1341

Facultatea de Matematic˘ a Anul II, Curbe Algebrice Plane

˘ COMUTATIVA ˘ ELEMENTE DE ALGEBRA Prezent˘ am ˆın aceaste note not¸iuni ¸si rezultate de algebr˘a comutativ˘a ce sunt indispensabile abord˘arii geometriei algebrice, unele dintre ele fiind utilizate pe parcursul cursului. Majoritatea rezultatelor sunt date f˘ar˘a demonstrat¸ii, unele putˆ and fi considerate ca exercit¸ii (acestea vor fi identificate cu simbolul F). Pentru detalii, cititorul este ˆındrumat s˘a consulte [1], [2], [3] sau [4].

1

Inele

1.1

Inele, ideale

Inelele vor fi ˆıntotdeauna comutative, cu unitate. Not˘ am hSi idealul inelului A generat de mult¸imea S ⊂ A: ( ) r X hSi = f = ai fi / r ∈ N, fi ∈ S, ai ∈ A . i=1

Un ideal a al inelului A este de tip finit dac˘a admite un sistem finit de generatori: exist˘ a x1 , . . . , xn ∈ a astfel ˆıncˆat orice x ∈ a se scrie x=

n X

ai xi

,

ai ∈ A .

i=1

Idealul a se nume¸ste principal dac˘a admite un sistem de generatori format dintr-un singur element. Not˘am hai sau aA idealul principal generat de elementul a ∈ A. Inelul A se nume¸ste inel principal dac˘a orice ideal propriu al s˘ au este principal.

1

1.1.1

Inele cˆ at; o teorem˘ a de izomorfism

Fie A un inel ¸si a un ideal. Mult¸imea cˆat A/a este ˆınzestrat˘a ˆın mod canonic cu o structur˘ a de inel, care se nume¸ste inelul cˆ at A/a. Morfismul de inele φ : A → A/a , x 7−→ x := x + a este surjectiv ¸si ˆıl numim proiect¸ie canonic˘ a. Propozit ¸ ia 1 ([1], Propozit ¸ ia 1.1). Exist˘ a o corespondent¸˘ a bijectiv˘ a, ce p˘ astreaz˘ a ordinea dat˘ a de incluziune, ˆıntre mult¸imea idealelor b ale lui A ce cont¸in a ¸si cea a idealelor b ale lui A/a, corespondent¸˘ a dat˘ a de b = φ−1 (b) . Teorema 2. (de izomorfism) Fie f : A → B un morfism de inele, I = ker f , a un ideal al lui A inclus ˆın I ¸si φ : A → A/a proiect¸ia canonic˘ a. Atunci: 1) Exist˘ a un unic morfism f : A/a → B astfel ˆıncˆ at f = f ◦ φ. a ¸si numai dac˘ a a = I. 2) Morfismul f este injectiv dac˘ 3) Morfismul f este surjectiv dac˘ a ¸si numai dac˘ a f este surjectiv. ˆ particular, In Imf ' A/ ker f . Fie A ¸si B dou˘ a inele. Not˘am A[X1 , . . . , Xn ] inelul polinoamelor ˆın n nedeterminate peste A (n ∈ N∗ ). Un morfism f : A[X1 , . . . , Xn ] → B este determinat de restrict¸ia sa la A ¸si de imaginile nedeterminatelor Xi , i ∈ {1, . . . , n}. Fie A un inel. Numim A-algebr˘ a un inel B ˆınzestrat cu un morfism (care, ˆın acest volum, este ˆın cele mai multe situat¸ii injectiv) f : A → B. A-algebra B se nume¸ste de tip finit dac˘a este generat˘a de un num˘ar finit de elemente x1 , . . . , xn , ˆın sensul urm˘ator: orice element al lui B se poate obt¸ine ca un polinom ˆın xi cu coeficient¸i ˆın A. Altfel spus, inelul B este izomorf cu un cˆ at al inelului de polinoame A[X1 , . . . , Xn ].

2

1.1.2

Divizori ai lui zero; elemente nilpotente; unit˘ a¸ti

Un element x ∈ A se nume¸ste divizor al lui zero dac˘a exist˘a y ∈ A\{0} astfel ˆıncˆ at xy = 0. Un inel f˘ar˘a divizori ai lui zero nenuli se nume¸ste inel integru domeniu de integritate. Un element x ∈ A se nume¸ste nilpotent dac˘a exist˘a n ∈ N∗ astfel ˆıncˆat n x = 0. Un element x ∈ A este inversabil (sau element unitate) dac˘a exist˘a y ∈ A astfel ˆıncˆ at xy = 1. Elementul y este determinat ˆın mod unic de x ¸si este notat x−1 . Mult¸imea elementelor inversabile ale lui A formeaz˘a un grup abelian1 (multiplicativ), notat A× . Un corp este un inel ˆın care 1 6= 0 ¸si orice element nenul este inversabil. Propozit ¸ ia 3 ([1], Propozit ¸ ia 1.2). Fie un inel A 6= 0. Urm˘ atoarele afirmat¸ii sunt echivalente: i) A este un corp; ii) singurele ideale ale lui A sunt idealul nul 0 ¸si A; iii) orice morfism de inele A → B, B 6= 0 este injectiv (F). Un element a ∈ A se nume¸ste ireductibil dac˘a a=b·c

=⇒ b ∈ A×

sau c ∈ A× .

