. ¢ ¡√ 3. Dac˘a lim x2 − x + 1 − ax − b = 0 atunci perechea (a, b) este: x→−∞ ¢ ¡ ¢ ¡ ¢ ¡ b) 1, − 12 ; c) 1, 12 ; a) −1, 12 ; ¡ ¢ d) −1, − 12 ; e) (−1, 0). d) a = 3;

4. Funct¸ia f : R → R, definit˘a prin

f (x) = arcsin

2x +1

x2

este: (a) continu˘a ¸si derivabil˘a pe R; (b) continu˘a ¸si derivabil˘a pentru x ∈ [−2, 2] ;

(c) continu˘a pe R ¸si derivabil˘a pe R \ {0} ;

(d) continu˘a pe R ¸si derivabil˘a pe R \ {−1, 1} ;

(e) continu˘a pe R ¸si derivabil˘a pentru x ∈ [−1, 1] .

5. Se d˘a f : R \ {0, 2, 4, 6} → R, f (x) =

1 1 3 5 + + + + π. x x−2 x−4 x−6

Num˘arul punctelor ˆın care graficul funct¸iei intersecteaz˘a axa Ox este: (a) 0; (b) 1; (c) 2; (d) 3; (e) 4. 6. Dac˘a f (x) = atunci:

3 ln x , x > 0 ¸si x1 = e, x2 = e x 2

81 a) x1 este un punct de maxim local, x2 este punct de minim local; b) x1 , x2 sunt puncte de maxim local; c) x1 este punct de maxim local, x2 este punct de inflexiune; d) x1 , x2 sunt puncte de minim local; e) x1 , x2 sunt puncte de inflexiune. 7. S˘a se afle lim

n→∞

(a) ln 2;

3 (b) ln ; 2

µ

¶ 1 1 1 + + ··· + . 2n + 1 2n + 2 2n + n π 3 (c) ; (d) 12 e; (e) 1 + ln . 2 2

8. Se consider˘a funct¸ia f : R → R, f (x) =

Zx 0

t2

2t + 1 dt. − 2t + 2

S˘a se calculeze f (2) ¸si s˘a se arate c˘a f are un singur punct de extrem x0 . π 1 (a) f (2) = π ¸si x0 = 1; (b) f (2) = ¸si x0 = ; 2 2 5π 1 3π ¸si x0 = − ; (d) f (2) = ¸si x0 = −1; (c) f (2) = 2 2 2 1 (e) f (2) = 0 ¸si x0 = − . 2 9. Valoarea integralei I=

Z1

xdx (x + 1)(x2 + 1)

0

este: 1+π 1 3 ; (c) I = (π − 2 ln 2); (a) I = ; (b) I = 2 2 8 √ 1 1 (d) I = (π + ln 2); (e) I = (π + 3). 4 4 10. Aria lateral˘a a suprafet¸ei generate prin rotirea graficului funct¸iei f (x) = ex , 0 ≤ x ≤ 1 ˆın jurul axei Ox este: √ √ ¢ √ √ ¢ ¡ ¡ (a) 23 π (e2 + 1) e2 + 1 − 2 2 ; (b) 43 π (e2 + 1) e2 + 1 − 2 2 ;

82

CAPITOLUL 4. MODELE DE TESTE √ √ ¢ ¡ 2 (e + 1) e2 + 1 − 2 2 ; (d) √ ¢ ¡ √ (e) 23 (e + 1) e + 1 − 2 2 .

(c)

1 3

4π 3

√ ¢ ¡ √ (e + 1) e + 1 − 2 2 ;

Testul nr. 3 1. Fie ¸sirul

⎧ µ ¶ln n n + ln n ⎪ ⎨ , n impar n xn = ⎪ ⎩ n ln n + 1 , n par. n S˘a se studieze existent¸a limitei l a ¸sirului.

(a) l = e; (d) l = 0;

(b) l = ∞;

(c) l = 1;

(e) nu exist˘a l.

2. Domeniul maxim de definit¸ie al funct¸iei f : D ⊂R → R, f (x) =

x2 + |x2 + x − 2| x + |x + 1|

este: (a) R∗ ; (d) RÂ {1};

(b) RÂ {0};

(c) RÂ {−1}; © 1ª (e) RÂ − 2 .

x − arcsin x . Atunci: x→0 x − arctg x

3. Fie L = lim (a) L = π;

(d) L = − 12 ;

(c) L = 12 ;

(b) L = 1;

(e) L = 0.

