100412_6_trabajo_colaborativo_fase_3.docx

Unidad 2: Fase 3 Diseño y construcción Resolver problemas y ejercicios de ecuaciones diferenciales de orden superior

Presentado por: Luis Román Suta Hernández Código: 11.435.189 Alejandro rueda Tovar Código: 1.070.968.295 John Fredy Hernández Código: 11445718

Luisa Fernanda pulido

Diego Mauricio Restrepo Código: 1.094.915.271

Presentado a: Víctor Giraldo Buesaquillo Tutor del curso

Universidad Nacional Abierta y a Distancia Ecuaciones diferenciales Grupo 100412_6 2018

TABLA DE CONTENIDO INTRODUCCIÓN ..................................................................................................................... 3 OBJETIVOS............................................................................................................................... 4 ASIGNACIÓN DE ROLES ....................................................................................................... 5 DESARROLLO DE ACTIVIDADES ....................................................................................... 6 Ejercicio 1 ............................................................................................................................... 6 Ejercicio 2 ............................................................................................................................... 7 Ejercicio 3 ............................................................................................................................... 8 Ejercicio 4 ............................................................................................................................... 9 Ejercicio 5 ............................................................................................................................. 10 Ejercicio 6 ............................................................................................................................. 16 Ejercicio 7 ............................................................................................................................. 19 Ejercicio 8. ............................................................................................................................ 22 Ejercicio 9 ............................................................................................................................. 24 Ejercicio 10 ........................................................................................................................... 26 ACTIVIDAD GRUPAL ........................................................................................................... 31 Primera Actividad Grupal:.................................................................................................... 31 Segunda actividad Grupal:.................................................................................................. 40 CONCLUSIONES ................................................................................................................... 43 BIBLIOGRAFÍA ...................................................................................................................... 44

INTRODUCCIÓN Las Ecuaciones Diferenciales de orden superior constituyen uno de los instrumentos teóricos para la interpretación y modelación de fenómenos científicos y técnicos de la mayor variedad que contienen dinámicas, que expresan evolución, transformación o cambio en términos de algún conjunto de parámetros. Es por eso que su estudio es de especial importancia práctica y teórica para los Ingenieros de cualquier rama. La metodología empleada en este trabajo colaborativo de la unidad 2 es, revisar el contenido de la Unidad en el entorno de conocimiento, luego cada uno de los integrantes de un grupo específico seleccionará 2 ejercicios de los propuestos en la guía de actividades y los desarrollará individualmente mostrando sus avances en el foro de discusión, de la misma forma se escogerán otros dos ejercicios para retroalimentar o corregir, posteriormente se trabajará en equipo en la construcción y solución paso a paso de los problemas grupales y finalmente se consolidarán todos los aportes individuales y de equipo en un mismo documento. Es relevante la participación activa en el foro para que se genere un entorno de comunicación entre integrantes de grupo y tutor.

OBJETIVOS       

Reconocer el tipo de ecuación diferencial que se quiere resolver, así como el método de solución más conveniente siguiendo la teoría estudiada en la unidad 2. Aplicar los conceptos básicos de las ecuaciones diferenciales de orden superior. Diferenciar entre ecuaciones diferenciales de orden n homogéneas y no homogéneas. Familiarizarse con la ecuación característica o auxiliar y reconocer su importancia en la solución de ecuaciones diferenciales de orden 2 o de orden n. Entender claramente en qué ejercicios o problemas se pueden aplicar los métodos de variación de parámetros o coeficientes indeterminados. Conocer las diferentes formas en que se pueden plantear o sugerir las soluciones de una ED de orden 2 o superior. Aplicar todos los conceptos previos de las matemáticas y físicas en situaciones problemas reales que permitan modelarse mediante una ecuación diferencial de orden superior.

ASIGNACIÓN DE ROLES TABLA 1: PLAN DE TRABAJO - GRUPO 6 Rol dentro del Trabajo Colaborativo

Preguntas seleccionadas a desarrollar actividad individual

Preguntas seleccionadas para revisar o realimentar

Alertas

Preguntas 1 y 2

Preguntas 3 y 4

Alejandro Rueda Tovar

Colaborador

Preguntas 6 y 7

Preguntas 1 y 2

Luisa Fernanda Pulido

Creativa

Preguntas 3 y 4

Preguntas 6 y 7

Revisor

Preguntas 5 y 8

Preguntas 9 y 10

Moderador

Preguntas 9 y 10

Preguntas 5 y 8

Datos Estudiante John Fredy Hernández 11445718 CEAD Facatativá

Luis Roman Suta Hernández 11435189 CEAD Facatativá Diego Mauricio Restrepo 1094915271 CEAD Facatativá

DESARROLLO DE ACTIVIDADES Preguntas tipo SABER PRO para seleccionar: ÍTEMS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON ÚNICA RESPUESTA

A continuación, usted encontrará preguntas que se desarrollan en torno a un enunciado, problema o contexto, frente al cual, usted debe seleccionar aquella opción que responda correctamente al ítem planteado entre cuatro identificadas con las letras A, B, C, D. Una vez la seleccione, describa el procedimiento que justifique su respuesta.

Ejercicio 1 Una ecuación diferencial de segundo orden es de la forma 𝑦 ´´ + 𝑎1 (𝑥)𝑦 ´ + 𝑎2 (𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥) y para que ésta sea una ecuación homogénea con coeficientes constantes se deben hacer dos suposiciones: 1. Los coeficientes son constantes. 2. 𝑔(𝑥) = 0. Una ecuación homogénea tiene dos soluciones independientes y se pueden presentar tres tipos: Caso 1: Soluciones reales y distintas, Caso 2: Soluciones iguales y reales y Caso 3: Soluciones complejas y conjugadas. Teniendo en cuenta lo anterior las soluciones de la ecuación diferencial 𝑦 ´´ − 2𝑦 ´ + 3𝑦 = 0 son: a. Soluciones complejas y conjugadas cuya solución da 𝑦 = 𝑒 𝑥 (𝐶1 𝑐𝑜𝑠 √3 𝑥 + 𝐶2 𝑠𝑖𝑛 √3𝑥) b. Soluciones complejas y conjugadas cuya solución da 𝒚 = 𝒆𝒙 (𝑪𝟏 𝒄𝒐𝒔 √𝟐 𝒙 + 𝑪𝟐 𝒔𝒊𝒏 √𝟐𝒙) c. Soluciones iguales y reales cuya solución da 𝒚 = 𝐶1 𝑒 √2𝑥 +𝐶2 𝑥𝑒 √2𝑥 d. Soluciones distintas y reales cuya solución da 𝒚 = 𝐶1 𝑒 −√3𝑥 +𝐶2 𝑒 √3𝑥

Solución: Se tiene la siguiente ecuación: 𝑦 ´´ − 2𝑦 ´ + 3𝑦 = 0 Ahora con esta se saca una ecuación auxiliar: 𝑚2 − 2𝑚 + 3 = 0 Se halla la solución a esta anterior: −(−2) ± √(−2)2 − 4(3)(1) 𝑚= 2(1) 𝑥1 = 1 + √2𝑖 𝑥2 = 1 − √2𝑖 Por lo que se observa es dio solución en números complejos por tanto será solución compleja conjugada y se obtiene: 𝒚 = 𝒆𝒙 (𝑪𝟏 𝒄𝒐𝒔 √𝟐 𝒙 + 𝑪𝟐 𝒔𝒊𝒏 √𝟐𝒙)

Ejercicio 2 Para encontrar la solución de una ecuación homogénea de segundo orden con coeficientes constantes, se encuentran las raíces de la ecuación característica asociada, de tal manera que si dichas raíces son m y n, entonces dicha solución es de la forma: 𝑦ℎ = 𝑐1 𝑥 𝑚 + 𝑐2 𝑥 𝑛 , 𝑠𝑖 𝑚 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑛 𝑦ℎ = 𝑐1 𝑥 𝑚 + 𝑐2 𝑥 𝑚 𝑙𝑛𝑥, 𝑠𝑖 𝑚 = 𝑛 𝑦ℎ = 𝑥 ∝ (𝑐1 cos(𝛽𝑙𝑛𝑥) + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑙𝑛𝑥)), 𝑠𝑖 𝑚 𝑦 𝑛 𝑠𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑗𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 ∞ + 𝑖𝛽. Teniendo en cuenta lo anterior, la solución de la ecuación homogénea de la ecuación 2𝑦 ′′ + 5𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 es: a. 𝑦ℎ = 𝑐1 cos(𝑙𝑛𝑥) + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛(𝑙𝑛𝑥). b. 𝒚𝒉 = 𝒄𝟏 𝒄𝒐𝒔√𝟓/𝟐𝒙 + 𝒄𝟐 𝒔𝒆𝒏√𝟓/𝟐𝒙 c. 𝑦ℎ = 𝑐1 𝑥 2 + 𝑐2 𝑥 5 d. 𝑦ℎ = 𝑐1 𝑥 −2 + 𝑐2 𝑥 −5

Solución: Se tiene la ecuación: 2𝑦 ′′ + 5𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 Ahora su ecuación homogénea asociada es: 2𝑚2 + 5 = 0 Para lo que su solución es: 2𝑚2 = −5 𝑚2 = −

5 2

5 𝑚 = ±√ 𝑖 2 Como se obtuvieron raíces complejas, la solución homogénea de la ecuación diferencial será: 𝑦ℎ = 𝑒 𝛼𝑥 (𝑐1 cos(𝛽𝑥) + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑥)) 5 5 𝑦ℎ = 𝑒 0𝑥 (𝑐1 cos (√ 𝑥) + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛 (√ 𝑥)) 2 2

5 5 𝑦ℎ = 1 (𝑐1 cos (√ 𝑥) + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛 (√ 𝑥)) 2 2

𝟓 𝟓 𝒚𝒉 = 𝒄𝟏 𝒄𝒐𝒔√ 𝒙 + 𝒄𝟐 𝒔𝒆𝒏√ 𝒙 𝟐 𝟐 Ejercicio 3 Para encontrar la solución de una ecuación diferencial de orden superior con coeficientes variables se procede sustituir 𝑦 = 𝑥 𝑚 , 𝑦 ′ = 𝑚𝑥 𝑚−1 , 𝑦′′ = 𝑚(𝑚 − 1)𝑥 𝑚−2 Para, en primera instancia hallar la solución de su respectiva ecuación homogénea asociada, y luego, con la ayuda de los wronskianos 𝑢1 𝑤=| ′ 𝑢1

𝑢2 |, 𝑢2′

0 𝑤1 = | 𝑔(𝑥)

𝑢2 |, 𝑢2′

𝑤2 = |

𝑢1 𝑢1′

0 | 𝑔(𝑥)

Se procede a encontrar la solución particular. Con base en lo anterior, si la ecuación x2y’’ + xy’ +y=2x tiene por solución homogénea la expresión 𝑦ℎ = 𝑐1 cos(𝑙𝑛𝑥) + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛(𝑙𝑛𝑥), los respectivos Wronskianos w1 y w2 equivalen a: a. b. c. d.

