12/1 Mathe Lk (analytische Geometrie)

Mathe Analytische Geometrie 12/1 Def.: Ein Prisma ist ein Körper, der von zwei kongruenten Vielecken, die in parallelen Ebenen liegen, als Grund- und Deckfläche, und parallelogramme als Seitenflächen begrenzt wird. Def.: Ein Prisma, dessen Grundfläche ein Parallelogramm ist, heißt Spat. S.75/8

H

G

E

F

c

D

C  b a 

A

B

a)  AC= a  b  AF=a  c   AH =b c b)  AG= a bc S. 76/10 C

c

 b

D E B F

a O A  1 1  DE=  BA= ⋅ a − b 2 2 1 1 1 1 1 *  DE= DC  CE=  BC  CA= ⋅c −b a −c = ⋅c −ba −c =1over 2⋅a −b 2 2 2 2 2

An der Stelle * wurde das Distributivgesetz angewandt. Welche Gesetze gelten überhaupt in der Vektorrechnung? 1.3.Multiplikation einer reellen Zahl mit einem Vektor (S-Multiplikation) --> Multiplikation mit einer Skalareinheit z.B: Kraft  =F  F F  m F 3F Bei der Multiplikation eines Vektors mit einer Zahl erhält man wieder einen Vektor. Dieser hat die dreifache Länge und die gleiche Richtung (nur in diesem Beispiel)

Bsp:

a 

−1,5  a

Allgemein: a ∈V gilt: Für k ∈R ;  Der Vektor k⋅a  hat die |k|-fache Länge von a. a und k⋅ a gleiche Richtung Für k > 0 haben  Für k < 0 haben a und k⋅a  entgegengesetzte Richtung Rechengesetze: 1) Gemischtes Assoziativgesetz Für r , s ∈R und v ∈V gilt: r⋅s⋅v =r⋅s⋅v Beispiel: r = 2, s = 1,5

r⋅s⋅ v

2) S- Distributivgesetz Für r , s ∈R und v ∈V gilt: rs⋅v =r⋅v s⋅v 3) V-Distributivgesetz a , v ∈V gilt: Für r ∈ R und  r⋅ a  b=r⋅ a r⋅b 2. Koordinaten

r⋅s⋅v 

2.1.Darstelluing von Punkten im Koordinatensystem

x3

e3 e2

e1

x1 Die Basisvektoren e1, e2, e3 besitzen die Länge 1: ∣e1∣=∣e2∣=∣e3∣=1 Koordinatendarstellung: 1 0 0 e1= 0 ; e 2= 1 ; e3= 0 0 0 1 Der Vektor  OP ist der Ortsvektor des Punktes P bezüglich des Ursprungs O. 5  OP= 3 P(5|3|-2) --> −2

   

x2

jeder Vektor des Ruames lässt sich eindeutig als Summe vom vielfachen der Basisvektoren darstellen. a =k 1⋅e1k 2⋅e2k 3⋅e3 mit k i ∈R ;  a ∈V  a . Die Vektoren k 1⋅e1, k 2⋅e2 und k 3⋅e3 nennt Die Zalhen k 1, k 2, k 3 heißen koordinaten von  a man die Komponenten des Vektors  Folgerungen: 1) Ist eine Koordinate null, dann ist der Vektor parallel zu einer Koordinatenebene 2) Sond zwei Koordinaten null, dann ist der Vektor parallel zu einer Koordinatenachse p1  3) Die Vektorkoordinaten des Orstvektors OP= p = p2 stimmen mit den Punktkoordinaten des p3



Punktes P überein. 2.2.Das Rechnen mit Vektoren a1±b1 k⋅ a1  a ± b= a 2±b2 ; k⋅ a = k⋅  a2 a3±b3 k⋅a3 Merke: Zwei Vektoren sind genau dann parallel (kollinear im 3D-Raum), wenn der eine Vektor ein vielfaches des anderen Vektors ist. 1 2 4  a  = ; b= ;  c = 3 6 12 Bsp: 4 8 16 1 b=2⋅a ; c =4⋅ a ; b= c hier:  2 S.86/8 1  OA= 2 3

   

     

3  OB= 2 1  AB= OB− OA



5  OC= OB  AB=2  OB− OA= 2 −1 s.86/9

 

4  OR= 5 6

7  OS= 8 9  SR= OR− OS

 

