12 Tsra Regulatoare Pid.pdf

Regulatoare PID

1

Introducere • Mai mult de jumatate din regulatoarele industriale: • Scheme PID • Scheme PID modificate

• Sunt aplicabile majoritatii sistemelor de reglaj automat

2

Reguli de acordare a regulatoarelor PID R (s)

3

+ -

  1 K p 1   sTd   sTi 

Proces

C (s)

• Daca se poate obtine modelul matematic al procesului – se pot aplica diverse metode analitice pentru determinarea parametrilor RA a.i. sa fie indeplinite specificatiile regimului tranzitoriu si regimului stabilizat • Daca nu se poate obtine modelul matematic al procesului – se pot aplica diverse metode experimentale pentru determinarea parametrilor RA a.i. sa fie indeplinite specificatiile regimului tranzitoriu si regimului stabilizat

Reguli Ziegler-Nichols de acordare a R.A. PID • Se bazeaza pe: • masurarea experimentala a raspunsului la marime de intrare treapta • Stabilirea valorii Kp care produce stabilitate la limita cand se utilizeaza doar contolul proportional

4

Regula 1 Ziegler-Nichols de acordare a R.A. PID R (s)

+ -

Proces

C (s)

Daca sistemul nu contine integratoare, nici poli complecsi conjugati dominant, curba raspunsului tranzitoriu are forma S: Aceste curbe de raspuns se genereaza experimental sau pornind de la simularea dinamica a procesului reglat. Daca raspunsul tranzitoriu nu are forma S, 5 aceasta metoda nu se poate aplica.

Regula 1 Ziegler-Nichols de acordare a R.A. PID Curba in forma de S este caracterizata de doi parametri: • Timpul de intarziere L • Constanta de timp T Determinarea parametrilor L si T, se face grafic: In acest caz, functia de transfer se aproximeaza printr-un system de ordinal I cu intarziere de transport: 𝐺 𝑠 =

6

𝐾𝑒 −𝐿𝑠 𝑠𝑇+1

Regula 1 Ziegler-Nichols de acordare a R.A. PID Tipul de regulator

𝑲𝒑

𝑻𝒊

𝑻𝒅

P

𝑇 𝐿

∞

0

𝐿 0,3

0

2𝐿

0,5𝐿

PI PID

7

𝑇 0,9 𝐿 𝑇 1,2 𝐿

Regula 1 Ziegler-Nichols de acordare a R.A. PID 𝐺 𝑠 = 𝐾𝑝

1 1+ + 𝑠𝑇𝑑 = 𝑠𝑇𝑖

𝑇 1 = 1,2 1+ + 0,5𝐿 𝑠 = 𝐿 2𝐿 𝑠 1 𝑠+ 𝐿 = 0,6𝑇 𝑠 8

2

1 𝑠+ 𝐿 = 0,6𝑇 𝑠

2

Functia de transfer a regulatorului PID are un pol in origine si 𝟏 un zero dublu in 𝒔 = − 𝑳

Regula 2 Ziegler-Nichols de acordare a R.A. PID Pentru regula 2, se stabilesc 𝑻𝒊 = ∞ si 𝑻𝒅 = 0. Se variaza 𝑲𝒑 de la 0 pana la o valoare critica 𝑲𝒄𝒓 pentru care marimea de iesire prezinta oscilatii sustinute. Daca marimea de iesire nu prezinta oscilatii sustinute, aceasta metoda nu se poate aplica. Valorile 𝑲𝒄𝒓 si 𝑷𝒄𝒓 se determina experimental.

9

R (s)

+ -

Kp

Proces

Tcr

C (s)

Regula 2 Ziegler-Nichols de acordare a R.A. PID Tipul de regulator P

10

𝑲𝒑

𝑻𝒊

𝑻𝒅

0,5𝐾𝑐𝑟

∞

0

PI

0,45𝐾𝑐𝑟

PID

0,6𝐾𝑐𝑟

1 𝑃𝑐𝑟 1,2 0,5𝑃𝑐𝑟

0 0,125𝑃𝑐𝑟

Regula 1 Ziegler-Nichols de acordare a R.A. PID 𝐺 𝑠 = 𝐾𝑝

= 0,6𝐾𝑐𝑟

1 1+ + 𝑠𝑇𝑑 = 𝑠𝑇𝑖

1 1+ + 0,125𝑃𝑐𝑟 𝑠 = 0,5𝑃𝑐𝑟 𝑠

= 0,075𝐾𝑐𝑟 𝑃𝑐𝑟

11

= 0,075𝐾𝑐𝑟 𝑃𝑐𝑟

4 𝑠+ 𝑃𝑐𝑟 𝑠

4 𝑠+ 𝑃𝑐𝑟 𝑠

Functia de transfer a regulatorului PID are un pol in origine si un zero dublu in 𝒔 = −

