1261

Probleme de concurs (UPB) 1.Fie sistemul x+y+z=a ,a ∈R.Fie A multimea acelor a∈ R pentru care sistemul admite o so2xy-z2 =9 lutie unica reala si S= a. Atunci: a ∈A a)S=4;

b)S=10;

c)S=2;

d)S=0;

2.Daca x,y,z satisfac relatiile: x+y+z=14 x2+y2+z2=98 atunci suma xy+yz+zx are valoarea: a)49; b)98; c)196;

d) 0 ;

e)S=8;

f)S=2/3;

e)10;

f)100;

n2+4n+3 3.Fie A=

1 √ k + √k+1

n∈ N

.Atunci:

k=1 a)A⊂R\Q;

b)A ⊂ {2m+1 m∈ N*};

4.Fie A= 9+x 2 9-x2

c)A⊂Z\N;

d)A⊂{2m m ∈ N}; e)A=N*; f)A⊂Q\Z;

x ∈(-1,2) .Sa se afle m=inf A si M=sup A.

a)m=1,M=5/4; b)m=1,M=13/5; c)m=5/4, M=13/5; d)m=-1,M=2; e)m=-1,M=1; f)m=5/4,M=2; 5.Fie f:R R, f(x)= mx2-(m-1)x+m-1 .Sa se determine m ∈ R astfel incat f sa fie corect definit. a)m∈ [-1/3,1]; b)m∈(0, ∞); c)m∈R\(-1/3,1); d)m∈R\[-1/3,1]; e)m ∈ R; f)m∈[1,∞); 6.Determinati numerele reale (x,y,u,v) care verifica: u+v=2 xu+vy=1 ux2+vy2=-1 ux3+vy3=-5 1

7.Pentru ce valori α∈ R sistemul

x + y=1 are 4 solutii? x 2+y 2 =α a)α∈{1}; b) α∈{1/2}; c) α∈{1/3}; d) α∈ {4}; e) α∈{1/2,1};f) α∈{1,3}; 8.Valorile m∈R pentru care x2 +y2 –2x-y-m≥0 ,∀ x,y ∈R sunt: a)m∈(-∞,-5/4]; b)m∈0 ; c)m∈(-∞,-1); d)m∈(-5/4,∞); e)(-1,∞);

f)m∈R;

9.Coordonatele (x,y) ale varfurilor parabolelor m:y=mx2+2(m-1)x+m+1 , m≠0 verifica: a)y=2-x; b)y=-2-x si x≠-1; c)y=x si x≠0; d)y=x; e) y=x-1 si x≠1; f)y=x-1; 10.Daca ƒ(x)= 2x –3, x≤0 7x ,x>0 a)h(x)= (x-3)2,x≤0 14x-1,x>0 d)h(x)= 14x-1, x>0 (2x-1)2,x≤0

si g(x)= x2, x≤-2 2x-1,x>-2

atunci gοf este:

b)h(x)= (2x-3)2, x≤0 14x-1, x>0 e)h(x)= (2x-3)2, x>0 14x-1,x≤0

c)h(x)= (x-3)2, x>0 14x-1, x≤0 f)h(x)= ( x-2)2,x≤0 14x-1,x>0

11.Fie ∆,P si S , respectiv ,discriminantul,produsul si suma solutiilor ecuatiei ax2+bx+c=0 ,a≠0. Daca a,∆,P,S sunt in aceasta ordine , numere intregi consecutive stabiliti valoarea produsului abc. a)3; b)2; c)4; d)-10; e)1; f)-1; 12.Sa se afle valorile lui m∈R pentru care sistemul x+y=m admite solutie reala unica. 2 2 x +z -2y+2z=0 a)m=0; b)m∈0; c)m=-1; d)m=1; e)m=1/2; f)m=-1/4; 13.Aflati parametrul a∈R astfel incat xy/x+y<0, unde (x,y) este o solutie oarecare a sistemului x3+y3-2(x+y)=25a x2-xy+y2=7 a)a<0; b)a>0; c)a∈(0, √7/5); d)a∈(-∞,-√7/5)∪(√7/5,∞); e)a∈(-∞,-√7/5)∪(1,∞); f)a∈(-∞,-√7/5)∪(0,√7/5);