Inelul A se nume¸ste factorial dac˘a orice element nenul a ∈ A se scrie ca un produs de elemente ireductibile, scrierea fiind unic˘a pˆan˘a la ˆınmult¸irea cu un element inversabil. Factorii acestui produs se numesc divizorii elementului a. 1.1.3

Operat¸ii cu ideale

Intersect¸ia unei familii de ideale este un ideal. De exemplu, ˆın inelul numerelor ˆıntregi Z, intersect¸ia idealelor hxi ¸si hyi este idealul generat de cel mai mic multiplu comun al ˆıntregilor x ¸si y. 1 Niels

Abel (5.08.1802, Frindoe, Norvegia - 6.04.1829, Froland, Norvegia): matematician norvegian. Unul din cei mai mari matematicieni ai secolului XIX, face parte dintre fondatorii algebrei ¸si analizei matematice moderne.

3

Suma idealelor dintr-o familie {ai }i∈Υ (unde Υ este o mult¸ime de indici) este mult¸imea ( ) X X ak := xi , xi ∈ ai , xi = 0 exceptˆand un nr. finit de indici . i∈Υ

Aceast˘ a mult¸ime este un ideal ce cont¸ine toate idealele ai . ˆIn particular, dac˘ a ai = hfi i (fi ∈ A), obt¸inem idealul generat de elementele fi . ˆIn Z suma idealelor hxi ¸si hyi este idealul generat de cel mai mare divizor comun al ˆıntregilor x ¸si y. Produsul a dou˘ a ideale a ¸si b este idealul notat ab ¸si generat de produsele xy, unde x ∈ a ¸si y ∈ b. Atunci ab ⊂ a ∩ b (F). ˆIn Z, produsul idealelor hxi ¸si hyi este idealul hxyi. 1.1.4

Ideale prime, ideale maximale

Un ideal p ⊂ A se nume¸ste prim dac˘a xy ∈ p implic˘a x ∈ p sau y ∈ p. Idealul p ⊂ A este prim dac˘ a ¸si numai dac˘a A/p este domeniu de integritate. Un ideal m A se nume¸ste maximal dac˘a nu exist˘a nici un ideal a astfel ˆıncˆ at m a A. Idealul m ⊂ A este maximal dac˘a ¸si numai dac˘a A/m este un corp. Dac˘ a f : A → B este un morfism de inele ¸si q este un ideal prim al lui B, atunci p = f −1 (q) este un ideal prim al lui A (F). Folosind Lema lui Zorn, se poate demonstra imediat propozit¸ia urm˘atoare: Propozit ¸ ia 4. Orice inel A 6= 0 are cel put¸in un ideal maximal. ˆIn particular, orice ideal a 6= A este cont¸inut ˆıntr-un ideal maximal. De asemenea, orice element care nu este inversabil apart¸ine unui ideal maximal. Intersect¸ia N (A) a tuturor idealelor prime ale unui inel se nume¸ste nilradicalul inelului. Idealul N (A) coincide cu mult¸imea elementelor nilpotente (F). Inelul A este domeniu de integritate dac˘a ¸si numai dac˘a idealul 0 este prim (deci N (A) = 0). Exemplul 1. a) A = Z. Idealul hpi este prim dac˘a ¸si numai dac˘a p = 0 sau p este num˘ ar prim. ˆIn acest ultim caz, idealul hpi este maximal ¸si A/hpi este corpul Fp cu p elemente. 4

b) A = K[X1 , . . . Xn ] (K un corp comutativ). Fie f ∈ A un polinom ireductibil. Atunci idealul hf i este prim. Propozit ¸ ia 5 ([3], 1.B). (a) Fie {p1 , . . . , pn } o familie de ideale prime ¸si fie a un ideal astfel ˆıncˆ at n [ a⊆ pi . i=1

Atunci exist˘ a i ∈ {1, . . . , n} astfel ˆıncˆ at a ⊆ pi (F). (b) Fie {a1 , . . . , an } o familie de ideale ¸si fie p un ideal prim astfel ˆıncˆ at p⊇

n \

ai .

i=1

Atunci exist˘ a i ∈ {1, . . . , n} astfel ˆıncˆ at p ⊇ ai . Dac˘ a p =

n T

ai , atunci

i=1

exist˘ a i astfel ˆıncˆ at p = ai (F). Dac˘ a a este un ideal al inelului A, radicalul lui a este idealul r(a) = {x ∈ A

/ ∃ n ∈ N , xn ∈ a } .

