12/1 Mathe Lk (algebra)

Mathe Algebra 12/1 Infinitesimal Rechnung 1. Die Integralrechnung 1.1.Flächeninhaltsbestimmung • Rechteck: AR = l * b 2 • Quadrat: AQ = a 1 • Dreieck: AD= g⋅h 2 2 • Kreis: AK = r ⋅pi • Parallelogramm: AP = g * h ac ⋅h=m⋅h • Trapez AT = 2  2 • Kreissektor: AS =r ⋅PI⋅ 360 ° Eigenschaften des Flächeninhalts 1. Der FI 1cm2 ist die Fläche eines Quadrats mit der Seitenlänge 1cm 2. Der FI ist immer positiv 3. Der Flächeninhalt ist additiv 4. Der Flächeninalt ändert sich nicht durch Kongruenzabbildungen (Spiegelung, Translation) Beispiele von Flächenberechnungen in der Praxis (Physik) z.B: s = v * t v s t für v != konstant s(t) = v(t) * t ?? 1.2.Streifenmethode

A1 A2 AR = A1 + A2 + A3 + ....+ A15 Definition: Kurzschreibweise für die Summe A1 + A2 + ... + An n

A1 A2 A3... An=∑ Ai „Summe über Ai von i = 1 bis n“ i=1

Beispiel: 8

45678=∑ i i=4

n

123...n=∑ i= i=1

n⋅n1 2

n 1 2 3 4

5

6

E 1 3 6 10 15 21 n

12223 2...n 2=∑ i 2= i=1

n 1 2 3

4

5

n⋅n1⋅2n1 6

6

E 1 5 14 30 55 91 n

132333...n3=∑ i 3= i =1

n 1 2 3

4

5

n⋅ n1⋅n⋅n1 n2⋅n12 = 4 4

6

E 1 9 36 100 225 441 Ziel: Berechnung des Flächeninhalts unter einem Funktionsgraphen 1. Beispiel: Die Normalparabel f : x  x 2 mit Df = R+0 (1LE = 2cm)

(b/n)² b/n

Idee: Zur Bestimmung des Flächeninhalts zwishcen der x-Achse und der Parabel im Bereich 0≤ x≤b wird die Fläche in n-gleich breite Streifen zerlegt. Man erhält: • Obersumme S n Sn • Untersumme 2

b b b 2 b 2b 2 b 3b 2 b 4b 2 b n−1 b S n = ⋅0 ⋅            n n n n n n n n n n n 3 3 n−1 3 b b b n−1⋅n⋅2n−1 S n= 3⋅122 23242...n−12 = 3⋅∑ i 2= 3⋅ 6 n n i=1 n b lim S n =lim S n=[ A]0



n ∞



n ∞

Folgerung: Für die Fläche unter der Normalparabel im Intervall I = [a;b] gilt: 1 3 1 3 b b a [ a]a=[ A]0−[ A]0 = b − a 3 3

a b 1 3b 1 3 1 3 b [ A] =[ x]= b− a Schreibweise: a 3 a 3 3 2.Beispiel: f : x  x n−1 b 2 b 2b b n−1b b2 b2 b2 n−1n S n=0    ... ⋅ = 2⋅12...n−1= 2⋅∑ i= 2⋅ n n n n n 2 n n i=1 n





2

lim S n =lim

n ∞

n ∞

2

b¿ b2n 1 2 b2 1 2 = lim b − = b 2 2n 2 n∞ 2 2n 2

2

b 2b nb b2 n⋅n1 S n=   ... = 2⋅ n n n 2 n 1 2 lim S n = ⋅b 2 n ∞

 

 

2 b 1 2b --> [ A] =[ x ] =1over 2 b 0 2 0

f(x) A(x) x

x2 2

x2

x3 3

x3

x4 4

Vermutung: A'  x= f  x S.43/3 x3 16 AR−[ A] 2 =8−[ ] 2= 3 0 3 0 Ar −[ A] 2 0 16 8 = : =2: 1 3 3 [ A] 2 0 S.44/6 b 3 n⋅n−1⋅2n−1 32 n⋅n−1⋅2n−1 S n= 3⋅ = ⋅ 6 3 n n3 32 n⋅n1⋅ 2n1 S n= ⋅ 3 n3 32 1 32 1 64 S n−S n= ⋅ 2⋅2n 2n2n1−2n 2n2n−1= ⋅ 2⋅6n= 3 n 3 n n 64 0,1 --> n640 n k 2 640 lg 2k lg 640 k⋅lg 2lg 640 lg 640 k lg 2 --> k ≥10 1.3.Die Stammfunktion 11.Klasse: Geg.: f(x) Ges.: Ableitungsfunktion f'(x) jetzt: Geg.: f(x) Ges.: Stammfunktion F(x) mit F'(x) = f(x) Def.: Eine Funktion F heißt Stammfunktion zur Funktion f, wenn F'(x) = f(x) und DF = DR Beispiele: a) f  x=3x 2 --> F  x = x3 c mit c∈ R 1 10 b) f  x=5x 3 --> F  x = x c 2 1 4 2 c) f  x=2x 3−5x --> F  x = x −2,5 x c 2

