1260

Probleme de concurs - ALGEBRA – ASE 1.Fie P,Q∈R[x], P=xn+x2n+1+…….+xn2+n-1 , Q=xn-1+xn-2+………+x+1 , n∈N* si S restul impartirii polinomului P la polinomul Q.daca a este suma patratelor coeficientilor polinomului S atunci: a)a=0; b)a=n(n+1); c)a=n3+2; d)a=n+5; e)a=n+4; 2.Fie x1,x2,x3 radacinile ecuatiei mx3+x2+(m-1)x+3=0, m∈R*. D(m) =

x1 x2 x3 X2 x3 x1 X3 x1 x2

a)L=-3;

b)L=5;

si L=

c)L=1/3;

lim mD(m).Atunci: m→∞ d)L=2/3;

e)L=1/4;

3.Se defineste pe R legea de compozitie “*” prin:x*y= x+y+mxy , ∀ x,y∈R,m∈R parametru.Stiind ca legea ”*” are elementul neutru e si ca [-1,∞) o parte stabila a lui R in raport cu legea “*”, se noteaza prin S= e+m.Atunci: a)S=2; b)S=2m+1; c)S=3m-1; d)S=1; e)S=4m+2; 4.Se noteaza cu S suma modulelor numerelor ∈ C si care satisfac ecuatia 4z2+8z2-3=0.Atunci: a)S=√3+2; b)S=√3+1/2; c)S=√3-1; d)S=√3+3; e)S=√3+1; 5.Fie (a,b] intervalul de lungime maixma cu proprietatea ca fm(x)=mx2-(1+m)x+2≥0 pentru [-1,2] si D=b-a.Atunci; a)D2=1+√2; b)D2=13-2√2; c)D2=13+2√2; d)D2=17+12√2; e)D2=15-2√2; 6.Fie Sn multimea solutiilor reale ale ecuatiei {x}3=[x]3+x2n+1,n∈N*.Atunci: a)S={0,1,2,…..,n}; b)S2=[-1,0]; c)S101=[-1,1]; d)S5=(0,1);

e)S1=[0,1);

^ ^ ^ 33 2 7.Fie f,g∈Z5[x] , f=x +3x +4,g=x +x+3 si r=restul impartirii lui f la g.Atunci: ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ ^ a) r(0)=1; b)r(1)=2; c)r(2)=3; d)r(3)=4; e)r(3)=4; 2003

8.Fie A={xlog 2-x(3⋅6x+4⋅8x)≥(x+1)log2-x 5} si multimea B.Atunci:

CBA, complementare multimii A in raport cu

1

a)A=(-∞,-1);

b)A=(-1,1);

c)C[-1,1)A=(-∞,-1); d)A=(1,2);

e)A=∅;

9.Fie T(n) suma numerelor naturale pare cuprinse intre n2-3n+3 si n2+11n+31.Daca T(n0)=924 atunci: a)n0=1; b)n0=3; c)n0=5; d)n0=6; e)n0=7; 10.Fie k numarul radacinilor reale ale ecuatiei: x6+3x5+7x4+9x3+10x2+6x+3=0.Atunci: a)k=6; b)k∈(4,6); c)k=0; d)k∈(3,6); e)k∈(1,4); 3 2 3x -x +1 ∈Z

11.Daca A= n∈Z a) S∈ (0,4);

5x2-3x+1 b) S∈(4,8);

si S =∑x,atunci: x∈A c) S∈(8,16);

d) S∈(16,32);

e) S∈(32,64);

12.Fie A = {x∈Rmx2+(m-1)x+1=0}∩(0,3).Daca M = {m∈RA are 2 elemente},atunci: a)M=(0,1); b)M=(1/7,1/6); c)M=(1/6,3-2√2); d)M=(3-2√2,3+2√2); e)M=(1,3+2√2); 13.Se considera determinantul ∆(x) = 1 x x x x 2 x x x x 3 x x x x 4 Daca A ={x∈R∆(x)=6} atunci: a) A⊂ (-2,2); b) A⊂ (1/2,4);

c) A⊂(-1,3);

d) A⊂ (0,11/3);

e) A⊂(-3/4,7/2);

14.Pe R se considera legea de compozitie xοy=(x+y)1/3(x(x-3y)+y(y+2x))1/3. Daca A=x∈Rxοxοxο……οx=45 de 729 ori a)S=1; b)S=3; c)S=5;

si S=∑x , atunci: x∈A d)S=9; e)S=29;

15.Fie A = 20032004+40064007+60096010+80128013+1001510016 si µ numarul de elemente ale multimii {k∈{2,3,5,7,11}kA},atunci: a)µ=0; b)µ=1; c)µ=2; d)µ=3; e)µ=4; 16.Fie f o functie polinomiala , de grad par , cu coeficienti reali, cu proprietatatile:f(1)=1 si f(x+2x+log2x)=f(x)+2f(x)+log2f(x) ,∀ x∈R+*.Daca p este numarul radacinilor reale ale ecuatiei f(x4)=1, atunci: 2

a)p=0;

b)p=1;

c)p=2;

d)p=4;

e)nici una din variantele precedente nu e adevarata;

17.In cate moduri distincte pot sa-si imparta intre ei 3 fii o avere de 70 de oi ramasa la decesul parintilor lor?(Cotele partii sunt gandite ca multimi). a)2556; b)54740; c)328440; d)343000; e)alta varianta de raspuns decat precedentele; 18.Fie predicatul p(x,m): (m+6-m2)x2+(m2+2m-5), x+1-m>0.Daca n este numarul propozitiilor adevarate din urmatoarea lista: ∃m∈R,∃x∈R,p(x,m); ∃m∈R,∀x∈R, p(x,m); ∀x∈R,∃m∈R, p(x,m); ∀x∈R,∀m∈R, p(x,m); atunci: a)n=0; b)n=1; c)n=2; d)n=3; e)n=4; 19.Se considera ecuatia : x(2x-1)(3x+2)(6x+1)=m2-5 cu m∈R.Fie M={m∈Recuatia are toate radacinile reale}.Atunci: a)M∩(-2,2)=∅; b)M⊂(-∞,0)=R; c)M∪(0,∞)=R; d)M⊆(-√5,√5); e)nici o varianta; 20.Se noteaza cu {z}=z-z partea fractionara a numarului z∈R.Fie m=min{y∈R√6-2x+3y+ √6+3x-2y=2√6,x∈R}.In aceste conditii: a){m}∈[0,1/5); b){m}∈[1/5,2/5); c){m}∈[2/5,3/5); d){m}∈[3/5,4/5); e){m}∈[4/5,1); 21.Notam cu Aδ = δ(1) δ(2) δ(3) δ(4) δ(2) δ(3) δ(4) δ(1) δ(3) δ(4) δ(1) δ(2) δ(4) δ(1) δ(2) δ(3) Fie q numarul de elemente ale multimii H={δδ permutare a multimii {1,2,3,4} si Aδ- singulara}. Atunci: a)q≥8; b)q∈{6,7}; c)q∈{4,5}; d)q∈{2,3}; e)q∈{0,1}; 22.Fie m numarul de elemente ale multimii {α∈C α=1 si (ο,*)-grup} cu G⊆{z∈Cz3-

z1+z2 (2-α )z+α√2=0},G≠0 si z1*z2=α

pentru z1z2 ∈G.Atunci:

2

a)m=0;

b)m=1;

c)m=2;

1+z1 z2 d)m=4;

e)nici o varianta;

3

23.Se considera sistemul: (a+s)x1+ax2+ax3+ax4=b ax1+(a+s)x2+ax3+ax4=b ax1+ax2+(a+s)x3+ax4=b ax1+ax2+ax3+(a+s)x4=b unde a,s∈(0,∞) si b∈R. 4

Daca (x1,x2,x3,x4) este solutia sistemului si S=∑ xi ,atunci: i =1 4a 4b+3s 4b a)S=4a+6s; b)S= ; c)S= ; d)S= a+3s 4a+s 4a+1 4s e)S= ; a+b x-2 24.Fie S= suma solutiilor∈R ale ecuatiei 2

a)S=e +e+1+1/e;

b)S=0;

c)S=1;

x -1=ln(x2-x+1/e)

3 d)S=2;

25.Daca A ={x∈Qx5+x3-6=0} atunci: a)A=0; b)A=Z; c)A=N; d)A=Q\{0}; 26.Se considera sistemul

;

3 e)S=1/e;

e)A={k/6k∈Z};

^ ^ ^ 2x+y+4z=2 ^ ^ ^ 3x+2y+z=4 ^ ^ ^ ^ ~ ~ ~ 6x+4y+3z=1 cu coeficientii in Z8.Daca (x, y, z) este solutia

~ ~ ~ sistemului si α=x2+y2+22 atunci: ^ ^ ^ a) α=0; b) α= 1; c) α= 2;

^ d) α= 3;

^ e) α=6;

27.Fie M={m∈Zx2-2mx+m-2=0 are radacini intregi} si α=∑m2.. 4

m∈M Atunci: a) α=1;

b) α=10;

c) α=14;

d) α= 7;

e) α=5;

28.Pe G=(1,∞)\{2} se defineste legea de compozitie “*” x*y=(x-1)ln(y-1)+1, ∀x,y∈G.Fie S suma radacinilor ecuatiei x*x*x=e8+1 unde e este baza logaritmului natural .Atunci: a) S=1+√e; b) S= e2-1; c) S=1+e2 ; d) S=2; e) S=1+√e+e2; 29.Se considera ecuatia m3√x4+16x2+64+2(m-1)3√x2+8+m-1=0, unde m ∈R\{0}.Daca A este multimea parametrilor m pentru care ecuatia are toate radacinile reale,atunci: a) A=(-∞,0)∪(0,1); b) A=[0,1/3]; c) A=∅; d) A=(-∞,0)∪(5/9,∞); e) A=(-∞,0)∪(5/9,1);