−𝟐𝒙𝑺𝒆𝒏(𝒍𝒏𝒙), 𝟐𝒙 𝑪𝒐𝒔(𝒍𝒏𝒙) 𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑙𝑛𝑥), −𝑥 𝐶𝑜𝑠(𝑙𝑛𝑥) −𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑙𝑛𝑥), 𝑥 𝐶𝑜𝑠(𝑙𝑛𝑥) 2𝑥𝑆𝑒𝑛(𝑙𝑛𝑥), −2𝑥 𝐶𝑜𝑠(𝑥)

Solución: Tenemos que la solución homogénea de la ecuación diferencial 𝑥 2 𝑦 ′′ + 𝑥𝑦 ′ + 𝑦 = 2𝑥 es: (1)

𝑦ℎ = 𝑐1 cos(𝑙𝑛𝑥) + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛(𝑙𝑛𝑥)

Por la forma de esta solución homogénea se deduce que al solucionar la ecuación diferencial homogénea asociada se obtienen raíces complejas donde las soluciones tienen la siguiente forma: 𝑦1 = 𝑥 𝛼 𝐶𝑜𝑠(𝛽𝑙𝑛𝑥)

𝑦2 = 𝑥 𝛼 𝑆𝑒𝑛(𝛽𝑙𝑛𝑥)

Con solución homogénea: 𝑦ℎ = 𝑐1 𝑦1 + 𝑐2 𝑦2

(2)

Igualando las ecuaciones (1) y (2) se tiene: 𝑐1 cos(𝑙𝑛𝑥) + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛(𝑙𝑛𝑥) = 𝑐1 𝑦1 + 𝑐2 𝑦2 De donde se deduce: 𝑦1 = cos(𝑙𝑛𝑥)

𝑦2 = 𝑠𝑒𝑛(𝑙𝑛𝑥)

Teniendo estas dos soluciones se pueden calcular los Wronskianos 𝑊1 y 𝑊2 , teniendo presente que la función 𝑔(𝑥) = 2𝑥: 

Wronskiano 1: 𝑊1 0 𝑦2 𝑊1 = | | 𝑔(𝑥) 𝑦2 ′ 0 𝑠𝑒𝑛(𝑙𝑛𝑥) 𝑊1 = | | 2𝑥 (𝑠𝑒𝑛(ln 𝑥))′ ′

𝑊1 = [0(𝑠𝑒𝑛(𝑙𝑛𝑥)) ] − [2𝑥(𝑠𝑒𝑛(𝑙𝑛𝑥))]



𝑊1 = 0 − 2𝑥(𝑠𝑒𝑛(𝑙𝑛𝑥)) 𝑾𝟏 = −𝟐𝒙 ∗ 𝑺𝒆𝒏(𝒍𝒏𝒙) Wronskiano 2: 𝑊2 𝑦 0 𝑊2 = | 1′ | 𝑦1 𝑔(𝑥) cos(𝑙𝑛 𝑥) 0 𝑊2 = | | ′ (cos(𝑙𝑛𝑥)) 2𝑥 𝑊2 = 2𝑥 ∗ 𝐶𝑜𝑠(𝑙𝑛𝑥) − 0 ∗ (cos(𝑙𝑛𝑥))′ 𝑾𝟐 = 𝟐𝒙 ∗ 𝑪𝒐𝒔(𝒍𝒏𝒙)

Con estos resultados se puede verificar que la opción correcta es la OPCIÓN A.

Ejercicio 4 𝐷𝑛 es un operador diferencial para cualquier polinomio de orden n-1, esto es, para 1, x, 𝑥 2 , …, 𝑥 𝑛−1 y cualquier combinación lineal de ellos y (𝐷−∝)𝑛 es un operador diferencial que anula a cualquier función de la forma 𝑒 2𝑥 , 𝑥𝑒 2𝑥 ,𝑥 2 𝑒 2𝑥 , ⋯ , 𝑥 𝑛−1 𝑒 2𝑥 En concordancia con lo anterior, al resolver la ecuación 𝑦 ′′ + 8𝑦 ′ − 20𝑦 = 𝑒 −3𝑥 haciendo uso de operadores lineales se llega a la expresión: a.(𝐷 − 3)(𝐷2 + 8𝐷 − 20)𝑌 = (𝐷 − 3)𝑒 −3𝑥 = 0 b.(𝐷 + 3)2 (𝐷2 − 8𝐷 + 20)𝑦 = (𝐷 + 3)2 𝑒 −3𝑥 = 0 c.(𝐷 − 3)2 (8𝐷 − 20)𝑦 = (𝐷 − 3)2 𝑒 −3𝑥 = 0 d.(𝑫 + 𝟑)(𝑫𝟐 + 𝟖𝑫 − 𝟐𝟎)𝒚 = (𝑫 + 𝟑)𝒆−𝟑𝒙 = 𝟎

Solución: Se parte de la ecuación diferencial: 𝑦 ′′ + 8𝑦 ′ − 20𝑦 = 𝑒 −3𝑥 El operador diferencial representa la primera derivada de una función. Entonces, la ecuación inicial se puede escribir en términos de operadores como: (𝐷2 + 8𝐷 − 20)[𝑦] = 𝑒 −3𝑥

Factorizando el polinomio formado por los operadores diferenciales queda: (𝐷 + 10)(𝐷 − 2)[𝑦] = 𝑒 −3𝑥 Se pretende anular la función exponencial al lado derecho de la igualdad, por ello se va a aplicar el operador diferencial 𝐷 − (−3) a ambos lados del igual: (𝐷 − (−3))(𝐷 + 10)(𝐷 − 2)[𝑦] = (𝐷 − (−3))𝑒 −3𝑥 (𝐷 + 3)(𝐷 + 10)(𝐷 − 2)[𝑦] = (𝐷 + 3)𝑒 −3𝑥

(1)

(𝐷 + 3)(𝐷 + 10)(𝐷 − 2)[𝑦] = 𝐷𝑒 −3𝑥 + 3𝑒 −3𝑥 (𝐷 + 3)(𝐷 + 10)(𝐷 − 2)[𝑦] = −3𝑒 −3𝑥 + 3𝑒 −3𝑥 (𝐷 + 3)(𝐷 + 10)(𝐷 − 2)[𝑦] = 0

(2)

Se puede plantear una triple igualdad entre las expresiones (1) y (2), y queda: (𝐷 + 3)(𝐷 + 10)(𝐷 − 2)[𝑦] = (𝐷 + 3)𝑒 −3𝑥 = 0 (𝑫 + 𝟑)(𝑫𝟐 + 𝟖𝑫 − 𝟐𝟎)[𝒚] = (𝑫 + 𝟑)𝒆−𝟑𝒙 = 𝟎

ÍTEMS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON MÚLTIPLE RESPUESTA Este tipo de preguntas consta de un enunciado, problema o contexto a partir del cual se plantean cuatro opciones numeradas de 1 a 4, usted deberá seleccionar la combinación de dos opciones que responda adecuadamente a la pregunta y marcarla en la hoja de respuesta, de acuerdo con la siguiente información: Seleccione A si 1 y 2 son correctas. Seleccione B si 1 y 3 son correctas. Seleccione C si 2 y 4 son correctas. Seleccione D si 3 y 4 son correctas. Una vez seleccione su respuesta, describa el procedimiento que la justifique

Ejercicio 5 El método de variación de parámetros para dar solución a una ecuación diferencial de tercer orden establece que primero se encuentra la función complementaria 𝑦𝑐 = 𝐶1 𝑦1 + 𝐶2 𝑦2 + 𝐶3 𝑦3 y después se calcula el wronskiano 𝑊(𝑦1 (𝑥), 𝑦2 (𝑥), 𝑦3 (𝑥)). Posteriormente se determina 𝑓(𝑥), para poder encontrar 𝑢1 𝑢2 y 𝑢3 , y poder hallar la solución particular mediante la integración de 𝑢1 ´ = 𝑦1 ′ 𝑊 = | 𝑦1 𝑦1′′

𝑦2 𝑦2′ 𝑦2′′

𝑦3 𝑦3′ |, 𝑦3′′

𝑊1 𝑊

, 𝑢2 ´ =

0 𝑊1 = | 0 𝑓(𝑥)

𝑦2 𝑦2′ 𝑦2′′

𝑊2 𝑊

y 𝑢3 ´ =

𝑦3 𝑦3′ |, 𝑦3′′

𝑊3 𝑊

, donde:

𝑦1 𝑊2 = | 𝑦1′ 𝑦1′′

0 0 𝑓(𝑥)

𝑦3 𝑦3′ | 𝑦3′′

𝑦1 𝑊3 = | 𝑦1′ 𝑦1′′

𝑦2 𝑦2′ 𝑦2′′

0 0 | 𝑓(𝑥)

Una solución particular es 𝑦𝑝 = 𝑢1 𝑦1 + 𝑢2 𝑦2 + 𝑢3 𝑦3 y la solución general de la ecuación diferencial es entonces 𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝 . Con base en lo anterior, los valores para 𝑊1 , 𝑊2 y 𝑊3 y la solución general de la ecuación 𝑦 ′′′ + 2𝑦′′ = 𝑒 𝑥 son respectivamente: 1. 𝑾𝟏 = −𝟐𝒙𝒆−𝒙 − 𝒆−𝒙 , 𝑾𝟐 = 𝟐𝒆−𝒙 y 𝑾𝟑 = 𝒆𝒙 𝟏 2. 𝒚 = 𝑪𝟏 + 𝑪𝟐 𝒙 + 𝑪𝟑 𝒆−𝟐𝒙 + 𝟑 𝒆𝒙 1

3. 𝑦 = 𝐶1 + 𝐶2 𝑥 + 𝐶3 𝑒 𝑥 + 4 𝑒 −𝑥

4. 𝑊1 = 2𝑥𝑒 −𝑥 + 𝑒 −𝑥 , 𝑊2 = 2𝑥𝑒 𝑥 y 𝑊3 = −2𝑒 −𝑥

Solución: Se pretende solucionar la ecuación diferencial: 𝑦 ′′′ + 2𝑦′′ = 𝑒 𝑥 La función 𝑒 𝑥 se llamará 𝑓(𝑥) Primeramente, se debe solucionar la ecuación diferencial homogénea asociada: 𝑦 ′′′ + 2𝑦′′ = 0 Cuya ecuación característica es: 𝑟 3 + 2𝑟 2 = 0 𝑟 2 (𝑟 + 2) = 0

𝑟=0

𝑟2 = 0

𝑟+2=0

ó

ó

𝑟=0

𝑟 = −2

Podemos entonces definir que se obtuvieron 3 raíces de la ecuación cúbica inicial, de estas raíces 𝑟 = 0 se repite y 𝑟 = 2 aparece una única vez. Entonces: 𝑟1 = 0

𝑟2 = 0

𝑟3 = −2

Entonces las soluciones de la ecuación homogénea son: 𝑦1 = 𝑒 𝑟1 𝑥

𝑦2 = 𝑥𝑒 𝑟1 𝑥

𝑦3 = 𝑒 𝑟3 𝑥

Reemplazando las raíces 𝑟1 y 𝑟3 en la anterior expresión se obtiene: 𝑦1 = 𝑒 (0)𝑥 𝑦1 = 1

𝑦2 = 𝑥𝑒 (0)𝑥 𝑦2 = 𝑥

𝑦3 = 𝑒 −2𝑥 𝑦3 = 𝑒 −2𝑥

Tenemos entonces que la solución complementaria es la formada por la combinación lineal de 𝑦1 , 𝑦2 , 𝑦3 .