2

14.Sa se gaseasca maximul sumei x0+y0+z0 ,unde(x0+y0+z0) e solutia reala a sistemului: 2x=y+2/y 2y=z+2/z 2z=x+2/x a)3; b)3√2; c)3/√2; d)12; e)5/2; f)nu exista; 15.Nici un numar de forma 111…1, n≥2 , nu este : n cifre a)intreg; b)rational; c)divizibil cu 3; d)patratul unui numar intreg; e)mai mic decat 10 la puterea n; f)divizibil cu 37; 16.Pentru ce valori ale parametrului real m, sistemul x2 +y2=z are solutie unica? x+y+z=m a)m∈R; b)m=1/2; c)m=0; d)m=-1/2; e)m∈{-1/2,1/2}; f)m∈(0,1/2); 17.Sa se calculeze suma S=x+y+u+v,stiind ca x,y,u,v verifica sistemul x+y=3 xu+yv=-1 xu2+yv2=3 xu3+yv3=-1 a)S=3; b)S=0 ; c)S=1; d)S=-1; e)S=2; f)S=-3; 18.Cea mai mare valoare pe care o poate lua functia ƒ:(0,∞)→R,ƒ(x)=(log3x)2+2(log3x)(log3 9/x) este: a)100; b)10; c)1; d)4; e)9; f)64; 19. Solutia inegalitatii 3x+4x+5x<6x este: a)x>1; b)x<√3 ; c)x<2; d)x>3; e)x<3;

f)x>√3 ;

20.Fie a∈(0,1) si numarul m=a1+√6 , n=a√2+√3.Atunci: a)m>n; b)m+n=2; c)m+n>2; d)m
f)m1+√6=n√2+√3;

21.Sa se determine valorile parametrului real m pentru care {x∈R(m-1)ex+2m+me –x>0}=R. a)m∈(1,∞); b)m∈[1,∞); c)m∈(-∞,0)∪[1,∞); d) 0 ; e)m∈(-∞,0]; f)m∈ (0,1); 4x-6x+9x 22.Fie f:R→R, f(x)=

.

Notam I=f(R).Atunci: 3

4x+6x+9x a)I=[0,1]; b)I=[1/3,3]; c)I=[1/3,1];

d)I=[1/3,∞);

e)I=(-1,1);

f)I=(0,1);

23.Fie suma solutiilor ecuatiilor 6x+8x+15x=9x+12x+10x..Decideti: a)S∈[0,1]; b)S∈[2,3]; c)S∈[1,3/2] ; d)S∈(3/2,5/2]; e)S∈(5/2,3); f)S≥3; 24.Fie ecuatia: (logx6)2+(log1/6(1/x)2)+log1/√x (1/6)+log6x +3/4=0 si fie suma inverselor solutiilor ecuatiilor.Atunci: a)S∈(10,20]; b)S∈(38,39); c)S∈[1,7]; d)S ∈(13/2,25/2]; e)S∈(6,7); f)S≥39; 25.Solutia inecuatiilor 2(√3+1)-x+ 2x(2+√3)x>3 este: a)(-∞,ln(√3+1)); b)0 ; c)(0,∞); d)R\{0}; e)f(-1,1); 26.Daca x∈(0,∞)\{1/2} si a=log x, b=log 2,atunci: 2 2x a)b(1+a)=1; b)a(1+b)=1; c)2b(1+2a)=1; d)ab=4; e)2a(1+3b)=2;

f)2a+3b=1;

