126904928-14-mjerenje-parametara.pdf

MJERENJE PARAMETARA ELEKTRIČNOG KOLA MJERENJE INDUKTIVITETA U uvodnom dijelu treba naglasiti da je induktivitet interesantan za analizu u kolima izmjenične struje. Kod ove analize treba razlikovati sopstveni induktivitet (strujno kolo sa jednim kalemom) i međuinduktivitet (međusobno djelovanje dvije prigušnice različitih strujnih kola).

Mjerenje induktiviteta metodom ampermetra i voltmetra Induktivitet prigušnice (kalema) L može se odrediti koristeći definiciju reaktivnog otpora X L = ωL . Prema tome, dovoljno je izmjeriti napon i struju da bi se odredio induktivitet. Prigušnica induktiviteta L ima sopstvenu impedansu, koja ovisi od aktivnog otpora R i induktiviteta L. Udio induktiviteta je veći ako je viša frekvencija u strujnom kolu: Z = R 2 + (ωL )2 . Žuberova metoda podrazumijeva mjerenje izmjeničnog napona U ~ i izmjenične struje I ~ radi određivanja impedanse Z te mjerenje istosmjernog napona U − i struje I − radi određivanja otpora R. Uzimajući u obzir rezultate mjerenja induktiviteta se može dobiti kao:

L=

1 2πf

 U~   I~

2

  − R 2 . 

Ako se induktivitet mjeri na ovaj način dobijaju se velike greške mjerenja, koje su utoliko veće, ukoliko je veći udio aktivnog otpora R u impedansi. Uopšteno govoreći, metoda se može smatrati približnom, zbog toga što ukupna greška ovisi od grešaka četiri mjerenja (Slika1.). Dodatna greška je moguća ako se uzme u obzir greška mjerenja frekvencije.

1

A

Pr

A V

V

Hz

~

P R

L

Slika.1. Mjerenje induktiviteta L mjerenjem napona i struje

Prema tome, uzimajući u obzir vrijednosti izmjerene na slici 1. dobija se: 1 L= 2πf

 U~   I~

2

2

U    −  _  .  I_    

Isprekidane veze na slici se koriste kada su aktivni otpor R, odnosno impedansa Z veliki u poređenju sa aktivnim otporom, odnosno impedansom voltmetra.

Mjerenje induktiviteta kalema sa feromagnetnom jezgrom Predhodna metoda je potpuno neprikladna ako se radi o kalemima sa feromagnetnom jezgrom jer se pri izmjeničnoj struji javljaju dodatni gubici u feromagnetnom materijalu. Tada se koristi metoda sa mjerenjem napona, struje i snage (Slika 2.). U ovom slučaju određuje se efektivni otpor induktiviteta mjerenjem u kolu izmjenične struje pomoću voltmetra, ampermetra i vatmetra. I u ovom slučaju treba voditi računa da li je impedansa Z velika u odnosu na impedanse ampermetra i strujnog namotaja vatmetra. Ako to nije slučaj ampermetar se spaja prije vatmetra i voltmetra. Bez obzira koja je varijanta u pitanju aktivni otpor kalema je jednak količniku snage i kvadrata izmjerene struje I 2 : R=

P I2

.

Vrijednost induktiviteta jednaka je:

2

L=

2

U2 P2 1 P − 4 = U2 −   . 2 2πfI I I I

1 1 Z2 − R 2 = ω 2πf

Na kraju se može pisati da je: L=

1 2πf I 2

(UI)2 − P 2 .

U predhodnoj jednačini pod korjenom se nalazi razlika kvadrata prividne snage kalema i kvadrata aktivne snage. Isto kao u predhodnoj metodi ova metoda nije dovoljno tačna jer treba izmjeriti četiri električne veličine: struju, napon, snagu i frekvenciju.

A

W RA

L

~

V RV

R

Slika 2. Mjerenje induktiviteta kalema sa feromagnetnom jezgrom

Mjerenje induktiviteta rezonantnom metodom Iz osnova elektrotehnike se zna da je uslov rezonanse: ω 2 LC = 1. Ako je poznata frekvencija f i kapacitet C, mjereni induktivitet je: LX =

1 2

ω C

=

1 2 2

4π f C

.

