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Álvaro Fernandes.

(

1. Domínio: x − 1 ≠ 0 2

)

Esboce o gráfico da função f ( x ) = ( x ) x 2 − 1 .

⇒

x2 ≠ 1 ⇒

x≠± 1 ⇒

x ≠ ±1 . Logo D( f ) = ℜ − {− 1, 1} .

x  com o eixo x (faça y = 0 ) : 0 = ⇒ x = 0. Logo temos o ponto (0 , 0 ). 2  x −1 2. Interseções com os eixos:  com o eixo y (faça x = 0) : y = 0 ⇒ y = 0. O mesmo ponto (0 , 0 ).  02 −1 3. Assíntotas:

 x x 1 1 = lim+ = = + = +∞.  xlim + 2 + →1 x − 1 x →1 ( x + 1)( x − 1) (2 ) 0 0  A reta x = 1 é assíntota.  x x 1 1 = lim− = = − = −∞.  xlim − 2 →1− x − 1 x →1 ( x + 1)( x − 1) ( ) 2 0 0    −1 x x 1 = lim+ = + = + = +∞.  lim+ 2  x →−1 x − 1 x →−1 (x + 1)( x − 1) 0 (− 2 ) 0 A reta x = −1 é assíntota.  −1 x x 1  = lim− = − = − = −∞.  lim− 2  x →−1 x − 1 x →−1 ( x + 1)( x − 1) 0 (− 2 ) 0

( )

Vertical:

( )

( )

( )

x  = (L´Hospital) = lim  xlim x → +∞ → +∞ x 2 − 1 Horizontal:  x  lim = (L´Hospital) = lim  x → −∞ x 2 − 1 x → −∞ 4. Crescimento e decrescimento: f ' ( x ) =

(

)

1 = 0. 2x A reta y = 0 é assíntota. 1 = 0. 2x

1 x 2 − 1 − x(2 x )

(x

2

)

−1

2

= ... =

− x2 − 1

(x

2

)

−1

2

.

A função f é decrescente ∀x ∈ ℜ − {− 1, 1} .

5. Extremos relativos: Como o sinal de f ' não muda (é sempre negativo), então não existem extremos relativos para f. 6. Concavidade:

2 (2 x )(x 2 + 3) . ( − 2 x )(x 2 − 1) − (− x 2 − 1)(2 )(x 2 − 1)(2 x ) f ' ' (x ) = = ... =

(x

2

)

−1

4

(x

2

)

−1

3

f tem C.V.C. ∀x ∈ ]− 1, 0 ] ∪ ]1, + ∞[ .

f tem C.V.B. ∀x ∈ ]− ∞ , − 1[ ∪ [0 , 1[ . 7. Inflexão: Como x = −1 e x = 1 não fazem parte do domínio da função muda de sinal quando passa por ele. 8. Esboço:

f , então o único ponto de inflexão é x = 0 pois f ' '