11_transformada_de_laplace

La transformada de Laplace

∞

Y ( s ) = L{ y (t )} = ∫ e − st y (t )dt 0

1

Pierre-Simon Laplace (1749 - 1827)

"Podemos mirar el estado presente del universo como el efecto del pasado y la causa de su futuro. Se podría condensar un intelecto que en cualquier momento dado sabría todas las fuerzas que animan la naturaleza y las posiciones de los seres que la componen, si este intelecto fuera lo suficientemente vasto para someter los datos al análisis, podría condensar en una simple fórmula el movimiento de los grandes cuerpos del universo y del átomo más ligero; para tal intelecto nada podría ser incierto y el futuro así como el pasado estarían frente sus ojos." 2

La transformada de Laplace Sea f(t) una función definida para t ≥ 0, su transformada de Laplace se define como: ∞

L{ f (t )} = F ( s ) = ∫ f (t ) e dt − st

0

donde s es una variable compleja s = σ + iw. Se dice que la transformada de Laplace de f(t) existe 3 si la integral converge.

Observa que la transformada de Laplace es una integral impropia, uno de sus límites es infinito:

∞

e ∫

− s ⋅t

0

Notación:

h

f (t )dt = lim ∫ e h →∞

− s ⋅t

f (t )dt

0

L { f (t )} = F (s ), L { y (t )} = Y ( s),

L { x(t )} = X ( s ), etc.

4

Condiciones suficientes de existencia de la TL ∞

L{ f (t )} = F ( s ) = ∫ f (t ) e −st dt 0

Si f(t) es continua a trozos en [0, ∞) y

| f (t ) |≤ Me at , ∀t ∈ [0, ∞) Es decir, f(t) es de orden exponencial en el infinito:

∃b ∈ ℜ tq lim | f (t )e −bt |= 0 t →∞

Entonces: L{f(t)} = F(s) existe ∀s > a.

5

Calcula la transformada de f(t) = 1:

− 1 − st L {1} = F ( s ) = ∫ 1e dt = e 0 s ∞

− st

e =e

− ( a + ib )t

∞

− st

− at − ibt

=e e

0

1 = s

⇒ a > 0, Re { s} > 0

1 f ( t ) = 1 → F ( s ) = , R e { s} > 0. s Nota: Obviamente L{a} = a/s y L{0} = 0. 6

Calcula la transformada de f(t) = tn:

{ }

L t n = F (s) = ∫

∞ 0

− st ∞

n − st ne t e dt = t −s

0

−∫

∞ 0

− st e nt n −1 dt = −s

{ }

n ∞ n −1 − st n = ∫ t e dt = L t n −1 s 0 s

{ }

{ }

n L t = L t n −1 s 1 0 L t = s n

{ }

  n n!  L t = n +1 s  

{ }

n! f (t ) = t → F ( s) = n+1 ( Re { s} > 0) s n

7

Calcula la transformada de f(t) = e-t :

{ }

∞

∞

L e = F ( s) = ∫ e e dt = ∫ e −t

− t − st

0

− 1 − ( s + 1) t e s+1

∞

0

0

− ( s + 1) t

dt =

1 = s+1

1 ( Re { s} > −1) f (t ) = e → F ( s) = s+1 −t

8

Calcula la transformada de f(t) = Aeat :

{ }

∞

∞

− ( s− a ) t

L Ae = F ( s) = ∫ Ae e dt = ∫ Ae at

at − st

0

− A − ( s− a ) t e ( s − a)

∞

0

0

dt =

A = , s>a s− a

A f ( t ) = Ae → F ( s ) = , Re{s } > a s− a at

9

Calcula la transformada de f(t) = sen(at): ∞

− st

e sen ( at )e dt = sen ( at ) −s

∞

L { sen ( at )} = F ( s ) = ∫

0

a e −st  cos( at ) s −s 

e −st  ( − a ) sen (at ) dt  = a2 − a2 −s  s s 

∞

0

−∫

 a2  a2 1 + 2  I = 2 ; s  s 

∞ 0

− st

0

−∫

∫

∞ 0

∞ 0

e −st a cos( at ) dt = −s

sen (at )e −st dt

a I= 2 s + a2

a f (t ) = sen ( at ) → F ( s ) = 2 s +a2

( Re { s} > 0)

Ejercicio: calcula F(s) para f(t) = cos(at) 10

Calculemos la transformada de f(t) = sen(at) de nuevo:

e iat − e −iat sen ( at ) = 2i L { sen ( at )} = F ( s ) = ∫

∞

0

1 2i

( ( e ∫ ∞

−s +ia ) t

0

( −s +ia ) t

e iat − e −iat −st e dt = 2i

)

− e ( −s −ia ) t dt = ( −s −ia ) t

∞

( −s −ia ) t

( −s +ia ) t

∞

  1 e e 1 e e    − =  − =     2i  − s + ia − s − ia  0 2i  s + ia s − ia  0 1 ( −s −ia ) t ( −s +ia ) t ∞ ( s −ia )e − ( s + ia )e 0 = 2 2 2i s + a 1 2ia a [( s −ia ) − ( s + ia )] = = 2 2 2 2 2 2i s + a 2i s + a s +a2

(

[)

(

)

]

(

)

11

Calculemos la transformada de f(t) = eiat :

e = cos(at ) + i sen (at ) iat

{ } = F (s) = ∫

L e

iat

1 ( − s + ia ) t e − s + ia

∞

0

∞ 0

∞

e e dt = ∫ e iat − st

0

( − s + ia ) t

dt =

1 s + ia s + ia = = 2 = 2 s − ia s + ia s + a

s a { } { } + i = L cos( at ) + iL sen ( at ) 2 2 2 2 s +a s +a 12

La función Heaviside o escalón unidad:

0 if t < c u (t − c) =  1 if t ≥ c 1

1

0 ∞

L { u (t − c)} = ∫ e

− s ⋅t

0

lim

h →∞

−1 s

e

− s ⋅t h c

= lim

h →∞

cc

h

t

u (t − c)dt = lim ∫ e h →∞

−1 s

(e

− s ⋅h

−e

− s ⋅c

− s ⋅t

dt =

c

)=e

− s ⋅c

s 13

Función delta de Dirac Sea la función parametrizada: 1 f ε (t ) = [ u (t − a ) − u ( t − (a + ε ) ) ] ε

Observemos que

f ε (t )

área = 1

1/ ε a a +ε

t

δ (t − a) = limε →0 f ε (t )

− as − ( a +ε ) s − εs     1 e e − as 1 − e L { f ε (t )} =  − =e   ε s s  ε s   − εs − εs     1 − e se − as − as − as limε →0 L{ f ε (t )} = e limε →0  = e lim = e ε →0     εs   s  14

Así la transformada de la función delta de Dirac es:

L{δ (t − a )} = e L{δ (t )} = 1

− as

δ (t )

δ (t − a)

a

t

15

Funciones periódicas Supongamos que f (t) es una función periódica de periodo T. Entonces: 1 F ( s ) = L { f (t )} = F1 ( s ) − sT 1− e donde F1(s) es la transformada de Laplace de la función f(t) sobre el primer periodo y cero fuera. T

F1 ( s ) = ∫ e

− st

f (t )dt

0

T t

t

16

Demostración ∞

F ( s ) = ∫ e − st f (t )dt 0

T

∞

0

T

T

∞

= ∫ e − st f (t )dt + ∫ e − st f (t )dt = ∫e

− st

0

f (t )dt + ∫ e

− s (τ +T )

f (τ + T )dτ ,

τ = t −T

0

T

∞

0

0

= ∫ e − st f (t )dt + e − sT ∫ e − sτ f (τ )dτ T

= ∫e

− st

f (t )dt + e

− sT

F (s)

0

17

Ejemplo: onda cuadrada T = 2a

a

1 F ( s) = F (s) − 2 as 1 1− e

2a 2a

F1 ( s ) = ∫ e 0

− st

2a

(

1 − as − 2 as f (t )dt = ∫ e dt = e − e s a − st

)

e − as − e −2 as 1 ∴ F (s) = = − 2 as s (1 − e ) s (1 + e as ) 18

Tabla de transformadas de Laplace δ (t )

1 1 s 1 s2 n!

1 t tn e

−at

s

n +1

1 s+a

senω t cosω t e − at senω t e − at cosω t t n e− at

ω s2 + ω 2 s s2 + ω 2 ω

( s + a)

2

+ω 2

s+ a

( s + a)

2

+ω 2 n!

( s + a)

n +1

19

20

21

22

23

24

Transformada inversa de Laplace Al proceso inverso de encontrar f(t) a partir de F(s) se le conoce como transformada inversa de Laplace y se obtiene mediante:

1 γ + i∞ st L {F ( s )} = f (t ) = F ( s )e ds , t ≥ 0 ∫ 2πi γ −i∞ −1

conocida también como integral de Bromwich o integral de Fourier-Mellin.

25

Im(s)

1 γ + i∞ st L {F ( s )} = f (t ) = F ( s ) e ds , t ≥ 0 ∫ 2πi γ −i∞ γ determina un contorno vertical γ Re(s) en el plano complejo, tomado de tal manera que todas las singularidades de F(s) queden a su izquierda. −1

Con condiciones de existencia:

(1) lim F ( s ) = 0 s →∞

(2) lim sF ( s ) < ∞ s →∞

26

Por ejemplo, determinemos:

 1  L  2  ( s + 1)  −1

Puesto que la función a invertir tiene un polo en s = -1, entonces basta con tomar γ > -1. Tomemos γ = 0 y el contorno de integración C de la figura. st γ + i∞ 1 1 e st Im(s) F ( s )e ds = ds = 2 ∫ ∫ γ − i ∞ C 2πi 2πi ( s + 1) R

C1

-1

γ=0

1 iR e st 1 e st ds + = 2 2 ∫ ∫ 2πi C1 ( s + 1) Re(s) 2πi −iR ( s + 1)

-R Haciendo R→∞ y utilizando teoría de residuos:

0 por la desigualdad ML cuando R→∞ con t≥0.

 e st  2πi d st 1  −t −1  = Res  = lim e = te = L   2 2 s → − 1 s = − 1 2πi ds  ( s + 1)   ( s + 1) 

27

Sea F(s) una función analítica, salvo en un número finito de polos que se encuentran a la izquierda de cierta vertical Re(s) = γ. Y supongamos que existen m, R, k > 0 tq. para todo s del semiplano Re(s) ≤ γ y |s| > R, tenemos que m Entonces si t > 0: | F ( s ) |≤ k s

n

[

L−1{F ( s )} = ∑ Res e st F ( s ) k =1

s = sk

]

donde s1 , s 2 ,..., s n son los polos de F ( s ). En particular, sea F(s) = N(s)/D(s), con N(s) y D(s) polinomios de grado n y d respectivamente, d > n; entonces podemos usar la igualdad anterior. 28

Ejercicio: Calcular, a partir de su definición, la transformada inversa de Laplace s Im(s) de la función g ( s) = Respuesta.

