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FASE 3: DISEÑO Y CONSTRUCCION ECUACIONES DIFERENCIALES – xxxxxxxxxxxxxxxxxxx

PRESENTADO POR: ADER FABIAN ORDOÑEZ LOPEZ: 1058965656 DIEGO LUIS PERE LUNA: 79523413 xxxxxxxxxxxx ROMAN NICOLAS REALPE: 1088973535 STEVEN PALADINES: 1107058611

TUTOR: xxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxxx

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA ESCUELA DE CIENCIAS BASICAS, TECNOLOGIAS E INGENIERÍA FACULTAD DE INGENIERÍA xxxxxxxxxxxxxxxxx 1

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Contenido

Introducción…………………………………………………………………………………... 3 Objetivos… …………………………………………………………………………………... 4 Ejercicio 1………………………………………………………………………………………5 Ejercicio 2………………………………………………………………………………………6 Ejercicio 3………………………………………………………………………………………7 Ejercicio 4………………………………………………………………………………………9 Ejercicio 5…………………………………………………………………………………..…13 Ejercicio 6…………………………………………………………………………………..…14 Ejercicio 7…………………………………………………………………………………..…16 Ejercicio 8……………………………………………………………………………………..18 Ejercicio 9…………………………………………………………………………………..…20 Ejercicio 10…………………………………………………………………………………....22 Problema 1..…………………………………………………………………………….…….23 Problema 2…………………………………………………………………………………....28 Conclusiones………………………………………………………………………….………36 Referencias……………………………………………………………………………………37

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INTRODUCCIÓN

En el siguiente trabajo realizamos una revisión de las ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes constantes y de orden n, y sus formas de solución. Por otro lado, se analizará los métodos de solución de ecuaciones diferenciales homogéneas y no homogéneas de segundo orden, determinando los casos que se pueden presentar en las ecuaciones objeto de estudio. Las ecuaciones diferenciales de segundo orden tienen importancia para la ingeniería debido a que gran número de problemas se modelan mediante leyes y relaciones en la ciencia, como la física, por ejemplo, en lenguaje matemático por este tipo de ecuaciones. La actividad se desarrolla dentro de la metodología de aprendizaje basado en problemas

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OBJETIVOS

 



Reconocer las Ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes constantes y de orden superior. Resolver correctamente las ecuaciones diferenciales de segundo orden con coeficientes constantes, homogéneos y no homogéneos empleando los diferentes métodos de solución. Plantear correctamente problemas empleando la modelación con ecuaciones diferenciales.

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Ejercicio 2 Para encontrar la solución de una ecuación homogénea de segundo orden con coeficientes constantes, se encuentran las raíces de la ecuación característica asociada, de tal mane que si dichas raíces son m y n, entonces dicha solución es de la forma: 𝑦ℎ = 𝑐1 𝑥 𝑚 + 𝑐2 𝑥 𝑛 , 𝑠𝑖 𝑚 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑛 𝑦ℎ = 𝑐1 𝑥 𝑚 + 𝑐2 𝑥 𝑚 𝑙𝑛𝑥, 𝑠𝑖 𝑚 = 𝑛 𝑦ℎ = 𝑥 ∝ (𝑐1 cos(𝛽𝑙𝑛𝑥) + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑙𝑛𝑥)), 𝑠𝑖 𝑚 𝑦 𝑛 𝑠𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑗𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 ∞ + 𝑖𝛽. Teniendo en cuenta lo anterior, la solución de la ecuación homogénea de la ecuación 2𝑦 ′′ + 5𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 es: a. 𝑦ℎ = 𝑐1 cos(𝑙𝑛𝑥) + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛(𝑙𝑛𝑥). b. 𝑦ℎ = 𝑐1 𝑐𝑜𝑠√5/2𝑥 + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛√5/2𝑥 c. 𝑦ℎ = 𝑐1 𝑥 2 + 𝑐2 𝑥 5 d. 𝑦ℎ = 𝑐1 𝑥 −2 + 𝑐2 𝑥 −5

Resuelve 2 (d ^ 2 y (x)) / (dx ^ 2) + 5 y (x) = sin (x):