1  OA= OR SR=2  OR− OS= 2 3 10  OB= OS− SR=2  OS− OR= 11 12 Teilverhältnisse

P T Q P Q T   Def.: Ist T ∈PQ , T ≠Q und P der Anfangspunkt, dann heißt =PT : TQ Teilverhältnis von T bezüglich [PQ] Man unterscheidet:  PT 0 T ∈[PQ ] : innere Teilung mit =  TQ  PT 0 T ∉[PQ ] : äußere Teilun g mit =−  TQ Def: T teilt [PQ] im Verhältnis  genai dann, wenn  PT =⋅ TQ Beispiele: Bestimme bei folgenden Aufgaben jeweils  1) ? ; 2) ? 3) allgemeine Formel zur Herleitung des Ortsvektors  0T=T  PT =⋅ TQ  0T− 0P=⋅ 0Q− 0T ⋅ 0Q 0P  0T= 1 ⋅ Q  P  T= 1 Betrachte =−1 : T soll außerhalb von PQ sein und gleich weit entfernt sein --> gibt es nicht Def.: Wird eine Strecke [PQ] durch einen inneren und äußeren punkt im gleichen Verhlältnis geteil, spricht man von einer harmonischen Teilung Beispiel: 3 2 P

Ti

Q

TA

Kennzeichne farbig die Bereiche wo T liegen kann für sämtliche mögliche Fälle für  01 1 −10 =0 −1 P

=1

Q

2.3.Der Schwerpunkt eines Dreiecks Beispielaufgabe zur Bestimmugn der Koordinaten des Schwerpunkts Geg.:  ABC mit A(1|1|2); B(3|2|4); C(-4|0|-4) Ges.: S(s1|s2|s3) Aus der Mittelstufe bekannt: Der Schwerpunkt eines Dreiecks ist der Schnittpunkt der drei Seitenhalbierenden. Er teilt die Seitenhalbierende im Verhäktnis 2:1 (Wird später bewießen) C

S A B

0

2 s = a  AS=a ⋅ AM 3 1    b c --> m= 2 1 m=   p  q 2 Merke: Der Ortsvektor des Mittelpunktes M einer Strecke [PQ] ist gleich dem arithmetischen Mittel der Ortsvektoren der Endpunkt 2 2 1 1 1 1 a  −a m  = a  ⋅− a  b c =  a  b c --> s = 3 3 2 3 3 3 Merke: Der Ortsvektor des Schwerpunktes S eines Dreiecks ABC ist gleich dem arithmetischen Mittel der Ortsvektoren der Ecken 1  c s = ⋅ a b 3 S.98/7 1  S ABC =  a  bc  3 1 1  c  q.e.d.  S M M M =  mamb m c =  a b 3 3 S.98/8 a

b

c

 SA1 SA2... SA n =  0 n

Beh,;

SAi= 0 ∑ i=1 n

n

SAi= A1−  S  A2−s... An−  S =∑ Ai−n⋅ S ∑

Bew.:

i=1

i=1

1 1  S=  A1... An= 2 n

n

∑ Ai i =1

S.98/9 Bew. siehe 98/7 S.98/10 Beh: [M AB M CD ]∩[M BC M AD ]={ S } M ab S= S M CD und  M BC S= S M AD zu zeigen:  S − M AB= M CD−  S zu1:  1 1     S − ⋅  A  B = C D − S 2 2 1  C  D  2⋅S = ⋅ A B 2 3. Lineare Anhängigkeit von Vektoren 3.1.Linearkombination von Vektoren Def.: Der Vektor v =k 1⋅v1k 2⋅v2...k n⋅vn mit k1, ...., kn ∈ℝ heißt Linearkombination der Vektoren v1 , ... , vn k 1 , k 2 ,... , k n sind die Koeffizienten der Vektoren v1 , ... , vn Definition: Vektoren, die parallel zu einer Ebene sind, heißen komplanar Bsp.: H

G

E

F C

D A

B

Komplanare Vektoren sind z.B.:  EF , AB , AD , HG ,  EG ,...    Bsp für eone Linearkombination: EG= EF  FG



4 Aufgabe: Zeige zeichnerisch und rechnerisch, dass sich der Vektor v = 2 −1 2 v2= 1 der Vektoren v1= und v3= 2 −1 0 l=2k−2 l=k −2m4 --> für jedes l lösbar l=8 k =5 1 m= 2

 