Idealul r(A) este intersect¸ia idealelor prime ale lui A ce cont¸in a (F). Un ideal a se nume¸ste radical dac˘a a =r(a). ˆIn acest caz inelul cˆat A/a nu are elemente nilpotente (spunem c˘a este un inel redus).

1.2

Inel local; localizare

Definit ¸ ia 1. Inelul A se nume¸ste local dac˘ a are un singur ideal maximal m. Corpul A/m se nume¸ste corpul rezidual al inelului local A. Dac˘ a A este un inel local, orice element u ∈ A \ m este inversabil (F). O submult¸ime S ⊂ A se nume¸ste multiplicativ ˆınchis˘ a dac˘a 1 ∈ S ¸si ∀x, y ∈ S, xy ∈ S. Fie A un inel ¸si S o submult¸ime multiplicativ ˆınchis˘a. Pe A × S putem defini relat¸ia de echivalent¸˘ a (a, s) ∼ (a0 , s0 )

⇔

∃ t ∈ S astfel ˆıncˆat t(as0 − a0 s) = 0 . 5

ˆIn particular, dac˘ a inelul A este integru, (a, s) ∼ (a0 , s0 ) dac˘a ¸si numai dac˘a 0 0 as = a s. Mult¸imea claselor de echivalent¸˘a se noteaz˘a AS ¸si este un inel numit localizatul lui A ˆın raport cu S. Clasa de echivalent¸˘a a perechii (a, s) se a operat¸ii se definesc ˆın mod analog cu adunarea ¸si noteaz˘ a as . Cele dou˘ ˆınmult¸irea din Q. Exist˘ a un morfism injectiv ι : A → AS

,

a 7−→

a . 1

Imaginea unui element a este un element inversabil ˆın inelul AS dac˘a ¸si numai dac˘ a a este element inversabil ˆın A sau a ∈ S. Inelul AS verific˘ a proprietatea de universalitate urm˘atoare: dac˘a B este un inel iar ϕ : A → B este un morfism de inele cu proprietatea c˘a ϕ(s) este un element inversabil al lui B, oricare ar fi s ∈ S, atunci exist˘a un unic morfism de inele ϕS : AS → B astfel ˆıncˆat ϕ = ϕS ◦ ι . Idealele prime ale lui AS corespund de manier˘a biunivoc˘a, via ι−1 , idealelor prime ale lui A ce nu au elemente comune cu S (F). Exemplul 2. 1) Fie A un inel ˆıntegru ¸si S = A \ {0}. Atunci AS se nume¸ste corpul de fract¸ii al lui A ¸si se noteaz˘a F r A. De exemplu, F r Z = Q; F r K[X1 , . . . , Xn ] = K(X1 , . . . , Xn ) se nume¸ste corpul funct¸iilor rat¸ionale cu coeficient¸i ˆın corpul K. 2) Fie f ∈ A ¸si S = {f n / n ∈ N} . ˆIn acest caz AS este notat Af ¸si este izomorf cu inelul cˆat A[T ]/(f T − 1) (F). Inelul Af se nume¸ste localizatul inelului A ˆın raport cu elementul f . 3) Fie p un ideal prim al inelului A ¸si S = A \ p. ˆIn acest caz not˘am AS = Ap . Acesta este un inel local cu idealul maximal pAp . Idealele prime ale lui Ap corespund de manier˘a biunivoc˘a, via ι−1 , idealelor prime ale lui A incluse ˆın p (F). Inelul Af se nume¸ste localizatul inelului A ˆın raport cu idealul prim p.