27.Se considera ec.(m-2)4x+(2m-3)2x+1+5m-6=0 cu m ∈R\{2}.Determinati multimea valorilor lui m pt. care ec. data are o singura solutie reala. a)(1,6/5); b)(6/5,2); c){1,3}; d)∅; e)(((5-√13)/(4),((5+√13)/4))); f)(3/2,2); 2ab 2ab 28.Fie 00; 29. Fie z=(x+ij)n+(x-iy)n, unde x,y ∈R\{0} si n∈N. Sa se determine n a.i. z∈R. a)n=4; b)n=7; c)n≥10; d)n∈{2kk∈N}; e)n∈{2k+1k∈N}; f)n∈N; 30.Sa se determine m∈R a.i. x4+3x3+mx2+3x+1=0 sa aiba toate sol.reale. a)m∈(-∞,17/4]; b)m∈(-∞,-8]; c)m∈(-∞,-8); d)m∈(-8,17/4); e)m∈(0,17/4); f)m∈(-∞,17/4);

4

31.Fie P(x)=x4+2x3-x2+3x-2.Sa se calculeze P(x1)+P(x2)+P(x3), unde ecuatiei

x1,x2,x3

, sunt solutiile

x3+3x+1=0. a)2; b)10; c)12; d)8; e)-10; f)-2; 32.Fie f un polinom cu coeficienti reali .Restul impartirii lui f la x3-2 este egal cu patratul catului. Sa se afle catul stiind ca f(-2)+f(2)+34=0. a)2x+1; b)2x-1; c)3x-1; d)-3x+1; e)3x+1; f)-2x+1; 33.Nr termenilor rationali din dezvoltarea (√2+3√3)100 este: a)10; b)14; c)17; d)24; e)51; f)43; 34.Sa se calculeza sumele S1= Cn0+Cn2+Cn4+…….., S2=Cn1+Cn3+Cn5+……… a)S1=S2=2n; b)S1=2n-1,S2=2n-2; c)S1=S2=2n-1; d)S1=S2=n; e)S2=S1=n-1; f)S1=S2=n+1; 35.Gasiti n∈N* ai 1111….12=12345678987654321 n cifre

a)n=9; b)n=8; c)n=7; d)n=6; e)n=5; f)n=4; 36.Sa se determine suma patratelor modulelor radacinilor polinomului f=x3+(3i-2)x2-(1+4i)x+2+i stiind ca are o radacina reala. a)7; b)3; c)4+2√10; d)1+2√10 ; e)4+2√2; f)2+√5; 37.Calculati suma S a solutiilor reale ale ecuatiei:z6-(1-i)z3-i=0 a)ec nu are sol reale; b)S=1; c)S=0; d)S=1; e)S=1+√2;

f)S=1-√2;

38.Fie M={x∈R(√3+1)x +(√3-1)x≤4(√2)x }.Avem: √3+1 a)M=[-2,2]; b)M=(-∞,ln c)M=(-∞,2]; d)M=[-2,∞); √2 e)M=[-2ln(√3+1),2ln(√3+1)] ; f)M=R;

5

39.Fie ec x3+3x2+cx+d=0 ale carei solutii le notam X1,X2,X3 .Fie M multimea perechilor (c,d)∈ C X C cu proprietatea ca X1,X2,X3 sunt in progresie aritmetica iar X1+1, X2+1,X3+1 sunt in progresie geometrica si fie k numarul de elemente ale lui M.Decideti: a)M=∅; b)k=1; c)k=2; d)k=3; e)k=4; f) M e finita; 40.Fie S= C160-C162 +C164-C166+…… -C164+C1616.At. a)S=256; b)Ss=64; c)S=0; d)S=-32; e)S=128;

f)S=1024;

41.Fie P,Q∈R[x], P=x2n+1-xn+axn-1+x+1 ,a∈R, n∈N, n≥2 ,a=x2+x+1.Notam cu M multimea acelor a∈R pentru care ∃ n≥2 a.i a divide P.Daca λ=∑a atunci: a∈M a)λ=1; b)λ=-2; c)λ=∅; d)λ=4; e)λ=6; f)λ=-1; 2+12