 



als Linearkombination

3.2.Linear abhängige und unabhängige Vektoren 0,5 0 Der Vektor v = 0,5 lässt sich linear aus den Vektoren v1= 1 −0,5 −1 erzeugen: v =v10,5 v2 Ebenso lässt sich v1 aus v und v2 erzeugen: v1=v −0,5 v2 Ebenso lässt sich v2 aus v und v1 erzeugen: v2=2 v −2 v1

 





1 und v2= −1 1

Es existiert also eine Wechselseitige Abhängigkeit zwischen v , v1 und v2 : v =v1−0,5⋅v2=0 Definition:  , v2 ,... , vn heißen linear unabhägig, wenn die Gleichung Die Vektoren v1 k 1⋅v1k 2⋅v2...k n⋅vn=0 mit k1, ... kn ∈ℝ¿ nur für k 1=k 2=...=k n erfüllt ist. Ansonsten sind sie linear abhängig. II. Lineare Gleichungssysteme 1) Schnitt von Geraden Geg.: Zwei Geraden g und h Ges.: Schnittpunkt S g : 2x 3y=21 implizite Darstellund der Geraden h : 3x4y=6 2 g : y= x−7 3 3 3 h : y= − x 2 4

explizite Darstellung

Lösungsmöglichkeiten: – Gleichsetzungsverfahren – Subtraktions- und Addidtionsverfahren (vorher evtl. Multiplizieren) – Einsetzungsverfahren S.9 3 a)

b)

c)

d)

1

e)

0 f)

1 1

g)

1

h)

1 1

s.10/4a)

3

b)

c)

4

d)

e)

f)

2. Lineare Gleichungssysteme Bsp. für ein lineares Gleichungssystem (LGS) 13x 1−5 x 2=7 2 x 2=3 x 18 Def.: Ein Gleichungssystem heißt linear, wenn is allen Gleichungen die Unbekannten höchstens in der ersten Potenz vorkommen. Es besteht i.A. aus m Gleichungen und n Unbekannten. Man spricht vom m-n-System Eine Lösung des LGS ist ein n-Tupel von Zahlen. Schreibweise: x1 x2  x1 | x 2 | x 3 |... | x n  oder ... xn



Die Faktoren vor dem Unbekannten heißten Koeffizienten des Systems. Sind alle Konstanten 0, so ist das LGS homohen, ansonsten inhomogen 3. Die Lösbarkeit eines 2-2-Systems a) eine Lösung: 1 x1−x 2=5 2 x 1x 2=15

12: 2x1=20 x 1=10 x 2=5 L={10 |5} b) keine Lösung 1 2x1 x 2=7 22 x 1x 2=3 1−2: 0=4 L={} c) unendlich viele Lösungen 1 x1x 2=1 22 x 12 x 2=2 2: 2=1 setze x1 = k: x 2=1−k L={ x 1 | x 2 | x 1=k ∈ℝ ; x2 =1−k } oder: x1 = k = 0 k⋅ 1 1−k 1 −1 x2 Die Lösung ist nicht eindeutig, z.B. Setze x2 = m x 1 = 1 m⋅ −1 0 1 x2

    

    

Inhomgenes LGS: 10,5 x 1−2 x 20,5 x 3=3  2−x 18 x 2−x 3=−6 30,25 x 1−2 x 20,25 x 3=1,5 1−2⋅3: x2=0  2'  x 1=6− x3  2' ∈13=3 x 1=6−x 3 L={ x 1 | x 2 | x 3| x 1=6−k ; x 2=0 ; x3=k ∈ℝ} x1 6 −1 = k⋅ x2 0 0 0 1 x3

    

Homogenes LGS:

10,5 x 1−2 x 20,5 x 3=0  2−x 18 x 2−x 3=0 30,25 x 1−2 x 20,25 x 3=0 x 2=0 x 1=−x 3 L={ x 1 | x 2 | x 3| x 1=−k ; x 2=0 ; x3=k ∈ℝ}

   x1 −1 =k⋅ x2 0 1 x3

Beobachtungen: 1) Bei der homogenen Lösung fällt der konstante Teil weg 2) Ein homogenes LGS besitzt zumindest immer die triviale Lösung ( 0 | 0 | 0) 3) Die Lösung des homogenen Systems ist gleich der Parameterabhängigen Lösung des inhomogenen Systems S.15/2 a) 1 x1−x 2=6 2 x 1x 2=−2 b) P1 1 |1 P 2 2|−4 Geradengleichungen gleichsetzen 1 x2 =−5 x1 6 1 −5 2 x 2= x1 3 2 2 c) 1 2x1 x 2=0 1 2 x 1 x 2=0 2 4. Der Gauß-Algorithmus 1) x1 2) 3)

