1150

Jianu Ovidiu

Inegalitati.Identitati.

CAPITOLUL I

Inegalitati Teorema (Inegalitatea mediilor) Oricare ar fi numerele reale strict pozitive a1 , a 2 ,..., a n , n ∈ N ∗ , avem n

max{a1 , a 2 ,..., a n } ≥

∑ a k2 k =1

n

n

≥

∑a k =1

k

n

≥n

n

∏a

≥

k

k =1

n n

1 ∑ k =1 a k

≥ min{a1 , a 2 ,..., a n } ,

Egalitatea are loc daca si numai daca a1 = a 2 = ... = a n . n

n

mp =

mg = n

∑ a k2 k =1

n n

∏a

k

se numeste media patratica; ma =

∑a k =1

se numeste media geometrica; mh =

k =1

k

se numeste media aritmetica;

n

n n

1 ∑ k =1 a k

se numeste media armonica.

Teorema (Inegalitatea mediilor generalizate) Daca a1 , a 2 ,..., a n ∈ R + , n ∈ N ∗ si α , β ∈ R ∗ cu α ≥ β , atunci ⎛ n α ⎜ ∑ ak ⎜ k =1 ⎜ n ⎜ ⎝

1

⎞α ⎛ n β ⎟ ⎜ ∑ ak ⎟ ≥ ⎜ k =1 ⎟ ⎜ n ⎟ ⎜ ⎠ ⎝

1

⎞β ⎟ ⎟ . ⎟ ⎟ ⎠

Teorema (W. Young) Daca p, q ∈ R \ {0,1} cu

1 1 + = 1 si a, b > 0 atunci avem p q

a p bq + (pentru p > 1 ); 1) ab ≤ p q 2) ab ≥

a p bq + (pentru p < 1 ). p q

Teorema (Hölder) Oricare ar fi numerele a k , bk ∈ R, k = 1, n si p, q ∈ R \ {0,1} cu 1 < p < ∞ (respectiv 1 1 0 < p < 1 ) si + = 1 , are loc inegalitatea p q

n

∑a b k

k =1

Egalitatea are loc pentru a k

p

⎛ ≤ ⎜ ∑ ak ⎝ k =1 n

k

p

(≥ )

1 p

1 q

⎞ ⎛ q ⎞ ⎟ ⋅ ⎜ ∑ bk ⎟ . ⎠ ⎠ ⎝ k =1 n

= λ bk , λ ∈ R + , k = 1, n . q

Teorema (Cauchy-Buniakowsky-Schwarz) Oricare ar fi numerele reale a k , bk , k = 1, n are loc inegalitatea 2

⎛ n 2⎞ ⎛ n 2⎞ ⎛ n ⎞ ⎜ ∑ a k ⎟ ⋅ ⎜ ∑ bk ⎟ ≥ ⎜ ∑ a k bk ⎟ . ⎝ k =1 ⎠ ⎝ k =1 ⎠ ⎝ k =1 ⎠ aj a Egalitatea are loc daca si numai daca i = , (∀)i, j = 1, n (sau bi = 0 ⇔ ai = 0, i = 1, n ) bi b j Demonstratie 2 Fie functia f : R → R + , f (λ ) = (a k + λbk ) ⇒ ⎞ ⎞ ⎛ n ⎞ ⎛ n ⎛ n ⇒ f (λ ) = a k2 + 2λa k bk + λ2 bk2 ≥ 0 ⇒ ⎜ ∑ bk2 ⎟λ2 + ⎜ 2∑ a k bk ⎟λ + ⎜ ∑ a k2 ⎟ ≥ 0 ⇒ ⎠ ⎝ k =1 ⎠ ⎝ k =1 ⎝ k =1 ⎠ 2

2

⎞ ⎞ ⎛ n ⎞⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞⎛ n ⎞ ⎛ n ⎛ n ⇒ ∆ = 4⎜ ∑ a k bk ⎟ − 4⎜ ∑ a k2 ⎟⎜ ∑ bk2 ⎟ ≤ 0 ⇒ ⎜ ∑ a k2 ⎟⎜ ∑ bk2 ⎟ ≥ ⎜ ∑ a k bk ⎟ ⎠ ⎝ k =1 ⎠⎝ k =1 ⎠ ⎝ k =1 ⎠ ⎝ k =1 ⎠⎝ k =1 ⎠ ⎝ k =1 aj a Egalitatea are loc daca si numai daca i = , (∀)i, j = 1, n (sau bi = 0 ⇔ ai = 0, i = 1, n ) bi b j

(q.e.d.) Teorema (Titu Andreescu) Pentru orice numere a k ∈ R si α k ∈ R ∗+ avem 2

⎛ n ⎞ ⎜ ∑ ak ⎟ 2 n a ∑ k ≥ ⎝ k =n1 ⎠ . k =1

αk

∑α k =1

Egalitatea are loc daca si numai daca

ai

αi

=

aj

αj

k

, (∀)i, j = 1, n .