𝑦𝑐 = 𝑐1 𝑦1 + 𝑐2 𝑦2 + 𝑐3 𝑦3 𝑦𝑐 = 𝑐1 (1) + 𝑐2 (𝑥) + 𝑐3 (𝑒 −2𝑥 ) 𝑦𝑐 = 𝑐1 + 𝑐2 (𝑥) + 𝑐3 (𝑒 −2𝑥 ) Ahora, la solución general de la ecuación diferencial no homogénea en cuestión es: 𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝 Donde: 𝑦: Solución general 𝑦𝑐 : Solución complementaria 𝑦𝑝 : Solución particular Falta entonces encontrar la solución particular por el método de variación de parámetros: 𝑦𝑝 = 𝑢1 𝑦1 + 𝑢2 𝑦2 + 𝑢3 𝑦3 Calculemos 𝑢1 , 𝑢2 y 𝑢3 por medio de las siguientes expresiones: 

Cálculo de 𝑢1 𝑢1 = ∫

𝑊1 𝑑𝑥 𝑊

0 𝑦2 𝑦3 ′ 𝑦2 𝑦3 ′ | | 0 𝑓(𝑥) 𝑦2 ′′ 𝑦3 ′′ 𝑢1 = ∫ 𝑦 𝑦2 𝑦3 𝑑𝑥 1 ′ ′ 𝑦2 𝑦3 ′ | | 𝑦1 𝑦1 ′′ 𝑦2 ′′ 𝑦3 ′′ 0 |0 𝑒𝑥 𝑢1 = ∫ 1 | 1′ 1′′

𝑥 (𝑥)′ (𝑥)′′ 𝑥 (𝑥)′ (𝑥)′′

𝑒 −2𝑥 (𝑒 −2𝑥 )′ | (𝑒 −2𝑥 )′′ 𝑑𝑥 𝑒 −2𝑥 (𝑒 −2𝑥 )′ | (𝑒 −2𝑥 )′′

0 𝑥 𝑒 −2𝑥 | 0 1 −2𝑒 −2𝑥 | 𝑥 0 4𝑒 −2𝑥 𝑑𝑥 𝑢1 = ∫ 𝑒 1 𝑥 𝑒 −2𝑥 |0 1 −2𝑒 −2𝑥 | 0 0 4𝑒 −2𝑥 𝑢1 = ∫

𝑒 𝑥 (𝑥(−2𝑒 −2𝑥 ) − 𝑒 −2𝑥 ) 𝑑𝑥 1(1(4𝑒 −2𝑥 ))

𝑒 𝑥 (−2𝑥𝑒 −2𝑥 − 𝑒 −2𝑥 ) 𝑢1 = ∫ 𝑑𝑥 4𝑒 −2𝑥

𝑒 𝑥 (𝑒 −2𝑥 (−2𝑥 − 1)) 𝑢1 = ∫ 𝑑𝑥 4𝑒 −2𝑥 NOTA: En este punto cabe aclarar que 𝑊1 = 𝑒 𝑥 (𝑒 −2𝑥 (−2𝑥 − 1)), es decir: 𝑊1 = 𝑒 −𝑥 (−2𝑥 − 1) 𝑊1 = −2𝑥𝑒 −𝑥 − 𝑒 −𝑥 Siguiendo con el procedimiento del cálculo de 𝑢1 , se tiene que: 𝑢1 = ∫

𝑒 −𝑥 (−2𝑥 − 1) 𝑑𝑥 4𝑒 −2𝑥

𝑒 −𝑥 (−2𝑥 − 1)𝑒 2𝑥 𝑢1 = ∫ 𝑑𝑥 4 𝑢1 = ∫

𝑒 𝑥 (−2𝑥 − 1) 𝑑𝑥 4

1 𝑢1 = ∫ −2𝑥𝑒 𝑥 − 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 4 𝑢1 =

−2 1 ∫ 𝑥𝑒 𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 4 4

La solución de esta primera integral se hace por partes: 𝑢=𝑥

𝑑𝑣 = 𝑒 𝑥 𝑑𝑥

Derivando 𝑢 se obtiene: 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 Integrando 𝑑𝑣 se obtiene: 𝑣 = 𝑒 𝑥 Entonces: ∫ 𝑥𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥𝑒 𝑥 − ∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 ∫ 𝑥𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑥𝑒 𝑥 − 𝑒 𝑥 (2) (2) en (1) nos queda: 𝑢1 =

−1 1 (𝑥𝑒 𝑥 − 𝑒 𝑥 ) − 𝑒 𝑥 2 4

1 1 1 𝑢1 = − 𝑥𝑒 𝑥 + 𝑒 𝑥 − 𝑒 𝑥 2 2 4 1 1 𝑢1 = − 𝑥𝑒 𝑥 + 𝑒 𝑥 2 4 

Cálculo de 𝑢2 𝑢2 = ∫

𝑊2 𝑑𝑥 𝑊

(1)

𝑦1 0 𝑦3 ′ 0 𝑦3′ | | 𝑦1 𝑦1′′ 𝑓(𝑥) 𝑦3′′ 𝑢2 = ∫ 𝑦 𝑦2 𝑦3 𝑑𝑥 1 ′ ′ ′ | 𝑦1 𝑦2 𝑦3 | 𝑦1′′ 𝑦2′′ 𝑦3′′ 1 0 𝑒 −2𝑥 ′ 0 (𝑒 −2𝑥 )′ | |1 1′′ 𝑒 𝑥 (𝑒 −2𝑥 )′′ 𝑢2 = ∫ 𝑑𝑥 1 𝑥 𝑒 −2𝑥 | 1′ (𝑥)′ (𝑒 −2𝑥 )′ | 1′′ (𝑥)′′ (𝑒 −2𝑥 )′′ 1 |0 𝑢2 = ∫ 0 1 |0 0

0 𝑒 −2𝑥 0 −2𝑒 −2𝑥 | 𝑒 𝑥 4𝑒 −2𝑥 𝑑𝑥 𝑥 𝑒 −2𝑥 1 −2𝑒 −2𝑥 | 0 4𝑒 −2𝑥

𝑢2 = ∫

1(0 + 𝑒 𝑥 (2𝑒 −2𝑥 )) 𝑑𝑥 4𝑒 −2𝑥

𝑢2 = ∫

2𝑒 −𝑥 1 𝑑𝑥 = ∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 −2𝑥 4𝑒 2

NOTA: En este punto cabe aclarar que 𝑊2 = 2𝑒 −𝑥 1 𝑒𝑥 𝑢2 = (𝑒 𝑥 ) = 2 2 

Cálculo de 𝑢3 𝑢3 = ∫

𝑊3 𝑑𝑥 𝑊

𝑦1 𝑦2 0 ′ ′ 0 | | 𝑦1 𝑦2 ′′ ′′ 𝑦1 𝑦2 𝑓(𝑥) 𝑢3 = ∫ 𝑦 𝑦2 𝑦3 𝑑𝑥 1 ′ ′ ′ | 𝑦1 𝑦2 𝑦3 | 𝑦1′′ 𝑦2′′ 𝑦3′′ 1 𝑥 0 ′ ′ (𝑥) 0| |1 ′′ (𝑥)′′ 1 𝑒𝑥 𝑢3 = ∫ 𝑑𝑥 1 𝑥 𝑒 −2𝑥 | 1′ (𝑥)′ (𝑒 −2𝑥 )′ | 1′′ (𝑥)′′ (𝑒 −2𝑥 )′′

1 𝑥 0 |0 1 0 | 0 0 𝑒𝑥 𝑢3 = ∫ 𝑑𝑥 1 𝑥 𝑒 −2𝑥 |0 1 −2𝑒 −2𝑥 | 0 0 4𝑒 −2𝑥 𝑢3 = ∫

1(1(𝑒 𝑥 ) − 0) 𝑑𝑥 4𝑒 −2𝑥

NOTA: En este punto cabe aclarar que 𝑊3 = 𝑒 𝑥 1 𝑒𝑥 1 𝑢3 = ∫ −2𝑥 𝑑𝑥 = ∫ 𝑒 3𝑥 𝑑𝑥 4 𝑒 4 𝑢3 =

1 𝑒 3𝑥 𝑒 3𝑥 ( )= 4 3 12

Ahora, la solución particular puede escribirse así: 𝑦𝑝 = 𝑢1 𝑦1 + 𝑢2 𝑦2 + 𝑢3 𝑦3 1 1 𝑒𝑥 𝑒 3𝑥 𝑦𝑝 = (− 𝑥𝑒 𝑥 + 𝑒 𝑥 ) (1) + ( ) (𝑥) + ( ) (𝑒 −2𝑥 ) 2 4 2 12 1 1 𝑥𝑒 𝑥 𝑒 𝑥 𝑦𝑝 = − 𝑥𝑒 𝑥 + 𝑒 𝑥 + + 2 4 2 12 1 𝑥 𝑒𝑥 𝑦𝑝 = 𝑒 + 4 12 1 1 𝑦𝑝 = 𝑒 𝑥 ( + ) 4 12 4 1 𝑦𝑝 = 𝑒 𝑥 ( ) = 𝑒 𝑥 ( ) 12 3 𝑦𝑝 =

𝑒𝑥 3

Entonces, la solución general de la ecuación diferencial es: 𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝 𝒚 = 𝒄𝟏 + 𝒄𝟐 (𝒙) + 𝒄𝟑

(𝒆−𝟐𝒙 )

𝒆𝒙 + 𝟑

En base a todos estos desarrollos matemáticos, las opciones correctas son 1 y 2, es decir, la respuesta correcta es la OPCIÓN A.