Shema mjerenja po ovoj metodi data je na slijedećoj slici. Rezonancija može da se realizira ili promjenom kapaciteta kondenzatora C ili promjenom frekvencije f (poznata vrijednost) sa poznatom vrijednošću kapaciteta C.

3

Induktivitet se dobije, uzimajući u obzir sopstveni induktivitet kola L K , kao: L = LX + LK , gdje je LX induktivitet koji se mjeri, a LK sopstveni induktivitet kola.

mA

C

LX

Slika .3. Mjerenje induktiviteta L kalema rezonantnom metodom

Sopstveni induktivitet kalema LK može se izmjeriti kod rezonanse preko promjenjivog kondenzatora. Ako se rezonansa uspostavila pri vrijednosti kapaciteta CS kondenzatora dobije se: L K = L − LS =

1 − LS . 4π f C S 2 2

pri čemu je LS poznati standardni induktivitet. Poslije se u kolo uključi induktivitet LX, koji se mjeri. Ako je zadržana konstantna frekvencija te se postigne rezonancija pri nekom drugom kapacitetu CX, mjereni induktivitet će biti:

LX =

1 2 2

4π f C X

− LK .

Najčešće se koristi metoda zamjene. Prvo se u rezonantno kolo uključi kalem nepoznatog otpora induktiviteta LX, koji se mjeri. Rezonancija se uspostavlja podešavanjem ili frekvencije f ili kapaciteta CS. Potom se umjesto LX stavi LS. Promjenom induktiviteta LS dovodi se kolo ponovo u rezonanciju, ne mijenjajući pri tome frekvenciju f i kapacitet C. Tada će

4

induktivitet promjenljive standardne induktivnosti biti jednak mjerenom induktivitetu: L SX = L X .

Mjerenje induktiviteta korištenjem prelaznog procesa Ovaj metod je pogodan kod mjerenja velikih induktiviteta i sličan je mjerenju velikih otpora. Principijelna shema mjerenja data je na slici.

A E

iL

RA

iL

LX

RT

iL

RX

R1

i L1

iL2

t

t1 t 2 a)

b)

Slika 4. Mjerenje veoma velikih vrijednosti induktiviteta određivanjem vremenske konstante TL = L / R ; a) principijelna shema; b) promjena struje poslije uključivanja izvora E

Ampermetar za mjerenje jačine struje i L treba imati mali unutrašnji otpor. Kao izvor može se koristiti akumulator velikog kapaciteta. Treba izmjeriti, za već utvrđene dvije vrijednosti struja vremena t 1 i t 2 , tada je: L=R

T i ln L1 i L2

,

gdje je T = t 2 − t 1 i R = R 1 + R A + R X . Mostovi za mjerenje induktiviteta Mjerni mostovi su opisani u posebnom poglavlju tako da će ovdje biti dat samo kratak osvrt na mostove koji se primjenjuju za određivanje 5

induktiviteta. Mjerni mostovi se temelje na metodi poređenja sa poznatim induktivitetima. Za napajanje ovih mostova koriste se izmjenični izvori pri čemu su određene grane mosta promjenjive kako bi se mogla uspostaviti ravnoteža i po modulu i po fazi. a) Most za mjerenje induktiviteta metodom poređenja Najčešće primjenjiv metod mjerenja nepoznatog induktiviteta je poređenje sa poznatim induktivitetom u mosnom spoju .

Slika 5. Most za mjerenje induktiviteta metodom poređenja

Pri ravnoteži mosta vrijednosti R X i L X su: RX =

R 1R 3 − R, R2

LX =

L1 R 3 . R2

Ovdje je R 1 promjenjivi otpor u koji je uključen i promjenjivi induktivitet kalema L1 . Za uravnoteženje mosta reguliše se R 1 i L1 .