f  x=3 cos x−sin x --> F  x =3sin xcos xc 1 1 e) F  x = sin x2 cos x --> f  x= cos x−2 sin x 2 2 Folgerungen: 1) ist F Stammfunktion zu f, dann auch F + c mit c∈ R 2) Die Graphen zu einer Stammfunktion sind lediglich um c verschoben F 2 x =F 1  xc F 1 x  1.4.Das unbestimmte Integral Def.: Die Menge aller Stammfunktionen von f heißt das unbestimmte Integral von f Schreibweise: ∫ f  x dx ^---^ --> Integrant df  x f '  x = dx (Wiederholung) Rechenregeln: 1) ∫ k⋅ f  x dx=k⋅∫ f  x dx mit k ∈R d)

2) ∫ f  x±g  x dx=∫ f  x dx±∫ g  x dx 3) ∫ f  x dx=F  x c Blatt M-02: 4a) 1 ∫ sin x2 dx= 2  x−sin x cos x c 1 1 2 2 2 2 2 F '  x= 1sin x−cos x= sin xsin x=sin x 2 2 2 2 ( sin xcos x=1 ) 1.5.Die Stammfunktion und die Flächenberechneung Def.: Ist f eine in [a;b] stetige und niochtnegative Funktion, so heißt die Funktion, die jedem x∈[a ; b] den Injalt A des Flächenstücks zwischen Gf und der x-Achse im Bereich a bis x zuordnet, die Flächeninhaltsfunktion Aa(x)

Aa(x)

Ax(x+h)

a

x

x+h

h Ax  xh= Aa  xh− Aa  x außerdem: h⋅f  x≤A x  xh≤h⋅ f  xh h⋅f  x≤A a  xh−A a  x≤h⋅f  xh A  xh−Aa  x f  x≤ a ≤ f  xh h A  xh−Aa  x lim f  x≤lim a ≤lim f  xh h h 0 h0 h0 f  x≤ A'  x≤ f  x  --> A'(x) = f(x) Aa  x ist eine Stammfunktion von f  x d.h. es gilt: Aa  x=F  x c mit F '  x= f  x Bestimmung der Konstanten c: c= Aa  x−F  x  Betrachte den Spezialfall Aa a=0 --> c= Aa a−F a=−F a --> Aa  x=F  x −F a  --> Aa b=F b−F a  b

∫ f  x dx=[ F x ] ab=F b−F a a

bestimmte Integral mit den Grenzen a und b bisher abgeleitete Integrationsregeln x2 1) ∫ xdx= c 2 1 3 2dx 2) ∫ x = x c 3 x n1 n c 3) ∫ x dx= n1 4) ∫ sin x dx=−cos xc 5) ∫ cos x dx=sin xc Beispiele: 1 2 1) f  x=x ;a= ;b=1 1over 3 2 1

1 3

1 1 1 64 1 485 A=∫ x 2 dx=[ x3 ] 1 3 = − = 3 2 81 24 648 1 2

2)

f  x−x 24x−3 ; a=1 ; b=4 4 4 1 A=∫ −x24x−3dx=[− x 32x 2−3x ] =0 3 1 1

Rechenregeln für das bestimmte Integral 1) a

∫ f  x dx=0 a

2) b

∫ a

a

f  x dx=−∫ f  x dx b

Beweis: b

∫ a

a

f  x dx=F b−F  a=−F a −F b=−∫ f  x dx b

3) b

b

∫ k⋅ f  x dx=k⋅∫ f  x dx a

a

Spezialfall: k = -1 4) b

b

∫ ¿− f  xdx=−∫ f  x dx a

a

¿ Die Fläche unter der x- Achse ist „negativ“ 5) c

b

c

∫ f  x dx=∫ f  x dx±∫ f  x dx a

a

b

6) b

b

b

∫ f  x±g  x dx=∫ f  x dx±∫ g  x dx a

a

a

allgemein: A3

A1 A2 a

A4 b

b

∫ f  x dx

liefert lediglich die „Flächenbilanz

a

Möchte man die Fläche berechnen: b

A=∫∣ f  x∣dx a

Da man ∣ f  x∣ meist nicht direkt integrieren kann muss man nach Bestimmung der Nullstellen die Einzelintgrale von a bis N1, von N1 bis N2, .... , bis b berechnen und deren Beträge aufsummieren

--> A=A1 A2 A3A4 Merke: Integriere bei der Flächenbestimmung niemals über Nullstellen! Beispiele: 1) 2 f  x=6−3x Ges: Flächeninhalt eingeschlossen von Gf und der x-Achse 2