42.Fie ƒ:D→R, ƒ(x)=C8xx

,unde D e domeniul maxim de definitie.Daca A = max ƒ(x),at: x∈D a)A∈(35000,36000); b)A∈(30000,35000); c)A∈(9000,10000); d)A e numar prim; e)25/A; f) A=∅; 43.Sa se determine multimea valorilor a∈R pentru care ecuatia x4+2x3+ax2+2x+1=0 are toate solutiile reale: a)[3,∞); b)[0,3]; c) [-1,0]; d)(-∞,-6]; e)∅ f)R;

44.Daca z-1=2 si Im (z)≥2 , atunci: a)z=1±2i; b)z∈{±2i}; c)z=1-2i; d)z=1+2i e)z∈{1+2i, 1-i}; f)z∈{1-2i,1-i}; m+1

m-1 _ 45.Se considera functia ƒ:C→C definita de ƒ(z)= zz ,m∈R\{0}.Sa se 2 2 5 determine functia ƒ =ƒοƒοƒοƒοƒ, unde prin ο se noteaza operatia de compunere a functiilor: _ _ _ 5 5 5 5 5 5 a)(m +1)z+(m -1)z; b)(m+1)z ; c)((m +1)/2)z-((m -1)/2)z; d)1/2[z -(z)5]; _ _ 5 5 5 e)((m+1)/2)z -((m-1)/2)(z) ; f)(m+1)z -(m-1)(z)5;

6

46.Coeficientul lui x6 din expresia [(1+x1/3)(1+x1/4)]15 este: a)C1512C1510; b)C15 15C154; c)C15 15C154+C1512C158; d)C1512C158; e)C1515C154+ C1512 C158+C159C1512; f)C15 9C1510; 47.Ecuatia 2x5+3x4+5x3+3x2+6x+4=0 ,are solutia x1,x2,x3,x4,x5 .Determinati numarul : 1 1 1 1 1 ⋅ ⋅ ⋅ ⋅ 1+X1 1+X2 1+X3 1+X4 1+X5 a)-2/3 ; b)1; c)2/3; d)3/2; e)-3/2; 1 48.Termenul dezvoltarii 1+x+ a)1; b)5;

c)51;

f)-1;

5

care nu-l contine pe x este:

x d)55; e)115; f)205;

49.Fie n∈N si fie S= Cn0+Cn4+Cn8+…….Atunci: a)S=1/2(2n+2 n/2 cos nπ/4); b)S=1/2(2n-1+2n/2 sin nπ/4); c)S=1/2(2n-1-2n/2 cos nπ/4); d)S=1/2(2n-1-2n/2sin nπ/4); e)S=1/2(2n-1+2n/2cos nπ/4); f)S=1/2(2n+2n/2 sin nπ/4); 50.Sa se gaseasca toate matricele de forma A= x y pentru care A2-3A=-2I unde I este matricea -y x unitate, iar x,y ∈ R. a) 1 0 b) 3/2 ½ c) 3/2 -1/2 d) 3/2 - ½ e) 1 0 , 2 0 f) 2 0 0 1 -1/2 3/2 ½ 3/2 1/2 3/2 0 1 0 2 0 2 51.Fie x1,x2,x3 solutiile ecuatiei 1/x1 1/x2 1/x3

x3 1/x2

a)4;

x3-3x2+x+1=0.Calculati:

x1 x2 1/x3 1/x1

b)-6;

c)-4;

d)3;

e)6;

f)-3;