Demonstratie Se foloseste inegalitatea lui Cauchy-Buniakowski-Schwarz.

Teorema (Minkovski) Oricare ar fi numerele xi , yi ∈ R, i = 1, n avem inegalitatea n

∑ (x k =1

Teorema (Cebîsev)

+ yk ) ≤ 2

k

n

∑x k =1

2 k

+

n

∑y k =1

2 k

Fie a k , bk ∈ R .Daca a1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n si b1 ≤ b2 ≤ ... ≤ bn (respectiv a1 ≤ a 2 ≤ ... ≤ a n si b1 ≥ b2 ≥ ... ≥ bn ) atunci are loc inegalitatea n

∑a b k =1

k

k

1⎛ n ⎞⎛ n ⎞ ⎜ ∑ a k ⎟⎜ ∑ bk ⎟ . (≤ ) n k =1 ⎝ ⎠⎝ k =1 ⎠ ≥

Teorema (Bernoulli) r 1) Daca a ≥ −1, r ≥ 1 atunci (1 + a ) ≥ 1 + ra ;

2) Daca a ≥ −1,0 ≤ r ≤ 1 atunci (1 + a ) ≤ 1 + ra . r

Teorema (Göughens) Pentru orice a k ≥ 0, k = 1, n are loc inegalitatea

⎛ (1 + a k ) ≥ ⎜⎜1 + n ∏ k =1 ⎝ n

n

⎞ ak ⎟ . ∏ ⎟ k =1 ⎠ n

Demonstratie

Fie f : I ⊂ R → R + , f ( x ) = ln (1 + e ) . Cum f ' ' ( x ) = x

ex

(1 + e )

x 2

≥ 0, (∀)x ∈ I rezulta

ca functia f este convexa. Aplicand inegalitatea lui Jensen, obtinem ⎛ ⎛1 n ⎞ 1 n f ⎜ ∑ ln a k ⎟ ≤ ∑ ln f (a k ) ⇔ n ln⎜1 + n ⎜ ⎝ n k =1 ⎠ n k =1 ⎝

⎛ ⇔ ∏ (1 + a k ) ≥ ⎜1 + n ⎜ k =1 ⎝ n

⎞ ⎞ ⎛ n ⎟ a ln ≤ ⎜⎜ ∏ (1 + a k )⎟⎟ ⇔ ∏ k ⎟ k =1 ⎠ ⎝ k =1 ⎠ n

n

⎞ ⎟ . a ∏ k ⎟ k =1 ⎠ n

(q.e.d.) Teorema (Groub-Rheinboldt) Fie [a, A], [b, B] ⊂ (0, ∞ ), n ∈ N, n ≥ 2 . Atunci pentru orice a k ∈ [a, A], bk ∈ [b, B ], t k ∈ (0, ∞ ) cu k = 1, n , avem

⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞ (ab + AB ) ⎛ n ⎞ ⋅ ⎜ ∑ t k a k bk ⎟ . ⎜ ∑ t k a k2 ⎟ ⋅ ⎜ ∑ t k bk2 ⎟ ≤ 4abAB ⎝ k =1 ⎝ k =1 ⎠ ⎝ k =1 ⎠ ⎠ 2

2

Teorema (L.V. Kantorovici) Daca xk ∈ [a, b],0 < a < b, t k ∈ R + , k = 1, n atunci are loc inegalitatea ⎛ n ⎞ ⎛ n t ⎜ ∑ t k x k ⎟ ⋅ ⎜⎜ ∑ k ⎝ k =1 ⎠ ⎝ k =1 x k

⎞ (a + b )2 ⎛ n ⎞ ⎟⎟ ≤ ⋅ ⎜ ∑ tk ⎟ . 4ab ⎝ k =1 ⎠ ⎠

Demonstratie Se aplica inegalitatea lui Groub-Rheinboldt.