∫ − 2

2)

f  x dx=[−x 36x]−2 2

A=F   2−F − 2=−2  26  2−2  2−6  2=8  2 f  x=sin x ; a=−; b= 

0

A=∣∫ sinx dx∣∣∫ sinx dx∣=∣[−cos x] 0∣∣[−cos x ]0∣=2 0

−

Die Fläche zwischen zwei Funktionsgraphen Gg S1

S2 Gf

x s1 x s2

x s2 x s2

xs2

A=∫ f  x dx−∫ g  x dx=∫ f  x−g  x dx x s1

x s1

xs1

xs1

xs2

xs1

xs2

Auf die Nullstellen der Funktion muss nicht geachtet werden. Allerdings muss von Schnittpunkt zu Schnittpunkt integriert werden: x s2

xs2

A=∫∣ f  x−g  x∣dx=∣∫ f  x−g  x dx∣ x s1

xs1

S.63/16 a)  2

∫ sin x dx=0 − 2

f −x =sin−x=−sin x=− f  x (will er in der Klausur sehen)

b) 2

2

f −x =x sin −x =−x sin x=− f  x 

∫ x2 sin x dx=0 −

c) f −x = 0,5

−x −x =− f  x cos

x dx=0 cos x

∫ −0,5

d) f −x =−x  1−x 2=− f  x  1

∫ x  1−x 2 dx=0 −1

S.63/6 x s=±4 4

∫1

1 ∣−4 x 2 dx−32∣=21 4 3 S.63/7 x S1=3 x s2=0 3

3

∫1

∫3

1 dx− 0 x dx∣=2 2 4 x S.63/8 1 y= x 2 6 y= 6x Schnittpunkte: x 1=0 x 2=6 ∣

0

2

6

1 A=2⋅∫ x− x 2 dx=12 6 0 S.63/11 a) x1 =4 x 2=−6 b)

a 1=6 a 2=−4 S.64/18 f '  x =−

sin x cos x 2

3 2

10−cos x f '  x=0 −cos⋅sin x=0 −1 sin 2 x=0 2 sin 2 x=0  --> x=k⋅ mit k ∈Z 2 1 1 1 = --> Max 0|  3 3 9   1 1 f  =  --> Min | 2 2  10  10 f 0=

S.64/18 a) 1 m=

 10

M=

1 3

b)  2

 1  1 ⋅ ≤∫ f  x dx≤ ⋅ 2  10 0 2 3 c) Mittelwert (Durchschnitt) D =



 1 mM 1  1 = ⋅ ⋅  ⋅ 2 2 2  10 2 3



∣3  10−10∣ D= 3  1010 ---> 2,6% -->

Übungsaufgabe: 1) Gegeben: f : x sin x ; g : x   3⋅cos x a) Zeichne Gf und Gg in D b) Berechne die Fläche, die von Gf und Gg eingeschlossen wird (Lös: 4) f : x cos x 2)  ein 2 Flächenstück ein. Dieses Flächenstück soll durch eine Parallele zur y-Achse halbiert  werden. Berechne diese Gleichung (Lös: x= ) 6 Verbesserung der 1. Ex 1) Gf schließt mit den Koordinatenachsen im 1.Quadranten im Bereich 0 bis

3 ⋅cos x ; g : x  ⋅sin x 2 3 D = [0 ; 2 ] 1 3 3= sin x  3 2  --> 1= 6 7  2=  6 A=2  3 2) a) 5 A=10 12 b) 62 = 63 1.6.Die Integralfunktion Definition: f sei im Intervall J stetig mit a ∈J f  x=

1

x

F : x ∫ f t dt heißt Integralfunktion von f

Die Funktion

a

Integrantenfunktion

Bsp.: -->

x 2 x t 1 f 1  x=∫ dt= x 2 4 0 2 f :x

oder x

∫t

F 2 x = 1 2

1 1 dt= x 2− 4 4 a

Insbesondere gilt:

∫ f t dt=0 a

Folgerung: Jede Integralfunktion besitzt mindestens eine Nullstelle, und zwar die untere Grenze Zusammenhang zwischen Stammfunktion und Integralfunktion – Jede Integralfunktion ist Stammfunktion 1 2 1 – Aber nicht jede Stammfunktion ist auch Integralfunktion, da z.B. F  x = x  ist 4 4 x 1 2 1 x  0 ∀ x∈ℝ (hat also Stammfunktion von x  aber keine Integralfunktion, da 2 4 4 keine Nullstelle) S.71/7 1 2 x 2− x 3− =0 3 3

1 2 2 2  x−1− x2 x − =0 3 3 3 3 x 1=1 x 2=1 3 x 3=1−  3 1.7.Der Hauptsatz der Differential- und Integralrechnung





x



x

'

d ∫ f t dt = ∫ f tdt = f  x dx a a Jede Integralfunktion einer stetigen Funktion f ist differenzierbar, ihre Ableitung ist die Integrantenfunktion f. Kurz: die Integration ist die Umkehrung der Differentiation x

Bsp.:

F  x =∫ f t dt ; ∀ x∈[a ; b] a

Beh: F '  x= f  x Bew.: F  xh−F  x  F '  x=lim h0 h Zähler genauer anschauen: xh

x

xh

a

xh

F  xh−F  x= ∫ f t dt−∫ f t  dt= ∫ f t dt∫ f t dt= ∫ f t dt a

a

a

Skizze:

xmax xmin

x

x+h

xh

h⋅f  x min ≤ ∫ f t dt≤h⋅ f  x max  x

xh

∫ f  x min ≤

f t dt

x

≤ f  x max 

h

F  x 0h−F  x0  ≤lim f  x max  h0 h 0 h h0 f  x≤F '  x≤ f  x --> F '  x= f  x Übungsaufgaben: 1) Schreibe f  x=x 3−27 als integralfunktion lim f  x min ≤lim

x

F  x=∫ g t dt= x3 −27 a

x

∫ 3t 2 dt 3

x

2)

g : x ∫ 3

2

t dt 3 t 1

x

x

a) gib eine Nullstelle von g an: NS(3|0) b) Untersuche, ob Gg waagrechte Tangenten und bei x=0 einen Wendepunkt besitzt g'(x) = h(x) nach dem HDI --> Gg hat dort eine waagrechte Tangente, wo Gh eine Nullstelle hat Gg hat da einen Wendepunkt, wo Gh eine waagrechte Tangente hat  Geg.: f  x=x−2 mit x∈ℝ a) Gesucht ist die Stammfunktion die durch den Punkt P(4|1) geht −1 3 F  x =  x 4 b) ist diese Funktion eine Integralfunktion? nö 1−x Di=ℝ als Integralfunktion zu f c) Schreibe I  x= x x

I  x=∫ f tdt 1

Schnittwinkel immer zwischen – 90° und 90° 1.8.Anwendung der Integralrechnung in der Physik a) Lineare Bewegungsabläufe ex =1 x s(t) sei die in x-Richtung in der Zeit t zurückgelegte Strecke st 0 t −s t 0 v t 0= lim = s˙ t 0   t0  t allgemein: v t= s˙ t st =∫ v tdt ebenso gilt: a t = v˙ t  v t =∫ a t  dt Die Integrationskonstante wird durch die Anfangsbedingungen festgelegt. Bsp.: Senkrechter Wurf nach oben a) Ges.: Bewegungsgleichungen

h

−1 2 st = g t v 0⋅th 2 v t=−g⋅tv 0 a=−g −1 st =∫ v tdt= 2 v 0⋅t c 2 mit s 0=0 −1 2 c=0 s t= g t v0⋅t 2 v t= 0 g b) mit Welcher Geschwindigkeit kommt er am Boden an? Am obersten Punkt gilt: v t s =0 <--> −g⋅t sv 0=0 v t s= 0 g s ges=2 s t sh

b) Die physikalische Arbeit Mittelstufe: W =F⋅s für F = const. für F≠const. : W =∫ F s ds 1 W =∫ D⋅s ds= D s 2c 2 S.86/6  ' = M  x M = 4 3 4 3 x  R 3 3 x3 M  x= 3 ⋅M R G⋅m⋅M  x G⋅m x 3 G⋅m⋅M F  x = 2 = 2 ⋅ 3= 3 ⋅x x x R R r

r

W =∫ F  x dx=∫ 0

0

G mM G mM 1 2 ⋅x dx= 3 ⋅ r 3 2 R R

c) G⋅m⋅M ⋅1 R3 2 1 2 R = mv 2 2 G⋅M m v= =8000 R s S.92/34 f  x=x 3a x 2b xc 1)



1

∫ f  x dx=32 a2 c −1

2)

1 a b F 1=   c=1 4 3 2 3) 32 ab=0 1 2  ab2 x=2 (2') 2 * (2): 2 3 −1 −b=−2 2 b=1,5 (1) – (2'): a=−2,25 3 c= 4

1.9 Raum eines Rotationskörpers Satz: y y = f(x) a b x Rotiert ein krummlinig begrenztes Trapez um die x-Achse, so entsteht ein Körper mit dem Volumen b 2

V =⋅∫ [ f  x] dx siehe Blatt a

Beispiel: Rauminhalt einer Kugel y r 2=x 2  y 2  y= r 2−x 2= f  x

r -r

x

r

−r xr r

r

1 4 V =⋅∫   r −x  dx=2⋅∫ r 2−x 2 dx=2⋅⋅[r 2⋅x− ⋅x3 ] r = ⋅r 3⋅ 3 0 3 −r 0 96/ 1 d) r f  x =R− ⋅xr ; a=0 ; b=h h h 2 2 3 ⋅h⋅ R  Rrr  1 R−r h 2 h V =⋅∫ [ f  x] dx  ⋅[ ⋅ ⋅xr  ⋅ ] = ¿ 3 h R−r 0 3 0 2