52.Aflati numarul solutiilor reale ale sistemului: 2x2+y2+z2=4 7

x2+2y2+z2=4 x2+y2+2z2=6 53.Fie A o matrice patratica cu proprietatea ca A3=0.Atunci (I-A)-1 este: a)I; b)I+A; c)I+A+A2; d)-I; e)I-A; f)I-A-A2; 4  54.Se considera sistemul (S): ∑aijxj=ai-1,i =1,4 , a∈R* , unde aij = a, daca i =j j=1 1, daca i≠j * Daca A={a∈R (S) e compatibil nedeterminat},atunci: a)A={-3,1}; b)A=R\{-3,1}; c)A={3}; d)A={1}; e)A=∅; f)A=R; 55.Fie x1,x2,….,xn;

y1,y2,…..yn

numere reale si matricea A=

Care din urmatoarele relatii e incorecta? a)rang(AB)≤1; b)rang(BA)≤1; c)det(AB)=∅; 2 e)(AB) =(BA)•(AB); f)(AB)2=(AB)(BA);

x1 x2 . xn

si

 , j,i =1,4

B=(y1

y2 ……yn).

d)det(AB)=det(A)•det(B);

56.Fie A = 1 1 1 ,B = ε2 ε 1 unde ε este o radacina cubica complexa a unitatii 2 2 1 ε ε ε ε 1 2 1 ε ε 1 1 1 si S suma modulelor elementelor matricii X pentru care AX =B.Atunci: a)S=16; b)S=3; c)S=4; d)S=2+√3; e)S= 1+√3; f)S=9; 57.Fie ecuatia x3+px+q=0, avand solutile

x1,x2,x3 si determinantul

∆= 1 1 1

,∆2=?

x1 x2 x3 x12 x22 x32 Stabiliti care este conditia ca ecuatia sa aiba toate radacinile reale. 58.Fie sistemul x-αy+2z=1 α,β∈R.Sa se determine suma α+β daca sistemul e compatibil 2x+2y+z=-1 x+y-z=β nedeterminat.

8

a)∅; b)-2;

c)-3;

d)-1; e)1;

f )3;

59.Se considera sistemul de ecuatii cu coeficientii in Z7: mx+y+z=î ^2x+^3y+mz=m x+my+z=m2 Daca A={m∈Z7sistem incompatibil},atunci: ^^ ^^^^ ^ ^^ ^^ a)A={2,3}; b)A=∅; c)A={0,1,2,3}; d)A={1,3}; e)A={0,2,4, 5,6}; ^ ^^ f)A={1,4,5}; x2+y2+2z2+2t2 60.Calculati expresia E= , unde (x,y,z,t) reprezinta o solutie nenula, 2 2 2 2 2x +2y +z +t arbitrara a sistemului omogen: x+y+z+t=0 x+2y+3z+4t=0 x+4y+9z+16y=0 a)E=0; b)E=1; c)E=2;

d)E=3;

e)E=15/12;

f)E=27/31;

61.Fie matricea A∈M2 (R) ,A= √2/2 √2/2 .Sa se determine n∈N* ,n≤15 a.i An= 1 0 -√2/2 √2/2 a)n=2; b)n=4; c)n=6; d)n=8; e)n=10;

0 1 f)n=7;

62.Fie A matricea de ordin n ,(n≥2), cu toate elementele egale cu 1.Sa se determine a∈R daca In+aA e inversabila . a)a=∅; b)a≠-1/n; c)a=-1/n; d)a∈{0,1}; e) ∃ f)a∈R; 63.Fie matricea A= 1 -√3 0 si fie Sn suma elementelor de pe diagonala matricei An, n∈N. √3 1 0 0 0 2 Care afirmatie e adevarata? a)Sn=2n(1- 2sin nπ/3); b)Sn=2n(1+2sin nπ/3); c)Sn=2n(√3n+(-√3)n); d)Sn=2n(1- cos nπ/3); e)Sn=2n(1+2cos nπ/3); f)Sn=0;