C21⋅C42⋅C63⋅⋅⋅⋅⋅C200100 30.Daca T= a) T=2100;

C11⋅C32⋅C53⋅⋅⋅⋅⋅⋅C199100

31.Fie ecuatia

.Daca S este multimea solutiilor ecuatiei si T= ∑s, s∈S

=x+

b)T=-8/3;

e) T=169;

2

3 atunci: a)T=-1:

d) T=2199;

b) T= 201/199 ; c) T=100; x-2

,atunci:

3 c)T=1;

d)T=3/8;

e)T=6;

32.se considera sistemul x+2y=m+1 2x+3y=m-1, m∈R.Daca A={m∈Rsistemul e incompatibil},atunci: mx+y=3 a) A=∅; b) A= R; c) A=R\{-4,0}; d) A=R\{0}; e) A={-4,4}; 33.Fie S={x∈R2003x-2002x=1+3(2002x/3+3√20022x)}. Daca T=∑x2,atunci: x∈S a)T=1; b)T=9 c)T=27; d)T=72; e)T=144; ^ 34.Fie A={x∈Z24x3=0} si T=∑a.Atunci: a∈A ^ ^ ^ ^ a)T=0; b)T=3; c)T=16; d)T=18;

^ e)T=12;

5

35.Daca T este numarul de moduri in care poate fi ordonata multimea A={1,2,3,4,….,10} a.i fiecare numar par sa aiba rang impar,atunci: a)T=10; b)T=10000; c)T=90; d)T=14400; e)T=30240; 36.In liftul unei cladiri cu 12 etaje urca 8 persoane.Considerand ca persoanele intra(urca) in lift la parter si ies din lift pe eteje ,fie m numarul de moduri in care pot cobori cele 8 persoane din lift a.i pe un etaj sa nu coboare mai mult de o persoana.Atunci: a)m=12!-8!; b)m=A128; c)m=C128; d)m=96; e)m=11880; m3+2m2-m-1 37.FieA= m∈Z 3m+2 b)S=1;

a)S=5;

∈ Z si S=∑a2.Atunci: a∈A c)S=10; d)S=19;

e)S=81;

1 n

38.Fie A = atunci: a)S=-1;

an bn cn dn b)S=0;

unde A = 3 c)S=1/2;

√2/2 √2/2 ,∀ n∈N*.Daca S=lim (an+bn+cn+dn) , -√2/2 √2/2 n→∞ d)S=1;

e)S=100;

39.Se considera : x4-12x3+40x2-24x+3-m=0,unde m∈R, parametru.Daca M=mutimea valorilor parametrilor m pentru care ecuatia are toate radacinile reale, atunci: a)M=[-2,0]; b)M=[-1,48]; c)M=[-1,1]; d)M=∅; e)M=[1,49]; 40.Daca M este o multime cu 2 elemente si m este numarul legilor de compozitie comutative ce se pot defini pe M,atunci: a)m=1; b)m=2; c)m=16; e)m=8; 2 a +a+m 41.Pentru m∈R notam Am= x∈R∃ a∈R a.i x= .Atunci: a+1 a)Am=∅,∀m<0; b) Am=R,∀m<0; c)Am=R,∀m≥0; d)Am= ,∀m∈R; e)A4=Q; 42.Fie A={a∈Z(a+1)x2-(2a+1)x-2a=0 are radacini intregi}.Daca T= ∏ (3+a) atunci: a∈A a)T=35; b)T=8; c)T=-42; d)T=7; e)T=6;

6

43.Daca S=C20031-2C20032+3C20033 -……..+2003C20032003 atunci: a)S=0; b)S=1; c)S=2002; d)S=2003; e)S=2004; √x-2

44.Daca A={x∈R2 a)S=1;

b)S=2;

+3√x2-5x+6=2} si S=∑x,atunci: c)S=8;

45.Fie matricea A cu elementele



x∈A d)S=9; 

e)S=15;

aij, i =1,20 ,j=1,20, unde

aij = 2,daca i=j  -1,daca i=j-1 sau j=i-1,∀i,j=1,20 0 in rest Daca D este determinantul lui A ,atunci: a)D=10; b)D=20; c)D=21; 7000

d)D=400;

e)D=3; 1000 7000

46.Se considera 7000 de numere si ∑xk(2-xk)=7000.Daca T =∑xk-Πxk,atunci: 1 k=1 k=1001 a)T=7; b)T=999; c)T=1000; d)T=6001; e)T=7651; 47.Se considera multimea: M= x= a b ∈M2(R) detx=0 si x3-4x2 = -4 -4 c d -4 -4 3+√5 3-√5 a) S = 1 1 b) S= 1 1 2 1 1 2 1 1 √5-3 e) S= 1 1 2 1 1

.Daca S=∑x ,atunci: x∈M c) S= 1 1 1 1

d)S=2 1 1 1 1

48.Se considera ecuatia x4+2x3+αx2+2x+1=0,α∈R.Fie A= {α∈Rtoate radacinile ecuatiei sunt reale}.Atunci: a)A=[2,3]; b)A=(-∞,-6]; c)A[-6,2]; d)A=∅; e)A=(-∞,6];

7

49.Se considera ecuatia x5-2x4+x3-x2+2mx+n=0,m,n∈R.Determinati m si n a.i ecuatia sa admita o radacina reala tripla.Pentru m sin astfel determinati fie xi , i=1,2,3,4,5 radacinile ecuatiei si fie S=∑xi2003.Atunci: i=1 a)S=3+(√3/2)2003; b)S=3+√32003; f)S=2;

c)S=1;

d)S=3-(√3/2)2003;

e)S=2ln2√3;

50.Se considera polinoamele f,g∈R[x] nenule a.i polinoamele f(x3)+x1001 g(x3) sa fie divizibile cu x2+x+1.Daca S=f2(1)+g2(1)+f(1)g(1), atunci: a) S=0; b)S=1; c)S= 3; d)S=8; e)S=15; 51.Se considera ecuatia [x]+[x+3]+[3x]-[2x+5]=4.Daca S este multimea solutiilor ecuatiei date atunci: a) S=(0,2]; b)S=[2,7/3]∪[5/2,8/3]; c)S=[2,3]; d)S=(3/2,8/3) e)S=(7/3,3); 52.Daca S=C970+C974+C978+…….C9796 atunci: a) S=6; b) S=1+296; c) S=247(248+1); d) S=248(249+1);

e) S=248(247+1);

53.Pe Z se defineste legea “*”:x*y=xy-7x-7y+56, ∀x,y∈Z.Daca S este suma elementelor simetrizabile in raport cu”*”,atunci: a)S=8; b) S=14; c) S=0; d) S=1; e) S=56; 54.Daca A={m∈Z(m+2)x2-(2m-3)x+3-m>0,∀x>0} si S=∑a,atunci: a∈A a)S= 6; b) S=7; c) S=8; d) S=13; e) S=25; 55.Daca A={(a,b)∈R x Rx4-16x3+ax2+bx+255=0 are radacini rationale duble} si T=∑(a+b) atunci: (a,b)∈A a) T= 334; b) T= 423; c) T=324; d) T=31; e) T=13; 20 56.Daca S=∑C25i C7520-i,atunci: i=0 a) S=1; b) S=C5020; c) S=

C7540 ;

d) S=

C10020;

e) S=220

;

57.Daca n este numarul radacinilor rationale ale ecuatiei x5+x-10=0,atunci:

8

a) n=0;

b) n=1;

c) n=2;

d) n=3;

e) n=5;

58.Daca A este o multime de 4 elemente si n este numarul legilor de compozitie ce se pot defini pe A,atunci: a) n= 16; b) n= 232; c) n= 8; d) n=216; e) n=256; 59.Daca B={x∈R√x+2√x-1+a√x-2√x-1=2,∀a∈R} si T=∑x2,atunci: x∈B a) T= 1; b) T= 2; c) T=4; d) T=5; e) T=10; 60.Se considera ecuatia z19+19z-a=0,a∈R.Daca α∈C\R este o radacina a ecuatiei si r=α,atunci: a) r∈(0,1/4); b) r∈[1/6,1/4]; c) r∈[1/4,1/2]; d) r∈ [1/2,1); e) r∈[1,∞); 61.Se considera un grup (G,*) cu 4 elemente si a∈G un element ∀.Daca n este numarul de aparitii ale lui a in tabela operatiei “*”,atunci: a) n=1; b) n=2; c) n=4; d) n=8; e) n=16; 62.Daca M={m∈Zx2-(m+10)x+10m+1=0 are radacini intregi} si S=∑m ,atunci: m∈M a) S=1; b) S=2; c) S= 10; d)S=20; e) S=16; 63.Se considera grupul aditiv (Z6,+) si H≠Z6,(H,+) subgrup.Daca n este numarul subgrupurilor H distincte ale grupului Z6,atunci: a) n= 0; b) n=1; c) n=2; d) n=3; e) n=5; 64.Se considera ecuatia in x:( k-4)x+(k-3)x+(k-2)x+(k-1)x=kx-,unde k∈N,k≥6.Daca n este numarul solutiilor reale ale ecuatiei,atunci: a) n=6; b ) n= 1; c) n= 5; d) n=2; e) n=3; 65.Daca A={(z,y,z)∈Z x Z x Z2x+z+3y=91,2x+3y2z=436,2x3y+2z=124} si S=∑(x+y+z), atunci: (x,y,z)∈A a) S=9; b) S=4; c) S= 7; d) S= 16; e) S= 21; 4 66.Daca x1,x2,x3,x4 sunt radacinile ecuatiei 3x4-x3-x+3=0 si S=∑x4,atunci: i=1

9

a) S=1;

b) S= 4;

c) S=8;

d) S=16 ;