( s + 1)( s + 2) b + iρ 1 −1 L [ g ( s )] = lim ∫ g ( s )e st ds −iρ 2πi ρ→∞b  

f ( s ) = g ( s )e s = −1   s = −2 

s=-2

Re(s)

puntos singulares aislados de f(s).

s = -1; polo simple: s = -2; polo simple:

[

s=-1

I

st

t<0

t>0

Res[ g ( s )] = −e − t s = -1

Res[ g ( s )] = 2e −2t s =- 2

]

 I = 2πi Res[ f ( s )] + Res[ f ( s )] , t > 0 s = -1 s =- 2   I = 0, t < 0

L−1 [ g ( s )] = −e − t + 2e −2t , t > 0 L−1 [ g ( s )] = 0, t < 0

29

Ejemplo, determinar:

  1 f (t ) = L  2  ( s − 2)( s + 1)  −1

st

e e F (s) = ( s − 2)( s + 1) 2 posee dos polos, uno simple y otro doble : s1 = 2 y s 2 = −1. st

    e st e st f (t ) = Res  + Res  =   2 2 s = 2 ( s − 2)( s + 1)   s = −1  ( s − 2)( s + 1)  e st d e st e 2t − 3te −t − e −t lim + lim = 2 s → 2 ( s + 1) s → −1 ds s − 2 9 30

P2. Junio 2007 1. Emplear la integral de Bronwich para determinar

  1 L  2 ( s + 1 )( s − 2 )   −1

Respuesta.

1 g (s) = , s ∈C 2 ( s +1)( s − 2) b +iρ 1 −1 L [ g ( s )] = lim ∫ g ( s )e st ds 2πi ρ→∞ b −iρ e st s = -1, s = 2, puntos singulares f ( s) = 2 aislados de f ( s +1)( s − 2)

31

Para valores de t > 0, 2

∫

f ( s )ds = 2πi ∑ Res( f ( s ) )

∫

f ( s )ds = ∫ + f ( s )ds + ∫ f ( s )ds

Γ1

Γ1

R =1

sR

γ

Cρ

Im (s)

Cρ

γ s=-1

s=2

Re (s)

Γ1 : C ∪ γ + ρ

Γ2 : C ∪ γ − ρ

32

Residuo en s = -1

1 e st 1 f (s) = = Φ( s ) 2 1 + s ( s − 2) 1+ s 1 −t Res f ( s ) = Φ′(−1) = e s =-1 9 Residuo en s = 2

1 e st 1 f (s) = = Ψ( s ) 2 2 ( s − 2) s + 1 ( s − 2) 1 2t 1 2t Res f ( s ) = Ψ′(2) = te − e s =2 3 9 33

∫

Γ1

[

f ( s )ds = 2πi Res f (r ) + Res f (r ) s = −1

s =2

(

]

)

1 2t   1 −t 2t ∫Γ1 f (s)ds = 2πi  9 e − e + 3 te  1 −t 2t 2t lim ∫ f ( s )ds = 2πi e − e + 3te ρ →∞ Γ1 9

[

]

lim ∫ + f ( s )ds = 0, para t > 0

ρ →∞ C ρ

34

lim ∫

ρ →∞ γ

st

e f ( s )ds = lim ∫ ds 2 ρ →∞ b −iρ ( s + 1)( s − 2) b + iρ

[

]

  1 −t 1 2t 2t L  = e + 3te − e , t > 0 2  ( s + 1)( s − 2)  9 −1

35

Para valores de t < 0,

∫

f ( s)ds = −2πi ∑ Res f ( s ) = 0

∫

f ( s)ds = ∫ − f ( s )ds + ∫ f ( s )ds

Γ2

Γ2

R

sR

γ

Cρ

lim ∫ f ( s)ds = lim ∫ − f ( s )ds + lim ∫ f ( s )ds

ρ → ∞ Γ2

ρ →∞ Cρ

ρ →∞ γ

lim ∫ − f ( s )ds = 0, para t < 0

ρ →∞ Cρ

L [ g ( s )] = 0, t < 0 −1

36

Propiedades 1. Linealidad: Si c1 y c2 son constantes, f1(x) y f2(x) son funciones cuyas transformadas de Laplace son F1(x) y F2(x), respectivamente; entonces:

L{c1 f1 (t ) + c2 f 2 (t )} = c1 F1 ( s ) + c2 F2 ( s ). La transformada de Laplace es un operador lineal.

37

Demostración:

L { c1 f1 (t ) + c2 f 2 (t )} =

[ ] c f ( t ) + c f ( t ) e 1 1 2 2 ∫0 ∞

∞

− st ∞

dt =

c1 ∫ f1 (t )e dt + c2 ∫ f 2 (t )e dt = 0

− st

− st

0

c1 L { f1 (t )} + c2 L { f 2 (t )}

38

2. Desplazamiento temporal ∞

−st = F ( s ) ∫ e f (t )dt

 f (t − t0 ), t > t0 g (t ) = f (t )u (t − t0 ) =  , t < t0 0

0

∞

−st = X ( s ) ∫ e f (t − t0 )u (t − t0 )dt 0

∞

(λ

=∫ e

= t − t0 )

−st

f (t − t0 )dt

t0

=e

∞

∫e

−st 0

−sλ

L{ f (t )} = F ( s ) L{ f (t )u (t − t0 )} = e

− st 0

F (s)

f (λ )dλ

0

= e −st0 F ( s )