+

3x2 x2

+ x3 = 5 - 2x3 = 6 x3 = -2

Das Lgs liegt in der sog. Dreiecksform vor und ist deshlab sehr leicht zu lösen Allgemein: Ein LGS ist sehr leicht zu lösen, wenn es in der Stufenform vorkommt, dh jede Gleichung besitzt min. Eine variable weniger als die zuvor Ziel von Gauß: Beschaffung einer Stufenform, ohne dass sich die Lösungsmenge verändert. Hilfsmittel:

– –

Multiplikation mit einer Zahl, die ungleich 0 ist Ersetzen einer Gleichung durch die Summe aus ihr und einer Vielfachen einer anderen 1. Beispiel (1) x1 + 4x2 + x3 = 7 (2) 3x1 + 2x2 + 4x3 = -1 (2) – 3(1) (3) 2x1 + 5x2 + 4x3 = 4 (3) – 2(1) 3 3− 2 (1) x1 + 4x2 + x3 = 7 10 (2) -10x2 + x3 = -22 (3) 17/10x3 = -34/10

(1) x1 + 4x2 + x3 = 7 (2) -10x2 + x3 = -22 (3) -3x2 + 2x3 = -10 in (1) x1 = 1 in (2) x2 = 2 aus (3) x3 = -2

2. Beispiel Zur Verienfachung werden die Variablen weggelassen (1) x1 + x2 + x3 = 5 (2) 2x1 + 3x2 = 3 (3) 3x1 + 2x3 = 1 (4) 1 1 1 5 (3) – 3(1) 1 1 1 5 (3) + 3(2) 1 1 1 5 (2) + 2(3) 1 1 1 5 (1) – (2) 2 3 0 3 0 1 -2 -7 0 1 -2 -7 0 1 0 3 3 0 3 1 (2) – 2(1) 0 -3 -1 -14 0 1 5 0 0 1 5 (1) – (3) 1 0 0 -3 0 1 0 3 x1 = -3 ; x2 = 3; x3 = 5 0 0 1 5 Diegonalform S.111/2c) 3 a = −1  4

        −5  b= 1 −2

2 c =  −1 3 −3  d = −1 10 −3 3 −5 2 −1 =k 1⋅ −1 k 2⋅ 1 k 3⋅ −1 10 4 −2 3 1 ) −3=3 k 1−5 k 22 k 3 2 ) −1=−k 1k 2−k 3 3 ) 10=4 k 1−2 k 23 k 3 3 -5 2 -3 -1 1 -1 -1 4 -2 3 10

3 -5 2 -3 -1 1 -1 -1 4 -2 3 10 I + 3 II III + 4 II 0 -2 -1 -6 0 2 -1 6 -1 1 -1 -1 I + II III – II 0 0 1 0 -1 -1 0 -7 0 2 -1 6 I + III II + I 0 1 0 3 0 0 1 0 1 0 0 4 L={ x 1 | x 2 | x 3| x 1=4 ; x 2=3 ; x3 =0} d =4a 3 b Def.: Vektoren, die parallel zu einer Ebene sind, heißen komplanar Folgerung: 1) Zwei nicht kollineare Vektoren a und  b spannen eine Ebene auf. a und  Jede Linearkombination von  b lieft wiederrum in dieser Ebene, und ist deshalb a und  komplanar zu  b  a und b nicht kollinear, dann lässt sich jeder zu  a und  2) Sind  b komplanare Vektor  a und b . c in eindeutiger Weise aus  Beweis: Vor.:  a µ⋅b a nicht∥b ; c =⋅ Beh.: Es exisitert nur ein  und µ Bew.: Mit Hilfe des Widerspruchbeweises: Annahme: Es gibt 1 , 2 , µ1, µ2: a µ1⋅ b 1) c =1⋅ 2) c =2⋅aµ 2⋅b 0=1− 2⋅ a µ1−µ 2⋅ b 1) – 2) :  Ann.: 1≠2 − µ1−µ2  a= ⋅ b -->  -->  a∥b Widerspruch! --> 1=2  1−2  ebenso mit µ1 = µ2 q.e.d. a kollinear zu  b −k a = 2 ⋅ b k 1⋅ a ¿ k 2⋅b=0 -->  k1

k 1⋅ a k 2⋅bk 3⋅c = 0 Zettel 3 Folgerungen: a , b kollinear  <--> a , b linear abhängig  a , b , c komplanar  <--> a , b , c linear abhängig 