6

1.3

Inele noetheriene

Un inel A se nume¸ste noetherian2 dac˘a verific˘a una din urm˘atoarele condit¸ii echivalente ([1], Propozit¸iile 6.1, 6.2; [3], 2.A): 1. orice ¸sir cresc˘ ator de ideale ale lui A este stat¸ionar; 2. orice mult¸ime nevid˘ a de ideale ale lui A are un element maximal ˆın raport cu incluziunea; 3. orice ideal al lui A este de tip finit. Exemplul 3. Un corp K, inelul numerelor ˆıntregi Z, un inel principal sunt inele noetheriene. Un cˆ at al unui inel noetherian este noetherian. Dac˘a A este inel noetherian, atunci: - dac˘ a f : A → B este un morfism surjectiv de inele, atunci B este inel noetherian (F). - inelul de polinoame A[X] este noetherian (Teorema bazei a lui Hilbert, [1], Teorema 7.5). - dac˘ a S ⊂ A este o submult¸ime multiplicativ ˆınchis˘a, atunci AS este inel noetherian ([1], Teorema 7.3). Un inel noetherian are un num˘ar finit de ideale prime minimale (F). Propozit ¸ ia 6 ([1], Propozit ¸ ia 7.8). Fie inelele A ⊆ B ⊆ C. Dac˘ a A este noetherian, C este o A-algebr˘ a finit generat˘ a iar C este un B-modul de tip finit, atunci B este o A-algebr˘ a finit generat˘ a.

1.4

Elemente ˆıntregi

Fie B un inel ¸si A ⊆ B un subinel. Fie x ∈ B. Definit ¸ ia 2. Spunem c˘ a punctul x este ˆıntreg peste A dac˘ a x verific˘ a o ecuat¸ie polinomial˘ a unitar˘ a: xn + an−1 xn−1 + . . . + a0 = 0 2 Emmy Amalie Noether (23.03.1882, Erlangen, Germania - 14.04.1935, Bryn Mawr, SUA): matematician german. Contribut¸ii importante ˆın teoria inelelor ¸si fizica teoretic˘ a.

7

cu ai ∈ A, i ∈ {0, . . . , n − 1}. √ Exemplul 4. Elementele i, 3 ∈ C sunt ˆıntregi peste inelul numerelor ˆıntregi Z, ˆıns˘ a elementele 51 , √12 , π nu sunt ˆıntregi peste Z(F). Inelul B se nume¸ste ˆıntreg peste inelul A dac˘a toate elementele sale sunt ˆıntregi peste A. Este suficient s˘a verific˘am aceast˘a proprietate pentru un sistem de generatori. ˆIn general, mult¸imea elementelor lui B care sunt ˆıntregi peste A este un inel ¸si se nume¸ste ˆınchiderea ˆıntreag˘ a a lui A ˆın B. Propozit ¸ ia 7 ([1], Corolarul 5.2). Fie A un inel. Dac˘ a B este o Aalgebr˘ a de tip finit, atunci B este ˆıntreg peste A dac˘ a ¸si numai dac˘ a exist˘ a un sistem finit de elemente ale lui B astfel ˆıncˆ at orice element al lui B se scrie ca o combinat¸ie liniar˘ a de elemente ale acestui sistem, cu coeficient¸i ˆın A (spunem c˘ a B este o A-algebr˘ a finit˘ a). Definit ¸ ia 3. Un inel integru A se nume¸ste ˆıntreg ˆınchis dac˘ a ˆınchiderea sa ˆıntreag˘ a ˆın corpul s˘ au de fract¸ii coincide cu A. Propozit ¸ ia 8 ([1], Propozit ¸ ia 5.6). Fie B o A-algebr˘ a ¸si S o submult¸ime multiplicativ ˆınchis˘ a a lui A. Dac˘ a B este ˆıntreg peste A, atunci inelul BS este ˆıntreg peste AS . Propozit ¸ ia 9 ([1], Propozit ¸ ia 5.13). Fie A une domeniu de integritate. Propriet˘ a¸tile urm˘ atoare sunt echivalente: (a) inelul A este ˆıntreg ˆınchis; (b) inelul local Ap este ˆıntreg ˆınchis, oricare ar fi idealul prim p ⊂ A; (c) inelul local Am este ˆıntreg ˆınchis, oricare ar fi idealul maximal m ⊂ A. Propozit ¸ ia 10. Orice inel factorial este ˆıntreg ˆınchis.

8

1.5

Dimensiunea unui inel

Definit ¸ ia 4. Fie A un inel ¸si p ⊂ A un ideal prim. Numim in˘ alt¸ime a idealului p num˘ arul (eventual ∞)   ∃ p0 p1 . . . pn = p h(p) = sup n ∈ N / . lant¸ de ideale prime distincte Definit ¸ ia 5. Se nume¸ste dimensiune a inelului A num˘ arul (eventual ∞) dim A = sup {h(p)

/

p ⊂ A ideal prim} .

Dac˘ a A este un inel noetherian, atunci dimensiunea lui A este finit˘a. Teorema 11. Fie K un corp ¸si A un domeniu de integritate care este o K-algebr˘ a finit generat˘ a. Atunci: (a) dimensiunea lui A este egal˘ a cu gradul de transcendent¸˘ a al corpului de fract¸ii F r(A) al lui A peste K (vezi Sect¸iunea A.3.2). (b) oricare ar fi p ⊂ A un ideal prim, h(p) + dim B/p = dim B . Teorema 12 ([1], Corolarul 11.17). (Hauptidealsatz, Krull) Fie A un inel noetherian ¸si f ∈ A un element neinversabil ce nu este divizor al lui zero. Atunci orice ideal prim minimal ce cont¸ine f are ˆın˘ alt¸imea 1. Propozit ¸ ia 13. Un domeniu de integritate noetherian A este inel factorial dac˘ a ¸si numai dac˘ a orice ideal prim de ˆın˘ alt¸ime 1 este principal.

