1357

88 de exercit¸ii simple ¸si dificile – Analiz˘a matematic˘a October 5, 2005

Exercit¸iu 1. Demonstrat¸i c˘a pentru o funct¸ie f : A → B avem f −1 ( ∪ Bi ) = ∪ f −1 (Bi ) i∈I

i∈I

f −1 ( ∩ Bi ) = ∩ f −1 (Bi ) i∈I

f

−1

i∈I

(C Bi ) = C f −1 (Bi )

pentru orice familie de mult¸imi (Bi )i∈I din B. Exercit¸iu 2. (a) Fie (An )n∈N un ¸sir de mult¸imi. Definim lim sup An = ∩

∪ Am

lim inf An = ∪

∩ Am

n∈N

n∈N

n∈N m≥n

n∈N m≥n

Ar˘atat¸i c˘a lim sup An = {x| x apart¸ine unui num˘ar infinit de mult¸imi An } lim inf An = {x| exist˘a nx astfel ˆıncˆat pentru n ≥ nx , x ∈ An }

(b) Fie (xn )n∈N un ¸sir de numere reale ¸si pentru ε > 0 definim Bn (ε) = {x| |x − xn | ≤ ε} ¸si B(ε) = limsup Bn (ε). Caracterizat¸i mult¸imea B = ∩ B(ε). Acela¸si lucru pentru C(ε) = liminfBn (ε)n ¸si C = ∩ C(ε). ε>0

ε>0

Exercit¸iu 3. Ar˘atat¸i c˘a dac˘a P(X) este mult¸imea p˘art¸ilor mult¸imii X atunci (P(X), ∆, ∩) este un inel comutativ. Exercit¸iu 3. Ar˘atat¸i c˘a corpul numerelor rat¸ionale nu satisface axioma marginii superioare. Indicat¸ie: Considerat¸i A = {x ∈ Q| 1 ≤ x2 ≤ 2}. Exercit¸iu 4. Demonstrat¸i c˘a pentru un ¸sir de numere reale strict pozitive (xn )n∈N avem lim inf n→∞

xn+1 xn+1 ≤ lim inf (xn )1/n ≤ lim sup(xn )1/n ≤ lim sup n→∞ xn xn n→∞ n→∞ xn+1 n→∞ xn

Deducet¸i de aici corolarul teoremei lui Stolz: dac˘a exist˘a lim 1/n

fiind egal˘a cu l atunci ¸si lim xn n→∞

exist˘a

exist˘a ¸si e l.

Exercit¸iu 5. Ar˘atat¸i c˘a 0 < e − (1 +

1 n 3 ) < n n

pentru n ≥ 1. Indicat¸ie: Ar˘atat¸i c˘a ¸sirul (1 + n1 )n+1 este descresc˘ator cu limita e. Exercit¸iu 6∗ . Fie sn = 1 + lim sn − ln n). Ar˘atat¸i c˘a

1 2

+ ··· +

1 n

¸si γ constanta lui Euler (γ =

γ < sp + sq − spq ≤ 1, pentru p, q ≥ 1 Exercit¸iu 7∗ . Pentru un ¸sir de numere strict pozitive (xn )n∈N avem   1 + xn+1 lim sup ≥e xn n→∞ in h
n n(1+xn+1 ≥ e. Indicat¸ie: Cum e = lim n+1 , relat ¸ ia dat˘ a se scrie limsup n (n+1)xn

1 n+1 Prin reducere la absurd se ajunge la xnn − xn+1 > n+1 pentru n suficient de mare, ceea ce contrazice divergent¸a seriei armonice.

