17-20-resueltos

17.- Una empresa de mercadotecnia desea determinar el efecto de los comerciales por televisión en las ventas de cierto producto. La empresa se retroalimenta de 6 grandes ciudades como se aprecia en la tabla siguiente. Halle la ecuación de la recta que mejor se ajusta los datos. Estime el volumen de ventas que resultaría de 24 comerciales. CIUDAD A NUMERO DE 10 COMERCIANTES (X) VENTAS (v) (cientos) 40

B 12

C 15

D 20

E 18

F 21

45

56

68

67

70

Para un mejor desarrollo de este ejercicio, recopilamos los datos necesarios en una tabla, luego hallamos “a” y “b” con la fórmula de mínimos cuadrados.

RECORDAMOS LA FÓRMULA:

𝒃=

𝒂=

6×5816−96×346 = 2,86 2 6×1634−96

346 96 − (2,86) = 11,95 6 6

 Hallamos el volumen de ventas para 24 comerciantes: ̌ = 𝒂 + 𝒃𝒙 𝒚 ̌ = 𝟏𝟏. 𝟗𝟓 + 𝟐. 𝟖𝟔𝒙 𝒚 ̌ = 𝟏𝟏. 𝟗𝟓 + 𝟐. 𝟖𝟔(𝟐𝟒) = 𝟖𝟎, 𝟓𝟗 𝒚 Respuesta: El volumen aproximado de ventas que resultaría de 24 comerciantes es 80,59.

18.- Los promedios sobre cuatrienios del producto nacional bruto (PNB) de cierto país, se dan en miles de millones de dólares en la tabla siguiente. Determine la ecuación de la recta que mejor se ajusta a los datos. Estime el PNB para 1980 AÑO (x) PNB (y)

1956 453

1960 562

1964 691

1968 862

1972 1054

𝟐

𝟐

Ordenamos los datos mediante una tabla:

1 2 3 4 5 6 TOTAL

X 1956 1960 1964 1968 1972 1976 11796

Y 453 562 691 862 1054 1310 4932

XY 886068 1101520 1357124 1696416 2078488 2588560 9708176

3825936 3841600 3857296 3873024 3888784 3904576 23191216

Aplicando la fórmula de mínimos cuadrados se obtiene:

𝒃=

𝒂=

6×9708176−(11796×4932) 6×23191216−117962

= 42,37

4932 11796 − 42,37 × = −82480,23 6 6

205209 315844 477481 743044 1110916 1716100 4568594

1976 1310

Determinamos la ecuación de la recta: ̌ = 𝒂 + 𝒃𝒙 𝒚 ̌ = −𝟖𝟐𝟒𝟖𝟎, 𝟐𝟑 + 𝟒𝟐, 𝟑𝟕𝒙 𝒚 Ahora calculamos el PNB para 1980 ̌ = −82480,23 + 42,37(1980) = 1412,37 𝒚 Respuesta: Para 1980 el PNB es de 1412,37 miles de millones de dólares.

19.- Durante la década de los 90, las ventas de cemento en la región de Murcia y en todo el territorio nacional, arrojaron los siguientes resultados (en millones de toneladas). AÑO

ESPAÑA (x)

REGIÓN DE MURCIA (y) 1990 19.7 0.7 1991 18.5 0.6 1992 18.5 0.6 1993 17.9 0.6 1994 16.2 0.5 1995 16.2 0.5 1996 18.2 0.6 1997 20 0.7 1998 21.7 0.6 1999 24.9 0.7 Determine un ajuste lineal que explique las ventas de cemento en la región Murcia en función de las de España. Para realizar este ejercicio, primero reconocemos “x” y “y”. X= España (Variable independiente). Y=Región de Murcia (Variable dependiente).

Realizamos una tabla para recopilar los datos y luego calculamos por mínimos cuadrados “a” y “b”

1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 TOTAL

X 19,7 18,5 18,5 17,9 16,2 16,2 18,2 20 21,7 24,9 191,8

Y 0,7 0,6 0,6 0,6 0,5 0,5 0,6 0,7 0,6 0,7 6,1

XY 13,79 11,1 11,1 10,74 8,1 8,1 10,92 14 13,02 17,43 118,3

𝟐

388,09 342,25 342,25 320,41 262,44 262,44 331,24 400 470,89 620,01 3740,02

𝟐

0,49 0,36 0,36 0,36 0,25 0,25 0,36 0,49 0,36 0,49 3,77

Hallamos a y b con la fórmula de mínimos cuadrados:

𝒃=

𝒂=

10×118,3−(191,8×6,1) 13,02

=

10×3740,02−(191,82 ) 612,96

= 0,021

6.1 191,8 − 0,021 × = 0,207 ≈ 0,21 10 10

Recordamos la ecuación para hallar la recta de ajuste lineal de las ventas de cemento en la región Murcia en función de las de España: ̌ = 𝒂 + 𝒃𝒙 𝒚 ̌ = 𝟎, 𝟎𝟐𝟏 + 𝟎, 𝟐𝟏𝒙 𝒚

20.- La relación entre el número de unidades demandadas de un ciero bien y la renta, en miles de euros de 8 familias, viene dada por: RENTA (X) 1 Nº de 30 unidades demandadas

1.3 25

1.6 22

2 18

2.2 15

3 10

3.7 8

5 5

Organizamos en una tabla los datos de la siguiente manera: 1 2 3 4 5 6 7 8 TOTAL

X

Y

XY

1 1,3 1,6 2 2,2 3 3,7 5 19,8

30 25 22 18 15 10 8 5 133

30 32,5 35,2 36 33 30 29,6 25 251,3

Aplicando la fórmula: 𝑏=

𝑎=

8×251,3−(19,8×133) 8×61,78−19,82

= −6,096 ≈ −6,1

133 19,8 − (−6,1) × = 31,7225 ≈ 31,72 8 8

̌ = 𝒂 + 𝒃𝒙 𝒚

Con los datos a y b, hallamos el ajuste lineal ̌ = 𝟑𝟏, 𝟕𝟐 − 𝟔, 𝟏𝒙 𝒚

𝟐

1 1,69 2,56 4 4,84 9 13,69 25 61,78

𝟐

900 625 484 324 225 100 64 25 2747