1.6

Inele de valuare discret˘ a

Definit ¸ ia 6. Fie K un corp. O valuare discret˘ a a lui K este o funct¸ie v : K ∗ → Z cu propriet˘ a¸tile v(xy) = v(x) + v(y) v(x + y) ≥ min(v(x), v(y)) .

9

Mult¸imea A := {x ∈ K ∗ / v(x) ≥ 0} este un inel, numit inelul de valuare al lui v. Valuarea v se extinde la ˆıntreg corpul K luˆ and v(0) = ∞. Exemplul 5. 1) K = Q. Fie p ∈ Q un num˘ar prim. Orice num˘ar rat¸ional nenul x ∈ Q∗ se scrie ˆın mod unic x = pa y, cu a ∈ Z, iar numitorul ¸si num˘ ar˘ atorul lui y ∈ Q nu sunt divizibili cu p. Funct¸ia vp : Q∗ → Z ,

vp (x) = −a

este o valuare discret˘ a. Inelul s˘au de valuare este inelul local Zhpi , localizatul lui Z ˆın raport cu idealul prim hpi. 2) K = k(X), corpul funct¸iilor rat¸ionale peste un corp k. Fie f ∈ k[X] un polinom ireductibil. Putem defini vf ˆın mod analog cu exemplul de mai sus: dac˘ a g ∈ k(X)∗ , g = f a h (a ∈ Z, h = hh21 ∈ k(X) astfel ˆıncˆat f nu divide polinoamele h1 ¸si h2 ), definim vf : k(X)∗ → Z ,

vf (g) = −a .

Aceast˘ a funct¸ie este o valuare discret˘a, al c˘arui inel de valuare este localizatul inelului de polinoame k[X] ˆın idealul prim hf i. Definit ¸ ia 7. Un domeniu de integritate A se nume¸ste inel de valuare discret˘ a dac˘ a exist˘ a o valuare discret˘ a v a corpului s˘ au de fract¸ii astfel ˆ acest caz A este un inel local, iar ˆıncˆ at A este inelul s˘ au de valuare. In idealul s˘ au maximal este m = {x ∈ K ∗

/

v(x) > 0 .

Propozit ¸ ia 14 ([1], Propozit ¸ ia 9.2). Fie A un domeniu de integritate noetherian 1-dimensional, m idealul s˘ au maximal, k = A/m corpul s˘ au rezidual. Urm˘ atoarele afirmat¸ii sunt echivalente: 1. A este un inel de valuare discret˘ a; 2. A este ˆıntreg ˆınchis; 3. m este ideal principal; 4. orice ideal nenul al lui A este o putere a lui m. 10

1.7

Inele graduate

Definit ¸ ia 8. Inelul R se nume¸ste inel graduat dac˘ a R se poate scrie ca o sum˘ a direct˘ a M R= Rn n∈N

unde, pentru orice n ∈ N, Rn este subgrup al grupului aditiv (R, +) ¸si Rp Rq ⊆ Rp+q . Elementele lui Rp se numesc omogene de grad p. ˆIn particular, R0 este un subinel al lui R, deci R este o R0 -algebr˘a. Observ˘ am c˘ a M m = R+ = Rn n>0

este un ideal al lui R ¸si R/R+ ' R0 . Dac˘ a R ¸si R0 sunt dou˘ a inele graduate, un morfism de inele ϕ : R → R0 se nume¸ste omogen dac˘a, pentru orice a ∈ R, deg a = deg ϕ(a) . Exemplul 6. Inelul polinoamelor peste un corp K, R = K[X1 , . . . , Xm ] este un inel graduat, cu gradul uzual. ˆIn acest caz R0 = K, iar Rn este K-spat¸iu vectorial, oricare ar fi n ∈ N. Propozit ¸ ia 15 ([1], Propozit ¸ ia 10.7). Fie R un inel graduat. Atunci R este un inel noetherian dac˘ a ¸si numai dac˘ a R0 este un inel noetherian ¸si R este o R0 -algebr˘ a de tip finit. Propozit ¸ ia 16 ([3], A.10). Fie k un corp, R o k-algebr˘ a graduat˘ a ¸si fie I un ideal al lui R. Urm˘ atoarele condit¸ii sunt echivalente: (i) I este generat de elemente omogene; r P (ii) dac˘ a f ∈ I, f = fi unde fi sunt polinoame omogene de grad i, i=0

atunci fi ∈ I pentru orice i ∈ {0, . . . , r}. Un astfel de ideal se nume¸ste ideal omogen. 11