Ejercicio 6 Una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes, de la forma y´´ + a1 (x)´ + a2 (x)y = m(x), tiene dos soluciones independientes, donde se pueden presentar tres casos: a) Soluciones reales y distintas, b) Soluciones iguales y reales y c) Soluciones complejas y conjugadas. De las siguientes ecuaciones diferenciales, cuáles tienen soluciones reales e iguales. 1. y´´ − 16y = 0 𝑦 = 𝐶1 𝑒 4𝑡 + 𝐶2 𝑒 −4𝑡 Raíces reales y diferentes

2. y´´ + 6y´ − 7y = 0 𝑦 = 𝐶1 𝑒 𝑡 + 𝐶2 𝑒 −7𝑡 Raíces reales y diferentes

3. y´´ − 20y´ + 100y = 0 𝑌 = 𝐶1 𝑒 10𝑡 + 𝐶2 𝑡𝑒 10𝑡 Raíces reales e iguales

4. y´´ + 4y´ + 4y = 0 𝑌 = 𝐶1 𝑒 −2𝑡 + 𝐶2 𝑡𝑒 −2𝑡 Raíz reales e iguales

Solución: 1. Para la ecuación diferencial 1. 𝑦 ′′ − 16𝑦 = 0 Se plantean soluciones de la forma: 𝑦 = 𝑒 𝑟𝑡 Derivando esta solución se obtiene: 𝑦 ′ = 𝑟𝑒 𝑟𝑡 𝑦 ′′ = 𝑟 2 𝑒 𝑟𝑡 Se sustituyen los valores de 𝑦, 𝑦 ′ , 𝑦′′ en la ecuación diferencial: 𝑦 ′′ − 16𝑦 = 0 (𝑟 2 𝑒 𝑟𝑡 ) − 16(𝑒 𝑟𝑡 ) = 0 𝑒 𝑟𝑡 (𝑟 2 − 16) = 0 La ecuación característica o auxiliar asociada es:

𝑟 2 − 16 = 0 Las soluciones de esta ecuación son: 𝑟 2 = 16 𝑟 = ±√16 𝑟 = ±4 𝑟1 = 4

𝑦

𝑟2 = −4

Se obtuvieron raíces reales y diferentes.

2. Para la ecuación diferencial 2. 𝑦 ′′ + 6𝑦 ′ − 7𝑦 = 0 Se plantean soluciones de la forma: 𝑦 = 𝑒 𝑟𝑡 Derivando esta solución se obtiene: 𝑦 ′ = 𝑟𝑒 𝑟𝑡 𝑦 ′′ = 𝑟 2 𝑒 𝑟𝑡 Se sustituyen los valores de 𝑦, 𝑦 ′ , 𝑦′′ en la ecuación diferencial: 𝑦 ′′ + 6𝑦 ′ − 7𝑦 = 0 (𝑟 2 𝑒 𝑟𝑡 ) + 6(𝑟𝑒 𝑟𝑡 ) − 7(𝑒 𝑟𝑡 ) = 0 𝑒 𝑟𝑡 (𝑟 2 + 6𝑟 − 7) = 0 La ecuación característica o auxiliar asociada es: 𝑟 2 + 6𝑟 − 7 = 0 Las soluciones de esta ecuación son: (𝑟 + )(𝑟 − ) = 0 (𝑟 + 7)(𝑟 − 1) = 0 𝑟+7=0 𝑟1 = −7

ó

𝑟−1=0

𝑦

𝑟2 = 1

Se obtuvieron raíces reales y diferentes.

3. Para la ecuación diferencial 3. 𝑦 ′′ − 20𝑦 ′ + 100𝑦 = 0

Se plantean soluciones de la forma: 𝑦 = 𝑒 𝑟𝑡 Derivando esta solución se obtiene: 𝑦 ′ = 𝑟𝑒 𝑟𝑡 𝑦 ′′ = 𝑟 2 𝑒 𝑟𝑡 Se sustituyen los valores de 𝑦, 𝑦 ′ , 𝑦′′ en la ecuación diferencial: 𝑦 ′′ − 20𝑦 ′ + 100𝑦 = 0 (𝑟 2 𝑒 𝑟𝑡 ) − 20(𝑟𝑒 𝑟𝑡 ) + 100(𝑒 𝑟𝑡 ) = 0 𝑒 𝑟𝑡 (𝑟 2 − 20𝑟 + 100) = 0 La ecuación característica o auxiliar asociada es: 𝑟 2 − 20𝑟 + 100 = 0 Las soluciones de esta ecuación son: (𝑟 − )(𝑟 − ) = 0 (𝑟 − 10)(𝑟 − 10) = 0 𝑟 − 10 = 0

ó

𝑟1 = 10

𝑟 − 10 = 0 𝑟2 = 10

𝑟1 = 𝑟2 Se obtuvieron raíces reales e iguales.

4. Para la ecuación diferencial 4. 𝑦 ′′ + 4𝑦 ′ + 4𝑦 = 0 Se plantean soluciones de la forma: 𝑦 = 𝑒 𝑟𝑡 Derivando esta solución se obtiene: 𝑦 ′ = 𝑟𝑒 𝑟𝑡 𝑦 ′′ = 𝑟 2 𝑒 𝑟𝑡 Se sustituyen los valores de 𝑦, 𝑦 ′ , 𝑦′′ en la ecuación diferencial: 𝑦 ′′ + 4𝑦 ′ + 4𝑦 = 0 (𝑟 2 𝑒 𝑟𝑡 ) + 4(𝑟𝑒 𝑟𝑡 ) + 4(𝑒 𝑟𝑡 ) = 0 𝑒 𝑟𝑡 (𝑟 2 + 4𝑟 + 4) = 0

La ecuación característica o auxiliar asociada es: 𝑟 2 + 4𝑟 + 4 = 0 Las soluciones de esta ecuación son: (𝑟 + )(𝑟 + ) = 0 (𝑟 + 2)(𝑟 + 2) = 0 𝑟+2=0

ó

𝑟1 = −2

𝑟+2=0 𝑟2 = −2

𝑟1 = 𝑟2 Se obtuvieron raíces reales e iguales. Las opciones correctas son los numerales 3 y 4. Por tanto, la respuesta correcta es la OPCIÓN D.

Ejercicio 7 Teniendo en cuenta, que la solución de una ecuación diferencial de la forma 𝑎𝑦 ′′ + 𝑏𝑦 ′ + 𝑐𝑦 = 0, se puede hallar mediante la ecuación característica o auxiliar, donde por ser de segundo orden tiene dos soluciones, los valores de 𝑦1 , 𝑦2 de la siguiente ecuación diferencial 𝑦 ′′ + 𝑦 ′ + 𝑦 = 0 corresponden a: −𝒙

√𝟑 𝒙 𝟐

1. 𝒆 𝟐 𝒄𝟏 𝐜𝐨𝐬 −𝒙

2. 𝒆 𝟐 𝒄𝟐 𝐬𝐞𝐧

√𝟑 𝒙 𝟐

−𝑥

3.𝑒 2 (𝑐1 + 𝑐2 ) 4. (𝑐1 cos

√3 𝑥 2

+ 𝑐2 sin

√3 𝑥) 2

Solución: Se tiene la ecuación diferencial de segundo orden homogénea: 𝑦 ′′ + 𝑦 ′ + 𝑦 = 0 Para solucionarla hay que escribir la ecuación característica respectiva planteando soluciones de la forma 𝑦 = 𝑒 𝑟𝑥 . Se procede matemáticamente de la siguiente forma: 𝑦 = 𝑒 𝑟𝑥 𝑦 ′ = 𝑟𝑒 𝑟𝑥 𝑦 ′′ = 𝑟 2 𝑒 𝑟𝑥

Se reemplazarán tanto 𝑦, 𝑦′ y 𝑦′′ en la ecuación diferencial planteada: 𝑦 ′′ + 𝑦 ′ + 𝑦 = 0 𝑟 2 𝑒 𝑟𝑥 + 𝑟𝑒 𝑟𝑥 + 𝑒 𝑟𝑥 = 0 (𝑟 2 + 𝑟 + 1)𝑒 𝑟𝑥 = 0 En la anterior igualdad se sabe que la función exponencial nunca se anula, por ende, el factor que se encuentra dentro de paréntesis debe valer 0. Este factor representa la ecuación característica de la ED: 𝑟2 + 𝑟 + 1 = 0 Las raíces de esta ecuación cuadrática serán valores muy importantes a la hora de escribir la solución de la ED. Se calcularán las raíces usando la fórmula general para encontrar las soluciones de esta ecuación característica: En la ecuación: 𝑟 2 + 𝑟 + 1 𝑎=1

𝑏=1

𝑐=1

Donde: 𝑎: Coeficiente de 𝑟 2 𝑏: Coeficiente de 𝑟 𝑐: Término independiente Entonces: 𝑟=

−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 2𝑎

−(1) ± √(1)2 − 4(1)(1) 𝑟= 2(1) 𝑟=

−1 ± √1 − 4 2

𝑟=

−1 ± √−3 2

𝑟=

−1 √−3 ± 2 2

𝑟=

−1 √3𝑖 ± 2 2

Se obtuvieron raíces complejas conjugadas, de la forma: 𝑟 = 𝜆 ± 𝜇𝑖

Donde: 𝜆: Parte real del número complejo 𝜇: Parte imaginaria del número complejo Se puede separar el número complejo en las dos raíces independientes: 𝑟1 = 𝜆 + 𝜇𝑖 𝑟1 =

𝑟2 = 𝜆 − 𝜇𝑖

−1 √3 + 𝑖 2 2

𝑟2 =

−1 √3 − 𝑖 2 2

Las soluciones de la ecuación diferencial homogénea entonces serían: 𝑦1 = 𝑒 𝜆𝑥 𝐶𝑜𝑠(𝜇𝑥) 1 √3 𝑦1 = 𝑒 (−2)𝑥 𝐶𝑜𝑠 ( 𝑥) 2

𝑦2 = 𝑒 𝜆𝑥 𝑆𝑒𝑛(𝜇𝑥) 1

𝑦2 = 𝑒 (−2)𝑥 𝑆𝑒𝑛 (

√3 𝑥) 2

La solución general de la ecuación diferencial puede escribirse como una combinación lineal de las soluciones 𝑦1 y 𝑦2 : 𝑦 = 𝑐1 𝑦1 + 𝑐2 𝑦2 𝟏 𝟏 √𝟑 √𝟑 𝒚 = 𝒄𝟏 𝒆(−𝟐)𝒙 𝑪𝒐𝒔 ( 𝒙) + 𝒄𝟐 𝒆(−𝟐)𝒙 𝑺𝒆𝒏 ( 𝒙) 𝟐 𝟐

En base a todos estos cálculos se puede afirmar que las opciones 1 y 2 son las respuestas correctas. Por ende, la respuesta correcta es la OPCIÓN A.

ÍTEMS DE ANÁLISIS DE RELACIÓN

Este tipo de ítems consta de dos proposiciones así: una Afirmación y una Razón, unidas por la palabra PORQUE. Usted debe examinar la veracidad de cada proposición y la relación teórica que las une.

