19
This document was uploaded by user and they confirmed that they have the permission to share it. If you are author or own the copyright of this book, please report to us by using this DMCA report form. Report DMCA
Overview
Download & View 19 as PDF for free.
More details
- Words: 246
- Pages: 1
CLASA a IX-a
1. Fie a, b, c numere reale pozitive aşa încât a 4 + b 4 + c 4 = 1 . Demonstraţi că: a 7 + b7 b7 + c7 c7 + a7 + + ≥ 3( a 2b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ) − 2 . ab ( a + b ) bc ( b + c ) ca ( c + a )
Prof. univ. dr. Dumitru Acu, Sibiu 2. Să se rezolve în numere întregi ecuaţia: y 2 + 3 y = x 4 + x3 + x 2 + x .
Prof. univ. dr. Dumitru Acu, Sibiu
lui a.
3. Să se rezolve ecuaţia: [ x 4 − 4 x 2 ] = [ x 4 + 4 x 2 ] unde [a ] reprezintă partea întreagă a Prof. Aurel Ene, Râmnicu-Vâlcea
4.
Fie triunghiul ABC şi punctele M ∈( AB ), N ∈( BC ), P ∈( CA ) astfel încât
AM CP BN = = x şi = y unde x, y ∈( 0, ∞) . MB PA NC
Să se demonstreze că dacă centrele cercurilor circumscrise triunghiurilor MNP şi ABC coincid, atunci H1 = H 2 sau vectorii H1 H 2 şi BC sunt coliniari, unde H1 , respectiv H 2 sunt ortocentrele triunghiurilor ABC, respectiv MNP. Prof. Cosmin Manea, Dragoş Petrică, Piteşti
Notă: Timp de lucru 3 ore. Fiecare subiect se notează de la 0 la 7 puncte.
1. Fie a, b, c numere reale pozitive aşa încât a 4 + b 4 + c 4 = 1 . Demonstraţi că: a 7 + b7 b7 + c7 c7 + a7 + + ≥ 3( a 2b 2 + b 2 c 2 + c 2 a 2 ) − 2 . ab ( a + b ) bc ( b + c ) ca ( c + a )
Prof. univ. dr. Dumitru Acu, Sibiu 2. Să se rezolve în numere întregi ecuaţia: y 2 + 3 y = x 4 + x3 + x 2 + x .
Prof. univ. dr. Dumitru Acu, Sibiu
lui a.
3. Să se rezolve ecuaţia: [ x 4 − 4 x 2 ] = [ x 4 + 4 x 2 ] unde [a ] reprezintă partea întreagă a Prof. Aurel Ene, Râmnicu-Vâlcea
4.
Fie triunghiul ABC şi punctele M ∈( AB ), N ∈( BC ), P ∈( CA ) astfel încât
AM CP BN = = x şi = y unde x, y ∈( 0, ∞) . MB PA NC
Să se demonstreze că dacă centrele cercurilor circumscrise triunghiurilor MNP şi ABC coincid, atunci H1 = H 2 sau vectorii H1 H 2 şi BC sunt coliniari, unde H1 , respectiv H 2 sunt ortocentrele triunghiurilor ABC, respectiv MNP. Prof. Cosmin Manea, Dragoş Petrică, Piteşti
Notă: Timp de lucru 3 ore. Fiecare subiect se notează de la 0 la 7 puncte.
