1413

Analiz˘a I: calcul diferent¸ial pentru funct¸ii de o variabil˘a real˘a (F1VR) Curs an I, sem I 2c + 2s + 1l Versiune preliminara si incompleta Eugen Popa November 4, 2007

2

Contents 1 Preliminarii 1.1 Ce se presupune . . . . . . . . . . . . . 1.2 Multimea numerelor reale. . . . . . . . 1.2.1 Exercit¸ii. . . . . . . . . . . . . . 1.3 Dreapta real˘a extins˘a. . . . . . . . . . 1.4 Vecin˘at˘a¸ti, puncte interioare, puncte de

. . . . .

. . . . .

. . . . .

5 . 5 . 5 . 10 . 12 . 12

2 S ¸ iruri ¸si serii de numere reale. 2.1 Not¸iunea de limit˘a a unui ¸sir . . . . . . . . . . . . . . . . 2.1.1 Exercit¸ii. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.2 Propriet˘a¸ti generale ale ¸sirurilor convergente. . . . . . . . 2.3 Teorema lui Cantor; lema lui Ces`aro, teorema lui Cauchy. 2.3.1 Exercit¸ii . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4 Serii convergente, propriet˘a¸ti generale. . . . . . . . . . . 2.4.1 Exercit¸ii. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.4.2 Limite superioare ¸si inferioare. . . . . . . . . . . . 2.5 Serii cu termeni pozitivi; criterii de convergent¸a˘. . . . . . 2.6 Serii cu termeni oarecare. . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.6.1 Teorema contract¸iei (Banach) . . . . . . . . . . . 2.6.2 Exercit¸ii. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7 S¸iruri ¸si serii de funct¸ii; convegent¸a uniform˘a. . . . . . . 2.7.1 Serii de puteri. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 2.7.2 Exercit¸ii. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

15 15 17 19 21 22 29 31 32 33 35 38 38 41 43 45

laterale. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . .

49 49 50 52 55 57 59

. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . acumulare.

. . . . .

3 Funct¸ii de o variabil˘ a real˘ a: limit˘ a, continuitate. 3.1 Limita unei funct¸ii ˆıntr-un punct de acumulare; limite 3.1.1 Exercit¸ii. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.2 Funct¸ii continue. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3 Funct¸ii monotone. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3.3.1 Funct¸ia “r˘ad˘acin˘a p˘atrat˘a”. . . . . . . . . . . 3.3.2 Exercit¸ii. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 3

. . . . .

4

CONTENTS 3.3.3

Funct¸ia exponent¸ial˘a. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 61

4 Derivabilitate 4.1 Funct¸ii derivabile. Propriet˘a¸ti generale. . . . . 4.2 Derivabilitatea funct¸iilor elementare. . . . . . 4.2.1 Exercit¸ii. . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.3 Teoreme fundamentale . . . . . . . . . . . . . 4.4 Derivate de ordin superior; dezvolt˘ari limitate. 4.5 Curs XIII . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.5.1 Dezvolt˘ari limitate. . . . . . . . . . . . 4.5.2 Demonstrat¸ii . . . . . . . . . . . . . . 4.6 Curs XIV . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.6.1 Funct¸ii convexe . . . . . . . . . . . . . 4.6.2 Demonstrat¸ii . . . . . . . . . . . . . . 4.7 Derivabilitate pentru ¸siruri de funct¸ii. . . . . . 4.7.1 Exercit¸ii. . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.2 Aplicat¸ii. . . . . . . . . . . . . . . . . . 4.7.3 Cˆateva dezvolt˘ari remarcabile. . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

. . . . . . . . . . . . . . .

67 67 70 71 72 76 76 77 80 87 87 89 94 95 99 100

Chapter 1 Preliminarii 1.1

Ce se presupune

elemente de logic˘a: ∀, ∃, negare; generalit˘a¸ti despre mult¸imi ¸si funct¸ii: sub mult¸ime, familie, reuniune, intrsect¸ie, complementar˘a, mult¸ime vid˘a; relat¸ii (de echivalent¸a˘, de ordine. Operat¸ii / legi de compunere (interne, externe); funct¸ii injective, surjective, bijective; compunerea funct¸iilor. Inversa. Imagine directa si imagine inversa (contraimagine). Graficul unei funct¸ii (definite pe o parte din R, cu valori reale). Citirea: injectivit˘a¸tii, surjectivit˘a¸tii; graficul inversei; translat¸ii: f (x + x0 ) P PP Folosirea notat¸iilor , etc.

1.2

Multimea numerelor reale.

Vom adopta o definit¸ie axiomatic˘a pentru mult¸imea numerelor reale. Definit¸ia 1. Vom numi mult¸imea numerelor reale o mult¸ime, notat˘a R, cu urm˘atoarele propriet˘ a¸ti: I. este ˆınzestrat˘ a cu operat¸ia de adunare notat˘a + : R × R → R (adic˘a oric˘ arei perechi (x, y) ˆıi corespunde un element, numit suma lui x ¸si y, notat x + y, astfel ˆıncˆ at: I.1. (comutativitatea adun˘arii): x + y = y + x, ∀x, y ∈ R; I.2. (asociativitatea adun˘arii): x + (y + z) = (x + y) + z, ∀x, y, z ∈ R; I.3. (existent¸a elementului neutru la adunare): exist˘a un num˘ar real, notat 0 ∈ R, cu proprietatea x + 0 = x, ∀x ∈ R. I.4. (existent¸a opusului): pentru fiecare num˘ar real x, exist˘a un num˘ar real, notat −x, cu proprietatea x + (−x) = 0 (numit opusul lui x). 5

6

CHAPTER 1. PRELIMINARII

V˘a amintit¸i c˘a (R, +) a fost numit grup comutativ. Ca de obicei, ˆın loc de a + (−b) se va scrie simplu a − b. Se arat˘a c˘a elementul neutru 0 este unic; iar opusul fiec˘arui element este de asemeni unic (exercit¸iu!). II. este ˆınzestrat˘ a cu operat¸ia de ˆınmult¸ire notat˘ a · : R × R → R (adic˘a oric˘arei perechi (x, y) ˆıi corespunde un element, numit produsul lui x ¸si y, notat xy, astfel ˆıncˆ at: II.1. (comutativitatea ˆınmult¸irii): xy = yx, ∀x, y ∈ R; II.2. (asociativitatea ˆınmult¸irii): x(yz) = (xy)z, ∀x, y, z ∈ R; II.3. (existent¸a elementului neutru la ˆınmult¸ire): exist˘a un num˘ar real, notat 1 ∈ R, diferit de 0, astfel ˆıncˆ at x1 = x, ∀x ∈ R; II.4. (existent¸a inversului): pentru fiecare num˘ar real x, diferit de 0, exist˘a un num˘ar real, notat x1 ∈ R, cu proprietatea x x1 = 1. Cu alte cuvinte (R \ {0}, ·) este grup comutativ. De¸si ˆınmult¸irea cu 0 este definit˘a, nu trebuie crezut c˘a (R, ·) este grup: 0 nu are invers. Ca de obicei, ˆın loc de x y1 se scrie simplu xy (dac˘a y 6= 0). Vom folosi notat¸ia mai simpl˘a R∗ pentru R \ {0}. Se arat˘a c˘a elementul unitate la ˆınmult¸ire 1 este unic; iar inversul fiec˘arui element, diferit de 0, este unic (exercit¸iu!). Cele dou˘a operat¸ii sunt conectate prin intermediul propriet˘a¸tii de distributivitate: III. x(y + z) = xy + xz, ∀x, y, z ∈ R; V˘a amintit¸i c˘a (R, +, ·) a fost numit corp comutativ. Au loc urm˘atoarele propriet˘a¸ti: 0x = 0, pentru orice x; (−1)x = −x; xy = 0 ⇔ x = 0 sau y = 0 IV. este ˆınzestrat cu o relat¸ie de ordine total˘a: pentru orice dou˘a elemente x, y ∈ R are loc (cel put¸in) una din relat¸iile x 6 y sau y 6 x, cu propriet˘ a¸tile: IV.1. x 6 x IV.2. x 6 y ¸si y 6 x implic˘a x = y. IV.3. x 6 y ¸si y 6 z implic˘ a x 6 z. Ca de obicei, notat¸ia x < y ˆınseamn˘a: x 6 y ¸si x 6= y; scrierea x > y ˆınseamn˘a y 6 x. Numerele reale x > 0 se numesc pozitive, iar cele cu x 6 0 negative. Numerele reale x > 0 se numesc stict pozitive, iar cele cu x < 0 strict negative. Se pot defini acum intervalele: dac˘a a < b sunt numere reale, atunci se noteaz˘a: (a, b) := {x ∈ R | a < x < b} (interval deschis); [a, b] := {x ∈ R | a 6 x 6 b} (interval ˆınchis, are sens ¸si pentru a = b);

1.2.

MULTIMEA NUMERELOR REALE.

7

[a, b) := {x ∈ R | a 6 x < b}; (a, b] := {x ∈ R | a < x 6 b} Incluziunea [a, b] ⊆ [c, d] este echivalent˘a cu a 6 c ¸si b 6 d. V. Relat¸ia de ordine verific˘a urm˘atoarele propriet˘ a¸ti de compatibilitate cu operat¸iile de adunare ¸si de ˆınmult¸ire: V.1. x 6 y ⇒ x + z 6 y + z, ∀x, y, z ∈ R; V.2. x 6 y ¸si z > 0 ⇒ xz 6 yz, ∀x, y ∈ R; Au loc urm˘atoarele propriet˘a¸ti: x 6 y, y 6 z ¸si x = z implic˘a x = y = z; x < y ¸si y 6 z implic˘a x < z; x 6 y este echivalent cu 0 6 y − x ¸si cu −y 6 −x; x < y implic˘a x + z < y + z; Funct¸ia modul. Fie x, y dou˘a numere reale. Din proprietatea de total˘a ordonare, deducem c˘a unul din cele dou˘a numere este mai mare decˆat cel˘alalt: ˆıl vom nota cu max(x, y); cel mai mic dintre cele dou˘a numere va fi notat cu min(x, y). Deci x + y = max(x, y) + min(x, y). Prin definit¸ie |x| := max(x, −x) (valoarea absolut˘a sau modulul num˘arului x). A¸sadar: pentru orice x, |x| este pozitiv; |x| = x dac˘a ¸si numai dac˘a x este pozitiv. |x| = −x dac˘a x 6 0. | − x| = |x|. Au loc: max(x, y) = 12 (x + y + |x − y|); min(x, y) = 12 (x + y − |x − y|) S˘a definim x+ := max(x, 0) ¸si x− := max(−x, 0). Deci x− = (−x)+ ; x = x+ − x− , |x| = x+ + x− . Relat¸ia de ordine ¸si ˆınmult¸irea: Pentru orice x ∈ R avem x2 > 0: ˆın particular 1 > 0. Vom defini mult¸imea numerelor naturale, notat˘a N, ca fiind cea mai mic˘a submult¸ime a lui R, care cont¸ine 0 ¸si odat˘a cu elementul n, cont¸ine ¸si n + 1. Astfel, prin construct¸ie are loc teorema induct¸iei matematice. Dac˘a includem ¸si opusele numerelor naturale, se obt¸ine mult¸imea numerelor ˆıntregi, notat˘a cu Z. Mult¸imea cˆaturilor de forma m , cu m ¸si n 6= 0 n numere ˆıntregi, formeaz˘a mult¸imea numerelor rat¸ionale, notat˘a Q. Astfel: N⊆√ Z ⊆ Q ⊆ R. Numerele reale, care nu sunt rat¸ionale se numesc irat¸ionale (ex. 2, π, e ). Trebuie mentionate: numarabil, puterea continuului, inductie transfinita, lema lui Zorn, V˘a amintit¸i c˘a mult¸imea numerelor rat¸ionale verific˘a toate aceste propriet˘a¸ti. Vom ad˘aga o axiom˘a suplimentar˘a care va deosebi unic mult¸imea numerelor (printre corpurile comutative, total ordonate): VI. Axioma marginii superioare. ˆIn orice mult¸ime ordonat˘a, putem defini not¸iunile urm˘atoare:

8

CHAPTER 1. PRELIMINARII

Fie A ⊂ R. Spunem c˘a a ∈ R este un majorant al mult¸imii A dac˘a oricare ar fi x ∈ A are loc x 6 a. O mult¸ime care admite cel put¸in un majorant se nume¸ste majorat˘ a. Analog se define¸ste not¸iunea de minorant ¸si de mult¸ime minorat˘a. O mult¸ime care este simultan majorat˘a ¸si minorat˘a se numet¸e m˘arginit˘ a. Spunem c˘a a ∈ R este marginea superioar˘ a a mult¸imii A dac˘a este cel mai mic majorant. Cu alte cuvinte, marginea superioar˘a este acel num˘ar real a care ˆındepline¸ste urm˘atoarele dou˘a propriet˘a¸ti: (majorant): oricare ar fi x ∈ A are loc x 6 a; (cel mai mic majorant): oricare ar fi a0 ∈ R, care este majorant al mult¸imii A (deci oricare ar fi x ∈ A are loc x 6 a0 ) avem a 6 a0 . Dac˘a exist˘a, marginea superioar˘a a mult¸imii A ⊂ R se noteaz˘a sup A. Analog se define¸ste not¸iunea de margine inferioar˘a. Spunem c˘a a ∈ R este marginea inferioar˘ a a mult¸imii A dac˘a este cel mai mare minorant. Cu alte cuvinte, marginea inferioar˘a este acel num˘ar real a care ˆındepline¸ste urm˘atoarele dou˘a propriet˘a¸ti: (minorant): oricare ar fi x ∈ A are loc a 6 x; (cel mai mare minorant): oricare ar fi a0 ∈ R, care este minorant al mult¸imii A (deci oricare ar fi x ∈ A are loc a0 6 x), avem a0 6 a. Dac˘a exist˘a, marginea inferioar˘a a mult¸imii A ⊂ R se noteaz˘a inf A. Axioma marginii superioare. Fiecare mult¸ime nevid˘a ¸si majorat˘ a de numere reale admite margine superioar˘ a. Rezult˘a c˘a orice mult¸ime nevid˘a ¸si minorat˘a de numere reale admite margine inferioar˘a. Mai precis, are loc egalitatea: inf A = − sup(−A) Verificare. Mult¸imea (−A) este evident nevid˘a. Se arat˘a imediat c˘a oricare ar fi a minorant pentru A, urmeaz˘a c˘a (−a) este majorant pentru (−A). Astfel, mult¸imea (−A) are margine superioar˘a. S˘a not˘am a := − sup(−A) ¸si s˘a demonstr˘am faptul c˘a a este marginea inferioar˘a a mult¸imii A. Fie x ∈ A, deci (−x) ∈ (−A) arat˘a c˘a −x 6 −a, de unde a 6 x; deci a este minorant pentru mult¸imea A. Fie acum a0 un minorant pentru mult¸imea A. Urmeaz˘a c˘a −a0 este majorant pentru mult¸imea (−A), deci (−a) 6 (−a0 ), ceea ce este echivalent cu a0 6 a. Astfel a este cel mai mare minorant al mult¸imii A. Dac˘a mult¸imea A admite cel mai mare element, adic˘a dac˘a exist˘a a ∈ A cu proprietatea c˘a oricare ar fi x ∈ A are loc x 6 a, atunci a este ¸si margine superioar˘a pentru mult¸imea A.

1.2.

MULTIMEA NUMERELOR REALE.

9

Exemple: Intervalul (0, 1] are cel mai mare element (care este ¸si margine superioar˘a) 1. Intervalul (0, 1) are marginea superioar˘a 1, dar nu are cel mai mare element. Are loc urm˘atoarea caracterizare a marginii superioare: Propozit¸ie. a = sup A dac˘a ¸si numai dac˘a (x 6 a, ∀x ∈ A ¸si ∀ε > 0 ∃xε ∈ A astfel ˆıncˆat a − ε < xε ). Demonstrat¸ie. ⇒ a fiind cel mai mic majorant, rezult˘a c˘a a − ε nu este majorant pentru A. Prin negare, se obt¸ine exact concluzia. ⇐ Presupunˆand c˘a ar exista un majorant a0 pentru A, a0 < a, este suficient s˘a alegem ε := a − a0 . Ar exista deci xε ∈ A astfel ˆıncˆat a − ε < xε , adic˘a a0 < ε, ceea ce contrazice presupunerea c˘a a0 este majorant pentru A. Aceast˘a definit¸ie axiomatic˘a ridic˘a unele probleme: (i) Exist˘a o asemenea structur˘a? R˘aspunsul afirmativ se obt¸ine prin construct¸ia, ˆın cadrul teoriei mult¸imilor a unui model: a se vedea: I. Vaisman: Fundamentele matematicii Meghea: Bazele Analizei Matematice (ii) Este unic˘a? R˘aspunsul este afirmativ, pˆan˘a la un izomorfism. Adic˘a, dac˘a R ¸si R1 verific˘a toate axiomele considerate, atunci exist˘a ¸si este unic˘a o biject¸ie f : R → R1 , cu urm˘atoarele propriet˘a¸ti: f (x + y) = f (x) + f (y) f (xy) = f (x)f (y) pentru orice mult¸ime nevid˘a ¸si majorat˘a A ⊂ R avem f (sup A) = sup f (A). (iii) Sunt axiomele independente? (adic˘a nici o axiom˘a s˘a nu fie consecint¸˘a a celorlalte). O asemenea proprietate se verific˘a ˆın general, prin construct¸ia unui model, care s˘a verifice toate axiomele, cu except¸ia celei ˆın cauz˘a. Pentru sistemul axiomatic prezentat, proprietatea nu este valabil˘a: comutativitatea adun˘arii este consecint¸a˘ a celorlalte. O prim˘a consecint¸a˘ important˘a a axiomei marginii superioare este: 1) Lema lui Arhimede. Pentru fiecare x ∈ R exist˘a un num˘ar natural n ∈ N astfel ˆıncˆat n > x. Demonstrat¸ie. Prin reducere la absurd. Deci presupunem c˘a n 6 x, oricare ar fi n ∈ N. Astfel, mult¸imea numerelor naturale ar fi majorat˘a. Fie a := sup N. Folosind caracterizarea, cu ε = 1, rezult˘a c˘a exist˘a n1 ∈ N astfel ˆıncˆat a − 1 < n1 6 a. Deducem a < n1 + 1. Cum n1 + 1 este tot un num˘ar natural, s-a ajuns la contradict¸ie cu faptul c˘a a este majorant pentru N.

10

CHAPTER 1. PRELIMINARII

Uneori, principiul lui Arhimede se reformuleaz˘a astfel: fie x > 0 ¸si y numere reale. Atunci exist˘a un num˘ar natural n, pentru care nx > y; interpretˆand c˘a putem goli oceanul cu o lingurit¸a˘ (¸si mult˘a r˘abdare!).

1.2.1

Exercit¸ii.

III. Inegalit˘a¸ti (interpretat ¸si ca rezultate de extrem!): 1) S˘a se arate c˘a |x + y| 6 |x| + |y|, oricare ar fi x, y numere reale. S˘a se arate c˘a |x + y| = |x| + |y| dac˘a ¸si numai dac˘a xy > 0. S˘a se deduc˘a inegalitatea: ||x| − |y|| 6 |x − y| Interpretare? Inegalitatea se poate rescrie echivalent: |x − y| 6 |x − z| + |z − y| oricare ar fi x, y, z ∈ R. Cazul de egalitate are loc dac˘a ¸si numai dac˘a z este ˆıntre x ¸si y. 3) (Inegalitatea lui Cauchy). Fie (xk )k , (yk )k numere reale. Atunci: ! !à n ! à n à n X X X yk2 x2k xk yk 6 k=1

k=1

k=1

ˆIn ce caz are loc egalitatea? 4) (Inegalitatea mediilor) Fie (xk )k numere strict pozitive. Atunci: 1 x1

+

1 x2

n + ... +

1 xn

6

√ n

x1 x2 . . . x n 6

x1 + x2 + . . . + xn n

(demonstrat¸ie prin induct¸ie cu 2n sau direct cf. Arama ). ˆIn ce caz are loc egalitatea? 6) IV. Se consider˘a funct¸ia f : [0, +∞) → [0, +∞), f (x) =

x+2 . x+1

a) S˘a se calculeze f 0 (x), x ∈ [0, +∞). b) S˘a se arate c˘a funct √¸ia f este √ strict descresc˘atoare pe intervalul [0, +∞). c) S˘a se arate c˘a f ( 2) = 2. d) S˘a se arate c˘a, dac˘a x, y ∈ (0, +∞), x 6= y, atunci |f (x)−f (y)| < |x−y|. f) S˘a se arate c˘a ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ p √ ¯ ¯ p + 2q √ ¯ ∗ ¯ ¯ − 2¯ > ¯ ¯ ¯ p + q − 2¯ , ∀p, q ∈ N ¯q

1.2.

MULTIMEA NUMERELOR REALE.

11

Lem˘ a. Fiecare num˘ar real x este atˆat marginea superioar˘a a mult¸imii numerelor rat¸ionale, mai mici (strict) decˆat x; cˆat ¸si marginea inferioar˘a a mult¸imii numerelor rat¸ionale, mai mari (strict) decˆat x. Demonstrat¸ie. Din lema lui Arhimede, mult¸imea numerelor rat¸ionale, mai mari ca x este nevid˘a.Deci exist˘a x0 marginea inferioar˘a a acestei mult¸imi iar x 6 x0 . Dac˘a am presupune c˘a x < x0 , atunci, tot din lema lui Arhimede, g˘asim un num˘ar natural n, astfel ˆıncˆat n > x01−x . Din definit¸ia marginii inferioare, exist˘a un num˘ar rat¸ional r astfel ˆıncˆat x0 6 r < x0 + n1 . Acum r − n1 este evident rat¸ional ¸si avem x 6 r − n1 < x0 , ceea ce contrazice faptul c˘a x0 este un minorant. Demonstrat¸ia privind marginea superioar˘a se face analog. Consecint¸a˘ direct˘a a acestui rezultat este: Proprietatea de densitate a numerelor rat¸ionale. Oricare ar fi x < y numere reale, exist˘a r ∈ Q num˘ar rat¸ional, astfel ˆıncˆat x < r < y. O proprietate similar˘a are loc pentru numerele irat¸ionale: demonstrat¸i! Parte ˆıntreag˘ a. Lema lui Arhimede permite ¸si definirea funct¸iei “parte ˆıntrag˘a”. Propozit¸ie ¸si definit¸ie. Pentru fiecare num˘ar real x, exist˘a ¸si este unic un num˘ar ˆıntreg k, numit partea ˆıntrag˘a a lui x ¸si notat [x], astfel ˆıncˆat : k 6x 0, fie mult¸imea numerelor naturale, care sunt mai mari ca x. Din lema lui Arhimede, aceast˘a mult¸ime este nevid˘a, deci din proprietatea de bun˘a ordonare deducem c˘a are cel mai mic element. Cu alte cuvinte, exist˘a un num˘ar natural n0 , astfel ˆıncˆat n0 > x, dar n0 − 1 6 x. Este deci suficient s˘a alegem k := n0 − 1. Cazul x ˆıntreg fiind imediat, s˘a consider˘am x < 0 ¸si nu este ˆıntreg. Aplic˘am rezultatul de mai sus pentru −x ¸si g˘asim n 6 −x < n + 1. Deci −n − 1 < x < −n (deoarece x nu este ˆıntreg), astfel c˘a alegerea k := −n − 1 convine. Unicitate. Dac˘a am avea simultan k 6x
12

1.3

CHAPTER 1. PRELIMINARII

Dreapta real˘ a extins˘ a.

Vom considera mult¸imea R := R ∪ {−∞} ∪ {+∞}. Desigur, −∞ ¸si +∞ sunt dou˘a elemente care nu apart¸in lui R. Nu vom c˘auta s˘a definim operat¸ii cu aceste noi elemente, de¸si unele ar avea sens: de ex. x + ∞ = +∞; (−∞)(−∞) = +∞ etc. Pentru moment, ne va interesa relat¸ia de ordine, care se extinde pe R prin −∞ < x < +∞, pentru orice x ∈ R. Astfel, orice mult¸ime nevid˘a din R admite margine superioar˘a ¸si margine inferioar˘a ˆın R. Apar astfel ¸si intervale cu una sau amble extremit˘a¸ti −∞ sau +∞. De exemplu (−∞, +∞) = R.

1.4

Vecin˘ at˘ a¸ti, puncte interioare, puncte de acumulare.

Glosar de denumiri din topologia general˘ a. Vecinatate (a unui num˘ar real) a: orice mult¸ime V care cont¸ine un interval deschis a ∈ (α, β) ⊆ V . Vecin˘atate pentru −∞ sau +∞: orice mult¸ime V care cont¸ine un interval de forma (−∞, a) resp. (a, +∞). ¡ ¢ Mult¸imea num˘arabil˘a de vecin˘at˘a¸ti a − n1 , a + n1 poart˘a denumirea de sistem fundamental de vecin˘ at˘ a¸ti (ale punctului a), deoarece orice vecin˘atate pentru a include o vecin˘atate din sistem. Sistemul V al vecin˘at˘a¸tilor unui punct a are urm˘atoarele propriet˘a¸ti caracteristice: a ∈ V , ∀V ∈ V; V ⊆ W ¸si V ∈ V ⇒ W ∈ V V1 ∩ V2 ∈ V, ∀V1 , V2 ∈ V; ∀V ∈ V ∃W ⊆ V , W ∈ V cu proprietatea c˘a, pentru fiecare b ∈ W , V este vecin˘atate pentru b. Mult¸ime deschis˘ a Spunem c˘a mult¸imea D ⊆ R este deschis˘a dac˘a: fie este vid˘a; fie pentru fiecare a ∈ D, D este vecin˘atate pentru a. Se verific˘a imediat c˘a reuniunea oric˘arei familii de mult¸imi deschise este mult¸ime deschis˘a. Se demonstreaz˘a c˘a, ˆın R, mult¸imile deschise sunt exact reuniunile cel mult num˘arabile de intervale ˆınchise deschise, disjuncte. Mult¸ime ˆınchis˘ a Mult¸imea F ⊆ R se nume¸ste ˆınchis˘ a dac˘a R \ F este deschis˘a.

˘ AT ˘ ¸ I, PUNCTE INTERIOARE, PUNCTE DE ACUMULARE.13 1.4. VECINAT Deci intersect¸ia oric˘arei familii de mult¸imi ˆınchise este ˆınchis˘a. Rezult˘a c˘a pentru fiecare mult¸ime A ⊆ R exist˘a o cea mai mic˘a mult¸ime ˆınchis˘a, care cont¸ine A. Aceast˘a mult¸ime se noteaz˘a A ¸si se nume¸ste ˆınchiderea mult¸imii A. Este util de ret¸inut c˘a x ∈ A dac˘a ¸si numai dac˘a exist˘a un ¸sir (xn )n din A, astfel ˆıncˆat xn → x. punct de acumulare pentru o mult¸ime A ⊆ R este orice punct a cu proprietatea c˘a fiecare vecin˘atate a sa cont¸ine cel put¸in un punct din A, diferit de a. punct aderent pentru o mult¸ime A ⊆ R este orice punct a cu proprietatea c˘a fiecare vecin˘atate a sa cont¸ine cel put¸in un punct din A. Desigur, orice punct din A este punct aderent pentru A; dac˘a nu este ¸si punct de acumulare pentru A, atunci se nume¸ste punct izolat (reformulat¸i definit¸ia pentru a v˘a convinge c˘a denumirea este adecvat˘a). Punctele aderente, resp. de acumulare ale unei mult¸imi, se caracterizeaz˘a cu ¸siruri: x este punct aderent, resp. de acumulare pentru mult¸imea A dac˘a ¸si numai dac˘a : exist˘a un ¸sir (xn ) de puncte din A (resp. xn 6= x, ∀n) astfel ˆıncˆat xn → x. punct interior a se nume¸ste punct interior pentru mult¸imea A dac˘a A este vecin˘atate pentru a. Mult¸imea punctelor interioare mult¸imii se nume¸ste interiorul lui A, se noteaz˘a int A ¸si este cea mai mare mult¸ime deschis˘a, inclus˘a ˆın A. Mult¸imi compacte. Fie K ⊆ R; mult¸imea K se nume¸ste compact˘ a dac˘a este ˆındeplinit˘a una din urm˘atoarele propriet˘a¸ti echivalente : 1. K este mult¸ime ˆınchis˘a ¸si m˘arginit˘a. 2. Orice ¸sir din K admite un sub¸sir convergent ˆın K. 3. Orice acoperire deschis˘a a lui K are o subacoperire finit˘a. Mult¸imi conexe. Mult¸imea A se nume¸ste conex˘ a dac˘a nu exist˘a submult¸imile deschise A1 , A2 cu A ∩ A1 6= ∅, A ∩ A2 6= ∅, A1 ∩ A2 ∩ A = ∅ ¸si A ⊆ A1 ∪ A2 . Se demonstreaz˘a c˘a mult¸imile conexe din R sunt exact intervalele.