Exercit¸iu 8. Fie ¸sirul (xn (a) = xn )n∈N definit prin x1 = a ¸si xn+1 =  n 1 1 + xn . Studiat¸i numeric comportarea acestui ¸sir pentru diverse valori a ∈ (0, 2]. Ce observat¸i? Putet¸i demonstra matematic observat¸iile f˘acute? 2

Exercit¸iu 9. Folosit¸i unul dintre programele matematice pentru a determina graficele funct¸iilor fn (x) =

sin πx sin 2πx sin nπx + +···+ , n = 1, 2, · · · 1 2 n

pentru x ∈ [−1, 1]. Ce concluzie pare plauzibil˘a? Exercit¸iu 10. Scriet¸i un program care pentru un num˘ar real x alege din ¸sirul 1, 1/2, 1/3, . . . , 1/n, . . . cˆate un singur termen cu semnul + sau −, fie acesta ai la pasul i astfel ca a1 + a2 + · · · + aN s˘a fie, pentru un anumit N o aproximare cu 2 zecimale exacte pentru x. Exercit¸iu 11∗ . Determinat¸i cu ajutorul calculatorului 100 de solut¸ii numere ˆıntregi x, y pentru ecuat¸ia x2 −2y 2 = 1. Indicat¸ie:√Dac˘a (x0 , y0 ) este o solut¸ie ar˘atat¸i cum se pot obt¸ine altele calculˆand (x0 − 2y0 )n . Exercit¸iu 12. S¸irul (xn )n∈N este definit prin x0 = 0 ¸si xn+1 = axn . Pentru a ∈ (1, 30) studiat¸i comportarea acestui ¸sir. Deducet¸i c˘a exist˘a trei valori ale lui a pentru care comportarea ¸sirului se schimb˘a. ˆIncercat¸i s˘a demonstrat¸i concluziile deduse numeric. Indicat¸ie: Studiat¸i comportarea funct¸iei ax − x pentru a ∈ (0, 1/ee ), a ∈ (1/ee , 1), a ∈ (1, e1/e ). Exercit¸iu 13. O banc˘a pla˘ate¸ste o dobˆand˘a de p procente pe an, dobˆand˘a presupus˘a calculat˘a continuu cumulat. Ar˘atat¸i c˘a o formul˘a rezonabil˘a pentru calculul timpului (ˆın ani) ˆın care o sum˘a depus˘a se dubleaz˘a este 70/p. Justificat¸i rezultatul ¸si calculat¸i numeric eroarea pe care o astfel de formul˘a o d˘a pentru p = 20, consider˘and c˘a banca calculeaz˘a zilnic dob˘anda cumulat˘a. Indicat¸ie: Tinet¸i cont c˘a ln 2 e aproximativ 0,7. Exercit¸iu 14. Calculat¸i lim sup xn ¸si lim inf xn pentru ¸sirurile +1 n sin nπ 6 (a) xn = n+2 (b) xn = (−1)n n sin πn √ (c) xn = n2 + n + 1 + (−1)n n (d) xn = sin n. Exercit¸iu 15. Fie f : I → I, unde I ⊆ R este interval ¸si Gf graficul ei ˆın planul cartezian. Pentru x1 = a ∈ I consider˘am ¸sirul definit recurent prin xn+1 = f (xn ). Justificat¸i urm˘atoarea interpretare grafic˘a a termenilor acestui ¸sir: punctul de pe grafic obt¸inut prin intersect¸ia paralelei dus˘ a prin 3

punctul de abscis˘ a xn de pe pe prima bisectoare, are abscisa xn+1 . Studiat¸i ˆın acest fel ¸sirul xn+1 = axn (1−xn ), pentru diferite valori a ∈ [0, 4] ¸si x1 ∈ [0, 1]. (S¸irul logistic; von Neumann 1940, vezi o vast˘a literatur˘a dup˘a 1980). Exercit¸iu 16. Ce se poate afirma teoretic ˆın ipotezele de mai sus dac˘a f este continu˘a ¸si (a): cresc¸stoare, (b): descresc˘atore. Analizat¸i ¸sirul x n = sin sin √ · · · sin 1, unde funct¸ia sin este aplicat˘a de n ori. Deducet¸i numeric c˘a lim nxn ¸si demonstrat¸i apoi riguros rezultatul presupus. Indicat¸ie: Folosit¸i 3 x > sin x > x − x6 . √ Exercit¸iu 17∗ . Ar˘atat¸i c˘a ¸sirul [n 2] cont¸ine o infinitate de puteri ale lui 2. (Putet¸i folosi calculatorul ¸ie). √ pentru a deduce numeric o ideie de demonstrat √ Indicat¸ie: S¸tiind c˘a [n 2] = 2k , cum g˘asit¸i n1 > n astfel ca [n1 2] s˘a fie de asemenea putere a lui 2? Exercit¸iu 18. Care este probabilitatea ca o coard˘a dus˘a la ˆıntˆamplare ˆınr-un cerc de raz˘a 1 s˘a aib˘a o lungime mai mare ca 1? Exercit¸iu 19. Stabilit¸i natura seriilor: √ √ ∞ ∞ √ X X n n+1− n √ n n5 + n + 1 n=1 n=1 ∞ X