4 𝑃𝑐𝑟

2

= 2

Comentarii • Regulile Ziegler-Nichols se folosesc pentru acordarea regulatoarelor PID in sisteme de reglaj automat pentru care nu se cunoaste cu precizie dinamica procesului • Daca se cunoaste functia de transfer a procesului, se determina: • Raspunsul la aplicarea unei marimi de intrare de tip treapta unitara, masurand L si T • Valoarile castigului critic 𝑲𝒄𝒓 si a perioadei critice 𝑷𝒄𝒓

• Folosind valorile determinate anterior, se folosesc regulile 1 sau 2 pentru determinarea parametrilor 𝐾𝑝 , 𝑇𝑖 𝑠𝑖 𝑇𝑑 folosind tabelele corespunzatoare 12

Comentarii • Regulile Ziegler-Nichols isi dovedesc utilitatea in special cand nu se cunoaste dinamica procesului, si nu se pot aplica metode analitice sau grafice pentru proiectarea regulatoarelor. • Daca este posibil sa se aplice regulile Ziegler-Nichols, procesul controlat de un regulator PID va avea un suprareglaj de 10 – 60 % pentru o marime de intrare de tip treapta. In general, suprareglajul este de aproximativ 25 % • Daca suprareglajul este excesiv (> 25%) se pot face acordari precise pana cand sistemul are un regim dinamic satisfacator. • Regulile Ziegler-Nichols ofera un punct initial pentru o acordare convenabila 13

Aplicatii • Se considera un sistem, a carui schema bloc este:

R (s)

+ -

G c s 

1 s  s  1 s  5 

  1 Gc ( s )  K p 1   sTd   sTi  14

C (s)

Aplicatii • Sa se determine parametrii regulatorului, 𝐾𝑝 , 𝑇𝑖 𝑠𝑖 𝑇𝑑 • Sa se determine raspunsul la o marime de intrare de tip treapta unitara si sa se verifice ca suprareglajul sistemului este de 25% • Daca suprareglajul este excesiv, sa se realizeze o acordare fina pentru reducerea acestuia la o valoare apropiata de 25%

15

Aplicatii • Deoarece procesul are un integrator, se va folosi a doua regula Ziegler-Nichols. 1 • Se stabilesc 𝑻𝒊 = ∞ si 𝑻𝒅 = 0. ss  1s  5 • Se obtine functia de transfer in bucla inchisa: 𝐾𝑝 𝐺 𝑠 = 𝑠 𝑠 + 1 𝑠 + 5 + 𝐾𝑝

16

• Valoarea 𝐾𝑝 pentru care se obtin oscilatii sustinute, se determina prin criterial de stabilitate Routh

17

Aplicatii R

• Ecuatia caracteristica a sistemului este: 𝑠 𝑠 + 1 𝑠 + 5 + 𝐾𝑝 = 0

𝑠 3 + 6𝑠 2 + 5𝑠 + 𝐾𝑝 = 0 Tabelul de stabilitate Routh este: 18

= 1 1

5 1

6 1

Kp -1

30 - Kp ------6

0 1

Kp -1

0 1

Aplicatii R

• Pentru 𝐾𝑝 = 30 sistemul are un comportament oscilatoriu. • 𝐾𝑐𝑟 = 30 𝑠 3 + 6𝑠 2 + 5𝑠 + 𝐾𝑐𝑟 = 0

𝑠3

+

6𝑠 2

+ 5𝑠 + 30 = 0

𝑠 → 𝑗ω 19

𝑗ω

3

+ 𝑗ω 𝑠 2 + 5 𝑗ω + 30 = 0

= 1 1

5 1

6 1

Kp -1

30 - Kp ------6

0 1

Kp -1

0 1

Aplicatii 6 5 − ω2 + 𝑗ω 5 − ω2 = 0

Se determina frecventa de oscilatie: ω2 = 5 ⇒ ω = 5 2𝜋 2𝜋 𝑃𝑐𝑟 = = = 2,8099 𝜔 5 20