14

CHAPTER 1. PRELIMINARII

Chapter 2 S ¸ iruri ¸si serii de numere reale. 2.1

Not¸iunea de limit˘ a a unui ¸sir

S¸irurile reprezinta un instrument tehnic, care simplifica definitiile si demonstratiile referitoare la limite de functii: definirea unitara inclusiv ±∞, spre deosebire de forma ε/δ). demonstratia faptului ca o functie continua este marginita (nu stiu decit o demostratie greoaie fara siruri: folosind extragerea unei acoperiri finite. Definit¸ia 1. Vom numi ¸sir (de numere reale) orice funct¸ie x : N → R. Vom utiliza notat¸ia tradit¸ional˘a xn pentru valoarea funct¸iei x ˆın n. Variabila n se nume¸ste rang. Trebuie f˘acut˘a distint¸ia ˆıntre ¸sir (care este o funct¸ie) ¸si mult¸imea valorilor sale {xn | n ∈ N}, care este o mult¸ime nevid˘a de numere reale. S¸irul (xn ) se nume¸ste majorat, resp. minorat, resp. m˘arginit dac˘a mult¸imea valorilor ¸sirului are aceast˘a proprietate. S¸irul (xn ) se nume¸ste cresc˘ ator dac˘a xn 6 xn+1 , oricare ar fi n. Definit¸ie similar˘a pentru ¸sir descresc˘ator. Un ¸sir care este fie cresc˘ator, fie descresc˘ator, se nume¸ste monoton. Definit¸ia 2. Un ¸sir (xn )n de numere reale se nume¸ste convergent dac˘a exist˘a ∈ R astfel ˆıncˆat : pentru fiecare ε > 0 exist˘a un rang nε ∈ N astfel ˆıncˆat pentru orice n > nε s˘a avem |xn − x| < ε. x se numet¸e limita ¸sirului. Se scrie: xn → x sau lim xn = x. n→+∞

Echivalent, putem reduce totul la cazul ¸sirurilor convergente la 0: |xn − x| → 0, cˆand n → +∞. Direct din axioma marginii superioare, rezult˘a: 15

16

CHAPTER 2. S¸IRURI S¸I SERII DE NUMERE REALE.

Teorema de convergent¸˘ a a ¸sirurilor monotone. Orice ¸sir monoton ¸si m˘arginit este convergent. Demonstrat¸ie. Este suficient s˘a demonstr˘am cazul unui ¸sir cresc˘ator ¸si majorat. Exist˘a deci x := sup{xn | n ∈ N}. Vom ar˘ata c˘a x este limita ¸sirului. Fie deci ε > 0. Conform caracteriz˘arii marginii superioare, exist˘a un element al mult¸imii, pe care ˆıl not˘am xnε , astfel ˆıncˆat x − ε < xnε 6 x. ¸sirul fiind cresc˘ator, pentru orice n > nε avem xn > xnε , deci x − ε < xn 6 x0 . Cu atˆat mai mult |xn − x| < ε. (−1)n Exist˘a ¸siruri convergente, care nu sunt monotone: . n Se poate ar˘ata c˘a, acceptˆand ca axiome teorema de convergent¸˘a a ¸sirurilor monotone ˆımpreun˘a cu lema lui Arhimede, se demonstreaz˘a existent¸a marginii superioare (pentru mult¸imi nevide ¸si majorate de numere reale). O definit¸ie separat˘a se impune pentru limita ∞. Definit¸ia 4. Vom spune c˘a ¸sirul (xn ) are limita +∞ (dar nu vom spune c˘a ¸sirul este convergent), dac˘a: pentru orice ε > 0 exist˘a un rang nε astfel ˆıncˆat oricare ar fi n > nε avem xn > ε. Desigur, spre deosebire de definit¸ia ¸sirului convergent, ˆın care interesau valorile arbitrar de mici ale lui ε, ˆın definit¸ia precedent˘a conteaz˘a valorile arbitrar de mari ale lui ε. Defint¸ie similar˘a pentru ¸sir cu limita −∞. Propriet˘ a¸ti. (i) Dac˘a exist˘a, limita unui ¸sir este unic˘a. (ii) Orice ¸sir convergent este m˘arginit. Reciproc nu: ¸sirul xn := (−1)n este m˘arginit, dar nu este convergent (ar˘atat¸i!). Verificare. (i) Dac˘a xn → x0 ¸si xn → x00 , iar x0 6= x00 , fie ε := 21 |x0 − x00 |. Astfel, exist˘a nε ¸si n0ε astfel ˆıncˆat pentru orice n > nε avem |xn − x0 | < ε iar pentru orice n > n0ε avem |xn − x00 | < ε. Pentru n := max(nε , n0ε ) se ajunge la relat¸ia contradictorie: |x0 − x00 | 6 |x0 − xn | + |xn − x00 | < ε + ε = |x0 − x00 | (ii) Exist˘a n1 astfel ˆıncˆat |xn −x0 | < 1, pentru orice n > n1 . Notˆand M := max (|x0 |, . . . , |xn1 −1 |, 1 + |x0 |), avem |xn | 6 M , oricare ar fi n, deoarece: |xn | 6 |xn − x0 | + |x0 | 6 1 + |x0 | dac˘a n > n1 .

˘ A UNUI S¸IR 2.1. NOT ¸ IUNEA DE LIMITA

2.1.1

17

Exercit¸ii.

1) S˘a se justifice sup[0, 1) = 1. 2) (i) Dac˘a a este num˘ar real, pozitiv, atunci: |x| 6 a ⇔ −a 6 x 6 a. ¯ ¯ ¯ ¯ b−a a + b ¯< (ii) Fie a < b. S˘a se arate c˘a x ∈ (a, b) dac˘a ¸si numai dac˘a ¯¯x − . 2 ¯ 2 Cele dou˘a propriet˘a¸ti se pot deduce una din alta. Ce interpretare geometric˘a are (ii)? 3) S˘a se determine marginile superioar˘a ¸si inferioar˘a ale mult¸imii: ½ ¾ 1 ∗ n (−1) + | n ∈ N n 4) Orice mult¸ime nevid˘a ¸si minorat˘a de numere reale admite margine inferioar˘a. Mai precis, are loc egalitatea: inf A = − sup(−A) Verificare. Mult¸imea (−A) este evident nevid˘a. Se arat˘a imediat c˘a oricare ar fi a minorant pentru A, urmeaz˘a c˘a (−a) este majorant pentru (−A). Astfel, mult¸imea (−A) are margine superioar˘a. S˘a not˘am a := − sup(−A) ¸si s˘a demonstr˘am faptul c˘a a este marginea inferioar˘a a mult¸imii A. Fie x ∈ A, deci (−x) ∈ (−A) arat˘a c˘a −x 6 −a, de unde a 6 x; deci a este minorant pentru mult¸imea A. Fie acum a0 un minorant pentru mult¸imea A. Urmeaz˘a c˘a −a0 este majorant pentru mult¸imea (−A), deci (−a) 6 (−a0 ), ceea ce este echivalent cu a0 6 a. Astfel a este cel mai mare minorant al mult¸imii A. 5) Se consider˘a o funct¸ie f : R → R, monoton cresc˘atoare pe R, care verific˘a propriet˘a¸tile: f (x + y) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ R ¸si f (1) = 1 a) S˘a se verifice c˘a f (0) = 0. b) S˘a se verifice c˘a f (−x) = −f (x), ∀x ∈ R. c) Utilizˆand metoda indut¸iei matematice, s˘a se arate c˘a: ∀n ∈ N∗ , ∀a1 , a2 , . . . , an ∈ R avem: f (a1 + a2 + . . . + an ) = f (a1 ) + f (a2 ) + . . . + f (an ) ¡ ¢ d)S˘a se arate c˘a: f n1 = n1 , ∀n ∈ N∗ . e)S˘a se arate c˘a f (x) = x, ∀x ∈ Q.

18

CHAPTER 2. S¸IRURI S¸I SERII DE NUMERE REALE.

f) Utilizˆand eventual faptul c˘a, pentru orice a < b ∈ R exist˘a r ∈ Q astfel ˆıncˆat a < r < b, s˘a se arate c˘a: f (x) = x, ∀x ∈ R. Propuse ca teme: 6) (CDV 1. 69) Fie f : [a, b] → [a, b] (cu a < b) o funct¸ie cresc˘atoare. S˘a se arate c˘a exist˘a x0 ∈ [a, b] astfel ˆıncˆat f (x0 ) = x0 (punct fix). Dar dac˘a f este presupus˘a descresc˘atoare? Se mai pot rezolva din CDV: 1.71; 1.65+66+67; 1.68; 1.70 Ramase din seminariile 1 si 2: 3) Dac˘a I1 , I2 sunt intervale, cu I1 ∩ I2 6= ∅, atunci I1 ∪ I2 este tot un interval. 4) Fie (Iα )α∈A o familie de intervale deschise, cu proprietatea c˘a [ [0, 1] ⊆ Iα α

S˘a se arate c˘a exist˘a α1 , α2 , . . . αn ∈ A, astfel ˆıncˆat [0, 1] ⊆

n [

Iαk

k=1

Demonstratie. Se considera multimea acelor numere x ∈ [0, 1], cu proprietatea ca [0, x] se poate acoperi cu un numar finit de intervale. Evident, 0 face parte din multime: exista un interval din familie care contine 0. Prin constructie, multimea este majorata; fie deci a marginea superioara a multimii considerate. Problema este rezolvata daca aratam ca a = 1. Sa presupunem ca a < 1. Exista un interval din familie care contine a, fie acesta (α, β). Deoarece α < a, din definitia marginii superioare rezulta ca exista un element al multimii, sa zicem x0 , cu proprietatea α < x0 6 a. Acum [0, x0 ] este acoperit de o familie finita de intervale. Daca la aceasta familie mai adaugam intervalul (α, β), obtinem tot o familie finita, care acopera [0, β), deci orice interval inchis [0, b], cu b < β. Faptul c˘a a < β contrazice faptul ca a este un majorant. 5) S˘a se determine ¸si s˘a se compare: ∞ ∞ \ \ 1 1 a) [0, ] ¸si (0, ]; n n n=1 n=1 ∞ ∞ \ 1 1 \ 1 1 b) [− , ] ¸si (− , ) n n n n n=1 n=1 8) (CDV 1. 64) S˘a se arate c˘a mult¸imea {r ∈ Q|r2 6 2} este nevid˘a ¸si m˘arginit˘a, dar nu admite margine superioar˘a ˆın Q (altfel spus, Q satisface toate axiomele, cu except¸ia ultimei, care este deci independent˘a).

˘ ¸ I GENERALE ALE S¸IRURILOR CONVERGENTE.19 2.2. PROPRIETAT 11) (Inegalitatea lui H¨older) Se consider˘a funct¸ia f : (0, +∞) → R, f (x) = xα − αx, pentru α ∈ (0, 1). a) S˘a se calculeze f 0 (x), x > 0. b) S˘a se arate c˘a f 0 (x) > 0, ∀x ∈ (0, 1) iar f 0 (x) < 0, ∀x ∈ (1, +∞). c) S˘a se deduc˘a inegalitatea xα − αx 6 1 − α, ∀x > 0. d) Pentru a, b > 0 ¸si α, β ∈ (0, 1), cu α+β = 1, s˘a se verificie inegalitatea: α β a b 6 αa + βb (se poate folosi inegalitatea precedent˘a, pentru x = ab ). 1 1 s p tq e) Pentru s, t > 0 ¸si p, q > 1 cu + = 1, s˘a se arate c˘a: st 6 + . p q p q f) Utilizˆand punctul precedent, s˘a se arate c˘a dac˘a a1 , . . . , an , b1 , . . . , bn sunt strict pozitive, atunci: a1 b1 + a2 b2 + . . . + an bn 6 (ap1 + ap2 + . . . + apn )1/p (bq1 + bq2 + . . . + bqn )1/q (inegalitatea lui H¨older). P P q Se considera intii cazul apk = 1 si bk = 1; se aplica e) pentru s = ak ; t = bk si se sumeaza. Cazul p = 1? p = 2? Cazuri de egalitate? Verific˘ari r˘amase de la curs. 1) a) Se arat˘a c˘a elementul neutru 0 este unic; iar opusul fiec˘arui element este de asemeni unic. b) Se arat˘a c˘a elementul unitate la ˆınmult¸iere 1 este unic; iar inversul fiec˘arui element, diferit de 0, este unic.

2.2

Propriet˘ a¸ti generale ale ¸sirurilor convergente.

Reguli de calcul. I. a) Dac˘a xn → x ¸si yn → y atunci xn +yn → x+y. Dac˘a xn → x ¸si yn → +∞ atunci xn + yn → +∞. Pentru simplitate, vom scrie x + ∞ = +∞; analog: −∞ + x = −∞; +∞ + ∞ = +∞; −∞ − ∞ = −∞; ˆın timp ce +∞ − ∞ este nedeterminare: aceasta ˆınseamn˘a c˘a exis˘a exemple de ¸siruri xn → +∞, yn → −∞ iar xn + yn are orice comportare (are orice limit˘a, nu are limit˘a). b) Dac˘a xn → x, atunci −xn → −x (inclusiv ±∞). II. a) Dac˘a xn → x ¸si yn → y atunci xn yn → xy. Aici intr˘a ¸si formulele (±∞)(±∞) = ±∞; x0 ± ∞ = ±∞ dac˘ a x0 6= 0; ˆın timp ce 0(±∞) este nedeterminare. b) Dac˘a xn → x, ¸si x 6= 0, atunci x1n → x1 (se ˆınt¸elege c˘a xn 6= 0 de la un loc ˆıncolo).

20

CHAPTER 2. S¸IRURI S¸I SERII DE NUMERE REALE. Dac˘a xn → ∞, atunci x1n → 0. Dac˘a xn → 0 ¸si xn > 0 (cel put¸in de la un loc ˆıncolo), atunci

1 xn

→ +∞.

Apar cazurile de nedeterminare 00 ¸si ∞ . ∞ III. Dac˘a xn → x0 iar xn 6 yn ∀n, atunci x0 6 y0 (inclusiv cazul limitelor infinite). Se poate ˆıns˘a ca inegalitatea ˆıntre termeni ¸sirului s˘a fie strict˘a, dar limitele sa fie egale (dat¸i un exemplu!). Demonstrat¸ie. I. Rezult˘a din aplicarea definit¸iei, utilizˆand inegalitatea |(xn + yn ) − (x + y)| 6 |xn − x| + |yn − y| Rat¸ionamentul complet este urm˘atorul: fie ε > 0; scriind convergent¸a ¸sirurilor (xn ), resp. (yn ), obt¸inem rangurile nε , resp n0ε pentru care: oricare ar fi n > nε avem |xn − x| < ε/2, resp. oricare ar fi n > n0ε avem |yn − y| < ε/2. Pentru orice n > max(nε , n0ε ) obt¸inem |(xn + yn ) − (x + y)| < ε, pe baza inegalit˘a¸tii ment¸ionate. Dac˘a yn → +∞, vom utiliza xn + yn > yn − |xn | II. Vom scrie |xn yn − xy| = |xn yn − xyn + xyn − xy| 6 |xn − yn ||yn | + |x||yn − y| iar pentru primul termen vom folosi faptul c˘a ¸sirul (yn ) este m˘arginit. b) S˘a consider˘am cazul x > 0. Luˆand ε := x/2, deducem c˘a exist˘a un rang n0 astfel ˆıncˆat pentru orice n > n0 s˘a avem xn > x/2 > 0. ˆIn particular, xn 6= 0. Acum vom scrie ¯ ¯ ¯1 ¯ ¯ − 1 ¯ = |x − xn | 6 2 |x − xn | ¯ xn x ¯ |x||xn | |x|2 Aici trebuie ment¸ionat˘a ”lema cle¸stelui”, care permite aflarea limitei unor ¸siruri: Teorem˘ a. Fie xn → x, zn → x. Dac˘a ¸sirul (yn ) satisface xn 6 yn 6 zn , pentru fiecare n, atunci yn → x0 . Desigur, dac˘a x0 = +∞, este suficent s˘a verific˘am c˘a xn 6 yn . Demonstrat¸ie. Fie ε > 0. Exist˘a deci un rang nε de la care ˆıncolo avem −ε < xn − x ¸si zn − x < ε. Astfel deducem −ε < xn − x 6 yn − x 6 zn − x < ε

` 2.3. TEOREMA LUI CANTOR; LEMA LUI CESARO, TEOREMA LUI CAUCHY.21

2.3

Teorema lui Cantor; lema lui Ces` aro, teorema lui Cauchy.

Teorem˘ a (Principiul lui Cantor, al intervalelor ˆınchise incluse). Fie un ¸sir descresc˘ator de intervale ˆınchise {[an , bn ]|n ∈ N} adic˘a [an+1 , bn+1 ] ⊆ [an , bn ]. Atunci exist˘a cel put¸in un element comun tuturor intervalelor. Dac˘a ˆın plus ¸sirul descresc˘ator de intervale ˆınchis are proprietatea: oricare ar fi ε > 0, exist˘a un interval din ¸sir [an , bn ] care are lungimea bn − an < ε, atunci elementul comun este unic (intersect¸ia tuturor intervalelor este redus˘a la un singur element). Demonstrat¸ie. S¸irul (an ) este cresc˘ator ¸si majorat de b1 . Deci este convergent, s˘a zicem la a; asem˘an˘ator, (bn ) este descresc˘ator ¸si minorat de a1 . Fie b limita acestui ¸sir. Deoarece an 6 bn , deducem an 6 a 6 b 6 bn , ceea ce arat˘a c˘a intersect¸ia tuturor intervalelor este [a, b]. ˆIn cazul al doilea, deducem 0 6 b − a < ε, oricare ar fi ε > 0, ceea ce implic˘a a = b. ˆIn adev˘ar, dac˘a nu, am avea b − a > 0; alegerea ε := 1/2(b − a) conduce la contradict¸ie. Teorema lui Cantor (ˆın prima variant˘a, ˆımpreun˘a cu lema lui Arhimede) implic˘a axioma marginii superioare. Este foarte important s˘a se ˆınt¸eleag˘a definit¸ia ¸sirului ca funct¸ie. Definit¸ia 3. Fiind dat un ¸sir (xn ), se nume¸ste sub¸sir compunerea cu orice aplicat¸ie strict cresc˘atoare N → N. Desigur, vom folosi notat¸ia tradit¸ional˘a (xnk ) pentru un sub¸sir, aceasta ˆınsemnˆand c˘a se consider˘a ¸sirul x : N → R, aplicat¸ia strict cresc˘atoare n x n : N → N ¸si se face compunerea N → N → R. Lema lui Ces` aro. Orice ¸sir m˘arginit are cel put¸in un sub¸sir convergent. Demonstrat¸ie. S¸irul fiind m˘arginit, exist˘a un interval I0 ˆın care se afl˘a tot¸i termenii ¸sirului. ˆImp˘art¸im intervalul ˆın dou˘a. Cel put¸in unul din aceste intervale va cont¸ine o infinitate de termeni ai ¸sirului. Not˘am I1 un interval cu acest˘a proprietate. Construim recurent un ¸sir de intervale ˆınchise incluse, fiecare avˆand lungimea jum˘atate din cea a precedentului, cu proprietatea c˘a fiecare cont¸ine o infinitate de termeni ai ¸sirului. Dac˘a In este construit, ˆıl ˆımp˘art¸im ˆın dou˘a; cel put¸in unul din aceste intervale va cont¸ine o infinitate de termeni ai ¸sirului. Not˘am In+1 un interval cu acest˘a proprietate. Din teorema lui Cantor, deducem c˘a exist˘a un punct unic x, apart¸inˆand tuturor intervalelor In . Ar˘at˘am acum c˘a exist˘a un sub¸sir, cu limita x. Alegem xn0 din I0 . Presupunˆand xnk ales din Ik , alegem xnk+1 din Ik+1 astfel ˆıncˆat

22

CHAPTER 2. S¸IRURI S¸I SERII DE NUMERE REALE.

nk+1 > nk . Alegerea este posibil˘a tocmai datorit˘a existent¸ei unei infinit˘a¸ti de termeni ai ¸sirului ˆın fiecare interval. Datorit˘a alegerii, (xnk )k este un sub¸sir. Datorit˘a apartenent¸ii la Ik , rezult˘a c˘a |xnk − x| < k1 , adic˘a xnk → x. Definit¸ie. S¸irul (xn )n se nume¸ste ¸sir Cauchy dac˘a: ∀ε > 0, ∃nε : ∀m, n > nε : |xn − xm | < ε Se observ˘a c˘a definit¸ia se refer˘a exclusiv la termenii ¸sirului. Totu¸si: Teorem˘ a. S¸irul (xn ) este ¸sir Cauchy dac˘a ¸si numai dac˘a este convergent. Demonstrat¸ie. Fie ˆıntˆai (xn ) ¸sir Cauchy. Ar˘at˘am c˘a ¸sirul este m˘arginit. Pentru aceasta, scriem definit¸ia ¸sirului Cauchy cu ε = 1: exist˘a un rang n1 , astfel ˆıncˆat pentru orice n ¸si m > n1 avem |xn − xm | < 1. Astfel, pentru n/geqn1 avem |xn | 6 |xn − xn1 | + |xn1 | < 1 + |xn1 |. Deci pentru orice n avem |xn | 6 M , dac˘a alegem M := max (|x0 |, . . . , |xn1 |, 1 + |xn1 |). S¸irul fiind m˘arginit, conform lemei lui Ces`aro, admite un sub¸sir convergent (xnk )k . Fie x limita acestui sub¸sir. Vom ar˘ata c˘a ¸sirul init¸ial (xn ) are de asemenea limita x. Fie ε > 0 oarecare. Exist˘a un rang kε pentru care |xnkε − x| < ε/2. Din faptul c˘a este ¸sir Cauchy, deducem c˘a exist˘a un rang nε astfel ˆıncˆat pentru orice n ¸si m > nε s˘a avem |xn − xm | < ε/2. Mai putem alege un rang k > kε , pentru care nk > nε . Pentru orice n > nε avem: |xn − x| 6 |xn − xnk | + |xnk − x| < ε/2 + ε/2 = ε Reciproc, s˘a ar˘at˘am c˘a orice ¸sir convergent este ¸sir Cauchy. Aceast˘a implicat¸ie se arat˘a mult mai simplu dar este ¸si mai put¸in interesant˘a ˆın aplicat¸ii. Fie deci xn → x. Fie ε > 0 oarecare. Exist˘a un rang nε astfel ˆıncˆat pentru orice n > nε s˘a avem |xn − x| < ε/2. Acum oricare ar fi n ¸si m > nε putem scrie: |xn − xm | 6 |xn − x| + |x − xm | < ε/2 + ε/2 = ε

2.3.1

Exercit¸ii

1) (CDV 1. 64) S˘a se arate c˘a mult¸imea {r ∈ Q|r2 6 2} este nevid˘a ¸si m˘arginit˘a, dar nu admite margine superioar˘a ˆın Q (altfel spus, Q satisface tote axiomele, cu except¸ia ultimei, care este deci independent˘a). 2) (CDV 1. 69) Fie f : [a, b] → [a, b] (cu a < b) o funct¸ie cresc˘atoare. S˘a se arate c˘a exist˘a x0 ∈ [a, b] astfel ˆıncˆat f (x0 ) = x0 (punct fix). Dar dac˘a f este presupus˘a descresc˘atoare? Se mai pot rezolva din CDV: 1.71; 1.65+66+67; 1.68; 1.70 3) Stabilit¸i valoarea de adev˘ar a fiecareia din urm˘atoarele afirmat¸ii:

` 2.3. TEOREMA LUI CANTOR; LEMA LUI CESARO, TEOREMA LUI CAUCHY.23 ¸sirul (xn ) are proprietatea: ∀n > 100 : |xn | < 0, 01 Atunci ¸sirul (xn ) este: (i) m˘arginit; (ii) monoton; (iii) convergent; (iv) cu limita 0. 4) Stabilit¸i valoarea de adev˘ar a fiecareia din urm˘atoarele afirmat¸ii: • Dac˘a xn yn −→ 0, atunci fie xn −→ 0, fie yn −→ 0. • Dac˘a un ¸sir este convergent, atunci este: monoton; m˘arginit; are o singur˘a limit˘a • Dac˘a ¸sirul (xn ) are termenii strict pozitivi ¸si este convergent, atunci xn+1 −→ 1. xn FALS: rezultatul este adev˘arat dac˘a ¸si limita este strict pozitiv˘a. Dac˘a xn −→ 0, atunci ¸sirul xxn+1 poate avea orice comportare: n 1 1 1 , 2 , n are limita 0. S˘a se determine, pentru lg n n 10 fiecare din aceste ¸siruri, rangul nε , corespunz˘ator valorilor: ε = 0, 1; 0, 01; 0, 001. £ ¤ 1 1 Solut¸ie. (i) < ε ⇐⇒ lg n > ⇐⇒ n > 101/ε , deci nε = 1 + 101/ε . lg n ε Astfel, cele trei valori sunt: 1 + 1010 ; 1 + 10100 ; 1 + 101000 (acest ultim num˘ar are 1001 cifre, adic˘a ar fi nevoie de aproape o jum˘atate de pagin˘a pentru a fi scris!). Acest ¸sir converge ”foarte ˆıncet” la 0. h i 1 1 (ii) 2 < ε ⇐⇒ n > √ deci nε = 1 + √1ε . Valorile sunt: 4; 11; 32. n ε Pare evident ca acest ¸sir tinde ”mai repede” la 0 decˆat precedentul. 1 1 (iii) n ⇐⇒ 10n > ⇐⇒ n > − lg ε, deci nε = 1 + [lg ε]. Valorile sunt: 10 ε 2; 3; 4. Aici convergent¸a este ¸si mai rapid˘a; corespunde vitezei cu care fiecare num˘ar real este aproximat de scrierea zecimal˘a. Totu¸si, considerarea doar a unor cazuri pentru ε poate fi ˆın¸sel˘atoare (oricum, nu poate constitui o demonstrat¸ie pentru faptul c˘a ¸sirul are limita 5) Fiecare din ¸sirurile

24

CHAPTER 2. S¸IRURI S¸I SERII DE NUMERE REALE.

1 are limita 0; pentru cele trei valori propuse pentru ε n10 g˘asim nε = 2 ¸si am putea fi tentat¸i s˘a tragem concluzia (gre¸sit˘a) c˘a este cel mai rapid convergent. C˘a nu este a¸sa putem observa luˆand, de exemplu, ε = 101100 : pentru ¸sirul 101n , rangul corespunz˘ator este 101, iar pentru n110 este 1 + 1010 . 0). Astfel, ¸sirul

6) S˘a se completeze spat¸iul cu varianta corect˘a: A) necesar, dar nu suficient; B) suficient, dar nu necesar; C) necesar ¸si suficient; D) nici necesar, nici suficient Justifcat¸i r˘aspunsurile. * Pentru ca ¸sirul (xn ) s˘a fie convergent este . . . : (i) ca (xn ) s˘a fie descresc˘ator; (ii) ca (xn ) s˘a fie monoton ¸si m˘arginit; (iii) ca (xn+1 − xn ) −→ 0; (iv) ca orice sub¸sir s˘a fie convergent; (v) ca sub¸sirurile (x2n ); (x2n+1 ); (x3n ) s˘a fie convergente; * Dac˘a un ¸sir este m˘arginit, atunci pentru a fi monoton este . . . ca ¸sirul s˘a fie convergent. * Dac˘a un ¸sir este monoton, atunci pentru a fi m˘arginit este . . . ca ¸sirul s˘a fie convergent. 7) Fie (xn ) un ¸sir convergent de numere strict pozitive. Afirmat¸ia xn+1 →1 xn este adev˘arat˘a sau fals˘a? Continuat cu precizari: CDV Fa83: S˘a se stabileasc˘a valoarea de adev˘ar a urm˘atoarei afirmat¸ii: “Fiecare ¸sir (xn ) de numere reale are: fie un sub¸sir cresc˘ator, fie un sub¸sir descresc˘ator” (in sens larg). 8) S˘a se arate c˘a xn → x ⇒ |xn | → |x| Reciproc? (continuitatea functiei modul). 5) Scriet¸i negat¸ia faptului c˘a un ¸sir este convergent (resp. c˘a are limita 0).