a

√ n

∞ X n=1

n=1

an unde an > 0 (a1 + a2 + · · · + an )2

Exercit¸iu 20. Studuat¸i natura urm˘atoarelor serii (eventuak calculat¸i suma): ∞ X

∞ ∞ ∞ 1 X 1 X ln n X 1 1 ln (1 + α ) arcsin sin α 2 n n n=1 n n n n=1 n=1 n=1

∞ ∞ ∞ ∞ X X n + 1 X n2 + n + 1 X 1 1 ln n n! n! (ln(ln n)) ln (n + 1)! n=1 n=1 n=3 n=1

Exercit¸iu 21. Fie

∞ P

an o serie de numere reale pozitive. Ar˘atat¸i c˘a (Cri-

n=1

teriul Raabe-Duhamel): 4

 − 1 > 1 atunci seria este convergent˘a;  an+1 an Dac˘a lim sup n an+1 − 1 < 1 seria este divergent˘a. P (2n)!! Aplicat¸ie: Studiat¸i . (2n+1)!! Dac˘a lim inf n



an

Exercit¸iu 22. Fie (an )n∈N un ¸sir strict cresc˘ator de numere naturale astfel c˘a lim a1aan+1 = ∞. Ar˘atat¸i c˘a seria 2 ···an n→∞

∞ X 1 este convergent˘a a n=1 n

iar suma ei este un num˘ar irat¸ional (Paul Erd¨ os, American Mathematical Monthly). Indicat¸ie: Comparat¸i cu o serie geometric˘a. . Exercit¸iu 23∗ . Fie (an )n∈N un ¸sir de numere pozitive descresc˘ator la 0 ¸sP i astfel ca limnan > 0. Ar˘atat¸i c˘a dac˘a n ∈ {0, 1} este astfel ca seria n an < ∞ atunci 1 lim (1 + 2 + · · · + n ) = 0 n

Interpretat¸i rezultatul. Indicat¸ie: Ar˘atat¸i c˘a dac˘a, prin absurd, exist˘a c > 0 P astfel ca ε1 + · · · εnk ≥ nk c pentru un ¸sir (nk )k∈N , seria εn an nu satisface condit¸ia Cauchy. Exercit¸iu 24. Calculat¸i numeric sume part¸iale ale seriei
∞ n X sin 100 ln n n=1 Care este limita plauzibil˘a. Demonstrat¸i convergent¸a. Aproximat¸i suma cˆat mai bine possibil. Exercit¸iu 25. S¸tiind c˘a

∞ P

n=1

1 n2

=

π2 , 6

calculat¸i

∞ P

n=1

1 (2n+1)2

¸si aflat¸i num¸srul

de termeni din sumele part¸iale necesri pentru a calcula π cu dou˘a zecimale exacte.

5

Exercit¸iu 26. Urm˘atorul rat¸ionament, deocamdat˘a nu riguros, permite evaluarea sumei unor serii armaonice generalizate: r˘ad˘acinile funct¸iei sinx x sunt (kπ)k∈Z , deci sin x  x  x  x x  1+ 1− 1+ ··· = = 1− x π π 2π 2π     x2 x2 x2 1− 2 2 1− 2 2 ··· 1− 2 π 2π 3π Comparat¸i diver¸si coeficient¸i ai lui x. Exercit¸iu 27. Studiat¸i convergent¸a urm˘atoarelor serii ∞ X n=1