39

Ejemplo: −3 s   −1 e L  3   s 

{ }

2 L t = 3 s 2

{

}

L (t − 3) u (t − 3) = e 2

−3 s

2 s3

−3 s   1 e −1 2 ∴ L  3  = (t − 3) u (t − 3)  s  2

3

t 40

3. Desplazamiento en frecuencias L{ f (t )} = F ( s ) ∞

F ( s ) = ∫ e − st f (t )dt

L{e − at f (t )} = F ( s + a )

0

∞

X (s) = ∫ e e

− st − at

0

∞

f (t )dt = ∫ e

−( s + a ) t

f (t )dt

0

= F ( s + a) Ejemplo:

1 L { t} = 2 s

{ }

→ L te

at

1 = 2 ( s − a)

41

4. Cambio de escala en tiempo ∞

F ( s) = ∫ e

− st

f (t )dt

0

∞

X ( s ) = ∫ e − st f (at )dt

L{ f (t )} = F ( s ) 1 s L{ f (at )} = F   a a

0

∞

1 −( s / a ) λ = ∫e f (λ )dλ a0

( λ = at )

= (1 / a ) F ( s / a ) 42

5. Derivada de la transformada de Laplace ∞

F (s) = ∫ e

− st

f (t )dt

0

∞

d  d − st  F ( s ) = ∫  e  f (t )dt ds ds  0  ∞

= −∫ e

− st

F ( s ) = L{ f (t )} F ′( s ) = L { − tf (t )}

[ tf (t )] dt

0

= L { − tf (t )} 43

6. Transformada de Laplace de las derivadas de una función La transformada de Laplace de la derivada de una función está dada por:

L{ f ' (t )} = sF ( s ) − f (0) donde f(0) es el valor de f(t) en t = 0. La transformada de Laplace de la segunda derivada de una función está dada por:

L{ f ' ' (t )} = s F ( s ) − sf (0) − f ' (0) 2

44

En forma similar: L{ f ( n ) (t )} = s n F ( s ) − s n −1 f (0) − s n − 2 f ' (0) −  − f ( n −1) (0)

t →∞

Demostración: ∞

L{ f ' (t )} = ∫ e

− st

f ' (t )dt = e

0

∞

= − f ( 0) − s ∫ e

− st

(

)

lim e − st f (t ) = 0 − st

∞

∞

(

f (t ) − ∫ − se 0

− st

) f (t )dt

0

f (t )dt = sF ( s ) − f (0)

0

45

Supongamos que: L{ f ( n −1) (t )} = s n −1 F ( s ) − s n −2 f (0) − s n −3 f ' (0) −  − f ( n −2 ) (0)

Entonces:

{

}

(

)

lim e − st f ( n −1) (t ) = 0 t →∞

∞

∞

∞

(

)

L f ( n ) (t ) = ∫ e − st f ( n ) (t )dt = e − st f ( n −1) (t ) − ∫ − se − st f ( n −1) (t )dt 0

0

∞

{

0

}

= − f ( n −1) (0) − s ∫ e − st f ( n −1) (t )dt = sL f ( n ) (t ) − f ( n −1) (0) = 0

s n F ( s ) − s n −1 f (0) − s n − 2 f ' (0) −  − f ( n −1) (0) 46

Ejercicio: Determina la transformada de Laplace de la función f (t ) = cos( at ) usando la transformada de Laplace de f ′′(t ) Tenemos : f (t ) = cos( at ) f ′(t ) = −asen (at ) f ′′(t ) = −a 2 cos( at ) ⇒ ⇒ f ′′(t ) = −a 2 f (t ) con f(0) = 1 y f ′(0) = 0

Puesto que : L[ f ′′(t )] = s 2 F ( s ) − sf (0) − f ′(0) ⇒

[

]

⇒ L − a 2 f (t ) = s 2 F ( s ) − s ⋅1 − 0 ⇒

⇒ −a 2 L[ f (t )] = −a 2 F ( s ) = s 2 F ( s ) − s ⇒ s ⇒ F (s) = 2 s + a2 47

48

49

Emplear las propiedades correspondientes para determinar la transformada de Laplace de los polinomios de Laguerre, que se definen como: t

(n)

e d n −t Ln (t ) = (t e ), n = 0,1,2... n n! dt Respuesta.

[ ]

1 Le = = g ( s ), Re( s ) > 1 s +1 n ( − 1 ) n! n! n −t n (n) n L t e = (−1) g ( s ) = (−1) = n +1 ( s + 1) ( s + 1) n +1 −t

[

]

50

f (t ) = t e n

−t

d  n L  n f (t ) = s L[ f (t )] −  dt  n −1 n −2 ( n −1) − s f (0) + s f ′(0) + ... + f (0) (n)

[

(n)

d n −t (t e ) = 0, n dt t =0

]

n = 0,1,2... 51

d n! s n −t  L  n (t e )  = = h ( s ) n +1  dt  ( s +1) (n)

n

e t d ( n ) n −t  1 L (t e )  = h( s −1) n  n! dt  n!

e d ( s − 1) n −t  L (t e ) = n +1 , n s  n! dt  t

(n)

n

Re( s ) > 1 52

racias a esta propiedad y a la linealidad de TL podemos convertir una ec. diferencial com

y "+ 3 y '− 4 y = t ⋅ u (t − 1) y (0) = −1, y '(0) = 2

Resolver para y(t)

en una ec. algebraica

Y (s )*(s +3s −4) + (s + 1) = 2

s +1 s 2 ⋅e s

Resolver para Y(s)

Ec. Diferencial

Transformada de Laplace

Ec. Algebraica

Si resolvemos la ec. algebraica:

−( s + 1) ⋅ ( s ⋅ e − 1) ⋅ e Y (s) = 2 2 s ⋅ ( s + 3s − 4) 2

s

−s

y encontramos la transformada inversa de Laplace de la solución, Y(s), encontraremos la solución de la ec. diferencial.