` 2.3. TEOREMA LUI CANTOR; LEMA LUI CESARO, TEOREMA LUI CAUCHY.25 Aici vor fi grupate un num˘ar de exercit¸ii, de regul˘a cˆate dou˘a similare, care s˘a acopere toate cazurile de nedetermin˘ari ¸si principalele metode de ˆınl˘aturare a lor. 1) S˘a afle limitele urm˘atoarelor ¸siruri: √ √ n+1− n−1 √ √ n+2− n Prin amplificare co conjugata, termenul general se rescrie ca: √ √ n+2+ n √ √ n+1+ n−1 √ Se observ˘a c˘a termenul dominant este n, deci rescriind: q 1 + n2 + 1 q q −→ 1 1 + n1 + 1 − n1 2) 1+2+...+n − n2 n ¸sirul se transform˘a:

n(n+1) 2

n 1 n2

2 n2

−

n 1 = 2 2

n−1 n2

3) + + ... + care se transform˘a:

n(n−1) 2 n2

=

n−1 1 −→ 2n 2

1 + 3 + 5 + . . . + (2n − 1) 2n + 1 − n+1 2 care se transform˘a: 4)

n2 2n + 1 −3n − 1 3 − = −→ − n+1 2 2(n + 1) 2 6) (i) Fie (an )n>1 progresia aritmetic˘a de rat¸ie r; iar (bn )n>1 progresia geometric˘a de rat¸ie q. S˘a se afle: a1 + . . . + an n→+∞ b1 + . . . + bn lim

(ii) Fie (an )n>1 progresia geometric˘a de rat¸ie q; iar (bn )n>1 progresia geometric˘a de rat¸ie q 0 . S˘a se afle: lim

n→+∞

a1 + . . . + an b1 + . . . + bn

26

CHAPTER 2. S¸IRURI S¸I SERII DE NUMERE REALE.

Discut¸ie. ˆIn cazul q 0 = q 2 , s˘a se afle: a1 + . . . + a2n n→+∞ b1 + . . . + bn lim

7) Se consider˘a ¸sirurile (an )n>0 ¸si (bn )n>0 definite de: a0 = a1 = 1; an+2 = an+1 + an ; ¸si b0 = 0; b1 = 1; bn+2 = bn+1 + bn . an S˘a se afle: lim . n→+∞ bn 8) S˘a se calculeze: 1 + ... + n lim n→+∞ n2 12 + . . . + n2 lim n→+∞ n3 13 + . . . + n3 lim n→+∞ n4 Generalizare. 9) S˘a se calculeze: 2n + 5n lim n n→+∞ 3 + 4n 3n + 4n lim n n→+∞ 2 + 5n 3n + 4n lim n n→+∞ 3 + 5n 5n + 3n lim n n→+∞ 3 + 2n 10) S˘a se calculeze: 1 1 1 + + ... + n→+∞ 1.2 2.3 n(n + 1) lim lim

n→+∞

1 1 1 + + ... + 1.3 2.4 n(n + 2)

Su85: Fie k > 1 un num˘ar natural fixat ¸si numerele reale 0 6 a1 6 a2 6 . . . 6 ak . S˘a se calculeze p lim n an1 + an2 + . . . + ank n→+∞

(la cleste)

` 2.3. TEOREMA LUI CANTOR; LEMA LUI CESARO, TEOREMA LUI CAUCHY.27 2) Fie (xn ) un ¸sir de numere strict pozitive. Dac˘a xn + x1n −→ 2, atunci xn −→ 1. 1) S˘a se calculeze (n + 1)a − na lim n→+∞ na−1 unde a ∈ R. Comentarii: se pot considera diverse valori particulare pentru a = 0, 1 banale; a = 2, 3, −1, −2 fract¸ii; a = 1/2, −1/2, 1/3 conduc la rat¸ionaliz˘ari. (presupune e extins si atentie.) Fa79: S˘a se arate c˘a µ ¶ 1 1 1 lim + + ... + = ln 2 n→+∞ n+1 n+2 2n Solutie. Desigur, cel mai simplu se rezolva cu sume Riemann. Se poate stabili identitatea lui Catalan: 1 1 1 1 1 1 + + ... + = 1 − + ... + − n+1 n+2 2n 2 2n − 1 2n (prin induct¸ie, sau ad˘augˆand ¸si sc˘azˆand suma primelor n inverse ¸si trasformˆand ˆın pare). Suma seriei armonice alternate se g˘ase¸ste din dezvoltarea Taylor pentru ln(1 + x). Demonstrat¸ie elementar˘a: se folo¸ste inegalitatea de la e: ¶k µ ¶k µ 1 1 <e< 1+ 1+ k k−1 pe baza c˘areia se scrie: Ã 2n Y ln 2 = ln

k k−1 k=n+1

!

µ ¶k 2n 2n X X 1 k 1 = ln > > k k−1 k k=n+1 k=n+1

µ ¶k 2n X k+1 1 ln = ln > k k k=n+1 (la cleste plus e) Sp96: S˘a se calculeze

Ã

2n Y k+1 k k=n+1

!

µ = ln

2n + 1 n+1

n lim √ n n!

n→+∞

(aplicatie la Stolz, comparare pt. n!, continuare cu Stirling)

¶

28

CHAPTER 2. S¸IRURI S¸I SERII DE NUMERE REALE. 1) a) S˘a se demonstreze prin induct¸ie urm˘area formul˘a (a 6= 1): 1 + 2a + 3a2 + . . . + nan−1 =

nan+1 − (n + 1)an + 1 (1 − a)2

b) S˘a se arate c˘a, dac˘a |a| < 1, atunci nan −→ 0. c) Fie |a| < 1; definim ¸sirul xn := 1 + 2a + 3a2 + . . . + nan−1 . S˘a se arate c˘a (xn este converegnt ¸si s˘a se afle limita sa. Solutie. a) nan+1 − (n + 1)an + 1 + (n + 1)an = (1 − a)2 nan+1 − (n + 1)an + 1 + (n + 1)an − 2(n + 1)an+1 + (n + 1)an+2 = = (1 − a)2 (n + 1)an+2 − (n + 2)an+1 + 1 = (1 − a)2 Se poate pune intrebarea cum a fost gasita aceasta formula? Cel mai elegant pare a se pleca de la suma progresiei geometrice si derivare. b) S˘a consider˘am ˆıntˆai cazul a ∈ (0, 1). Not˘am xn := nan . Atunci a arat˘a c˘a ¸sirul este descresc˘ator de la un loc ˆıncolo (pentru xn+1 = xn n+1 n a care n > 1−a ). Fiind cu termeni pozitivi, rezult˘a convergent. Trecˆand la limita˘a, aceasta satisface l = l.a, de unde l = 0. Cazul general rezult˘a din observat¸ia |nan | = n|a|n . 1 c) Folosind punctele precedente, deducem c˘a limita cerut˘a este (1−a) 2. Fa90: S˘a se calculeze lim cos

n→+∞

π π π cos 3 . . . cos n 2 2 2 2

(transformare si limita fundamentala) Sp81: Care din urm˘atoarele serii este convergent˘a: ∞ X (2n)!(3n)! n=1 ∞ X n=1

n!(4n)! 1 n1+1/n

(se poate cere monotonia si limita termenului general la prima) Lem˘a. Dac˘a xn → 0 iar (yn ) este un ¸sir m˘arginit, atunci xn yn → 0.

˘ ¸ I GENERALE. 2.4. SERII CONVERGENTE, PROPRIETAT

29

Fie M > 0 astfel ˆıncˆat |yn | 6 M , pentru orice n. Fie ε > 0 arbitrar. Scriind definit¸ia faptului c˘a xn → 0, cu ε/M , obt¸inem un rang nε de la care ˆıncolo |xn yn | 6 |xn |M < Mε M = ε. Aplicatii la: inlaturarea nedeterminarilor: gasirea termenului dominant; amplificarea cu conjugata; efectuarea calculelor! (pentru aducere la nedeterminari 0/0 sau ∞/∞, de obicei mai convenabil de tratat). Aplicatii la lema clestelui.Se va urmari: recunoasterea nedeterminarilor; cunoasterea de metode pentru inlaturarea nedeterminarilor: transformari algebrice, folosind diverse formule din liceu; amplificarea cu conjugata; recunoasterea termenului dominant/ pus in factor, etc) Su83: Fie (xn ) un ¸sir strict cresc˘ator de numere reale. Presupunem c˘a n limn→+∞ xn = +∞ iar limn→+∞ xxn+1 = 1. S˘a se arate c˘a mult¸imea { xxmn |n, m} este dens˘a ˆın [1, +∞). P P P∞ 2 2 1) Dac˘a ∞ si ∞ n=1 xn < +∞ ¸ n=1 yn < +∞, atunci seria n=1 xn yn este absolut convergent˘a iar Ã∞ !2 à ∞ !à ∞ ! X X X xn y n 6 x2n x2n n=1

2.4

n=1

n=1

Serii convergente, propriet˘ a¸ti generale.

Unele ¸siruri apar ˆın mod natural sub forma sn := x0 + x1 + . . . + xn ; ˆın acest caz se vorbe¸ste de serie, xn se nume¸ste termenul general, iar sn suma part¸ial˘ a ∞ X a seriei; dac˘a ¸sirul sumelor part¸iale este convergent, limita se noteaz˘a xn n=0

¸si se spune c˘a seria este convergent˘ a. De fapt, orice ¸sir (xn ) se poate scrie sub aceast˘a form˘a: definind yn := ∞ X xn − xn−1 (pentru n > 1) ¸si acceptˆand x0 = 0, seria yn are ca sume n=1

part¸iale exact xn . O condit¸ie necesar˘a (dar nu suficient˘a) pentru convergent¸a unei serii este deci ca termenul general s˘a tind˘a la 0. Cu alte cuvinte, dac˘a termenul general al unei serii nu tinde la 0, seria este divergent˘a. O situat¸ie foarte important˘a este cea a seriilor cu termeni pozitivi: dac˘a xn > 0, pentru orice n, atunci ¸sirul sumelor part¸iale este cresc˘ator; deci este convergent dac˘a ¸si numai dac˘a este majorat. Acest fapt se marchez˘a uneori ∞ X prin notat¸ia xn < +∞. n=0

30

CHAPTER 2. S¸IRURI S¸I SERII DE NUMERE REALE.

Pentru asemenea serii se pot utiliza diverse criterii pentru stabilirea convergent¸ei. comparat¸ie cu o alt˘a serie a c˘arei natur˘a este cunoscut˘a: xn 6 yn ; dar ¸si xn ; dac˘a limita exist˘a ¸si este din (0, +∞), sau doar 0 < m 6 xynn 6 M < +∞, yn cele dou˘a serii au aceea¸si natur˘a. Chiar mai mult, dac˘a xxn+1 6 yn+1 . yn n P ∞ 1 Este bine de ret¸inut c˘a seria armonic˘a generalizat˘ a: n=1 na este convergent˘a dac˘a ¸si numai dac˘a a > 1 (cazul a > 2 a fost observat). Aceast˘a serie poate servi drept comparat¸ie. ∞ X 1 Exemple de serii. (i) xn = dac˘a |x| < 1. 1 − x n=0 Scriind condit¸ia ca ¸sirul sumelor part¸iale ale unei serii s˘a fie ¸sir Cauchy, rezult˘a: ∞ X Propozit¸ie. Seria xn este convergent˘a dac˘a ¸si numai dac˘a satisface n=0

condit¸ia de tip Cauchy:

¯ p ¯ ¯X ¯ ¯ ¯ ∀ε > 0∃nε ∀n > nε , ∀p > 1 : ¯ xn+k ¯ < ε ¯ ¯ k=1

Definit¸ie. Seria termeni pozitivi

∞ X

∞ X

xn se nume¸ste absolut convergent˘ a dac˘a seria cu

n=0

|xn | este convergent˘a.

n=0

Din proprietatea de completitudine, rezult˘a c˘a orice serie absolut convergent˘a este convergent˘a. Propozit¸ie. Orice serie absolut convergent˘a este convergent˘a. P Demonstrat¸ie. Seria ∞ a dac˘a ¸si numai dac˘a ¸sirul n=0 xn este convergent˘ sumelor part¸iale este ¸sir Cauchy. Prin ipotez˘a, ¸sirul σn := |x0 |+|x1 |+. . .+|xn | este convergent, deci este ¸sir Cauchy. Dar pentru n > m: |sn − sm | = |xn+1 + . . . + xm | 6 |xn+1 | + . . . + |xm | = σn − σm Exist˘a ¸si o demonstrat¸ie care nu folose¸ste proprietatea Cauchy. ˆIn adev˘ar, − ¸a absolut˘a decurge convergent¸a amdeoarece |xn | = x+ n + xn , din convergent ∞ ∞ X X + belor serii cu termeni pozitivi xn ¸si x− a ¸si seria diferent¸a˘ n . Deducem c˘ n=0

n=0

− este convergent˘a; dar aceasta este chiar seria init¸ial˘a, c˘aci xn = x+ n − xn Mai simplu (Lewin): 0 6 xn + |xn | 6 2|xn | arat˘a c˘a seria cu termeni poz∞ X itivi xn + |xn | este convergent˘a. La fel este ¸si seria init¸ial˘a, ca diferent¸a˘ n=0

de srii convergente: xn = (xn + |xn |) − |xn |.

˘ ¸ I GENERALE. 2.4. SERII CONVERGENTE, PROPRIETAT

31

P∞ Aplicat¸P ie: Fie n=0 an o serie P∞absolut convergent˘a. Atunci ¸si seriile ∞ (Fourier) n=0 an sin nx, resp. n=0 an cos nx sunt (absolut) convergente (oricare ar fi x ∈ R. ∞ X 1 π2 (iv) = . n2 6 n=0 (v) scrierea numerelor reale ˆın baza b (cazurile 10, 2 , 3(cu cifre ±1, 0). Propozit¸ie. Num˘arul natural b > 2 fiind fixat, pentru fiecare x ∈ [0, 1) exist˘a ”cifrele” an ∈ {0, 1, . . . , b − 1} astfel ˆıncˆat x=

∞ X an n=1

bn

Exist˘a o singur˘a situat¸ie ˆın care scrierea nu este unic˘a, ¸si anume: ∞ X b−1 1 = k n b b n=k+1

Mai frapant: 0, 99 . . . 9 . . . = 1! Demonstrat¸ie. Exemple de ¸siruri. (i) n1 → 0; este echivalent cu lema lui Arhimede. (ii) Dac˘a |a| < 1, atunci an → 0. Este suficient s˘a trat˘am cazul a ∈ (0, 1). Cu aceast˘a ipotez˘a, ¸sirul este descresc˘ator ¸si minorat de 0. Deci exist˘a l > 0 cu an → l. Trecˆand la limit˘a ˆın scrierea an+1 = a.an (¸sir recurent!) obt¸inem l = a.l, de ¡ unde ¢ l = 0. 1 n (iii) 1 + n → e; (iv) semi–perimetrul/aria poligoanelor ˆınscrise resp. circumscrise unui cerc de raza 1 au limita (comun˘a) π (Arhimede). ∞ X xn (ii) = ex ; n! n=0 ∞ X 1 1 1 (iii) = +∞ dar 1 + + . . . + − ln n → γ (constanta lui Euler). n 2 n n=0

2.4.1

Exercit¸ii.

Din culegerea CDV: 2.3. dar cu solutia mult mai simpla: daca x < 1, atunci sirul xn este descrescator, cel putin de la un loc incolo; fiind de numere (strict) pozitive, → 1. este convergent; daca limita ar fi strict pozitiva, atunci ar trebui ca xxn+1 n

32

CHAPTER 2. S¸IRURI S¸I SERII DE NUMERE REALE.

Ca aplicatii: 2.4. d) si e) 2.4. a) si aplicat la 2.4. b) si c) 2.5. se poate face ca referat: la a) doar o singura demonstratie, de ex. cu inegalitatea mediilor; b) si c) 2.16 2.37 2.38 eventual 2.54

2.4.2

Limite superioare ¸si inferioare.

Fie (xn ) un ¸sir m˘arginit. S˘a not˘am yn := sup{xn , xn+1 , . . .}. Evident, (yn ) este un ¸sir descresc˘ator ¸si minorat. Limita sa se nume¸ste limita superioar˘ aa ¸sirului (xn ) ¸si se noteaz˘a lim sup xn sau lim xn . Analog, se consider˘a ¸sirul n→+∞

n→+∞

cresc˘ator ¸si majorat zn := inf{xn , xn+1 , . . .}. Limita ¸sirului (zn ) se nume¸ste limita inferioar˘ a a ¸sirului (xn ) ¸si se noteaz˘a lim inf xn . Definit¸iile se extind n→+∞

la cazul ¸sirurilor oarecare, acceptˆand pentru limitele superioare resp. inferioare valorile +∞ sau −∞. Este evident c˘a lim inf xn 6 lim sup xn . Formula n→+∞

n→+∞

imediat˘a lim inf xn = − lim sup(−xn ) permite stabilirea unor propriet˘a¸ti doar n→+∞

n→+∞

pentru una din limitele inferioar˘a sau superioar˘a. Dac˘a xn > a > 0, atunci are loc ¸si formula: 1 lim inf xn = 1 n→+∞ lim sup n→+∞ xn Traducerea definit¸iei limitei superioare cu ε se va dovedi util˘a. Fie deci L limita superioar˘a a ¸sirului (xn )n . Pe de o parte, L este minorant, adic˘a oricare ar fi n are loc L 6 sup{xn , xn+1 , . . .} Fiind cel mai mare minorant, scriem c˘a, pentru orice ε > 0 exist˘a nε astfel ˆıncˆat L + ε > sup{xnε , xnε +1 , . . .} Scriind explicit ce ˆınseamn˘a cele dou˘a condit¸ii, rezult˘a c˘a: L este limita superioar˘a a ¸sirului (xn )n dac˘a ¸si numai dac˘a : pentru orice ε > 0 ¸si pentru orice k ∈ N, exist˘a nk > k astfel ˆıncˆat xn k > L − ε ¸si pentru orice ε > 0 exist˘a nε astfel ˆıncˆat oricare ar fi n > nε : xn 6 L + ε.

˘ 2.5. SERII CU TERMENI POZITIVI; CRITERII DE CONVERGENT ¸ A.33 Se observ˘a imediat c˘a ¸sirul (xn )n are limit˘a dac˘a ¸si numai dac˘a lim inf xn = lim sup xn n→+∞

n→+∞

Propozit¸ie. Pentru orice sub¸sir convergent (xnk )k , are loc: lim inf xn 6 lim xnk 6 lim sup xn n→+∞

k→+∞

n→+∞

(ii) Exist˘a un sub¸sir convergent (xnk )k , astfel ˆıncˆat lim xnk = lim sup xn

k→+∞

n→+∞

Astfel, limita superioar˘a este caracterizat˘a drept cea mai mare dintre limitele sub¸sirurilor convergente. Demonstrat¸ie. (i) Pentru fiecare sub¸sir (xnk )k , direct din definit¸ie g˘asim: lim inf xn 6 lim inf xnk 6 lim sup xnk 6 lim sup xn n→+∞

k→+∞

k→+∞

n→+∞

de unde concluzia, dac˘a sub¸sirul este presupus convergent. (ii) Notˆand L := lim sup xn , din definit¸ie deducem c˘a, oricare ar fi ε > 0, n→+∞

exist˘a nε astfel ˆıncˆat ynε < L + ε; deci xn 6 L + ε, pentru orice n > nε . Dac˘a not˘am, pentru fiecare n ∈ N: n1 := max(n, nε ), atunci L 6 ynε < L + ε. Exist˘a deci n0 > n1 astfel ˆıncˆat L − ε < xn0 , ceea ce dovede¸ste posibilitatea alegerii sub¸sirului c˘autat.

2.5

Serii cu termeni pozitivi; criterii de convergent¸˘ a.

Criteriul condens˘arii. Fie

∞ X

an o serie cu termeni pozitivi. Presupunem ˆın

n=0

plus c˘a an > an+1 , ∀n. Atunci seria considerat˘a are aceea¸si natur˘a cu seria ∞ X 2k a2k . k=0

Demonstrat¸ie. Prin faptul c˘a dou˘a serii au aceea¸si natur˘a se ˆınt¸elege c˘a sunt simultan convergente sau simultan divergente. Not˘am sn := a1 + a2 + . . . + an ; σn := a1 + 2a2 + . . . + 2n a2n

34

CHAPTER 2. S¸IRURI S¸I SERII DE NUMERE REALE.

Folosind ipoteza de monotonie, putem scrie: 1 1 s2n > a1 + a2 + 2a22 + . . . + 2n−1 a2n = σn + a1 2 2 respectiv: s2n 6 a1 + a2 + 2a2 + 22 a22 + . . . + 2n−1 a2n−1 = σn−1 + a2 ∞ X 1 Exemplu. Seria armonic˘a generalizat˘a este convergent˘a dac˘a ¸si a n n=1 numai dac˘a a > 1. ˆIn adev˘ar, pentru a 6 0 termenul general nu tinde la 0, deci seria este divergent˘a. Pentru a > 0 putem aplica criteriul condens˘arii, conform c˘aruia ∞ ∞ X X k 1 seria armonic˘a generalizat˘a are aceea¸si natur˘a cu 2 k a = (21−a )k (2 ) k=0 k=0 (serie geometric˘a). Iat˘a unul din multele criterii de convergent¸˘a pentru serii cu termeni pozitivi (criteriul lui Cauchy cu limit˘a superioar˘ a). Intervent¸ia limitei superioare ˆıl face ˆıns˘a cu mult mai util, cel put¸in teoretic. ∞ X √ Propozit¸ie. Fie an o serie cu termeni pozitivi. Dac˘a lim sup n an < 1, n→+∞ n=1 √ n atunci seria dat˘a este convergent˘a; iar dac˘a lim sup an > 1, atunci seria n→+∞

dat˘a este divergent˘a. Demonstrat¸ie. lim sup n→+∞

√ n

an < 1 ˆınseamn˘a c˘a exist˘a q < 1 ¸si n0 ∈ N

n

astfel ˆıncˆat 0 6 an 6 q , oricare ar fi n > n0 . Cum seria geometric˘a

∞ X

qn

n=1

este convergent˘a, afirmat¸ia privind convergent¸a rezult˘a. √ Analog, lim sup n an > 1 ˆınseamn˘a c˘a exist˘a q > 1 cu proprietatea c˘a n→+∞

0

pentru fiecare n ∈ N exist˘a n0 > n astfel ˆıncˆat xn0 > q n , ceea ce asigur˘a divergent¸a, deoarece termenul general nu tinde la 0. Exist˘a exemple de serii, atˆat convergente, cˆat ¸si divergente, pentru care √ lim sup n an = 1: an := na , cu a > −1, resp. a < −1. n→+∞

Ment¸in˘am alte criterii pentru serii cu termeni pozitivi. an+1 < 1, atunci Criteriul raportului / d’Alembert. Dac˘a lim sup an n→+∞ ∞ X seria an este convergent˘a. n=0

2.6. SERII CU TERMENI OARECARE.

35

∞ X an+1 Dac˘a lim inf > 1, atunci seria an este divergent˘a. n→+∞ an n=0 an+1 Exist˘a ¸si alte forme: cu limit˘a (dac˘a exist˘a lim ); sau cu m˘arginire: n→+∞ an an+1 an+1 dup˘a cum 6 M < 1, resp. > 1. an an Datorit˘a inegalit˘a¸tilor:

lim inf n→+∞

√ √ an+1 an+1 6 lim inf n an 6 lim sup n an 6 lim sup n→+∞ an an n→+∞ n→+∞

rezult˘a comparat¸ia criteriilor raportului ¸si r˘ad˘acinii. Exemplu. Fie seria 1 + a + ab + a2 b + . . . + an bn + an+1 bn + an+1 bn+1 + . . .. Evident, seria este convergent˘a dac˘a ¸si numai dac˘a |ab| < 1 ¸si are suma 1 1 +a . Convergent¸a se obt¸ine cu criteriul r˘ad˘acinii, cu limit˘a 1 − ab 1 − ab superioar˘a (cazul ab = 1 fiind oricum banal). Criteriul raportului d˘a doar urm˘atoarele fapte: seria converge dac˘a ambele numere sunt < 1; ¸si diverge dac˘a ambele sunt > 1. Criteriul lui Gauss. Dac˘a exist˘a un ¸sir m˘arginit θn ¸si ε > 0 astfel ˆıncˆat an β θn = α + + 1+ε an+1 n n atunci: cazul α 6= 1 este acoperit de criteriul raportului; pentru α = 1 ¸si β < 1 seria converge, din Raabe–Duhamel; iar pentru α = 1 ¸si β > 1 seria diverge, din logaritmic.

2.6

Serii cu termeni oarecare.

∞ X (−1)n an cu Definit¸ie. Vom numi serie alternat˘a orice serie de forma n=0

an > 0, pentru orice n. Pentru seriile alternate, exist˘a un criteriu simplu de convergent¸˘a: Criteriul lui Leibniz. Dac˘a an este descresc˘ator la 0, atunci seria alternat˘a este convergent˘a. ˆIn plus, are loc evaluarea erorii: |sn − s| 6 an+1 . Demonstrat¸ie. Datorit˘a monotoniei, sub¸sirul (s2n ) este descresc˘ator ¸si minorat de s1 ; iar sub¸sirul (s2n+1 ) este cresc˘ator ¸si majorat de s0 .ˆIn plus, |sn+1 − sn | = an+1 , ceea ce arat˘a c˘a cele dou˘a sub¸siruri au aceea¸si limit˘a, care este suma seriei; precum ¸si evaluarea erorii.

36

CHAPTER 2. S¸IRURI S¸I SERII DE NUMERE REALE. Exemplu. Seria armonic˘a alternat˘a (generalizat˘ a)

∞ X (−1)n

este cona n n=1 vergent˘a dac˘a ¸si numai dac˘a a > 0. Pentru a > 1, seria este chiar absolut convergent˘a. b) Ne vom folosi de identitatea lui Abel: a0 b0 +a1 b1 +. . .+an bn = (a0 −a1 )b0 +(a1 −a2 )(b0 +b1 )+(a2 −a3 )(b0 +b1 +b2 )+. . . + +(an−1 − an )(b0 + b1 + . . . + bn−1 ) + an (b0 + b1 + . . . + bn−1 + bn ) care se verific˘a prin calcul direct. Criteriile lui Abel ¸si Dirichlet. se refer˘a la serii de forma

∞ X

an bn .

n=0

ˆIn fiecare din ipotezele: (i) ¸sirul (an ) este descresc˘ator la 0, iar ¸sirul (b0 +b1 +. . .+bn ) este m˘arginit; sau ∞ X (ii) ¸sirul (an ) este monoton ¸si m˘arginit, iar seria bn este convergent˘a, seria

∞ X

n=0

an bn este convergent˘a.

n=0

Demonstrat¸ie. Se aplic˘a criteriul lui Cauchy, deoarece |an bn + . . . + an+p bn+p | 6 2M an , dac˘a |b0 + b1 + . . . + bn | 6 M . ∞ ∞ X X Exemplu. Seriile Fourier an cos nx resp. bn sin nx sunt convern=0

n=1

gente, pentru orice x 6= 2kπ, de ˆındat˘a ce (an ) resp. (bn ) sunt ¸siruri descresc˘atoare la 0. ˆIn adev˘ar, formula urm˘atoare este bine cunoscut˘a ¸si se poate demonstra ˆın diverse moduri (prin induct¸ie, cu numere complexe, prin transformarea produselor ˆın diferent¸e): sin nx sin (n+1)x 2 2 sin x + . . . + sin nx = sin x2 ¡ ¢ sin n + 12 x 1 + cos x + . . . + cos nx = 2 2 sin x2 sunt m˘arginite, pentru fiecare x 6= 2kπ. c) Operatii cu serii: suma si produsul cu scalari evident; grupari,Pschimbarea ordinii termenilor: citat teorema lui Riemann, exemplificat pe: (−1)n , seria armonica alternata.