4. Se d˘a funct¸ia f : R → R prin relatia f (x) =

x + m −x e , x2 + 1

ˆın care m este un parametru real. S˘a se afle valoarea lui m pentru care f are extrem ˆın punctul x = 1 ¸si s˘a se precizeze natura acestui extrem. √ 2 (a) m = , x = 1 punct de maxim; (b) m = 3, x = 1 punct de minim; 3

83 1 1 (c) m = , x = 1 punct de maxim; (d) m = − , x = 1 punct de maxim; 2 2 1 (e) m = , x = 1 punct de minim. e 5. Se consider˘a funct¸ia f : (−1, ∞) → R, f (x) = ln(1 + x) − arctg x. Care din urm˘atoarele afirmat¸ii este adev˘arat˘a: (a) f este descresc˘atoare pe (−1, 1] ¸si cresc˘atoare pe [1, ∞) . (b) f este descresc˘atoare pe (−1, 0] ¸si cresc˘atoare pe [0, ∞) . (c) f este cresc˘atoare pe [−1, ∞) . (d) f este descresc˘atoare pe (−1, 0] descresc˘atoare pe [0, 1] ¸si cresc˘atoare pe [1, ∞) . (e) f este descresc˘atoare pe (−1, 0] cresc˘atoare pe [0, 1] ¸si descresc˘atoare pe [1, ∞) . 6. Num˘arul punctelor de extrem ale funct¸iei F : R → R, F (x) =

Zx

2

et t2 (t2 − 2)dt

0

este: (a) 0;

(b) 1;

(c) 2;

(d) 3;

(e) 4.

7. Fie L = lim

n→∞

"r

1 + n3 + 1

r

2 + ... + n3 + 8

r

# n , n ∈ N∗ . n3 + n3

Atunci: (a) L =

√ 2;

(d) L = 1;

(b) L = 23 ; (e) L = 3.

√ (c) L = 23 ln( 2 + 1);

84

CAPITOLUL 4. MODELE DE TESTE 8. Valoarea integralei Z3 1

x+1 dx x |x − 2| + 3

este:

µ ¶ √ 1 1 a) ln 2 + √ arctg 2 − arctg √ ; 2 2 ¶ µ √ √ √ 1 b) ln 2 + 2 arctg 2 − arctg √ ; 2 ¶ µ √ ¡ √ ¢ √ 1 c) ln 2 2 + 2 arctg 2 − arctg √ ; 2 √ √ √ 2−1 d) ln √ ; e) 2 arctg 2. 2+1 9. S¸irul (an )n∈N∗ este definit prin an =

2 (n+1) Z

dx √ . x(1 + x)

n2

Valorile l1 = lim an ¸si l2 = lim nan sunt: n→∞

(a) l1 = 0, l2 = 0; (d) l1 = 1, l2 = ∞;

n→∞

(b) l1 = 0, l2 = 1; (e) l1 = ∞, l2 = ∞.

(c) l1 = 0, l2 = ∞;

10. Coordonatele centrului de greutate ale pl˘acii omogene definit˘a prin y = 16 − x2 , y ≥ 0 sunt: (a) (0, 0); ¡ ¢ (d) 0, 32 ; 5

(b) (8, 0);

(e) (0, 16).

(c) (0, −1);

4.1. INDICAT ¸ II

4.1

85

Indicat¸ii Testul nr. 1

1. Impunem condit¸ia x2 − 9 > 0. R˘aspuns corect (d).

2. Cum solut¸iile propuse asigur˘a existent¸a limitei iar valorile sunt diferite o putem afla trecˆand la limit˘a ˆın relat¸ia de recurent¸˘a. R˘aspuns corect (a). 3. Se aplic˘a de dou˘a ori regula lui l’Hˆospital. R˘aspuns corect (d). 4. f 0 (x) = − =

1 1+

1+cos x 1−cos x

1 −(1 − cos x) sin x − (1 + cos x) sin x q = x (1 − cos x)2 2 1+cos 1−cos x

1 2 sin x 1 1 − cos x sin x q = . = √ 2 2 2 2 1 − cos x 2 2 1+cos x (1 − cos x) 1−cos x

R˘aspuns corect (d).