Exercit¸iu 28*. ∞

sin

∞ ∞ X a sin3 n X cos na sin n2 sin n α n n n=1 n=1

Dat fiind ¸sirul pozitiv (an )n∈N , prin definit¸ie produsul

infinit Π (1 + an ) este convergent dac˘a ¸sirul produselor part¸iale (1 + a1 )(1 + n=1 ∞ P a2 ) · · · (1 + an ) este convergent. Ar˘atat¸i c˘a dac˘a seria an este convergent˘a, n=1

atunci produsul de mai sus este convergent. De aici se poate deduce c˘a seria X1 p

unde p parcurge toate numerele prime, este divergent˘a. Indicat¸ie: Folosit¸i inegalitatea ex > 1 + x. Exercit¸iu 29. Verificat¸i grafic formula lui Stirling, anume consideret¸i ¸sirurile n! (ne)n

¸si

√

n!
n 2πn ne

¸si reprezentat¸i grafic valorile pentru n = 10, 100, 1000, 1000, 100000. Exercit¸iu 30. Precizat¸i caracteristicile topologice ale urm˘atoarelor mult¸imi din R. Determinat¸i ˆın fiecare caz intA, A, FrA pentru (a) A = (1, 2] ∪ {3}; (b) A = {1/n | n ∈ N∗ } ∪ {0}; 6

(c) A = C \ Q unde C este mult¸imea Cantor; (d) A = {x | 1 < f (x) < 2} unde f : R → R este o funct¸ie continu˘a; (e) Acela¸si enunt¸ ca la (d) dar cu inegalit˘a¸tile ”≤”; (f) A = Q; Exercit¸iu 31. Precizat¸i caracteristicile topologice ale urm˘atoarelor mult¸imi din R2 . Determinat¸i ˆın fiecare caz intA, A, FrA pentru (a) A = [0, 1] × [0, 1]; (b) A = {(x, y) | x2 + 4y 2 ≤ 4} \ {(x, y) | x2 + y 2 ≤ x}; (c) Q2 \ Z2 ; (d) A = {(x, y) | x + y = 1, x < 1}; (e) A = {(x, y) | sin(xy) < 1}. (f) f −1 ([0, 1]) unde f : R2 → R este continu˘a. Exercit¸iu 32. Reprezentat¸i ˆın plan bilele centrate ˆın zero de raz˘a 1 pentru metricile d1 , d2 respectiv d∞ din R2 . Exercit¸iu 33. Fie C[0, 1] mult¸imea funct¸iilor continue definite pe intervalul [0, 1]. Ar˘atat¸i c˘a pentru f, g ∈ C[0, 1] m˘arimea Z 1 d(f, g) = |f (x) − g(x)|dx 0

define¸ste o distant¸a˘. Demonstrat¸i c˘a aceast˘a distant¸a˘ nu induce o structur˘a de spat¸iu complet (nu orice ¸sir Cauchy este convergent). Exercit¸iu 34. Fie f : X → Y o funct¸ie continu˘a ˆıntre spat¸iile metrice X ¸si Y . ar˘atat¸i c˘a pentru K ⊂ X compact˘a rezult˘a f (K) compact˘a (,,o funct¸ie continu˘a duce compact¸i ˆın compact¸i”). Exercit¸iu 35. Scriet¸i un program pentru calculul distant¸ei HausdorffPompeiu ˆıntre orice dou˘a cercuri din planul cartezian (cercurile sunt date prin coordonatele centrelor ¸si raz˘a). Exercit¸iu 36. Fie K ⊂ X o mult¸ime compact˘a ˆın spat¸iul metric X n ¸si D1 , D2 , . . . , Dn mult¸imi deschise astfel ca K ⊂ ∪ Di . Ar˘atat¸i c˘a exist˘a i=1 ε > 0 astfel ca orice bi˘a de raz˘a ε cu centrul ˆın K este complet inclus˘a ˆıntruna dintre mult¸imile Di . Indicat¸ie: Ar˘atat¸i mai ˆıntˆai c˘a Di pot fi alese bile

7

deschise ¸si apoi c˘a exist˘a δ > 0 astfel ˆıncˆat raza acestora se poate mic¸sora cu δ cu p˘astrarea propriet˘a¸tii c˘a bilele acoper˘a K. Exercit¸iu 37. Ar˘atat¸i c˘a pe R aplicat¸ia x y d(x, y) = − , x, y ∈ R 1 + x 1 + y

define¸ste o distant¸a˘ ˆın care ¸sirul (n)n∈N este Cauchy.