67.Daca x1,x2,x3 sunt radacinile ecuatiei x3-x2+x+2=0 si ∆=

a) ∆=1;

b) ∆=3;

e) S= 7/6;

x12 x22 x32 x2 x3 x1 x3 x1 x2

c) ∆= 5;

d) ∆= 7; e) ∆=9; ^ ^ ^ ^ 68.Se considera polinoamele f,g,h∈Z5[x] unde f=x4+3x3+4x+2,g=x4+x3+2 si h cel mai mare divizor comun al polinoamelor f si g .Daca α este suma coeficientilor lui h atunci: ^ ^ ^ ^ ^ a) α=0; b) α= 1; c) α=2; d) α=3; e) α=4; 69.Daca A este multimea solutiilor ecuatiei :x2+3x+2x2+3x-2+log2(x+3x-2)=9,atunci: a) A⊂[0,6]; b) A⊂(-5/2,5/2); c) A⊂ (-9/2,3/2) ; d) A∩ [2,8]≠∅; e) A∩(-8,2)=∅; 70.Daca A={x∈R√x+2+√4-x2=3√x2+4-2} si S= ∑a,atunci: a∈A a) S=-8; b) S=-1; c) S=0; d) S=8; e) S=36; 71.Se considera ecuatia: 2x2 -2x2 1 =0.Daca A e multimea valorilor parametrului real 3 3 1-x x -1 -2x-a 2x+a x-2 a pentru care ecuatie data admite o radacina dubla,atunci: a) A⊂(-3,0); b) A⊂(-1/4,1/4); c) A⊂(0,4); d) A⊂[0,1]; e) A⊂(-1/3,1/9); 72.Pe Z se defineste legea de compozitie “*”:x*y=xy-7x-7y+56, ∀x,y∈Z.Daca n este numarul elementelor simetrizabile ,atunci: a) n=1; b) n=2; c) n= 3; d) n= 4; e) n=5; 73.Daca A={x∈R√1-x-3√x-12=7}∪{x∈R(5x+1)(1+√25x2+10x+4)+(2x+1)(1+√4x2+4x+4)=0} si S=∑x,atunci: x∈A 10

a) S= 107/7;

b) S=37/7;

c) S=17;

d) S=93/5;

e) S=13;

74.Pentru numerele reale x,y,z care verifica relatia 2x2+y2+z2-3=0 se considera expresia E(x,y,z)= x-2y+z.Daca m este valoarea minima a expresiei,atunci: a) m= -33; b) m=-√66/2; c) m=-1/2; d) m=1/2; e) m=√33; 75.Fie ecuatia [x[x-1]]=1.Daca M este multimea solutiior ecuatiei atunci: a) M= (-1,1); b) M= (-1,-1/2]; c) M=(-1,0); d) M=(1,2); e) M=(0,3/4]; 76.Daca C={x∈R√x-1+√x+4+√3x+1=9},atunci: a) C⊂(0,2); b) C⊂(1,3); c) C⊂(2,4);

d) C⊂(3,5);

e) C⊂(4,6);

77.Se considera expresia:E(x,y)=x2+6y2-2xy+6x-16y+18.Daca m= minE,atunci: x,y∈R a) m=-2; b) m=1; c) m=4; d) m=18; e) m=25; 78.Daca T={(m,n)∈R x Rx2-mx+n≤0↔∈[1,2]},S=∑(mn),atunci: (m,n)∈T a) S= 3/2; b) S=4; c) S= 5; d) S=6; e) S=19/2; 79.Daca B={x∈R9√x-3+4√x2-8x+16=145} si T=∑x,atunci: x∈B a) T= 4; b) T=7; c) T=10; d) T=14;

e) T=18;

80.Se considera functia f:R→R (x-a)(x-b) (x-a)(x-c) 2 f(x)= c + b2 + (c-a)(c-b) (b-a)( b-c) Daca T=f(2003)-f(2002),atunci: a) T= 0; b) T=1; c) T=3;

e) T=4005;

(x-b)(x-c)

a2 unde a,b,c ∈R si (a-b)(a-c)(b-c)≠0

(a-b)(a-c) d) T= 2003;

81.Pe C se defineste legea de compozitie “*” astrfel:z1*z2=z1z2+i(z1+z2)-1-i,∀z1,z2∈C. Daca T este suma elementelor simetrizabile care nu sunt egale cu simetricele lor,atunci: a) T= 1; b) T= √2; c) T=2; d) T=2√2; e) T=1+√2;

11

82.Daca A={x∈R(3-2√2)x2-8x+13+(3+2√2)x2-8x+13=6} si S=∑x,atunci: x∈A a) S=7; b) S= 15; c) S=16; d) S=18; e) S=19; 83.Daca T=2+√3-2√2-√3+2√2,atunci: a) T=-1; b) T= 0; c) T=1; 84.Se considera polinomul: 1 1 1 P(x)=14x+ x(x-1)1! 2! 3! 2001

d) T=√1+√2 ;

e) T=√√2-1; 1

x(x-1)(x-2)+….+

1 x(x-1)…(x-1999)-

2000!

x(x-1)(x-2)….(x-2000).Daca S=∑P(k),atunci: k=1 a) S=26013; b) S=28014; c) S=20010;

d) S=2001;

2001!

e) S=2002;

85.Se considera permutarea σ= 1 2 3 4 ∈S4.Daca n este numarul solutiilor x∈S4 ale ecuati 4 3 2 1 2 ei x =σ,atunci: a) n=1; b) n= 2; c) n= 3; d) n=4; e) n=5; 86.Se considera sistemul:

∑aijxj=bi,i=1,2001,unde aij=min(i,j,ij,jI cu i,j=1,2001 cu solutiile x1=x2= …. =x1000 =3, x1001=x1002=…..=x2001=2.Daca E=b1001,atunci: a) E=1001001;

b) E=2003001;

c) E=3505502;

d) E= 4101202;

e) E=5403301;

87.Pentru a>0 se considera functia fa:R→[0,∞), fa(x)= ax,x>0.Fie G={ faa∈(0,∞)} si grupul 0,x≤0 unde “0” este compunerea functiilor .Daca e este elementul neutru ,g∈G simetricul lui f3 si T=e(1)+g(3)+g(-4),atunci: a) T=-4; b) T= 0; c) T= 1; d) T=2; e) T=4; 88.Se considera permutarea σ= 1 2 3……9 10 11…….17 18 19 20………26 27 .Daca n=m(σ)(-numarul inver 3 6 9……27 26 23……5 2 1 4……….22 25 siunilor) atunci:

12

a) n=28;

b) n=54; 40

89.Daca S=∑

50!-1

e) n=207;

,atunci: k! 50!+1

; b) S= 40!

d) n=171;

(10+k)!

k=1

a) S=

c) n= 123;

51! ; c) S=

40!

51! - 10!;d) S=

11!

51! +10!;e) S= - 10!; 11! 40!11

90.Daca M={m∈Recuatia lg(x2-2mx)-lg(8x-2m-1)=0 are o solutie unica},atunci: a) M=(-∞,0); b) M=(-1,1); c) M=[-4,1/14]; d) M=(-∞,-1/2] ∪[1/14,∞); e) M=(1/2,∞); 91.Se considera functia f:[-1,1]→[-1,1], f(x)=ax2+bx+c,unde a,b,c ∈R.Daca a este valoarea maxima pentru care f este injectiva iar b si c valorile minime pentru care f este surjectiva si T=a +b+c,atunci: a) T=1/2; b) T=1; c ) T=3/2; d) T=2; e) T=3; 92.Se considera functiile f,g:N→N a.i g(0)=1,g(1)=2,g(2)=0 si f(g(n))=g(f(n))=n+3,∀n∈N.Daca α =f(113)+g(311),atunci: a) α=313; b) α=423; c) α=424; d) α= 425; e) α=314; 93.Se considera ecuatia: (1+2i)x3-2(3+i)x2+(5-4i)x+2a2=0 unde a este parametru real.Daca A este mutimea valorilor lui a pentru care ecuatia are radacini reale,atunci: a) A={-1,0,1,√2}; b) A={-3,-√3,0,2} c) A={-√6,-√3,0,√3,√6}; d) A={-2,0,2}; e) A={-√6,-√2,0,√2,√6}; 94.Se considera functia f: (0,∞)→R continua si a.i f(1)=5 si f(2x)=f(3x),∀x∈R.Daca T=f(2003),atunci: a) T=0; b) T=1; c) T=5; d) T=2003; e) T=2005; 95.Daca M={m∈R\{-1}(m+1)3√(x2+1)2+2 (m-3)3√x2+1+m>0,∀x∈R},atunci: a)M⊂(-∞,1); b)M∩(0,∞)=∅; c)M=(9/7,∞); d)M=(5/4,∞);  4

e)M=(5/4,9/7);

96.Fie xi, i=1,4 radacinile ecuatiei (x-1)2(x-2)2+3=0.Daca S=∑xi,atunci: 13

a) S= 4;

b) S= 2;

c) S= √7;

d) S=2+2√7;

i=1 e) S= 1+√5;

97.Se considera permutarea: σ= 1 2 3…..14 15 16 17……29 30 .Daca n=m(σ)(numarul inversiunilor),atunci: 30 28 26……4 2 1 3…… 27 29 a) n=29; b) n=30; c) n= 930; d) n=465; e) n=225; 98.Fie determinantul ∆=aiji,j=1,2003 unde aij= i,i=j , i,j=1,2003.Atunci: 2,i≠j a) ∆= 1; b) ∆=-2003!; c) ∆=-2⋅2001!; d) ∆=2004!; e) ∆= 2⋅2002!; 2000 j 99.Daca T=∑(1+1/j) ∑k!(k2+1),atunci: j=1 k=1 a) T=2000!-1; b) T=2001!+2; c) T=2002!-2;

d) T=2000!+3;

e) T=1999!+2;