S.112/10 2 a = −1  4

    −3  b= 0 ; 1

−4  c = −1 ; 6

3  v = −3 ; 13

Beh.: a , b , c sind komplanar Z.z.  a , b , c sind linear abhängig 2 -3 -4 0 -1 0 -1 0 4 1 6 0 I + 2 II III + 4 II 0 -3 -6 0 0 1 2 0 1 0 1 0 --> unendlich viele Lösungen --> sind linear abhängig --> komplanar k 1k 3=0 k 22k3 =0 k 3=u k 1=−u k 2=−2u gleiches für  a , b , v b) 2 −3 0 k 1⋅ −1 k 2⋅ 0 = 0 4 1 0 2k 1−3 k 2=0 −k 1=0 4 k 1k 2=0 a und  -->  b sind linear unabhängig a und  -->  b sind nicht kollinear  −7000 a−14000 b7000  c =0

    

c) k 1⋅ a k 2⋅bk 3⋅c =v 2 -3 -4 3 -1 0 -1 -3 4 1 6 13 I + 2 II III + 4 II 0 -3 -6 -3 0 1 2 1 -1 0 -1 -3 k 22 k 3=1 k 1k 3=3 k 3=u k 2=1−2 u k 1=3−u k1 3 −1 k 2 = 1 u⋅ −2 0 1 k3 2 a −bc =v 1 a −3 b2c =v 5. Das Determinatenverfahren 5.1. Systeme mit 2 Unbekannten Allgemeines 2-2-System:  I : a1 x 1b1 x 2=c1  II : a 2 x1b2 x2 =c 2  I ': a 1 b2 x1b 1 b 2 x 2=b 2 c 1  II '  : −a 2 b1 x1−b1 b2 x 2=−b1 c2  I 'II ' : a1 b2−a 2 b1 ⋅x1=b2 c1−b 1 c 2 b c −b c x 1= 2 1 1 2 a1 b2−a2 b1 a c −a c x 2= 1 2 2 1 a1 b2−a 2 b1 Bezeichnugn: Schreibt man die Koeffitienten in ein rechteckiges Schema, erhält man eine sogenannte Matrix (Mehrzahl Matrizen) hier: a1 b1 =A a2 b2 Quadratische Matrix

    

 

Stimmd die Anzahl der Gleichungen mit der Anzahld er Unbekannten überein, so erhält man eine nicht quadratische Matrix Man definiert:

∣ ∣

a1 b1 =a 1 b 2−a 2 b1=D a 2 b2 Hauptdeterminante det A=

Ersetz man nun a1 | a2 (bzw b1 | b2) durch die Konstanten des inhomogenen LGS c1 | c2 erhökt man die sog. Nebendeterminanten c b c b A1= 1 1 --> det A1= 1 1 =c 1 b 2−c 2 b1=D 1 c2 b 2 c 2 b2

   

∣ ∣ ∣ ∣

a1 c1 a c --> det A2= 1 1 =a 1 c2−a 2 c 1=D2 a2 c2 a2 c2 Cramersche Regel: Das lineare 2-2-System hat folgende Lösungen det A1 x 1= det A det A2 x 2= det A D x 1= 1 D D x 2= 2 D sofern D≠0 A2=

5.2. Systeme mit drei Unbekannten a 1 x1b1 x 2c 1 x 3=d 1 a 2 x1b2 x 2c 2 x 3=d 2 a 3 x1b3 x 2c3 x 3=d 3 Cramersche Regel: D x 1= 1 D D x 2= 2 D D x 3= 3 D D≠0 Berechnung einer 3x3-Matrix (bzw. Determinate) a 1 b1 c 1 a 1 b1 a 2 b2 c 2 a 2 b 2=D=a 1 b2 c3b1 c 2 a 3c1 a 2 b3−a 3 b2 c1−b3 c 2 a 1−c3 a 2 b1 a 3 b3 c 3 a 3 b 3

∣ ∣

(Regel von Sarrus) vgl. FS Seite 77 Bsp S.40/9a)