9

64)Fie ecuatia 3x+px+q=0 avand solutiile x1,x2,x3 si determinantul ∆= 1 1 1 x1 x2 x3 x12 x22 x32 Atunci valoarea lui ∆2 este: a)p3+q3; b)∅; c)-p2+2q3; d)4p3+27q2; e)27q2; f)-4p3-27q2; 65.Fie G={x,y,z,t} si legea de compozitie definita prin tabela: 0 x y z t x y a b z y x y z t z c d y z t z e x t (G,O) este grup daca si numai daca: a)a=c=x, d=b=z,e=t ,f=y; b)a=x,d=z,b=e=c=t, f=y; c)a=e=x, d=z, c=t, b=f=y; d)a=d=x, b=c=z, e=t , f=y; e)f=x, e=z, b=c=a=t, d=y; f)b=x, e=z, a=c=d=t, f=y; 66.Sa se determine λ∈R a.i legea de compozitie x*y=xy-2x-2y+λ sa defineasca pe G(2,∞) o structura de grup. a)2; b)4; c)6; d)8; e)10; f)12; ^ ^ 2 67.Sa se rezolve ecuatia x -x-1=0 in Z5 . ^ ^ ^ a)nu are solutie; b)x=(1±√3)/2; c)x=1; d)x=3; e) ecuatia are 2 solutii; f)x=4; ~ 68.Pentru ∀ x∈Z notam ŷ si y clasele lui y in Z5 si respectiv Z3.Sa se determine toate numerele ^ ^^ ^ ^ ~~ ~~ 2 y∈Z,1≤x≤15 a.i x -4 x+3=0 si 2x2+x=0 a)1,3,6,13; b)1,3,6,15; c)1,3,11,12,13; d)1,3; e)∅; f)13,14,15; 69.Sa se determine α∈R a.i vectorii V1=(1,2,3) ,V2=(2,4,α); ,V3=(1,1,5) sa formeze o baza R3. a)α=6; b)α=0; c)α≠1; d)α≠6; e)α≠0; f)∃α; 70.Sa se indice care din urmatoarele afirmatii relativ la vectorii din R3 este adevarata: a)∀ 3 vectori formeaza o baza; b)∀ 3 vectori liniari dependenti formeaza o baza; c)∀ 2 vectori sunt liniari independenti; d) daca 2 vectori sunt liniari independenti atunci ei genereaza intreg spatiul ; e)∀ 3 vectori liniari independenti formeaza o baza; f)∀ vectori liniari independenti formeaza baze; 10

71.Se considera baza urmatoare B a lui R3, formata din vectorii V1=(1,2,2), V2=(1,1,0), V3=(1,0,1). Se cer componentele vectorului V=(0,3,-1). a)(1,1,1); b)(2,1,0); c)(0,0,3); d)(1,4,0); e)(2,0,3); f)(1,2,-3); 72.Sa se determine coordonatele vectorului V=(10,2,7) in baza {f1,f2,f3} a lui R3 , daca f1=(1,-1,2), f2=(2,0,1), f3=(1,1,0). a)(3,1,5); b)(10,2,7); c)(2,1,3); d)(4,0,3); e)(3,-1,3); f)(3,1,1); 73 Corpul patratic Q(√2) este spatiu vectorial de dimensiune doi peste Q.Care dintre urmatoarele multimi este o baza a acstui spatiu vectorial? a){-1,4,1}; b){-1,1}; c){1,2}; d){-1,2}; e{1,1,4}; f){1,√2}; 74.Fie e1=(1,-1.0) , e2=(-1,1,0).Precizati e3 a.i e1,e2,e3 sa fie vectori liniiar independenti in R3. a)e3=(0,0,1); b)e3=(2,-2,0); c)e3=(0,0,0); d)(-2,2,0); e)(5,5,0); f)(2,3,0); ^ 3 75.Fie M={x∈Z60x =2} si fie k numarul de elementelor lui M.Decideti: a)M=∅; b)k=1; c)k=3; d)k=5; e)k=6; f)k=9; ax+by 76.Fie G=(-1,1) si legea x*y = ,∀ x,y ∈G.Notam K={(a,b)∈R2(g,*) este grup} 1+xy si S=∑(a+b).Atunci : (a,b)∈K

a)S=3; b)S=0;

c)S=2;