Exercit¸iu 38. ˆIn R2 se consider˘a metrica dat˘a de  |x2 − y2 | dac˘a x1 = y1 d(x, y) = |x1 − y1 | + |x2 | + |y2 | dac˘a x1 6= y1 oricare ar fi x = (x1 , x2 ), y = (y1 , y2 ) ∈ R2 . Ar˘atat¸i c˘a R2 cu aceast˘a metric˘a este complet. Exercit¸iu 39. Fie X = {0, 1}∞ mult¸imea ¸sirurilor (xn )n∈N unde xn ∈ {0, 1}. Ar˘atat¸i c˘a formula d(x, y) =

∞ X |xn − yn | n=0

2n

pentru x = (xn )n∈N , y = (yn )n∈N define¸ste o metric˘a pe X. Ar˘atat¸i c˘a acesat˘a metric˘a d˘a acelea¸si ¸siruri convergente ca metrica definit˘a la curs 1 d1 (x, y) = 1 unde k = max{i| x0 = y0 , . . . , xi = yi }.. ˆIn plus, dac˘a σ : X → X este 2k funct¸ia ”shift”, atunci d(σ(x), σ(y)) ≤ 2d(x, y) pentru orice x, y ∈ X. Exercit¸iu 40. Desenat¸i bilele unitate pentru spat¸iul R3 cu fiecare dintre normele k · k1 , k · k2 , k · k∞ . Exercit¸iu 41. Reprezentat¸i bila de centru f unde f (x) = sin x din spat¸iul C[0, π]. Folosit¸i eventual un program pe calculator. Exercit¸iu 42. Ar˘atat¸i c˘a pe spat¸iul vectorial al funct¸iilor integrabile pe [a, b] m˘arimea Z b kf k = |f (x)|dx a

1

(1)

8

nu define¸ste o norm˘a. Exercit¸iu 43. Ar˘atat¸i c˘a pe spat¸iul vectorial C[0, 1] m˘arimea definit˘a prin kf k =

Z

b a

|f (x)|dx, pentru f ∈ C[0, 1]

define¸ste o norm˘a dar spat¸iul normat obt¸inut nu este complet. Exercit¸iu 44. Studiat¸i continuitatea funct¸iilor f : R2 → R definite prin f (x, y) =

x2 pentru (x, y) 6= (0, 0) x2 + y 2

¸si f (0, 0) = 0. g(x, y) = x sin ¸si 0 ˆın rest. h(x, y) = ¸si 0 pentru x = y.

1 pentru xy 6= 0 xy

x−y pentru x 6= y |x − y|

Exercit¸iu 45. Fie f : V → V o funct¸ie definit˘a ˆıntr-un spat¸iu normat pentru care exist˘a c > 0 ¸si α > 0 astfel ca kf (x) − f (y)k ≤ ckx − ykα Ar˘atat¸i c˘a f este uniform continu˘a. Exercit¸iu 46. Ar˘atat¸i c˘a funct¸iile f, g, : (0, ∞) → R definite prin f (x) = g(x) = x1 , nu sunt uniform continue.

√1 , x

Exercit¸iu 47. Studiat¸i convergent¸a simpl˘a (punctual˘a) ¸si uniform˘a pentru ¸sirurile de funct¸ii: fn : [0, 1] → R, fn (x) =