2x 1x 25x 3=1 2x 14x 2 x3=1 x 1x 22 x 3=1

∣ ∣ ∣ ∣

2 1 52 1 D= 2 4 1 2 4=1 1 1 21 1 1 1 51 1 D1= 1 4 1 1 4 =−9=x1 1 1 21 1 D2=4=x 2 D3=3= x3





sin  cos tan  cos  sin  cos  tan  −cos  sin  tan  sin  −cos  sin  tan  0 −1 tan  0 −1

D=tan 2 1 Allgemein gilt: Wenn D≠0 D = 0 und mindestens ein D = 0 und alle Di = 0

D i≠0

Bsp: x 1−x 22 x 3=1 −2 x12 x 2−4 x 3=2 2 x 1−2 x 24 x 3=2 D1=D2=D3=D=0 2 x 1−2 x 24 x 3=−2 2 x 1−2 x 24 x 3=2 --> Widerspruch Komplanaritätskriterien a , b , c sind nicht komplanar  v beliebig v =k 1⋅ a k 2⋅ bk 3⋅c eindeutig lösbar

--> LGS besitzt genau eine Lösung --> LGS hat keine Lösung --> LGS hat unendlich viel Lösungen oder keine Lösung

für v gibt es eine eindeutige Linearkombination von a , b und c 

a , b , c nicht komplanar <=> Genau dann wenn a , b , c komplanar <=> D = 0  a1 b2 c1 wobei D= a2 b2 c2 a3 b3 c3

∣ ∣

4 a)

  

−1 −1 t  a= 2  b= t c = −1 t 2 2

D≠0 ansonten:

k 1⋅ a k 2⋅bk 3⋅c = 0 nur für k1 = k2 = k3 = 0 −1 −1 t 0 2 t −1 0 t 2 2 0 −1 −1 t 0 0 t −2 2t−1 0 0 2−t 2t 2 0 −1 −1 t 0 0 t −2 2t−1 0 2 0 0 −t −2t−1 0 −t 2−2 t−1=0 t12=0 t=−1 sei t≠−1 und k3 = 0 t−2⋅k 2 2t−1k 3=0 t=2 sei t≠−1 ; t≠2 ; k 2=k 3=0 −k 1−k 2t⋅k 3=0 k 1=0 t∈ R ohne {−1 ; 2}

a) v =2  a −b b) -3 11 5 b− w  c) c = a  2 4 4 d) -e) unendl.

v ,  a , b komplanar w  , a , b nicht komplanar a , b ,   w nicht komplanar

da  a , b , v komplanar und x nicht komplanar zu  a , b , v a , b , v komplanar und z komplanar 

Fazit: Jeder Vektor lässt scih in eindeutiger Weise al Linearkombination dreier nicht komplanarer Vektoren schreiben: Sind drei Vektoren komplanar, lässt sich ein vierter Vektor nicht (wenn er nicht in der gleichen Ebene liegt ) oder auf unendlich viele Arten dieser 3 Vektoren darstellen. Anwendung der Linearen Unabhängigkeit 1) Beweise: Im Dreieck teilt der Schwerpunkt die Seitenhalbierenden im Verhältnis 2:1 C

 b

a  S

A

B

c Geg.:  a , b , c AS =2⋅ SM a Beh.:  Vorgehen: (1) Suche eine geschlossene Vektorkette in der die gesuchten Transversallinien beteiligt sind  AB BS SA= 0 (2) Drücke die Vektoren durch die gegebenen Vektoren aus 1 1  AB=c ;  BS= a  b⋅k ;  SA=m⋅  a b 2 2 1 1   a b=  0 --> c k⋅a bm⋅ 2 2 (3) Ordnen 1 1 a⋅k  m k m bc =  0 2 2 mit c =−a −b 1 1  a −b= k  m a  m b− 0 2 2k 1 1 k  m−1a km−1 b=0 2 2 (4) Nutze die lineare Unabhängigkeit 1 k  m−1=0 2 1 km−1=0 2 2 k = =m 3 2  BS=  BM b 3  BS : SM b=2 : 1 S.121/14 u , v , w Geg.:   b) (1)  ET  TL¿ = 0 k⋅1 ET =k⋅ EM =  u  w (2)  2 2 1 5  TL=m⋅ LS =m⋅ LE  EK=m⋅− u−  w v  2 6 6 1 −1 1  LE=  CB−u= w   v  u 2 2 2 1 1 1 1 5 1 u  k −m1 w  k − m− v⋅ m = 0 -->  2 2 6 2 6 2

