13engcontii-observador

ENGENHARIA DE CONTROLE II IV. SISTEMAS DIGITAIS NO ESPAÇO DE ESTADOS IV 4 OBSERVADOR DE ESTADOS IV.4. Engenharia de Controle e Automação Prof. André Ferreira

ESTIMAÇÃO DE ESTADOS 





A medição do vetor de estados completo é muitas das vezes impossível ou inviável economicamente. economicamente Para implementar um controle usando realimentação de estados, uma estimativa do vetor de estados pode ser utilizada. O vetor de estados pode ser estimado a partir de sinais de entrada e saída do sistema, utilizandose um estimador de estados,também conhecido como observador de estados.

2

OBSERVADOR DE ORDEM COMPLETA 





Para estimar todos os estados de um sistema, uma possibilidade seria usar as mesmas equações de estado da planta a ser observada. observada Usando o sistema em malha aberta, aberta tem tem-se: se:

Este estimador de malha aberta presume um perfeito conhecimento da dinâmica do sistema e não possui realimentação para corrigir os erros inevitáveis que ocorrem em q qualquer q implementação. p ç 3

OBSERVADOR DE ORDEM COMPLETA 

As limitações desse tipo de observador ficam claras quando se calcula o erro de estimação:

1) O erro de estimação depende da matriz de estados do sistema e não pode ser escolhido arbitrariamente;  2) Para um sistema instável, o observador também será instável, sendo incapaz de rastrear os estados do sistema. 

4

OBSERVADOR DE ORDEM COMPLETA 





Uma alternativa U lt ti prática áti é realimentar li t a diferença entre a saída medida e a saída estimada, es a a, como co o mostrado os a o abaixo a a o (o (observador se va o de e Luenberger):

Desta forma, a dinâmica do erro de estimação é d d por: dada

Assim, a dinâmica do erro de estimação depende q é dos autovalores da matriz do observador,, que dada por:

5

OBSERVADOR DE ORDEM COMPLETA 

Diagrama de blocos do observador de ordem completa:

-

6

OBSERVADOR DE ORDEM COMPLETA



Pode-se mostrar que os autovalores da matriz transposta possui os mesmos autovalores da matriz do observador. b d

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ESTIMAÇÃO DE ESTADOS



Definição: 

Se o par (A,C) é observável, então existe uma matriz de ganho de realimentação L que posiciona arbitrariamente os pólos do observador em qualquer conjunto {i, i=1, 2, ..., n}.



Se o par (A,C) for apenas detectável, então todos os modos d observáveis b á i podem d ser alocados l d arbitrariamente. 8

ESTIMAÇÃO DE ESTADOS 

OBS.: 

1) O par (A,C) é observável (detectável) se, e somente se, o par (AT,CT) for controlável (estabilizável).



2)) Pode-se utilizar o MATLAB p para resolver o problema da alocação de pólos do observador usando:

9

EXEMPLO 



Determinado sistema discreto (T = 0,01s) é representado pelas seguintes matrizes de estado:

Calcule a matriz de ganhos L, para que os pólos do observador estejam localizados em

10

EXEMPLO  Solução: S l ã >> A=[1 0.1 0;0 0.9995 0.0095;0 -0.0947 0.8954] A = 1.0000 0.1000 0 0 0.9995 0.0095 0 -0 0947 -0.0947 0 0.8954 8954 >> B=[1.622e-6 4.821e-4 9.468e-2]' B = 0.0000 0.0005 0.0947 >> C=[1 0 0] C = 1 0 0 >> pdes=[0.1 0.2+j*0.2 0.2-j*0.2] pdes = 0.1000 0.2000 + 0.2000i 0.2000 - 0.2000i

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EXEMPLO >> L=place(A',C',pdes)' L = 2.3949 18.6734 436.2063

>> eig(A-L*C) i (A L*C) ans = 0.1000 0.2000 + 0.2000i 0.2000 - 0.2000i 12

OBSERVADOR DE ORDEM COMPLETA 

O observador que utiliza a expressão é chamado de observador preditor (prediction observer). 