d)S=6; e)S=4; f)K este infinita; ^ ^ ^ 77.Sa se afle cate solutii are sistemul 3x+3y=3 in inelul (Z7,+,•). ^ ^ ^ 3x+5y=1 a)4; b)3; c)6; d)2; e)o solutie; f) nici o solutie; 78.Fie M={A(a)a∈(0,∞)} unde A(a)= 1 lna 0 a∈(0,∞).Care dintre afirmatiile urmatoare este 0 1 0 0 0 a adevarata? a)(M,•) nu e grup; b)(M,•) e grup comutativ izomorf cu (R+*,•); c)(M,•) e grup comutativ , dar nu e izomorf cu(R+*,•); d) M nu e parte stabila in raport cu inmultirea matricei;

11

e)∃ a∈(0,∞) a.i A(a) sa fie singulara;

f)I3∉M;

79.Se noteaza cu S spatiul vectorial real al tripletelor (x,y,z)∈R3 a.i x+y-2z=0. Sa se indice care din vectorii urmatori formeaza baza pentru S. a)(1,1,1); b)(2,0,1); c)(0,2,1); d)(1,1,1); e)(1,0,0) si (0,1,0); f)(1,-1,0) si (2,-2,0); 80.Sa se determine dimensiunea spatiului vectorial al matricelor simetrice M3(R.) a)6; b)5; c)4; d)3; e)2; f)1; 81.Se considera aplicatia liniara f:R3→R2,f(x,y,z)=(x-y,y-z).Sa se dtermine mutimea M a vectorilor din R3 a carei imagine prin f este vectorul nul. a)M={(0,0,0)}; b)M={(x,x,x)∈R}; c)M={(x,y,y)x,y∈R}; d)M={(0,0,1),(1,0,1)}; e)M=R3; f)M e multimea vida; 82.Pentru ce valori ale numarului real α,aplicatia f:R2→R2 f(x,y)=(αx+y,2x+3y) e un izomorfism liniar? a)α=2/3; b)α=1; c)α=0; d)α≠0; e)α≠2/3; f)α≠1; 83.Fie u(x)=ex, x∈R.Precizati perechea de functii v,w a.i u,v,w sa fie vectori liniar independenti in spatiul vectorial real al functiilor reale. a)v(x)=xex, w(x)=e2x; b)v=2u,w(x)=x; c)v=3u, w(x)=1; d)v(x)=w(x)=x; x -x e)v(x)=chx,w(x)=e ; f)v=shx, w(x)=e ; 84.Dimensiunea subspatiului vectorial D={(x,y,z)x=y=z}⊂R3 este: a)5; b)2; c)3; d)4; e)1; f)6; 85.Dimensiunea subspatiului vectorial P={(x,y,z)x+x+z=0}⊂R3 este: a)4; b)1; c)3; d)2; e)5; f)6; 86.Numarul maxim de vectori liniari independenti in multimea solutiilor sistemului este: x-y+2z+2t=0 2x+y-3z+t=0 a)3; b)1; c)2; d)4; e)5; f)6; 87.Pe multimea R1[x] a polinoamelor de grad ≤1 cu coeficienti reali definim doua operatii “+” ,”*” in felul urmator: f=ax+b ∈R1[x] si g=cx+d∈R1[x] atunci f+g=h si f*g=p unde h=(a+c)x

12

+b+d ,p=(ad+bc-ac)x+bd-ac.In aceste conditii despre(R1[x],+,*) se poate afirma: a) inel fara a fi corp; b)corp,inversul lui x+1 este x; c)inversul lui x+1 este x; d)corp si cele 2 elemente neutre sunt 0 si x; e) corp si cele doua elemente neutre sunt x si 1; f)este corp necomutativ; ^^^^ ^^ ^ ^ 88.Fie G={1,3,5,7}⊂Z8 ,H={1,5,7,11}⊂Z12 familiile elenemntelor inversabile din inelele Z8 si Z12 .Care dintre urmatoarele afirmatii e adevarata? a)G si H sunt subinel; b)H si G nu sunt stabile la inmultire ; c)nu e verificata conditia ^ x =e=1,∀x∈H sau G; d) G si H sunt grupuri relative la inmultirea claselor si sunt izomorfe ; e)G si H nu sunt izomorfe cu grupul lui Klein; f)afirmatiile precedente sunt false; 2