5 1 m =0 6 2 −3 m= 5 1 1 1 k − =0 2 10 2 4 k= 5 1 ⋅4 2 3  −1=0 5 5 4  ET =  EM  ET : TM =4 :1 5 −3     TL= LS LT : TS =3 : 2 5 III. Der abstrakte Vektorraum 1. Basis und Dimension Satz: Ein beliebiges Paar linear unabhäniger Vektoren b1 und b2 bildet die Basis der Ebene. Jeder weitere Vektor der Ebene lässt sich in eindeutiger Weise als Linearkombination von b1 und b2 darstellen: x =x 1⋅b1x 2⋅b2 x 1 , x 2 heißen Koordinaten von x b1 , b2 heiße Basisvektoren Beweis der Eindeutigkeit (Abi) Widerspruchsbeweis Annahme: Es gibt noch eine 2. Darstellung  =x1 '⋅b1x 2 '⋅b2 X x =x 1⋅b1x 2⋅b2 1) – 2)  0=b1  x 1 ' −x 2 b2  x 2 ' −x 2 Da b1 und b2 linear unabhängig --> x 1 '−x 1=0 --> x 1 '=x 1 --> x 2 '− x 2=0 --> x 2 ' = x 2 --> Widerspruch; qed Satz: Analoges gilt für den Raum: Die linear unabhängigen Vektoren b1 , b2 , b3 bilden die Basis des Raums. Bsp.: −1 Welche Koordinaten hat der Vektor x = −1 bzgl. 1



a) der Standardbasis B1

{     }

  

1 0 0 x =−1 0 −1 1 1 0 0 0 1

1 0 0 0 , 1 , 0 0 0 1

b)

{     }

1 0 0 B2= 1 , 1 , 0 1 0 1

  

1 0 0 x =k 1⋅ 1 k 2⋅ 1 k 3⋅ 0 1 0 1

D=1≠0 --> b1 , b2 , b3 sind linear unabhängig In der Mathematik unterscheidet man Räume verschiedener Dimensionen, je nachdem wie viele Basisvektoren man bracuht, um alle Punkte und Vektoren beschreiben zu können. Ein Raum ist gleich Menge von Punkten bzw. Vektoren = Vektorraum 2. Gruppen Eine Menge M mit der Verknüpfung „ ° „ heißt Gruppe M ; °  wenn gilt: 1) ∀ a , b∈ M --> a °b∈ M (Abgeschlossenheit) 2) Für jedes a ∈M gibt es ein e∈M mit: a °e=a=e °a (e: neutrales Element) 3) Für jedes a ∈M gibt es ein a−1∈ M mit a ° a−1=e=a−1 °a (a-1: inverses Element) 4) Assoziativ Gesetz: ∀ a , b , c∈ M : a °b°c =a °b°c Gilt zusätzlich das Kommutativgesetz: 5) ∀ a , b∈ M : a ° b=b °a dann heißt M ; °  kommutative oder abelsche Gruppe Beispiele: a) ℝ ;   1) ab∈ℝ 2) a0=0=0a (0 ist neutrales Element) 3) a−a =0 4) jo 5) jo --> ℝ ;   abelsche Gruppe b) ℝ ;⋅ 1) a⋅b∈ℝ 2) a⋅1=1⋅a=a (1 ist neutrales Element) 1 ℝ ;⋅ ist keine Gruppe, aber ℝ ∖ {0}; ⋅ 3) a⋅ =1 a c) ℤ ;   abelsche Gruppe d) ℤ ; ⋅ keine Gruppe e) ℕ ;   ist keine Gruppe, da kein neutrales Element enthalten ist 3. Vektorräume Eine Menge V mit den Verknüpfungen + und * heißt Vektorraum über ℝ abgekürzt: V ;;⋅ , wenn gilt: 1) V ;   ist eine abelsche Gruppe 2) Für die Verknüpfung „*“ gilt: (es sei  a , b∈VR ; r , s∈ℝ ) a) r⋅a ∈VR

b) rs⋅a =r⋅a s⋅a c)  a  b⋅r=a⋅r b⋅r d) r⋅s⋅a = r⋅s ⋅a a =a e) 1⋅ Beispiele für Vektorräume: 1) Dreidimensionaler geometrischer Vektorraum V ;  ; ⋅ 2) Polynome 1. Grades über ℝ : P 1 ;  ;⋅ p  x=a⋅xb q  x=c⋅xd Zu zeigen: (P1; + ) ist eine abelsche Gruppe IV. Geraden im Raum Ziel: Geraden und Strecken sollen druch Gleichungen beschreiben werden Problem: Eine Biene fliege auf einer geraden Bahn quer durch ein Zimmer in Richtung Honig. Beschreibe die Flugbahn vektoriell