100.Se considera ecuatia x3+4x2+11=0 cu radacinile x1,x2,x3.Daca S=x17+x27+x37,atunci: a) S=-39484; b) S= -16384; c) S=0; d) S=16384; e) S=39484; 101.Se considera ecuatia:3√1-x+√8+x=3.Daca T=suma modulelor radacinilor ecuatiei,atunci: a) T=1; b) T=√2; c) T=8; d) T=29; e) T=36; 102.Pe Q se defineste o lege “ο”:xοy=(1/16)xy-x-y+32,∀x,y∈Q.Daca T este simetricul lui X=6/7 in raport cu “ο”, atunci: a) T=-6/7; b) T= 7/6; c) T=-48/53; d) T=241/14; e) T= 18/21; ^ 103.Se considera M= x y x,y∈Z5,x2+y2=2 .Daca S=∑detA,atunci: -y x A∈M ^ ^ ^ ^ ^ a)S=0; b) S=1; c) S=2; d) S= 3; e) S=4;

104.Se dau polinoamele f,g∈R[x],f=x2003+x23+x+1 si g=x2+x+1.Daca h este catul impartirii lui f la g si S este suma coeficientilor lui h,atunci: a) S=0; b) S=1; c) S=2; d) S=3; e) S=2002; 105.Fie x1,x2,x3 radacinile ecuatiei:

14

3

3

x3+(m+6)x2+(4m+13)x+4m+11=0 si M={m∈R∑xi3=-15 si ∑xi4=5m2-10} i=1 i=1 Daca T= ∑m2,atunci: m∈M a) T= 1; b) T=4;

c) T=5;

d) T=9;

e) T=25;

106.Se considera functia f:R→R care satisface relatia:3f(x-1)-f(x-1)=x,∀x∈R.Daca f’(1)+f’(2), atunci: a) T=-1/2; b) T=0; c) T= ½ ; d) T=1; e) T=3; 107.Se dau polinoamele f,g∈R[x],f=x2002+x103+x21+x+1 si g=x2+x+1.Daca T=r(2003) unde r este restul impartirii lui f la g,atunci: a) T=2003; b) T= 6011; c) T=2004; d) T=1; e) T=8012; 108.Daca P=√3+√5 3√1-√56√7-3√5,atunci: a) P=-3; b) P=-2; c) P=-1; n

d) P=2;

e) P= -5;

109.Fie n=317-1 si S=∑[log3k],unde [x] este parte intreaga.Atunci: k=1 31⋅317 317-1 a) S=3/2(1+31⋅3 16); b) S= ; c) S= ; d) S= 2/3(32⋅317-1); e) S= 31⋅317; 2 2 f(x2+x3) f(x3+x1) f(x1+x2) 110.Se considera f(x)=x3+4x2+11 cu radacinile x1,x2,x3.Daca T= + + x1 x2 x3 atunci: a) T= -32; b ) T=-11; c) T=-3; d) T=0; e) T=15; 38⋅1021-416 111.Fie Sn= a) n=11;

,atunci: 81 b) n= 16;

c) n= 20;

d) n= 18; m

x+1

x

112.Se considera ecuatia:9 +m3 a) M=(0,9];

b) M=[9,27];

e) n= 14;

2

=0.Daca M={m>0solutia ecuatiei ∈[2,3]},atunci:

64 c) M=[27,81];

d) M=[81,243];

e) M=[648,1944];

15

113.Se considera polinomul f∈Z[x] a.i f(i)=1 unde i∈C ,i2=-1.Daca A={m ∈Z\{0}f(m)=0}, atunci: a) A= ∅; b)A∩N≠∅; c) A∩ (-∞,-3)≠∅; d) A∩[-3,3]≠∅; e) {5,6}⊂A; 114.Se considera ecuatia:x5-2x3-30x2+x+3=0.Daca S este suma patratelor radacinilor reale ale ecuatiei,atunci: a) S∈(3,4); b) S∈(5,6); c) S∈(7,8); d) S∈(9,10); e) S∈(11,12); 115.Se considera eciatia (m-2)4x-2(m-2)2x+3=0 unde m∈R,parametru.Daca A este miltimea valorilor parametrului m pentru care ecuatia data admite 2 radacini reale strict negative,atunci: a) A= ∅; b) A=(-∞,0); c) A=(5,∞); d) A=(-∞,2); e) A=(0,∞); 116.Daca B∪Am si S=∑x,unde m∈Z x∈B 2 2 m x+m -1 2x+3 Am = x∈R 2 = 5 a) S=-4;

b) S=17;

c) S= 35;

unde [x]…… d) S=39;

,atunci: e) S=45;

117.Pe Q se definesc legile de compozitie “ο” si “*”, xοy=1/16xy-x-y+32,x*y=x+y+4,∀x,y∈Q. 1 1 121 1 1 Daca A= (x,y)x∈Q\{1}, ο = si * =5 si x-1 y+1 4 x-1 y+1 S=∑(x+y) ,atunci: (x,y)∈A a) S=2; b) S=4;

c) S=6;

d) S=7;

e) S=29/3;

118.Se considera functia f:R→R care satisface relatia 2f(x-1)+f(-x+1)=3x,∀x∈R.Daca 1 I=∫ ln f(x)dx,atunci: 0 a) I=8/3ln2-1; 960

b) I=3ln2+1;

c) I=ln3-2ln2;

d) I= 1+ln6;

119.Daca T=∑[√k],atunci: 16

k=1 a) T=13675;

b) T=17359;

c) T=19375;

120.Daca x=√3,y=3√6 si z=6√30,atunci: a)x
d)z
d) T=31259;

e) T=35791;

e)y
121.Fie a,b,c,d∈R*\Z si x,y,z,t∈R cu proprietatea {a}x={b}{c}{d} ,{b}y={a}{c}{d},{c}z={a }{b} {d} ,{d}t={a}{b}{c}.Fie ∆= x -1 -1 -1 ,A= a -b a,b∈R . -1 y -1 -1 b a -1 -1 z -1 -1 -1 -1 t 3 3 S={(x,y)∈A x Ax-y=I2 si x -y =7I2 },S=numarul elementelor lui S.Atunci: a) ∆=1; b)∆∈(0,1); c) ∆=-1; d) ∆=0; e) ∆=2; a’)S=∅; b’)S=2; c’)S=1; d’)S=3; e’)S=infinita;  122.Pentru x⊂T se noteaza prin x complementara lui x in raport cu T iar prin P(x) multimea partilor lui x.Fie A,B,C⊂T a.i A are 3 elemente . 1°Numarul elementelor lui P(P(P(A))) este: a)9; b)29; c)223; d)27; e)228; 2°Relatia adevarata este: a)(A-B)∩(B-A)=(A∪B)-(B∪A); b)A-(B∪C)=(A-B)∪(A-C); c)A-(B∩C)=(A-b)∪(A-C);   d)(A-B)∩C=A∩B∩C ; e)A X (B∪C)=AX(B∩C); 123.Fie A={x∈Ra2xbxdx+c2x=cxdx+a4xb2x, a,b,c,d∈(0,∞)\{1} si c2+a4b2=d2} S=∑x2,B={x∈R x∈A 2x 2x x 3x 4x 4x x 2x 3x x 2a b +2a b +a =b +a b +3a b ,a,b∈(0,∞)\{1},a≠b},B=numarul elementelor lui B.Atunci: 1°a) S=1; b) S=4; c) S=5; d) S=3; e) S=7; 2°a) B=2; b) B=3; c) B=4; d)B=1; e) B=∅; 124.Se considera matricea:

Aa,b=

3 1 1 ,B={(a,b)∈R2detx Aa,b+yI3nu depinde de x , 6 2 2 3a b b 17

∀ (x,y)∈R x R*},B=numarul elementelor lui B,C={M(x,y)M(x,y)= x Aa,b+yI3,(a,b)∈B, (x,y)∈R x R*}.Atunci: 1°a) B=1; b) B=2; c) B= 3; 2002 2001 2002 2°a) M (x,y)=M(2002xy ,y ); b) M1000(x,y)= M(1001x2y1001,y995); c) M1500(x,y)=M(1400x3y1500,y1600); d) M1600(x,y)=M(1500xy1000,y1500); e) M2550(x,y)=M(2500xy2000,y2400); 125.Fie S(n,p)=Cn0 Cp0+Cn1

d) B=4;

e) B= infinita;

Cp1+……+Cnp Cpp,n≥p.

n ΠS(k,s) S(n,p) Fie m=log2 k=1 si µ(p)= .Atunci: p n n ΠS(k,k-1) k=1 1° a) m∈[0,100];b) m∈[100,1000];c) m∈[1000,2000]; d) m∈[2000,4000]; e) m≥4000; 2° a) µ(3)∈[0,1/6); b) µ(3)∈[1/6,1/3); c) µ(3)∈[1/3,1); d) µ(3)∈[1,3); e) µ(3)∈ (3,∞); 126.Fie {z}=z-[z] si m(σ)=numarul inversiunilor unei permutari σ∈Sn. Fie σ∈ 1 2 3 4 5 6 7 ∈ S7 .α={log2(1+m(σ)},β={∑log2(1+m(x))}.Atunci: 5 7 1 2 4 3 6 1°a) α∈ [0,1/5]; b) α∈ [1/5,2/5]; c) α∈ [2/5,3/5]; d) α∈ [3/5,4/5]; e) α∈ [4/5,1); 2°a) β∈[0,1/5]; b) β∈[1/5,2/5]; c) β∈[2/5,3/5]; d) β∈[3/5,4/5]; e) β∈[4/5,1); 4x+1 2x-1 5x-4 x 127.Fie M=x∈R + = si P={x∈R2{x}=1}. 6 3 3 2 Daca A=numarul elementelor lui A,atunci: 1°a) M= P; b) M>P; c) M <P; d) M>7; e) 7< P; 2°a)M∈Z; b)P⊂Z; c)M∪P⊂[-2,2]; d) M∩P=3; e) M∩P=1; 128.Fie M={A∈M2( R ) A= x -x2+a -a -x