Ec. Algebraica

Inversa de la Transformada de Laplace

Solución de la Ec. Diferencial

La transformada inversa de Laplace de:

−( s + 1) ⋅ ( s ⋅ e − 1) ⋅ e Y (s) = 2 2 s ⋅ ( s + 3s − 4) 2

s

y (t ) = u (t − 1)( ⋅ e +

3e4 80

t

2 5e

−s

t −4

⋅ (e ) − t − ) t −4

− u (t )( ⋅ e − ⋅ (e ) ) 2 5

t

es

3 5

1 4

3 16

De modo que:

y (t ) = u (t − 1)( ⋅ e +

3e4 80

t

2 5e

t −4

⋅ (e ) − 14 t − 163 ) t −4

− u (t )( ⋅ e − ⋅ (e ) ) 2 5

t

3 5

es la solución de la ec. diferencial:

y "+ 3 y '− 4 y = t ⋅ u (t − 1) y (0) = −1, y '(0) = 2

Para conseguirlo hemos aplicado: Primero, que la TL y su inversa son lineales:

L { cf (t ) + g (t )} = c L { f (t )} + L { g (t )} , L

−1

{ cF ( s) + G (s)} = c L { F (s)} + L { G (s)} −1

-1

Y segundo, la TF de las derivadas de una función son:

L { f '(t )} = s ⋅ L { f (t )} − f (0), and L { f ''(t )} = s 2 ⋅ L { f (t )} − s ⋅ f (0) − f '(0) etc...

A este método se le conoce como cálculo de Heaviside. Por ejemplo:

f ' ' (t ) + a1 f ' (t ) + a0 f (t ) = 0 {s 2 F ( s ) − sf (0) − f ' (0)} + a1{sF ( s) − f (0)} + a0 F ( s ) = 0 sf (0) + f ' (0) + a1 f (0) F ( s) = s 2 + a1s + a0 Y antitransformando obtendremos la solución.

Veamos un ejemplo concreto: Resolver la ec. diferencial

f ' (t ) + 2 f (t ) = e −3t

(t ≥ 0 y f (0) = 4)

f ' (t ) + 2 f (t ) − e −3t = 0 ; L{ f ' (t ) + 2 f (t ) − e −3t } = 0 L{ f ' (t )} + 2 L{ f (t )} − L{e −3t } = 0 1 ( sF ( s ) − f (0)) + 2 F ( s ) − =0 s+3 1 sF ( s ) − 4 + 2 F ( s ) − =0 s+3 5 1 F (s) = − → f (t ) = 5e − 2t − e −3t s+2 s+3

Ejemplo

sin t 0 ≤ t < π , Resolver y′′ + y =  t >π  0

y (0) = y′(0) = 0

s Y ( s ) + Y ( s ) = L { sin t − u (t − π ) sin t} 2

= L { sin t + u (t − π ) sin(t − π )}

1 e −πs = 2 + 2 s +1 s +1 1 e −πs Y ( s) = 2 + 2 2 ( s + 1) ( s + 1) 2 y (t ) =

[ sin t − t cos t ] + u (t − π ) 12 [ sin(t − π ) − (t − π ) cos(t − π )]  12 [ sin t − t cos t ] 0 ≤ t < π 1 2

= 1 − 2 π cos t 

t ≥π

62

Ejemplo: Resolver y′′ + 3 y′ + 2 y = δ (t − 1), y′(0) = y (0) = 0

s 2Y ( s ) + 3sY ( s ) + 2Y ( s ) = e − s 1 1  −s  1 Y (s) = e 2 =e  −  s + 3s + 2 s + 1 s + 2   −s

[

y (t ) = u (t − 1) e − (t −1) − e −2 (t −1)

] 63

7. Transformada de Laplace de la integral de una función Si existe la TL de f(t) cuando Re(s) > p ≥ 0, entonces: ∞

F ( s) = ∫ e

− st

L

f (t )dt

{∫

t

0

}

1 F (s) f (u )du = L{ f (t )} = s s

0

∞

para Re(s) > p.

t  X ( s ) = ∫ e ∫ f (τ )dτ  dt  0  0 − st

∞

∞

1 − st  1 − st    = ∫ f (τ )dτ − e  + ∫ e f (t )dt  0   s 0 s 0 t

1 = F ( s) s

64

Ejercicio: Obtener la transformada de Laplace de la función: t

f ( t ) = ∫ u 3 cosh( 6u ) sinh( 8u )du 0

Respuesta.

t

f (t ) = ∫ u cosh( 6u ) sinh( 8u ) du = 3

0

t

= ∫ g (u )du 0

1 L[ f ] = L[ g ] s

65

6t −6 t 8t −8t e + e e + e 3 3 g (t ) = t cosh( 6t ) sinh( 8t ) = t 2 2 1 14 t g (t ) = e − e −2t + e 2t − e −14 t 4

(

[

n − zt

Lt e

]

)

n! = , Re( s ) > − Re( z ) n +1 (s + z)

 1 3! 3! 3! 3! ⇒ L[ g ] =  − + − 4 4 4 4  4  ( s − 14) ( s + 2) ( s − 2) ( s + 14) 

 3  1 1 1 1  ⇒ L[ f ] =  − + − 4 4 4 4  2 s  ( s − 14) ( s + 2) ( s − 2) ( s + 14)  66