2

𝑑2 𝑦(𝑥) + 5𝑦 (𝑥) = sin 𝑥 𝑑𝑥 2

La solución general será la suma de la solución complementaria y la solución particular. Encuentre la solución complementaria resolviendo 2 (d ^ 2 y (x)) / (dx ^ 2) + 5 y (x) = 0: 2

(𝑑2 𝑦(𝑥) + 5𝑦 (𝑥) = 0 𝑑𝑥 2

Suponga que una solución será proporcional a Sustituye

𝑦(𝑥) = 𝑒 𝜆𝑥

𝑒 𝜆𝑥

e ^ (λ x) para alguna constante λ.

y (x) = e ^ (λ x) en la ecuación diferencial:

2 (d ^ 2) / (dx ^ 2) (e ^ (λ x)) + 5 e ^ (λ x) = 0 (𝑑2 ) 2 2 𝑒 𝜆𝑥 + 5𝜆𝑥 = 0 𝑑𝑥 5

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Sustituir

(𝑑 2 ) 𝑑𝑥 2

𝑒 𝜆𝑥 + 5𝜆𝑥 = 𝜆2 ℯ 𝜆𝑥

(d ^ 2) / (dx ^ 2) (e ^ (λ x)) = λ ^ 2 e ^ (λ x):

2 λ ^ 2 e ^ (λ x) + 5 e ^ (λ x) = 0 2𝜆2 𝑒 𝜆𝑥 + 5 𝑒 𝜆𝑥 = 0 Factoriza 𝑒 𝜆𝑥

e ^ (λ x): (2𝜆2 + 5)𝑒 (𝜆𝑥) = 0

(2 λ ^ 2 + 5) e ^ (λ x) = 0 Como 𝑒 𝜆𝑥 = 0

e ^ (λ x)! = 0 para cualquier λ finito, los ceros deben provenir del polinomio:

2𝜆2 + 5 = 0 2λ^2+5=0 Resuelve para λ: 5 5 𝜆 = 𝑖 √ 𝑜 𝜆 = −𝑖√ 2 2 λ = i sqrt (5/2) o λ = -i sqrt (5/2) 5

Las raíces λ = ± 𝑖√2

i sqrt (5/2) dan 𝑦1 (𝑥) = 𝑐1 𝑒

5 2

(𝑖√( )𝑥),𝑦2 (𝑥)

= 𝑐2 𝑒

5 2

(−𝑖√( )𝑥)

y1 (x) = c1 e ^ (i sqrt (5/2) x), y2 (x) = c2 e ^ (- i sqrt (5/2) x ) como soluciones, donde c1 y c2 son constantes arbitrarias. La solución general es la suma de las soluciones anteriores: y (x) = y1 (x) + y2 (x) = c1 e ^ (i sqrt (5/2) x) + c2 / e ^ (i sqrt (5/2) x) 5 (𝑖√ 𝑥)+ 2

𝑦(𝑥) = 𝑦1 (𝑥) + 𝑦2 (𝑥) = 𝑐1 𝑒

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𝑐2 5 (𝑖√ 𝑥) 𝑒 2

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Aplique la identidad de Euler 𝑒 (𝛼+𝑖𝛽) = 𝑒 𝛼 cos(𝛽)+𝑖 𝑒

y

5

𝛼 𝑠𝑒𝑛 (𝛽)

5

e ^ (α + i β) = e ^ α cos (β) + i e ^ α sen (β):

5

5

(𝑥) = 𝑐1 (cos(√( ) 𝑥 ) + 𝑖 𝑠𝑒𝑛 (√( )𝑥)) + 𝑐2 (cos (√( ) 𝑥) − 𝑖 𝑠𝑒𝑛 (√( ) 𝑥)) 2 2 2 2

(x) = c1 (cos (sqrt (5/2) x) + i sin (sqrt (5/2) x)) + c2 (cos (sqrt (5/2) x) - i sin (sqrt (5) / 2) x)) Reagrupar términos: 5 2

5 2

y (𝑥) = (𝑐1 + 𝑐2 ) cos(√( ) 𝑥) + 𝑖 ((𝑐1 − 𝑐2 ) 𝑠𝑒𝑛 (√( ) 𝑥)

(x) = (c1 + c2) cos (sqrt (5/2) x) + i (c1 - c2) sin (sqrt (5/2) x)

Redefina c1 + c2 como c1 ei (c1 - c2) como c2, ya que estas son constantes arbitrarias: 5 2