Vetor V t d de estados t d estimados ti d ((e ações õ d de controle t l associadas) em determinado instante de amostragem não dependem do valor de medida atual da saída do sistema.

Um outro tipo p de observador,, chamado de ffiltering g observer, estima o vetor de estados utilizando o valor da saída atual do sistema (supondo que o tempo de processamento é d desprezível). í l)

13

OBSERVADOR DE ORDEM COMPLETA 





Desta forma:

A dinâmica do erro de estimação neste caso é dada por: Comparando os dois tipos de observadores, observadores pode podese concluir que para o filtering observer a matriz Cp passa a ser substituída p pelo p produto CA. 

Nova matriz de observabilidade: 14

OBSERVADOR DE ORDEM COMPLETA 





Se o par (A,C) S (A C) é observável, b á l o par (A (A,CA) CA) também t bé será observável, exceto quando a matriz A possuir a poss autovalores ova o es nulos. os. Neste caso,, o par p ((A,CA) , ) será detectável,, porque p q os autovalores nulos estão associados com modos estáveis. Além disto, autovalores nulos estão associados com os modos mais rápidos: 

Projeto do observador pode ser feito escolhendo-se uma matriz L que forneça valores adequados para os autovalores restantes de (ALCA). (A LCA)

15

EXEMPLO 



Para o exemplo P l anterior, t i d determine t i o valor l da d matriz de ganhos do filtering observer.

Solução: 

Usando a mesma localização dos pólos definida anteriormente:

>> L=place(A',(C*A)',pdes)' L = 0.9911 14.0383 488.6483

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OBSERVADOR DE ORDEM REDUZIDA 

Observador de ordem completa: 



Para um sistema de ordem n e com l saídas (que são funções lineares dos estados), porque estimar n variáveis? 



O vetor de estados é estimado a partir das entradas e saídas do sistema. sistema

É possível estimar nl variáveis e a partir dessas estimativas reconstruir o vetor de estados completo.

Desta forma, para sistemas SISO o observador de ordem d reduzida d id tterá á ordem d n1. 1

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OBSERVADOR DE ORDEM REDUZIDA 

Suposições: 

Matriz de entrada B e matriz de saída C possuem rank completo. completo

Desta forma, os elementos do vetor de saída y são linearmente independentes, formando um vetor de comprimento l, deixando nl variáveis a serem determinadas.  Fazendo: 

onde M é uma matriz (nl) x n de rank completo, cujas linhas são linearmente independentes de C, e z é o estado parcial desconhecido.

18

OBSERVADOR DE ORDEM REDUZIDA 

As matrizes em espaço de estados para as variáveis de estado transformadas são:

19

OBSERVADOR DE ORDEM REDUZIDA 





A equação ã d de estados t d para o estado t d parcial i l desconhecido é: Define-se também a variável de saída: A dinâmica do observador, já incluindo o erro no cálculo de yz é assumida como sendo linear e invariante no tempo, sendo dada por:

onde representa o valor estimado para o vetor de estados parcial z.

20

OBSERVADOR DE ORDEM REDUZIDA 



Para evitar ter que usar o termo y(k+1), estimase a seguinte variável: Desta maneira, obtém-se o observador de ordem reduzida:

onde:

21

OBSERVADOR DE ORDEM REDUZIDA 

Diagrama de blocos do observador de ordem reduzida:

22

OBSERVADOR DE ORDEM REDUZIDA 

A dinâmica do observador de ordem reduzida depende da matriz Ao, cujos autovalores devem: 1) E Estar t d dentro t d do círculo; í l  2) Ser suficientemente rápidos, para rastrear os estados do sistema observado. 