8. Transformada de Laplace de f(t)/t L

{∫

t

0

}

F ( s) f (u )du = s

 f (t )  ∞ L  = ∫s F (u )du  t  con F ( s ) = L{ f (t )}

67

Calcula la transformada de Laplace de

sin t f (t ) = t − st ∞

e − st (sin t )e dt = sin t −s

L{ sin t} = F ( s) = ∫ 1  e − st cos t s −s 

e − st  1 1 ∞ sin t dt  = 2 − 2 ∫ ( sin t ) e − st dt ⇒ − s  s s 0        ≡I

0

∞

0

+∫

∞

0

0

−∫

∞

e − st cos t dt −s

∞

0

1 1 1 1  ⇒ 1 + 2  I = 2 ; I = ⇒ F (s) = 2 2 s s 1 + s 1 + s    f (t )  ∞ Ahora, empleando: L   = ∫s F (u )du  t 

π ∞  sin t  ∞ 1 L du = arctan u s = − arctan s  = ∫s 2 1+ u 2  t 

68

9. TF de f(t)cos(at) y f(t)sen(at) Si g (t ) = f (t ) cos(at )

Si g (t ) = f (t ) sen(at )

Ejemplo: 1 g (t ) = sen(at ) t

F ( s + ia ) + F ( s − ia ) G (s) = 2 con a ∈ ℜ i[ F ( s + ia ) − F ( s − ia )] G (s) = 2 con a ∈ ℜ

  a a i − ∞  ( s + ia ) 2 + a 2 ( s − ia ) 2 + a 2  sen(at ) − st = G ( s) = ∫ e dt =  t 2 0 a   a i 2 − 2 2  s + i 2a s − i 2a  = 2a 2 s 4 + 4a 2

69

10. Teorema del valor final Si lim f (t ) existe, entonces: t→∞

lim t →∞ f (t ) = lim s→0 sF ( s ) 11. Teorema del valor inicial El valor inicial f(0) de la función f(t) cuya transformada de Laplace es F(s), es:

f (0) = lim t →0+ f (t ) = lim s→∞ sF ( s ) 70

Recordemos que la operación

∫

∞

−∞

12. Integral de convolución f1 (τ ) f 2 (t − τ )dτ se conoce

como la convolución de f1 (t ) y denota como f1 (t ) * f 2 (t ).

f 2 (t ),

y se

La transformada de Laplace de esta operación está dada por:

L{ f1 (t ) * f 2 (t )} = F1 ( s ) ⋅ F2 ( s ) L{ f1 (t ) * f 2 (t )} = L{ f1 (t )} ⋅ L{ f 2 (t )} 71

Si trabajamos con funciones que son cero para para t < 0, entonces la convolución queda:

 t f (τ ) g (t − τ )dτ , t ≥ 0 f (t ) * g (t ) = ∫0  0, t<0 Así que para estas funciones podemos definirla convolución como: t

f (t ) * g (t ) = ∫ f (τ ) g (t − τ )dτ , 0

(t ≥ 0)

72

De hecho, podemos utilizar la convolución para encontrar transformadas inversas de Laplace:

 1  1  −1  1 t L  2 = L = t ∗ e   2   s s − 1  s ( s − 1)  −1

t

= ∫ τe dτ = e − t − 1 t −τ

t

0

73

L{ f1 (t ) * f 2 (t )} = L{ f1 (t )} ⋅ L{ f 2 (t )} Ejemplo: Verificar que funciona para f(t) = t y g(t) = e-2t con valores 0 para t < 0. ∞

t

−∞

0

f (t ) * g (t ) = ∫ f (τ ) g (t − τ )dτ = ∫ τe − 2 ( t −τ ) dτ = − 2t t 1 e − 2t 2τ e ∫ τe dτ = − + 0 2 4 4 t

1 1 − 2t L{t} = 2 ; L{e } = s ( s + 2) 1 1 1 = 2 2 s ( s + 2) s ( s + 2)

 t 1 e −2 t  L − + = 4  2 4 1 1 1 L{t} − L{1} + L{e − 2t } = 2 4 4 1 1 11 1 1 − + = 2 2s 4 s 4 ( s + 2) 1 s 2 ( s + 2)74

Ejercicio: Obtener, mediante el método operacional de Laplace, la solución del problema de Cauchy:

y′′ + y = sin t y ( 0) = 1 y′(0) = 0 Respuesta.

L[ y ] = Y ( s ); L[ y′′] = s L[ y ] − sy(0) − y′(0) = s Y ( s) − s 1 L[ sin t ] = 2 1+ s 75 2

2

• Transformada de la ecuación:

1 L[ y′′ + y ] = L[ sin t ] ⇒ Y ( s + 1) − s = ⇒ 2 1+ s 2

s 1 s  −1  1  −1  ⇒ Y ( s) = 2 + ⇒ y (t ) = L  2  + L  2 2 2 2 s +1 s +1  s + 1  s + 1 

(

)

(

)

 s  L  2  = cos t  s + 1  1  1  −1 −1  1 L  =L  2 = sin t ∗ sin t  2 2  2 s + 1 s + 1    s + 1  −1

(

)

76

t

sin t ∗ sin t = ∫ sin u sin(t − u )du = 0

1 t 1 t = ∫ (cos(2u − t ) − cos t )du = sin t − cos t 2 0 2 2

1 t y (t ) = cos t + sin t − cos t 2 2

77

Resolver la ec.integro-diferencial: t d  x(t ) − 4 ∫ (t − s ) x( s )ds  = e t ; x(0) = 1  0 dt 

d d t d  d  t x(t ) − 4 ∫ (t − s ) x( s )ds = e ; L  x(t ) − 4 L  h(t ) = L{e t } 0 dt dt     dt   dt  t*x (t )= h (t )