6

b) Most Maksvel – Vina (Maxwell –Wien) Za mjerenje nepoznatog induktiviteta Vin je predložio modifikaciju Maksvelovog mosta kao na slici:

Slika 6. Most Maksvel – Vina

Uslovi ravnoteže mosta opisani su jednačinama:

RX =

R 1R 3 , R2

L X = R 1 R 3 C, QX =

ωL X = ωR 2 C. RX

Induktivitet se određuje pomoću kapaciteta visokog kvaliteta, koga je lakše napraviti, nego etalonski induktivitet i stvara naznatno polje. Ravnoteža se uspostavlja regulisanjem R 2 i C. Maksvel – Vinov most se mnogo koristi za mjerenje induktiviteta namotaja sa dobrotom Q koja je manja od 10. Ova gornja maksimalna granica za Q limitirana je time što, kod uravnoteženih mostova, suma faznih uglova suprotnih grana mosta mora biti jednaka:

7

ϕ1 + ϕ 4 = ϕ 2 + ϕ 3 . Kako su R 1 i R 3 aktivni otpori, njihovi fazni uglovi jednaki su nuli. Struja kroz induktivitet sa visokim faktorom dobrote Q će zaostajati po fazi skoro za 90°. Taj ugao se mora uravnotežiti kombinacijom kapacitet – aktivni otpor.

c) Most Heja

Slika 7. Most Heja

Otpor R 2 spaja se serijski sa kapacitetom C. Kod velikog faktora dobrote QX otpor R 2 može biti veoma mali. Uslovi ravnoteže mosta Heja (Slika 7.) su: R 1R 3 1 R R C , LX = 1 3 , 2 1 R 2 1 + Qx 1+ 2 QX ωL X 1 . QX = = RX ωR 2 C

RX =

Nedostatak ovog mosta je što njegovo uravnoteženje ovisi od frekvencije, pa je skalu instrumenta nemoguće gradirati direktno u jedinicama induktiviteta.

8

Most Heja se koristi samo za mjerenje kalema sa koeficijentom dobrote većim od 10 i ako se u jednačini za LX može zanemariti član Q −x2 onda vrijednost za nepoznati induktivitet ne ovisi od frekvencije i greška mjerenja je ispod 1%.

d) Ovenov most Shema mosta Ovena data je na slici 8., a uslovi njegove ravnoteže su sljedeći: RX =

R 1 C1 − R, C2

L X = R 1 R 2 C1 .

Ako su R2 i C2 elementi koji se regulišu, moguće je obezbjediti neovisnu ravnotežu za RX i LX, mada je to moguće uraditi i sa R1 i R2.

Slika .8. Ovenov most

Mjerenje međuinduktiviteta Koeficijent međusobne indukcije jednak je:

9

M=

N 2 Φ 12 , i1

i vidi se da je ovisan o ukupnom ulančanom sekundarnom fluksu. Ovo važi za idealan slučaj kada je sav proizveden fluks jednog namotaja, na primjer primarnog, bio ulančan sa cijelim sekundarnim kalemom. U tom slučaju je: N N L1 L 2 =  1 2  Rm

2

  = M 2 , 

gdje je: - N1 , N 2 - broj namotaja primara, odnosno sekundara, - Rm =

1l - magnetni otpor. µS

Iz predhodne jednačine dobije se da je: M = L1 L 2 .

Smanjivanje koeficijenta M, zbog slabije magnetske veze obaju namotaja u odnosu na vrijednost M = L 1 L 2 , koja vrijedi jedino za idealno magnetski povezane namotaje, izražava se matematički uvođenjem faktora k, čime se koeficijent M može prikazati jednačinom: M = k L1 L 2 .

Koeficijent k se zove faktor magnetskog sprezanja, a njegova vrijednost je k = 1 za idealnu vezu i k < 1 za nepotpunu vezu. Ako su oba induktiviteta poznata ili ih je moguće izmjeriti dovoljno je odrediti koeficijent magnetskog sprezanja k. Ako je ωL 1 >> R L1 onda je za njegovo određivanje dovoljno izmjeriti dva napona. Prema shemi na slijedećoj slici 9. jedan od međusobno spregnutih kalemova vezan je na izvor izmjeničnog napona i mjere se primarni i sekundarni naponi U1 i U 2 . Koeficijent sprege je: k=

10

U2 n, U1

gdje je n =

N2 L2 . ≈ N1 L1

1

~

V

2

L1

U1

V

L2

U2

M

Slika 14.9. Određivanje međuinduktiviteta mjerenjem napona

Za dobijanje tačnijih rezultata mjerenje može se ponoviti mjerenje sa zamjenom mjesta kalemova, pa se dobije: k2 =

U 2 U 1' U 1 U '2

.