O projeto p oje o doo observador o se va o dee ordem o e reduzida e a depende basicamente da matriz L, já que a partir desta matriz todas as outras matrizes necessárias podem ser obtidas. 23

OBSERVADOR DE ORDEM REDUZIDA 

Assim, o vetor de estados através de:

pode ser calculado

lembrando que:

24

OBSERVADOR DE ORDEM REDUZIDA 





OBS.: 1) Fazendo , pode-se mostrar que os pólos de podem ser alocados arbitrariamente desde que o par seja controlável ou ou, na forma dual, que o par seja observável. 2) Pode-se demonstrar que para o par observável o par (A,C) observável, (A C) também deve ser observável.

ser

25

EXEMPLO 



Para o sistema descrito nos exemplos anteriores, projetar um observador de ordem reduzida.

Solução: 

Ver arquivo “10proj_observador_ordem_reduzida.m”

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PROJETO DO REGULADOR: COMBINAÇÃO DA REALIMENTAÇÃO DE ESTADOS COM O ESTIMADOR DE ESTADOS

PLANTA

OBSERVADOR 27 REALIMENTAÇÃO DE ESTADOS

REALIMENTAÇÃO Ç DE ESTADOS DO OBSERVADOR 

Caso o vetor C t de d estados t d não ã esteja t j di disponível í l para ser realimentado, pode-se utilizar os estados estimados gerando a seguinte ação de controle:



Substituindo em:



Obtém-se:



Reescrevendo na forma do erro de estimação

: 28

REALIMENTAÇÃO Ç DE ESTADOS DO OBSERVADOR 



Lembrando que para um observador ordem completa é válida a relação:

A i tem-se que: Assim,

Polinômio característico:

29

PRINCÍPIO DA SEPARAÇÃO 

Os autovalores do sistema em malha fechada do sistema i t podem d ser escolhidos lhid de d forma f completamente independente dos autovalores do observador. observador 

Controlador e observador são projetados separadamente e utilizados em conjunto!

30

ESCOLHA DOS AUTOVALORES DO OBSERVADOR 





A escolha lh dos d pólos ól d do observador b d não ã se b baseia i nas restrições para a ação de controle que existe na escolha dos pólos do controlador. Pólos do Controlador  devem atender às especificações de desempenho desejadas. desejadas Pólos do Observador  como uma regra empírica, devem ser de 3 a 10 vezes mais rápidos que os pólos do controlador. 

Na prática, prática deve-se deve se tomar cuidado para não escolher pólos extremamente rápidos, pois assim o observador irá estimar os ruídos de medição, ao invés dos estados do sistema. 

Evitar projetar um observador deadbeat!

31

EXEMPLO 

Para o sistema descrito nos exemplos anteriores, fazer uma realimentação de estados usando um observador de ordem completa, completa de tal forma que: Pólos do sistema em MF:  Estado inicial do sistema: x(0) = [1 1 1]T  Estado inicial do observador: [[0 0 0]]T. 

32

EXEMPLO 

S l Solução:

% Sistema dicreto no espaço de estados A=[1 0.1 0;0 0.9995 0.0095;0 -0.0947 0.8954]; B=[1.622e-6 4.821e-4 9.468e-2]'; C=[1 0 0]; D=0; Ts=0.01; % período de amostragem n=max(size(A)); % ordem do sistema % Pólos desejados para o sistema em MF pdes_c=[0.6 0.4+j*0.33 0.4-j*0.33]; % Pólos desejados para o observador pdes_o=[0.1 0.1+j*0.1 0.1-j*0.1];

33

EXEMPLO % Matriz M t i de d ganhos h para realimentação li t ã de d estados t d K=place(A,B,pdes_c) K = 1.0e+003 * 1.9745

0.8974

0.0112

% Matriz de ganhos do observador L=place(A',C',pdes p p _o)' L = 2 5949 2.5949 21.6632 535.7182 34

EXEMPLO % Sistema Controlador + Observador AA=[A-B*K B*K;zeros(n) A-L*C]; BB=[B;zeros(n,1)]; CC=[C zeros(1,n)]; DD=0;