,x∈R si detA=1},B∈M.Daca K={A∈

M2( R )

18

not d = detA≠0 si det(A+dA*)=0},atunci: 1°a) B=B-1; b)B+B≠O2; c)det(B-B*)= 4; d)B⋅B*= O2; e)B-B*=I2; 2°a) d=1; b) d= 2; c) d=-1; d) d=3; e) d=-2; 129.Fie expresia E(x,y,z)=(logxyz√xy)(logyzx√yz)(logzxy√xz),x,y,z∈(0,∞)\{1} si D={(x,y,z)∈R3 (x,y,z)∈(0,1) sau x,y,z∈(1,∞)}.Daca A={E(x,y,z)(x,y,z)∈D} si 2x2+y2-z2 2y2+z2-z2 2z2+x2-y2 B={ + + E(x,y,z)=1 si (x,y,z)∈D},atunci 2 2 2 z x y 1°a) A= R; 2°a) B={6};

b) A=[0,∞); c) A=(0,1); d)A⊆[1,∞); e)A∩(-1,1)≠∅; b) B={4}; c) B={3}; d) B= {7}|; e) B={5};

130.Fie A∈M2n( R ),unde: A = 1 2…………n………….2n .Pentru o matrice B∈Mm( C ),m∈N,m≥2,fie α(B)= -1 -2………. -n…………-2n 12 22………. n2…………(2n)2 -12 -22…….. -n2………….-(2n)2 ……………………………….. 1n 2n………… nn…………...(2n)2 -1n -2n…….-nn…………-(2n)n numarul nenuli ai lui B.Atunci: 1°a) α[I2n]=22n-1; b) α[I2n]=22n; c) α[I2n]= 22n+1; d) α[I2n]=22n-1; e) α[I2n]=(2n)!; 2°a)A≠∅; b)α(A)=4n2; c)α(A)≠α(tA); d)rgA=n+1; e)α 2n (A)=C3n +2n2-1; x x

131.Fie f: (0,∞)→R.f(x)=log9(1+x2+x3)-2log4x si A={xf(x)=0}.Fie Sx=∑ ∑k4Cxy,unde x k=0 y=0 ∈N* si B={Sxx∈A}.Atunci: 1°a) A⊂[4,7); b) A⊂[2,3]; c)A≠∅; d)A⊃[0,2); e)A are 3 elemente; 2°a)B⊂(1,7); b)B⊃{1,10,100,1000}; c)B⊂(300,500); d)B={96}; e)B={120,180};

19

132.Fie M=

Ay∈M3( R ) Ay=

1-y 0 y ,y∈D⊆R .Daca (M,⋅) grup cu elementul neutru 0 0 0 y 0 1-y

E, unde”⋅” e inmultirea matricelor din M3( R ) si S= {Ay∈M Ay2 ⋅A1=E’,A’=simetricul lui A in grupul (M,⋅)},atunci: 1°a) D=R; b) D=R\{-1/2}; c) D=R*; d) D=R\{1/2} e)∃ Ay∈M inversabila; 2°a)S⊇{A0,A1}; b)S={ A1}; c)S= {A0}; d)S=∅; e)S⊇{ A0,A1,A2,A3}; 133.Fie f,g,h∈C[x] a.i x3+1f(x6)+xg(x6)+x2h(x6) si T=f(1)+g(1)+h(1).Fie u,v,t∈C[x] a.i x3-1u(x6)+xv(x6)+x2t(x6) si S=u(1)+v(1)+t(1).Atunci: 1°a) T∈[-1,0); b) T∈[0,2); c) T∈[-3,-1); d)T 2>3; e)T3<-3 2°a) ST=1; b) ST= 2√2 ; c)T∉[0,2]; d) ST≠S2; e) ST=T2; 134.Fie polinomul f∈R[x],f=(x-1)(x-2)…..(x-n)+x(x-2)….x(x-n)+……+x(x-1)(x-2)…..(x-n+1), n∈N*,n≥3.Notam α=numarul radacinilor distincte ale polinomului si S=suma modulelor radacinilor distincte.Atunci: n+1 n+3 n 1°a) α= n; b) α= -1; c) α= -1; d) α= ; e) α=0; 2 2 2 2°a) S∈(0,1]; b) S∈(4/3,5/3); c) S∈[5/2,2); d) S∈(2,7/3); e) S≥3; n  135.Fie ecuatia xn-∑Cnk k=1

xn-k(m-1)k-1=0,n∈N,n par,n≥2,m∈(0,1),cu radacina xk,k=0,n-1.Daca n-1

α=numarul radacinilor ∈R si S=∑(xk),atunci: k=0 1°a) α=1; b) α= 0; c) α≥2; d) α=3; e) α= 5; n+1 n+2 n-1 n-1 n 2°a) S∈ m, m ; b)S<1; c)S∈0, m ; d)S∈ m, m ; 2 2 2 2 2 e)S>nm; 2 4 5+x -1/x+1/[x] log2e {x} 136.Fie M= x∈Re =2 .Fie T= x∈R√x+3+2√x+10+4√x+6= .Atunci: √x+6-1 1°a)M=∅; b)M∩Z≠∅; c)M are cel putin un element; d)M∩N≠∅; e) ∑[x]=2; x∈M 20

2°a)M∩T≠∅;

b)T⊂(-∞,-5];

c)T∩N=∅;

137.Fie (S4,⋅) grupul permutarilor de grad 4 ,u,v∈

d)T∩Z=0;

e)M∪T=R;

S4, u= 1

2 3 4 ,v= 1 2 3 4 .Fie 3 1 4 2 4 1 2 3 S={(x,y) ∈ S4 x S4 si ux=y si yv=x} si T={(x,y) ∈ S4 x S4xu=y si vy=x}.Daca m(α)=numarul inversiunilor si ε(α) este signatura lui α∈ S4,atunci: 1°a) max{m(x,y)}=3; b)max{ ε(x,y)}=1; c)S=4; d)min{m(x,y)}=1; (x,y)∈S (x,y)∈S (x,y)∈S e)S=2; 2°a) max{ ε(x,y)}=1; b) max{m(x,y)}=5; c)T=3; d) min{m(x,y)}=2; e)T=5; 2002 138.Fie sistemul de ecuatii :∑aijxj=bi,i=1,2002,unde j=1 aij= 1,pt i=1 si j=1,2002 sau i=2,2002 si j=1,i-1 i,pt i=2,2002 si j=i,2002 bij= 2002m-2m2+m,daca i=2m 2002m-2m2+1001,daca i=2m+1 ~ ~

~

2002

~

Fie D =determinantul matricei sistemului (x1,x2,…..,x2002) solutia sistemului si T=∑xi3.Atunci: i=1 1°a) D=1; b) D= 2000!; c) D= 2001!; d) D=2002! e) D=2002; 2°a) T=1; b) T=1001; c) T=2002; d) T= 2003; e) T=20023; 139.Pe R se defineste legea de compozitie “*”astfel: 1

x*y=xy+x+y+∫ x11ex2+1 dx,∀x,y∈R.Fie A multimea numerelor reale care sunt egale cu simetricele -1 lor in raport cu legea “*” si B multimea solutiilor ecuatiei: x*x*……*x=4095.Daca S =∑ a2 si T=∑x,atunci: a∈A x∈B de 12 ori 1°a) S=1; b) S= 4; c) S= 5; d) S=9;

e) S=17;

21

2°a) T=1;

b) T=4;

c) T=5;

d) T=9;

e) T=17;

140.Fie inecuatia me2/x-(4m+1)e1/x+3m+1>0.Fie M={m∈Rinecuatia nu are nici o solutie}, T=∑ m2 si m∈(-1/3,0),fie S multimea solutiilor inecuatiei.Atunci: m∈M 1°a) T=1/4 ; b) T=13/36; c) T=1; d) T=4; e) T=10; 2°a) S=(-∞,0); b) S=(-1,1); c) S=(0,1); d) S=(0,∞); e) S=∅; 141.Fie ecuatia 6x6+x5-25x4-4x3+100x2+16x-16=0 ,ale carei radacini∈(-1,1) si solutiile polinomului nenul P∈R[y] care verifica relatia : (y2+ 3y-4)P(y-1)=(y2-5y)p(y+1).Fie xj,j=1,6 radacinile ecuatiei date ,n=grad P si Yj,j=1,n 6 n radacinile polinomului P.Daca S=∑Xi si T=∑Yj,atunci: i=1 j=1 1°a) S=53/2; b) S=53/6; c) S=353/6; d) S= 35/2; e) S=63/5; 2°a) T=-2; b) T=0; c) T=2; d) T=4; e) T=8; 2002

3

3

3

3

142.Fie matricea A(x)= 0 ex 0 ,x∈Z,B=A2002(0) si C=∑An(1).Daca S=∑ ∑bij si T=∑ ∑Cij e-x 0 0 n=1 i=1 j=1 i=1 j=1 -x 0 0 e unde B=(bij)i,j=1,3,C=(Cij) i,j=1,3,atunci: 1°a) S= 3; b) S=2002; c) S= e+2; d) S=6006; e) S= 0; 2002 e -1 1 2°a) T=1001e; b) T= 2002; c) T= ; d) T= ; 2 2 1 1 (e+1) e -1 e-1 e) T= 1+1001 ; 2002 e-1 e e x+y-xy+1 143.Pe R se defineste legea de compozitie “*”: x*y=