2

−4x−2a 5. Se calculeaz˘a derivata funct¸iei, f 0 (x) = bx(bx−2) si se pun condit¸iile ca 2 , ¸ aceasta s˘a se anuleze ˆın punctele specificate.

R˘aspuns corect (a). 6. Se consider˘a dezvoltarea binomial˘a (1 + x)n = Cn0 + Cn1 x + · · · +

+Cnn−1 xn−1 + Cnn xn . Se deriveaz˘a relat¸ia ¸si se d˘a variabilei x valoarea 1.

R˘aspuns corect (c). 7. Observ˘am c˘a P (1) = P 0 (1) = 0 ¸si P 00 (1) 6= 0. R˘aspuns corect (c).

8. Se calculeaz˘a m = lim

x→±∞

f (x) α = 2, n = lim (f (x) − 2x) = . x→±∞ x 12

R˘aspuns corect (d). 9. Se descomune ˆın fract¸ii simple R˘aspuns corect (d).

1 x(x2 +1)

=

1 x

−

x x2 +1

¸si se integreaz˘a.

86

CAPITOLUL 4. MODELE DE TESTE

10. Calcul˘am integrala

Z

π + (a − 3) 6√ etc. 3 R˘aspuns corect (c).

1 0

¡ 1+

a−3 x2 +3

¢

= 1 + (a − 3)

√1 3

¯1 ¯ arctg √x3 ¯ = 1+ 0

Testul nr. 2 n

1. Observ˘am c˘a xn+1 = (−a)+(−a)2 +...+(−a)n = (−a) 1−(−a) , lim xn+1 = 1+a n→∞ a . − a+1 R˘aspuns corect: (c).

2. Ecuat¸ia este x3 − 2x2 + x + a = 0, derivata ecuat¸iei este 3x2 − 4x + 1 = 0 care are o singur˘a r˘ad˘acin˘a ˆıntreag˘a x = 1. R˘aspuns corect (c). 3. Observ˘am c˘a a < 0 ¸si ˆınmult¸im cu conjugatul. R˘aspuns corect (a). 4. Se calculeaz˘a f 0 (x) = R˘aspuns corect (d).

2(1 − x2 ) . |x2 − 1| (x2 + 1)

1 3 5 5. f 0 (x) = − x12 − (x−2) 2 − (x−4)2 − (x−6)2 < 0 ⇒ f este monoton descresc˘atoare pe subintervale, dreptele x = 0, x = 2, x = 4, x = 6 sunt asimptote verticale. lim f (x) = π, lim f (x) = −∞, f descresc˘atoare⇒ x→−∞

x%0

f intersecteaz˘a axa Ox ˆıntr-un punct x0 ∈ (−∞, 0) ; lim f (x) = ∞, x&0

lim f (x) = −∞ ⇒ f intersecteaz˘a axa Ox ˆıntr-un punct x1 ∈ (0, 2) etc.

x%2

R˘aspuns corect: (e). 1 − ln x 00 2 ln x − 3 , f (x) = rezult˘a 2 x x3 3 x 0 e e2 f 0 (x) + 0 − − − . f (x) % max & f 00 (x) − − − 0 +

6. Deoarece f 0 (x) =

R˘aspuns corect (c).

4.1. INDICAT ¸ II

87

7. Scriem ¸sirul sub forma

1 n

³

1 1 2+ n

+

1 2 2+ n

+ ... +

1 2+ n n

´

¸si recunoa¸stem c˘a este

1 pentru o diviziune echidiso sum˘a Riemann asociat˘a funct¸iei f (x) = 2+x R1 1 tant˘a a intervalului [0, 1] . Deci limita c˘autat˘a va fi 0 2+x dx.

R˘aspuns corect: (b).

8. Se calculeaz˘a f (2) =

Z2 µ 0

2

= ln ((t − 1) +

2 1)|0

R˘aspuns corect (c).

¶ 2(t − 1) 3 + dt = (t − 1)2 + 1 (t − 1)2 + 1

+ 3 arctg(t − 1)|20 .