Drugi način određivanja međuinduktiviteta svodi se na mjerenje dvije induktivnosti prema slici 10.

La

L1

L2

Lb

L1

L2

Slika 10. Određivanje međuinduktiviteta mjerenjem dvije induktivnosti

Sa slike se vidi da je: L a = L1 + L 2 + 2 M ,

i

11

L b = L1 + L 2 − 2 M .

Iz predhodnih jednačina može se pisati da je:

M=

La − Lb . 4

Pošto rezultat ovisi od razlike dviju veličina ovaj metod nije pogodan za male vrijednosti međuinduktiviteta. Za slučajeve većih koeficijenata sprege pogodan je rezonantni način, nazvan Kembelovo kolo (Slika 11.). U ovom slučaju struja izvora I1 prolazi kroz primarni kalem i kondenzator. Napon ravnoteže registruje se na voltmetru V koji je redno vezan sa sekundarnim kalemom i kondenzatorom C. Sekundarni napon međuinduktiviteta i napon na krajevima kondenzatora su u protufazi. Promjenom frekvencije ili promjenom kapaciteta C mogu se izjednačiti ova dva napona, pa se može pisati: jωMI1 +

I1 = 0. jωC

M I1 L1

L2

~

V

U2

C

Slika 11. Određivanje međuinduktiviteta rezonantnom metodom

Iz predhodne jednačine dobije se mjereni induktivitet kao: M=

1

(2πf )2 C

.

Međuinduktivitet M dva induktivno spregnuta kalema može se odrediti i prema shemi na slici 12. mjerenjem napona i struje.

12

M

R I1

~

V RV

A

RA

Slika 12. Mjerenje međuinduktiviteta voltmetrom i amermetrom

U primarnom kolu postavljen je ampermetar A i promjenjivi otpor R, kojim se može regulisati jačina struje u kolu. Na sekundarnom dijelu priključen je voltmetar V sa velikim unutrašnjim otporom (elektronski voltmetar). Izmjenična struja I 1 (u primaru) indukuje u sekundaru elektromotornu silu E 2 = ωMI 1 . Ako je pri tome poznata vrijednost frekvencije izvora napajanja, onda mjereći voltmetrom vrijednost napona na sekundaru, koji je praktično jednak indukovanoj elektromotornoj sili tj. U 2 = E 2 i jačinu struje I1 u primarnom kolu, dolazi se do vrijednosti: U2 . ωI 1 Međuinduktivitet M dva induktivno spregnuta kalema može se odrediti poređenjem sa etalonskim međuinduktivitetom M e dva induktivno spregnuta kalema, pri čemu treba postojati mogućnost da se M e kontinualno mijenja u određenim granicama. M=

Shema ove metode mjerenja data je na slici 13.

13

M R

N

~ Me

Slika 13. Mjerenje međuinduktiviteta metodom poređenja

MJERENJE KAPACITETA Mjerenje kapaciteta mjerenjem napona i struje Mjerenje kapaciteta nekog kondenzatora pri niskim frekvencijama može se realizirati pomoću voltmetra i ampermetra (UI metoda) kao na slici 14.

Hz

V RA

A

RV

C

Slika 14. Mjerenje kapaciteta kondenzatora voltmetrom i ampermetrom

Prema ovoj shemi, osim napona i struje, treba znati i vrijednosti frekvencije f zbog čega je u šemi postavljen frekvenciometar. Struja kroz kondenzator

14

proporcionalna je frekvenciji, naponu i kapacitetu I = ωUC , pa je kapacitet C kondenzatora jednak: C=

I I . = ωU 2πf U

Na slici 14 sistematska greška je mala, jer je impedansa ampermetra zanemariva u odnosu prema kapacitivnoj impedansi kondenzatora. Može se koristiti mjerna shema gdje je, u odnosu na kondenzator prvo vezan voltmetar pa potom ampermetar , ali je uobičajenija šema kao na slici 14. Metoda nema veliku tačnost, jer treba mjeriti sa tri instrumenta, ali je veoma praktična i lahka za primjenu, naročito za mjerenje većih kapaciteta. Pri mjerenju treba koristiti napon sinusnog oblika.