Para responder este tipo de ítems, debe leerla completamente y señalar en la hoja de respuesta, la elegida de acuerdo con las siguientes instrucciones:

Marque A si la afirmación y la razón son VERDADERAS y la razón es una explicación CORRECTA de la afirmación. Marque B si la afirmación y la razón son VERDADERAS, pero la razón NO es una explicación CORRECTA de la afirmación.

Marque C si la afirmación es VERDADERA, pero la razón es una proposición FALSA. Marque D si la afirmación es FALSA, pero la razón es una proposición VERDADERA.

Ejercicio 8. La solución general de una ecuación diferencial lineal de segundo grado no homogénea es de la forma: 𝑥(𝑡) = 𝑥ℎ (𝑡) + 𝑥𝑝 (𝑡) donde 𝑥ℎ (𝑡) es la solución de la homogénea y 𝑥𝑝 (𝑡) es la solución particular. Para hallar la solución particular de una ecuación diferencial 𝑎𝑥 ′′ (𝑡) + 𝑏𝑥′(𝑡) + 𝑐𝑥(𝑡) = 𝑓(𝑡) suele emplearse el método de los coeficientes indeterminados. El método en cuestión consiste fundamentalmente en intuir la forma de una solución particular. Se aplica cuando la función f(t) es una combinación lineal de productos (finitos) de funciones tales que derivadas den el mismo tipo de función. Tales como polinomios en t, función exponencial 𝑒 𝜔𝑡 , combinaciones lineales de cos 𝑤𝑡 y sin 𝑤𝑡 En base a la información anterior se puede afirmar que: 𝑑2 𝑞

𝑑𝑞

1

La ecuación que modela un circuito RLC serie es 𝐿 𝑑𝑡 2 + 𝑅 𝑑𝑡 + 𝐶 𝑞 = 𝐸, consta de una fuente FEM 𝐸 = 200 sin 60𝑡 V, una resistencia de R= 4Ω, un inductor de L=0.1H y un condensador de C= 1/52 F. La solución particular es de la forma 𝑞(𝑡) = 𝐴 sin 60𝑡 + 𝐵 cos 60𝑡 PORQUE el termino independiente es una función f(t)=2000 sin 60𝑡.

Solución: Para aplicar el método de coeficientes indeterminados hay que fijarse en la estructura de la función a la que se encuentra igualada la ecuación diferencial. En este caso, la función es 𝐸, la cual es igual a: 𝐸 = 200𝑠𝑒𝑛(60𝑡) La solución particular de esta ecuación diferencial debe tener la forma: 𝑞𝑝 = 𝑡 𝑠 (𝐴𝑡 𝑛 + 𝐵𝑡 𝑛−1 + 𝐶𝑡 𝑛−2 + ⋯ )𝑒 𝜆𝑡 𝐶𝑜𝑠(𝜇𝑡) + 𝑡 𝑠 (𝐴0 𝑡 𝑛 + 𝐵0 𝑡 𝑛−1 + 𝐶0 𝑡 𝑛−2 + ⋯ )𝑒 𝜆𝑡 𝑆𝑒𝑛(𝜇𝑡) Donde: 𝑠: # de veces que 𝜆 + 𝜇𝑖 es raíz de la ecuación característica (𝑠 = 0, 𝑠 = 1) 𝑛: Indica el grado del polinomio que multiplica a la función trigonométrica 𝜆: Parte real del número complejo que es raíz de la ecuación característica 𝜇: Parte imaginaria del número complejo que es raíz de la ecuación característica 𝐴, 𝐵, 𝐶, 𝐴0 , 𝐵0 , 𝐶0 , …: Coeficientes del polinomio

Para la función: 𝐸 = 200𝑠𝑒𝑛(60𝑡)

Tenemos que esta se puede escribir como: 𝐸 = 200𝑒 0∗𝑡 𝑠𝑒𝑛(60𝑡) Esto quiere decir que: 200: Polinomio de grado 0, por ende se puede escribir simplemente como 𝐴 𝜆=0 𝜇 = 60 Así las cosas, la solución particular puede escribirse entonces como: 𝑞𝑝 = 𝑡 𝑠 (𝐴)𝑒 0𝑡 𝐶𝑜𝑠(60𝑡) + 𝑡 𝑠 (𝐴0 )𝑒 0𝑡 𝑆𝑒𝑛(60𝑡) 𝑞𝑝 = 𝑡 𝑠 𝐴(1)𝐶𝑜𝑠(60𝑡) + 𝑡 𝑠 𝐴0 (1)𝑆𝑒𝑛(60𝑡) 𝑞𝑝 = 𝑡 𝑠 𝐴𝐶𝑜𝑠(60𝑡) + 𝑡 𝑠 𝐴0 𝑆𝑒𝑛(60𝑡) En esta solución particular falta encontrar el valor de 𝑠 para verificar la respuesta del enunciado. Para encontrar a 𝑠 se debe solucionar la ecuación homogénea asociada a la ecuación diferencial: 𝑑2𝑞 𝑑𝑞 1 𝐿 2 +𝑅 + 𝑞=𝐸 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝐶 Cuya ecuación homogénea es: 𝐿

𝑑2𝑞 𝑑𝑞 1 +𝑅 + 𝑞=0 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡 𝐶

Reemplazando los valores de los coeficientes constantes, la ecuación queda escrita de la siguiente forma: 𝑑2𝑞 𝑑𝑞 1 (0.1) 2 + 4 + 𝑞=0 1 𝑑𝑡 𝑑𝑡 52 (0.1)

𝑑2 𝑞 𝑑𝑞 +4 + 52𝑞 = 0 2 𝑑𝑡 𝑑𝑡

La ecuación característica asociada es: (0.1)𝑟 2 + 4𝑟 + 52 = 0 Con constantes: 𝑎 = 0.1

𝑏=4

𝑐 = 52

Las raíces de esta ecuación característica son: 𝑟= 𝑟=

−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 2𝑎

−4 ± √42 − 4(0.1)(52) 2(0.1)

𝑟= 𝑟=

−4 ± √16 − 20.8 0.2

−4 ± √−4.8 −4 √4.8𝑖 = ± 0.2 0.2 0.2 𝑟 = −20 ± 10.95𝑖

Según este resultado: 𝜆 = −20 y 𝜇 = 10.95 Esto quiere decir que los valores originales de 𝜆 y 𝜇, 0 y 60 respectivamente, no son raíces de la ecuación característica asociada. Por ende, el valor de 𝑠 es: 𝑠=0 Ya con este valor de 𝑠 se puede escribir completamente la solución particular de la E.D: Recordemos que: 𝑞𝑝 = 𝑡 𝑠 𝐴𝐶𝑜𝑠(60𝑡) + 𝑡 𝑠 𝐴0 𝑆𝑒𝑛(60𝑡) Entonces 𝑞𝑝 quedará: 𝑞𝑝 = 𝑡 0 𝐴𝐶𝑜𝑠(60𝑡) + 𝑡 0 𝐴0 𝑆𝑒𝑛(60𝑡) 𝑞𝑝 = (1)𝐴𝐶𝑜𝑠(60𝑡) + (1)𝐴0 𝑆𝑒𝑛(60𝑡) 𝑞𝑝 = 𝐴𝐶𝑜𝑠(60𝑡) + 𝐴0 𝑆𝑒𝑛(60𝑡) 𝐴 y 𝐴0 son constantes cualesquiera, por esto, se pueden reemplazar por cualquier parámetro que represente una polinomio de grado 0. Además, como 𝑞𝑝 es una combinación lineal el orden de los sumandos se puede alterar sin que cambie la expresión. En base a esto y cambiando 𝐴0 por 𝐴 y 𝐴 por B se llegará a: 𝒒𝒑 = 𝑨𝑺𝒆𝒏(𝟔𝟎𝒕) + 𝑩𝑪𝒐𝒔(𝟔𝟎𝒕)

Como conclusión se puede decir que la afirmación del enunciado es verdadera, mientras que la razón es una proposición falsa, ya que según el enunciado, la función 𝐸 = 200𝑆𝑒𝑛(60𝑡) se corresponde con 𝑓(𝑡) según la teoría expuesta en la misma descripción del problema, es decir, 𝑓(𝑡) = 200𝑆𝑒𝑛(60𝑡), este resultado se contradice con lo que expresa la razón que intenta explicar la afirmación en la respuesta del problema, ya que para este caso 𝑓(𝑡) = 2000𝑆𝑒𝑛(60𝑡). Esto verifica que la razón es falsa. Debido a la explicación anterior se escoge como respuesta correcta la OPCIÓN C.

Ejercicio 9 La función 𝑦(𝑥) = 𝑒 4𝑥 [𝐶1 + 𝐶2 𝑥] es la solución general de la ecuación diferencial 𝑦 ′′ − 8𝑦 ′ + 16𝑦 = 0 PORQUE las raíces de su ecuación característica asociada son reales diferentes.

Solución:

16𝑦(𝑥) − 8

𝑑 𝑑2 𝑦(𝑥) + 2 𝑦(𝑥) = 0 𝑑𝑥 𝑑𝑥

Esta ecuación se resuelve con la siguiente fórmula. 𝑦 ′′ + 𝑝 ∗ 𝑦′ + 𝑞 ∗ 𝑦 = 0 Sería 𝑝 = −8 𝑞 = 16 Ecuación diferencial homogénea lineal de segundo orden con coeficientes constantes. 𝑦 ′′ + 𝑝 ∗ 𝑦′ + 𝑞 ∗ 𝑦 = 0 Entonces resolvemos así. 𝑞 + 𝑘 2 + 𝑘𝑝 = 0 𝑘 2 − 8𝑘 + 16 = 0 Como se pudo evidenciar es una ecuación cuadrática simple La raíz de esta ecuación se calcularía así: 𝑘 2 − 8𝑘 + 16 = 0 Factorizando la anterior ecuación cuadrática se llega a: (𝑘 − 4)(𝑘 − 4) = 0 𝑘−4=0 𝑘1 = 4

ó ó

𝑘−4=0 𝑘2 = 4

𝑘1 = 4 Entonces se ve que esta raíz de la ecuación característica es única y no tiene forma compleja, la solución de la ecuación seria así. 𝑦(𝑥) = 𝑒 𝑘1 𝑥 𝐶1 + 𝑒 𝑘1 𝑥 𝐶2 𝑥

Resolviendo esto se sustituiría 𝑘1 = 4 Para tener una respuesta así. 𝑦(𝑥) = 𝐶1 𝑒 4𝑥 + 𝐶2 𝑥𝑒 4𝑥 Y el resultado final así. 𝑦(𝑥) = 𝑒 4𝑥 (𝐶1 + 𝐶2 𝑥) Por ende, las raíces de su ecuación característica asociada son reales iguales Entonces: La afirmación es una proposición VERDADERA, pero la razón es una proposición FALSA. Por ende, la respuesta correcta es la OPCIÓN C.