Propozit ¸ ia 17. Fie R o k-algebr˘ a graduat˘ a ¸si fie I un ideal omogen al lui R. Fie k-algebra cˆ at S := R/I ¸si φ : R → R/I proiect¸ia canonic˘ a. Atunci S este ˆınzestrat˘ a cu o graduare natural˘ a dat˘ a de Si = φ(Ri ). Demonstrat¸ie. Este suficient s˘a ar˘at˘am c˘a S este suma direct˘a a subspat¸iilor Si , ceea ce rezult˘ a imediat din propozit¸ia precedent˘a, (ii).

2 2.1

Module, produse tensoriale Module

Definit ¸ ia 9. Fie A un inel. Un grup abelian (M, +) se nume¸ste A-modul dac˘ a M este ˆınzestrat cu o lege de compozit¸ie extern˘ a ·:A×M →M astfel ˆıncˆ at a(x + y) (a + b)x (ab)x 1x

= = = =

ax + ay ax + bx a(bx) x

,

∀a, b ∈ A,

∀x, y ∈ M

Exemplul 7. Orice ideal al inelului A este un A-modul. Dac˘a A este un corp, atunci un A-modul nu este altceva decˆat un A-spat¸iu vectorial. Orice grup abelian este un Z-modul. Un modul se nume¸ste de tip finit dac˘a are num˘ar finit de generatori, ˆın sensul urm˘ ator: exist˘ a x1 , . . . , xn ∈ M astfel ˆıncˆat orice x ∈ M se scrie n P x = ai xi , unde ai ∈ A. ˆIn particular, un ideal al inelului A este de i=1

tip finit (ˆın sensul definit ˆın Sect¸iunea A.1.1) dac˘a ¸si numai dac˘a este un A-modul de tip finit. Rezult˘a atunci c˘a inelul A este noetherian dac˘a ¸si numai dac˘ a orice ideal al s˘ au este un A-modul de tip finit. ˆIn mod natural se definesc not¸iunile de submodul ¸si modul cˆat. Dac˘a S ⊂ A este o submult¸ime multiplicativ ˆınchis˘a, putem defini, ca ˆın Sect¸iunea A.1.2, AS -modulul MS (localizatul lui M ˆın S). 12

Un ¸sir de A-module ¸si A-morfisme fi+1

fi

. . . −→ Mi−1 −→ Mi −→ Mi+1 −→ . . . se nume¸ste exact ˆın Mi dac˘a Im (fi ) = ker(fi+1 ). ˆIn particular (F): f

0 −→ M 0 −→ M este exact g

00

M −→ M −→ 0 este exact f

g

0 −→ M 0 −→ M −→ M 00 −→ 0 este exact g surjectiv, ¸si M 00 ' cokerf

2.2

⇔

f este injectiv

⇔

g este surjectiv

⇔ f este injectiv, := M/f (M 0 ) .

Propriet˘ a¸ti locale

Fie P o proprietate ce poate fi atribuit˘a unui A-modul M . Spunem c˘a P este o proprietate local˘ a atunci cˆand: M are proprietatea P dac˘a ¸si numai dac˘ a Mp are proprietatea P, oricare ar fi idealul prim p ⊂ A. Propozit ¸ ia 18. (i) Fie M un A-modul. Urm˘ atoarele propriet˘ a¸ti sunt echivalente (F): 1. M = 0; 2. Mp = 0, ∀p ⊂ A ideal prim; 3. Mm = 0, ∀m ⊂ A ideal maximal. (ii) Fie φ : M → N un morfism de A-module. Urm˘ atoarele propriet˘ a¸ti sunt echivalente (F): 1. φ este injectiv; 2. φp : Mp → Np este injectiv , ∀p ⊂ A ideal prim; 3. φm : Mm → Nm este injectiv , ∀m ⊂ A ideal maximal. Am v˘ azut c˘ a proprietatea unui inel de a fi ˆıntreg ˆınchis este o proprietate local˘ a (Propozit¸ia 9).

13

2.3

Produse tensoriale

Fie A un inel ¸si M , N dou˘a A-module. Produsul tensorial al modulelor M ¸si N peste A este un A-modul, notat M ⊗A N , generat de simbolurile x ⊗ y, cu x ∈ MP , y ∈ N (un element al lui M ⊗A N este a¸sadar o combinat¸ie liniar˘ a finit˘ a ai (xi ⊗ yi ) cu ai ∈ A) astfel ˆıncˆat (x + x0 ) ⊗ y = x ⊗ y + x0 ⊗ y x ⊗ (y + y 0 ) = x ⊗ y + x ⊗ y 0 (ax) ⊗ y = x ⊗ (ay) = a(x ⊗ y) ,

∀a ∈ A, x ∈ M, y ∈ N .