Mjerenje kapaciteta kondenzatora rezonantnom metodom Shema veza data je na slici 15.

mA

CX

L Slika 15. Mjerenje kapaciteta kondenzatora rezonantnom metodom

Pri postignutoj rezonansi induktivna i kapacitivna reaktansa u kolu postaju jednake po veličini:

15

ωL=

1 , ωC

tako da je: CX =

1 . 4 π2 f 2 L

Do rezonancije se može doći ili promjenom frekvencije f ili promjenom induktiviteta ili promjenom i frekvencije i induktiviteta istovremeno. Tačnost metode ometaju induktivne i kapacitivne veze među elementima rezonantnog kola. Da bi se ovo spriječilo koristi se postupak zamjene i dopune (Slika 16.) Neka se prvo analizira postupak zamjene. Potrebno je imati standardni kondenzator promjenljivog kapaciteta CS čija maksimalna vrijednost mora biti veća od mjerenog kapaciteta CX. Mjerno kolo se dovodi u rezonanciju dva puta. Prvo se dovodi u rezonanciju sa mjernim kapacitetom CX bilo promjenom frekvencije bilo promjenom induktiviteta L. Zatim se, umjesto CX ubaci CS, pri tome zadržavajući frekvenciju i induktivitet L nepromjenjenim. Promjenom kapaciteta CS kolo se dovodi u rezonanciju. Podešena vrijednost CSX na standardnom kondenzatoru promjenljivog kapaciteta biće jednaka vrijednosti mjerenog kapaciteta CX: C X = C SX .

Kod postupka dopune radi se na drugi način. I ovdje se rezonantno kolo dovodi u rezonanciju dva puta. Prvo se u rezonantno kolo veže standardni kondenzator čiji se kapacitet podesi na najveću vrijednost CSM i kolo se promjenom frekvencije ili induktiviteta dovodi u rezonanciju. Potom se paralelno sa CS veže nepoznati otpor CX i kolo dovodi u rezonanciju samo sa promjenom kapaciteta standardnog kondenzatora. Mjerni kapacitet CX biće jednak: C X = C SM − C SX .

16

mA

CX

CS

L Slika.16. Mjerenje kapaciteta C kondenzatora rezonantnom metodom

Mjerenje kapaciteta metodom pražnjenja kondenzatora Mjerenje kapaciteta metodom naelektrisanja i pražnjenja kondenzatora slično je mjerenju velikih otpora sa vremenskom konstantom pražnjenja. Koristi se shema na slici 17. U ovom slučaju obavljaju se dva mjerenja na temelju kojih se može odrediti kapacitet: 1

CX =

R N ln

U1 U2

T1 T2 . T2 − T1

Ako se korisiti balistički galvanometar kapacitet se može odrediti koristeći istosmjerni most. Prema shemi na slici 17. kondenzatori CX i CN istovremeno se naelektrišu i prazne. Sve dok se most ne uravnoteži kod naelektrisavanja i pražnjenja kondenzatora kazaljka galvanometra pokazuje otklon. Most je uravnotežen kada su jednake vremenske konstante τX=CXR1 i τN=CNR2. U tom slučaju umiri se kazaljka galvanometra pri prebacivanju preklopke za punjenje i pražnjenje kondenzatora. Tada je: CX =

CN R 2 . R1

17

R1

CX

R2

CN 1

2

Slika 16. Most istosmjerne struje za mjerenje kapaciteta sa balističkim galvanometrom kao instrumentom za detekciju