Teorema (Polya-Szegö)

2

Fie xk ∈ [a, A] ⊂ R ∗+ , y k ∈ [b, B ] ⊂ R ∗+ , k = 1, n . Atunci are loc inegalitatea

⎛ n 2 ⎞ ⎛ n 2 ⎞ (ab + AB ) ⎛ n ⎞ ⋅ ⎜ ∑ xk y k ⎟ . ⎜ ∑ xk ⎟ ⋅ ⎜ ∑ y k ⎟ ≤ 4abAB ⎝ k =1 ⎝ k =1 ⎠ ⎝ k =1 ⎠ ⎠ 2

2

Demonstratie Se aplica inegalitatea lui Groub-Rheinboldt pentru t k = 1, k = 1, n .

Teorema (P. Schweitzer) Daca xk ∈ [a, b],0 < a < b, k = 1, n atunci are loc inegalitatea

⎞ ⎛ n 1 ⎛ n ⎜ ∑ x k ⎟ ⋅ ⎜⎜ ∑ ⎝ k =1 ⎠ ⎝ k =1 x k

⎞ (a + b )2 2 ⎟⎟ ≤ ⋅n . 4ab ⎠

Demonstratie Se aplica inegalitatea lui Kantorovici pentru t k = 1, k = 1, n .

Teorema (Hardy) Fie a k ∈ R + , k = 1, n si fie p ∈ R , p > 1 . Atunci are loc p

⎛ p ⎞ ⎛1 k ⎞ ⎟⎟ ⎜ ∑ ai ⎟ < ⎜⎜ ∑ k =1 ⎝ k i =1 ⎠ ⎝ p −1⎠ n

p

n

∑a k =1

p k

.

Teorema (Carleman) Fie a k ∈ R + , k = 1, n . Atunci are loc 1

n ⎛ k ⎞k a ≤ e ⋅ ak , ⎜ ⎟ ∑ ∑ ⎜∏ i ⎟ k =1 ⎝ i =1 k =1 ⎠ n

unde e este constanta lui Euler. Teorema (Jensen) Daca f : I ⊂ R → R , I interval, este o functie convexa (respectiv concava), atunci ⎛ n ⎞ n f ⎜ ∑ λk x k ⎟ ≤ ∑ λk f (x k ) , ⎝ k =1 ⎠ (≥ ) k =1 n

n

k =1

k =1

unde λ k > 0, k = 1, n, ∑ λ k = 1, (∀)x k ∈ I , ∑ λ k x k ∈ I . Teorema (Tiberiu Popoviciu) Daca f : I ⊂ R → R , I interval, este o functie convexa (respectiv concava), atunci pentru orice x, y, z ∈ I avem ⎡ ⎛x+ y⎞ ⎛x+ y+z⎞ f (x ) + f ( y ) + f (z ) + 3 f ⎜ ⎟ (≥≤ ) 2 ⋅ ⎢ f ⎜ ⎟+ 3 ⎝ ⎠ ⎣ ⎝ 2 ⎠

Teorema (Schur)

⎛ y+z⎞ f⎜ ⎟+ ⎝ 2 ⎠

⎛ z + x ⎞⎤ f⎜ ⎟⎥ . ⎝ 2 ⎠⎦

Fie a, b, c > 0 si k ∈ R , k ≥ 1 fixat. Atunci are loc inegalitatea a k (a − b )(b − c ) + b k (b − c )(c − a ) + c k (c − a )(c − b ) ≥ 0 . Teorema (Napier) Fie a, b ∈ R cu b > a > 0 . Atunci 1 ln b − ln a 1 < . < b b−a a

Teorema (Weierstrass) Fie a k ∈ [0,1] , k = 1, n . Atunci are loc inegalitatea n

n

k =1

k =1

∏ (1 − a k ) + ∑ a k

≥ 1.

Teorema (Abel) Fie sirurile ( f n )n∈N∗ , (a n )n∈N∗ cu f n ≥ f n +1 > 0, (∀ )n ∈ N ∗ . Atunci avem m

∑a n =1

n

f n ≤ A ⋅ f1 ,

unde A = max{a1 , a1 + a 2 ,..., a1 + a 2 + ... + a m }.