2 2

2

⋅a 2 2 2 16 a2 2 ⋅ x ⋅2− x dx= ⋅⋅ 97/3 V =⋅∫ [ f  x] dx= ∫ 15 a24 0 a24 0 2

dV

16⋅ a 16⋅ = ⋅ a24⋅2a−a 2⋅4⋅ a23 = ⋅2⋅a⋅a23⋅a2−2a=¿ da 15 15

16⋅ ⋅4⋅a 2⋅a23=¿ 15 Extremwerte a = 0 und a = -2 ¿−

a = -2 ist wichtig VZW von der 1. Ableitung an a = -2 von + nach - , dh Maximun an der Stelle -2 V max=¿

97/4a) Fx 2 y−a 2 =r 2 f 1  x = r 2 −x 2a f 2  x =− r 2− x 2a r

2

r

2

r

V =⋅2⋅∫   r − x a  dx−⋅2⋅∫ − r − x a  dx =2⋅⋅∫ r 2−x 2a 22a  r 2−x 2 dx −¿ 2

0

r

2

2

0

2

0

r

⋅1 2 2 2 2 2 2 2 2 2 2 −∫ r −x a −2a  r −x  dx=8 a ⋅∫  r −x dx=8a ⋅r =2 a r  4 0 0 V =A ⋅s b) Beh.: K M A K =r 2⋅ s M =2 a  V =2 r 2 a 2 96/2a) r ⋅r 4 V p=⋅∫ x dx= 2 0 2 2 4 V Z =r ⋅⋅r =r ⋅=2⋅V P 2. Die Umkehrfunktion und ihre Ableitung 2.1.Die Umkehrfunktion 2

Bsp: 1 f 1 : x  1 2

f 2: x  x

y

2

y

x

x

f2 ist nicht umkehrbar auf D f =ℝ , −  aber jeweils auf D f ,1=ℝ 0 und D f ,2=R0

f1 ist umkehrbar

Def.: Eine Funktion f heißt umkehrbar, wenn aus f  x1 = f  x 2 stehts folgt: x1 = x2 ( anschaulich: jede parallele zur x-Achse schneidet Gf in höchstens einem Punkt) F besitzt dann eine Umkehrfunktion in Zeichen: f −1  xoder f  x Bem.: 1) Den Graph der Umkehrfunktion erhält man durch Spiegelung von Gf an der Winkelhalbierenden des 1. und 3. Quadranten 2) D f =W f ;W f =D f 3) Jede streng monotone Funktion ist umkehrbar 4) Verfahren zur Bestimmung von f −1  x 1 Bsp.: y= x1 2 1. Schritt: Variablen austauschen 1 x= y1 2 2. Schritt: Nach y auflösen y=2 x−2 3. Schritt: D f =W f =ℝ W f =D f =ℝ 5) Test ob f-1 (x) tatsächlich die Umkehrfunktion ist f  f −1  x =x f −1  f  x =x −1

−1

−1

−1

6) Satz Die Umkehrfunktion einer streng monoton steigenden/fallenden Funktion ist wieder streng monoton steigend/fallend Untersuchung von Funktionen auf Umkehrbarkeit

S.106/1 d) x−2 für x≥2 2−x für x2  D f =[−2 ; 1,5]

f :x f

−1

 x=2− x

2

S.110/4 1 12 x− x 2 x∈]−∞ ; 1 ] 2 1 x2 x∈] 1 ; ∞ [ 2

f :x

zu zeigen:

lim f  x= lim f  x= f 1 x 1−0

x10

1 lim 12 x− x 2 =2,5 2 x1−0 1 lim  x2=2,5 x10 2 f 1=2,5 ---> f ist stetig bei x = 1 und somit auf ℝ f ' : x

1)

x∈ D1

2−x für x∈]−∞ ; 1] 0,5 für x ∈] 1 ;∞ [ ---> f ist umkehrbar, da 2 – x > 0 für

x∈ D1 und 0,5 > 0 für

x∈ D2

1 y=12 x− x 2 2 1 x=12 y− y 2 2 2 y −4 y2 x−2=0 1 y 1/ 2= 4±  24−8x=2± 6−2x 2 −1 --> f : y=2− 6−2x , da y≤1 2) x∈ D2 f −1 : y=2 x−4 2.2.Die Ableitung der Umkehrfunktion a) Verkettete Funktionen: h(f(x)) f h  x° f  x x f(x) h h(f(x)) -1 b) speziell für f und f x --- f ---> f(x) ---- f-1 ----> f-1(f(x)) = x x --- f-1 ---> f-1(x) ----- f----> f(f-1(x)) = x c) Ableitung von f-1(x): 1 Bsp: f : x  x−3 2 −1 f : y=2 x6 −1 [ f ]' =2 Das direkte differenzeiren von f ist allerdings nicht immer möglich d) Herleitung einer allgemeinen Formel: Betrachte die Funktion g : x  f  f −1  x  (1) dann gilt: g  x = x (2) Betreachte die erste Ableitung von g (1') g '  x= f '  f −1  x⋅[ f −1  x]' (2') g '  x=1 (1') = (2') f '  f −1  x⋅[ f −1  x]'=1 1 [ f −1  x]' = f '  f −1  x e) Verfahren zur Bestimmung von [ f −1  x]' Beispiel Allgemein f :xx