Mosne metode mjerenja kapaciteta Ovi mostovi se koriste za mjerenje kapaciteta kod serijskog ili paralelnog spajanja otpora gubitaka. Za mjerenje kapaciteta koriste se tri tipa mjernih mostova i to:
mostovi, koji koriste poređenje sa definisanom mjerom,
most Šeringa,
most Vina. Most Vina se mnogo koristi za mjerenje frekvencije i zato će biti analiziran u dijelu mjerenje frekvencije. Mostovi za mjerenje kapaciteta metodom poređenja sa poznatom mjerom dati su na slici 18. C1 je etalonski kondenzator sa unutrašnjim otporom R1. U kapacitivnu granu mosta postavlja se promjenljivi otpor sa malim gubicima (predpostavlja se da su oni uključeni u otpor R1). Uslovi ravnoteže mosta su: RX =

R 1R 3 , R2

CX =

C1 R 2 , R3

tgδ = ωC X R X .

18

a)

b) Slika 18. Mostovi za mjerenje kapacitet poređenjem

Za mjerenje kapaciteta sa velikim tangensom ugla dielektričnih gubitaka koristi se shema sa paralelnom RC vezom (Slika 8.b). I u ovom slučaju ravnoteža mosta određena je predhodnim jednačinama, a tangens ugla dielektričnih gubitaka je: tgδ =

1 ω C1 R

Ovaj metod nije dovoljno tačan kod mjerenja kapaciteta sa malim tangensom ugla dielekričnih gubitaka – u tim slučajevima bolje je koristiti most Šeringa.

19

Most Šeringa se mnogo koristi kod mjerenja kapaciteta i određivanja tangensa ugla dielektričnih gubitaka. Koristi se, također, kod mostova visokog napona s etalonima kondenzatora visokog napona. Shema mosta je dat na slici 19.

Slika 18. Most Šeringa

Uslovi ravnoteže definisani su kao: RX =

C2R 3 , C1

CX =

C1 R 2 , R3

tgδ = ωC 2 R 2 .

Ovdje je C1 etalon kapaciteta sa malim tangensom ugla dielektričnih gubitaka, C2 i R2 regulacioni kapacitet i otpor koji se koriste za uspostavljanje ravnoteže. Pošto je fazni ugao između C2 i R3 jednak gotovo 90° C2 može biti mali promjenljivi kapacitet. Shemom na slici 20. mogu se mjeriti nepoznati kapacitet Cx, Rx ili induktivitet Lx, Rx. Prije svega, most se uravnoteži bez spajanja nepoznatih komponenti na 1 i 2 i to se vrši regulisanjem R2 i C2. Ako se uspostavi ravnoteža pri R2a i C2a potom se spaja napoznati kapacitet ili induktivitet na 1

20

i 2, a R2 i C2 se mijenjaju do uspostavljanja ravnoteže mosta i dobije se R2b i C2b. Uslovi ravnoteže su

[

]

R X = ω 2 C 22a (R 2a − R 2b )

[

LX = − ω2 CX

] = [ω −1

2

−1

,

(C 2b − C 2a )] , −1

C X = C 2a − C 2b .

Slika 20. Mjerenje metodom zamjene sa paralelnim uključivanjem nepoznatih elemenata

MJERENJE FREKVENCIJE Frekvencija se definiše kao broj ciklusa u jedinici vremena odnosno kao recipročna vrijednost trajanja jednog ciklusa:

21

f=

1 . T

Logometarski mjerač frekvencije U ovom slučaju logometar (instrument sa unakrsnim kalemima) spaja se na mjereni napon, čija se frekvencija mjeri, preko dvije Grecove sprege. Kod ove vrste mjerenja razlikuju se tri vrste shema. U prvom slučaju se jedan od kalemova instrumenta vezuje na napon preko otpora R, a drugi preko kondenzatora C (Slika 21.a.). Kao što se vidi sa dijagrama (Slika 21.b.) jačina struje u grani sa aktivnim otporom R neće ovisiti od frekvencije f i biće stalna i približno jednaka: I1 = I R =

U . R

Hz

C

R U

a)

22

I IC

IR

fn f b) Slika 21. Pojednostavljena shema jednog logometarskog mjerača frekvencije i pripadajući dijagram osjetljivosti

Jačina struje kroz drugi kalem instrumenta ovisiće od frekvencije i biti proporcionalna njoj: I 2 = ωUC = 2πfUC .