Ejercicio 10 𝑥

La solución de una ecuación diferencial 2𝑦 ′′ + 5𝑦 ′ + 2𝑦 = 5𝑒 2 se puede hallar mediante la ecuación característica o auxiliar PORQUE la ecuación diferencial no es homogénea con coeficientes constantes. Solución: Definiremos la ecuación mediante la siguiente fórmula. 𝑎(𝑥)𝑦 ′′ + 𝑏(𝑥)𝑦 ′ + 𝑐(𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥) 𝑦 = 𝑦ℎ + 𝑦𝑝 𝑦ℎ = 𝑎(𝑥)𝑦 ′′ + 𝑏(𝑥)𝑦 ′ + 𝑐(𝑥)𝑦 = 0

𝑥

𝑦𝑝 = 𝑒𝑠 𝑢𝑛𝑎 𝑓𝑢𝑛𝑐𝑖ó𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑚𝑖𝑠𝑚𝑜 𝑡𝑖𝑝𝑜 𝑞𝑢𝑒 𝑓(𝑥) = 5𝑒 2 Entonces hallaremos 𝑦ℎ

2𝑦 ′′ + 5𝑦 ′ + 2𝑦 = 0

Se plantean soluciones de la forma: 𝑦 = 𝑒 𝑘𝑥 Sus derivadas son: 𝑦 ′ = 𝑘𝑒 𝑘𝑥 𝑦 ′′ = 𝑘 2 𝑒 𝑘𝑥 Sustituyendo 𝑦, 𝑦 ′ , 𝑦 ′′ en la ecuación diferencial se obtiene: 2(𝑒 𝑘𝑥 )′′ + 5(𝑒 𝑘𝑥 )′ + 2𝑒 𝑘𝑥 = 0 2𝑘 2 𝑒 𝑘𝑥 + 5𝑒 𝑘𝑥 𝑘 + 2𝑒 𝑘𝑥 = 0

Se factoriza 𝑒 𝑘𝑥 (2𝑘 2 + 5𝑘 + 2) = 0 Se resuelve la ecuación característica así: 𝑘1,2 = 𝑘1 =

−𝑏 ± √𝑏 2 − 4𝑎𝑐 2𝑎

−5 + √52 − 4 . 2 . 2 2 .2

𝑘1 =

−5 + √25 − 16 4

𝑘1 =

−5 + √9 4

𝑘1 =

−5 + 3 4

𝑘1 =

−2 4

𝑘1 = −

1 2

Mientras que 𝑘2 es: 𝑘2 =

−5 − √52 − 4 . 2 . 2 2 .2

𝑘2 =

−5 − √25 − 16 4

𝑘2 =

−5 − √9 4

𝑘2 =

−5 − 3 4

𝑘2 =

−8 4

𝑘2 = −2 Entonces la solución complementaria de la ecuación diferencial sería: 1

𝑦𝑐 = 𝑐1 𝑒 −2𝑥 + 𝑐2 𝑒 −2𝑥

Ahora, para encontrar una solución particular de la EDO no homogénea: 2𝑦 ′′ + 5𝑦 ′ + 2𝑦 = 5𝑒

𝑥⁄ 2

Se utilizará el método de variación de parámetros 1

𝑦𝑝 = 𝑢1 𝑒 −2𝑥 + 𝑢2 𝑒 −2𝑥 Donde 𝑢1 𝑦 𝑢2 son dos funciones. Para encontrar los valores de estas funciones utilizamos las fórmulas: 𝑦2 𝑓(𝑥) 𝑑𝑥 𝑊 𝑦1 𝑓(𝑥) 𝑢2 = ∫ 𝑑𝑥 𝑊

𝑢1 = − ∫

Donde W es el wronskiano de las soluciones 𝑦1 𝑦 𝑦2 1

𝑦1 = 𝑒 −2𝑥 𝑦2 = 𝑒 −2𝑥 𝑥 𝑓(𝑥) = 5𝑒 ⁄2 Calculamos el wronskiano utilizando la fórmula: 𝑦1 𝑊 = |𝑦′ 1

1 − 𝑥

𝑒 2 𝑦2 | = | 1 1 𝑦′2 − 𝑒 −2𝑥 2

𝑒 −2𝑥 −2𝑒 −2𝑥

|

1 1 1 = 𝑒 −2𝑥 ∗ −2𝑒 −2𝑥 − (− 𝑒 −2𝑥 ∗ 𝑒 −2𝑥 ) 2

3 1 = − 𝑒 −2𝑥 ∗ 𝑒 −2𝑥 2 Aplicamos las leyes de los exponentes: 𝑎𝑏 ∗ 𝑎𝑐 = 𝑎𝑏+𝑐 3 1 3 1 − 𝑒 −2𝑥 ∗ 𝑒 −2𝑥 = − 𝑒 −2𝑥 − 2𝑥 2 2 3 5𝑥 𝑊 = − 𝑒− 2 2 Por lo tanto, para: 𝑥

𝑒 −2𝑥 ∗ 5𝑒 ⁄2 𝑢1 = − ∫ 𝑑𝑥 3 −5𝑥 −2𝑒 2 Aplicamos la propiedad de la integración: ∫ 𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑎 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

5 𝑒 −2𝑥 ∗ 𝑒 𝑢1 = − ( ) ∫ 5𝑥 3 −2 𝑒− 2

𝑥⁄ 2

𝑑𝑥

Aplicamos las leyes de los exponentes: 𝑎𝑏 ∗ 𝑎𝑐 = 𝑎𝑏+𝑐 3𝑥

5 𝑒− 2 𝑢1 = − ( ) ∫ 5𝑥 𝑑𝑥 3 −2 𝑒− 2 Aplicamos la leyes de los exponentes:

𝑥𝑎 𝑥𝑏

= 𝑥 𝑎−𝑏

3𝑥 5𝑥 5 𝑢1 = − ( ) ∫ 𝑒 − 2 −(− 2 ) 𝑑𝑥 3 −2 3𝑥 5𝑥 5 𝑢1 = − ( ) ∫ 𝑒 − 2 + 2 𝑑𝑥 3 −2 2𝑥 5 𝑢1 = − ( ) ∫ 𝑒 2 𝑑𝑥 3 −2

5 𝑢1 = − ( ) ∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 3 −2 Simplificamos: 𝑢1 =

10 ∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 3

Resolvemos la integral: 𝑢1 =

10 𝑥 𝑒 3

Hallamos: 1

𝑥

𝑒 −2𝑥 ∗ 5𝑒 ⁄2 𝑢2 = ∫ 𝑑𝑥 3 5𝑥 − 2 𝑒− 2 Aplicamos la propiedad de la integración: ∫ 𝑎 𝑓(𝑥)𝑑𝑥 = 𝑎 ∫ 𝑓(𝑥)𝑑𝑥

1

5 𝑒 − 2𝑥 ∗ 𝑒 𝑢2 = ( ) ∫ 5𝑥 3 −2 𝑒− 2

𝑥⁄ 2

𝑑𝑥

Aplicamos las leyes de los exponentes: 𝑎𝑏 ∗ 𝑎𝑐 = 𝑎𝑏+𝑐 1

𝑥

5 𝑒 −2𝑥+2 𝑢2 = ( ) ∫ 5𝑥 𝑑𝑥 3 −2 𝑒− 2

5 𝑒0 𝑢2 = ( ) ∫ 5𝑥 𝑑𝑥 3 −2 𝑒− 2 5 1 𝑢2 = ( ) ∫ 5𝑥 𝑑𝑥 3 −2 𝑒− 2 1

Aplicamos la leyes de los exponentes: 𝑎−𝑏 = 𝑎𝑏 5 1 𝑢2 = ( ) ∫ 𝑑𝑥 3 1 −2 5𝑥 𝑒2 Aplicamos la propiedad de la fracción:

1 𝑏 𝑐

𝑐

=𝑏

5𝑥 10 ∫ 𝑒 2 𝑑𝑥 3 5𝑥 5 2𝑑𝑥 Aplicamos la integración por sustitución siendo: 𝑢 = 2 → 𝑑𝑢 = 2 𝑑𝑥 → 𝑑𝑥 = 5

𝑢2 = −

𝑢2 = −

10 2 ∗ ∫ 𝑒 𝑢 𝑑𝑢 3 5

𝑢2 = −

20 ∫ 𝑒 𝑢 𝑑𝑢 15

4 𝑢2 = − ∫ 𝑒 𝑢 𝑑𝑢 3 4 𝑢2 = − 𝑒 𝑢 3 Sustituimos a los valores iniciales:

4 5𝑥 𝑢2 = − 𝑒 2 3 Por lo tanto, la solución particular quedaría: 𝑦𝑝 =

1 10 𝑥 4 5𝑥 𝑒 ∗ 𝑒 −2𝑥 − 𝑒 2 ∗ 𝑒 −2𝑥 3 3

Aplicamos las leyes de los exponentes: 𝑎𝑏 ∗ 𝑎𝑐 = 𝑎𝑏+𝑐 𝑦𝑝 =

10 𝑥 4 𝑥 𝑒2 − 𝑒2 3 3

Factorizamos el término común 𝑥 10 4 𝑦𝑝 = 𝑒 2 ( − ) 3 3 𝑥 6 𝑦𝑝 = 𝑒 2 ( ) 3 𝑥

𝑦𝑝 = 2𝑒 2 La solución general de la ecuación diferencial es entonces: 𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝 1

𝑥

𝑦 = 𝑐1 𝑒 −2𝑥 + 𝑐2 𝑒 −2𝑥 + 2𝑒 2 Esta solución 𝑦(𝑥) no es posible hallarla usando únicamente la teoría de ecuaciones diferenciales de orden 2 o superior con la ecuación característica, ya que, la ecuación auxiliar o característica solo ayuda a encontrar una solución homogénea. Debido a que en el enunciado de este ejercicio no se especifica qué tipo de solución se quiere hallar (homogénea o complementaria, particular, general), entonces hay que decir que la afirmación es una proposición FALSA; mientras que la razón es una proposición VERDADERA ya que se parte de una ecuación diferencial no homogénea y de coeficientes constantes. Por tanto, la respuesta correcta del problema es la OPCIÓN D.