2

mit

D=ℝ



1)

f −1  x= x

1) Umkehrfunktion

2)

f '  x =2 x

2) Ableitung von f

3)

f ' f

4)

1 =[ f −1  x]' 2 x

−1

 x=2  x

3) f' und f-1 verketten 4) Kehrbruch

Überprüfe, ob f auf der Definitionsmenge umkehrbar ist, und bestimme die Ableitung der Umkehrfunktion D=ℝ ohne {0} 1) f  x=3−2 x−1 ¿

f '  x = f −1=

2 0 x2

2 3− x

2 [ f −1  x]' = 3− x2 1− x 2) f  x= x −1 f '  x= 2 x 1 f −1  x= x1

D=ℝ ohne {0}

1 [ f −1  x]' =− x12= 2 −x −2x−1 Übungsaufgabe zu Rotationskörper 1) 1 2 A2=   2 ⋅= 2 1 A1= ⋅2  2⋅ 2=2 2 f 3 : y=−m c2  2 0=−2 m  2 2 m= 2 − 2 f 3 : y=  x 2 2 2 2 2 − 2 2 − 2 3 −4 8 A3 =2⋅∫ c  2 dx=w⋅[ x 2sqrt 2⋅x] =2⋅ 2−0 = 6 6 3 0 0 2 A1 2 = ⋅100 %=63,7% A2  A3 8 = ⋅100%=84,9 % A2 3  Dreieck : y=x  2 Halbkreis : y= 2− x2 − 2 Parabel : y=  ⋅x 2 2 2 0 3 0 4⋅ 2 x 2 V 1=2 c ⋅ 2 ˙ ∫  x 2 dx=2⋅[   2 x 2 x] = 3 − 2 3 − 2



2

V 2=2 ⋅∫ 0









2

− 2 2 32 ⋅x  2 dx=   2 2 15

V1 ⋅100 %=50 % V2 V3 ⋅100 %=80 % V2



2 t 2−8 F ' '  x = 4 =0 t 8 t 216 Zähler anschauen: 2t 2−8=0 t 2=4 t 1=2 t 2=−2 Da auch 2 untere Grenze ist --> Nullstelle bei x=2 WP(2|0) −1 F ' 2= =m= f 2 2 −1 −1 t : y=  x−20= 1 2 2 2) f  x=a⋅x 2b⋅xc a) 2 a4 c=0 ∫ f  x dx=16 3 −2 (1) 4a3 c=0 7 b) m= 3 7 (2) abc= 3 c) (3) 2 ab=0 4 0 3 0 7 ¿ 3

1 1 1 2 1 0 0 III – 2 II I – 2 III 0 -1 -2

14 3

-

0 -2 3 0 2 1 0 0 II – 2 I 0 0 1 0 -2 3 0 2 1 0 0

4 3

II – 3 I 0 0 1

4 3

0 1 0 2 1 0 0 -1 4 3 3. Die Exponetial und Logarithmusfunktion 3.1. Die allgemeine Exponentialfunktion Die Potenzfunktion f : x  x n mit n∈ℝ Rationale Funktionen f : x  x n mit n∈ℕ¿ Definition: Es ist a ∈ℝ  Die Funktion f : x  a x mit x∈ℝ heißt Esponentialfunktion zur Basis a Zeichne die Graphen der Funktionen 2

f  x=−x 2 x

Eigenschaften: f 0=1 1) 2) Die x-Achse ist Asymptote für a≠1 3) Der fraph

f : x a

x

ist asy zu

1 x f : x   a

4) für a < 1: smf für a > 1: sms 5) D=ℝ W =ℝ  Die Exponentialfunktionen sind streng monoton für a ∈ℝ  ohne ¿ {1} --> Es existiert eine Umkehrfunktion y=a x x=a y log x=log a y log y=log a y log x= y⋅log a log x y= log a y=log a x

3.2. Die allgemeine Logarithmusfunktion Def: Die zur allgemeinen Exponentioalfunktion f : x  a x mit D f =ℝ W f =ℝ  , a ∈ℝ  ohne {1} gehörende Umkehrfunktion g : x log a x heißt allgemeine Logarithmusfunktion zur Basis a

Eigenschaften: f 1=0 1) 2) a>1: sms a<1: smf 3) y-Achse ist Asymptote lim f  x=−∞ a>1: x 00 lim f  x=∞ a<1: 4) 5)

x 00 

D=ℝ ;W =ℝ für a ∈ℝ  ohne {1} f : x log a x ist symmetrisch zu f : x log1 x bzgl. der x-Achse a