2.6. SERII CU TERMENI OARECARE. Definit¸ie. Fie ∞ X

∞ X

an ¸si

n=0

∞ X

37

bn dou˘a serii. Definim o nou˘a serie, notat˘a

n=0

cn , numit˘a produsul dup˘a Cauchy al celor dou˘a serii, prin: cn := an b0 +

n=0

an−1 b1 + . . . + an b0 . Sunt adev˘arate urm˘atoarele rezultate: (Abel) Dac˘a cele trei serii sunt convergente, avˆand respectiv sumele A, B, C, atunci C = AB. ∞ ∞ X X (Mertens) Dac˘a ambele serii an ¸si bn sunt convergente, iar cel n=0

n=0

put¸in una este absolut convergent˘a, atunci ¸si seria produs

cn este conver-

n=0

gent˘a. (Cauchy) Dac˘a ambele serii atunci ¸si seria produs

∞ X

∞ X

∞ X

an ¸si

n=0

∞ X

bn sunt absolut convergente,

n=0

cn este absolut convergent˘a.

n=0

Demonstrat¸ie. Deoarece |cn | = |an b0 + an−1 b1 + . . . + an b0 | 6 |an ||b0 | + |an−1 ||b1 | + . . . + |an ||b0 | problema se reduce la serii cu termeni pozitivi. Aici avem majorarea: c0 + c1 + . . . + cn = a0 b0 + (a0 b1 + a1 b0 ) + . . . + (a0 bn + . . . + an b0 ) 6 6 (a0 + . . . + an )(b0 + . . . + bn ) Desigur, se poate pune ˆıntrebarea de ce s-a ales pentru produs o asemenea definit¸ia. Formula a mai fost ˆıntˆalnit˘a la produsul a dou˘a polinoame; legat de srii, o posibil˘a explicat¸ie este urm˘atoarea: un exemplu important de serii ∞ X ˆıl consituie seriile de puteri: an xn . Dac˘a efectu˘am produsul sumelor n=0

part¸iale a dou˘a astfel de serii

∞ X

n

an x ¸si

n=0

xk , obt¸inem exact formula utilizat˘a. Exemplu. Efectuˆand produsul seriilor

∞ X

bn xn ¸si scriem coeficientul lui

n=0 ∞ X xn

∞ X yn

∞ X (x + y)n

cu se obt¸ine . n! n! n! n=0 n=0 Seriile fiind convergente (absolut, pentru orice x ∈ R), relat¸ia de mai sus arat˘a c˘a suma f (x) verific˘a ecuat¸ia funct¸ional˘a f (x)f (y) = f (x + y). n=0

38

2.6.1

CHAPTER 2. S¸IRURI S¸I SERII DE NUMERE REALE.

Teorema contract¸iei (Banach)

Fie f : [0, 1] → [0, 1] o funct¸ie cu urm˘atoarea proprietate (contract¸ie): exista M ∈ (0, 1) astfel ˆıncˆat |f (x) − f (y)| 6 M |x − y|, pentru orice x, y ∈ [0, 1]. Atunci ¸sirul (xn )n definit prin recurent¸a˘ astfel: x0 ∈ [0, 1] arbitrar; xn+1 = f (xn ) este convergent la x, unicul punct fix al funct¸iei f . Are loc: |xn − x| 6

Mn 1−M

Demonstrat¸ie. Vom ar˘ata c˘a (xn ) este ¸sir Cauchy. Pentru aceasta, s˘a observ˘am c˘a |xn+1 − xn | = |f n ) − f (xn−1 | 6 M |xn − xn−1 |, de unde: P(x ∞ n |x − x | 6 M . Astfel, seria a; deci seria n n=0 |xn+1 − xn | este convergent˘ Pn+1 ∞ a, adic˘a ¸sirul (xn ) este convergent. n=0 (xn+1 − xn ) este absolut convergent˘ Fie x ∈ [0, 1] limita sa. Deoarece |xn+p − xn | 6 |xn+p − xn+p−1 | + . . . + |xn+1 − xn | 6 M n+p−1 + . . . + M n 6 6 M n (1 + . . . + M p−1 + . . .) =

Mn 1−M n

M deducem, prin trecere la limit˘a p → +∞: |xn − x| 6 1−M . Apoi |f (x) − f (xn )| 6 M |x−xn | arat˘a c˘a f (xn ) → f (x). Pe de alt˘a parte f (xn ) = xn+1 → x, de unde rezult˘a c˘a x este punct fix f (x) = x. Evident, acest punct fix este unic: dac˘a f (x0 ) = x0 , atunci |f (x)−f (x0 )| 6 M |x − x0 |; dar |f (x) − f (x0 )| = |x − x0 |, ceea ce conduce la relat¸ia absurd˘a |x − x0 | 6 M |x − x0 |. Observat¸ii. Intervalul [0, 1] poate fi ˆınlocuit cu orice alt interval ˆınchis, sau cu R; mai general, cu orice spat¸iu ˆın care funct¸ioneaz˘a teorema lui Cauchy. Condit¸ia de a fi contract¸ie nu se poate ˆınlocui cu |f (x) − f (y) < |x − y|, pentru orice x 6= y:

2.6.2

Exercit¸ii.

1) S˘a se studieze convergent¸a seriei: ∞ X n 2n n=0

Se pot aplica criteriilr raportului sau r˘ad˘acinii. Se poate propune calculul sumei: fie sumˆand n progresii geometrice (cf. Arama), fie prin derivarea sumei part¸iale a seriei geometrice.

2.6. SERII CU TERMENI OARECARE.

39

2) Fie a ∈ R. S˘a se studieze convergent¸a seriei: ∞ X an nn n=0

(variant˘a:

n!

∞ X an n! n=0

nn

)

Cazul interesant este a = − 1e . Similar: ∞ X (2n)!an n=0

(n!)2

(cazul a = − 14 ). 3) Contraexemple pentru Leibniz: 1−

1 1 1 1 1 1 + − 2 + − ... + − k + ... 3 2 3 3 k 3

este alternat˘a, termenul general tinde la 0, dar nu monoton ¸si diverge. 1−

1 1 1 1 1 + 2 − 2 + ... + − + ... 3 3 2 3 4 (2n − 1) (2n)2

converge, chiar absolut, de¸si termenul general nu tinde monoton. 4) Seria ∞ X (−1)n √ n+1 n=0 este convergent˘a, dar nu absolut. Efectuˆand produsul cu ea ˆıns˘a¸si: · ¸ 1 1 1 1 n √ cn = (−1) √ √ +√ √ +√ √ + ... + √ 1 n+1 2 n 3 n−1 n+1 1 se obt¸ine o serie divergent˘a: |cn | > (n + 1)

2 >1 n+2

(cu inegalitatea mediilor aplicat˘a fiec˘arui termen). 5) Pentru fiecare a ∈ R, s˘a se precizeze valorile lui x ∈ R pentru care seria: ∞ X a(a − 1) . . . (a − n + 1) n x n! n=0

40

CHAPTER 2. S¸IRURI S¸I SERII DE NUMERE REALE.

este (absolut) convergent˘a. Chiar dac˘a nu poate fi complet tratat acum, este un exercit¸iu interesant. Se arat˘a imediat c˘a seria converge (absolut) pentru −1 < x < 1 ¸si diverge pentru |x| > 1, dac˘a a 6∈ N. Pentru x = −1 este o serie cu termeni pozitivi (de la un loc ˆıncolo), iar pentru x = 1 este alternat˘a (de la un loc ˆıncolo). Trebuie semnalat cazul a ∈ N. Se scrie: a + 1 θn an =1+ + 2 an+1 n n cu θn = a(a+1)n . Deci pentru x = −1, pe baza criteriului lui Gauss, seria n−a este (absolut) convergent˘a pentru a > 0 ¸si este divergent˘a pentru a 6 0. Tot din aceast˘a scriere, deducem c˘a pentru x = 1, seria este absolut convergent˘a pentru a > 0; iar pentru a 6 −1 este divergent˘a (deoarece termenul general este cresc˘ar, deci nu poate avea limita 0). R˘amˆane deschis cazul a ∈ (−1, 0) (seria este convergent˘a, dar nu absolut). 6) Explicat¸i paradoxul: µ ¶ µ ¶ 1 1 1 1 1 1 1 1 (ln 2 =)1 − + − + . . . = 1 + + + + . . . − 2 + + ... = 2 3 4 2 3 4 2 4 ¶ µ ¶ µ 1 1 = 1 + + ... − 1 + + ... = 0 2 2 7) S˘a se studieze seriile:

∞ X (n!)2 (2n)! n=0 ∞ X 4n (n!)2 n=0 ∞ ³ X

1 − cos

n=1 ∞ X n=1

(2n)! x´ n

xn (1 + x)(1 + x2 ) . . . (1 + xn )

(pentru x 6= −1). 8) S˘a se arate c˘a seria (cu termeni pozitivi): ∞ X n=2

1 n(ln n)a

˘ 2.7. S¸IRURI S¸I SERII DE FUNCT ¸ II; CONVEGENT ¸ A UNIFORMA.

41

este convergent˘a dac˘a ¸si numai dac˘a a > 1. Se poate folosi ideea de la condensare. ∞ X 9) Fie an o serie convergent˘a, cu termeni pozitivi. S˘a se arate c˘a seria ∞ X

n=0

a2n este convergent˘a.

n=0

10) S˘a se studieze seriile: ∞ X [(2n)!]3 n=0

[(3n)!]2

(cu raport) ∞ X 3n ln n n=0

(raport, sau se compara cu

nn n!

n!

divergenta). ∞ X nαn n=0

n!

(raport: α < 1 converge). ∞ X (ln x)n n=0

n

(pt x > 1 este cu termeni pozitivi; pentru 0 < x < 1 este alternata. Pt x > e diverge; pentru x ∈ [1, e) converge, raport. Pentru x ∈ [ 1e , 1] converge, Leibniz; pentru 0 < x < 1e diverge, caci t.g. nu tinde la 0).

2.7

S ¸ iruri ¸si serii de funct¸ii; convegent¸a uniform˘ a.

ˆIn acest paragraf, vom considera ¸siruri de funct¸ii, deci D ⊆ R va fi o parte fixat˘a, de regul˘a un interval ˆınchis ¸si m˘arginit D = [a, b]; iar fn : D → R va fi un ¸sir de funct¸ii. Desigur, pentru fiecare x ∈ D, (fn (x))n este un ¸sir de numere, adic˘a putem considera convergent¸a punctual˘a fn (x) → f (x). Aceast˘a not¸iune nu aduce nimic nou fat¸˘a de convergent¸a ¸sirurilor (decˆat prezent¸a simultan˘a a mai multor ¸siruri).

42

CHAPTER 2. S¸IRURI S¸I SERII DE NUMERE REALE.

Not¸iunea nou˘a, a c˘arei important¸˘a se va vedea mai departe este cea de convergent¸a˘ uniform˘a: Definit¸ie. Spunem c˘a ¸sirul de funct¸ii (fn )n este uniform convergent pe mult¸imea D la funct¸ia f dac˘a: oricare ar fi ε > 0, exist˘a un rang nε astfel ˆıncˆat pentru orice n > nε ¸si pentru orice x ∈ D avem: |fn (x) − f (x)| < ε. Evident, orice ¸sir uniform convergent pe D este ¸si punctual convergent ˆın fiecare punct din D. Reciproc nu: S˘a consider˘am ¸sirul de funct¸ii fn (x) := xn pe intervalul [0, 1]. Acest ¸sir converge punctual la funct¸ia f , definit˘a astfel: f (x) = 0 dac˘a x ∈ [0, 1); iar f (1) = 1. Totu¸si fn nu converge uniform la f pe [0, 1]: (1 − n1 )n → 1e , ceea ce contrazice xn < ε, ∀n > nε , ∀x ∈ [0, 1). Mai simplu, consider˘am urm˘atorul ¸sir:  1 x ∈ [0, 2n )  2nx 1 1 2 − 2nx x ∈ [ 2n , n) fn (x) =  0 x ∈ [ n1 , 1] Pe de alt˘a parte, direct cu definit¸ia deducem c˘a n1 sin nx converge uniform la 0, chiar pe R. Definit¸ia convergent¸ei uniforme la serii este accea¸si: ¸sirul sumelor part¸iale s˘a fie uniform convergent. Teorem˘ a. S¸irul de funt¸ii (fn )n este uniform convergent pe D dac˘a ¸si numai dac˘a oricare ar fi ε > 0 exist˘a un rang nε astfel ˆıncˆat oricare ar fi n ¸si m > nε ¸si oricare ar fi x ∈ D s˘a avem |fn (x) − fm (x)| < ε Demonstrat¸ie. ˆIn primul rˆand, observ˘am c˘a pentru fiecare x ∈ D, ¸sirul de numere (fn (x))n este ¸sir Cauchy, deci este convergent. Notˆand cu f (x) limita sa, se define¸ste o funct¸ie f : D → R, iar fn (x) → f (x). R˘amˆane s˘a ar˘at˘am c˘a fn → f , uniform pe D. Vom folosi inegalitatea: |fn (x) − f (x)| 6 |fn (x) − fm (x)| + |fm (x) − f (x)| Fie ε > 0. Din proprietatea de ¸sir Cauchy, exist˘a un rang nε astfel ˆıncˆat pentru orice n ¸si m > nε s˘a avem |fn (x) − fm (x)| < ε/2, oricare ar fi x ∈ D. Pe de alt˘a parte, pentru fiecare x ∈ D, exist˘a un rang n0x,ε astfel ˆıncˆat pentru orice m > n0x,ε s˘a avem |fm (x) − f (x)|ε/2. Pentru fiecare x ∈ D, vom alege m = max(nε , n0x,ε ). Din inegalitatea scris˘a, urmeaz˘a c˘a:

˘ 2.7. S¸IRURI S¸I SERII DE FUNCT ¸ II; CONVEGENT ¸ A UNIFORMA.

43

pentru orice ε > 0 exist˘a un rang nε astfel ˆıncˆat pentru orice n > nε ¸si orice x ∈ D s˘a avem fn (x) − f (x)| < ε. Este util de ret¸inut reformularea referitoare la serii: ∞ X sl Seria de funt¸ii fn (x) este uniform convergent˘a pe D dac˘a ¸si numai n=0

dac˘a oricare ar fi ε > 0 exist˘a un rang nε astfel ˆıncˆat oricare ar fi n > nε ¸si p > 1 ¸si oricare ar fi x ∈ D s˘a avem |fn+1 (x) + . . . + fn+p (x)| < ε

Din acest rezultat, se obt¸ine: Criteriul lui Weierstrass (de convergent¸˘ a uniform˘ a la serii) S˘a ∞ X presupunem c˘a exist˘a o serie convergent˘a, cu termeni pozitivi an , astfel n=0

ˆıncˆat |fn (x) 6 an , oricare ar fi n ∈ N ¸si oricare ar fi x ∈ D. Atunci seria de ∞ X funct¸ii fn (x) este absolut ¸si uniform convergent’˘a pe D. n=0

Demonstrat¸ie. Se verific˘a proprietatea de ¸sir Cauchy uniform: |fn+1 (x) + . . . + fn+p (x)| 6 an+1 + . . . + an+p Exemplu. Fie ∞ X

∞ X

an o serie absolut convergent˘a. Atunci seria Fourier

n=0

an sin nx este absolut ¸si uniform convergent˘a pe R.

n=0

2.7.1

Serii de puteri.

Definit¸ie. Seriile de funct¸ii de forma:

∞ X

an .xn sunt numite serii de puteri

n=0

¸si posed˘a unele propriet˘a¸ti remarcabile.

Teorem˘ a (lema lui Abel). (i) Dac˘a x0 > 0 iar seria convergent˘a, atunci seria de puteri

∞ X n=0

∞ X

an .xn0 este

n=0

an .xn converge absolut pe intervalul

44

CHAPTER 2. S¸IRURI S¸I SERII DE NUMERE REALE.

deschis (−x0 , x0 ) ¸si converge uniform pe orice interval ˆınchis [−r, r], pentru 0 6 r < x0 . ∞ ∞ X X n (ii) Dac˘a seria an .x0 este divergent˘a, atunci seria de puteri an .xn n=0

n=0

diverge, pentru orice |x| > x0 .

Demonstrat¸ie. (i) Toate afirmat¸iile rezult˘a dac˘a ar˘at˘am c˘a, din conver∞ X gent¸a seriei an .xn0 cu x0 > 0, decurge convergent¸a uniform˘a ¸si absolut˘a a n=0

seriei de puteri pe intervalul ˆınchis [−r, r], pentru 0 6 r < x0 . ∞ X Din convergent¸a seriei an .xn0 urmeaz˘a c˘a exist˘a M astfel ˆıncˆat |an .xn0 | 6 n=0

M, ∀n ∈ N. Deci, pentru x ∈ [−r, r] se poate scrie: ¯ ¯n µ ¶n ¯ ¯ r n n ¯ x ¯ |an .x | = |an .x0 |. ¯ ¯ 6 M x0 x0 µ

¶n r Deoarece M este termenul general al unei serii geometrice converx0 gente, din criteriul lui Weierstrass urmeaz˘a concluzia. (ii) Rezult˘a prin reducere la absurd, din (i). Teorema razei de convergent¸˘ a. Fie seria de puteri

∞ X

an .xn . Exist˘a

n=0

¸si este unic determinat R ∈ [0, +∞] ( numit raza de convergent¸a˘ a seriei considerate), astfel ˆıncˆat : a) Dac˘a R ∈ (0, +∞), atunci seria de puteri converge (chiar absolut ¸si uniform pe intervale ˆınchise [−, r], unde 0 < r < R) ˆın (−R, R) ¸si diverge ˆın fiecare |x| > R. b) Dac˘a R = 0, atunci seria de puteri diverge ˆın orice x 6= 0. c) Dac˘a R = +∞, atunci seria de puteri converge (absolut ¸si uniform pe intervale ˆınchise ¸si m˘arginite) ˆın R. Raza de convergent¸a˘ este dat˘a de formula lui Cauchy-Hadamard: R=

1 lim sup n→+∞

(cu convent¸iile:

1 1 = +∞, = 0 ). 0 +∞

p n |an |

˘ 2.7. S¸IRURI S¸I SERII DE FUNCT ¸ II; CONVEGENT ¸ A UNIFORMA.

45

Demonstrat¸ie. Vom defini: (

¯ ) ∞ ¯X ¯ R = sup t > 0 ¯ an .tn converge ¯ n=0

Mult¸imea din partea dreapt˘a este nevid˘a; convenind s˘a not˘am R = +∞ dac˘a este nemajorat˘a, urmeaz˘a c˘a R este bine definit ¸si R ∈ [0, +∞]. Consider˘am cazul R ∈ (0, +∞). Fie 0 < r < R. Exist˘a deci t ∈ (r, R) astfel ˆıncˆat seria ∞ X an .tn s˘a fie convergent˘a. Cu lema lui Abel, convergent¸a este absolut˘a ¸si n=0

uniform˘a pe [−r, r]. Dac˘a ar exista |x| > R astfel ˆıncˆat seria

∞ X

an .xn s˘a

n=0

fie convergent˘a, din lema lui Abel ar rezulta convergent˘a ˆın orice punct din (R, |x|), ceea ce contrazice alegerea lui R. Cazurile R = 0 ¸si R = +∞ sunt evident acoperite de discut¸ia anterioar˘a. S˘a ar˘at˘am acum unicitatea lui R. Fie deci R0 cu acelea¸si propriet˘a¸ti. Presupunerea c˘a R 6= R0 duce la contradict¸ie, considerˆand un punct oarecare t din intervalul deschis, determinat de R ¸si R0 : pe de o parte seria de puteri ar trebui s˘a fie convergent˘a ˆın t; pe de alta, ar trebui s˘a fie divergent˘a. ˆIn sfˆar¸sit, pentru a stabili formula lui Cauchy-Hadamard, s˘a not˘am: ¯ ) ∞ ¯X ¯ R∗ = sup t > 0 ¯ |an |.tn < +∞ ¯ (

n=0

Evident R∗ 6 R. Deoarece pentru orice t < R, seria

∞ X

an .tn este absolut

n=0

convergent˘a, urmeaz˘a c˘a t 6 R∗ , de unde R∗ = R. Aplicˆand criteriul lui ∞ X Cauchy cu limit˘a superioar˘a, urmeaz˘a c˘a seria cu termeni pozitivi |an |.tn n=0 p converge pentru t. lim sup n |an | < 1 ¸si diverge pentru n→+∞ p t. lim sup n |an | > 1, de unde concluzia. n→+∞

2.7.2

Exercit¸ii.

µ ¶n 1 1 1) S˘a se explice de ce 1 − −→ arat˘a c˘a ¸sirul (xn ) nu este uniform n e convergent pe [0, 1].

46

CHAPTER 2. S¸IRURI S¸I SERII DE NUMERE REALE.

2) S˘a se discute convergent¸a punctual˘a ¸si uniform˘a (pe mult¸imile indicate), pentru urm˘atoarele ¸siruri de funct¸ii: x2n pe [−1, 1] 1 + x2n sin nx pe [0, π] 1 + nx 2nx pe [0, 1] (1 + n2 x2 )2 (maximul se va g˘asi cu derivata). 3) S˘a se determine: raza de convergent¸˘a, convergent¸a punctual˘a ¸si absolut˘a, convergent¸a uniform˘a pentru urm˘atoarele serii de puteri: ∞ X xn n=1

n

∞ X xn n=1

n2

∞ X (2n)! n x n (n!)2 4 n=1

4) S˘a se discute convergent¸a uniform˘a a seriei Fourier: ∞ X cos nx n=1

na

(pentru a ∈ R).

Lucrare de control 1 16 noiembrie 2005

µ

¶ 2n 1) S˘a se arate c˘a ¸sirul este monoton ¸si convergent la 0. n! n>2 2) Fie a, b, c ∈ R. Se consider˘a ¸sirul: √ √ √ xn := a n2 − n + b n2 + 1 + c n2 + n + 1 S˘a se arate c˘a dac˘a a + b + c = 0, atunci ¸sirul (xn )n este convergent; ˆın acest caz, s˘a i se afle limita. Ce se poate spune ˆın restul cazurilor?

˘ 2.7. S¸IRURI S¸I SERII DE FUNCT ¸ II; CONVEGENT ¸ A UNIFORMA.

47

Indicat¸ie. Se poate considera doar cazul a = 2, b = c = −1. Se poate nota S := a + b + c. ∞ X n 3) S˘a se justifice faptul c˘a seria este convergent˘a. 3n n=0 4) Fie a ∈ R, a 6= 0. S˘a se discute convergent¸a ¸si convergent¸a absolut˘a a ∞ X n! . seriei n a nn n=1 Se vor trata m˘acar unele cazuri particulare: a = ±1, ± 13 . *) S¸irul (xn ) are urm˘atoarea proprietate: pentru fiecare n ∈ N: |xn+1 − xn | 6 21n S˘a se arate c˘a (xn ) este ¸sir Cauchy. Lucrare de control 1 bis 20 ianuarie 2006 1) S˘a se calculeze

12 + 22 + . . . + n2 n→+∞ n3 lim

2) S˘a se calculeze √

√ n+1+ n−1 √ lim √ n→+∞ n3 + n2 − 1 − n3 − n2 + 1 3) S˘a se discute, ˆın funct¸ie de valorile parametrului real a, convergent¸a ∞ X 1 seriei: . n(ln n)a n=2 Indicat¸ii. Se poate folosi ideea de condensare. Se pot considera cazurile particulare a 6 0; a = 1; a = 2. ∞ X (2n)! . 4) S˘a se discute convergent¸a ¸si convergent¸a absolut˘a a seriei (−1)n n 4 (n!)2 n=1

48

CHAPTER 2. S¸IRURI S¸I SERII DE NUMERE REALE.

Chapter 3 Funct¸ii de o variabil˘ a real˘ a: limit˘ a, continuitate. 3.1

Limita unei funct¸ii ˆıntr-un punct de acumulare; limite laterale.

Fie D ⊆ R o mult¸ime ¸si f : D → R o funct¸ie. Se scrie x→x lim f (x) = L sau f (x) → 0 L x→x0

dac˘a: x0 este punct de acumulare pentru d ¸si, oricare ar fi ¸sirul (xn )n din D \ {x0 } cu xn → x0 , urmeaz˘a c˘a f (xn ) → L. Aceast˘a definit¸ie cuprinde ¸si cazurile x0 = ±∞ ¸si / sau L = ±∞. Se ¸stie c˘a, dac˘a x0 ∈ R ¸si L ∈ R, atunci: lim f (x) = L dac˘a ¸si numai dac˘a x→x0

∀ε > 0 ∃δ > 0 ∀x ∈ D \ {x0 }, |x − x0 | < δ =⇒ |f (x) − L| < ε Propun ca exercit¸iu formularea caracteriz˘arilor corespunz˘atoare cazurilor x0 = ±∞ ¸si / sau L = ±∞. Se arat˘a f˘ar˘a dificultate c˘a, dac˘a exist˘a lim f (x) = L ¸si lim g(x) = L0 , x→x0

atunci:

x→x0

• exist˘a lim (f + g)(z) = L + L0 , cu except¸ia cazului ∞ − ∞ ¸si cu conx→x0

vent¸ia L + ∞ = ∞ (L ∈ R). • exist˘a lim (f.g)(z) = L.L0 , cu except¸ia cazurilor L = 0, L0 = ∞ ¸si x→x0

L = ∞, L0 = 0 ¸si cu convent¸iile: ∞.∞ = ∞, L.∞ = ∞ (L ∈ R \ {0}). 49

˘ REALA: ˘ LIMITA, ˘ CONTINUITATE. 50CHAPTER 3. FUNCT ¸ II DE O VARIABILA µ ¶ f L (z) = 0 , cu except¸ia cazurilor L = L0 = 0 ¸si L = • exist˘a lim x→x0 g L L L ∞ L0 = ∞ ¸si cu convent¸iile: = ∞, (L ∈ C \ {0}); = 0 ¸si = ∞, 0 ∞ L (L ∈ R). • Dac˘a f : D → D0 , g : D0 → R ¸si f (x) 6= L, ∀x ∈ D \ {x0 }, atunci, dac˘a exist˘a: lim f (x) = L ¸si lim g(y) = L0 x→x0

y→L

exist˘a ¸si lim (g ◦ f )(x) = L0 . x→x0

f : D → R se nume¸ste continu˘ a ˆın x0 ∈ D, dac˘a: fie x0 nu este punct de acumulare pentru D, fie lim f (x) = f (x0 ). x→x0

Deci, dac˘a f, g sunt continui ˆın x0 , atunci: f +g ¸si f.g sunt continui ˆın x0 ; f dac˘a g(x0 ) 6= 0, atunci este continu˘a ˆın x0 ; dac˘a f : D → D0 , g : D0 → R, g f este continu˘a ˆın x0 , iar g este continu˘a ˆın f (x0 ), atunci g ◦ f este continu˘a ˆın x0 . Reamintim c˘a f este continu˘a ˆın fiecare punct din D dac˘a ¸si numai dac˘a ∀ U ⊆ R deschis, f −1 (U ) este deschis ˆın D.

3.1.1

Exercit¸ii.