• Se determina:

𝐾𝑝 = 0,6𝐾𝑐𝑟 = 18 𝑇𝑖 = 0,5𝑃𝑐𝑟 = 1,405

𝑇𝑑 = 0,125𝑃𝑐𝑟 = 0,35124 𝐺𝑐 𝑠 = 𝐾𝑝 21

1 1+ + 𝑠𝑇𝑑 𝑠𝑇𝑖

• Se determina:

𝐺𝑐 𝑠 = 𝐾𝑝

1 1+ + 𝑠𝑇𝑑 = 𝑠𝑇𝑖

1 = 18 1 + + 0,35124𝑠 = 1,405𝑠 6,3223 𝑠 + 1,4235 = 𝑠 22

2

R (s)

+ -

6,3223 s  1, 4235  s

2

1 s  s  1 s  5 

C (s)

• Regulatorul PID are un pol in origine si un zero dublu in 𝑠 = −1,4235 • Functia de transfer in bucla inchisa a sistemului este: 𝐶(𝑠) 6,3223𝑠 2 + 18𝑠 + 12,811 = 4 𝑅(𝑠) 𝑠 + 6𝑠 3 + 11,3223𝑠 2 + 18𝑠 + 12,811 23

s = tf('s'); G = 1/(s*(s+1)*(s+5)); Gci = 6.3223*(s+1.4235)^2/s; Ti = feedback(Gci*G,1); figure(); step(Ti);grid; 24

• Suprareglajul sistemului este 61,81% • Se pastreaza 𝐾𝑝 = 18 si se alege pozitia zeroului dublu prin incercari sucessive. Se alege s = −0,65 𝐺𝑐 𝑠 = 𝐾𝑝 1 +

1 + 𝑠𝑇𝑑 = 𝑠𝑇𝑖

1 = 18 1 + + 0,7692𝑠 = 3,077𝑠 13,846 𝑠 + 0,65 = 𝑠 25

2

26

• Daca se modifica, prin incercari successive, 𝐾𝑝 = 39,42, fara sa se modifice pozitia zeroului dublu s = −0,65 𝐺𝑐 𝑠 = 𝐾𝑝 1 +

1 + 𝑠𝑇𝑑 = 𝑠𝑇𝑖

1 = 39,42 1 + + 0,7692𝑠 = 3,077𝑠 30,322 𝑠 + 0,65 = 𝑠

27

2

28

29

• Suprareglajul este de 28%, iar raspunsul este mai rapid decat in cazul in care polul dublu este s = −0,65 si 𝐾𝑝 = 18 𝐾𝑝 = 39,42; 𝑇𝑖 = 3,077; 𝑇𝑑 = 0,7692 • Valorile finale sunt aproape duble fata de valorile R.A. PID initiale. Valorile initiale determinate prin calcul au asigurat un punct de pornire pentru acordarea regulatorului PID

30

31

Definirea sistemului %acordare RA PID clear all; clc; %close all;

syms s; %G=1/(s^2+3s+1) num=1; den=sym2poly(s+(s+1)*(s+5)); G=tf(num,den);%definirea functiei de transfer bucla directa H=1;%definire functie de transfer bucla de reactie T=feedback(G,H);%definirea sistemului fara RA step(T);grid; 32

Definirea sistemului Step Response 1

0.9

0.8

0.7

Amplitude

0.6

0.5

0.4

0.3

0.2

0.1

0

0

5

10

15

20 Time (seconds)

33

25

30

35

Parametrii regulatorului Kp=18;%constanta P Ki=1.405;%constanta I Kd=0.35124;%constanta D C=pid(Kp,Ki,Kd);%definirea regulatorului automat T1=feedback(C*G,H);%definire sistem cu RA step(T1);grid;

34

Step Response 1.8

1.6

1.4

Amplitude

1.2

1

0.8

0.6

0.4

0.2

0

0

5

10

15

20 Time (seconds)

35

25

30

35

40

36

37

38

39

40

41

42