100412_4 Aporte Trabajo Colaborativo.docx

Ecuaciones Diferenciales

Derney Ortiz Rodríguez CC 80180608

Grupo 100412_4

Tutor: Andres Orlando Páez

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Ingeniería Electrónica Octubre 2017

INTRODUCCIÓN

Preguntas Pre Saber ECUACIONES CON VARIABLES SEPARABLES Las ecuaciones diferenciales de la forma:

𝑑𝑦 𝑑𝑥

= 𝑔(𝑥)ℎ(𝑦), se pueden resolver a través

de la técnica llamada separación de variables que consiste en separar las variables a ambos lados de la igualdad, de tal manera que aun lado se exprese como una función que dependa solamente de x y al otro lado sólo de y, para luego integrar cada miembro respecto de la variable correspondiente, es decir: 1 ∫ 𝑑𝑦 = ∫ 𝑔(𝑥)𝑑𝑥 ℎ(𝑦)

3. De acuerdo a la información, la solución general de la ecuación diferencial (𝑥 2 − 2)

𝑑𝑦 𝑑𝑥

− 𝑥𝑦 = 0 se puede indicar como

2 A. y  C x  2

2 B. y  C x  2

C. y  ln 2x  2  lnC 2 D. y  lnC x  2

6. Al resolver la ecuación diferencial (𝑦 + 𝑥 + general viene dada como:

A. 𝑦 = 𝑥𝑠𝑒𝑛(𝑙𝑛|𝑥| + 𝑐) 𝑥

B. 𝑦 = 𝑒 𝑦 + 𝑐 𝑦

C. 𝑦 = tan⁡(𝑥𝑙𝑛𝑥 + 𝑒 𝑥 + 𝑐) D. 𝑦 = 𝑥𝑡𝑎𝑛(𝑙𝑛|𝑥| + 𝑐)

𝑦2 𝑥

) 𝑑𝑥 − 𝑥𝑑𝑦 = 0 ,

la solución

ÍTEMS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON MÚLTIPLE RESPUESTA Este tipo de preguntas consta de un enunciado, problema o contexto a partir del cual se plantean cuatro opciones numeradas de 1 a 4, usted deberá seleccionar la combinación de dos opciones que responda adecuadamente a la pregunta y marcarla en la hoja de respuesta, de acuerdo con la siguiente información: E. Marque A si 1 y 2 son correctas. F. Marque B si 1 y 3 son correctas. G. Marque C si 2 y 4 son correctas. H. Marque D si 3 y 4 son correctas.

7. Es posible encontrar ecuaciones diferenciales de primer orden que se pueden resolver a través de la técnica llamada variables separables y se ( x )dx  N( y )dy  0 , en donde todos los términos en x se expresan de la forma M pueden asociar con dx y todos los términos en y con dy, cuyo despeje se puede expresar como: ∫ 𝑀(𝑥)𝑑𝑥 = ⁡ − ∫ 𝑁(𝑦)𝑑𝑦⁡ + 𝐶

Tomando como referencia la información, el problema de valor inicial (𝑥 2 + 16) 𝑥𝑦 = 0,⁡⁡⁡𝑐𝑜𝑛⁡⁡⁡𝑦(0) = 1,⁡⁡ tiene respectivamente a: 1. 𝑦 =

solución

general

y

solución

𝐶 √𝑥 2 +16 𝐶

2. 𝑦 = 𝑥 2 +16 3. 𝑦 =

como

4 √𝑥 2 +16 4

4. 𝑦 = 𝑥 2 +16

Respuesta “B”

𝑑𝑦 𝑑𝑥

+

particular,

( x, y )dx  N( x, y )dy  0 , es exacta 8. Una ecuación diferencial de la forma M cuando:

M N , es decir, sus derivadas parciales son iguales.  y x

De las siguientes ecuaciones diferenciales, cuáles de ellas “No” son exactas: 1. ( 2y 2 xdx  1) ( 4xy 2  1)dy  0

Respuesta “A”

2. ( xy 2  y )dx ( x 2 y  x )dy  0 3. ( 4y 2 x 3  2y )dx ( 2x 4 y  2x )dy  0 4. ( 3x 2 y 2  y )dx ( 2x 3 y  x )dy  0 ( x, y )dx  N ( x, y )dy  0 que no es exacta, 9. Una ecuación diferencial de la forma M

es decir,

M N , se puede convertir en una ecuación exacta multiplicándola  y x

por un factor apropiado ( x, y ) , llamado factor integrante, el cual se calcula si está en función de y a través de la fórmula: ( y )  e



Nx My M

dy

.