Urm˘ atoarea proprietate de universalitate este satisf˘acut˘a: dat˘a o aplicat¸ie A-biliniar˘ a de A-module f : M × N → P , exist˘a o unic˘a aplicat¸ie A-liniar˘a f : M ⊗A N → P astfel ˆıncˆ at f (x ⊗ y) = f (x, y) ,

∀ x ∈ M, y ∈ N .

Dat fiind un morfism de A-module f : M → M 0 ¸si un A-modul N , prin tensorizare cu N obt¸inem f ⊗ Id : M ⊗A N → M 0 ⊗A N

,

x ⊗ y 7→ f (x) ⊗ y .

Produsul tensorial este exact la dreapta: dat fiind un ¸sir exact scurt 0 −→ M 0 −→ M −→ M 00 −→ 0

(1)

prin tensorizare cu un A-modul N obt¸inem ¸sirul exact M 0 ⊗A N −→ M ⊗A N −→ M 00 ⊗A N −→ 0 ([1], Propozit¸ia 2.18). Un A-modul N se nume¸ste plat dac˘a, dat fiind ¸sirul exact (1), ¸sirul 0 −→ M 0 ⊗A N −→ M ⊗A N −→ M 00 ⊗A N −→ 0 este exact. Propozit ¸ ia 19. Dac˘ a A este un inel ¸si f ∈ A, atunci A-modulul Af este plat. Demonstrat¸ie. Exercit¸iu (F). 14

2.3.1

Extinderea scalarilor

Fie A un inel ¸si f : A → B un morfism de inele. Dac˘a N este un B-modul, putem defini, pentru a ∈ A ¸si y ∈ N , a · y := f (a)y . Obt¸inem astfel o structur˘ a de A-modul pe mult¸imea N . Spunem c˘a aceast˘a structur˘ a este obt¸inut˘ a prin restrict¸ia scalarilor de la B la A. Dac˘ a M este un A-modul, produsul tensorial M ⊗A B este ˆınzestrat ˆın mod canonic cu o structur˘ a de B-modul, indus˘a de legea de compo-zit¸ie extern˘ a: b · (x ⊗ c) := x ⊗ bc . Spunem c˘ a aceast˘ a structur˘ a este obt¸inut˘a prin extinderea scalarilor de la A la B. Exemplul 8. 1) Fie a un ideal al inelului A ¸si B = A/a. Atunci M ⊗ A/a = M/aM este un B-modul. 2) Fie S o submult¸ime multiplicativ ˆınchis˘a a inelului A ¸si fie B = AS . Atunci M ⊗ AS = MS este un B-modul. 2.3.2

Lema lui Nakayama

Fie A un inel local cu idealul maximal m ¸si k = A/m. Fie M un A-modul de tip finit astfel ˆıncˆ at M ⊗A k = 0. Atunci M = 0 (F).

3 3.1

Extinderi de corpuri Extinderi algebrice

Fie K ⊂ L o extindere de corpuri. Spunem c˘a aceasta este o extindere algebric˘ a dac˘ a orice element x ∈ L este solut¸ia unei ecuat¸ii algebrice cu coeficient¸i ˆın K: an xn + . . . + a0 = 0 ,

ai ∈ K

15

,

i ∈ {0, . . . , n} .