INEGALITATI MATRICEALE

Teorema (J. Hadamard) Fie o matrice A = (aij )1≤i , j ≤ n ∈ M n (R ) . Atunci are loc inegalitatea n ⎛ n ⎞ det 2 A ≤ ∏ ⎜⎜ ∑ aij2 ⎟⎟ . i =1 ⎝ j =1 ⎠

Teorema (Sylvester) Fie matricile A ∈ M n×m (C ), B ∈ M m× p (C ) . Atunci are loc

rang ( A) + rang (B ) − n ≤ rang ( A ⋅ B ) ≤ min{rang ( A), rang (B )} .

INEGALITATI GEOMETRICE

Teorema (Ptolemeu) In orice patrulater convex ABCD are loc AC ⋅ BD ≤ AB ⋅ CD + AD ⋅ BC . Daca patrulaterul este inscriptibil atunci are loc egalitate. Teorema (Erdös-Mordell) Daca P este un punct in interiorul unui triunghi ABC , atunci are loc PA + PB + PC ≥ 2( x + y + z )

unde x, y respectiv z sunt distantele de la punctul P la laturile triunghiului a, b respectiv c. Egalitatea are loc daca si numai daca triunghiul este echilateral si P este centrul de greutate al triunghiului. Teorema (Oppenheim- Mordell) Daca P este un punct in interiorul unui triunghi ABC , atunci are loc PA ⋅ PB ⋅ PC ≥ ( x + y )( y + z )( z + x ) unde x, y respectiv z sunt distantele de la punctul P la laturile triunghiului a, b respectiv c. Egalitatea are loc daca si numai daca triunghiul este echilateral si P este centrul de greutate al triunghiului.

Teorema (Euler) In orice triunghi ABC are loc inegalitatea R ≥ 2r , unde r este raza cercului inscris triunghiului ABC si R raza cercului circumscris triunghiului ABC . Teorema (Weitzenböck) In orice triunghi ABC de laturi a, b, c si de arie S , are loc inegalitatea a2 + b2 + c2 ≥ 4 3 ⋅ S Egalitatea are loc daca si numai daca triunghiul ABC este echilateral.

Teorema (Flander-Klamkin) In orice triunghi ABC are loc inegalitatea 3

⎛3 3⎞ ⎟ ABC , sin A sin B sin C ≤ ⎜⎜ ⎟ 2 π ⎝ ⎠ unde A, B, C sunt unghiurile triunghiului masurate in radiani.

INEGALITATI INTEGRALE

Teorema (Young) Fie f : [0, c] → R + , c > 0 ,o functie continua, strict crescatoare, astfel incat f (0) = 0 . Atunci oricare ar fi numerele a ∈ [0, c], b ∈ [0, f (c )] , avem a

b

0

0

∫ f (x )dx + ∫ f (x )dx ≥ ab , unde f

−1

−1

este inversa functiei f . Egalitatea are loc daca si numai daca b = f (a ) .

Teorema (Hölder)

Fie f , g : [a, b] → R doua functii integrabile si p, q > 0 cu

1 1 + = 1. p q

Atunci avem 1

b

∫ a

⎛b ⎞p p f ( x )g ( x ) dx ≤ ⎜⎜ ∫ f ( x ) dx ⎟⎟ ⎝a ⎠

1

⎛b ⎞q q ⋅ ⎜⎜ ∫ g (x ) dx ⎟⎟ ⎝a ⎠

Teorema (Cauchy-Buniakowsky-Schwarz) Fie f , g : [a, b] → R doua functii integrabile. Atunci avem 2

⎞ ⎞ ⎛b ⎞ ⎛b ⎛b ⎜ ∫ f ( x )g ( x ) dx ⎟ ≤ ⎜ ∫ f ( x ) 2 dx ⎟ ⋅ ⎜ ∫ g ( x ) 2 dx ⎟ ⎟ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎜ ⎠ ⎠ ⎝a ⎠ ⎝a ⎝a Demonstratie In inegalitatea integrala a lui Hölder punem p = q = 2 . Teorema (Minkovski) Fie f , g : [a, b] → R doua functii integrabile si p ≥ 1 . Atunci avem 1