ACTIVIDAD GRUPAL Primera Actividad Grupal:

Se plantea una situación problema y el grupo de realizar los aportes respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las características del problema que se ha planteado y

buscar el método de solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de primer orden. Problema: Una masa que pesa 2 libras hace que un resorte se estire 6 pulgadas. Cuando t=0, la masa se suelta desde un punto a 8 pulgadas abajo de la posición de equilibrio con una velocidad 4 inicial, hacia arriba, de 3pies/seg. Determine las ecuaciones que pueden representar este movimiento. Solución:

Esquema de la situación descrita Para estudiar este movimiento hay que deducir la ecuación diferencial que lo rige, para ello se realizará un análisis de fuerzas en el eje 𝑦, se obvia este análisis en el eje 𝑥 debido a que en el eje horizontal no actúa ningún tipo de fuerza. Hay que resaltar que el eje 𝑦 se toma positivo hacia abajo, como lo indica la anterior ilustración. Análisis de fuerzas en la posición A: En esta situación no existe aceleración, ya que el peso de la masa se compensa con la fuerza de restauración del resorte, esto quiere decir que hay equilibrio traslacional: ∑ 𝐹𝑦 = 0 (1)

Desglosando la ecuación (1) nos queda: ∑ 𝐹𝑦 = 0 𝑤 − 𝐹𝑟 = 0 (2) Es necesario recordar (de la física mecánica) que la fuerza restauradora de un resorte es igual a: 𝐹𝑟 = 𝐾∆𝑥

(3)

Donde: 𝐹𝑟 : Fuerza restauradora 𝐾: Constante de elasticidad del resorte, [𝐾] =

𝑙𝑏𝑓 𝑓𝑡

∆𝑥: Deformación sufrida por el resorte Reemplazando la ecuación (3) en la (2) y considerando la deformación ∆𝑥 como "𝑠" (tal como se observa en el dibujo), se obtiene: 𝑤 − 𝐹𝑟 = 0 𝑤 − 𝐾∆𝑥 = 0 𝑤 − 𝐾𝑠 = 0 𝑤 = 𝐾𝑠

(4)

Recordemos que "𝑠" es la deformación natural del resorte cuando se somete a este peso de 2 𝑙𝑏𝑓.

Análisis de fuerzas en la posición B: ∑ 𝐹𝑦 = 𝑚 ∗ 𝑎

(5)

En esta situación la suma de fuerzas es igual a la masa por la aceleración, ya que hay un cambio en el estado de movimiento inicial y se produce una velocidad que irá variando según la posición de la masa en un tiempo determinado. Desglosando la ecuación (5) se obtiene: 𝑤 − 𝐹𝑟 = 𝑚 ∗ 𝑎 En la ecuación (6) la fuerza restauradora es igual a: 𝐹𝑟 = 𝐾∆𝑥 La deformación del resorte en esta situación es igual a: ∆𝑥 = 𝑠 + 𝑥

(6)

Es decir, ∆𝑥 es la suma de la deformación natural y la deformación inducida. Entonces, la fuerza restauradora se puede escribir como: (7)

𝐹𝑟 = 𝐾(𝑠 + 𝑥) Reemplazando la ecuación (7) en (6) se llega a:

𝑤 − 𝐹𝑟 = 𝑚 ∗ 𝑎 𝑤 − 𝐾(𝑠 + 𝑥) = 𝑚 ∗ 𝑎 (8)

𝑤 − 𝐾𝑠 − 𝐾𝑥 = 𝑚 ∗ 𝑎 Utilizando el resultado (4) en la ecuación (8) se obtiene:

𝑤 − 𝐾𝑠 − 𝐾𝑥 = 𝑚 ∗ 𝑎 𝐾𝑠 − 𝐾𝑠 − 𝐾𝑥 = 𝑚 ∗ 𝑎 (9)

−𝐾𝑥 = 𝑚 ∗ 𝑎

Para continuar con este análisis es importante recordar de la cinemática clásica que: La aceleración instantánea es la primera derivada de la velocidad con respecto al tiempo, y a su vez, la velocidad instantánea es la primera derivada de la posición con respecto al tiempo. Matemáticamente, lo anterior quiere decir: 𝑎=

𝑑𝑣 𝑑 = 𝑣 𝑑𝑡 𝑑𝑡

𝑎= 𝑎=

𝑑 𝑑𝑥 ( ) 𝑑𝑡 𝑑𝑡

𝑑2 𝑥 𝑑𝑡 2

(10)

Reemplazando la ecuación (10) en la expresión (9) se llega a: −𝐾𝑥 = 𝑚 ∗ 𝑎 𝑑2𝑥 −𝐾𝑥 = 𝑚 ∗ 2 𝑑𝑡 𝑚∗

𝑑2𝑥 + 𝐾𝑥 = 0 𝑑𝑡 2

(11)

La ecuación (11) es la ecuación diferencial que modela el movimiento del resorte acoplado a la masa descrita en el enunciado. La idea es tomar la ecuación diferencial (11) y reemplazar los valores conocidos o brindados por el enunciado. Se sabe que el peso del cuerpo es de 2 𝑙𝑏𝑓, de este peso puede encontrarse el valor de la masa por medio de la siguiente expresión:

(12)

𝑤 =𝑚∗𝑔 Donde: 𝑤: Peso de la masa (𝑙𝑏𝑓), 𝑤 = 2 𝑙𝑏𝑓 𝑚: Masa del cuerpo que cuelga (𝑠𝑙𝑢𝑔) 𝑔: Gravedad en el sistema inglés, 𝑔 = 32 𝑓𝑡/𝑠 2

Despejando la variable masa (𝑚) de la ecuación (12) se llega a: 𝑚= 𝑚=

𝑚=

𝑤 𝑔

2 𝑙𝑏𝑓 𝑓𝑡 32 2 𝑠

1 𝑠𝑙𝑢𝑔 16

(13)

De forma similar se puede encontrar el valor de la constante elastica del resorte: Usando la ecuación (4) y despejando 𝐾 es posible hacer este cálculo. 𝑤 = 𝐾𝑠 𝐾= 𝐾=

𝑤 𝑠

2 𝑙𝑏𝑓 𝑠

(14)

En este punto es necesario recordar que 𝑠 se definió como la deformación natural del resorte y es igual a: 𝑠 = 6 𝑖𝑛 Este valor de la deformación natural debe ser convertido a unidades de pie o ft para que la ecuación (14) sea dimensionalmente correcta. Entonces se procede así: 𝑠 = 6 𝑖𝑛 ∗ ( 𝑠=

1 𝑓𝑡 2

1 𝑓𝑡 ) 12 𝑖𝑛 (15)

Reemplazando (15) en (14) se llega a: 𝐾=

2 𝑙𝑏𝑓 𝑠

𝐾=

2 𝑙𝑏𝑓 1 2 𝑓𝑡

𝐾=4

𝑙𝑏𝑓 𝑓𝑡

(16)

Ahora, se puede reeemplazar el valor de 𝑚 calculado en (13) y de 𝐾 calculado en (16) en la ecuación diferencial (11): 𝑑2𝑥 𝑚 ∗ 2 + 𝐾𝑥 = 0 𝑑𝑡 1 𝑑2𝑥 ∗ + 4𝑥 = 0 16 𝑑𝑡 2

(17)

Según el enunciado, en el tiempo 𝑡 = 0 𝑠 la masa se suelta desde una posición que coincide con la posición B y se hace con una velocidad de

4 𝑓𝑡 3 𝑠

hacia arriba. Matemáticamente esta

información corresponde a: NOTA: Recordar que la velocidad se define como el cambio de posición con respecto al tiempo, cuando de velocidad instantánea se refiere esta se puede escribir en términos de derivadas como: 𝑣=

𝑑𝑥 𝑑𝑡

En nuestro ejercicio, y según el sistema de referencia elegido para estudiar el movimiento, la velocidad debe ser negativa porque el vector va dirigido hacia arriba y la dirección positiva del eje 𝑦 es hacia abajo. Así las cosas, se tiene: 𝑥(0 𝑠) = 8 𝑖𝑛 𝑥(0) = 8 𝑖𝑛 ∗ ( 𝑥(0) =

𝑑𝑥 4 𝑓𝑡 (0 𝑠) = − 𝑑𝑡 3 𝑠

1 𝑓𝑡 ) 12 𝑖𝑛

2 𝑓𝑡 3

𝑥 ′ (0) = − 𝑥 ′ (0) = −

4 𝑓𝑡 3 𝑠

4 𝑓𝑡 3 𝑠

Resumiendo, entonces tenemos un problema de valor inicial con una ecuación diferencial de segundo orden y homogénea: 1 𝑑2𝑥 ∗ + 4𝑥 = 0 16 𝑑𝑡 2 𝑥(0) =

2 𝑓𝑡 3

𝑥 ′ (0) = −

4 𝑓𝑡 3 𝑠

Al resolver esta ecuación diferencial haciendo uso de los datos iniciales se llega a una expresión para la posición de la masa que depende únicamente del tiempo. A continuación se procede con su solución: 1 𝑑2𝑥 ∗ + 4𝑥 = 0 16 𝑑𝑡 2 Se definen las variables:

𝑥(𝑡): Posición de la masa en un tiempo determinado 𝑡 𝑡: Tiempo (variable independiente) Para iniciar se plantearán soluciones del tipo: 𝑥(𝑡) = 𝑒 𝑟𝑡 Esta solución se debe derivar una primera y una segunda vez para luego reemplazar estos resultados en la ecuación que se quiere resolver: 𝑥(𝑡) = 𝑒 𝑟𝑡 𝑥 ′ (𝑡) = 𝑟𝑒 𝑟𝑡 𝑥 ′′ (𝑡) = 𝑟 2 𝑒 𝑟𝑡 En este punto hay que tener presenta las siguientes aclaraciones: 𝑥 ′ (𝑡) =

𝑑𝑥 𝑑𝑡

y

𝑥 ′′ (𝑡) =

𝑑2 𝑥 𝑑𝑡 2

Reemplazando 𝑥(𝑡), 𝑥 ′ (𝑡) y 𝑥 ′′ (𝑡) en la EDO de segundo orden se obtiene: 1 ∗ 𝑥 ′′ (𝑡) + 4𝑥(𝑡) = 0 16 1 ∗ 𝑟 2 𝑒 𝑟𝑡 + 4𝑒 𝑟𝑡 = 0 16 1 𝑒 𝑟𝑡 ( 𝑟 2 + 4) = 0 16 En la anterior igualdad, la exponencial nunca se anula, es decir, nunca adquiere el valor de 0, esto quiere decir que necesariamente se cumple que: 1 2 𝑟 + 4 = 0: 𝐸𝑐𝑢𝑎𝑐𝑖ó𝑛 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑎, 𝑝𝑜𝑙𝑖𝑛𝑜𝑚𝑖𝑜 𝑐𝑎𝑟𝑎𝑐𝑡𝑒𝑟í𝑠𝑡𝑖𝑐𝑜 16 Solucionando esta igualdad se encontrarán los valores de 𝑟 que anulan este polinomio y que corresponden a las raíces de la ecuación característica asociada a la EDO. Entonces, se tiene: 1 2 𝑟 +4=0 16 1 2 𝑟 = −4 16 𝑟 2 = −4 ∗ 16 𝑟 2 = −64 𝑟 = ±√−64 𝑟 = ±√64(−1) 𝑟 = ±8𝑖