ˆIn general, L este un spat¸iu vectorial peste K. Dac˘a acesta este de dimensiune finit˘ a, numim aceast˘ a dimensiune gradul extinderii K ⊂ L ¸si o not˘am [L : K]. Dac˘ a x ∈ L, exist˘ a un unic polinom unitar, ireductibil ˆın K[X], ce admite x ca r˘ ad˘ acin˘ a, numit polinomul minimal al lui x. Propozit ¸ ia 20. Dat˘ a o extindere algebric˘ a finit˘ a K ⊂ L de corpuri de caracteristic˘ a 0, exist˘ a un element x ∈ L astfel ˆıncˆ at L = K(x) . Altfel spus, orice element al lui L se scrie ca un polinom ˆın x avˆ and coeficient¸i ˆın K. Elementul x se nume¸ste element primitiv al lui L peste K. Fie K ⊂ L o extindere de corpuri. Mult¸imea tuturor elementelor lui L care sunt algebrice peste K se nume¸ste ˆınchiderea algebric˘ a a lui K ˆın L. Fie K un corp fixat. S˘ a consider˘am extinderile K ⊂ L care satisfac urm˘ atoarea proprietate: oricare ar fi f ∈ K[X] un polinom cu coeficient¸i ˆın K, f are cel put¸in o r˘ ad˘ acin˘a ˆın L. Fie K un element minimal (ˆın raport cu incluziunea) ˆın mult¸imea extinderilor L ale lui K avˆand aceast˘a proprietate. Exist˘ a astfel de corpuri minimale ¸si orice dou˘a asemenea corpuri sunt izomorfe. Atunci extinderea K ⊂ K este algebric˘a, iar K se nume¸ste ˆınchi-derea algebric˘ a a corpului K. A¸sa cum am ment¸ionat, aceasta este bine definit˘a pˆ an˘ a la un unic izomorfism de corpuri. ˆIn cazul ˆın care corpul K coincide cu K, spunem c˘a el este algebric ˆınchis. O extindere algebric˘ a K ⊂ L se nume¸ste separabil˘ a dac˘a orice polinom P ∈ K[X], ireductibil peste K, are cel mult r˘ad˘acini simple ˆın L. O extindere algebric˘ a K ⊂ L se nume¸ste normal˘ a dac˘a orice polinom P ∈ K[X], de grad n, o dat˘ a cu o r˘ad˘acin˘a ˆın L, are n r˘ad˘acini ˆın L. O extindere algebric˘ a finit˘a K ⊂ L, separabil˘a ¸si normal˘a, se nume¸ste extindere Galois3 . Grupul automorfismelor lui L ce las˘a fixe elementele lui K, Gal(L/K), act¸ioneaz˘a ˆın mod tranzitiv pe mult¸imea r˘ad˘acinilor ˆın 3 Evariste Galois (25.10.1811, Bourg La Reine, Frant ¸a - 31.05.1832, Paris, Frant¸a): matematician francez. Init¸iatorul teoriei ecuat¸iilor algebrice, cunoscut˘ a ˆın prezent sub numele teoria Galois. A murit ˆıntr-un duel.

16

L ale unui polinom P ∈ K[X]. Grupul Gal(L/K) este finit, are cardinalul [L : K] ¸si se nume¸ste grupul Galois al extinderii K ⊂ L.

3.2

Baze de transcendent¸˘ a

Fie K ⊂ L o extindere de corpuri. O submult¸ime B ⊂ L se nume¸ste algebric independent˘ a peste K dac˘a pentru orice elemente {x1 , . . . , xn } ⊂ B ¸si orice P ∈ K[X1 , . . . , Xn ], P (x1 , . . . , xn ) = 0

⇒

P =0.

Fie K ⊂ L o extindere de corpuri. O submult¸ime B ⊂ L se nume¸ste sistem algebric de generatori peste K dac˘a L este o extindere algebric˘a peste corpul K(B) generat de B peste K. Fie K ⊂ L o extindere de corpuri. O submult¸ime B ⊂ L se nume¸ste baz˘ a de transcendent¸˘ a a lui L peste K dac˘a este simultan algebric independent˘ a ¸si sistem algebric de generatori. (A se observa paralelismul cu not¸iunile de independent¸˘ a liniar˘ a ¸si baz˘ a pentru spat¸ii vectoriale.) Pentru orice extindere de corpuri K ⊂ L exist˘a baze de transcen-dent¸˘a. Toate acestea au acela¸si cardinal, numit gradul de transcen-dent¸˘ a al lui L peste K ¸si notat trdegK (L). Exemplul 9. 1) Dac˘ a L este algebric peste K, trdegK (L) = 0. 2) Dac˘ a L = K(X1 , . . . , Xn ) este corpul funct¸iilor rat¸ionale ˆın n nedeterminate peste K, atunci B = {X1 , . . . , Xn } este o baz˘a de transcendent¸˘a ¸si trdegK (L) = n. 3) Fie A = K[X, Y ]/hF i, unde F ∈ K[X, Y ] este un polinom care nu este constant ˆın Y , ¸si fie L = F r A. Atunci trdegK (L) = 1 (o baz˘a de transcendent¸˘ a este format˘ a din imaginea x a nedeterminatei X ˆın A, prin proiect¸ia canonic˘ a) (F).

Bibliografie [1] Atiyah, M.F. : Macdonald, I.G. : Introduction to Commutative Algebra, Addison-Wesley, Reading, 1969 [2] Eisenbud, D. : Commutative algebra. With a view toward algebraic geometry, GTM150, Springer, 1995 17

[3] Matsumura, H. : Commutative Algebra, W. A. Benjamin, New York, 1970 [4] Zariski, O.; Samuel, P. : Commutative Algebra, D. Van Nostrand Comp. Inc., Princeton, NJ, 1958,1960

18