1 sX ( s ) − x(0) − 4{ sL{h(t )} − h(0)} = s −1     1 sX ( s ) − 1 − 4s L{t * x(t )} − 0 = ;     L{t }L{ x (t )}= 1 X ( s )  s − 1   s2

4 1 sX ( s ) − 1 − X ( s ) = s s −1 78

4 1 sX ( s ) − 1 − X ( s ) = s s −1 2 s X (s) = ( s − 1)( s − 2)( s − 3) 1 1 1 1 1 X (s) = − + + 3 s −1 s − 2 3 s + 2 Antitransformando:

1 t 1 − 2t 2t x(t ) = − e + e + e 3 3 79

Ejercicio: Obtener, mediante el método operacional de Laplace, la solución del problema de Cauchy

t d  3( t −u )  x ( t ) − e x ( u ) du = δ ( t − 3 )   ∫ 0   dt x ( 0) = 0 Respuesta.

  t  d  3( t −u ) x(u )du  = δ (t − 3)  x(t ) − ∫0 e dt      h(t )  

80

∗ L[ x′(t )] = sL[ x(t )] − x(0) = sX ( s ) ∗ L[ h′(t )] = sL[ h(t )] − h(0) = sH ( s ) ∗ h(t ) = f ⋅ x, f (t ) = e

3t

1 L[ h(t )] = L[ f (t )] ⋅ L[ x(t )] = X (s) s −3 −3 s −3 s ∗ L[δ (t − 3)] = e L[δ (t )] = e 81

s   −3 s X ( s ) s − =e ,  s − 3 

( s − 3)e −3 s X (s) = s ( s − 4)

1  3 −3 s X ( s) = e  4 + 4  s −4  s   −3 s −3 s    3 −1 e 1 −1 e  −1 L [ X ( s )] = L  + L   4  s  4 s − 4

3 1 4 ( t − 3) x(t ) = H (t − 3) + e 4 4

82

Desarrollo en fracciones parciales: Se utiliza para facilitar el cálculo de la transformada inversa, descomponiendo la función en componentes más sencillos.

N ( s ) an s n + an −1s n −1 +  + a0 F (s) = = m D( s ) s + bm −1s m −1 +  + b0 Raíces del denominador D(s) o polos de F(s): Caso I – Polos reales simples Caso II – Polos reales múltiples

( s − a) 2 ( s − a)

Caso III – Polos complejos conjugados ( s − a )( s − a * )

[

Caso IV – Polos complejos conjugados ( s − a )( s − a * ) múltiples

]

2 83

Caso I – Polos reales simples

( s − a)

A s−a Ejemplo

N ( s) s +1 s +1 F (s) = = 3 2 = D( s ) s + s − 6 s s ( s − 2)( s + 3) A B C = + + s s−2 s+3 84

s +1 A B C F ( s) = = + + s ( s − 2)( s + 3) s s − 2 s + 3  N (s)  A = ( s − a )  D ( s )   s =a

  A s +1 ⇒  s  ( s − 2)( s + 3)  s =0  s +1  B ⇒  s−2 s ( s + 3 )   s =2  s +1  C ⇒  s+3 s ( s − 2 )   s = −3

1 =− 6 3 =+ 10 2 =− 15 85

s +1 A B C = + + 3 2 s + s − 6s s s − 2 s + 3 A( s − 2)( s + 3) + Bs ( s + 3) + Cs ( s − 2) = s ( s − 2)( s + 3) ∴ s + 1 = A( s − 2)( s + 3) + Bs ( s + 3) + Cs ( s − 2)   s +1 ∴  =A   ( s − 2)( s + 3)  s =0 método alternativo

s + 1 = A( s 2 + s − 6) + B ( s 2 + 3s ) + C ( s 2 − 2 s ) = s 2 ( A + B + C ) + s ( A + 3B − 2C ) + (−6 A)

A + B + C = 0;

A + 3B − 2C = 1; − 6 A = 1

y resolver... 86

s +1 F (s) = 3 2 s + s − 6s A B C = + + s s−2 s+3 1 1  3  1  2  1  =−  +  −   6  s  10  s − 2  15  s + 3 

La transformada inversa de Laplace es:

1 3 2 t 2 − 3t f (t ) = − + e − e 6 10 15 87

Otro ejemplo 2s 2 + 7 s + 3 2s 2 + 7 s + 3 F ( s) = 2 = ( s − 1)( s + 2) ( s + 1)( s − 1)( s + 2) A B C 1 2 1 = + + = + − s +1 s −1 s + 2 s +1 s −1 s + 2

 2s 2 + 7 s + 3  2−7+3 A= = = +1   ( s − 1)( s + 2)  s = −1 (−2)(1)  2s 2 + 7 s + 3  2+7+3 B= = = +2  (2)(3)  ( s + 1)( s + 2)  s = +1  2s 2 + 7 s + 3  8 − 14 + 3 C= = = −1   ( s − 1)( s + 1)  s = −2 (−3)(−1)

Transformada inversa de Laplace:

f (t ) = e −t + 2e t − e −2t

88

Caso II – Polos reales múltiples

( s − a)

2

A B + 2 ( s − a) ( s − a) Ejemplo

N ( s) s − 4s + 4 A B C D F (s) = = 2 = 2+ + + D( s ) s ( s − 2)( s − 1) s s s − 2 s −1 3

