107

‫اﻟﻤﻤﻠﻜﺔ اﻟﻤﻐﺮﺑﻴﺔ‬ ‫وزارة اﻟﺘﺮﺑﻴﺔ اﻟﻮﻃﻨﻴﺔ واﻟﺘﻌﻠﻴﻢ اﻟﻌﺎﻟﻲ‬ ‫و ﺗﻜﻮﻳﻦ اﻷﻃﺮ و اﻟﺒﺤﺚ اﻟﻌﻠﻤﻲ‬ ‫اﻷآﺎدﻳﻤﻴﺔ اﻟﺠﻬﻮﻳﺔ ﻟﻠﺘﺮﺑﻴﺔ واﻟﺘﻜﻮﻳﻦ‬ ‫ﺟﻬﺔ اﻟﺸﺎوﻳﺔ وردﻳﻐﺔ‪-‬ﺳﻄﺎت‬ ‫ﻧﻴﺎﺑﺔ ﺧﺮﻳﺒﻜﺔ‬ ‫ﺛﺎﻧﻮﻳﺔ ﻳﻮﺳﻒ ﺑﻦ ﺗﺎﺷﻔﻴﻦ اﻟﺘﺄهﻴﻠﻴﺔ‬

‫اﻟﺮﻳﺎﺿﻴﺎت‬ ‫اﻟﻤﺎدة ‪:‬‬ ‫اﻟﻤﺴﺘﻮى‪2 :‬ﺳﻠﻚ اﻟﺒﺎآﺎﻟﻮرﻳﺎ‬ ‫ﻋﻠﻮم ﺗﺠﺮﻳﺒﻴﺔ‬ ‫اﻟﺸﻌﺒﺔ‪:‬‬ ‫‪7‬‬ ‫اﻟﻤﻌﺎﻣﻞ‪:‬‬ ‫‪3‬ﺳﺎﻋﺎت‬ ‫اﻟﻤﺪة ‪:‬‬

‫اﻻﻣﺘﺤﺎن اﻟﺘﺠﺮﻳﺒﻲ‬

‫أﺑﺮﻳﻞ ‪2007‬‬

‫‪ 02,00‬ﺗﻤﺮﻳﻦ‪1‬‬ ‫اﻟﻔﻀﺎء ﻣﻨﺴﻮب ﻟﻤﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ و ﻣﻤﻨﻈﻢ وﻣﺒﺎﺷﺮ‬

‫)‬

‫‪j;k‬‬

‫; ‪(O ; i‬‬

‫‪.‬‬

‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻨﻘﻂ )‪C ( 1; 0; 1) ; B ( 1; 4; 0) ; A (0 ; 1; 1‬‬

‫‪0,50‬‬ ‫‪0,50‬‬

‫أ( أﺣﺴﺐ اﻟﺠﺪاء اﻟﻤﺘﺠﻬﻲ ‪AB ∧ AC‬‬ ‫‪(1‬‬ ‫ب( اﺳﺘﻨﺘﺞ ﻣﻌﺎدﻟﺔ دﻳﻜﺎرﺗﻴﺔ ﻟﻠﻤﺴﺘﻮى )‪. (ABC‬‬ ‫‪ (2‬ﻟﺘﻜﻦ ) ‪ ( S‬ﻣﺠﻤﻮﻋﺔ اﻟﻨﻘﻂ ) ‪ M ( x; y; z‬ﻣﻦ اﻟﻔﻀﺎء ﺣﻴﺚ‬

‫‪13‬‬ ‫‪=0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫أ( ﺑﻴﻦ أن ) ‪ ( S‬ﻓﻠﻜﺔ ﺷﻌﺎﻋﻬﺎ ‪ R = 3 2‬ﻣﺤﺪدا اﺣﺪاﺛﻴﺎتﻣﺮآﺰهﺎ ‪. Ω‬‬ ‫‪2‬‬ ‫ب( ﺑﻴﻦ أن اﻟﻤﺴﺘﻮى )‪ (ABC‬ﻣﻤﺎس ﻟﻠﻔﻠﻜﺔ ) ‪. ( S‬‬