,∀x,y∈R.Fie r=elementul

2 neutru al legii”*” si x1 cel mai mare numar intreg al carui simetric in raport cu legea “*” e intreg. n-2

Daca (Xn)n∈N* e ÷cu ratia r ,α=limn√2xn si β=lim 3 2 n→∞ n→∞

n

√ Π 3x ,atunci:

n

k

K=1

22

1°a) α=0; 2°a) β=0;

b) α= 1/2 ; b) β=1/3;

c) α=1; d) α= 2; c) β=81√3;

e) α=∞; d) β= ∞;

144.Fie sistemul: x+my+z+t=α mx+y+z+2t=α2 x+2y+mz+t=α3 , (m,α)∈Z x Z. x+y+z-t=α4 ~ ~ ~ ~ Fie A={(m,α)∈Z x Zsistemul este incompatibil nedeterminat} si pentru (m,α)∈A fie(x, y, z, t) o ~ ~ ~ ~ solutie oarecare si S(m,α)=min(x2+y2+z2+t2).Daca n=numarul elementelor multimii A si T=max(S(m,α)(m,α)∈A},atunci: 1°a) n=1; b) n=2; c) n=3; d) n=4; e) n=5; 2°a) T=-2; b) T=-1/2; c) T=0; d) T=1/2; e) T=2; 145.Fie ecuatia x3+mx2+nx+p=0,m,n,p∈R,cu radacinile X1,X2,X3 si S=X14+X24+X34.Fie ecuatia in y care are radacinile:Y1=X2+X3+2X1,Y2=X1+X3+2X2,Y3=X1+X2+2X3 si P=Y1Y2Y3.Atunci: 1°a) S4=m4-3m2n-4p+2n2; b) S4=m4-4m2n+4mp+2n2; c) S4=2m4-3n2+4mp-2n2; d) S4= 2m4+4m2n-4mp+n2; e) S4=-2m4+3m2n+4mp-n2; 2°a) P= m3+2mn+2p; b) P=m3+mn+2p; c) P=2m3+mn+p; d) P= 2m3+2mn+p; e) P= -2m3-2mn+p; 146.Fie multimea A={x∈Rx2-(1-m)x-2m-2=0} si B={x∈R(m-1)x2+mx+1=0} ,m∈R.Daca M={m∈RA∪B are 2 elemente},P={ m∈RA∪B are 3 elemente} si S=∑m,atunci: m∈P 1°a) M=∅; b) M∩[-1,0]≠∅; c) (0,1)⊂M; d) M∈[1/2,3/2]; e) M∩{-1,-1/2,0,1/2,1,3/2,2}≠∅; 2°a) S=1; b) S=2; c) S= 5/2; d) S= 9/2; e) S=19/2; 7 x -1 7 2 7 147.Fie f,g∈C[x] si k∈C a.i 5f(x ) +x g(x ) =k ,∀x∈C\{1} si 7k=5f(1)+2g(1).Daca x-1 T=7f(1)+5g(1)+2k,atunci: a) T= 0; b) T=1; c) T= 7; d) T=9; e) T=14; 148.Ecuatia x5-2x4+x3-x2+2mx+n=0, m,n∈R,admite o radacina reala,tripla.Fie S1 =m+n, 5 Xi(i=1,2,3,4,5) radacina ecuatiei si S2=∑ Xi2002 .Atunci: 23

i=1 1°a) S1= -2; b) S1= -1; c) S1=1; 2002 2°a) S2=3+(√3/2) ; b) S2=3+(√3)2002; 1000

d) S1=2; e) S1=0; c) S2=1; d) S2=2; e) S2=3;

149.Fie sistemul ∑aij=bi ,i=1,1000,unde bi=999+i si aij= j,j=i , i,j=1,1000.Daca D este j=1 1,in rest 1000 ~ 1000 ~

determinantul matricei sistemului,P=Π Xi si S=∑ Xi3,m=PS unde (X1,…,X1000) e solutia sistei=1 i=1 mului ,atunci: 1°a) D=1; b) D=99!; c) D= 999!; d) D=1000!; e) D=1001; 2°a) m= 0; b) m=1000; c) m= 3000; d) m=1000!; e) m=21000⋅31000; 150.Fie sistemul x2(m2-1)-2x(m2+1)+m2-1=0, unde m≠±1 este numar complex cu m>1.Daca X1 si X2 sunt radacinile ecuatiei α=Re(X1),β=Re(X2) si S=α3+β13,atunci: a) S∈(-∞,-13); b) S∈[-13,-3]; c) S∈(-3,-1); d) S∈[-1,0); e) S∈ (0,∞); 151.Fie determinantul D= 1 X1 X12 X13 X14 ratia r (r≠0, X1≠0).Atunci: a) D=r5; b) D= 144r5;

1 X2 X22 X23 X24

1 1 X3 X4 2 X3 X42 X33 X43 X34 X44

c) D=288r10;

1 ,unde X1 X2 X5 X52 X53 X54 d) D=25r5;

X3

X4 X5 sunt in ÷cu

e) D=72r8;

152.Fie permutarile x,y∈S5 ,y= 1 2 3 4 5 ,m= numarul solutiilor ecuatiei x2=y,n=numarul 5 3 1 2 4 inversiunilor corespunzatoare solutiilor ecuatiei x2=y.Atunci: 1°a) m=0; b) m= 1; c) m=2; d) m=3; e) m=5; 2°a) n=0; b) n= 4; c) n= 10; d) n= 25; 153.Fie multimea A={x∈R2x2+(1-m)x-m-1=0},B={x∈Rx2+mx+m2-1=0},C={x∈Rx2+(m+2)x +1-m2=0}.Daca M1={m∈RA∪B are 2 elemente},M2={ m∈RB∪C are 3 elemente},P= ∏ m m∈Z\{M1} si T=∏m,atunci: 24

m∈M2 1°a) P=-3; b) P= -1; c) P= 0; 2°a) T=-16/15; b) T=-4/5; k 154.Fie sistemul

d) P=1; e) P=3; c) T= 16/25; d) T= 4/5;

e) T= 4/3; ~ ~

2002-k

~

∑Xi+∑(i+1) Xi+k=0,k=1,2001.Fie r rangul matricei sistemului si (X1,X2,..,X3) o

i=1 i=1 ~

2002 ~

2002

1

solutie nenula.Daca X2002= α∈R\{0} , S=∑ Xi2 ,T=sup∑ ~ ,m=ST,.atunci: i=1 α i=1 1+ Xi2 1°a) r=2000; b) r= 2001; c) r=2002; d) r=2003; e) r=1; 2; 2 2 2 2°a) m=3α b) m= 4000α ; c) m= 6006α ; d) m=4 α ; e) m=∞; 155.Pe R se defineste legea de compozitie “*” prin:

x*y=xy-2ax+by,a,b∈R.Fie A={(a,b)∈R2(R,*) este monoid} si S=∑(a+b).Pentru (a,b)∈A si (a,b)∈A fie M(a,b) suma modulelor elementelor simetrizabile ale monoidului corespunzator si m(a,b) suma modulelor radacinilor ecuatiei x*x*x=1.Daca T=∑M(a,b),U=∑m(a,b),m=TU,atunci: (a,b)∈A (a,b)∈A 1°a) S=1/2; b) S=3/2; c) S=3; d) S= 4; e) S=6; 3 3 2°a) m=0; b) m=2; c) m= √2; d) m=5 √3; e) m=16; 156.Fie aij= min{ix(x-1)-j} , i<j x∈R 3 ,i=j , i,j=1,41 max{ix(x-1)-j},i>j x∈[-4,4]

41 41

41

Daca M=max{aij, i,j=1,41}, m=min{aij, i,j=1,41},S=∑ ∑aij ,T=∑a 21,j ,U=∑ai ,21,atunci: i=1 j=1 j=1 i=1 1°a) S=224310; b) S=342102; c) S=422013; d) S=140232; e) S=240123; 2°a) M=819; m=-51; T=29727/4; U=23421/2; b) M=513; m=-41; T=72297/4; U=22143/2; c) M=441; m=-14; T=27729/4; U=43221/2; d) M=618; m=-59; T= 97227/4; U=34221/2; e) M=917; m=-73; T=22779/4; U=12243/2; 23 25

157.Fie sistemul ∑aijxj=i , i=1,23 ,unde aij= 7 , i=j j=1 3 , i≠j

~ ~

~

23 ~

Daca D este determinantul matricei sistemului , (X1,X2,….,X23) solutiile sistemului si T=∑xi i=1 atunci: 1°a)1
∑xi2=33 ,atunci

b a =0, a,b∈R.Daca ecuatia are radacinile reale X1,X2,X3 a.i x-√7 3

P=ab si S=∑xi sunt: i=1 i=1 1°a) P=1; b) P=2; c) P=3; d) P= 4; e) P=7; 2°a) S=7+2√3; b) S=3√7; c) S=√7+2√5; d) S=√7+√11; ^ ^ ^ 161.Fie sistemul de ecuatii cu coeficienti in Z7: ax+3y+3z=2 ^ ^ ^ ^

e) S= √7+2√10;

26

6x+4y+2z=6 ^ ^ ^ ^ 3x+2y+4z=3 Daca A={a∈Z7sistemul este incompatibil} si S=∑a,atunci: a∈A ^ ^ ^ ^ ^ a) S=0; b) S=1; c) S=2; d) S=3; e) S=5; ~

~ ~ ~ 162.Fie sistemul x2+y2+z+t=0 , m∈R.Daca A={m∈Rsistemul admite ( xm,ym,Zm,tm)}, x+y+z+2t=m x+5y+3z+4t=4 ~ ~ Xm Zm S=∑m ,T=∑