5 2

y (𝑥) = 𝑐1 cos(√( ) 𝑥) + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛 (√( ) 𝑥) (x) = c1 cos (sqrt (5/2) x) + c2 sin (sqrt (5/2) x) Determine la solución particular a 2

(𝑑 2 𝑦(𝑥)) + 5 𝑦(𝑥) 𝑑𝑥 2

= 𝑠𝑒𝑛 (𝑥)

2 (d ^ 2 y (x)) / (dx ^ 2) + 5 y (x) = sin (x) por el método de coeficientes indeterminados: La solución particular a 2 (d ^ 2 y (x)) / (dx ^ 2) + 5 y (x) = sin (x) es de la forma: 𝑦𝑝 (𝑥) = 𝑎1 cos(𝑥) + 𝑎2 𝑠𝑒𝑛(𝑥) yp (x) = a1 cos (x) + a2 sin (x) Resuelve las constantes desconocidas 𝑎1 y 𝑎2 : Calcular

𝑑 2 𝑦𝑝(𝑥))

(

𝑑𝑥 2

)

(d ^ 2 yp (x)) / (dx ^ 2):

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(d ^ 2 yp (x)) / (dx ^ 2) = (d ^ 2) / (dx ^ 2) (a1 cos (x) + a2 sen (x)) = - (a1 cos (x)) - a2 sin (x) 𝑑2 𝑦𝑝 (𝑥)) 𝑑𝑥 2 ( = ( ) (𝑎1 cos(𝑥) + 𝑎2 𝑠𝑒𝑛 (𝑥))= −(𝑎1 cos(𝑥))−𝑎2 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 2 𝑑𝑥 2 Sustituya la solución particular yp (x) en la ecuación diferencial: 2 (d ^ 2 yp (x)) / (dx ^ 2) + 5 yp (x) = sin (x) 2(𝑑2 𝑦𝑝 (𝑥)) + 5 𝑦𝑝 (𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥) (𝑑𝑥 2 ) 2 (- (a1 cos (x)) - a2 sin (x)) + 5 (a1 cos (x) + a2 sin (x)) = sin (x) 2(−(𝑎1 cos(𝑥)) − 𝑎2 𝑠𝑒𝑛(𝑥)) + 5(𝑎1 cos(𝑥) + 𝑎2 𝑠𝑒𝑛(𝑥)) = 𝑠𝑒𝑛 (𝑥) Simplificar: 3 a1 cos (x) + 3 a2 sen (x) = sen (x) 3 𝑎1 cos(𝑥) + 3𝑎2 𝑠𝑒𝑛(𝑥) = 𝑠𝑒𝑛(𝑥)

Iguala los coeficientes de cos (x) en ambos lados de la ecuación: 3 𝑎1 = 0 Iguala los coeficientes de sin (x) en ambos lados de la ecuación:

3 𝑎2 = 1

Resuelve el sistema: 𝑎1 = 0 𝑎2 =

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Sustituye 𝑎1 y 𝑎2

en 𝑦𝑝 (𝑥) = cos(𝑥)𝑎1+𝑠𝑒𝑛(𝑥)𝑎2 a1 y a2 en yp (x) = cos (x) a1 + sin (x) a2: 𝑦𝑝 (𝑥) =

𝑠𝑒𝑛(𝑥) 3

yp (x) = sin (x) / 3 La solución general es: Respuesta: 𝑦(𝑥) = 𝑦𝑐 (𝑥) + 𝑦𝑝 (𝑥) =

𝑠𝑒𝑛(𝑥) 3

5 2

5 2

+ 𝑐1 cos(√( ) 𝑥) + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛(√( ) 𝑥)

y (x) = yc (x) + yp (x) = sin (x) / 3 + c1 cos (sqrt (5/2) x) + c2 sin (sqrt (5/2) x)

CONCLUSIONES

Mediante este trabajo pudimos aplicar los conocimientos adquiridos sobre ecuaciones diferenciales lineales y no lineales. Mediante la elaboración de los ejercicios planteados se identificó las ecuaciones las ecuaciones de primer orden. Las ecuaciones diferenciales constituyen uno de los más poderosos instrumentos teóricos para la interpretación y modelación de fenómenos. 9

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REFERENCIAS BIBLIOGRAFICAS

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