Rechengesetze: 1) 2)

log x lg x = log a lg a v log u =v⋅log u log a x=

u log =logu−log v v 4) log u⋅v=logulog v Spezialfälle log b b=1 log b 1=0 log x log x b log b x =b⋅ = 1 log b log bb Vereinfache 3 2 log 5  x 2= ⋅log 5 x 3 3 x log b =log b x3 log b y−log b z z 3⋅x⋅ x3 log 3 =−22,5 log 3 x 27 3)

3. Die Ableitung von ax f  xh− f  x h 0 h a xh−a x a x⋅a h−1 a h−1 x f '  x =lim =lim =a lim =a x ' h 0 h h0 h h 0 h f '  x =lim

Konstante K Gibt es eine Basis a, so dass K = 1 ist?! Denn dann wäre a x  ' =a x h a −1 lim =1 h0 h a h−1≈h h a ≈h1 h a≈  h1 1 h

a≈h1 h=10−1 a≈2,69 h=10−2 a≈2,704814.... genauer: 2,718281828=: e e heißt Eulersche Zahl (Leonhard Euler, 1707-1783) 1 h

e :=lim  h1 h0

x x Eigenschaften: e x ' =e x und ∫ e dx=e c 3. Die natürliche Exponentialfunktion Def.: x e x

Der Schnittpunkt zweier Exponentialfunktionen 1) −x 2

exp 1 : x e exp 2 : x  e x1 −x 2

e =e x1 −x 2

ln e =ln e x1 Def.: Der Logarithmus zur Basis e heißt natürlicher Logarithmus Schreibweise: log e =ln Es gilt ln e=1 eln x =x −x =x1 2 −2 x= 3 3 y= e≈1,40 −2 3 S |  e 3 anderer Weg −x 2

e =e x1 −x 2

x 2

e ⋅e =e

x1

x 2

3 x1 2

1=e 3 x1=0 2 −2 x= 3 2) Die Funktion 1 h  x= e x1 2

−x 2

f  x=e

−x 2

1 e = ⋅e x1 2 −x 1 ln e=ln  x1ln e 2 2 −x 1 =ln x1 2 2 −x =ln 2−1x1 2 2 2 x= ln 2− 3 3 3 e y= 2 2 2 1 S ln 2− | 3 4 e 3 3 2 S.131/6 f x 2 e x−ex =0 e x  x 2−1=0 x 1=1 x 2=−1







Bestimme die Definitionsmenge sowie lage und Art der Extrema mit Hilfe der 2. Ableitung 1) f  x=e5x −x 1 x 1= Minimum 10 2) f  x=esin x  x= maximum 2 3) f  x=e 1− x Kein Extrema 4) f  x=e x 3x1 −3 x= Minimum 2 Die Integration der Exponentialfunktion d f  x e = f '  x ⋅e f  x f '  x⋅e f  x dx=e f  xc --> ∫ dx Bsp: 1) ∫ 2 e x3 dx=2 e x 3xc 2) ∫ 2x−1⋅e− x−x  dx=e x −xc 3) 1 ∫ x⋅e x dx=2 e x c 4) 2

2

2

2

2

2

−5

2

∫ e−4x ⋅5 x dx=8 5)

2

e−4x c

2

∫ 2e x dx=¿

noch nicht lösbar

6) 2

1 e 4 ∫−x e x dx=−1 2 2 2

0

7) 2

2

−3

∫ 3 e x−2 ⋅e−x dx= 4

e−4x 4 c

Die Darstellung als Integralfunktion Da die Exponentioalfunktion keine Nullstelle besitzt ist sie nicht als Integralfunktion darstellbar. 1) x 1 f  x=e x − =∫ e t dt e −1 2) x

f  x=e⋅e

x−1

t

−1=∫ e dt 1

3) x

−1  2 2x f  x= e −e = ∫ e2t dt 2 1 2

2

3.5. Die natürlich Logarithmusfunktion Def.: Die Funktion x ln x heißt natürliche Logarithmusfunktion Folgerung: Die natürliche Logarithmusfunktion ist die Umkehrfunktion der Exponentialfunktion x exp : x  e

Eigenschaften: 1) ln 1=0 und ln e=1

2) 3)

lim ln x=−∞ x 00

lim ln x=∞ x∞



Dln =ℝ 4) W ln =ℝ 5) sms auf ℝ  Die Ableitung von x ln x 1 [ f −1  x]' = −1 f '  f  x wobei: f −1  x=ln x f  x =ex f '  x=e x f '  f −1  x= x 1 x 1 −1 [ f  x]' = x Bilde jeweils die erste Ableitung und Df 1) f  x=e x⋅ln x−1 e x⋅1 x f '  x = e ⋅ln x−1 x−1 D=] 1 ; ∞ [ 2) 1 f  x=esin x⋅ cos x⋅esin x⋅ln   x1 2 x2  x 3) f  x=x x=eln x =ex⋅ln x f '  x =ln x1⋅ex⋅ln x 4) f  x= x⋅ln x 2ln x f '  x =  x 2x [ f −1  x]' =

x





Die Integration von natürlichen Logarithmusfunktionen 1 1 ln x' = --> ∫ dx=ln∣x∣c x x 2x 2x 2 ln x = 2 --> ∫ 2 =ln x 2c x x 6 1 7x ln x7 '= 7 ⋅7x 6 --> ∫ 7 dx=ln∣x 7∣c x x  x ln f  x' = f '  x allgemein: f  x ∫ f ' f  x dx=ln∣ f  x∣c