89.Cate elemente are inelul M al matricei patrate de ordin 2 cu elemente in inelul claselor de resturi modulo 2? a)12; b)8; c)9; d)16; e)32; f)25; 90.Elementul simetric al unui element x relativ la legea pentru n∈N*\{1} fixat, este: a)n

f)n

nlogxn

;

2logxn

b)nn

;

c)n2log n;

x*y=n√y log x

d)n2logxn;

x

n

∀x,y ∈(0,∞)\{1},

e)logxn;

logxn

;

91.Multimea matricelor de forma M(x)= 2-x x-1 ,x≠0, formeaza relativ la inmultirea 2(1-x) 2x-1 matricelor un grup izomorf cu grup multiplicativ R*.Atunci: a) (M(2))5 = 1 0 b)(M(2))5 =-30 31 c) (M(2))5 = 7 8 d) (M(2))5 =-14 15 e) (M(2))5 = 0 0 10 11 -30 31 0 0 0 1 - 62 63

f) (M(2))5 = 7 7 0 1 ^

^

^

13

92.Pt. ce valori ale lui a∈Z3 polinomul 2x3+(a+2)x+1∈Z3 [x] este ireductibil in Z3[x]x]? ^ ^ ^ ^ ^ ^ a)a=1; b)a=2; c)a=0; d)a≠1; e)a≠2; f)a≠0; 93.Sa se indice care din aplicatiile f:R2→R urmatoare este liniara. a)f(x,y)=x+y2; b)f(x,y)=-x-y; c)f(x,y) =x+y; e )f(x,y)=xy; f)f(x,y)=x+y=1;

d)f(x,y)=-2x;

94.Sa se determine perechile (m,n) de numere reale daca aplicatia f:R2→R2 , f(x,y)=(mx+y,2x+ny) avem fοf=3f. a)(1,2); b)(2,1); c)(0,0); d)(1,2) si (2,1); e) (1,0); f)(1,1); 95.Sa se determine matricea Af asociata aplicatiei f:R2→R2 , f(x,y)=(2x+y,7x-3y). a) 2 7 b) 2 -1 c) 2 1 d) 1 2 e) 1 1 f) 2 7 0 0 7 3 7 -3 -3 7 0 0 1 -3 96.Se considera aplicatiile liniare f,g:R2→R2 definita prin f(x,y)=(2x+y,x-y) , g(x,y)=(y,x).Sa se determine aplicatia h=gοf-fοg. a) h(x,y)= (y,-3x+5y); b) h(x,y)= (x+y,3x-5y); c) h(x,y)=(x+y,2x); d) h(x,y)=(x+y,-x-5y) h(x,y)=(2x-y,y); f) h(x,y)=(y,5x-3y);

e)

97.Se considera planul P=R2 un sistem ortogonal xOy si dreapta D:x-2y=0.Pt. ∀ punctul M∈P se noteaza M’ proiectia lui M pe D.Sa se determine matricea asociata aplicatiei liniare F:P→P , F(M)=M relativ la baza canonica pe R2. a) -4 2 b) -4/5 2/5 c) 1/5 2/5 d) 2 1 e) 1/5 1/10 -2 1 -2/5 1/5 -4/5 1/5 -1 0 -1/10 1/5 f)

1 2 2 1

98.Se considera matricea A = 1 2 .Sa se determine perechea (p,q) de numere reale a.i notand cu 2 -3 2 2 f:R →R aplicatia liniara asociata lui A in baza canonica din R2 sa aiba loc relatia fοf=pf+qI, unde I este aplicatia identica. a)(1,0); b)(0,2); c)(-2,7); d)(2,5); e)(2,-7); f)(-2,5);

14

15