100412_4 Aporte Trabajo Colaborativo 3.docx

Ecuaciones Diferenciales Series y funciones especiales

Derney Ortiz Rodríguez CC 80180608

Grupo 100412_4

Tutor: Andres Orlando Páez

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD Ingeniería Electrónica Noviembre 2017

Introducción

En el desarrollo de este trabajo colaborativo # 3 vemos la importancia de fundamentar el conocimiento en el estudio de series y funciones especiales, solucionando ecuaciones mediante series de potencias y funciones especiales se plantean problemas y se busca la solución más apropiada según los temas revisados, se utilizó el método de Taylor el cual fue de gran ayuda. Objetivos   

Reconocer y ampliar los conocimientos básicos de la unidad 3 Reconocer y aplicar funciones y series especiales Reconocer la diferencia en la aplicación de las series de potencias en ecuaciones diferenciales. Actividad Individual

  

Cada estudiante debe escoger dos ejercicios y explicar su solución Grupalmente se deben realizar los dos ejercicios planteados. Se debe entregar trabajo según aportes realizados en de foro colaborativo.

Actividad Individual solución de Ejercicios 6. Teniendo en cuenta las siguientes definiciones en cada caso, escoge la respuesta correcta: Un punto ordinario de una ecuación diferencial de la forma 𝑦´´ + 𝑓(𝑥)𝑦´ + 𝑔(𝑥)𝑦 = 0 es aquel punto 𝑥0 en el cual ambas funciones 𝑓(𝑥) 𝑦 𝑔(𝑥) son analíticas; es decir, pueden representarse en series de potencias de (𝑥 − 𝑥0 ) con radio de convergencia 𝑅 > 0. Mientras que un punto singular no tiene representación en series de potencias (𝑥 − 𝑥0 ). 2

De la siguiente ecuación 𝑥𝑦´´ + 𝑒 𝑥 𝑦´ + 𝑥𝑦 = 0se puede afirmar que: a. 𝑥 = 0 ordinario, así como el resto de los reales b. 𝑥 = 0 irregular, 𝑥 ≠ 0 ordinarios c. 𝑥 = 0 ordinario y 𝑥 > 0 ordinarios

d. 𝑥 = 0 singular regular 𝑥 ≠ 0 ordinarios 2

Ya que 𝑒 𝑥 tiene representaciones en serie de potencias como ∑∞ 𝑛−0

𝑥 2𝑛 𝑛!

7. La solución general de la ecuación 𝑦´´(𝑥) + 𝑦(𝑥) = 0 mediante series de potencia es: 1. 𝑎0 cos 𝑥 + 𝑎1 sen 𝑥 1

1

2. (1 − 2! 𝑥 2 + 4! 𝑥 4 − ⋯ ) + 𝑎1 (𝑥 − 3. 𝑥 + 𝑎1 cos 𝑥 + 𝑎2 sen 𝑥 1

𝑥3 3!

+

𝑥5 5!

1

−⋯)

4. 𝑎0 + 𝑎1 (1 + 2! 𝑥 2 − 4! 𝑥 4 + ⋯ ) + 𝑎2 (𝑥 + Solución: 𝑑2 (𝑦) + 𝑦 = 0 ∶ 𝑌 = 𝑐0 cos(𝑥) + 𝑐1 𝑠𝑒𝑛(𝑥) 𝑑𝑥 2 𝑑2 (𝑦) + 𝑦 = 0 𝑑𝑥 2 EDO homogénea segundo orden 𝑎𝑦 ´´ + 𝑏𝑦 ´ + 𝑐𝑦 = 0 𝑑2 ((𝑒 𝛾𝑥 )) + 𝑒 𝛾𝑥 = 0 𝑑𝑥 2 Simplificamos 𝑑2 𝑑𝑥 2

((𝑒 𝛾𝑥 )) + 𝑒 𝛾𝑥 = 0 : 𝑒 𝛾𝑥 (𝛾 2 + 1) = 0

𝑑2 ((𝑒 𝛾𝑥 )) + 𝑒 𝛾𝑥 = 0 𝑑𝑥 2 𝑑2 𝑑𝑥 2

((𝑒 𝛾𝑥 )) + 𝑒 𝛾𝑥 = 0 : 𝛾 2 𝑒 𝛾𝑥 + 𝑒 𝛾𝑥 = 0

𝑑2 ((𝑒 𝛾𝑥 )) = 𝛾 2 𝑒 𝑦𝑥 𝑑𝑥 2 𝑑2 ((𝑒 𝛾𝑥 )) 𝑑𝑥 2

𝑥3 3!

+

𝑥5 5!

+⋯)

𝑑2 ((𝑒 𝛾𝑥 ) = 𝑒 𝛾𝑥 𝛾 𝑑𝑥 2 𝑑

=𝑑𝑥 (𝑒 𝛾𝑥 𝛾) 𝑑 𝑑𝑥

(𝑒 𝛾𝑥 𝛾)=𝛾 2 𝑒 𝛾𝑥

=𝛾 2 𝑒 𝛾𝑥 𝛾 2 𝑒 𝛾𝑥 + 𝑒 𝛾𝑥 = 0 Factorizamos 𝑒 𝛾𝑥 (𝛾 2 + 1) = 0 𝑒 𝛾𝑥 (𝛾 2 + 1) = 0 : 𝛾 = 𝑖, 𝛾 = −𝑖 Raíces complejas de forma 𝛾 = 𝑒 𝑎𝑡 (𝑐0 cos(𝛽𝑡) + 𝑐1 𝑠𝑒𝑛 (𝛽𝑡) 𝛾=𝑒

0(𝑐0 cos(𝑥)+𝑐 𝑠𝑒𝑛(𝑥))