nxn + 1 nxn + 1 gn : [0, 1] → R, gn (x) = 2 2n n n x +n+1

hn : [−1, 1] → R, hn (x) =

enx + nx + 1 un : R → R, un (x) = f (x + n), (n + 2)xenx + 2 9

f fiind o funct¸ie cu limx→∞ f (x) = 0. Ce se poate spune ˆın acest ultim caz dac˘a, ˆın plus, f este descresc˘atoare? Exercit¸iu 48. Ar˘atat¸i c˘a pentru spat¸iul matricilor reale de ordin 2, M2 (R) m˘arimea kAk = (a2 + b2 + c2 + d2 )1/2   a b unde A ∈ M2 (R), A = define¸ste o norm˘a ˆın care spat¸iul e complet. c d Folosit¸i teorema de punct fix pentru a afla numeric solut¸ia sistemului −3x + 2y = 6 2x − 3y = 12 cu trei zecimale exacte. Exercit¸iu 49. S˘a se studieze mult¸imile pe care seriile urm˘atoare sunt punctual (simplu) uniform convergente: P∞ respectiv n (a) n=1 sin x;
P x+1 n ; (b) ∞ n=1 x−1 P∞ n+1
n 1−x
n (c) n=1 n ; 1+2x P (−1)n x3 (d) ∞ n=1 1+n4 x4 . Exercit¸iu 50. S˘a se demonstreze c˘a lim

n→∞

∞ X n=1

∞

X 1 x2 = 1 + n 2 x2 n2 n=1

Exercit¸iu 51. S˘a se demonstreze c˘a urm˘atoarele serii sunt convergente ¸si s˘a se afle suma lor folosind seriile de puteri (integrabilitatea sau derivabilitatea acestora) P (−1)n (a) ∞ n=1 3n+1 ; P (−1)n +1 (b) ∞ n=1 2n(n+1) ; P x+2 n (c) ∞ n=1 (n+1)(n+2)

Exercit¸iu 52. Determinat¸i raza de convergent¸a˘ 1 urm˘atoarelor serii compelxe 10

(a) (b)

P∞

n+1 n=1 n+2 (z

P∞

zn n=1 nn!

− 2)2n

Exercit¸iu 53. Dezvoltat¸i ˆın serii de puteri ˆın jurul punctului indicat: (a) f (x) =

x2 +1 x2 −3x+1

x0 = 1;

1 , x2 +x+1 z ,z z 2 +1

x0 = 1;

(b) f (x) = arctg x, x0 = 0; (c) f (x) =

(d) f (z) = ∈ C, z0 = 1. Indicat¸ie: Pentru (a), (b), (d) folosit¸i dezvoltarea ˆın fract¸ii simple. Exercit¸iu 54. Folosind formula lui Taylor, calculat¸i cu 3 zecimale exacte (a) sin 310 ; √ (b) 102; (c) ln (e5 + 1) Indicat¸ie: (a) sin 31o = sin(π/6 + π/180), aplicat¸i formula lui Taylor ˆın a = π/6. Exercit¸iu 55. Care num˘ar e mai mare 7 √x . lui Taylor de ordin 2 pentru f (x) = ln x

√ 8

√

sau 8 7 ? Indicat¸ie: Formula

Exercit¸iu 58∗ . Ar˘atat¸i c˘a dac˘a o funct¸ie definit˘a pe R m˘arginit˘a este de dou˘a ori derivabil˘a cu derivata de ordinul al doilea m˘arginit˘a, atunci ¸si prima derivat˘a este m˘arginit˘a. Indicat¸ie: Formula lui Taylor cu rest de ordin doi pe intervale de forma [a − h, a + h]. Exercit¸iu 56. Folosit¸i unul dintre softurile matematice pentru a reprezenta pe acela¸si grafic f (x) = ln (x + 1) ¸si dezvoltarea Taylor a acesteia ˆın x = 0 de ordin 3. Exercit¸iu 57. Cˆate zecimale exacte d˘a seria Taylor pentru sin 2 10 de ordin π 10? (folosit¸i un soft matematic). Atent¸ie: sin 10 = sin 180 ! Urm˘ atoarele exercit¸ii au ca punct final calculul sumei seriei armonice generalizate de exponent 2. Nu e obligatorie rezolvarea problemelor ˆın ordinea dat˘ a, de¸si e necesar˘ a pentru calificativ maxim. 11

π

Exercit¸iu 58.

Fie In =

R2

sinn xdx. Folosind teorema de transfer de

0

continuitate pentru integral˘a, ar˘atat¸i c˘a lim In = 0. Exercit¸iu 59. Ar˘atat¸i prin calcul recurent c˘a I2n =

π (2n − 1)!! , 2 (2n)!!

I2n+1 =

(2n)!! (2n + 1)!!

