1350

Asupra unei probleme avute ˆın atent¸ia comisiei Olimpiadei Nat¸ionale de Matematic˘ a Narcisa Bˆ and˘ a, Drago¸s Fr˘ a¸til˘ a, Cezar Lupu ˆIn not˘a de fat¸˘ a ne propunem s˘ a prezent˘am cinci solut¸ii unei probleme propuse de autorii prezentei note ˆın cadrul Olimpiadei Nat¸ionale de Matematic˘a, Ia¸si, 2006. Iat˘a enunt¸ul ei: Problema 0.1 S˘ a se determine funct¸iiile integrabile Riemann f : R → R astfel ˆıncˆ at s˘ a aib˘ a loc Z x+1/n Z x 1 f (t)dt = f (t)dt + f (x), n 0 0 pentru orice x ∈ R ¸si orice n ∈ N∗ . Solut¸ia 1. Fie a, b ∈ R, a < b. Cum intervalul [a, b] este compact ˆın R ¸si f este continu˘a rezult˘a c˘a f ˆı¸si atinge marginile pe acest interval, conform teoremei lui Weierstrass. Fie c ∈ [a, b] astfel incˆat f (c) este minimul lui f pe [a, b]. Dac˘ a c = a, atunci fie d = sup {x : f (x) = f (c)}. x∈[a,b]

S˘a presupunem prin a d 6= b. Din teorema de medie rezult˘a c˘a pentru orice n ∈ N∗ , n >  absurd c˘ 1 1 exist˘ a xn ∈ d, d + astfel ˆıncˆat b−d n Z d+1/n 1 1 f (t)dt = f (d) = f (xn ) n n d unde xn ∈ (d, d + 1/n) , adic˘ a f (xn ) = f (d) ¸si b > xn > d, ceea ce constutuie o contradict¸ie. Deci d = b, de unde f (a) = f (b). ˆIn cazul ˆın care c = b proced˘ am analog ca mai sus considerˆand d = inf {x : f (x) = f (c)} x∈[a,b]

de unde obt¸inem d = a, deci f (a) = f (b). Iar dac˘ a c ∈ (a, b) consider˘ am d1 = sup {x : f (x) = f (c)}, d2 = inf {x : f (x) = f (c)}. x∈[a,b]

x∈[a,b]

Analog demonstr˘ am c˘ a d1 = b ¸si d2 = a. Obt¸inem f (a) = f (b). Cum a si b au fost alese arbitrar din R, rezult˘a c˘a f este constant˘a pe R.

Solut¸ia 2. Observ˘am c˘ a f este derivabil˘ a cu derivata continu˘a. Acest lucru reise din relat¸ia din ipotez˘a scris˘a astfel: ! Z x+1/n Z x 1 f (x) = f (t)dt − f (t)dt . n 0 0 1

Dac˘a f nu ar fi constant˘ a, atunci exist˘a x0 ∈ R pentru care |f 0 (x0 )| > 0. Cum f 0 este continu˘a, exist˘a o vecintate a lui x0 pe care f 0 nu se anuleaz˘a. Pe aceast˘a vecinatate V , f este strict monoton˘a. Prin urmare, f (x0 ) 6= f (y), ∀y ∈ V − {x0 }(1) Dar pentru un n suficient de mare avem  ∈ V . Pentru un astfel de n, teorema de medie  x0 + 1/n 1 ⊆ V astfel ˆıncˆat asigur˘a existent¸a unui element xn ∈ x0 , x0 + n x0 +1/n

Z

f (t)dt = x0

1 1 f (x0 ) = f (xn ), n n

ˆın contradict¸ie cu (*). A¸sadar f este constant˘a.