Debido a que las raíces de la ecuación característica son números complejos de la forma: 𝑟 = 𝜆 ± 𝜇𝑖, los valores encontrados se pueden escribir de la siguiente forma: 𝑟 = 0 ± 8𝑖 Entonces las soluciones de la ecuación diferencial serán 𝑥1 (𝑡) = 𝑒 𝜆𝑡 𝐶𝑜𝑠(𝜇𝑡)

𝑥2 (𝑡) = 𝑒 𝜆𝑡 𝑆𝑒𝑛(𝜇𝑡)

Partiendo de que nuestra raíces son: 𝑟1 = 0 + 8𝑖

𝑟2 = 0 − 8𝑖

Entonces, nuestras soluciones serán: 𝑥1 (𝑡) = 𝑒 0𝑡 𝐶𝑜𝑠(8𝑡)

𝑥2 (𝑡) = 𝑒 0𝑡 𝑆𝑒𝑛(8𝑡)

𝑦

𝑥1 (𝑡) = (1)𝐶𝑜𝑠(8𝑡)

𝑥2 (𝑡) = (1)𝑆𝑒𝑛(8𝑡)

𝑦

𝑥1 (𝑡) = 𝐶𝑜𝑠(8𝑡)

𝑥2 (𝑡) = 𝑆𝑒𝑛(8𝑡)

𝑦

La solución general de la ecuación diferencial puede entonces plantearse como: 𝑥(𝑡) = 𝑐1 𝑥1 (𝑡) + 𝑐2 𝑥2 (𝑡) (18)

𝑥(𝑡) = 𝑐1 𝐶𝑜𝑠(8𝑡) + 𝑐2 𝑆𝑒𝑛(8𝑡)

La expresión (18) es la solución de la EDO de segundo orden. Para encontrar los valores de las constantes 𝑐1 y 𝑐2 se utilzarán las condiciones iniciales del problema de valor inicial: 𝑥(𝑡) = 𝑐1 𝐶𝑜𝑠(8𝑡) + 𝑐2 𝑆𝑒𝑛(8𝑡) 𝑥(0) =

2 𝑓𝑡 3

𝑥 ′ (0) = −

4 𝑓𝑡 3 𝑠

Para calcular 𝑐1, se hace el análisis en 𝑡 = 0 𝑠, se tiene: 𝑥(𝑡) = 𝑐1 𝐶𝑜𝑠(8𝑡) + 𝑐2 𝑆𝑒𝑛(8𝑡) 𝑥(0) = 𝑐1 𝐶𝑜𝑠(8(0)) + 𝑐2 𝑆𝑒𝑛(8(0)) = 𝑐1 𝐶𝑜𝑠(0) + 𝑐2 𝑆𝑒𝑛(0) = 𝑐1 (1) + 𝑐2 (0) = 𝑐1 + 0 = 𝑐1 =

2 3

2 3

2 3

2 3

2 3

(19)

Para calcular la constante 𝑐2 se debe derivar la expresión (18) con respecto al tiempo y luego 4 𝑓𝑡 utilizar el dato de condición inicial 𝑥 ′ (0) = − . 3 𝑠

Derivando (18) se obtiene:

𝑥(𝑡) = 𝑐1 𝐶𝑜𝑠(8𝑡) + 𝑐2 𝑆𝑒𝑛(8𝑡) 𝑑𝑥 ′ ′ = (𝑐1 𝐶𝑜𝑠(8𝑡)) + (𝑐2 𝑆𝑒𝑛(8𝑡)) 𝑑𝑡 𝑑𝑥 = −8𝑐1 𝑆𝑒𝑛(8𝑡) + 8𝑐2 𝐶𝑜𝑠(8𝑡) 𝑑𝑡

(20)

Sustituyendo (19) en (20) se llega a: 𝑑𝑥 16 = − 𝑆𝑒𝑛(8𝑡) + 8𝑐2 𝐶𝑜𝑠(8𝑡) 𝑑𝑡 3

(21)

Aplicando la condición inicial a la ecuación (21) llegamos a: 𝑑𝑥 16 = − 𝑆𝑒𝑛(8𝑡) + 8𝑐2 𝐶𝑜𝑠(8𝑡) 𝑑𝑡 3 𝑑𝑥 16 4 = − 𝑆𝑒𝑛(8(0)) + 8𝑐2 𝐶𝑜𝑠(8(0)) = − 𝑑𝑡 3 3 −

16 4 𝑆𝑒𝑛(8(0)) + 8𝑐2 𝐶𝑜𝑠(8(0)) = − 3 3 −

16 4 𝑆𝑒𝑛(0) + 8𝑐2 𝐶𝑜𝑠(0) = − 3 3 −

16 4 (0) + 8𝑐2 (1) = − 3 3 0 + 8𝑐2 = −

4 3

4 𝑐2 = − 3 8 𝑐2 = −

4 1 =− 24 6

(22)

Finalmente, sustituyendo (19) y (22) en (18) obtenemos: 𝑥(𝑡) = 𝑐1 𝐶𝑜𝑠(8𝑡) + 𝑐2 𝑆𝑒𝑛(8𝑡) 𝒙(𝒕) =

𝟐 𝟏 𝑪𝒐𝒔(𝟖𝒕) − 𝑺𝒆𝒏(𝟖𝒕) 𝟑 𝟔

La posición de la masa en cualquier tiempo 𝒕 puede determinarse haciendo uso de la expresión: 𝒙(𝒕) =

𝟐 𝟏 𝑪𝒐𝒔(𝟖𝒕) − 𝑺𝒆𝒏(𝟖𝒕) 𝟑 𝟔

Segunda actividad Grupal:

Se presenta un problema junto con su solución, de forma colaborativa deben evaluar y analizar toda la solución a la situación plantea, si consideran que todo el proceso y respuesta se encuentra de manera correcta, deben realizar aportes en cuanto a procedimiento faltante y fórmulas utilizadas, resaltando en otro color los aportes extras a la solución. Si el grupo considera que el proceso y/o respuesta se encuentra incorrecto, deben realizar la observación y corrección al error o errores encontrados resaltando en otro color la corrección y aportes extras a la solución. Situación y solución planteada:

Situación y solución planteada: Muchos sistemas físicos (Péndulo Simple, Sistema masa-resorte amortiguado, Sistema masaresorte no amortiguado, Sistema masa-resorte movimiento forzado, circuitos, etc.) se describen mediante ecuaciones diferenciales de segundo orden.

La ecuación del movimiento de un péndulo con longitud 1 𝑚 es 0 , 𝜃 = 0,2 𝑟𝑎𝑑 y la velocidad angular inicial

𝑑𝜃 𝑑𝑡

=1

𝑟𝑎𝑑 𝑠

𝑑2 𝜃 𝑑𝑡 2

+ 10𝜃 = 0 : Si para 𝑡 =

, Determine 𝜃 en función de t para

el movimiento.

SOLUCIÓN

Si para 𝑡 = 0 , 𝜃 = 0,2 𝑟𝑎𝑑 y la velocidad angular inicial corresponde a:

1. Se parte de la ecuación: 𝑑2𝜃 + 10𝜃 = 0 𝑑𝑡 2

𝑑𝜃 𝑑𝑡

=1

𝑟𝑎𝑑 𝑠

, 𝜃 en función de t

2. Para simplificar la ecuación se resuelve la ecuación auxiliar: 𝑚2 + 10 = 0

3. Solucionando por fórmula cuadrática se obtienen las siguientes soluciones: 𝑚1 = √10𝑖 𝑚2 = −√10𝑖 4. Cuando las raíces son complejas, una función complementaria es: 𝑥(𝑡) = 𝐶1 𝑒 √10𝑖𝑡 + 𝐶2 𝑒 −√10𝑖𝑡 5. Como es importante trabajar con funciones reales en lugar de exponenciales complejas. Se usa la fórmula de Euler y se obtiene: 𝑥(𝑡) = 𝐴 sen √10𝑡 + 𝐵 sin √10𝑡 6. Para 𝑡 = 0, 𝜃 = 0,2

(1)

0,2 = 𝐴 cos √10(0) + 𝐵 sin √10(0) 𝐴 = 0,2 7. Entonces: 𝜃(𝑡) = 0,2 cos √10𝑡 + 𝐵 sin √10 𝑡 𝐴 = 0,4

(2)

𝜃(𝑡) = 0,4 cos √10𝑡 + 𝐵 sin √10 𝑡

(3)

8. Entonces:

9. Para 𝑡 = 0,

𝑑𝜃 𝑑𝑡

=1

𝑟𝑎𝑑 𝑠

𝑑𝜃 = −0,2√10 sin √10𝑡 + √10𝐵 cos √10𝑡 𝑑𝑡 1 = −0,2√10 sin 4(0) − √10𝐵 cos 4(0)

(4)

1 = √10𝐵

𝐵=

1 √10

10. Reemplazando los valores de A y B la función 𝑥 de 𝑡 corresponde a:

𝜃(𝑡) = 0,2 cos √10𝑡 +

1 √10

sin √10𝑡

 La ecuación (1) esta incorrecta porque sus términos trigonométricos dependen solo de seno. La 𝑥(𝑡) = 𝑐1 cos(√10𝑡) + 𝑐2𝑠𝑒𝑛(√10𝑡)  La ecuación (2) esta incorrecta porque el resultado de A es 0,2  La ecuación (3) quedo mal planteada por el resultado incorrecto de A en el anterior punto 𝜃(𝑡) = 0,2 cos √10𝑡 + 𝐵 sin √10 𝑡

 Corrección de la ecuación (4) 1 = −0,2√10 sin √10(0) + √10𝐵 cos √10(0)

CONCLUSIONES 

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Es totalmente importante aprender sobre el modelamiento y solución de ecuaciones diferenciales de orden 2 o superior, ya que estas ayudan a entender muchos problemas prácticos de la física e ingeniería. Antes de entrar a estudiar estas ecuaciones diferenciales hay que tener muy presente los conocimientos previos adquiridos en cursos de cálculo y física, ya que estos son prerrequisitos para aprovechar mejor la temática de esta Unidad 2. Temas como: Factorización, derivación, integración, leyes del movimiento de newton, cinemática y dinámica clásica, entre otros. La solución general de una ecuación diferencial de orden 2, sea homogénea o no homogénea, queda expresada en términos de la variable independiente (𝑥 o 𝑡) y en función de los constantes 𝐴, 𝐵 o 𝑐1 , 𝑐2 producto de la combinación lineal de las dos soluciones linealmente independientes. Para encontrar el valor de estas constantes es necesario contar con unas condiciones iniciales brindadas por el problema a resolver. Generalmente el número de condiciones iniciales debe ser igual al orden de la ecuación diferencial para poder escribir su solución completamente en términos de 𝑥 o 𝑡. La solución complementaria de una ED no homogénea corresponde a la solución general de la misma ED homogénea; mientras que la solución general de una ED no homogénea es la suma de la complementaria más una solución particular.

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