Exercit¸iu 60. Folosind exercit¸iul 61 ¸si relat¸ia de recurent¸a˘ pentru In ar˘atat¸i c˘a In lim =1 n→∞ In+1 Exercit¸iu 61. Deducet¸i din 62 ¸si 63 c˘a ((2n)!!)2 n→∞ ((2n − 1)!!)2 n

π = lim

Exercit¸iu 62. Folosind formula lui Mc. Laurin, ar˘atat¸i c˘a seria de puteri 1 pentru √1−x 2 este √

∞ X 1 (2n − 1)!! 2n x =1+ (2n)!! 1 − x2 n=1

Studiat¸i convergent¸a. Exercit¸iu 63. Deducet¸i c˘a arcsin x = x +

∞ X 1 · 3 · · · (2n − 1) n=1

2 · 4 · · · 2n

Studiat¸i convergent¸a uniform˘a pe [−1, 1]. Exercit¸iu 64. Ar˘atat¸i prin calcul direct c˘a Z1 0

arcsin x π2 √ dx = 8 1 − x2 12

·

x2n+1 2n + 1

Z1 0

x2n+1 (2n)!! √ dx = (2n + 1)!! 1 − x2

Pentru ultima formul˘a se poate folosi exercit¸iul 62. Exercit¸iu 65. Folosit¸i seria de puteri pentru arcsinx pentru a ar˘ata c˘a Z1 0

arcsin x 1 1 √ dx = 1 + 2 + 2 + · · · 3 5 1 − x2

De ce este posibil˘a integrarea termen cu termen? P 1 P 1 P 1 = + deducˆand din Exercit¸iu 66. Observat¸i c˘a n2 (2n+1)2 (2n)2 exercit¸iul 67 c˘a ∞ X π2 1 = n2 6 n=1 Exercit¸iu 67. Deducet¸i ¸si suma seriei  ∞  X 1 1 + (4n − 1)2 (4n + 1)2 n=1 Exercit¸iu 68. S˘a se studieze convergent¸a urm˘atoarelor integrale improprii, eventual calculˆandu-se valoarea acestora: R∞ (a) 0 x3x+1 dx; R3 (b) 1 √−x21+4x−3 dx; R ∞ ln x (c) 1 (x+1) 3 dx; R ∞ ln x (d) 1 x dx; Rπ (e) 02 ln√sinx x dx. 2

Exercit¸iu 69. Folosind formula lui Wallis ¸si inegalitatea (1−x2 )n ≤ e−nx ≤ 1 (demonstrat¸ie!), ar˘atat¸i c˘a (1+x2 )n Z ∞ √ 2 e−x dx = π −∞

13

Exercit¸iu 70. Calculat¸i, stabilind convergent¸a: Z 1 xn √ In = dx 1 − x2 0 Exercit¸iu 71. Ar˘atat¸i c˘a dac˘a f : [a, ∞) → R este uniform continu˘a ¸si integrabil˘a pe [a, ∞) atunci lim f (x) = 0. x→∞

Exercit¸iu 72. Dac˘a lim f (x) = 0.

x→0+

R1

0+

f (x)/x este convergent˘a ¸si f este monoton˘a atunci

Exercit¸iu 73. Studiat¸i convergent¸a integralelor R∞ p (a) 0 sinx x dx p ∈ N; R ∞ −x ln x (b) 0 e x+1 dx; R ∞ ln | cos x| dx; calculat¸i valoarea! (c) 0 x2 R1 (d) 0 x sin x1 dx

(e)Determinat¸i cel mai mic num˘ar natural n pentru care folosind calculatorul.