𝛾 = 𝑐0 cos(𝑥)+ 𝑐1 𝑆𝑒𝑛(𝑥) Problema Grupal # 1 Al calentar un resorte, su “constante” decrece. Suponga que el resorte se calienta de modo que la “constante” en el instante 𝑡 es 𝑘(𝑡) = 6 − 𝑡 𝑁/𝑚 (véase la figura). Si el sistema masa-resorte sin forzamiento tiene masa 𝑚 = 2𝑘𝑔 y una constante de amortiguamiento 𝑏 = 1𝑁𝑠/𝑚 con condiciones iniciales 𝑥(0) = 3𝑚 y 𝑥´(0) = 0, entonces el desplazamiento 𝑥(𝑡) queda descrito mediante el problema de valores iniciales

2𝑥´´(𝑡) + 𝑥´(𝑡) + (6 − 𝑡)𝑥(𝑡) = 0

𝑥(0) = 3

𝑥´(0) = 0

Determine los primeros cuatro términos no nulos en un desarrollo en series de potencias en torno de 𝑡 = 0 para el desplazamiento. 𝑥(𝑡): 𝑃𝑜𝑠𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑥 ′ (𝑡): 𝑉𝑒𝑙𝑜𝑐𝑖𝑑𝑎𝑑 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟𝑡𝑒 𝑥 ´´ (𝑡): 𝐴𝑐𝑒𝑙𝑒𝑟𝑎𝑐𝑖𝑜𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑟𝑒𝑠𝑜𝑟𝑡𝑒 Ecuación diferencial de forma 𝑚𝑥 ´´ +b𝑥 ´ + 𝑘𝑥 = 0 2𝑥 ´´ +𝑥 ´ + (6 − 𝑡)𝑥 = 0 Reemplazamos los valores 2𝑥 ´´ +(0) + (6 − 3)(3) = 0 2𝑥 ´´ +18 = 0 Se obtiene 𝑥 ´´ (0) = −9

Derivamos respecto a t la ecuación diferencial 2𝑥 ´´´ + 𝑥 ´´ + (−1)(𝑥) + (6 − 𝑡)(𝑥 ´ ) = 0 2𝑥 ´´´ + 𝑥 ´´ − 𝑥 + (6 − 𝑡)𝑥 ´ = 0 Reemplazamos los valores en la expresión anterior 2𝑥 ´´´ − 9 − 3 + (6 − 0)(0)´ = 0 2𝑥 ´´´ − 12 = 0 Se obtiene que 𝑥 ′′′ (0) = 6 Derivamos respecto a t 2𝑥 (4) +𝑥 (3) + (6 − 0)(−9) = 0 2𝑥 (4) +6 − 54 = 0 2𝑥 (4) -48=0 Se obtiene que 𝑥 (4) (0) =24

Usamos la serie de Taylor para aproximar un polinomio de 4 términos 𝑃𝑛 (t)=∑𝑛𝑗=0

𝑓 (𝑗) (𝑡0 ) 𝑗!

(𝑡 − 𝑡0 )𝑗

𝑡=0

𝑷𝒏 (𝒕) =

𝒇(𝟎) (𝒕𝟎 ) 𝟑

𝟎!

(𝒕 − 𝒕𝟎 )𝟎 + 𝟎

𝒇′ (𝒕𝒐 )

𝒇′′ (𝒕𝒐 )

𝒇′′′ (𝒕𝒐 )

𝟏!

𝟐! 𝟐 𝟏𝟐 𝒕𝟎 ) + (𝒕 𝟏𝟐

𝟑! 𝟐𝟒

(𝒕 − 𝒕𝟎 )𝟏 +

𝑷𝒏 (𝒕) = (𝒕 − 𝒕𝟎 )𝟎 + (𝒕 − 𝒕𝟎 )𝟏 + 𝟏

𝟏

−𝟗 𝟐

(𝒕 −

(𝒕 − 𝒕𝟎 )𝟐 +

− 𝒕𝟎 ) 𝟑 +

(𝒕 − 𝒕𝟎 )𝟑 +

𝒇′′′′ (𝒕𝒐 ) 𝟒!

(𝒕 − 𝒕𝟎 )𝟒

(𝒕 − 𝒕𝟎 )𝟒

𝟐𝟒

𝟗 𝑷𝒏 (𝒕) = 𝟑 − 𝒕𝟐 + 𝒕𝟑 + 𝒕𝟒 + ⋯ 𝟐

Conclusiones

Bibliografía

García, A. (2014). Ecuaciones diferenciales. Larousse - Grupo Editorial Patria. (pp. 113-154). Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/reader.action?docID=11017467 Mesa, F. (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias: una introducción. Colombia: Ecoe Ediciones. (pp. 193-217). Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=10584022 Alvarado, E. (2014). Solución de ecuaciones diferenciales por el método de Series de potencia. Unad. [Videos]. Disponible en: http://hdl.handle.net/10596/7213

OVA – Unidad III - Funciones especiales y series matemáticas- Convergencia y divergencia de series. En estos recursos digitales se brinda información a los estudiantes del contenido temático de la Unidad 3- Funciones especiales y series matemáticas- Convergencia

y divergencia de series con el objetivo de facilitar el reconocimiento de algunos elementos que se deben tener en cuenta para el cumplimiento de los objetivos cognitivos de la unidad. CK-12, (2015). Convergence and Divergence of Sequences. [OVA]. Disponible en: http://www.ck12.org/calculus/Convergence-and-Divergence-of-Sequences/ CK-12, (2015). Absolute and Conditional Convergence. [OVA]. Disponible en: http://www.ck12.org/calculus/Absolute-and-Conditional-Convergence/ CK-12, (2015). Power Series and Convergence. [OVA]. Disponible en: http://www.ck12.org/calculus/Power-Series-and-Convergence/