9. Scriem expresia de sub integral˘a sub forma: µ ¶ 1 1 x 1 + − , 2 x2 + 1 x2 + 1 x + 1 fiecare fract¸ie avˆand primitive imediate. R˘aspuns corect (c). 10. S = 2π 2 π 3

Z1

p f (x) 1 + f 02 (x)dx = 2π

√ ¢ ¡ 2 0 √ (e + 1) e2 + 1 − 2 2 .

Z1 0

√ ex 1 + e2x dx = π

1+e Z2

√ tdt =

2

R˘aspuns corect (a).

Testul nr. 3 µ ¶ln n ln n 1. Pentru n impar are loc: lim xn = lim 1 + = 1, pentru n par n→∞ n→∞ ¶n n µ n+1 1 = lim ln 1 + = 1. lim xn = lim n ln n→∞ n→∞ n→∞ n n R˘aspuns corect (c). 2. Valorile propuse ale parametrului fiind diferite este suficient s˘a impunem f 0 (1) = 0. R˘aspuns corect (d). 3. Se aplic˘a de dou˘a regula lui l’Hˆospital. R˘aspuns corect (d).

88

CAPITOLUL 4. MODELE DE TESTE 4. Numitorul diferit de zero implic˘a dac˘a x ≥ −1, x 6= − 12 iar dac˘a x < −1 numitorul este diferit de zero. R˘aspuns corect: (e). 5. Calcul˘am derivata ¸si analiz˘am semnul derivatei. R˘aspuns corect (d). 2

6. F 0 (x) = ex x2 (x2 − 2). Analiz˘am semnul derivatei ¸si select˘am punctele de extrem dintre punctele critice. R˘aspuns corect (c). r

s

Z1

√ x √ 7. an = → dx. Integrala se k3 3 1 + 1 + x 3 n k=1 0 √ calculeaz˘a f˘acˆand schimbarea de variabil˘a t = x x. n X

1X k = n3 + k 3 n k=1 n

k n

R˘aspuns corect (c). 8.

Z2

Integrala se poate scrie:

x+1 dx x(2−x)+3

+

√ √ √ 1 2(arctan 2 − arctan 12 2).

Z3

x+1 dx x(x−2)+3

√ = ln 2 2 +

2

R˘aspuns corect (c). √ 9. Se calculeaz˘a integrala facˆand schimbarea de variabil˘a x = t ¸si se obt¸ine (n+1)2 (n+1)2 . Rezult˘a lim an = 0 ¸si lim nan = lim 2n ln n(n+2) =0 an = 2 ln n(n+2) n→∞

(cazul 1∞ ).

n→∞

n→∞

R˘aspuns corect (a). 10. Varianta I Placa este limitat˘a de parabola y = 16 − x2 ¸si de axa Ox (ca ˆın figura de mai jos). y 15

10

5

0 -5

-2.5

0

2.5

5 x

-5

4.1. INDICAT ¸ II

89

Datorit˘a simetriei rezult˘a c˘a centrul de greutate trebuie s˘a fie pe axa Oy, cu 0 < y < 16 iar x = 0. Singurul r˘aspuns care corespunde cerint¸elor este (d). Z4 Z4 Varianta II Fie A = aria pl˘acii, A = f (x)dx = (16 − x2 ) dx = 256 . 3

xG =

1 A

Z4

xf (x)dx =

−4

3 256

Z4

−4

−4

−4

x (16 − x2 ) dx = 0 (datotit˘a imparit˘a¸tii

funct¸iei de sub integral˘a ¸si datorit˘a simetriei intervalului de integrare). Z4 Z4 2 1 3 2 . yG = 2A f (x)dx = 2×256 (16 − x2 ) dx = 32 5 −4

R˘aspuns corect (d).

−4

90

4.2

CAPITOLUL 4. MODELE DE TESTE

Bibliografie

Majoritatea problemelor propuse se g˘asesc ˆın culegerea: Teste de matematic˘ a pentru admitere 2005, Facultatea de Automatic˘a ¸si Calculatoare, Universitatea Tehnic˘a Gh. Asachi Ia¸si, Editura POLITEHNIUM, Ia¸si, la care au colaborat: prof. dr. Adrian Corduneanu, conf. dr. Ariadna Lucia Pletea, conf. dr. Narcisa Dunitriu, lect. Silviu C˘at˘alin Nistor.