~

+ ~

,atunci:

m∈A m∈A Ym tm 1°a) S=1/2; b) S=1; c) S=3/2; d) S=2; e) S=3; 2°a) T= -3; b) T=-3/2; c) T= 0; d) T=1/2; e) T=2; 163.Fie numerele x,y,z a.i x3+y3+z3=x2+y2+z2=x+y+z=5 .Daca P=xyz,atunci: a) P=1; b) P= 5; c) P=10; d) P=15; e) P=75; 164.Daca α si β sunt radacinile ecuatiei:x2+x+1=0 si T=(α+1)45+(β+1)54,atunci: a) T= -1; b) T=0; c) T=1; d) T=45; e) T=54; 165.Daca A={x∈R√5x+3-4√5x-1+√5x+8-6√5x-1=1},atunci: a) A={1}; b) A={2}; c) A=[1/5,1]; d) A=[1,2]; e) A= [1/5,2]; 166.Daca A={x∈R√x2+1-1=√x2+√2x+10},atunci: a)A=∅; b)(-4,-1)⊂A; c)A∩[-4,4]≠∅; d)[-1,10]∩A≠∅; e)(4,5)⊂A; 167.Se considera dezvoltarea binomului (1+√2)30 .Daca p e numarul termenilor rationali si q este rangul celui maimare termen al dezvoltarii ,atunci: 1°a) p= 15; b) p=16; c) p=18; d) p=19; e) p=30; 2°a) q=10; b) q=15; c) q=18; d) q=19; e) q=30;

27

168.Se considera inelul(Z,ο,*) unde:xοy=x+y-3,x*y=xy-3x-3y+12,∀x,y∈Z.Fie P∈Z[x], polinom de grad minim care are ca radacini elementele inversabile ale inelului si are coeficientul dominant 3.Daca r este restul impartirii lui P la a=x2+3x+4 si T=r(1),atunci: a) T=-27; b) T=-15; c) T=0; d) T=1; e) T=3; 169.Daca C0,C1,…,Cn sunt cifrele numarului 72002-2227,adica 72002-2227=C0+10C1+102C2+…..10nCn si P=C0⋅C1, atunci: a) P=1; b) P=2; c) P=3; d) P=4; e) P=7; 170.Fie X= x y ∈M2 a.i X3= 1 2 .Daca T=t3 si S=x+y+z+t,atunci: z t 3 6 1°a) T=1; b) T=16/9; c) T=216/49; d) T=27; e) T=36; 3 3 2°a) S=2; b) S=12 √7/7; c) S=49 √7/3; d) S=12;

e) S= 3 3√49;

2002 2002

171.Fie g∈R[x],g=∑ 4004

∑(-1)k2jC2002kC2002jX4004-k-j

cu radacinile Xi ,i=1,4004.

K=0 j=0

Daca S=∑Xi , A={a∈Rg(a)=1},atunci: i=1 1°a) S=2002; b) S=-4004; c) S=-14014; d) S=4004; e) S=12012; 2°a) T=√13-√5; b) T= √13+√5; c) T=√2+1; d) T=√2-1: e) T=4; 3

172.Fie P,Q∈R[x] doua polinoame cu proprietatile: P(x)+Q’(x)=P(x)⋅Q(x) , P(x+1)=xQ(x)+1.Se noteaza cu α suma patratelor coeficientilor celor 2 polinoame si cu β suma coeficientilor polinomului rest r(x) al impartirii polinomului x3Q(x) la P2(x).Atunci: 1°a) α=3; b) α=2; c) α=8/3; d) α=9; e) α=7; 2°a) β= -4; b) β=5; c) β=∅; d) β= 3; e) β=-7; 173.Fie polinoamele f,g∈R[x], f=x6n+5+x3n+4+x2+1, g=x2+x+1. 1°Daca α este suma coeficientilor polinomului rest al impartirii lui f la g,atunci: a) α=-3; b) α=-2; c) α= 2; d) α=1; e) α=0; 2 2°Pentru n=0 polinomul f-g-x are: a)toate radacinile reale; b)o radacina reala; c)toate radcinile sunt unimodulare; d)o radacina ∈ C si 4 radacini ∈R; e)3 radacini ∈ R si 2 radacini ∈C; ~ ~ ~

28

174.Fie polinoamul f∈Z[x] de grad n≥4 cu proprietatea ca f(0) si f(1) sunt numere impare (f este functia polinomului asociata).Daca S este numarul radacinilor intregi ale lui f,atunci: 1°a) S=1; b) S=2; c) S=0; d) S=3; e) S=n; 4 3 2 Polinomul g=x +2x +3x +βx+ϒ, β,ϒ∈R are toate radacinile reale daca: 2°a) β2+ ϒ2=2; b) β2+ ϒ2=3; c) β2+ ϒ2=4; d) β2+ ϒ2=5/2; e)∀β,ϒ∈R,f nu are toate radacinile reale; 175.In corpul numerelor reale R se considera legea de compozitei “*” definita prin: a*b=ab-2(a+b)+6.Daca A={α∈Ra*α=α*a=α,∀a∈R},B={x∈Rx≡x’(simetricul sau)},p=cardA si S=∑x,atunci: x∈B

1°a) p= 2; 2°a) S=2;

b) p=1; b) S=3;

c) p=3; c) S=4;

d) p=∅; d) S=5;

e) p=4; e) S=6;

176.Fie ecuatia x2+px+q=0 ,p,q∈Z5.Daca A{(p,q)∈ Z5XZ5x2+px+q=0 nu are solutie in Z5}, ^ ^ 3 3 r=cardA si B=X1 +X1X2+X2 , unde X1 si X2 sunt radacinile ecuatiei date pentru p=1 si q=3,atunci: 1°a) r=5; b) r=4; c) r=10; d) r=6; e) r=9; ^ ^ ^ ^ ^ 2°a) B=1; b) B=3; c) B=2; d) B=4; e) B=0; 177.Fie fa,m : R→R, fa,m(x)=x3-(a+m+2√m)x+1+√m,m>0,a∈R.Daca A={m∈Rf2,m(x)=0 are 3 radacini distincte},C={a fa,m(x)>0,∀m>0},atunci; 21-√432 21+√432 1°a) A= (0,∞); b) A=(1,∞); c) A=(0,∞)\ ; d)A=(0,∞)\ ; 9 9 21+√432 e)A= (0,∞)\ ; 9 2°a)C=∅; b)C=R; c)C⊂(-∞,0); d)C⊃(0,∞); e)C={0}; 178.Fie inelul (A,+,⋅),unde A={x(a,b,c,d)∈M3( R )x(a,b,c,d)= a 0 0 ,a,b,c,d∈R}. b a 0 c d a Fie B={(a,b)∈Z*XZbX(a,b,0,1)+aX(a,b,1,0)=X(b,a+16,a,b)} C={(b,d)∈R2X-1(1,b,0,d)X(-1,b,0,d)=X(-1,b2,-8,d2)}, S=∑(a+b) , T=∏(b+d),atunci: 29

(a,b)∈B

(b,d)∈C

1°a) S=-4; 2°a) T= S;

b) S=-3; c) S=-2; d) S=-1; e) S=0; b) T= 4S; c) T=2S; d) T=-2S; e) T=-S; k n (-1) n k-1 k 179.Fie Sn=∑ Cn-1 Cn .n∈N* si Tn=nSn.Daca M=∑ akCnk,n∈N* unde sirul(an)n≥1 este ÷ k=1 k k=1 cu ratia a1≠0,atunci: 1°a)T14>0; b)T21≠0; c)T37>0; d)T104>0; e)T200<0; n-1 n-1 n+1 2°a) M=na1 2 ; b) M=(n-1)2 ; c) M= na12 ; d) M= a12n; e) M= 2n-1;

^ 180.Fie M=Ax,y ∈M3(Z5) Ax,y= x 0 -y ^ ^ ^ 0 1 0 ^ y 0 x

,unde –y este opusul clasei y in raport cu adunarea

definita pe Z5.Daca G={ Ax,y ∈M Ax,y-1=t Ax,y } si S=∑(x2+y2),atunci: Ax,y ∈G

1°a)(M,⋅) e grip cu inmultirea matricei ; b) U(M)=14, U(M)=numarul elementelor multimii (M,⋅); c) U(M)=16; d) U(M)=18; e) U(M)=12; 2°a) S= 2; b) S=3; c) S=4; d) S=5; e) S=6; 181.Fie expresia E(x,a)=3(a-1){x}2-2(a+1)√3{x}2+1+2a,x,a∈R. Fie A={a∈R\{1}∀x∈ R,E(x,a)<0} si n=numarul radacinilor ∈R ale ecuatiei E(x,3)=0.Atunci: 1°a)A=(-∞,-1); b)A∩(-∞,-1)=∅; c)(-1,1)⊂A; d)A\(1,∞)=∅; e)A⊂(1,∞); 2°a) n=0; b) n= 1; c) n=2; d) n=4; e) n este finit; 182.Fie determinantul D(x)= x2+a+a 2x+a -x-a

-x-1 0 1

3x2+1+2a si ecuatia D(x)=0 cu parametrul a∈R. 3x+2a+2 -2x-2a

30

Fie A multimea valorilor parametrilor pentru care radacinile formeaza ÷ si grupul multiplicativ G={akk∈Z,a∈A}.Atunci: 1°a) A⊂ (-1/5,-1/6); b) A⊂ (-1/6,-1/7); c) A⊂(-1/7,1/7); d) A⊂(1/7,1/6); e) A⊂(1/6,1/5); 2°a) (G,⋅) nu e grup; b) (G,⋅)≈(R,+); c) (G,⋅) ≈(Zp,⊕); d) (G,⋅)≈(a,+); e) (G,⋅) ≈(Z,+); n n+1 183.Fie a∈(0,∞)\{1} si n∈N* fixat.Daca A(a,n)= x∈N∑(-1)k-1loga1/kx≥