S˘a se calculeze limitele funct¸iilor, ˆın punctele indicate. (Se va rezolva cel mult unul dintre n), n’), cel˘alat poate fi propus ca tem˘a). Se va preciza domeniul de definit¸ie ¸si faptul c˘a este punct de acumulare. Se vor afla f˘ar˘a regula lui l’Hopital, de¸si se pot face comentarii privind aplicabilitatea. Se va recunoa¸ste tipul de nedeterminare. Acolo unde se impune, se vor considera limite laterale. √ √ 1) x2 − x + x la ±∞. 1’) x2 + x − x la ±∞. x3 − 3x + 2 2) ˆın 1 ¸si ±∞, pentru m = 1, 2, 3. (x − 1)m x5 − 5x + 4 2’) ˆın 1 ¸si ±∞, pentru m = 1, 2, 3. (x − 1)m √ 3 x3 − x 2 − x + 1 3) ˆın ∓1 ¸si ±∞. x±1 √ 3 4x3 − 3x + 1 3’) ˆın 12 ¸si ±∞. 2x − 1

3.1. LIMITA UNEI FUNCT ¸ II ˆINTR-UN PUNCT DE ACUMULARE; LIMITE LATERALE.51 √ 3 4)x( x3 + ax2 + x − x) la −∞. √ 4’)x( x2 + x − x) la +∞. √ 3 x3 + ax2 − x 5) √ la +∞. x2 + x − x √ x4 + x2 + 1 − x2 √ 6) la +∞. x2 + x − x √ x4 + x2 + 1 + x2 √ 6’) la +∞. x2 + x + x ˆIn prealabil, se vor reaminti sc˘arile de comparat¸ie la +∞: ln x ¿ xk ¿ ax pentru k > 0; a > 1. Se poate face elementar, folosind rezultatul de la ¸siruri, aplicat pentru x ∈ [n, n + 1). La fel, se poate obt¸ine lim x. ln x. x→0

Aplicat¸ie: lim ln x. ln(1 − x)

x→0

La fel ˆın 1. 2x + x3 7) x la ±∞. 3 + x2 5x + x4 7’) x la ±∞. 4 + x5 8) Fie P o funct¸ie polinom cu coeficient¸i reali, de grad 3. S˘a se arate c˘a exist˘a ¸si sunt unici a, b ∈ R, astfel ˆıncˆat ³p ´ 3 lim P (x) − ax − b = 0 x→+∞

(a ¸si b se vor exprima ˆın funct¸ie de coeficient¸ii polinomului P ). 8’) Fie P ¸si Q funct¸ii polinom cu coeficient¸i reali, cu gradP = 1 + gradQ. S˘a se arate c˘a exist˘a ¸si sunt unici a, b ∈ R, astfel ˆıncˆat ¶ µ P (x) − ax − b = 0 lim x→+∞ Q(x) (a ¸si b se vor exprima ˆın funct¸ie de coeficient¸ii polinoamelor P ¸si Q). 9) ¶ µ m n − lim x→1 1 − xn 1 − xm

˘ REALA: ˘ LIMITA, ˘ CONTINUITATE. 52CHAPTER 3. FUNCT ¸ II DE O VARIABILA (pentru n 6= m ∈ N∗ ). · ¸ 1 10) lim x x→0 x a hxi 10’) lim x→+∞ x b (pentru a > 0, b > 0). Aplicat¸ii la limitele fundamentale. 1. 1 (1 + x) x ˆın 0 ¸si +∞. 1

1

2. e− x ¸si e− x2 ˆın 0. 1 − cos x x3 3. ¸ s i ˆın 0. x2 sin 2x − 2 sin x 4. µ x ¶1 a + bx x 2 ˆın 0 ¸si ±∞, unde a > 0, b > 0. 5. Pentru care a > 0 are loc inegalitatea ax + 2x > 3x + 4x , pentru orice x ∈ R? (se pot face diverse ˆıncerc˘ari: x = 1, 2, −1, 1/2 etc pentru a se observa c˘a intervalul pentru a scade, cu cˆat ne apropiem de 0. Dar pentru 0 se obt¸ine egalitate totdeauna. Deci trebuie trecut la limit˘a: ax − 1 3x + 4x − 2x − 1 > x x ¸si separat cazul x < 0). Se poate anticipa cu demonstrat¸ia folosind teorema lui Fermat.

3.2

Funct¸ii continue.

Cadrul pentru continuitate: f : D ⊆ R → R iar x0 ∈ D, punct de acumulare pentru D. De fapt, punctele din D, dar care nu sunt puncte de acumulare pentru D sunt a¸sa numitele puncte izolate: exist˘a o vecin˘atate V pentru x0 astfel ˆıncˆat V ∩ (D \ {x0 } = ∅. Oricum, ˆın asemenea puncte, funct¸ia f se va considera continu˘a, deci nu prezint˘a nici un interes practic. De ret¸inut c˘a, dac˘a D este reuniune de intervale, ne–reduse la un punct, atunci orice punct din D este ¸si punct de acumulare pentru D. Definit¸ie. Vom spune c˘a f este continu˘a ˆın x0 dac˘a lim f (x) = f (x0 ). x→x0

3.2. FUNCT ¸ II CONTINUE.

53

Avˆand ˆın vedere definit¸ia limitei, deducem c˘a f este continu˘a ˆın x0 dac˘a ¸si numai dac˘a pentru orice ¸sir (xn ) din D, cu xn −→ x0 urmeaz˘a c˘a f (xn ) −→ f (x0 ). Vom spune c˘a f este continu˘a pe D dac˘a f este continu˘a ˆın fiecare punct din D. Exemple de funct¸ii continue. Funct¸ia f : R → R definit˘a prin f (x) = c, resp. f (x) = x pentru orice x ∈ R este evident continu˘a pe R. Funct¸ia modul este continu˘a pe R, dup˘a cum rezult˘a din inegalitatea ||f (x)| − |f (y)|| 6 |x − y| pentru orice x, y ∈ R. Observ˘am c˘a teorema ?? se reformuleaz˘a: Teorem˘ a. Fie fn : D → R un ¸sir de funct¸ii continue ˆın x0 ∈ D. Dac˘a fn −→ f , uniform pe D, atunci f este continu˘a ˆın x0 . Are loc o caracterizare de tip ε/δ: Teorem˘ a. f este continu˘a ˆın x0 dac˘a ¸si numai dac˘a : ∀ε > 0 ∃δ > 0 astfel ˆıncˆat ∀x ∈ D, |x − x0 | < δ ⇒ |f (x) − f (x0 )| < ε. Demonstrat¸ie. Se deduce din caracterizarea limitei. Exist˘a urm˘atoarea caracterizare pentru continuitatea pe o mult¸ime: Teorem˘ a. f este continu˘a pe D dac˘a ¸si numai dac˘a oricare ar fi G ⊆ R o mult¸ime deschis˘a, f −1 (G) este deschis˘a ˆın D. Comentarii. Este suficient ca proprietatea s˘a aib˘a loc pentru G interval deschis oarecare. Deschis ˆın D ˆınseamn˘a c˘a exist˘a o mult¸ime deschis˘a G0 ˆın R (adic˘a o reuniune cel mult num˘arabil˘a de intervale deschise, disjuncte) astfel ˆıncˆat f −1 (G) = D ∩ G0 . Operat¸ii cu funct¸ii continue: Dac˘a f, g : D ⊆ R → R sunt continue ˆın x0 , atunci f + g ¸si f.g sunt continue ˆın x0 ; dac˘a, ˆın plus, g(x0 ) 6= 0, atunci f este continu˘a ˆın x0 . g Deducem c˘a funct¸iile rat¸ionale sunt continue pe domeniul maxim de definit¸ie (care este o reunine finit˘a de intervale deschise, mai precis este complementara unei mult¸imi finite). Ca o proprietate suplimentar˘a, continuitatea se p˘astreaz˘a la compunere: Fie f : D ⊆ R → D0 continu˘a ˆın x0 , iar g : D0 → R continu˘a ˆın f (x0 ). Atunci funct¸ia g ◦ f este continu˘a ˆın x0 . Demonstrat¸ie.

˘ REALA: ˘ LIMITA, ˘ CONTINUITATE. 54CHAPTER 3. FUNCT ¸ II DE O VARIABILA Prelungire prin continuitate. S˘a presupunem c˘a f : D ⊆ R → R iar x0 6∈ D, dar este punct de acumulare pentru D. Mai presupunem c˘a exist˘a limx→x0 f (x) = L ∈ R. Atunci funct¸ia, notat˘a f˜, definit˘a pe D ∪ {x0 } prin: ½ f (x), x ∈ D ˜ f (x) = L, x = x0 este continu˘a ˆın x0 . ˆIn continuare, I ⊆ R va desemna un interval. Teorem˘ a. Fie f : I → R continu˘a; a < b ∈ I. Dac˘a f (a).f (b) < 0, atunci exist˘a c ∈ (a, b) astfel ˆıncˆat f (c) = 0. Demonstrat¸ie. F˘ar˘a a restrˆange generalitatea, putem presupune c˘a f (a) < 0. S˘a not˘am A := {x ∈ [a, b]| f (x) < 0}. Mult¸imea A este nevid˘a ¸si majorat˘a, deci exist˘a c := sup A. Din ipotez˘a, c < b. Din continuitate: f (c) 6 0. Presupunerea f (c) < 0 duce la contradict¸ie: din continuitate, va exista δ > 0 astfel ˆıncˆat f (x) < 0, pentru orice x ∈ [c, c + δ), contradict¸ie cu faptul c˘a c este marginea superioar˘a. Demonstrat¸ie alternativ˘ a. Fie m mijlocul intervalului [a, b]. Daca f (m) = 0, demonstrat¸ia este terminat˘a. Dac˘a nu, pe unul din intervalele [a, m] sau [m, b] funct¸ia f ia valori de semne contrare la capete. Not˘am [a1 , b1 ] acest interval. Repetˆand procedeul, g˘asim un ¸sir [an , bn ] de intervale incluse, cu ¸sirul lungimilor tinzˆand la 0, astfel ˆıncˆat f ia valori de semne contrare la capete. Fie c unicul punct comun acestor intervale. Deoarece an → c ¸si bn → c, din continuitatea funct¸iei f deducem c˘a f (c) 6 0 ¸si totodat˘a f (c) > 0. Observatie. Exista algoritmi mai eficienti de gasire a lui c. Un asemenea rezultat serve¸ste la demonstrarea existent¸ei r˘ad˘acinilor. Exemplu: fie P o funct¸ie polinom, de grad impar. Deoarece lim P (x) = −∞ x→−∞

iar lim P (x) = +∞, rezult˘a c˘a P are cel put¸in o r˘ad˘acin˘a real˘a. x→+∞

Dac˘a f este strict monoton˘a, atunci c este unic. S¸irul lui Rolle furnizeaz˘a o metod˘a practic˘a de separare a r˘ad˘acinilor (de g˘asire a intervalelor, la capetele c˘arora f ˆı¸si schimb˘a eventual semnul). Rezultatul precedent furnizeaz˘a urm˘atoarea form˘a, aparent mai general˘a: Teorem˘ a. Fie f : I → R continu˘a; a < b ∈ I. Oricare ar fi y ˆıntre f (a) ¸si f (b), exist˘a c ∈ [a, b] astfel ˆıncˆat f (c) = y. Pentru demonstrat¸ie, se aplic˘a rezultatul precedent funct¸iei f (x) − y. Folosind faptul c˘a o mult¸ime I ⊆ R este interval dac˘a ¸si numai dac˘a oricare ar fi a < b ∈ I urmeaz˘a c˘a [a, b] ⊆ I, obt¸inem urm˘atoarea reformulare: Teorem˘ a. Fie f : I → R continu˘a. Atunci f (I) este un interval.

3.3. FUNCT ¸ II MONOTONE.

55

Observatii. Tipul de interval se poate schimba: de ex. f (x) = x2 pe (−1, 1); (−2, 1]. Pentru p˘astrarea intervalelor ˆınchise ¸si m˘arginite, exist˘a teorema lui Weierstrass. Vom presupune c˘a a < b. Teorem˘ a. Fie f : [a, b] → R o funct¸ie continu˘a. Atunci f este m˘arginit˘a (adic˘a exist˘a M astfel ˆıncˆat f (x) 6 M , oricare ar fi x ∈ [a, b]). Demosntrat¸ie. S˘a presupunem, prin reducere la absurd, c˘a f nu este m˘arginit˘a. Urmeaz˘a c˘a, pentru fiecare n ∈ N exist˘a xn ∈ [a, b] pentru care |f (xn )| > n. Cu lema lui Cesaro, (xn ) are un sub¸sir convergent xnk → x0 . Urmeaz˘a c˘a f (xnk ) → f (x0 ), absurd deoarece |f (xnk )| → |f (x0 )| dar |f (xnk )| → +∞. Teorem˘ a. Fie f : [a, b] → R o funct¸ie continu˘a. Atunci f ˆı¸si atinge marginile. Demonstrat¸ie. S˘a not˘am M := sup f (x). Dac˘a am presupune, prin x∈[a,b]

reducere la absurd, c˘a f (x) < M , oricare ar fi x ∈ [a, b], atunci am putea 1 considera funct¸ia x 7→ care ar fi bine definit˘a ¸si continu˘a pe [a, b], M − f (x) dar nemajorat˘a. Demonstratia cu siruri este constructiva: M = sup f (x) inseamna ca exista (xn ) cu f (xn ) → M . Se extrage un subsir convergent. Funct¸iile continue pe intervale ˆınchise ¸si m˘arginite posed˘a proprietatea de uniform˘a continuitate: Teorem˘ a (Cantor). Fie f : [a, b] → R o funct¸ie continu˘a. Atunci pentru orice ε > 0 exist˘a δ > 0 astfel ˆıncˆat oricare ar fi x0 , x00 ∈ [a, b] cu |x0 − x00 | < δ, avem |f (x0 ) − f (x00 )| < ε. Demonstrat¸ie.

3.3

Funct¸ii monotone.

Definit¸ia. f : I → R. Vom presupune (strict) cresc˘atoare . Existent¸a ˆın fiecare punct a limitelor laterale f (x) f (x) 6 f (x0 ) 6 lim lim x → x0 x → x0 x > x0 x < x0

˘ REALA: ˘ LIMITA, ˘ CONTINUITATE. 56CHAPTER 3. FUNCT ¸ II DE O VARIABILA Pentru simplitate, dac˘a exist˘a, vom nota f (x0 −) :=

lim f (x) x → x0 x < x0

f (x0 +) :=

f (x) lim x → x0 x > x0

respectiv:

Teorem˘ a. Mult¸imea {x ∈ I| f (x0 −) < f (x0 +)} este cel mult num˘arabil˘a. Demonstrat¸[ ie. Deoarece exist˘a un ¸sir cresc˘ator de intervale ˆınchise astfel ˆıncˆat I = [an , bn ], este suficient s˘a presupunem I = [a, b]. Pentru n

fiecare m ∈ N, consider˘am mult¸imea Am := {x ∈ I|

1 lim f (x) − lim f (x) > } m x → x0 x → x0 x > x0 x < x0

este finit˘a ˆın mod necesar, deci A =

[

Am este cel mult num˘arabil˘a.

m

Evident, orice funct¸ie strict monoton˘a este injectiv˘a, a¸sadar f stabile¸ste o biject¸ie ˆıntre I ¸si f (I). Inversa f −1 : f (I) → I este strict monoton˘a (ca ¸si f ). Dar f (I) poate fi o reuniune (cel mult num˘arabil˘a) de intervale, inclusiv puncte izolate. Exemplu: Pentru o funct¸ie monoton˘a: f (I) interval ⇐⇒ f este continu˘a. Dac˘a f : I → R este strict monoton˘a ¸si continu˘a, atunci J := f (I) este interval, iar f −1 : J → I este funct¸ie continu˘a. Demonstrat¸ie. Dac˘a f n-ar fi continu˘a ˆın x0 , atunci f (x0 −) < f (x0 +) ¸si astfel nici o valoare din intervalul (f (x0 −), f (x0 +)) n-ar fi ˆın f (I), adic˘a f (I) n-ar fi interval. Invers, este proprietatea Darboux. Pe baza acestui rezultat, se pot introduce funct¸iile elementare.

3.3. FUNCT ¸ II MONOTONE.

3.3.1

57

Funct¸ia “r˘ ad˘ acin˘ a p˘ atrat˘ a”.

Pentru fiecare x > 0 exist˘a ¸si este unic y > 0, astfel ˆıncˆat y 2 = x. Partea de unicitate este elementar˘a: dac˘a y1 > 0 ¸si y2 > 0 verific˘a y12 = x ¸si y22 = x, atunci (y1 − y2 )(y1 + y2 ) = 0. Dac˘a y1 6= y2 , atunci ar urma y1 + y2 = 0, deci din ipotez˘a: y1 = 0 = y2 , absurd. Partea de existent¸a˘ poate fi riguros demonstrat˘a la cl. XI-a. Funct¸ia g : [0, +∞) → [0, +∞), g(y) := y 2 este strict cresc˘atoare, continu˘a ¸si g(0) = 0, limy→+∞ g(y) = +∞. Astfel, g rezult˘a biject¸ie. Fie f : [0, +∞) → [0, +∞) inversa funct¸iei g. Adic˘a f (x) este unicul num˘ar > 0, pentru care y 2 = x. (Desigur, ecuat¸ia y 2 = x are, pentru fiecare x > 0, dou˘a r˘ad˘acini reale, una pozitiv˘a iar cealalt˘a negativ˘a, cu suma 0). Din teoremele cunoscute de analiz˘a, urmeaz˘a c˘a f este de asemenea strict cresc˘atoare, biject¸ie, continu˘a. Mai avem: f (0) = 0, limx→+∞ f (x) = +∞. Graficul funct¸iei f se obt¸ine din cel al funct¸iei g, prin simetrie fat¸˘a de prima bisectoare; rezult˘a c˘a este un arc de parabol˘a (cf. fig. 1)

˘ REALA: ˘ LIMITA, ˘ CONTINUITATE. 58CHAPTER 3. FUNCT ¸ II DE O VARIABILA

√ Se utilizeaz˘a notat¸ia x := f (x). √ Se poate indica o metod˘a de aproximare pentru x, oferind o justificare intuitiv˘a pentru existent¸˘a. Fie x > 0 fixat. g˘asim un num˘ar ˆıntreg n > 0, unic determinat, astfel ˆıncˆat n2 6 x < (n + 1)2 , deoarece [0, +∞) este 2 2 reuniunea intervalelor disjuncte √ [n , (n + 1) ), cu n > 0 ˆıntreg. n va fi desigur partea ˆıntreag˘a a num˘arului x. Acum ˆımp˘art¸im intervalul [n, n + 1) ˆın 10 k 2 p˘art¸i egale; din nou, intervalele disjuncte [(n + 10 ) , (n + k+1 )2 ) cu k = 10 2 2 0, 1, . . . , 9 acoper˘a [n , (n + 1) ), deci exist˘a ¸si este unic a1 ∈ {0, 1, . . . , 9} astfel ˆıncˆat a1 a1 + 1 2 (n + )2 6 x < (n + ) 10 10 √ Astfel, a1 va fi prima zecimal˘ a pentru x. Procedeul poate √ continua indefinit, √ obt¸inˆand pentru x aproxim˘ari A oricˆat de bune: A 6 x < A + 101n . Exist˘a ¸si alte procedee de aproximare, mai comode ¸si mai rapide: de exemplu ¸sirul definit prin recurent¸˘a x0 > 0, xn+1 = 12 (xn + xxn ) converge √ rapid la x. Se poate vedea de asemenea dezvoltarea ˆın fract¸ie continu˘a: C. √ Meghea Bazele analizei matematice, Bucure¸sti 1977 (pg. 150–156). 2 nu este num˘ar rat¸ional; cu alte cuvinte, nu exist˘a un num˘ar rat¸ional (pozitiv), a c˘arui p˘atrat s˘a fie 2. Demonstrat¸ia se face prin reducere la absurd. Dac˘a ar exista un asemenea

3.3. FUNCT ¸ II MONOTONE.

59

¡ ¢2 = 2 deducem num˘ar, fie m scrierea sa ca fract¸ie ireductibil˘a. Din m n n 2 2 m = 2n . Rezult˘a c˘a m este num˘ar par; fie m = 2m1 . ˆInlocuind, obt¸inem 2m21 = n2 , de unde va rezulta ¸si n num˘ar par, ˆın contradict¸ie cu faptul c˘a m ¸si n sunt prime ˆıntre ele. Aceast˘a descoperire a fost f˘acut˘a de (¸scoala lui) Pitagora, sub forma urm˘atoare: nu exist˘a o unitate de m˘asur˘a, cu care s˘a putem m˘asura simultan latura ¸si diagonala unui p˘atrat. S˘a presupunem c˘a o asemenea unitate ar exista, deci ar intra de n ori ˆın latura p˘atratului ¸si de m ori ˆın diagonal˘a. Acum avem relat¸ia m2 = 2n2 , de unde, ca mai sus, rezult˘a m par ¸si apoi n par. Astfel, am putea folosi ca unitate de m˘asur˘a dublul unit˘a¸tii init¸iale (care s–ar cuprinde tot de un num˘ar ˆıntreg de ori, atˆat ˆın latura, cˆat ¸si ˆın diagonala p˘atratului). Deoarece acest procedeu poate continua indefinit, iar pentru k destul de mare, 2k va deveni mai mare ca latura p˘atratului, obt¸inem contradict¸ia. Mai clar, s–ar fi putut presupune de la ˆınceput c˘a se alege cea mai mare unitate de m˘asur˘a care convine. Acest rezultat arat˘a c˘a funct¸ia radical nu se poate defini ˆın Q, deci intervent¸ia metodelor de analiz˘a matematic˘a pare inevitabil˘a.

3.3.2

Exercit¸ii.

1. Fiind dat˘a funct¸ia f : R → R, ½ 2 x sin x1 , x 6= 0 f (x) := 0, x=0 s˘a se studieze existent¸a limitelor iterate: µ ¶ f (x + h) − f (x) lim lim x→0 h→0 h µ

f (x + h) − f (x) lim lim h→0 x→0 h 2. S˘a se studieze continuitatea funct¸iilor: 1 . (i) f : [0, +∞) → R, f (x) := lim n→+∞ 1 + xn x + x2 enx . (ii) f : R → R, f (x) := lim n→+∞ 1 + enx enx + x (iii) f : R → R, f (x) := lim nx . n→+∞ e +1

¶

˘ REALA: ˘ LIMITA, ˘ CONTINUITATE. 60CHAPTER 3. FUNCT ¸ II DE O VARIABILA 3. Funct¸ia f : [0, 1] → [0, 1] are proprietatea c˘a, oricare ar fi (xn ) un ¸sir din [0, 1] cu xn → x ¸si f (xn ) → y, urmeaz˘a c˘a y = f (x) (”grafic ˆınchis”). S˘a se arate c˘a f este continu˘a pe [0, 1]. 4. Justificat¸i c˘a nu exist˘a f : [0, 1] → (0, 1) care s˘a fie continu˘a ¸si surjectiv˘a. Dat¸i un exemplu de funct¸ie f : (0, 1) → [0, 1], continu˘a ¸si surjectiv˘a. Observat¸i c˘a nici o asemenea funct¸ie nu poate fi ¸si injectiv˘a. 5. Fie f : R → R o funct¸ie continu˘a, cu proprietatea f (x + 1) = f (x), oricare ar fi x ∈ R. S˘a se arate c˘a f este m˘arginit˘a ¸si ˆı¸si atinge marginile pe R. Deducet¸i c˘a exist˘a x0 ∈ R astfel ˆıncˆat f (x0 + π) = f (x0 ). Dat¸i un exemplu de funct¸ie f : R → R, care s˘a fie m˘arginit˘a, dar nu ˆı¸si atinge marginile pe R. 6. S˘a se arate c˘a ecuat¸ia x2x = 1 are exact o r˘ad˘acin˘a ˆın (0, 1). 7. Fie f : [0, 2] → R o funct¸ie continu˘a, cu proprietatea f (0) = f (2). S˘a se arate c˘a exist˘a c ∈ [0, 1] pentru care f (c) = f (c + 1). 8. Fie f : [0, 1] → R o funct¸ie continu˘a, cu proprietatea f (0) = f (1). Fie 1 n ∈ N∗ fixat. S˘a se arate c˘a exist˘a c ∈ [0, 1] pentru care f (c) = f (c + ). n 9. Fie f : [0, +∞) → R o funct¸ie continu˘a. Presupunem c˘a exist˘a A < B ¸si xn −→ +∞, yn −→ +∞ pentru care f (xn ) −→ A, f (yn ) −→ B. Atunci, pentru fiecare C ∈ (A, B) exist˘a zn −→ +∞ cu f (zn ) −→ C. 10. Funct¸ia lui Riemann. Se define¸ste funct¸ia f : [0, 1] → R prin: ½ f (x) =

0, dac˘a x 6∈ Q sau x = 0 1 , dac˘a x = m ca fract¸ie ireductibil˘a 6= 0 n n

S˘a se arate c˘a f este continu˘a ˆın 0 ¸si ˆın orice punct irat¸ional; ¸si discontinu˘a ˆın orice punct rat¸ional, 6= 0. Se va arata ca limita in fiecare punct este 0. Demonstratia este mult mai dificila decit la celelate probleme. Se poate ˆıncerca s˘a se schit¸eze graficul. 11. Fie a < b ∈ R iar f : [a, b] → [a, b] o funct¸ie continu˘a. S˘a se arate c˘a f admite cel put¸in un punct fix (i.e. exist˘a x0 ∈ [a, b] astfel ˆıncˆat f (x0 ) = x0 ). 12. Fie (an )n un ¸sir de numere strict pozitive, cu an −→ 0. Fie f : R → R o funct¸ie continu˘a, cu proprietatea c˘a, pentru fiecare n: f (x + an ) = f (x), oricare ar fi x ∈ R. S˘a se arate c˘a f este constant˘a.

3.3. FUNCT ¸ II MONOTONE.

61

13. S˘a se determine funct¸iile f : R → R care sunt continue ˆın x0 = −1 ¸si verific˘a ecuat¸ia funct¸ional˘a 1 + f (2x + 1) = f (x) + x oricare ar fi x ∈ R. 1 14. S˘a se stabileasc˘a domeniul maxim de definit¸ie al funct¸iei (x + ex ) x . Apoi s˘a se arate c˘a aceast˘a funct¸ie se poate prelungi prin continuitate ˆın 0. 15. Fie (a sir de numere reale; iar (cn ) un ¸sir de numere strict n ) un ¸ X pozitive, cu cn < +∞ (0 dac˘a este mult¸imea vid˘a). S˘a se studieze conan <x

tinuitatea ¸si monotonia funct¸iei f . Se poate considera pentru ˆınceput (an ) strict cresc˘ator.

3.3.3

Funct¸ia exponent¸ial˘ a.

Pentru a da un sens expresiei ax , trecem prin mai multe etape. Fie a ∈ (0, 1)∪ (0, +∞) (cazul a = 1 e lipsit de interes). Se define¸ste a0 = 1 iar an , pentru n ∈ N se define¸ste prin recurent¸a˘ a1 = a; an+1 = an a. Se extinde definit¸ia la Z: dac˘a n ∈ N, atunci a−n = a1n . Acum funct¸ia f : [0, +∞) → [0, +∞) definit˘a prin f (a) = an (pentru n ∈ N fixat) este strict cresc˘atoare, continu˘a ¸si f (0) = 0 iar lima→+∞ f (a) = +∞. Rezult˘a c˘a f este o biject¸ie, iar inversa este de asemeni strict cresc˘atoare, bijectiv˘a ¸si continu˘a. Desigur, pentru funct¸ia invers˘a se va utiliza notat¸ia a 7→ a1/n . Deoarece £ m 1/n ¤n (a ) = am iar

£

(a1/n )m

¤n

¡ ¢mn £ 1/n n ¤m = a1/n = (a ) = am

deducem c˘a am/n este bine definit. Deocamdat˘a am dat deci un sens pentru ax , cu x num˘ar rat¸ional. Pentru a trece la numere reale, vom demonstra c˘a a1/n → 0. Putem considera doar cazul a > 1. Notˆand a1/n = 1 + xn , avem xn > 0 ¸si a = (1 + xn )n = 1 + nxn + . . . > 1 + nxn adic˘a 0 < xn < a−1 , de unde concluzia. n Acum rezult˘a u¸sor c˘a axn → 1 pentru orice ¸sir (xn ) de numere rat¸ionale, care tinde la 0. Fie x ∈ R. Exist˘a ¸sirurile monotone de numere rat¸ionale rn % x ¸si 0 0 rn & x. Din cele de mai sus, ¸sirurile monotone ¸si m˘arginite arn , resp. arn rezult˘a convergente ¸si cu aceea¸si limit˘a, independent˘a de ¸sirurile alese; limita r0 0 va putea fi notat˘a ax . ˆIn adev˘ar, aarnn = arn −rn → 1.