1

1

⎞p ⎞p ⎛b ⎛b ⎞p ⎛b p p ⎜ ∫ f ( x ) + g ( x ) dx ⎟ ≤ ⎜ ∫ f ( x ) dx ⎟ + ⎜ ∫ g ( x ) p dx ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟ ⎝a ⎠ ⎝a ⎠ ⎝a ⎠ Teorema (Cebîsev) Fie f , g : [a, b] → R doua functii de aceeasi monotonie (respectiv de monotonie contrara). Atunci avem b b ⎞⎛ b ⎞ 1 ⎛ ⎜ ⎟ ⎜ ⎟. ( ) ( ) ( ) ( ) ≥ f x g x dx f x dx g x dx ∫a ⎟⎜ ∫ ⎟ (≤ ) b − a ⎜ ∫ ⎝a ⎠⎝ a ⎠ Teorema (Jensen) Fie f : [a, b] → [c, d ] o functie integrabila si g : [c, d ] → R o functie continua si convexa (respectiv concava). Atunci avem b ⎛ 1 b ⎞ 1 ⋅ ∫ f ( x )dx ⎟⎟ ≤ g ⎜⎜ ⋅ ∫ g ( f ( x ))dx . (≥ ) ⎝b−a a ⎠ b−a a Teorema (Jensen-Hadamard) Fie f : [a, b] → R o functie de doua ori derivabila. Daca f ' ' (x ) ≥ 0, (∀)x ∈ [a, b] (respectiv f ' ' (x ) ≤ 0, (∀)x ∈ [a, b] ), atunci are loc

1 f (a ) + f (b ) ⎛a+b⎞ f⎜ f ( x )dx ≤ . ⎟≤ ∫ ( ≥ ) ( ≥ ) 2 ⎝ 2 ⎠ b−a a b

Teorema (Groub-Rheinboldt) Fie functiile continue f , g , h : [c, d ] → (0, ∞ ) astfel incat g ( x ) ∈ [a, A] ⊂ (0, ∞ ),

h( x ) ∈ [b, B] ⊂ (0, ∞ ), (∀)x ∈ [c, d ] . Atunci functiile f ⋅ g 2 , f ⋅ h 2 , f ⋅ g ⋅ h sunt integrabile pe [c, d ] si ⎞ (ab + AB )2 ⎞ ⎛d ⎛d ⎜ ∫ f ( x )g 2 ( x )dx ⎟ ⋅ ⎜ ∫ f ( x )h 2 ( x )dx ⎟ ≤ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 4abAB ⎠ ⎠ ⎝c ⎝c

2

⎞ ⎛d ⎜ ∫ f (x )g (x )h(x )dx ⎟ . ⎟ ⎜ ⎠ ⎝c

Teorema (L.V. Kantorovici) Fie functiile continue f , g : [c, d ] → (0, ∞ ) astfel incat g ( x ) ∈ [m, M ] ⊂ (0, ∞ ), (∀)x ∈ [c, d ] . Atunci avem

⎞ ⎛ d f ( x ) ⎞ (m + M )2 ⎛d ⎟ ⎜ ∫ f ( x )g ( x )dx ⎟ ⋅ ⎜ ∫ ⎟ ⎜ g ( x ) dx ⎟ ≤ 4mM ⎜ ⎠ ⎠ ⎝c ⎝c

2

⎞ ⎛d ⎜ ∫ f ( x )dx ⎟ . ⎟ ⎜ ⎠ ⎝c

Teorema (P. Schweitzer) Fie functiile continua g : [c, d ] → (0, ∞ ) astfel incat g ( x ) ∈ [m, M ] ⊂ (0, ∞ ), (∀)x ∈ [c, d ] . Atunci avem ⎛d ⎞ ⎛d 1 ⎞ (m + M )2 2 ⎜ ∫ g (x )dx ⎟ ⋅ ⎜ ∫ ⎟ dx ⎜ ⎟ ⎜ g (x ) ⎟ ≤ 4mM (d − c ) . ⎝c ⎠ ⎝c ⎠

Teorema (Polya-Szegö) Fie functiile continue g , h : [c, d ] → (0, ∞ ) astfel incat g ( x ) ∈ [a, A] ⊂ (0, ∞ ), h( x ) ∈ [b, B] ⊂ (0, ∞ ), (∀)x ∈ [c, d ] . Atunci avem

⎞ (ab + AB )2 ⎞ ⎛d ⎛d 2 ⎜ ∫ g ( x )dx ⎟ ⋅ ⎜ ∫ h 2 ( x )dx ⎟ ≤ ⎟ ⎟ ⎜ ⎜ 4abAB ⎠ ⎠ ⎝c ⎝c