2

k=1

B= x∈(0,∞)∃ r>0,(x-r,x+r)\{x}=(x-r,x+r)∩(U

si

UA(a,n)) ,atunci:

n∈N* a∈(0,1)

1°a) A(3,4n)∩(1/2,2)≠∅;

b)A(2,4n+1)∩(1/2,2)≠∅; c)A(1/2,4n+2)∩(1/2,2)≠∅;

e)∩A(1/2,n)≠∅; n∈N* 2°a)B=∅; b)B are 1 element; c)B are 3 elemente; deschis nevid; e)nici o varianta nu e adevarata; k d)A(1/3,4n+3)∩(1/2,2)≠∅;

d)B contine cel putin un interval

184.Fie sistemul ∑aijxj=i2+

(n2+n-2i),i=1,n ,n∈N\{0,1},unde aij= i, i=j ,cu k∈N fixat 2 k, i≠j ~ ~ n ~ n ~ a.i 1
Daca A= x∈G∃n∈N*,x⊥x⊥x⊥……⊥x=en ,unde e=elementul neutru al grupului ,atunci de n ori multimea punctelor de acumulare pentru A este: 1°a)vida; b)are doar 1 punct; c)contine o multime numarabila de puncte; d)contine cel putin un interval deschis nevid; e)nici o varianta nu e adevarata; Grupul (G,⊥) este izomorf cu: 2°a)(R+,⋅); b)(Z,⋅); c)(C,⋅) d)(Q,⋅); e)nici o varianta adevarata; 187.Fie f,g∈C[x], f=x2n+xn-1+…..+x+1, g=x2n-x2n-1+x2n-2-……-x+1,n∈N* si a restul impartirii polinomului f(x2n+1) la polinomul f ,iar b restul impartirii polinomului g(x2n+1) la g.Atunci: m ~ ~ 1°a) gr a=0;

b) gr a=1;

c) gr a=2;

d) gr a=-∞;

e) ∑a(x)=m(m+2)+1,a=functia

polinomiala asociata polinomului a ; x=1 2 2°a) a=b; b)b=a+2x; c)a=b+1+x; d)b=a ; e)a=b2; 188.Pentru ∀A∈Mn( R ),A≠On se defineste functia: fA:Mn( R )→ Mn( R ),fA(x)=A⋅X,∀x∈ Mn( R ) si multimea KA={X∈ Mn( R ) fA(x)=On}.Fie A0= 1 2 3 KA0. -1 2 1 0 1 1 Se considera urmatoarele patru propozitii: P1: (In fA,+) este grup abelian ; P2: A nesingulara→ fA injectiva; P3: A singulara→KA≠{On}; P4: KA={On}↔A este inversabila; Cate din cele 4 propozitii sunt adevarate? 1°a)1; b)2; c)3; d)4; e)nici una; 2°a)card KA0.=1; b)card KA0.=2; c) 3a 10 21 ∈ KA0,∀a∈R -3a -10 21 3a 10 -21 d) 11 2b -4 ∈ KA0,∀b∈R; e) 10a 11b 20c ∈ KA0,∀a,b,c∈R; 11 2b 4 10a 11b 20c 11 -2b 4 -10a -11b -20c 189.Fie fa:R\{0,1}→R,

fa(x)=ax+ax-1/x+a1/1-x,a>1.Daca A={x∈R fa(x)=m,m∈R,fixat}, 32

B={x∈R

f3(x)=28/3+√3} si S=∑X3,atunci: x∈B

1°a)cardA=8; 2°a) S∈[1,3];

b)A=∅; c)cardA=1; b) S∈[4,6]; c) S∈[7,9];

d)A>8; e)A=∞; d) S∈[10,12]; ^

e) S∈[13,15];

190.Pentru clasele de resturi ,distincte 2 cate 2 αi∈Zn\{0},i=1,m ,m≤n ,n prim ,se considera sistemul: m ^ m

∑ai xi=p

,unde p∈{0,1,2,…,n-1} a care multime de solutii este Sm,np.Fie Pm=Π xi ,m
i=1 m

^

i=1 m

^

i=1

∑ai2xi=p2 ∑aimxi=pm i=1 ^

not

^

Daca card{ S4,7pp∈Z7}===T pentru p∈Z7\{a1,a2,a3,a4},atunci: ^ ^ ^ ^ ^ ^ 1°a) Pm=1,∀p∈{a1,a2,…am}; b) Pm=0,∀p∈Zn\{a1,…,am}; c) Pm=2,∀p∈{a1,…,am}; ^ m m ^ ^ ^ e) Pm=(-1)m pm ( Π(ai)-1 ∏(ai-aj)2 -1 ∏(ai-p)2; d) Pm=2,∀p∈Zn\{a1,…,am}; i=1

2°a)T=721;

b)T=722;

1≤j≤i≤m

c)T=723;

i=1

d)T=724;

e)T=725; 4

Xk4

191.Fie ecuatia x4-2x2+3x-1=0, cu radacinile Xk, k=1,4.Daca T=∑ si S este suma 4 radacinilor reale ale ecuatiei,atunci: k= 1 Xk -1 1°a) T=(13-2i)/7; b)T=139/65; c)T=91/57; d)T=4; e)T=8; 2°a)-3≤S≤-2; b)-2<S<-1; c)-1≤S≤0; d)0<S<1; e)1≤S≤2; 192.Fie (G,⋅) un grup cu 5 elemente si (Z5,+) grupul aditiv al claselor de resturi modulo 5.Daca F={f:G→ Z5f este izomorfism inter grupurile (G,⋅) si (Z5,+)},n= numarul elementelor lui F si T=∑ ∑f(x),atunci: 33

f∈F x∈G

1°a) n= 1; ^ 2°a) T=0;

b) n=2;

c) n=3; ^ c) T=2;

^ b) T=1;

d) n=4;

e) n=5; ^ e) T=4;

^ d) T=3; 2z

≥1

193.Fie multimea A= z=a+bia,b∈Z si 1+z

1+yi ,B= y∈R

2

2z =

1-yi

,z∈A . 1+z

2

Daca m este numarul elementelor multimii A si n cifra unitatilor din scrierea zecimala a numarului S=∑y2,atunci: y∈B 1°a) m=2; b) m= 4; c) m=8; d) m=12; e) m=16; 2°a) n∈{0,1}; b) n∈{2,3}; c) n∈{4,5}; d) n∈{6,7}; e) n∈{8,9}; 194.Fie fm:R→R, fm(x)=(m2+m+1)x2-2(m2+1)+(m2-m+1),m∈R.Fie S si P suma si produsul ecuatiei fm(x)=0.Notam cu A un punct fix prin care trec graficele functiilor fm si cu mA parametrul functiei pentru care graficul acesteia taie axa Oy in punctul cel mai apropiat de A.Atunci: 1°a)S∈[1,4] ,P∈[1,3]; b) S∈ [1/3,3] ,P∈[1/3,3]; c) S∈[4/3,4] ,P∈[1/3,3]; d) S∈[4/3,4] , P∈[4/3,3]; e) S∈[1/3,4] ,P∈[1,3]; 2° a) mA=1/4; b) mA= 1/3; c) mA=1; d) mA= 3/4 ; e) mA=1/2; 195.Se considera sistemul: AB=A+B si n∈N\{0,1}.Pentru A,B,C,D∈R,fie S1 multimea solutiilor BC=B+C CD=C+D DE=D+E EA=E+A sistemului si n1 cifra unitatilor din scrierea zecimala a numarului

∑ABCDE.Pentru A,B,C,D,E

(A,B,C,D,E)∈ S1

∈Mn( R ),fie S2 multimea solutiilor sistemului formata cu matrice nesingulare si n2 cifra unitatilor in scrierea zecimala a numarului ∑detA+detB+detC+detD+detE.Atunci: (A,B,C,D,E)∈S2

1°a) n1∈{0,1}; 2° a) n2∈{0,1};

b) n1∈{2,3}; b) n2∈{2,3};

c) n1∈{4,5}; c) n2∈{4,5};

d) n1∈{6,7}; d) n2∈{6,7};

e) n1 ∈{8,9}; e) n2 ∈{8,9};

34

196.Fie α=3√45-29√2+3√45+29√2 si β suma modulelor radacinilor ecuatiei z3-7iz2-16z+ϒ=0,cu ϒ parametru complex stiind ca ecuatia admite o radacina dubla ,atunci: 1°a)α∈C\R; b) α∈R\Q; c) α∈ Q\Z; d) α∈ Z\N; e) α∈N; 2°a)β∈ [0,1); b) β∈[1,2); c) β∈[2,4); d) β∈]4,8); e) β≥8; 9999 197.Fie α cifra zecilor din scrierea in baza de numeratie zecimala a numarului S100=∑k[k] si k=1 2 2 β=sup{x +y [x]+[y]=10,[xy]=21}.Atunci: 1°a)α∈{0,1}; b) α∈{2,3}; c) α∈{4,5}; d) α∈{6,7}; e) α∈ {8,9}; 2°a)β= 58; b) β=79; c) β=100; d) β=102; e) β= 116;

198.Fie G1 un subgrup propriu al grupului (Q,+) cu proprietatea ca este izomorf cu(Q,+).Fie G2 un subgrup propriu al grupului (R,+) cu proprietatea ca G∩(-a,a) este o multime finita ∀a∈R*+. Atunci: 1°a)∃G3 subgrup propriu pentru(Q,+) a.i Q\G1⊆G3; b) ( G1,+)≈(Z*,⋅); c) ( G1,+)≈(Z,⋅); d) ( G1,+)≈(Z,+); e) nu exista G1; 2°a)∃ G3 subgrup propriu pentru (R,+) a.i R\G2⊆ G3; b) ( G2,+)≈(Z*,⋅); c) ( G2,+)≈(Z,⋅); d) ( G2,+)≈(Z,+); e)nu exista G2;

35