Zur eindeutigen Festlegung einer Geraden im Raum genügt ein Punkt und ein Richtungsvektor 1. Darstellungsmöglichkeiten einer Geraden im Raum a) Punkt – Richtungsgleichung (Parameterform) u ein vom Nullvektor verschiedener Vektor, Es sei A ein Punkt mir dem Ortsbektor  OA und  dann bilden sich die Punkte x mit dem Ortsvektor g : x= OAk⋅ u mit k ∈ℝ Eine Gerade durch den Punkt A u Richtungsvektor und k Parameter A heißt Aufpunkt,  b) Zweipunktgleichung (Parameter) Sind A und B zwei Punkte, so ergiebt sich die Geradengleichung zu g : x= OAk⋅ OB− OA Bemerkung: Je nach Wahl des Aufpunkts oder des Richtungsvektors können sich für die selbe Gerade unterschiedliche Darstellungen ergeben Bsp.: R(2|6|0); Q(6|4|2); G(10|2|4); P(16|-1|7) 2 4 2 2 g :x= ORk⋅ OQ− OR = 6 k⋅ −2 = 6 m⋅ −1 0 2 0 1

    

  

6 4 g :x= OQk⋅ OG− OQ= 4 k⋅ −2 2 2

S.143/11

              

−5,5 5 s a : x = 4 m⋅ −1 −3 4 7,5 −4,5 sb : x = 0 k⋅ 3 9 −6

11,5 −10,5 sc : x= 2 k⋅ 0 9 −6 S.142/5 0 1 g 1 : x = 0 k⋅ 0 0 1 0 −1 g 2 : x = 0 k⋅ 0 0 1 S.142/7

  

0 −1 g :x= 0 k⋅ 1 0 −1 S.142/9 a) g : x= OAk⋅− OA OB  b) k ≥0 c) k ≤1 d) 0≤k ≤1 S.145/25 1 2  OP a = 2 a⋅ −7 −1 −2

 

Analytische Geometrie I) Die Vektorrechnung 1. Der geometrische Vektorraum

1.1.Vektoren im Anschauungsraum Def.:

a 

Ein Vektor ist die Menge aller gleichsinnig parallelen und gleich langen Pfeile. Ein einzelner Pfeil heißt Repräsentant dieses Vektors. Bezeichnung: • kleine Buchstaben:  a ; b ;c  ; CD  • große Buchstaben: AB A Fußpunkt (Anfangspunkt) B Endpunkt/Spitze Ein Vektor bezeichnet eine Parallelverschiebung (Translation) Def.: Ein Vektor, dessen Repräsentanten die Länge 0 haben, heißt Nullvektor  0 a , wenn sich die Repräsentanten nur durch Ein Vektor heißt Gegenvektor eines Vektors  die entgegengesetzte Richtung unterscheiden. 1.2.Vektoraddition und Vektorsubtraktion

a 

 b a „Fuß an Spitze“ x = b− a zur Subtraktion: gesucht x ∈Vektorraum V mit x  a =b

a 

 b x =− a  b

x

„Fuß an Fuß“ oder „Spitze an Spitze“

 b

−a x  b Rechengesetze: a) Kommutativgesetz: Für alle  a , b∈V gilt: a  b= b a   b) Assoziativgesetz: Für alle  a bc = a bc  a , b , c ∈V gilt:  Beweis:

 b

a  a b   bc

 a  bc a  0 = a („Nullelement“)  a −a=0 („Inverses Element“)  S.75/5  VW  =UW  UV a)      ABCA=CA AB=CB  RT  =TS  c) RS−  TA  BT  = d) AB 0  − ZY  − XZ  = XZ  ZX  = e) XY 0 S.75/6  x = AB 0 a)  x =BA  b) x = BC  AB=  AB  CD  c) x =CB c)

c