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UNIDAD 2: FASE 3 – D ISEÑO Y CONSTRUCCIÓN

Miller Lady Rincón, Cód.: 1112222022 Jhony Alexander Nieto, Cód.: 6394385 Fanory Mestizo, Cód.: 29505400 Stephania González, Cód.: 1116258406 Heidi Viviana Díaz Chaves, Cód.: 1114888026

Grupo: 157

Presentado a: Tutor Luis Javier del Valle

Universidad Nacional Abierta y a Distancia (UNAD) Escuela de Ciencias Básicas, Tecnología e Ingeniería ECBTI Ingeniería de Alimentos Octubre 2018

INTRODUCCIÓN La importancia de este trabajo distribuido en dos actividades individuales, nos permite aplicar los conceptos de los componentes expuesto en la segunda unidad, deferir el proceso de desarrollo creando soluciones a los ejercicios expuestos, mediante el aprendizaje mostrado por diferentes compañeros de forma grupal. Estas transcendencias juegan una relación fundamental en varias métodos, incluyendo la economía, la ingeniería y la física.

Este trabajo se fundamenta en la práctica de las temáticas tratadas en la Unidad 2Ecuaciones diferenciales de orden superior y en revisión del contenido propuesto en el entorno de conocimiento y obtener sus aplicaciones mediante ejercicios en búsqueda de la metodología apropiada de calcular y comprender las soluciones particulares a lo planteado. Con la finalidad de interpretar los factores asociados a los operadores diferenciales y sus propiedades. Dado que, una ecuación diferencial ordinaria de orden superior es una expresión que relaciona una variable dependiente: y y sus derivadas de cualquier orden con respecto a una variable independiente x, así: f(x,y(x),Dy(x),D^2 y(x),…….,D^n y(x))=r(x) En donde Dy(x),D^2 y(x),…….,D^n y(x) son las derivadas de orden 1,2…,n de la función y(x). Por analogía con las ecuaciones diferenciales de primer orden, una solución general de la ecuación diferencial es una familia de curvas del plano que contiene n constantes arbitrarias, así: F(x,y,c1,c2……c_n). En el siguiente trabajo queda consignada la solución de 10 ejercicios, proporcionados por la guía del curso, para su solución usamos parte de la bibliografía proporcionada por la universidad y nuestros conocimientos básicos en calculo. Complementamos con lo repasado de la unidad 2 (Ecuaciones diferenciales de orden superior).

OBJETIVOS

General 

El estudiante aplicara los conceptos fundamentales de las ecuaciones diferenciales de Primer orden, superior y lineales para resolver problemas que se presentan en la vida habitual, además conocer y comprender las ecuaciones (homogénea y no homogénea) de orden superior para ser aplicadas en la vida cotidiana para dar soluciones a problemáticas. Específicos

 

Conocer y aplicar los métodos de solución de ecuaciones diferencial de orden superior Consultar las referencias bibliográficas para solucionar las preguntas de tipo SABER PRO.



Planear escoger y resolver los ejercicios en participación con el grupo.



Observar los problemas grupales y brindar la solución y correcciones correspondientes.

TABLA 1: PLAN DE TRABAJO – GRUPO 157 Datos Estudiante Jhony Alexander Nieto Madrid Miller Lady Rincón Stephania Gonzalez Fanory Mestizo Heidi Viviana Díaz