‫‪x2 + y 2 + z 2 − 2 x − 2 y − 6 z +‬‬

‫‪0,50‬‬ ‫‪0,50‬‬ ‫‪ 03,00‬ﺗﻤﺮﻳﻦ‪2‬‬

‫ﻧﻌﺘﺒﺮ‬

‫∈‪ ( un )n‬اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑـ‬ ‫‪3‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ u0 = 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫∈ ‪u = 1 + u − 1 ; ∀n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ n +1‬‬

‫‪0,50‬‬

‫‪ -1‬ﺑﻴﻦ أن ‪1 ≺ un ≺ 2‬‬

‫‪0,75‬‬

‫‪ -2‬ﺑﻴﻦ أن‬ ‫‪ -3‬ﻧﻌﺘﺒﺮ‬

‫‪0,75‬‬ ‫‪1,00‬‬

‫∈ ‪∀n‬‬

‫∈‪ ( un )n‬ﺗﺰاﻳﺪﻳﺔ و اﺳﺘﻨﺘﺞ أن‬

‫∈‪ ( un )n‬ﻣﺘﻘﺎرﺑﺔ‬

‫∈‪ ( vn )n‬اﻟﻤﺘﺘﺎﻟﻴﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﺑـ )‪vn = ln ( un − 1‬‬

‫‪1‬‬ ‫أ‪ -‬ﺑﻴﻦ أن ∈‪ ( vn )n‬ﻣﺘﺘﺎﻟﻴﺔ هﻨﺪﺳﻴﺔ أﺳﺎﺳﻬﺎ‬ ‫‪2‬‬ ‫ب‪ -‬ﺣﺪد ‪ lim vn‬و اﺳﺘﻨﺘﺞ ‪lim un‬‬ ‫∞‪n→+‬‬

‫∈ ‪∀n‬‬

‫و ﺣﺪهﺎ اﻷول ‪v0 = − ln 2‬‬

‫∞‪n→+‬‬

‫‪ 04,00‬ﺗﻤﺮﻳﻦ‪3‬‬ ‫‪ -1‬ﺗﺄآﺪ أن ‪(2i − 1) = −3 − 4i‬‬ ‫‪0,25‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ -2‬ﻧﻌﺘﺒﺮ ﻓﻲ‬ ‫‪z + 2 z + 4( − 1 + i ) z + 16(1 + i ) = 0‬‬ ‫اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬ ‫‪2‬‬

‫‪0,25‬‬

‫أ‪ /‬ﺗﺄآﺪ أن ‪ −4‬ﺣﻞ ﻟﻠﻤﻌﺎدﻟﺔ‬

‫)‪(E‬‬

‫) ‪(E‬‬

‫‪0,75‬‬

‫ب‪ /‬ﺣﺪد اﻟﻌﺪدﻳﻦ ‪ b‬و ‪ a‬ﺣﻴﺚ )‪z 3 + 2 z 2 + 4(−1 + i ) z + 16(1 + i ) = ( z + 4)( z 2 + az + b‬‬

‫‪0,75‬‬ ‫‪0,25‬‬

‫ج‪ /‬ﺣﺪد ‪ z1‬و ‪ z2‬ﺟﺪري اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪z 2 − 2 z + 4 (1 + i ) = 0‬‬

‫‪0,75‬‬

‫د‪ /‬اﺳﺘﻨﺘﺞ ﺣﻠﻮل اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ‬

‫∈‪z‬‬

‫)‪(E‬‬

‫‪ -3‬أآﺘﺐ ﺣﻠﻮل اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ) ‪ ( E‬ﻓﻲ ﺷﻜﻠﻬﺎ اﻟﻤﺜﻠﺜﻲ‬