2

⎞ ⎛d ⎜ ∫ g ( x )h( x )dx ⎟ . ⎟ ⎜ ⎠ ⎝c

Teorema (Ostrowski) Fie functiile f , g : [a, b] ⊂ R → R , unde f este o functie monoton crescatoare pe [a, b] cu f (b ) ≤ 0 iar g este o functie integrabila pe [a, b] . Atunci are loc inegalitatea ξ

b

∫ f (x )g (x )dx ≤ f (a ) ⋅ max ∫ g (x )dx . ξ a

a ≤ ≤b

a

Teorema (Stolarsky) Daca functia f : [0,1] → [0,1] , f nu este crescatoare pe [0,1] , atunci pentru orice a, b ∈ R ∗ are loc inegalitatea 1 ⎛ 1 ⎛ 1 ⎞ ⎞⎛ 1 ⎛ 1 ⎞ ⎞ ⎛ a 1+b ⎞ ⎟ ⎜ ∫0 g ⎜ x ⎟dx ≥ ⎜⎜ ∫0 g ⎜⎜ x a ⎟⎟dx ⎟⎟⎜⎜ ∫0 g ⎜⎜ x b ⎟⎟dx ⎟⎟ . ⎠ ⎝ ⎝ ⎝ ⎠ ⎠⎝ ⎝ ⎠ ⎠ Teorema (Steffensen) Fie f , g : [a, b] → R , f nenegativa si monoton descrescatoare pe [a, b] iar

0 ≤ g ( x ) ≤ 1, (∀)x ∈ [a, b] , atunci avem b

∫

b−k

b

a+k

a

a

f ( x )dx ≤ ∫ f (x )g ( x )dx ≤

∫ f (x )dx ,

b

unde k = ∫ g ( x )dx . a

Teorema (Gram) Fie functiile f 1 , f 2 ,..., f n : [a, b] → R integrabile pe [a, b] . Atunci avem b

∫

b

f12 ( x )dx

∫

a

b

∫

f 1 (x ) f 2 ( x )dx ...

a

∫ f (x )dx

...

...

...

2 2

a

a

... b

b

n

n

1

n

1

∫ f (x ) f (x )dx ≥ 0 . n

2

a

... b

∫ f (x ) f (x )dx ∫ f (x ) f (x )dx a

∫ f (x ) f (x )dx

a b

b

f 2 ( x ) f 1 ( x )dx

b

...

2

a

∫ f (x )dx 2 n

a

Teorema (Gronwall) Fie f , g : (a, b ) → R + doua functii continue.Daca exista G ≥ 0 astfel incat t

f (t ) ≤ G + ∫ f (s )g (s )ds, (∀)t ∈ (a, b ) , atunci are loc inegalitatea a

t

∫ g (s )ds

f (t ) ≤ G ⋅ e a

, (∀)t ∈ (a, b ) .

CAPITOLUL II

Identitati Teorema (Binet-Cauchy) Fie a k , bk , c k , d k ∈ R, k = 1, n . Atunci avem

⎛ n ⎞⎛ n ⎞ ⎛ n ⎞⎛ n ⎞ ⎜ ∑ a k c k ⎟⎜ ∑ bk d k ⎟ − ⎜ ∑ a k d k ⎟⎜ ∑ bk c k ⎟ = ∑ (ai b j − a j bi )(ci d j − c j d i ) . ⎝ k =1 ⎠⎝ k =1 ⎠ ⎝ k =1 ⎠⎝ k =1 ⎠ 1≤i < j ≤ n Teorema (Lagrange) Fie a k , bk ∈ R, k = 1, n . Atunci avem 2

⎛ n 2 ⎞⎛ n 2 ⎞ ⎛ n ⎞ 2 ⎜ ∑ a k ⎟⎜ ∑ bk ⎟ − ⎜ ∑ a k bk ⎟ = ∑ (ai b j − a j bi ) . 1≤ i < j ≤ n ⎝ k =1 ⎠⎝ k =1 ⎠ ⎝ k =1 ⎠ Demonstratie

Se aplica identitatea lui Binet-Cauchy pentru c k = a k si d k = bk , k = 1, n . Teorema (Fibonacci) Fie a, b, c, d ∈ R . Atunci avem

(a

2

+ b 2 )(c 2 + d 2 ) = (ac − bd ) + (bc + ad ) 2

2

Teorema (Strehl)

∑ (C ) = ∑ (C ) (C ) n

k =0

k 3 n

n

k =0

k 2 n

n 2k