2

Polos reales múltiples

Polos reales simples

89

 2 N (s)  A = ( s − a )  D( s)  s =a 

d   2 N ( s)  B =  ( s − a )  D ( s )  s = a  ds 

s − 4s + 4 F ( s) = 2 s ( s − 2)( s − 1) 3

A 2 s B s

2

 s 3 − 4s 2 + 4  ⇒   ( s − 2)( s − 1)  s =0  d  s 3 − 4 s 2 + 4  ⇒    ds  ( s − 2)( s − 1)  s =0

= 2 = 3 90

s 3 − 4s 2 + 4 F (s) = 2 s ( s − 2)( s − 1) A B C D = 2+ + + s s s − 2 s −1  1  1   1   1  = 2  2  + 3  −  −   s s s − 2 s − 1        

Transformada inversa de Laplace:

f (t ) = 2t + 3 − e 2t − e t 91

En general, para polos reales múltiples: D( s ) F ( s) = N ( s)

F ( s) =

D( s ) = ( s − p1 ) ( s − p2 )  ( s − pn ) r

br br −1 b1 a2 a3 an + ++ + + ++ r r −1 s − p1 s − p2 s − p3 s − pn ( s − p1 ) ( s − p1 )

br = [ F ( s )( s + p1 ) r ]s = − p1 d  br −1 =  [ F ( s )( s + p1 ) r ]  ds  s = − p1

br − j

 br − j

(

)

j  1 d r  =  j F ( s )( s − p1 )  j!  ds  s = p1

ai = [ F ( s )( s − pi ) ] s = pi

1dj r  =  j [ F ( s )( s + p1 ) ] j!  ds s =− p

1

 1  d r −1 r  b1 =  r −1 [ F ( s )( s + p1 ) ] (r − 1)!  ds s =− p

1

92

Caso III – Polos complejos conjugados

conjugados complejos

ejemplo *

4 A B B = + + , 2 * s ( s + 4) s s − a s − a  4  A= 2 = +1   s + 4  s =0  4  1 B= =−  2  s ( s + 2i )  s = 2i  4  1 B = =−  2  s ( s − 2i )  s = −2i *

( s − a )( s − a ) *

a = 2i

1 1 1 1  = −  + * s 2 s − a s − a  Transformada inversa de Laplace:

x(t ) = 1 − cos(2t ) 93

ejemplo

s+4 B B* = + , 2 * s + 6s + 25 s − a s − a

a = −3 + 4i

Transformada inversa de Laplace:

1  s+4  B= = (4 − i)  8  s + 3 + 4i  s = −3+ 4i 1  s+4  * B = = (4 + i)   s + 3 − 4i  s = −3− 4i 8

f (t ) = 2 B e −σt cos(ωt + φ ) donde

1 17 B = (4 − i ), B = , 8 8 σ = 3, ω = 4, φ = −0.245

17 −3t ∴ f (t ) = e cos(4t − 0.245) 4

94

Caso IV – factores complejos conjugados múltiples

[(s − a)(s − a )] *

2

Se trata de repetir los métodos usados en los casos II y III, teniendo en cuenta que trabajamos con complejos.

95

Ejemplo: Obtener la solución del problema de valores iniciales siguiente, mediante el método operacional de d 2u du  π Laplace. − − 2u = e −t sen (2t ) − 3δ  t −  dt 2 dt u (0) = 0;

u ′(0) = 2



2

 −t  π  ′ ′ ′ L[ u − u − 2u ] = L e sen(2t ) − 3δ  t −  ⇒  2     π  −t ′ ′ ′ ⇒ L[ u ] − L[ u ] − 2 L[ u ] = L e sen(2t ) − 3L δ  t −  ⇒   2 

[

]

π − s 2 2 ⇒ s 2 L[ u ] − 2 − sL[ u ] − 2 L[ u ] = − 3 e ⇒ 2 ( s + 1) + 4 π − s 2 ⇒ ( s 2 − s − 2 ) L[ u ] = 2 + − 3e 2 ⇒ 2 ( s + 1) + 4 π − s 2 ⇒ ( s − 2 )( s + 1) L[ u ] = 2 + − 3e 2 ⇒ 2 ( s + 1) + 4

96

π

− s 2 2 3 2 ⇒ L[ u ] = + − e ⇒ 2 ( s − 2)( s + 1) ( s + 1) + 4 ( s − 2)( s + 1) ( s − 2)( s + 1) 28 1 5 1 1 2 3 s ⇒ L[ u ] = − − + − 2 2 39 s − 2 6 s + 1 13 ( s + 1) + 4 26 ( s + 1) + 4

[

]

1 − π2 s 1 − π2 s − e + e ⇒ s−2 s +1 

π



π

2 t −  − t −  28 2t 5 −t 1 −t 3 −t  2 ⇒ u (t ) = e − e − e sen(2t ) + e cos(2t ) − e +e  2 39 6 13 26

97

Ejercicio: Obtener la transformada de Laplace de la función f (t ) = t 3ch (3t ) sh (5t )  3 e3t + e −3t e5t − e −5t  L t ch(3t ) sh(5t ) = L t = 2 2   1 3 8t = L t e − e − 2 t + e 2 t − e −8 t = 4 1 = L t 3 e 8 t − L t 3 e − 2 t + L t 3 e 2 t − L t 3 e −8 t 4 3! L t 3 eαt = ( s − a) 4

[

]

3

[ (

[(

(

)]

) (

) (

) (

)]

)

1  3! 3! 3! 3!  L[ f (t )] =  − + − = 4 4 4 4 4  ( s − 8) ( s + 2 ) ( s − 2 ) ( s + 8)  3 1 1 1 1  =  − + − 4 4 4 2  ( s − 8) ( s + 2) ( s − 2) ( s + 8) 4 

98