‫‪ -4‬ﻓﻲ اﻟﻤﺴﺘﻮى اﻟﻌﻘﺪي اﻟﻤﻨﺴﻮب إﻟﻰ اﻟﻤﻌﻠﻢ اﻟﻤﺘﻌﺎﻣﺪ اﻟﻤﻤﻨﻈﻢ ) ‪، ( O; e1 ; e2‬‬

‫‪1,00‬‬

‫ﻧﻌﺘﺒﺮ اﻟﻨﻘﻂ ‪ A‬و ‪ B‬و ‪ C‬اﻟﺘﻲ أﻟﺤﺎﻗﻬﺎ ‪ −4‬و ‪ 2i‬و ‪ 2 − 2i‬ﻋﻠﻰ اﻟﺘﻮاﻟﻲ‬ ‫ﺑﻴﻦ أن ‪ ABC‬ﻣﺜﻠﺚ ﻗﺎﺋﻢ اﻟﺰاوﻳﺔ و ﻣﺘﺴﺎوي اﻟﺴﺎﻗﻴﻦ ﻓﻲ ‪. B‬‬

‫‪1‬‬

‫اﻻﻣﺘﺤﺎن اﻟﺘﺠﺮﻳﺒﻲ‪ :‬أﺑﺮﻳﻞ‪2007‬‬ ‫‪ 02,00‬ﺗﻤﺮﻳﻦ‪4‬‬ ‫ﻳﺤﺘﻮي ﺻﻨﺪوق ﻋﻠﻰ ‪ 7‬ﺑﻴﺎدق ﺳﻮداء ﻣﺮﻗﻤﺔ‪ ،‬أرﺑﻌﺔ ﺑﻴﺎدق ﻣﻨﻬﺎ ﺗﺤﻤﻞ اﻟﺮﻗﻢ ‪ 1‬و اﻟﺒﻴﺎدق‬ ‫اﻻﺧﺮى ﺗﺤﻤﻞ رﻗﻢ ‪ . 2‬و ﺛﻼث ﺑﻴﺎدق ﺑﻴﻀﺎء ﺑﻴﺪﻗﺎن ﻣﻨﻬﺎ ﺗﺤﻤﻞ اﻟﺮﻗﻢ ‪ 1‬و اﻟﺒﻴﺪق اﻻﺧﺮ ﻳﺤﻤﻞ‬ ‫اﻟﺮﻗﻢ ‪. 2‬‬ ‫ﻧﺴﺤﺐ ﺑﺎﻟﺘﺘﺎﺑﻊ و ﺑﺪون إﺣﻼل ﺑﻴﺪﻗﻴﻦ‬ ‫‪1‬‬

‫‪ -1‬أﺣﺴﺐ اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺑﻴﺪﻗﻴﻦ ﻣﺠﻤﻮع رﻗﻤﻴﻬﻤﺎ زوﺟﻲ‬

‫‪1‬‬

‫‪ -2‬أﺣﺴﺐ اﺣﺘﻤﺎل اﻟﺤﺼﻮل ﻋﻠﻰ ﺑﻴﺪﻗﻴﻦ ﺳﻮداوﻳﻦ ﻋﻠﻤﺎ أن ﻣﺠﻤﻮع رﻗﻤﻴﻬﻤﺎ زوﺟﻲ‪.‬‬

‫‪ 09,00‬ﺗﻤﺮﻳﻦ‪5‬‬

‫‪0,50‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪ (A‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ g‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ [∞‪ ]0; +‬ﺑـ‪+ 1 :‬‬ ‫‪x +1‬‬ ‫‪ -1‬ﺑﻴﻦ أن ‪lim g ( x ) = 1‬‬