Solut¸ia 3. Z Not˘am F (x) =

x

f (t)dt. Ipoteza se rescrie astfel

0

F (x + 1/n) − F (x) =

1 0 F (x).(2) n

Relat¸ia de mai sus ne arat˘ a c˘ a F este indefinit derivabil˘a. Fie x ∈ R arbitrar. Folosind dezvoltarea ˆın serie Taylor cu restul sub forma lui Lagrange pentru funct¸ia F rezult˘a existent¸a unui punct   1 xn ∈ x, x + cu proprietatea c˘ a n F (x + 1/n) = F (x) +

F 0 (x) F 00 (xn ) + . n 2n2

A¸sadar, conform relat¸iei (2), rezult˘ a c˘ a F 00 (xn ) = 0. Cum limn→∞ xn = x, trecˆand la limit˘a cˆand 00 n → ∞, rezult˘ a ca F (x) = 0. Cum x a fost arbitrar, rezult˘a ca F 00 (x) ≡ 0, deci F 0 = f este constant˘a. Solut¸ia 4. Z

x

f (t)dt, c = f (0). Fie A = {x ∈ R+ , f (x) = c}. Ar˘at˘am c˘a A este

Vom folosi notat¸iile: F (x) = 0

1 . S˘a presupunem, prin reducere b−a la absurd, c˘ a A ∩ (a, b) = ∅. Atunci mult¸imea M = [0, a] ∩ A este nevid˘a deoarece 0 ∈ M . Fie u = sup M . Folosind continuitatea lui f deducem c˘a u ∈ A. Relat¸ia din ipotez˘a se rescrie sub forma 1 F (x + 1/n) − F (x) = f (x), n pentru orice x ∈ R ¸si n ∈ N∗ . Folosind relat¸ia de mai sus pentru x = n ¸si utilizˆand teorema lui Lagrange, obt¸inem existent¸a lui u0 ∈ (u, u + 1/n) astfel ˆıncˆat dens˘a ˆın R+ . Fie a, b ∈ R+ . Alegem n ∈ N astfel ˆıncˆat n >

f (u0 ) = f (u) = c. Prin urmare, u0 ∈ A. Dac˘ a u0 ≤ a, atunci u0 ∈ M , ˆın contradict¸ie cu faptul c˘a u = sup M . A¸sadar, 1 1 1 deoarece u0 > a, u ≤ a ¸si < b − a rezult˘a u + < b, deci cum u0 < u + , deducem c˘a u0 < b. n n n Prin urmare, u0 ∈ (a, b) ∩ A, ˆın contradict¸ie cu presupunerea facut˘a. A¸sadar, rezult˘a c˘a A este dens˘a ˆın R+ . Analog, mult¸imea B = {x ∈ R− , f (x) = c} este dens˘a ˆın R− . Deci, A ∪ B = R ¸si ia valoare constant˘ a pe aceast˘ a mult¸ime. Cum f este continu˘a, rezult˘a c˘a f este constant˘a.

2

Solut¸ia 5. Relat¸ia din ipoteza problemei este echivalent˘a cu Z

x+1/n

f (t)dt ⇔

f (x) = n x

f (x) = n(F (x +

1 ) − F (x)).(3) n

f 0 (x) = n(f (x +

1 ) − f (x)).(4) n

Derivˆand relat¸ia (3), avem

1 Aplicˆand teorema lui Lagrange in (3), rezult˘a c˘a pentru orice x ∈ R, exist˘a cn = cn (x) ∈ (x, x + ) n astfel ˆıncˆat f (cn ) = f (x). Acum pe intervalul determinat de cn ¸si x vom aplica teorema lui Rolle, de unde obt¸inem c˘ a exist˘ a λn ˆıntre x ¸si cn astfel ˆıncˆat f 0 (λn ) = 0. Cum f 0 este continu˘a ¸si cum limn→∞ λn = x, rezult˘ a c˘ a f 0 (x) = lim f 0 (λn ) = 0. n→∞

Concluzia decurge acum imediat. ˆIn incheiere, autorii ar dori s˘ a-i mult¸umeasc˘a pentru sugestii ¸si comentarii care au inbun˘at˘a¸tit cont¸inutul prezentei note, doamnei profesoare Viviana Ene, de la Facultatea de Matematic˘aInformatic˘ a, Universitatea Ovidius, Constant¸a. Bibliografie. [1.] Suplimentul Gazetei Matematice- Olimpiada Nat¸ional˘a, Ia¸si 2006. student¸i, Facultatea de Matematic˘ a ¸si Informatic˘ a, Universitatea Bucure¸sti, Str. Academiei nr.14, sector 1, C.P. 010014, Bucure¸sti, Romˆ ania.

3