Skretanje kretnog organa biće u ovisnosti od količnika jačina struja kroz kalemove:

I α = f  1  I2

  = f (2πfRC ) = f (kf ) . 

Sa dijagrama se vidi da je struja IR=const. dok struja IC raste sa povećanjem frekvencije. Pri frekvenciji fn ove su struje jednake, pa su i njihovi momenti jednaki, odnosno kazaljka će stati. U drugom slučaju se jedan od kalemova instrumenta vezuje na napon preko induktivitet induktivnosti L, a drugi preko kondenzatora C (Slika 22.a.). Osjetljivi instrument je dat na slici 22.b. Kao što se vidi sa sheme i dijagrama i struja IC i struja IL ovise od frekvencije. Struja kroz induktivitet opada sa porastom frekvencije: I1 =

U . ωL

Struja kroz kondenzator raste proporcionalno frekvenciji: I 2 = 2πfUC .

23

Skretanje kretnog organa instrumenta sa unakrsnim namotajima ovisi od količnika: I α = f  1  I2

  = f 4π 2 f 2 LC . 

(

)

Hz

L

C U

a)

I IL

IC

f

f

n b) Slika 22. Shema veze jednog logometarskog mjerača frekvencije i pripadajući dijagram osjetljivosti

Kao što se vidi , ugao skretanja pomičnog organa ovisi od kvadrata frekvencije pa je samim tim ovaj tip instrumenta osjetljiviji. Kada su struje odnosno momenti, koji djeluju na unakrsne kalemove jednaki, frekvenciometar će pokazivati nazivnu frekvenciju.

24

Osjetljiviji instrument koji ima uži opseg mjerenja , čije pokazivanje ne ovisi od oblika krive mjerenog napona dat je na slici 23. U trećem slučaju se jedan od kalemova instrumenta vezuje na napon preko induktivitet induktivnosti L1, a drugi preko serijske veze kondenzatora C i induktiviteta L (Slika 23.a.). Osjetljivi instrument je dat na slici .23.b.

Hz

L C

L1 U

a)

I

ILC

IL

b)

fn

f0

f

Slika 23. Shema veze jednog logometarskog mjerača frekvencije i pripadajući dijagram osjetljivosti

25

Kao i u predhodnom slučaju u jednoj grani, gdje se nalazi induktivitet L1, jačina struje u njoj opada sa rastom frekvencije približno po formuli: 1 . ωL 1 U drugoj grani se nalazi redna veza induktiviteta i kapaciteta (L-C) što predstavlja oscilatorno kolo sopstvene rezonantne frekvencije f0, koja je veća od frekvencije fn, pri kojoj su oba kretna momenta unakrsnih kalema mađusobno jednaki po veličini. Struja u drugoj grani je, približno: I1 ≈

1

I2 ≈

ωL −

1 ωC

.

Mostovi za mjerenje frekvencije Na slici 24. dat je Vin-Robinsonov (Wien-Robinson) most. Uslovi ravnoteže ovog mosta su: R1 R 3 C4 − − =0, R 2 R 4 C3

ω=

1 R 3 R 4 C3C 4

R1

C3

.

R2

R4

R3

C4 fx Slika 24. Most Vin-Robinsona za mjerenje frekvencije

26

U predhodnoj jednačini korisno je ispuniti sljedeće odnose: R1=2R2, R3=R4=R i C3=C4=C. Tada važi da je: ω=

1 . RC

Prilikom pažljivog odabira elemenata mosta čisto sinusoidalnog napona maksimalna greška ne prelazi 0,1%. U upotrebi je i rezonantni most (Slika 25.) C1

L1 R1

R2

R1

R4

Slika 25. Shema rezonantnog mosta

Uslov rezonancije ovog mosta je:  1   R 1 + jωL1 + R 4 = R 2 R 3 , jωC1  

odakle je: R1 =

R 2R 3 , R4

i f=

1 2π L 1 C 1

.

27