‫‪g ( x ) = ln( x + 1) − ln x −‬‬

‫∞‪x →+‬‬

‫‪−1‬‬

‫= ) ‪ g ' ( x‬ﻟﻜﻞ ‪ x‬ﻣﻦ [∞‪ ]0; +‬و اﺳﺘﻨﺘﺞ ﻣﻨﺤﻰ ﺗﻐﻴﺮات ‪ g‬ﻋﻠﻰ‬

‫‪0,75‬‬

‫‪ -2‬ﺑﻴﻦ أن‬

‫‪0,50‬‬

‫‪ -3‬اﺳﺘﻨﺘﺞ أن ‪0‬‬ ‫‪ (B‬ﻟﺘﻜﻦ ‪ f‬اﻟﺪاﻟﺔ اﻟﻌﺪدﻳﺔ ﻟﻠﻤﺘﻐﻴﺮ اﻟﺤﻘﻴﻘﻲ اﻟﻤﻌﺮﻓﺔ ﻋﻠﻰ‬

‫‪2‬‬

‫)‪x ( x + 1‬‬

‫)‪g ( x‬‬

‫[∞‪]0; +‬‬

‫[∞‪∀x ∈ ]0; +‬‬

‫‪0‬‬

‫و) (‬

‫‪;x‬‬

‫ﺑـ‪:‬‬

‫‪‬‬ ‫‪ x +1‬‬ ‫‪ f ( x ) = x ln  x  + x + 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ f ( x ) = (1 − x ) e x‬‬ ‫‪;x ≤ 0‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ C f‬اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ اﻟﻤﻤﺜﻞ ﻟﻠﺪاﻟﺔ ‪ f‬ﻓﻲ ﻣﻌﻠﻢ ﻣﺘﻌﺎﻣﺪ ﻣﻤﻨﻈﻢ ) ‪ ( O; i ; j‬ﺣﻴﺚ ‪i = j = 2cm‬‬

‫‪0,75‬‬ ‫‪0,75‬‬ ‫‪0,75‬‬ ‫‪1,25‬‬ ‫‪1,25‬‬ ‫‪0,50‬‬ ‫‪0,50‬‬ ‫‪0,50‬‬ ‫‪1,00‬‬

‫‪ x +1‬‬ ‫‪ -1‬أ‪ /‬ﺑﻴﻦ أن ‪ = 1‬‬ ‫∞‪x→+‬‬ ‫‪ x ‬‬ ‫ب‪ /‬ﺣﺪد ) ‪ lim f ( x‬و أول اﻟﻨﺘﻴﺠﺔ هﻨﺪﺳﻴﺎ‬

‫‪ lim x ln ‬ﺛﻢ اﺳﺘﻨﺘﺞ ) ‪. lim f ( x‬‬ ‫∞‪x→+‬‬

‫∞‪x→−‬‬

‫ج‪ /‬ﺑﻴﻦ أن ‪ f‬ﻣﺘﺼﻠﺔ ﻓﻲ ‪. 0‬‬ ‫‪ -2‬أدرس ﻗﺎﺑﻠﻴﺔ اﺷﺘﻘﺎق ‪ f‬ﻋﻠﻰ اﻟﻴﻤﻴﻦ ﻓﻲ ‪ 0‬و ﻋﻠﻰ اﻟﻴﺴﺎر ﻓﻲ ‪ 0‬ﺛﻢ أول اﻟﻨﺘﻴﺠﺘﻴﻦ‬ ‫هﻨﺪﺳﻴﺎ‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪ -3‬أ‪ /‬ﺑﻴﻦ أن ) ‪ ∀x ∈ ]0; +∞[ f ' ( x ) = g ( x‬و أن ‪∀x ∈ ]−∞;0[ f ' ( x ) = − xe‬‬ ‫ب‪ /‬أﻋﻂ ﺟﺪول ﺗﻐﻴﺮات ‪. f‬‬

‫‪ -4‬ﺑﻴﻦ أن اﻟﻨﻘﻄﺔ ‪ A‬ذات اﻻﻓﺼﻮل ‪ -1‬ﻧﻘﻄﺔ اﻧﻌﻄﺎف ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪( C f‬‬ ‫‪ -5‬ﺑﻴﻦ أن اﻟﻤﺴﺘﻘﻴﻢ ذا اﻟﻤﻌﺎدﻟﺔ ‪ y = x + 2‬ﻣﻘﺎرب ﻟﻠﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪ ( C f‬ﺑﺠﻮار ∞‪. +‬‬ ‫‪ -6‬أﻧﺸﺊ اﻟﻤﻨﺤﻨﻰ ) ‪. ( C f‬‬ ‫‪ln 2 ≈ 0,7‬‬

‫‪ln 3 ≈ 1,1‬‬

‫‪e −1 ≈ 0,37‬‬

‫‪2‬‬

‫‪e −2 ≈ 0,14‬‬

‫‪e −3 ≈ 0, 05‬‬