˘ REALA: ˘ LIMITA, ˘ CONTINUITATE. 62CHAPTER 3. FUNCT ¸ II DE O VARIABILA Se obt¸ine astfel funct¸ia x ∈ R 7→ ax ∈ (0, +∞), care are urm˘atoarele propriet˘a¸ti: este continu˘a, ax+y = ax ay ; (ax )y = axy . Aceste propriet˘a¸ti sunt caracteristice: construct¸ia arat˘a c˘a (a ∈ (0, 1) ∪ (1, +∞) fiind fixat), exist˘a o unic˘a funct¸ie continu˘a f : R → (0, +∞) cu propriet˘a¸tile: f (x + y) = f (x)f (y), ∀x, y ∈ R f (1) = a Exponent¸iala are propriet˘a¸tile: I) dac˘a a ∈ (0, 1): este strict descresc˘atoare ¸si stabile¸ste o biject¸ie cu (0, +∞), deoarece lim ax = +∞; iar limx→+∞ ax = 0; concavitatea ˆın sus: x→−∞

a

x1 +x2 2

6

ax1 + ax2 2

II) dac˘a a ∈ (1, +∞): este strict cresc˘atoare ¸si stabile¸ste o biject¸ie cu (0, +∞), deoarece limx→−∞ ax = 0; iar limx→+∞ ax = +∞; concavitatea ˆın jos: x1 +x2 ax1 + ax2 a 2 > 2 Funct¸ia exponent¸ial˘a este derivabl˘a ¸si (ax )0 = ax ln a. Funct¸ia exponent¸ial˘a se extinde natural la variabila complex˘a prin: eix := cos x + i sin x, deoarece are loc formula: (cos θ + i sin θ)(cos ϕ + i sin ϕ) = cos(θ + ϕ) + i sin(θ + ϕ) Graficele (pentru cele dou˘a situat¸ii) sunt ˆın fig. 2.

3.3. FUNCT ¸ II MONOTONE.

63

Logaritmul unui num˘ar pozitiv. Definit¸ie. Propriet˘a¸ti. S–a demonstrat c˘a, pentru fiecare a ∈ (0, 1)∪(1, +∞), funct¸ia exponent¸ial˘a f : IR → (0, +∞), f (x) = ax , este strict monoton˘a, bijectiv˘a ¸si continu˘a. Astfel, va avea o invers˘a, numit˘a funct¸ia logaritm ˆın baza a, notat˘a loga : (0, +∞) → IR, care este de asemena strict monoton˘a, bijectiv˘a ¸si continu˘a. Are loc relat¸ia aloga x = x, ∀x > 0. Propriet˘ a¸ti ale funct¸iei logaritm. Din proprietatea exponent¸ialei ax+y = ax .ay urmeaz˘a c˘a funct¸ia logaritm are proprietatea loga (xy) = loga x+ loga y, ∀x, y ∈ (0, +∞). Funct¸ia logaritm mai are urm˘atoarele propriet˘a¸ti: loga 1 = 0; loga a = 1. Dac˘a a ∈ (0, 1), atunci funct¸ia logaritm este strict descresc˘atoare ¸si x x

lim → >

0 0

loga x = +∞

lim x = −∞

x→+∞

Dac˘a a ∈ (1, +∞), atunci funct¸ia logaritm este strict cresc˘atoare ¸si x x

lim → >

0 0

loga x = −∞

˘ REALA: ˘ LIMITA, ˘ CONTINUITATE. 64CHAPTER 3. FUNCT ¸ II DE O VARIABILA lim x = +∞

x→+∞

Acestea rezult˘a din propriet˘a¸tiel corespunz˘atoare ale funct¸iei exponent¸iale. Fiind definit˘a ca inversa funct¸iei exponent¸iale, graficul funct¸iei logaritm se deduce din cel al funct¸iei exponent¸iale, prin simetrie fat¸˘a de prima bisectoare: cf. fig. 1–4.

3.3. FUNCT ¸ II MONOTONE.

65

Din inegalitatea mediilor, rezult˘a imediat convexitatea funct¸iei logaritm: dac˘a a ∈ (1, +∞) atunci: √ loga x1 + loga x2 x1 + x2 = loga x1 x2 6 loga , ∀x1 , x2 ∈ (0, +∞) 2 2 Formula schimb˘ arii de baz˘ a. Pentru a, b ∈ (0, 1) ∪ (1, +∞) ¸si x ∈

˘ REALA: ˘ LIMITA, ˘ CONTINUITATE. 66CHAPTER 3. FUNCT ¸ II DE O VARIABILA (0, +∞) are loc exprimarea: loga x =

logb x logb a

Este suficient s˘a folosim proprietatea fundamental˘a x = aloga x ¸si s˘a logaritm˘am ˆın baza b: logb x = logb aloga x = loga x logb a ˆIn particular: loga b = 1 . logb a O caracterizare a funct¸iei logaritm. Teorem˘ a. Fiind dat a ∈ (0, 1) ∪ (1, +∞), exist˘a ¸si este unic˘a o funct¸ie f : (0, +∞) → IR continu˘a, cu propriet˘a¸tile: f (a) = 1 f (xy) = f (x) + f (y), ∀x, y ∈ (0, +∞) Demonstrat¸ie. ˆIn adev˘ar, dac˘a definim g(x) := f (ax ), atunci g este continu˘a ¸si g(x + y) = g(x) + g(y), ∀x, y ∈ IR. Se ¸stie c˘a exist˘a c ∈ IR astfel ˆıncˆat g(x) = c.x, ∀x ∈ IR, iar proprietatea g(1) = 1 determin˘a c = 1. Adic˘a f (ax ) = x, ∀x ∈ IR, deci f (x) = loga x, ∀x ∈ (0, +∞). Not˘ a istoric˘ a. Importat¸a logaritmilor const˘a ˆın aceea c˘a transform˘a ˆınmult¸irile ¸si ˆımp˘art¸irile respectiv ˆın adunc˘ari ¸si sc˘aderi; iar ridic˘arile la putere ¸si extragerile de radicali respectiv ˆın ˆınmult¸iri ¸si ˆımp˘art¸iri. Nu este exagerat s˘a se considere c˘a tabelele de logaritmi (John Napier, 1614) au avut un rol determinant ˆın descoperirile astronomice ale lui Kepler, care au determinat descoperirile lui Newton (legea gravitat¸iei universale, calculul diferent¸ial). Rigla de calcul, utilizat˘a ˆınaintea aparit¸iei calculatoarelor, se bazeaz˘a tot pe aceste propriet˘a¸ti ale logaritmilor.

Chapter 4 Derivabilitate ¸si diferent¸iabilitate pentru funct¸ii de o variabil˘ a real˘ a. 4.1

Funct¸ii derivabile. Propriet˘ a¸ti generale.

Vom considera funct¸ii f : D → IR, cu domeniul de definit¸ie D ⊆ IR o reuniune cel mult num˘arabil˘a de intervale disjuncte (de¸si, strict pentru acest subiect, cazul D = interval deschis ar fi suficient). Definit¸ie. Fie D ⊆ R deschis, x0 ∈ D ¸si f : D → R. Spunem c˘a funct¸ia f este derivabil˘a ˆın punctul x0 dac˘a exist˘a lim

x→x0

f (x) − f (x0 ) ( ˆın R) x − x0

Atunci cˆand exist˘a, aceast˘a limit˘a se noteaz˘a cu f 0 (x0 ). Notat¸ia se folose¸ste ¸si atunci cˆand limita este ±∞, dar nu se mai spune c˘a funct¸ia este derivabil˘a. Evident f (x + h) − f (x) f 0 (x0 ) = lim h→0 h Dac˘a funct¸ia f este derivabil˘a ˆın fiecare punct al mult¸imii deschise D, vom spune c˘a f este derivabil˘ a ˆın D. Se ¸stie c˘a este util s˘a consider˘am uneori derivate laterale: fs0 (x0 ) :=

lim x → x0 x < x0 67

f (x) − f (x0 ) x − x0

68

CHAPTER 4. DERIVABILITATE

(derivata la stˆanga) respectiv fd0 (x0 ) :=

lim x → x0 x > x0

f (x) − f (x0 ) x − x0

(derivata la dreapta). Exemple. f (x) = |x| nu este derivabil˘a ˆın 0, de¸si fs0 (0) = −1, fd0 (0) = 1. Fie funct¸ia f : R → R definit˘a prin: ½ α x sin x1 , x 6= 0 f (x) = 0, x=0 Pentru α 6 0, f nu este continu˘a ˆın 0. Pentru 0 < α 6 1, funct¸ia f este continu˘a (¸si) ˆın 0, dar nu este derivabil˘a ˆın 0. Pentru 1 < α, f este derivabil˘a (¸si) ˆın 0, iar ½ αxα sin x1 − xα−2 cos x1 , x 6= 0 0 f (x) = 0, x=0 Deci, pentru 1 < α 6 2, f 0 nu este continu˘a ˆın 0. Propozit¸ie. (i) f este derivabil˘a ˆın x0 dac˘a ¸si numai dac˘a f este diferent¸iabil˘a ˆın x0 , adic˘a: ∃A ∈ R ¸si funct¸ia ω : D → R astfel ˆıncˆat : f (x) = f (x0 ) + A.(x − x0 ) + ω(x).(x − x0 ), ∀x ∈ D ¸si lim ω(x) = 0 x→x0

(ii) Dac˘a funct¸ia f este derivabil˘a ˆın x0 , atunci este continu˘a ˆın x0 . Exemplu. Se verific˘a direct c˘a funct¸iile constante: f (x) = α, ∀x ∈ R ¸si funct¸ia identic˘a: f (x) = x, ∀x ∈ R, sunt derivabile ˆın R. Propozit¸ie (reguli de derivare). (i) Dac˘a f, g : D → R sunt derivabile f ˆın x0 , atunci: f + g; f.g; ¸si, dac˘a g(x0 ) 6= 0, sunt derivabile ˆın x0 iar: g (f + g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ) + g 0 (x0 ) (f.g)0 (x0 ) = f 0 (x0 ).g(x0 ) + f (x0 ).g 0 (x0 ) µ ¶0 f f 0 (x0 ).g(x0 ) − f (x0 ).g 0 (x0 ) (x0 ) = g g 2 (x0 ) (ii) Fie D0 ⊆ R deschis, f : D → D0 derivabil˘a ˆın x0 ¸si g : D0 → R derivabil˘a ˆın f (x0 ). Atunci g ◦ f este derivabil˘a ˆın x0 iar: (g ◦ f )0 (x0 ) = g 0 (f (x0 )).f 0 (x0 )

˘ ¸ I GENERALE. 4.1. FUNCT ¸ II DERIVABILE. PROPRIETAT

69

(iii) Fie D0 ⊆ R deschis, f : D → D0 biject¸ie, g : D0 → D inversa lui f . Dac˘a presupunem c˘a: f este derivabil˘a ˆın x0 ; f 0 (x0 ) 6= 0 ¸si g este continu˘a ˆın f (x0 ), atunci g este derivabil˘a ˆın f (x0 ) iar: g 0 (f (x0 )) =

1 f 0 (x0 )

Demonstrat¸ie. (i) (f + g)(x) − (f + g)(x0 ) = x − x0 (f.g)(x) − (f.g)(x0 ) [f (x) − f (x0 )] g(x) f (x0 ) [g(x) − g(x0 )] = + x − x0 x − x0 x − x0 ¸si continuitatea funct¸iei g arat˘a formula de derivare a produsului. Este suficient s˘a demonstr˘a formula de derivare pentru g1 . Facem observat¸ia c˘a, din continuitate urmeaz˘a c˘a g(x) 6= 0 pe o vecin˘atate a punctului x0 . (ii) Scriem succesiv: (g ◦f )(x)−(g ◦f )(x0 ) = g 0 (f (x0 )) [f (x) − f (x0 )]+ω1 (f (x)) [f (x) − f (x0 )] = = g 0 (f (x0 )) [f 0 (x0 )(x − x0 ) + +ω(x)(x − x0 )] + +ω1 (f (x)) [f 0 (x)(x − x0 ) + ω(x)(x − x0 )] = = g 0 (f (x0 )).f 0 (x0 )(x − x0 ) + [ω(x) + ω1 (f (x))f 0 (x0 ) + ω1 (f (x))ω(x)(x − x0 )] Folosirea definit¸iei se love¸ste de situat¸ia f (x) = f (x0 ). Propun ca exercit¸iu demonstrat¸ia direct˘a. (iii) Avem de calculat: g(y) − g(f (x0 )) y→f (x0 ) y − f (x0 ) lim

Fie y = f (x). Atunci g(w) → g(f (x0 )) = x0 , datorit˘a continuit˘a¸tii funct¸iei g. Urmeaz˘a c˘a limita este egal˘a cu: lim

x→x0

1 x − x0 = 0 f (x) − f (x0 ) f (x0 )

Fiind necesar˘a continuitatea inversei ˆın f (x0 ), fie se poate presupune, fie se consider˘a f strict monoton˘a ¸si continu˘a pe un inerval, ceeea ce asigura˘a continuitatea global˘a a inversei.

70

4.2

CHAPTER 4. DERIVABILITATE

Derivabilitatea funct¸iilor elementare.

Ca aplicat¸ie imediat˘a a regulilor de derivare, deducem c˘a funct¸iile rat¸ionale: a0 + a1 .x + . . . + an .xn f (x) = (an .bm 6= 0) b0 + b1 .x + . . . + bm .xm sunt derivabile pe complementara mult¸imii (finite) a punctelor ˆın care se anuleaz˘a numitorul. Formula f 0 (x) = nxn−1 unde f : R → R, f (x) := xn cu n ∈ R se arat˘a prin indut¸ie, folosinf xn+1 = xxn . Formula se extinde la n ∈ Z, desigur domeniul de definit¸ie ¸si d ederivabilitate fiind (−∞, 0) ∪ (0, +∞). Folosind formula de derivare a funct¸iei inverse, sau chiar direct pentru x1/n , se extinde formula ˆın cazul exponent¸ilor rat¸ionali. De data aceasta, domeniul de derivabilitate este (0, +∞) (chiar dac˘a pentru exponent¸i de forma 1/(2k + 1) domeniul se extinde la R, iar pentru exponent¸i pozitivi, exist˘a ¸si derivata la dreapta ˆın 0; pentru exponent¸i supra–unitari, funct¸ia fiind chiar derivabil˘a (la dreapta) ˆın 0. Cazul exponentului irat¸ional va fi discutat ulterior. Pentru funt¸ia exponent¸ial˘a f : R → R, f (x) := ex , se folose¸ste limita fundamental˘a ex − 1 lim =1 x→0 x de unde f 0 (x) = ex , ∀x ∈ R. din teorema de derivare a funct¸iei inverse, deducem pentru g : (0, +∞) → R, g(y) := ln y: g 0 (y) = y1 . Drept consecint¸e, obt¸inem: dac˘a a ∈ (0, 1) ∪ (1, +∞), atunci pentru funct¸ia f (x) := ax = ex ln a : f 0 (x) = ax ln a; deci pentru g(y) := loga y avem 1 g 0 (y) = . y ln a Revenind la cazul funct¸iei putere cu exponent oarecare f : (0, +∞) → R, f (x) := xa = ea ln x , deducem f 0 (x) = axa−1 . Mai general, dac˘a f (x) > 0, atunci pentru a calcula derivata funct¸iei f g , este suficient s˘a scriem f g = eg ln f ¸si s˘a aplic˘am regulile stabilite: ¶ µ f0 g 0 g ln f 0 (f ) = e g ln f + g f Pentru derivarea funct¸iilor trigonometrice, pornim de la limita fundamensin x tal˘a lim = 1. Deducem: x→0 x sin x−x0 sin x − sin x0 x + x0 = x−x02 cos −→ cos x0 x − x0 2 2

4.2. DERIVABILITATEA FUNCT ¸ IILOR ELEMENTARE.

71

¡ ¢ Egalitatea cos x = sin π2 + x permite stabilirea formulei pentru derivata funct¸iei cos, iar regulile de derivare, pentru celelalte funct¸ii trigonometrice ¸si inverse. Ca exemplificare, pentru funct¸ia arctg : (arctg)0 (x) =

4.2.1

1 1 + x2

Exercit¸ii.

1. Se consider˘a funct¸ia f : R → R definit˘a   x − 1, 0 f (x) =  x + 1,

ca: x<0 x=0 x>0

S˘a se verifice c˘a f nu este continu˘a ˆın 0, dar f 0 (0) = +∞. 2. S˘a se discute, ˆın funct¸ie de valorile parametrului real a: continuitatea, derivabilitatea ¸si continuitatea derivatei funct¸iei f : R → R definit˘a ca: ½ a x sin x1 , x 6= 0 f (x) = 0, x=0 3. Fie f, g : (−1, 1) → R funct¸ii continue, cu f (0) = g(0) = 0. Presupunem c˘a f ¸si g sunt derivabile ˆın 0, iar g 0 (0) 6= 0. f (x) f 0 (0) S˘a se arate c˘a lim exist˘a ¸si este egal˘a cu 0 . x→0 g(x) g (0) 4. Fie f : (−1, 1) → R o funct¸ie continu˘a ˆın 0. S˘a se arate c˘a limitele: f (x) − f (0) f (2x) − f (x) lim ¸si lim exist˘a sau nu simultan; iar cˆand exist˘a, x→0 x→0 x x sunt egale (inclusiv cazul limitei infinite).

Lucrare de control 2 13 decembrie 2005 1) S˘a se calculeze: µ lim

x→−1

3 3x2 + 2 − 1 + x3 1 + x5

¶

2. S˘a se calculeze: √

√ x+1+ x−2 √ lim √ x→+∞ x3 + x2 − 2 − x3 − 2x2 + 1

72

CHAPTER 4. DERIVABILITATE

Indicat¸ie. Stabilit¸i tipul de nedeterminare. 3. Pentru care valori ale parametrilor reali a ¸si b, este continu˘a funct¸ia f : R → R: ½ a x x (2 − 1)(sin 2x − 2 sin x), x 6= 0 f (x) = b, x=0 Indicat¸ie. Se pot considera cazurile: a = −4; a = 0. 4. Fie f : (0, +∞) → (−1, 1) o funct¸ie continu˘a, cu proprietatea: exist˘a ¸sirurile (xn ), (x0n ) din (0, +∞), cu xn → +∞, x0n → +∞ iar f (xn ) → −1, f (x0n ) → 1. S˘a se arate c˘a exist˘a un ¸sir (yn ) din (0, +∞) cu yn → +∞, astfel ˆıncˆat f (yn ) → 0. Exist˘a o asemenea funct¸ie f ?

Lucrare de control 2 bis 20 ianuarie 2006 1) S˘a se calculeze:

µ lim

x→1

5 3 − 1 − x5 1 − x3

¶

2. Fie a > 0, b > 0. S˘a se afle limitele la −∞, ˆın 0 ¸si la +∞ pentru ¶1/x µ x a + bx . funct¸ia: 2 3. S˘a se studieze continuitatea funct¸iei f : R → R, definit˘a prin: enx + x n→+∞ enx + 1

f (x) := lim

4. S˘a se dea un exemplu de funct¸ie f : (0, 1) → [0, 1], care s˘a fie continu˘a ¸si surjectiv˘a. S˘a se demonstreze c˘a nu exist˘a nici o funct¸ie f : [0, 1] → (0, 1), care s˘a fie continu˘a ¸si surjectiv˘a.

4.3

Teoreme fundamentale: teoremele lui Fermat, Rolle, Lagrange. Teorema lui Darboux.

Definit¸ie. x0 ∈ D se nume¸ste punct de minim (resp. maxim) local pentru funct¸ia f dac˘a exist˘a o vecin˘atate V pentru x0 astfel ˆıncˆat f (x) > f (x0 ) (resp. 6), ∀x ∈ V ∩ D.

4.3. TEOREME FUNDAMENTALE

73

x0 ∈ D se nume¸ste punct de extrem local pentru funct¸ia f atunci cˆand este fie punct de minim, fie de maxim, local. Desigur, dac˘a x0 este punct de minim (resp. maxim) global (adic˘a f (x) > f (x0 ), resp. 6, ∀x ∈ D), atunci este ¸si punct de extrem local; dar nu ¸si reciproc. Este posibil ca valoarea funct¸iei ˆıntr–un punct de minim local s˘a fie mai mare decˆat valoarea aceleia¸si funct¸ii ˆıntr–un punct de maxim local (cf. fig. 1

Teorema lui Weierstrass asigur˘a c˘a orice funct¸ie continu˘a pe un interval

74

CHAPTER 4. DERIVABILITATE

ˆınchis ¸si m˘arginit admite cel put¸in un punct de minim ¸si unul de maxim global. Cunoa¸sterea punctelor de extrem (local) prezint˘a o important¸˘a practic˘a indiscutabil˘a. De exemplu, considerˆand fluctuat¸ia valorilor act¸iunilor la burs˘a, punctele de maxim local reprezinta momentele ˆın care se recomand˘a vˆanzarea (valoarea va sc˘adea), iar cele de minim local reprezinta momentele ˆın care se recomand˘a cump˘ararea (valoarea va cre¸ste). Deja pentru unele funct¸ii elementare au fost precizate punctele de extrem: funct¸iile de grad I ¸si II (restrˆanse eventual la un interval), pentru sin, cos, etc. De asemeni, exist˘a metode ”elementare” (care nu fac apel la calculul diferent¸ial), de g˘asire a punctelor de extrem (cunoa¸sterea cazului de egalitate ˆıntr–o inegalitate poate fi interpretat ˆın acest sens). Pentru intuirea enunt¸ului este util s˘a se reaminteasc˘a interpretarea geometric˘a a derivatei: faptul c˘a ˆıntr–un punct (interior) de extrem tangenta la grafic este orizontal˘a, deci derivata funct¸iei este 0. Teorema lui Fermat Dac˘a x0 este punct de extrem (local) pentru funct¸ia f : D → IR, dac˘a x0 este punct interior pentru D ¸si dac˘a funct¸ia f este derivabil˘a ˆın x0 , atunci f 0 (x0 ) = 0. Demonstrat¸ie Pentru a fixa ideile, s˘a presupunem c˘a x0 este punct de minim local. Deoarece derivata exist˘a ˆın x0 , care este punct interior, putem scrie: f (x) − f (x0 ) f (x) − f (x0 ) f 0 (x0 ) = lim = lim x→x0 x − x0 x − x0 x → x0 x < x0 =

lim x → x0 x > x0

f (x) − f (x0 ) x − x0

ˆIn calculul limitelor laterale, putem considera doar punctele x apart¸nˆand vecin˘at˘a¸tii date de definit¸ia punctului de extrem local (datorit˘a caracterului local al limitei). Adic˘a f (x) − f (x0 ) > 0 ˆın ambele cazuri. Dar pentru x < x0 f (x) − f (x0 ) 6 0, deci f 0 (x0 ) 6 0; ˆın timp ce, pentru x > x0 rezult˘a rezult˘a x − x0 f (x) − f (x0 ) > 0, deci f 0 (x0 ) > 0, de unde concluzia. x − x0 Concluzii: pentru c˘autarea punctelor de extrem local ale unei funct¸ii derivabile analiz˘am: punctele x0 ∈ D ˆın care f 0 (x0 ) = 0 (numite puncte

4.3. TEOREME FUNDAMENTALE

75

critice) ¸si capetele intervalelor (incluzˆand deci eventualele puncte unde nu exist˘a derivata). Contraexemple: f (x) = x pe [0, 1] admite x0 = 0 ca punct de minim (global), dar derivata este diferit˘a de 0; similar: f (x) = arcsin x admite x0 = 1 ca punct de maxim (global), dar funct¸ia nu este derivabil˘a ˆın x0 (de¸si f 0 (x0 ) = +∞); |x| pe IR: admite un punct de minim (global) ˆın 0, f˘ar˘a a fi derivabil˘a ˆın acel punct; √ 3 f (x) = x2 admite un punct de minim (global) ˆın 0, de¸si nu este derivabil˘a ˆın acest punct: fs0 (0) = −∞ iar fd0 (0) = +∞ punct critic care nu este de extrem: f (x) = x3 are x0 = 0 drept punct critic, dar nu este punct de extrem (c˘aci f (x) < f (0), ∀x < 0 ¸si f (x) > f (0), ∀x > 0). 2x un exemplu mai complex ˆıl furnizeaz˘a funct¸ia arcsin 1+x 2 : punctele de extrem (global) sunt −1 ¸si 1, ˆın care derivata nu exist˘a; funct¸ia se poate explicita (folosind arctg) ¸si poate fi astfel reprezentat˘a grafic. Ca aplicat¸ie a teoremei lui Fermat: Propozit¸ie. Fie f : I → R o funct¸ie derivabil˘a pe intrevalul I. Atunci funct¸ia f 0 : I → R are proprietatea Darboux. Demonstrat¸ie. f 0 poate fi discontinu˘a: de exemplu xa sin x1 , pentru a = 2; pentru 1 < a < 2 are chiar derivata nemarginita, dar numai pe [0, +∞). Teorema lui Rolle. Aplicat¸ie. S¸irul lui Rolle: separarea radacinilor, combinat cu proprietatea Darboux. Exemplificari. Teorema lui Lagrange (de medie). inclusiv forma cu inegalitate. Aplicatii: studiul intervalelor de monotonie, revenit la problema determinarii extremelor. f 0 = 0 pe un interval implica f ≡ 0. Exemplu: arctg x + arctg dar numai pe (0, +∞).

π 1 = x 2

76

CHAPTER 4. DERIVABILITATE

Consecint¸a˘: Fie x0 ∈ I, f : I → R o funct¸ie continu˘a, defrrivabil˘a pe I \ {x0 }. Dac˘a exist˘a λ := lim f 0 (x), atunci f este derivabil˘a ˆın x0 iar x→x0

f 0 (x0 ) = λ. Inainte de a folosi acest rezultat, verificati daca derivata nu se calcleaza mai simplu direct ce definitia.

4.4

Derivate de ordin superior; dezvolt˘ ari limitate.

Observat¸ie. Teorema nu este adev˘arat˘a ˆın cazul real: exist˘a funct¸ii indefinit derivabile, care totu¸si nu sunt analitice. Astfel, funct¸ia f : R → R definit˘a prin: ½ f (x) =

1

e− x2 0

, x 6= 0 ,x = 0

este indefinit derivabil˘a, iar f (n) (0) = 0, ∀n > 0; nefiind identic nul˘a, rezult˘a c˘a f nu este analitic˘a. Nu este adev˘arat nici c˘a raza de convergent¸˘a R este cel mai mare num˘ar, pentru care funct¸ia s˘a fie analitic˘a ˆın (−R, R). ˆIn adev˘ar, considerˆand funct¸ia f : R → R definit˘a prin: 1 f (x) = 2 x +1 f este analitic˘a ˆın R. Totu¸si R = 1. Explicat¸ia se obt¸ine considerˆand funct¸ia 1 f (x) = 2 , care este derivabil˘a ˆın C \ {−i, i}. x +1

4.5

Curs XIII

Vom avea nevoie de urm˘atoarea extindere a teoremei lui Rolle: Teorem˘ a. Fie f : [a, b] → R o funct¸ie cu derivata de ordin n > 1 continu˘a pe [a, b] ¸si derivabil˘a de n + 1 ori pe (a, b). Presupunem c˘a: f (k) (a) = 0, pentru fiecare 0 6 k 6 n f (b) = 0 Atunci exist˘a c ∈ (a, b) astfel ˆıncˆat f (n+1) (c) = 0. Demonstrat¸ie. Din teorema lui Rolle, exist˘a c1 ∈ (a, b) pentru care f (c1 ) = 0. Aplic˘am acum teorema lui Rolle funct¸iei f 0 pe intervalul [a, c1 ]. Se obt¸ine astfel prin recurent¸a˘ un ¸sir ck ; iar c := cn+1 convine. 0

4.5. CURS XIII

4.5.1

77

Dezvolt˘ ari limitate.

Aceast˘a tem˘a prezint˘a o tehnic˘a foarte util˘a ˆın aflarea unor limite, acolo unde ar trebui aplicat˘a de multe ori regula lui l’Hˆopital. De utilitatea acestei metode v˘a putet¸i convinge, ˆıncercˆand s˘a rezolvat¸i, pe c˘aile uzuale, urm˘atoarele ¸sapte probleme: 1) S˘a se determine a, b ∈ R pentru care ¸ · √ √ b 3 2 3 2 2 n +n +n+1− n +1+a+ lim n n→+∞ n exist˘a ¸si este diferit˘a de 0. 2) Fie f : (−1, 1) → [0, +∞) o funct¸ie de trei a, cu f (0) = 0. S˘a p ori derivabil˘ p 3 se discute derivabilitatea ˆın 0 a funct¸iilor f (x) ¸si f (x). ³ π π´ 3) Se consider˘a funct¸ia f : − , − −→ R definit˘a prin f (x) := (2 sin x)tg 3x . 6 6 f (x) − l S˘a se calculeze l := limπ f (x) ¸si limπ π . x→ 6 x − x→ 6 6 4) Pentru ce valoare a lui n ∈ N, limita 6 sin x3 + x3 (x6 − 6) x→0 xn lim

exist˘a, este finit˘a ¸si diferit˘a de 0? 5) S˘a se calculeze:

³ x ´2x

x

x − 2 lim ³ x ´sin 2x sin x x→0 x − 2 x>0 6) Se consider˘a funct¸ia f : R \ {0} → R, 1 √ f (x) := e x x2 + x + 1 arctg x S˘a se determine asimptotele oblice, precum ¸si pozit¸ia graficului funct¸iei fat¸˘a de aceste asimptote. 7) Se consider˘a funct¸ia f : (1, +∞) → R, 1 x

f (x) := xx − ln2 x S˘a se determine asimptota oblic˘a, precum ¸si pozit¸ia graficului funct¸iei fat¸˘a de aceste asimptot˘a.