R n+1 sin x n

Exercit¸iu 74. Studiat¸i derivabilitatea integralei cu parametru Z π 2 arctg(ytg x) dx tg x 0 ¸si calculat¸i valoarea acesteia pentru a = e − 1. Exercit¸iu 75. Calculat¸i Z

∞ 0

sin 2x − sin x dx x

Exercit¸iu 76. Folosind integralele euleriene calculat¸i R 1 2 (1−x) (a) 0 x(x+1) 5 dx; Rπ (b) 02 sin5 x cos8 xdx; 14

x

≤

1 100

(c)

R1

(d)

0

√ 1 dx; 1−x4

R∞ 0

4

x5 e−x dx;

Exercit¸iu 77. Folosind derivarea integralelor cu parametrii, calculat¸i Z ∞ e−ax x cos xdx 0

Exercit¸iu 79. Determinat¸i seriile Forier ¸si stabiliti convergent¸a acestora folosin criteriul lui Dirichlet (se ˆınt¸elege c˘a funct¸iile respective sunt prelungite prin periodicitate): (a) f (x) = −1 pentru x ∈ (−π, 0] ¸si f (x) = 1 pentru x ∈ (0, π]; (b) f (x) = |x|, x ∈ (−π, π] (c) f (x) = 2x Exercit¸iu 80. Folosind transformarea x → x/π dezvoltat¸i ˆın serie Forier funct¸ia f : (−1, 1] → R, f (x) = [x] pe intervalul (0.2π) Exercit¸iu 81. Folosind seria Fourier a funct¸iei π−x 2 ar˘atat¸i c˘a ∞ π − x X sin nx = , x ∈ (0, 2π) 2 n n=1 Exercit¸iu 82. Din dezvoltarea precedent˘a (substituit¸i x → 2x) deducet¸i ∞ X sin(2n − 1)x n=1

2n − 1

=

π , x ∈ (0, π) 4

Exercit¸iu 83. Din dezvoltarea funct¸iei f (x) = x2 pe (−π, π] deducet¸i formulele ∞ π2 X 1 = 6 n2 n=1 ∞

π 2 X (−1)n−1 = 12 n=1 n2

15

Exercit¸iu 84. deducet¸i

Dezvoltat¸i ˆın serie Fourier f (x) = cos ax pe (−π, π) ¸si ∞ X 1 (−1)n π = +2 , x ∈ [−π, π] 2 − n2 sin aπ a a n=1

Aceasta costituie o demonstrat¸ie riguroas˘a a descompunerii “infinite” ˆın fract¸ii simple a funct¸iei sin1 x facut˘a “euristic” la curs. (vezi demonstrat¸ia formulei Γ(x)Γ(1 − x) = sinππx . Exercit¸iu 85. Combinˆand seriile Fourier pentru funct¸iile x ¸si x2 deducet¸i formula ∞ 3x2 − 6πx − 2π 2 X cos nx = , x ∈ [0, π] 2 12 n n=1 Urm˘atoarele considerat¸ii dezvolt˘a o metoda de a folosi funct¸iile complexe pentru stabilirea unor sume de serii Fourier. Exercit¸iu 86. Ar˘atat¸i c˘a pentru z = |z|(cos x + i sin x), x ∈ (0, 2π) se poate defini funct¸ia logaritm complex prin ln z = ln |z| + i(x + 2kπ), k = 0, 1, . . . , n − 1. Exercit¸iu 87. S˘a presupunem c˘a seriile ∞

a0 X an cos nx + C= 2 n=1 S=

∞ X

an sin nx

n=1

sunt convergente pe [−π, π] mai put¸in ˆıntr-un num˘ar finit de puncte. Not˘and atunci cu zr = r(cos x + i sin x), 0 < r < 1 avem ∞

a0 X + an r n einx = f (reix ) 2 n=1 Seriile C ¸si S se obt¸in atunci conform teoremei lui Abel din C + iS = lim f (reix ) r→1

16

Exercit¸iu 88. (Exemplu) S˘a consider˘am seria ∞ X zn n=1

n

= − ln(1 − z)

(A se vedea seriile de puteri pentru calculul seriei de mai sus). Notˆand C = ∞ ∞ P P 1 cos nx sin nx ¸ s i S = avem atunci C + iS = ln 1−e ¸iilor ix confor considerat n n n=1

n=1

din exercit¸iul precedent. Ar˘atat¸i c˘a π x 1 1 h π x i cos( = − ) + i sin( − ) 1 − eix 2 sin x2 2 2 2 2 deci conform exercit¸iului 88 ln deci

 π−x x 1 +i = − ln 2 sin ix 1−e 2 2

x π−x C = −2 ln 2 sin , S= 2 2 

pentru x ∈ (0, π)

17