35

sys=ss(AA,BB,CC,DD,Ts) a = x1

x2

x3

x4

x5

x6

x1

0.9968

0.09854

-1.814e-005

0.003203

0.001456

1.814e-005

x2

-0.9519

0.5669

0.004107

0.9519

0.4326

0.005393

x3 3

-186.9 186 9

-85.06 85 06

-0.1637 0 1637

186 186.9 9

84 84.96 96

1 1.059 059

x4

0

0

0

-1.595

0.1

0

x5

0

0

0

-21.66

0.9995

0.0095

x6

0

0

0

-535.7

-0.0947

0.8954

b = u1 x1

1.622e-006

x2 2

0 0.0004821 0004821

x3

0.09468

x4

0

x5

0

x6

0

c = y1 1

x1

x2

x3

x4

x5

x6

1

0

0

0

0

0

d = u1 y1

0

Sampling time: 0.01 Discrete-time model.

36

EXEMPLO % Estado E t d i inicial i i l d do sistema i t x0=[1 1 1]'; % Estado inicial do observador x0o=[0 0 0]'; % Estado inicial total xx0=[x0;x0-x0o] % Estado e erro de estimação xx0 = 1 1 1 1 1 1

37

EXEMPLO

2

2

1

1

x1(k) e e1(k) x

Saída

Resposta livre ao estado inicial:

0 -1 1 -2

0

0.05 0.1 0.15 Tempo (s)

-1 1

10

4000

0

2000

-10 -20 -30

x2(k1) e2(k) 0

0.05 0.1 0.15 Tempo p ((s))

0.2

x1(k1) 1(k1) e1(k)

0

-2

0.2

x3(k k) e e3(k)

x2(k k) e e2(k)



0

0.05 0.1 0.15 Tempo (s)

0.2

x3(k1) e3(k)

0 -2000 -4000

0

0.05 0.1 0.15 Tempo p ((s))

0.2

38

EXEMPLO 

R t Rastreamento t d da referência: f ê i

% Matriz de ganho de referência F=inv(C*inv(eye(max(size(A)))-(A-B*K))*B) i i i BBr=[B*F;zeros(n,1)] F = 1.9745e+003

BBr = 0.0032 0.95 9 0.9519 186.9473 0 0 0

39

% Sistema em malha fechada sysmf=ss(AA,BBr,CC,DD,Ts) a = x1

x2

x3

x4

x5

x6

x1

0.9968

0.09854

-1.814e-005

0.003203

0.001456

1.814e-005

x2

-0.9519 0.9519

0.5669

0.004107

0.9519

0.4326

0.005393

x3

-186.9

-85.06

-0.1637

186.9

84.96

1.059

x4

0

0

0

-1.595

0.1

0

x5

0

0

0

-21.66

0.9995

0.0095

x6

0

0

0

-535.7

-0.0947

0.8954

b = u1 x1

0.003 03 0.003203

x2

0.9519

x3

186.9

x4

0

x5

0

x6

0

c = y1

x1

x2

x3

x4

x5

x6

1

0

0

0

0

0

d = u1 y1

0

Sampling time: 0.01 Discrete-time model.

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EXEMPLO Resposta ao degrau: Step Response

1 0.9 0.8 0.7 0.6 Amp plitude



0.5 0.4 0.3 02 0.2 0.1 0

0

0.05

0.1

0.15 Ti Time ((sec))

0.2

0.25

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ASSUNTOS COMPLEMENTARES 

1) Invariância dos zeros do sistema: 



Uma limitação da realimentação de estados é a incapacidade desse tipo de controle em modificar os zeros do sistema em malha aberta, o que pode afetar significativamente a resposta do sistema em malha f h d (Cf fechada (Cf. Fadali, F d li capítulo í l 9, seção 9.4, p.353). )

2) Al Alocação ã de d pólos ól usando d ffunção ã de d transferência: Envolve a resolução de uma equação diofantina;  Método bastante utilizado para projetar controlador a partir de modelos paramétricos de sistemas reais. 



(Cf. Fadali, capítulo 9, seção 9.7, p.370).

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