78

CHAPTER 4. DERIVABILITATE

Vom folosi peste tot notat¸ia o(f ) pentru a desemna o funct¸ie g (definit˘a g(x) ˆıntr–o vecin˘atate a lui 0), care are proprietatea c˘a lim = 0. Aceast˘a x→0 f (x) notat¸ie ne scute¸ste de precizarea, la fiecare etap˘a, a formei exacte a lui g, ret¸inˆand doar faptul c˘a este neglijabil˘a fat¸a˘ de f . ˆIn funct¸ie de context, se poate ca limita s˘a fie considerat˘a la +∞. Iat˘a rezultatele teoretice necesare pentru abordarea exercit¸iilor precedente. 8) (i) Dac˘a P este o funct¸ie polinom, cu proprietatea c˘a, pentru orice n > 0 avem P (n) (0) = 0, atunci P ≡ 0. (ii) Dac˘a P este o funct¸ie polinom de grad cel mult n, atunci P = o(xn ) implic˘a P ≡ 0. Fie I ⊆ R un interval deschis cu 0 ∈ I. Pe baza regulii lui l’Hˆopital, putem scrie pentru orice funct¸ie f : I → R, de n ori derivabil˘a: (∗) f (x) = f (0) +

f 0 (0) f 00 (0) 2 f (n) (0) n x+ x + ... + x + o(xn ) 1! 2! n!

ˆIn particular, au loc urm˘atoarele dezvolt˘ari limitate ale unor funct¸ii elementare: x x2 xn ex = 1 + + + ... + + o(xn ) 1! 2! n! x2n+1 x3 + . . . + (−1)n + o(x2n+2 ) sin x = x − 3! (2n + 1)! cos x = 1 −

x2 x2n + . . . + +(−1)n + o(x2n+1 ) 2! (2n)!

ln(1 + x) = x −

x2 x3 xn + − . . . + (−1)n−1 + o(xn ) 2 3 n

pentru x > −1; (1 + x)α = 1 +

α α(α − 1) α(α − 1) . . . (α − n + 1) n x+ + ... + x + o(xn ) 1! 2! n!

pentru x > −1 ¸si α ∈ R. 9) (i) S˘a se justifice urm˘atoarele dezvolt˘ari limitate arctg x = x −

x3 x5 x2n+1 + − . . . + (−1)n + o(x2n+2 ) 3 5 2n + 1

arcsin x = x +

x3 (2n − 1)!! x2n+1 + ... + + o(x2n+2 ) 6 (2n)!! 2n + 1

4.5. CURS XIII

79

(ii) S˘a se determine a, b, c ∈ R pentru care tg x = ax + bx3 + cx5 + o(x5 ). Exist˘a ¸si o aplicat¸ie nea¸steptat˘a a dezvolt˘arilor limitate: 10) S˘a se arate c˘a 1 = a0 + a1 x + . . . + an xn + o(xn ) 1 − x − x2 unde: a0 = a1 = 1; an = an−1 + an−2 pentru n > 2. S˘a se obt¸in˘a expresia explicit˘a a termenului general al ¸sirului lui Fibonacci √ n √ ni 1 h an = √ (1 + 5) − (1 − 5) 2n 5 11) (i) Fie a 6= 0; k < n, m ∈ N ¸si f : I → R o funct¸ie cu dezvoltarea f (x) = axk +bxn +o(xn ). S˘a se arate c˘a f m (x) = am xkm +mam−1 bxn+(m−1)k + o(xn+(m−1)k ). (ii) S˘a se calculeze (pentru n > 2) arctg xn − arctg n x x→0 arcsin xn − arcsinn x lim

12) Se define¸ste funct¸ia f : R → R astfel:  sin x   , x 6= 0  x f (x) :=    1 ,x = 0 S˘a se justifice existent¸a unei funct¸ii g : [0, +∞) → R, derivabile pe [0, +∞), astfel ˆıncˆat f (x) = g(x2 ), pentru orice x ∈ R. 13) Se define¸ste funct¸ia f : (−1, 1) → R astfel:  √ arctg −x   √  , x ∈ (−1, 0)   −x      f (x) := 1 ,x = 0      √   1 + 1 x   √ , x ∈ (0, 1)  √ ln 2 x 1− x S˘a studieze derivabilitatea funct¸iei f . Exist˘a ¸si un alt tip de “dezvoltare limitat˘a”, dar de cu totul alt˘a natur˘a. Dac˘a ˆın formula (*) intervenea comportarea local˘a a funct¸iei f , ˆın cele ce

80

CHAPTER 4. DERIVABILITATE

ce urmeaz˘a este vorba de o formul˘a global˘a. Este o generalizare direct˘a a teoremei lui Lagrange. Iat˘a cˆateva probleme, pentru rezolvarea c˘arora aceast˘a formul˘a este util˘a. 15) Fie f : [−1, 1] −→ R o funct¸ie cu derivata de ordin trei continu˘a. S˘a se arate c˘a seria: µ ¶¶ ¸ ∞ · µ µ ¶ X 1 1 0 n f −f − − 2f (0) n n n=1 este convergent˘a. 16) Fie f : (−1, 1) → R o funct¸ie impar˘a, de cinci ori derivabil˘a. S˘a se arate c˘a, pentru fiecare x ∈ (−1, 1), exist˘a θ ∈ (0, 1) astfel ˆıncˆat f (x) =

x 0 x5 (5) [f (x) + 2f 0 (0)] − f (θx) 3 180

17) Fie f : I → R o funct¸ie cu derivata a doua continu˘a pe I. Presupunem c˘a exist˘a a, b ∈ I, a < b astfel ˆıncˆat f 0 (a) = f 0 (b) = 0. S˘a se arate c˘a exist˘a c ∈ (a, b) astfel ˆıncˆat |f (b) − f (a)| 6

(b − a)2 00 |f (c)| 4

18) Fie f : [0, +∞) −→ R o funct¸ie de dou˘a ori derivabil˘a pe [0, +∞).√Dac˘a |f (x)| 6 A ¸si |f 00 (x)| 6 B, pentru orice x ∈ [0, +∞), atunci |f 0 (x)| 6 2 AB, pentru orice x ∈ [0, +∞).

4.5.2

Demonstrat¸ii

1) Folosind dezvolt˘arile limitate: √ 3

rezult˘a: √ 3

n3

+

n2

x x2 5x3 − + + o(x3 ) 3 9 81 √ x 1 + x = 1 + + o(x) 2

1+x=1+

· ¶ ¶ ¸ µ ¶ µ µ 1 1 1 1 1 1 2 5 1 +n+1=n 1+ + 2+ 3 − + 3 + 3 +o 2 3 n n n 9 n n 8n n2 · µ ¶¸ √ 1 1 2 n +1=n 1+ +o 2n n3

4.5. CURS XIII

81

de unde: √ 3

√

b n3 + n2 + n + 1− n2 + 1+a+ = n

µ

µ ¶ ¶ µ ¶ 1 14 1 5 1 a+ + +o + b− 2 3 18 n 81 n n2

1 5 14 Deci a = − ; b = iar limita este . 3 18 81 2) Funct¸ia f fiind pozitiv˘a ¸si f (0) = 0, rezult˘a c˘a 0 este punct de minim, deci f 00 (0) 2 f 0 (0) = 0. Astfel: f (x) = x + o(x2 ). Obt¸inem c˘a exist˘a derivatele 2 p laterale ˆın 0 pentru f (x): r r p f (x) f 00 (0) f 00 (0) lim = lim + o(1) = x 2 2 x→0 x→0 x>0

x>0 r

f 00 (0) ˆ Analog, derivata la stˆanga este − . In concluzie, dac˘a f 00 (0) = 0, 2 p atunci f (x) este derivabil˘a ˆın 0, cu derivata egal˘a cu 0. p f 00 (0) 2 f 000 (0) 3 Pentru funct¸ia 3 f (x) se folose¸ste scrierea f (x) = x + x + o(x3 ) 2 3! ¸si se caut˘a eventuala limit˘a ˆın 0 pentru r 00 f 000 (0) 3 f (0) x−1 + + o(1) 2 6 Pentru existent¸a derivatei,p condit¸ia f 00 (0) = 0 este necesar˘a. Reciproc, dac˘a f 00 (0)r= 0, atunci funct¸ia 3 f (x) este derivabil˘a ˆın 0, iar valoarea derivatei 000 3 f (0) este . 6 A se vedea ¸si problemele 12) ¸si 14) . π 3) Pentru simplificarea calculelor, not˘am y := x − . Astfel funct¸ia f devine 6 √ 1 1 ln(cos y + 3 sin y) − − √ f (y) = (cos y + 3 sin y) tg 3y = e tg 3y Deoarece au loc dezvolt˘arile limitate: √ √ ln(cos y + 3 sin y) = 3y − 2y 2 + o(y 2 ) −

1 1 = − + y + o(y) tg 3y 3y

82

CHAPTER 4. DERIVABILITATE

obt¸inem: √

√ 3 2 3µ ¶ − y + o(y) − 2y f (y) = e 3 e 3 =e 3 1+ + o(y) 3 √ √ 3 3 − 2 − de unde l = e 3 , iar a doua limit˘a este e 3 . 3 4) Folosind dezvoltarea limitat˘a x9 x15 + + o(x20 ) 6 120 1 deducem c˘a n = 15, iar limita este . 20 5) Folosind scrierea uv = ev ln u se obt¸in dezvolt˘arile limitate: sin x3 = x3 −

xx = 1 + x ln x + o(x ln x) ³ x ´2x x = 1 + 2x ln + o(x ln x) 2 2 sin x x = 1 + x ln x + o(x ln x) ³ x ´sin 2x x = 1 + 2x ln + o(x ln x) 2 2 ceea ce arat˘a c˘a limita c˘autat˘a este 1. 6) Folosim urm˘atoarele dezvolt˘ari limitate: µ ¶ 1 1 1 e =1+ + 2 +o x 2x x2 µ µ ¶¶ √ 1 1 3 x2 + x + 1 = |x| 1 + + 2 +o 2x 8x x2 µ ¶ 1 π 1 arctg x = (sgn x) − + o 2 x x2 Deci, pentru x > 0: µ ¶ µ ¶ π 3π 11π − 24 1 f (x) = x + −1 + +o 2 4 16x x 1 x

3π π x+ − 1 este asimptota oblic˘a la +∞, iar graficul 2 4 se afl˘a (pentru valori destul de mari ale lui x) deasupra asimptotei (deoarece 11π − 24 > 0).

ceea ce arat˘a c˘a y =

4.5. CURS XIII

83

Analog, pentru x < 0 avem: µ ¶ µ ¶ 3π 11π + 24 1 π f (x) = x + +1 + +o 2 4 16x x ln x = 0, putem scrie: x→+∞ x

7) Deoarece lim

µ 2 ¶ ln x ln2 x ln x + + o x =1+ x 2x2 x2 µ 3 ¶ ln2 x ln3 x ln x Notˆand u(x) := + + o , avem lim u(x) = 0, deci: x→+∞ x 2x2 x2 µ 3 ¶ 1 ln4 x ln x 2 xx x = x + ln x + +o 2x x 1 x

Rezult˘a c˘a asimptota este y = x, iar graficul funct¸iei este deasupra asimptotei. P 0 (0) P (n) (0) n 8) (i) Urmeaz˘a din scrierea P (x) = P (0) + x + ... + x (dac˘a 1! n! P este de grad n). (ii) Prin induct¸ie dup˘a n: cazul n = 0 este imediat. Acum ipoteza a0 + a1 x + . . . + an xn lim =0 x→0 xn implic˘a a0 = 0 ¸si deci se reduce la n − 1. 1 , unicitatea demonstrat˘a 1 + x2 ˆın exercit¸iul precedent garanteaz˘a c˘a (f 0 )(2n) (0) = (−1)n (2n)!; (f 0 )(2n+1) (0) = 0. Analog, folosind dezvoltarea cunoscut˘a 9) (i) Fie f (x) := arctg x. Deoarece f 0 (x) =

2 − 12

(1 − x )

=1+

∞ X

(−1)n

n=1

(2n − 1)!! n x (2n)!!

, se obt¸ine dezvoltarea arcsin x = x +

∞ X n=2

(−1)n−1

(2n − 3)!! xn (2n − 2)!! n

(ii) Calculul primelor 5 derivate ale funct¸iei tg este destul de complicat. Vom folosi identificarea coeficient¸ilor: sin x = (a + bx3 + cx5 + o(x5 )) cos x se

84

CHAPTER 4. DERIVABILITATE

µ ¶ ¡ ¢ x3 x5 x2 x4 5 3 5 5 5 mai scrie: x − + + o(x ) = a + bx + cx + o(x ) 1 − + + o(x ) 3! 5! 2! 4! adic˘a: µ ¶ ³ a´ 3 b a x3 x5 5 + + o(x ) = ax + b − x + c− + x5 + o(x5 ) x− 3! 5! 2! 2! 4! 1 2 Astfel: a = 1; b = ; c = . 3 15 Observat¸ie. Acest procedeu permite determinarea unei relat¸ii de recurent¸˘a pentru coeficent¸ii funct¸iei tangent˘a. 10) Faptul c˘a (an ) este ¸sirul lui Fibonacci rezult˘a prin identificarea coeficient¸ilor: 1 = (1 − x − x2 )(a0 + a1 x + . . . + an xn + o(xn )). Expresia explicit˘a se obt¸ine prin descompunere ˆın fract¸ii simple: " n µ · ¸ ¶ # X 1 1 1 1 1 1 1 = − = − xk +o(xn ) 1 − x − x2 β−α x−α x−β β − α k=0 β k αk √ √ −1 − 5 −1 + 5 unde α := ; β := sunt r˘ad˘acinile ecuat¸iei 1 − x − x2 = 0. 2 2 11) (i) Se dezvolt˘a (axk + bxn )m dup˘a binomul lui Newton. Se constat˘a c˘a doar primii doi termeni au grad 6 n + (m − 1)k, ceea ce furnizeaz˘a formula propus˘a. (ii) Dou˘a dezvolt˘ari sunt deja cunoscute: arctg xn = xn −

x3n + o(x4n ) 3

x3n + o(x4n ) 6 Pentru celelalte dou˘a dezvolt˘ari necesare, aplic˘am punctul precedent: arcsin xn = xn +

arctg

n

x = xn −

n n+2 x + o(xn+3 ) 3

n n+2 x + o(xn+3 ) 6 Deoarece pentru n > 2 avem 3n > n + 3, rezult˘a c˘a arcsinn x = xn +

n n xn − (xn − xn+2 ) + o(xn+3 ) + o(x) arctg xn − arctg n x 3 3 = = n n arcsin xn − arcsinn x xn − (xn + xn+2 ) + o(xn+3 ) − + o(x) 6 6

4.5. CURS XIII

85

deci limita este −2. 12) ˆIn mod necesar, funct¸ia g este √  sin x   ,x > 0  √ x g(x) :=    1 ,x = 0 Trebuie s˘a justific˘am faptul c˘a aceast˘a funct¸ie este derivabil˘a ˆın 0. Plecˆand de la scrierea: x3 sin x = x − + x4 R(x) 3! unde lim R(x) = 0, obt¸inem x→0

sin de unde:

√

x=

√

√ √ x x x− + x2 R( x) 3!

√ g(x) − g(0) 1 √ = − + x R( x) x 6

¸si deci concluzia. 13) Folosind dezvolt˘arile funct¸iilor arctg ¸si ln, rezult˘a c˘a f (x) = 1 +

x + x R(x) 3

pentru x ∈ (−1, 1), iar lim R(x) = 0. Concluzia urmeaz˘a ca ˆın problema x→0 precedent˘a. Observat¸ie. Se poate ar˘ata c˘a funct¸ia f este indefinit derivabil˘a (¸si) ˆın 0. 15) Din dezvoltarea de ordin 3: µ ¶ 1 1 1 1 f = f (0) + f 0 (0) + 2 f 00 (0) + 3 f 000 (c) n n 2n 6n µ ¶ 1 1 1 1 f − = f (0) − f 0 (0) + 2 f 00 (0) − 3 f 000 (c1 ) n n 2n 6n adic˘a: ¯ µ µ ¶ ¯ µ ¶¶ ¯ ¯ |f 000 (c) − f 000 (c1 )| 0 ¯n f 1 − f − 1 ¯= − 2f (0) ¯ ¯ n n 6n2 ∞ X 1 de unde obt¸inem, folosind faptul c˘a seria este convergent˘a, (iar orice 2 n n=1 serie absolut convergent˘a este convergent˘a cf. ex. 1. 2. 3.).

86

CHAPTER 4. DERIVABILITATE Exemplu. Pentru f (x) = ln(1 + x) se obt¸ine seria ¶ Xµ n+1 n ln −2 n − 1 n>2

16) Pentru fiecare x ∈ (−1, 1), definim funct¸ia g : [0, 1] → R prin g(t) := f (x) − f (t) − (x − t)f 0 (t) −

f 00 (t) f 000 (t) (x − t)2 − (x − t)3 − 2 6

f (4) (t) α f 0 (x) f 00 (t) (x − t)4 − (x − t)5 − x+ x(x − t)+ 24 120 3 3 f 000 (t) f (4) (t) α + x(x − t)2 + x(x − t)3 + x(x − t)4 6 18 72 Avem evident g(x) = 0. Alegem α astfel ˆıncˆat g(0) = 0. Astfel, exist˘a θ ∈ (0, 1) astfel ˆıncˆat g 0 (θx) = 0. Deoarece £ ¤ 1 g 0 (t) = (x − t)3 (3x + t) f (5) (t) − α 72 −

urmeaz˘a c˘a α = f (5) (θx). Concluzia se obt¸ine ˆınlocuind ˆın 0 = g(0). µ ¶ µ ¶ a+b a+b 17) Scriind formula pe fiecare din intervalele a, resp. ,b , 2 ¶ µ ¶2 µ a+b a+b , resp. c2 ∈ , b , astfel ˆıncˆat exist˘a puncte c1 ∈ a, 2 2 µ ¶ a+b (b − a)2 00 f = f (a) + f (c1 ) 2 8 ¶ µ a+b (a − b)2 00 f = f (b) + f (c2 ) 2 8 Prin sc˘aderea celor dou˘a relat¸ii, se obt¸ine inegalitatea propus˘a. 18) Pentru x ∈ (0, +∞) fixat, pentru fiecare h > 0, exist˘a θ ∈ (0, 1) astfel ˆıncˆat h2 00 0 f (x + h) = f (x) + hf (x) + f (x + θh) 2 De aici: f (x + h) − f (x) h 00 f 0 (x) = − f (x + θh) h 2 deci: 2A hB |f 0 (x)| 6 + h 2 r A Scriind aceast˘a inegalitate pentru h := 2 , se obt¸ine rezultatul. B

4.6. CURS XIV

4.6 4.6.1

87

Curs XIV Funct¸ii convexe

ˆIn toate problmele urm˘atoare, I desemneaz˘a un interval deschis din R. 1) S˘a se arate urm˘atoarele caracteriz˘ari pentru ca f : I → R s˘a fie convex˘a: (i) Oricare ar fi x1 < x2 < x3 din I, are loc: f (x3 ) − f (x1 ) f (x3 ) − f (x2 ) f (x2 ) − f (x1 ) 6 6 x2 − x1 x3 − x1 x3 − x2 (ii) Mult¸imea (numit˘a epigraful funct¸iei f ) {(x, y) ∈ R2 | f (x) 6 y} este convex˘a ˆın R2 (o mult¸ime nevid˘a A ⊆ R2 se nume¸ste convex˘a dac˘a, oricare ar fi (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) din A ¸si t ∈ [0, 1], urmeaz˘a c˘a (tx1 + (1 − t)x2 , ty1 + (1 − t)y2 ) ∈ A) . f (x) − f (a) (iii) Funt¸ia g : I\{a} → R definit˘a prin g(x) := este cresc˘atoare x−a pe I \ {a}, pentru fiecare a ∈ I. 2) (i) S˘a se studieze monotonia ¸si s˘a se precizeze extremele unei funct¸ii convexe. S˘a se justifice c˘a orice funct¸ie convex˘a este continu˘a. (ii) S˘a se arate c˘a funct¸ia f : I → R este convex˘a dac˘a ¸si numai dac˘a f este continu˘a ¸si µ ¶ x1 + x 2 f (x1 ) + f (x2 ) f 6 2 2 oricare ar fi x1 , x2 ∈ I. 3) Fie f : I → R o funct¸ie convex˘a. S˘a se arate c˘a f admite derivate la stˆanga ¸si la dreapta ˆın fiecare punct din I. ˆIn plus, dac˘a x1 < x2 ∈ I, atunci: fs0 (x1 ) 6 fd0 (x1 ) 6

f (x2 ) − f (x1 ) 6 fs0 (x2 ) 6 fd0 (x2 ) x2 − x1

S˘a se arate c˘a mult¸imea punctelor ˆın care o funct¸ie convex˘a nu este derivabil˘a, este cel mult num˘arabil˘a. 4) (i) Fie f : I → R o funct¸ie continu˘a, cu derivat˘a la dreapta ˆın fiecare punct din I \ A, A ⊂ I fiind o mult¸ime cel mult num˘arabil˘a.

88

CHAPTER 4. DERIVABILITATE S˘a se arate c˘a dac˘a m 6 fd0 (x) 6 M oricare ar fi x ∈ I \ A, atunci m6

f (x) − f (y) 6M x−y

oricare ar fi x 6= y ∈ I. (ii) Fie f : I → R o funct¸ie continu˘a, cu derivat˘a la dreapta ˆın fiecare punct din I. Dac˘a derivata la dreapta este funct¸ie cresc˘atoare, atunci f este funct¸ie convex˘a. Exercit¸iul urm˘ator prezint˘a cˆateva exemple de funct¸ii convexe, precum ¸si unele metode de a obt¸ine noi funct¸ii convexe. 5) (i) • Funct¸iile liniare f (x) = ax + b sunt singurele funct¸ii cu proprietatea c˘a f ¸si (−f ) sunt simultan convexe. • Funct¸ia ln x este convex˘a pe (0, +∞). • Funct¸ia xa este convex˘a pe (0, +∞), dac˘a a ∈ (−∞, 0) ∪ [1, +∞). • Funct¸ia |x|a este convex˘a pe R, dac˘a a ∈ [1, +∞). 1 • Funct¸ia este convex˘a pe (0, π), dar are limite infinite la capetele sin x intervalului. √ • Funct¸ia − 1 − x2 este convex˘a ¸si continu˘a pe [−1, 1], dar are derivate infinite la capetele intervalului. (ii) • Fie f1 , f2 , . . . , fn : I → R funct¸ii convexe, iar α1 , α2 , . . . , αn > 0. Atunci n X αk fk este convex˘a. funct¸ia k=1

• Fie fα : I → R o familie de funct¸ii convexe. Dac˘a f (x) := sup fα (x) < +∞, pentru fiecare x ∈ I, atunci f este convex˘a pe I.

α

• Fie fn : I → R un ¸sir de funct¸ii convexe. Dac˘a f : I → R este astfel ˆıncˆat fn (x) → f (x) pentru fiecare x ∈ I, atunci f este convex˘a. (iii) Fie J ⊆ R un interval deschis. • Dac˘a f : I → J este convex˘a, iar g : J → R este convex˘a ¸si cresc˘atoare, atunci g ◦ f este convex˘a.

4.6. CURS XIV

89

• Dac˘a f : I → J este strict descresc˘atoare ¸si convex˘a, atunci f −1 este convex˘a. • Dac˘a f : I → (0, +∞) este o funct¸ie cu proprietatea c˘a ln f este convex˘a, atunci f este convex˘a. Cu ajutorul funct¸iilor convexe se pot obt¸ine comod o serie de inegalit˘a¸ti remarcabile: 6) Fie xk , yk numere strict pozitive. (i) S˘a se obt¸in˘a inegalitatea mediilor ponderate:

Ã

n Y

! xykk

1 n X

n X

yk

k=1

k=1

6

k=1 n X

1 Ã

xk yk 6 xkxk yk

n Y

! xxk k yk

n X

xk yk

k=1

k=1

k=1

1 1 + = 1, atunci are loc inegalitatea lui p q !1 à n à n ! 1q n X p p X X xk x k yk 6 ykq

(ii) Dac˘a p > 1 iar q satisface H¨ older:

k=1

4.6.2

k=1

k=1

Demonstrat¸ii

x2 − x1 avem λ ∈ [0, 1] ¸si x2 = λx3 + (1 − λ)x1 . Inegalix3 − x1 tatea propus˘a devine:

1) (i) Notˆand λ :=

f (x2 ) − f (x1 ) f (x3 ) − f (x1 ) f (x3 ) − f (x2 ) 6 6 λ(x3 − x1 ) x3 − x1 (1 − λ)(x3 − x2 ) Dup˘a efectuarea calculelor, fiecare din cele dou˘a inegalit˘a¸ti este echivalent˘a cu: f (x2 ) 6 λf (x3 ) + (1 − λ)f (x1 ). Observat¸ie. Condit¸ia de convexitate se poate scrie echivalent sub forma: ¯ ¯ ¯ 1 x1 f (x1 ) ¯ ¯ ¯ ¯ 1 x2 f (x2 ) ¯ > 0 ¯ ¯ ¯ 1 x3 f (x3 ) ¯ semnificat¸ia geometric˘a fiind c˘a triunghiul A1 A2 A3 (unde Ak (xk , f (xk )), k = 1, 2, 3) este parcurs ˆın sens direct.