El factor integrante y la solución general de la ecuación diferencial 3xydx  3x 2 dy  0 , viene dado por: A. ( y ) 

1 y3

B. ( y )  y 3 C. y  cx D. y  c x

Un depósito contiene 500 lt de líquido en el que se disuelven 20 gr de sal: Una salmuera que contiene 5 gr/lt se bombea al depósito con una intensidad de 8 lt/min, la solución adecuadamente mezclada se bombea hacia fuera con una intensidad de 10 lt/min. Encuentre el número de gramos de sal y la concentración de sal, que hay en el depósito en un instante cualquiera. Solución: El volumen inicial es 𝑉𝑜 = 500⁡𝑙𝑡 y la cantidad inicial del depósito Xo=2 gr Concentración salmuera 𝐶1 = 5𝑔𝑟/𝑙𝑡 Se bombea a una razón 𝑄1 = 8𝑙𝑡/𝑚𝑖𝑛 Se extrae del depósito a una razón 𝑄2 = 10𝑙𝑡/𝑚𝑖𝑛 V=500L Ecuación planteada 2 𝑄1 − 𝑄⁡𝑡 ? 𝑉0 +? 𝑑𝑥 𝑄2 + 𝑑𝑡 ? Sustituyendo 𝑑𝑥 10 + ⁡𝑥 = 40 𝑑𝑡 500 + (8 − 10)𝑡 Simplificamos 𝑑𝑥 𝑑𝑡

+

5 250−𝑡

x=40 𝑑𝑥

Despejamos 𝑑𝑡

𝑑𝑥 5 = 40 − 𝑋 𝑑𝑡 250 − 𝑡

dx= cantidad x de sal

𝑑𝑥 = (18 − 𝑑𝑥 = +

5 𝑋) 𝑑𝑡 250 − 𝑡

5 𝑋⁡𝑑𝑡 = 40𝑑𝑡 250 − 𝑡

Ecuación Lineal diferencial 5

F(t)=250−𝑡 𝑋, 𝐺(𝑡) = 40 Determinar factor integrante 5

𝜇 = ∫ 𝐹(𝑡)𝑑𝑡 = 𝜇 = ∫ 250−𝑡dt=𝑒 −5𝑖𝑛|250−𝑡| = (250 − 𝑡)−5 (250-t)−5 𝑑𝑥 + 5(250 − 𝑡)−6 𝑥𝑑𝑡 = 40(250 − 𝑡)−5 𝑑𝑡 (250-t)−5 𝑑𝑥 + 5(250 − 𝑡)−6 𝑥𝑑𝑡 = 𝑑𝑙(250 − 𝑡)−5 𝑥𝑙 dl(250-t)−5 𝑥𝑙 = 40⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡⁡(250 − t)−5 ⁡𝑑𝑡⁡ ∫ 𝑑𝑙 (250 − t)−5 ⁡𝑥𝑙 =

(250 − 𝑡)−4 + 𝐾1 4

∫ 𝑑𝑙 (250 − t)−5 ⁡𝑥𝑙 =

(250 − 𝑡)−4 + 𝐾2 4

Sustituimos (250-t)−5 𝑋 = 8⁡(250 − 𝑡)−4 + 𝐾 Despejamos K X(0)=20 𝐾 = (250)−5 20 = 8(250)−4 = (250)−5 (20 − 8(250)) = (250)−5 (20 − 2000) 𝐾 = (250)−5 ⁡1980 El valor de K los sustituimos en la ecuación. = (250 − 𝑡)−5 𝑋 = 8(250)−4 − (250)−5 ⁡1980 (250−𝑡)−5 250

X(t)=8(250-t)-1980

Cantidad de Sal en el depósito en cualquier momento de t

Concentración de Sal V(t)=𝑉0 + (𝑄1 − ⁡ 𝑄2 )𝑇 = 500 − 2𝑇 = 2(250 − 𝑡)

(250−𝑡)−5 ⁡ 250

8(250−𝑇)−1980

C(t)=

2(250−𝑡)

(250−𝑡)4 (250)5

C(t)=5-740

= 5 − 740

(250−𝑡)4 (250)5

Variación concentración de sal en cualquier momento es C (t)