Beispiele: 1) 2x2 ∫ x 22x1 dx=ln x 22x1c 2) 0 =n.d. da D f =ℝ ∖ {−2 ;−1} ∫ 2x3 2 −1,5 x 3x2 3) 3 −x 3 −1 [ ln x 41]−13 = ln5 ∫ x 41 dx=−1 4 4 −1 4)  sin x dx=2 [ln  xcos x ]0 =2 ln−1 ∫ 2−2 xcos x 0 5) 2 bxc c c 1 dx=∫ axb dx=∫ ax dx∫ b dxc⋅inf dx= ax 2bcc⋅ln∣x∣ ∫ ax x x cx 2 Integriere: v b 1 2−xn⋅x dx= ∫ ∫ 1x 12− x dx=mx  n2− x =m⋅ 2 x⋅2−x a 2 x− x a 2 m−mxnx=1 2 m x−mn=1 --> −mn=0 --> m=n 1 2 m=1 > m=n= 2 1 1 b b b 2 2 1 1 1 2 b−ab dx dx=[ ln∣x∣− ln∣2− x∣] = ln ∫x ∫ 2− x 2 2 2 a−ab a 2 a a

 

∣

∣

Welche Werte dürfen die Grenzen a und b annehmen? a ,b∈]−∞ ; 0 [ oder ] 0 ; 2 [ oder ] 2 ; ∞[ 1 b⋅2−a a ,b∈ I 1 : J = ln 2 a⋅ 2−b a ,b∈I 2 : J =das selbe ebenso für a , b∈ I 3 Bemerkung: Die natürlcihe Logarithmusfunktion lässt sich auch als Integralfunktion schreiben: x 1 ln x=∫ dt 1 t Schreibe als Integralfunktion: f  x=ln ln  x−e x

Ges.:

∫ ht  dt

mit

(1)

f c=0

c

(2) h  x= f '  x  ln  x−e=1 ln  x=1e 1 e e = x 22e e =x

x

∫ 12 t ln

e

22e

 t−e

dt

S.135/10 −1

: x  e x −1 2 x

 : x e lim  x=1= lim   x  x ∞

x −∞

lim   x=0 x00

lim   x=∞ x0−0

Ist stetig fortsetzbar:  x  , x∈ℝ∖ {0} f: x ----> 0, x=0 S.135/12 a)

sinx −2 x mit x∈]− ; [ ∖ {0} sinx sinx lim [ x⋅3−ln −2]= lim x lim 3− lim ln − lim 2=−2 x x x00 x 00 x 00 x 00 x00 sinx lim =1 x 00 x f  x für x≠0 f : x −2 für x=0 b) f  x 0±h− f  x 0 f 0=lim mit x 0=0 h0 h S.136/19 1 f :x x⋅ln x a) Dmax =ℝ  ∖ {1} b) −1ln x f '  x = < 0 --> smf für alle x>1 2  x⋅ln x c) 1 e e e 1 x A=∫ f  x dx=∫ dx=∫ dx=[ln∣ln x∣]ee =ln 2 x ln x ln x e e e 137/26 f  x=x 2⋅ln x D=ℝ+ Nullstellen Ns 1| 0 f '  x=2 x⋅ln xx =x 2lnx1=0 f  x=x⋅3−ln



2

2



2

2

−1

2lnx=−1  x=e 2 −1

VZW von f '  x von−| Minimume 2 |− f ' '  x =2 lnx3 f ' '  x =0  x=e

−3 2

; y=

lim f  x=∞ x ∞

−3 2 e3

1  2e

1  x−1lnx0 für 0x 1 x x

b)

1

∫1

lnx= 1

−∫ 1 dt=

t

x

dt immer kleiner 0 ln x0

t AR

x0

1

1 −1  x 0−1= 1− x 0 x0 x0 A R=

1 1−x 0 =Fläche des Rechtecks x0 1

−∫ 1 x

−AR 

dt

t

c)

1  x −1ln x0 | x 2 x 2 x  x −1 x lnx0 alles gegen 0 lim form x 0 x 2 lnx=0 g  x= x 3 ln x g '  x 3 x 2 ln xx 2 x

F  X =∫ t ln t dt 2

d)

1

1 x ln x=  g '  x −x 2  3 x x 1 F  x =∫ t 2 ln t dt = ∫ g ' t−t 2 dt 31 1 2