90

CHAPTER 4. DERIVABILITATE

(ii) Dac˘a f este convex˘a, iar (x1 , y1 ), (x2 , y2 ) apart¸in epigrafului funct¸iei, atunci f (λx1 + (1 − λ)x2 ) 6 λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ) 6 λy1 + (1 − λ)y2 Reciproc, dac˘a epigraful funct¸iei f este convex, atunci, odat˘a cu punctele (x1 , f (x1 )) ¸si (x2 , f (x2 )) cont¸ine ¸si punctul (λx1 + (1 − λ)x2 , λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 )), ceea ce arat˘a c˘a funct¸ia f este convex˘a. (iii) ˆIn oricare din cele trei cazuri posibile: x1 < x2 < a; x1 < a < x2 ; f (x1 ) − f (a) f (x2 ) − f (a) a < x1 < x2 , inegalitatea 6 este verificat˘a. x1 − a x2 − a 2) Notˆand I := (a, b) ¸si considerˆand a < x1 < x2 < x3 < x4 < b, deducem c˘a au loc inegalit˘a¸tile: f (x2 ) − f (x1 ) f (x3 ) − f (x2 ) f (x4 ) − f (x3 ) 6 6 x2 − x1 x3 − x2 x4 − x3 Presupunˆand c˘a f (x1 ) 6 f (x2 ), rezult˘a c˘a f este cresc˘atoare pe intervalul (x2 , b). Deci exist˘a un interval maximal (β, b) (care poate fi ¸si vid, cˆand f este descresc˘atoare pe I), astfel ˆıncˆat f s˘a fie cresc˘atoare pe (β, b). Analog, dac˘a f (x3 ) > f (x4 ), atunci f este descresc˘atoare pe (a, x3 ). Din nou, exist˘a un interval maximal (a, α), astfel ˆıncˆat f s˘a fie descresc˘atoare pe (a, α). A¸sadar, pot exista urm˘atoarele situat¸ii: • f este strict cresc˘atoare pe I; • f este strict descresc˘atoare pe I; • I = (a, α) ∪ [α, β] ∪ (β, b), iar f este: strict descresc˘atoare pe (a, α); constant˘a pe [α, β] ¸si strict cresc˘atoare pe (β, b). Corespunz˘ator, urmeaz˘a c˘a o funct¸ie convex˘a (neconstant˘a) nu admite maxime pe I, dar poate admite un minim (absolut). Datorit˘a acestei situat¸ii, deducem c˘a o funct¸ie convex˘a ar putea avea doar discontinuit˘a¸ti de prima specie. ˆIns˘a existent¸a limitelor laterale diferite ˆıntr– un punct conduce imediat la contradict¸ie cu convexitatea funct¸iei. Deci orice funct¸ie convex˘a este continu˘a pe intervalul deschis I. Observat¸ie. Datorit˘a monotoniei, exist˘a limite ˆın capetele intervalului I. Aceste limite pot fi infinite. De asemeni, atribuind ˆın capete valori mai mari decˆat aceste limite, se obt¸ine o funct¸ie care este convex˘a pe intervalul ˆınchis, dar nu este continu˘a ˆın capete. A se vedea exemple ˆın ex. 5. Trecem la a doua caracterizare. Necesitatea ¸iei fiind evident˘a, s˘a µ condit ¶ x 1 + x2 f (x1 ) + f (x2 ) presupunem c˘a funct¸ia continu˘a f verific˘a f . 6 2 2

4.6. CURS XIV

91

Pentru x1 , x2 ∈ I fixat¸i, consider˘am mult¸imea A := {λ ∈ [0, 1]| f (λx1 + (1 − λ)x2 ) 6 λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 )} 1 ∈ A. Folosind ˆınc˘a odat˘a ipoteza, de2 λ1 + λ2 ducem c˘a dac˘a λ1 , λ2 ∈ A, atunci ∈ A. Prin induct¸ie, se arat˘a c˘a 2 n X ak orice num˘ar de forma cu ak ∈ {0, 1} apart¸ine mult¸imii A. Deoarece k 2 k=1 f este continu˘a, rezult˘a c˘a mult¸imea A cont¸ine, odat˘a cu orice ¸sir convergent ¸si limita acestuia (este ˆınchis˘a). Scrierea ˆın baza 2 garanteaz˘a acum c˘a A = [0, 1]. Evident 0, 1 ∈ A iar prin ipotez˘a

Alt˘ a solut¸ie. Pentru x1 < x2 ∈ I fixat¸i, consider˘am mult¸imea ¾ ½ x2 f (x1 ) − x1 f (x2 ) f (x2 ) − f (x1 ) x+ A := x ∈ (x1 , x2 )|f (x) > x2 − x1 x2 − x1 Presupunerea c˘a aceast˘a mult¸ime ar fi nevid˘a, ˆımpreun˘a cu continuitatea funct¸iei f , arat˘a existent¸a unui interval deschis, nevid (α, β), inclus ˆın A. Ar avea loc µ ¶ α+β f (x2 ) − f (x1 ) α + β x2 f (x1 ) − x1 f (x2 ) f (α) + f (β) f > + > 2 x2 − x1 2 x2 − x1 2 ceea ce constituie contradict¸ia c˘autat˘a. Observat¸ie. De fapt, se poate ar˘ata c˘a orice funct¸ie f : I → R care verific˘a proprietatea din enunt¸, nu poate avea decˆat discontinuit˘a¸ti de specia a doua. f (x) − f (x1 ) 3) Funct¸ia x 7→ fiind cresc˘atoare pe I \{x1 }, deducem c˘a exist˘a x − x1 f (x2 ) − f (x1 ) derivatele laterale ˆın x1 ¸si are loc: fs0 (x1 ) 6 fd0 (x1 ) 6 . Analog x2 − x1 se arat˘a ¸si celelalte inegalit˘a¸ti. Pentru a ar˘ata c˘a mult¸imea punctelor ˆın care f nu este derivabil˘a este cel mult num˘arabil˘a, s˘a not˘am, pentru fiecare punct a ∈ I ˆın care f nu este derivabil˘a, intervalul deschis, nevid Ia := (fs0 (a), fd0 (a)). Aceste intervale sunt disjuncte. Deoarece fiecare interval cont¸ine cel put¸in un num˘ar rat¸ional, se obt¸ine concluzia. La acela¸si rezultat se ajunge observˆand c˘a, pentru fiecare n ∈ N, mult¸imea 1 intervalelor de forma Ia care au lungimea mai mare decˆat , este finit˘a. n

92

CHAPTER 4. DERIVABILITATE

Observat¸ie. Dac˘a f este definit˘a ¸si continu˘a pe un interval ˆınchis, atunci exist˘a derivatele laterale ˆın capetele intervalului, putˆand fi eventual −∞ sau +∞: a se vedea exemple ˆın ex. 5. 4) (i) Considerˆand funct¸iile f (x) − mx, respectiv M x − f (x), este de ajuns s˘a ar˘at˘am c˘a fd0 (x) > 0, pentru orice x ∈ I \ A asigur˘a c˘a f este cresc˘atoare pe I. Fie α > 0 fixat ¸si s˘a definim funct¸ia g(x) := f (x) + αx. Pentru fiecare g(x) − g(x0 ) > −α, x0 6∈ A, din ipotez˘a urmeaz˘a c˘a exist˘a δ > 0 astfel ˆıncˆat x − x0 oricare ar fi x ∈ (x0 , x0 + δ). Astfel avem g(x0 ) 6 g(x). Fie atunci x < y ¸si s˘a ar˘at˘am c˘a g(x) 6 g(y). Fie λ 6∈ g(A), λ < g(x). Not˘am E := {t ∈ [x, y]| g(t) > λ}. Notˆand a := sup E, din continuitatea funct¸iei g deducem a ∈ E. Rezult˘a g(a) > λ. Vom ar˘ata c˘a a = y. ˆIn adev˘ar, dac˘a am presupune c˘a a < y, atunci ˆın mod necesar g(a) = λ, altfel continuitatea funct¸iei g ar contrazice definit¸ia lui a. Deoarece λ 6∈ g(A) deducem c˘a a 6∈ A. Din cele demonstrate, vom avea g(a) 6 g(z), oricare ar fi z ∈ (a, a + δ), ceea ce din nou contrazice definit¸ia lui a. R˘amˆane c˘a a = y, adic˘a g(y) > λ. Deoarece putem alege un ¸sir cresc˘ator λn , astfel ˆıncˆat λn → g(x) ¸si λn 6∈ g(A), obt¸inem din cele de mai sus c˘a g(y) > g(x). Adic˘a f (y) − f (x) > α(x − y). Cum α a fost oarecare, urmeaz˘a c˘a f este cresc˘atoare. (ii) Folosind punctul precedent, din x1 < x2 < x3 rezult˘a fd0 (x1 ) 6 fd0 (x2 ) 6 fd0 (x3 ) ¸si deci: fd0 (x1 ) 6

f (x2 ) − f (x1 ) f (x3 ) − f (x2 ) 6 fd0 (x2 ) 6 6 fd0 (x3 ) x2 − x1 x3 − x2

ceea ce demonstreaz˘a convexitatea funct¸iei f . Observat¸ie. Dac˘a f se presupune derivabil˘a pe I, avˆand derivata cresc˘atoare, concluzia se obt¸ine pe baza teoremei uzuale de medie. De fapt, s–a ar˘atat mai mult, ¸si anume c˘a, dac˘a f are doar derivat˘a la dreapta pe I, cu except¸ia unei mult¸imi cel mult num˘arabile, iar aceast˘a derivat˘a este cresc˘atoare, atunci f este convex˘a. 5) (i) Dac˘a f ¸si (−f ) sunt presupuse convexe, atunci f (λx1 + (1 − λ)x2 ) = λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 ), oricare ar fi x1 , x2 ∈ I ¸si λ ∈ [0, 1]. De aici rezult˘a imediat forma f (x) = ax + b. Restul afirmat¸iilor sunt verific˘ari directe, folosind caracterizarea convexit˘a¸tii cu derivata (eventual la dreapta). (ii) Simple verific˘ari, folosind eventual caracterizarea convexit˘a¸tii cu ajutorul epigrafului.

4.6. CURS XIV

93

(iii) Prima afirmat¸ie rezult˘a din scrierea: (g ◦f )(λx1 +(1−λ)x2 ) = g [f (λx1 + (1 − λ)x2 )] 6 g(λf (x1 )+(1−λ)f (x2 )) 6 6 λ(g ◦ f )(x1 ) + (1 − λ)(g ◦ f )(x2 ) Dac˘a funct¸ia f este descresc˘atoare, atunci pentru orice y1 , y2 ∈ J se poate scrie f −1 (λy1 +(1−λ)y2 ) = f −1 [λf (x1 ) + (1 − λ)f (x2 )] 6 f −1 [f (λx1 + (1 − λ)x2 )] = = λx1 + (1 − λ)x2 = λf −1 (y1 ) + (1 − λ)f −1 (y2 ) unde x1 , x2 ∈ I sunt punctele pentru care f (x1 ) = y1 ¸si f (x2 ) = y2 . Dac˘a funct¸ia f este cresc˘atoare, atunci funct¸ia (−f )−1 rezult˘a convex˘a. x1 + x2 ex1 + ex2 ˆIn sfˆar¸sit, s˘a observ˘am c˘a, pe baza inegalit˘a¸tii mediilor avem e 2 , 6 2 deci funct¸ia exponent¸ial˘a este convex˘a. Scriind f = eln f , din cele de mai sus deducem c˘a f este convex˘a dac˘a se presupune c˘a ln f este convex˘a. 6) Dac˘a f este funct¸ie convex˘a, iar ak , bk sunt numere strict pozitive, atunci se obt¸ine prin induct¸ie 

n X



ak bk    k=1  6 f n  X    ak k=1

n X

ak f (bk )

k=1 n X

ak

k=1

(i) Consider˘am funct¸ia convex˘a f (x) := xp (p > 1). Inegalitatea precedent˘a devine: à n !p à n !p−1 à n ! X X X p 6 ak bk ak ak bk k=1

ˆInlocuind ak = y q ¸si bk = k

k=1

k=1

xk se obt¸ine inegalitatea propus˘a. 1 p−1

yk (ii) Analog, considerˆand pe rˆand funct¸iile convexe f (x) := − ln x, respectiv f (x) := x ln x, se obt¸in cele dou˘a inegalit˘a¸ti.

94

4.7

CHAPTER 4. DERIVABILITATE

Derivabilitate pentru ¸siruri de funct¸ii.

Teorema Fie f : [a, b] → R un ¸sir de funct¸ii continue, derivabile pe (a, b). Presupunem c˘a fn0 este uniform convergent pe [a, b] la o funct¸ie g; ¸si exist˘a x0 ∈ (a, b) astfel ˆıncˆat (fn (x0 )) este convergent. Atunci: (i) (fn ) este uniform convergent pe [a, b] la o funct¸ie f ; (ii) f este derivabil˘a pe (a, b) iar f 0 = g. Demonstrat¸ie. (i) se poate accepta ca ipotez˘a. Vom ar˘ata c˘a (fn ) este ¸sir Cauchy uniform pe [a, b]. Folosim inegalitatea: |fn (x) − fm (x)| 6 |fn (x) − fn (x0 ) − (fm (x) − fm (x0 ))| + |fn (x0 ) − fm (x0 )| Pentru primul termen, folosim teorema lui Lagrange, aplicat˘a funct¸iei fn −fm : 0 |fn (x) − fn (x0 ) − (fm (x) − fm (x0 ))| 6 (b − a)|fn0 (c) − fm (c)|

(ii) Fie x ∈ (a, b) un punct fixat, ˆın care dorim s˘a demonstr˘am derivabilitatea funct¸iei f . Folosim inegalitatea: ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ f (x + h) − f (x) ¯ ¯ f (x + h) − f (x) fm (x + h) − fm (x) ¯ ¯ ¯+ − g(x)¯¯ 6 ¯¯ − ¯ ¯ h h h ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ ¯ fm (x + h) − fm (x) fn (x + h) − fn (x) ¯ ¯ fn (x + h) − fn (x) 0 ¯+¯ − − fn (x)¯¯ + + ¯¯ ¯ ¯ h h h + |fn0 (x) − g(x)| Pentru al doilea termen, folosim teorema lui Lagrange, aplicat˘a funct¸iei fn − fm : ¯ ¯ ¯ fn (x + h) − fn (x) fm (x + h) − fm (x) ¯ 0 ¯ ¯ 6 |fn0 (c) − fm − (c)| ¯ ¯ h h Fix˘am un n pentru care primul ¸si ultimul termen devin mai mici decˆat ε/3. Scriind derivabilitatea funct¸iei fn ˆın x, deducem existent¸a unui δ > 0 pentru care |h| < δ asigur˘a ¯ ¯ ¯ fn (x + h) − fn (x) ¯ ε 0 ¯ ¯< − f (x) n ¯ ¯ 3 h sin nx Contraexemple. 1. S¸irul fn (x) := √ este uniform convergent la 0, n dar ¸sirul derivatelor nu converge ˆın nici un punct.

4.7. DERIVABILITATE PENTRU S¸IRURI DE FUNCT ¸ II.

95

Sau: fn (x) := n1 cos nx este uniform convergent pe R la 0, dar fn0 (x) = − sin nx nu converge, nici m˘acar punctual (except¸ie x = kπ). 2. S¸irul fn (x) := n1 arctg nx este uniform convergent pe R la 0, dar fn0 (x) = 1+n12 x2 converge punctual la funct¸ia g, egal˘a cu 0 peste tot, cu except¸ia g(0) = 1. Teorema nu este aplicabil˘a pe (0, +∞), de¸si concluzia este adev˘arat˘a. 2 2

3. S¸irul fn (x) := e−n x este punctual convergent la 0, peste tot, cu 2 2 except¸ia lui x = 0, cˆand are limita 1. S¸irul derivatelor fn0 (x) = −2n2 xe−n x este punctual convergent la 0, dar nu ¸si uniform. Acest fapt se√ constat˘a 1 n 2 2 2 direct, deoarece fn00 (x) = 2n2 e−n x (2n2 x2 − 1) iar fn0 ( √ ) = − √ . e n 2 1 4. S¸irul fn (x) := ln(1 + n2 x2 ) este punctual convergent la 0 peste tot. 2n nx S¸irul derivatelor fn0 (x) = este punctual convergent la 0, dar nu ¸si 1 + n 2 x2 n(1 − n2 x2 ) uniform. Acest fapt se constat˘a direct, deoarece fn00 (x) = iar (1 + n2 x2 )2 1 1 fn0 ( ) = . n 2 x 5. S¸irul fn (x) := este uniform convergent la 0. Dar ¸sirul (1 + n2 x2 1 − n 2 x2 nu este uniform convergent, avˆand limita derivatelor fn0 (x) = (1 + n2 x2 )2 punctual˘a egal˘a cu 0 peste tot, ˆın afar˘a de 0.

4.7.1

Exercit¸ii.

Un exemplu mai deosebit de utilizare a teoremei lui Fermat: Dac˘a a1 , a2 , . . ., an sunt numere strict pozitive, cu proprietatea c˘a ax1 + x a2 + . . . + axn > n, ∀x ∈ IR, atunci a1 a2 . . . an = 1 Se observ˘a c˘a ipoteza spune exact c˘a funct¸ia f (x) := ax1 + ax2 + . . . + axn prezint˘a un minim (chiar global) ˆın 0, deci f 0 (0) = 0. x Desigur, exist˘a ¸si solut¸ii mai elementare (de ex. folosind limita a x−1 pentru x → 0). 1) S˘a se studieze existent¸a primelor dou˘a derivate ale funct¸iei f : (−1, 1) → R,

½ f (x) =

ln2 (1 − x) , x ∈ (−1, 0) tg2 x , x ∈ [0, 1)

2) S˘a se discute derivabilitatea funct¸iei max(sin x, a + cos x).

96

CHAPTER 4. DERIVABILITATE 3) S˘a se deriveze:

r arcsin

1 − x2 1 + x2

4) S˘a se determine numerele reale a 6 b, astfel ˆıncˆat funct¸ia f : R −→ R definit˘a prin f (x) := x|x − a| + |x − b| s˘a fie derivabil˘a pe R. 5) S˘a studieze derivabilitatea ˆın 0 a funct¸iei f : R −→ R, r x2 3 f (x) := ex − 1 − x − 2 6) (6.13) Fie f : [a, b] → R o funct¸ie continu˘a pe [a, b], derivabil˘a ˆın punctele a ¸si b. S˘a se arate c˘a dac˘a f 0 (a)f 0 (b) < 0, atunci f admite cel put¸in un punct de extrem local ˆın (a, b). 7) Fie f : I → J (I, J intervale deschise) o biject¸ie de dou˘a ori derivabil˘a pe I, cu derivata ˆıntˆaia diferit˘a de 0 pe I. Fie g : J → I inversa lui f . Ar˘atat¸i c˘a g este de dou˘a ori derivabil˘a pe J, iar g 00 (y) = −

f 00 (g(y)) [f 0 (g(y))]3

Ca aplicat¸ie: ex. 6.21 ¸si 6.22 8) Se noteaz˘a cu Pn derivata de ordin n a funct¸iei (x2 − 1)n . Ar˘atat¸i c˘a polinomul Pn are gradul n. Toate r˘ad˘acinile polinomului Pn sunt reale, distincte ¸si situate pe intervalul (−1, 1). 6.5 ca exemplificare la Rolle. 9) S˘a se arate c˘a exist˘a o unic˘a funct¸ie f : [0, +∞) −→ R astfel ˆıncˆat, pentru fiecare x ∈ [0, +∞) s˘a avem f 3 (x) + xf (x) = 1. S˘a se arate c˘a f este f (x) , pentru orice x ∈ [0, +∞). derivabil˘a, iar f 0 (x) = − x + 3f 2 (x) 10) S˘a se demonstreze urm˘atoarele inegalit˘a¸ti: x < arctg x, ∀x ∈ (0, +∞) 1 + x2 x3 π , ∀x ∈ (0, ) 3 2 | sin b − sin a| 6 |b − a|

tg x > x +

b−a b−a π < tg b − tg a < , 06a
4.7. DERIVABILITATE PENTRU S¸IRURI DE FUNCT ¸ II.

97

De asemenea: 6.15; 6.20; 6.7 x2 11) Folosind eventual inegalitatea x − < ln(1 + x) < x, pentru orice 2 x > 0, s˘a se calculeze µ ¶µ ¶ ³ 1 2 n´ lim 1 + 2 1 + 2 ... 1 + 2 n→+∞ n n n 12) Se consider˘a funct¸ia f : (0, 2π) → R, f (x) := arctg S˘a se calculeze f 0 ¸si

sin x . 1 − cos x

lim f (x) x→0 x>0 Concluzie? 13) (i) S˘a se verifice c˘a: arccos

1 − x2 = 2arctg x 1 + x2

pentru x ∈ [0, +∞); (ii) S˘a se verifice c˘a: 2arctg x + arcsin

2x =π 1 + x2

dac˘a x ∈ [1, +∞). S˘a se discute domeniul de definit¸ie ¸si derivabilitatea funct¸iei arcsin

2x . 1 + x2

14) Se consider˘a funct¸ia f : R → R, ½ arctg 1+x , x 6= 1 1−x f (x) = 0 ,x = 1 S˘a se arate c˘a f este derivabil˘a pe (−∞, 1) ∪ (1, +∞); exist˘a lim f 0 (x), dar x→1 funct¸ia f nu este derivabil˘a ˆın 1. Demonstrat¸i urm˘atoarea formul˘a: ½ 1+x arctg x + π4 , x ∈ (−∞, 1) arctg = , x ∈ (1, +∞) arctg x − 3π 1−x 4 15) (i) S˘a se determine intervalele de monotonie ¸si extremele funct¸iei f : [0, +∞) → R, f (x) := ex − xe .

98

CHAPTER 4. DERIVABILITATE

(ii) S˘a se determine intervalele de monotonie ¸si extremele funct¸iei f : R → R, f (x) := 2x − x2 . ¸si 6.10 16) S˘a se discute, ˆın funct¸ie de parametrul a, monotonia funct¸iei f : µ ¶x+a 1 (0, +∞) → R, f (x) := 1 + . x 17) S˘a se determine punctele de extrem ale funct¸iilor: f (x) = 2x6 −x3 +3; g(x) = 2 cos x + x2 . p 18) S˘a se reprezinte grafic funct¸ia f : R → R, f (x) := |x2 − 1| − x. 19) S˘a se reprezinte grafic funct¸ia f : D → R, f (x) := arccos(4x3 − 3x) (D fiind domeniul maxim de definit¸ie). 1 √ 20) S˘a se reprezinte grafic funct¸ia f : D −→ R, f (x) := x + + x2 − x. x 21) S˘a se arate c˘a funct¸ia f : R → R definit˘a prin:  1    e− x2 , x 6= 0 f (x) =    0 ,x = 0 are derivate de orice ordin ¸si f (n) (0) = 0, pentru orice n ∈ N. S˘a se obt¸in˘a un exemplu de funct¸ie ne–identic nul˘ a f : R → R indefinit derivabil˘a, cu proprietatea c˘a f (x) = 0, pentru orice |x| > 1. p 22) S˘a se reprezinte grafic funct¸ia f : D −→ R, f (x) = 1 + (x − 1)ex (D fiind domeniul maxim de definit¸ie). 23) S˘a e calculeze x2

cos x − e− 2 lim x→0 x4 alte aplicat¸ii la l’Hopital: 6.33 25) Fie f : [0, 1] → R o funct¸ie derivabil˘a, cu derivata cresc˘atoare pe [0, 1]. Dac˘a f (0) = f (1) = 0, s˘a se arate c˘a f (x) 6 0, pentru orice x ∈ [0, 1]. probleme de sintez˘a: 6.23 ¸si 6.51 26) S˘a se arate c˘a arctg x =

∞ X (−1)n x2n+1 n=0

2n + 1

, ∀x ∈ [−1, 1)

 √ arctg −x  √ , x ∈ (−1, 0) ∞  X −x xn = 1 √ ,x = 0  2n + 1  √1 ln 1+√ x n=0 , x ∈ (0, 1) 2 x 1− x

4.7. DERIVABILITATE PENTRU S¸IRURI DE FUNCT ¸ II.

99

27) S˘a se studieze convergent¸a ¸si convergent¸a uniform˘a pentru ¸sirurile (fn ) ¸si (fn0 ): 2 2 a) fn (x) := e−n x este punctual convergent la 0, peste tot, cu except¸ia lui 2 2 x = 0, cˆand are limita 1. S¸irul derivatelor fn0 (x) = −2n2 xe−n x este punctual convergent la 0, dar nu ¸si uniform. Acest fapt se√constat˘a direct, deoarece 1 n 2 2 2 fn00 (x) = 2n2 e−n x (2n2 x2 − 1) iar fn0 ( √ ) = − √ . e n 2 1 b) S¸irul fn (x) := ln(1 + n2 x2 ) este punctual convergent la 0 peste tot. 2n nx S¸irul derivatelor fn0 (x) = este punctual convergent la 0, dar nu ¸si 1 + n 2 x2 n(1 − n2 x2 ) uniform. Acest fapt se constat˘a direct, deoarece fn00 (x) = iar (1 + n2 x2 )2 1 1 fn0 ( ) = . n 2 x c) S¸irul fn (x) := este uniform convergent la 0. Dar ¸sirul derivatelor 1 + n 2 x2 1 − n 2 x2 nu este uniform convergent, avˆand limita punctual˘a fn0 (x) = (1 + n2 x2 )2 egal˘a cu 0 peste tot, ˆın afar˘a de 0.

4.7.2

Aplicat¸ii.

Pentru seriile Fourier, deducem o condit¸ie (foarte restrictiv˘a), care garanteaz˘a derivabilitatea termen cu termen: ∞ X dac˘a n (|an | + |bn |) < +∞, atunci funct¸ia n=1

f (x) :=

∞ X

(an cos nx + bn sin nx)

n=0

este bine definit˘a ¸si derivabil˘a pe R, iar 0

f (x) =

∞ X

(bn cos nx − an sin nx)

n=1

ˆIn schimb, pentru seriile de puteri: ∞ X Fie an xn o serie de puteri, avˆand raza de convergent¸˘a R > 0. Atunci n=0

funct¸ia sum˘a f (x) :=

∞ X n=0

an xn este definit˘a ¸si derivabil˘a pe (−R, R), iar

100

CHAPTER 4. DERIVABILITATE

0

f (x) =

∞ X

(n + 1)an+1 xn , ∀x ∈ (−R, R).

n=0

f (n) (0) ˆ Deci f este ˆın realitate indefinit derivabil˘a, iar an = . In particular. n! ∞ ∞ X X dac˘a a n xn = bn xn , ∀x ∈ (−R, R), atunci an = bn , ∀n > 0. n=0

n=0

Invers, fie f (x) =

∞ X

an xn , ∀x ∈ (−R, R). Fie F o funct¸ie derivabil˘a pe

n=0

(−R, R), cu F 0 = f . Atunci ∞ X an n+1 F (x) = F (0) + x n+1 n=0

. ˆIn adev˘ar, seria din membrul doi este convergent˘a pe (−R, R), iar seria derivatelor este uniform convergent˘a la f pe fiecare interval [−r, r], 0 < r < R.

4.7.3

Cˆ ateva dezvolt˘ ari remarcabile.

(i) Fie f (x) :=

∞ X xn n=0

n!

f este bine definit˘a pe R ¸si are derivate de orice ordin. ˆIn particular f 0 (x) = f (x). Considerˆand funct¸ia g(x) := f (x)e−x , g˘asim g 0 (x) = 0, ∀x ∈ R. Astfel, f (x) = Cex , iar din f (0) = 1 urmeaz˘a x

e =

∞ X xn n=0

n!

, ∀x ∈ R

(ii) Dezvolt˘arile: sin x =

∞ X x2n+1 ; (−1)n (2n + 1)! n=0

cos x =

∞ X x2n (−1)n , ∀x ∈ R (2n)! n=0

au fost obt¸inute din dezvoltarea limitat˘a, rest Lagrange. (iii) Fie f (x) :=

∞ X xn+1 (−1)n n+1 n=0

4.7. DERIVABILITATE PENTRU S¸IRURI DE FUNCT ¸ II. f este bine definit˘a ¸si derivabil˘a pe 9 − 1, 1], iar f 0 (x) =

101

1 . Deducem 1+x

∞ n+1 X n x ln(1 + x) = (−1) , ∀x ∈ (−1, 1] n+1 n=0

(iv) Cu ceva mai mult efort, se verific˘a: α

(1 + x) = 1 +

∞ X α.(α − 1) . . . (α − n + 1)

n!

n=1

.xn , ∀x ∈ (−1, 1)

(pentru fiecare α ∈ R). Notˆand cu f suma seriei, deducem c˘a f este bine definit˘a ¸si derivabil˘a pe 9 − 1, 1). Prin calcul se verific˘a identitatea (1 + x)f 0 (x) = αf (x). Aceast˘a relat¸ie arat˘a c˘a funct¸ia f (x)(1 + x)−α este o constant˘a pe (−1, 1), de unde afirmat¸ia. Semnal˘am urm˘atoarele cazuri particulare importante: * dac˘a α este num˘ar natural, atunci se obt¸ine binomul lui Newton (dezvoltarea fiind valabil˘a pentru orice x ∈ R); * dac˘a α este ˆıntreg negativ, atunci: ∞

X 1 k (−1)k Cn+k−1 .xk = n (1 + x) k=0 * ˆIn sfˆar¸sit, pentru α = 1/2, respectiv α = −1/2, au loc dezvolt˘arile: (1 + x)1/2 = 1 +

∞ X (2n − 3)!! n (−1)n x (2n)!! n=1

(1 + x)−1/2 = 1 +

∞ X (2n − 1)!! n (−1)n x (2n)!! n=1

102

CHAPTER 4. DERIVABILITATE

Bibliography [1] A. Croitoru, M. Durea, C. V˘aideanu: Analiza Matematica. Probleme, Ed. Tehnopress, Ia¸si, 2005 [2] Meghea Bazele Analizei Matematice [3] M. Nicolescu, S. Marcus, N. Dinculeanu: Analiza Matematica, vol. I, Ed. did. ¸si ped. Bucure¸sti, 1980 [4] Gheorghi Evghenevici cSilov: Analiza matematica (Funct¸ii de o variabil˘a), Ed. ¸st. ¸si Enc. Bucure¸sti 1985 (ed. 1970) [5] G. M. Fihtenholt¸ [6] Lewin (incl. CD pt. Sci. Work Place) [7] Gelbaum, Olmsted Contraexemple ˆın analiza [8] Gh. Siret¸chi [9] L. Aram˘a, T. Morozan: Probleme de calcul diferential si integral, Ed. Tehnic˘a, Bucure¸sti, 1978 [10] Demidovici [11] M. Nicolescu: Analiz˘a Matematic˘a (vol. I)

103