Rol dentro del Trabajo Colaborativo

Preguntas seleccionadas a desarrollar actividad individual

Preguntas seleccionadas para revisar o realimentar 1y3

Evaluador

2y4

Alertas

5y6

7y8

Entregas

1y9

2y6

Compilador

7 y 10

4y9

Revisor

3y8

5 y 10

Ejercicio 1 Una ecuación diferencial de segundo orden es de la forma 𝑦´´ + 𝑎1(𝑥)𝑦´ + 𝑎2(𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥) y para que ésta sea una ecuación homogénea con coeficientes constantes se deben hacer dos suposiciones: 1. Los coeficientes son constantes. 2. 𝑔(𝑥) = 0. Una ecuación homogénea tiene dos soluciones independientes y se pueden presentar tres tipos: Caso 1: Soluciones reales y distintas; Caso 2: Soluciones iguales y reales y Caso 3: Soluciones complejas y conjugadas. Teniendo en cuenta lo anterior las soluciones de la ecuación diferencial 𝑦´´ − 2𝑦´ + 3𝑦 = 0 son: a. Soluciones complejas y conjugadas cuya solución da 𝑦 = 𝑒𝑥 (𝐶1 𝑐𝑜𝑠 √3 𝑥 + 𝐶2 𝑠𝑖𝑛 √3𝑥) b. Soluciones complejas y conjugadas cuya solución da 𝑦 = 𝑒𝑥 (𝐶1 𝑐𝑜𝑠 √2 𝑥 + 𝐶2 𝑠𝑖𝑛 √2𝑥) c. Soluciones iguales y reales cuya solución da 𝒚 = 𝐶1𝑒√2𝑥 +𝐶2𝑥𝑒√2𝑥 d. Soluciones distintas y reales cuya solución da 𝒚 = 𝐶1𝑒−√3𝑥 +𝐶2𝑒√3𝑥 Reescribir la ecuación ((𝑒 𝛾𝑡 ))" − 2((𝑒 𝛾𝑡 ))` + 3𝑒 𝛾𝑡 = 0 Simplificar: ((𝑒 𝛾𝑡 ))`` − 2((𝑒 𝑦𝑡 ))` + 3𝑒 𝛾𝑡 = 0

𝑒 𝛾𝑡 (𝛾 2 − 2𝛾 + 3) = 0 𝛾 2 𝑒 𝛾𝑡 − 2𝑒 𝛾𝑡 𝛾 + 3𝑒 𝛾𝑡 = 0 Factorizar 𝑒 𝛾𝑡 (𝛾 2 − 2𝛾 + 3) = 0 𝑦 = 1 + √2𝑖, 𝛾 = 1 − √2𝑖 Para dos raíces complejas 𝛾1 ≠ 𝛾2 donde 𝛾1 =∝ +𝑖𝛽, 𝛾2 = ∝ −𝑖𝛽 La solución general toma la forma: 𝛾1 = 𝑒 ∝𝑡 (𝑐1 cos(𝛽𝑡) + 𝑐2 sin(𝛽𝑡)) 𝑦 = 𝑒 𝑡 (𝑐1 cos(√2𝑡) + 𝑐2 sin(√2 𝑡)) La respuesta correcta es la B. Ejercicio 2 Para encontrar la solución de una ecuación homogénea de segundo orden con coeficientes constantes, se encuentran las raíces de la ecuación característica asociada, de tal manera que, si dichas raíces son m y n, entonces dicha solución es de la forma 𝑦ℎ = 𝑐1 𝑥 𝑚 + 𝑐2 𝑥 𝑛 , 𝑠𝑖 𝑚 𝑒𝑠 𝑑𝑖𝑠𝑡𝑖𝑛𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑛 𝑦ℎ = 𝑐1 𝑥 𝑚 + 𝑐2 𝑥 𝑚 𝑙𝑛𝑥, 𝑠𝑖 𝑚 = 𝑛 𝑦ℎ = 𝑥 ∝ (𝑐1 cos(𝛽𝑙𝑛𝑥) + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑙𝑛𝑥)), 𝑠𝑖 𝑚 𝑦 𝑛 𝑠𝑜𝑛 𝑐𝑜𝑚𝑝𝑙𝑒𝑗𝑜𝑠 𝑑𝑒 𝑓𝑜𝑟𝑚𝑎 ∞ + 𝑖𝛽. Teniendo en cuenta lo anterior, la solución de la ecuación homogénea de la ecuación 2𝑦 ′′ + 5𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 es: a. 𝑦ℎ = 𝑐1 cos(𝑙𝑛𝑥) + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛(𝑙𝑛𝑥). b. 𝑦ℎ = 𝑐1 𝑐𝑜𝑠√5/2𝑥 + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛√5/2𝑥 c. 𝑦ℎ = 𝑐1 𝑥 2 + 𝑐2 𝑥 5 d. 𝑦ℎ = 𝑐1 𝑥 −2 + 𝑐2 𝑥 −5 Respuesta

b. 𝑦ℎ = 𝑐1 𝑐𝑜𝑠√5/2𝑥 + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛√5/2𝑥 Justificación 2𝑦 ′′ + 5𝑦 = 𝑠𝑒𝑛𝑥 2𝑚2 + 5 = 0 Pasamos a restar el 5 para despejar 𝑚 2𝑚2 = −5 𝑚2 =

−5 2

Sacamos raíz a ambos lados

−5 √𝑚 2 = √ 2 −5

𝑚=√2

En este caso convertimos la raíz negativa en el número 𝑖 5

𝑚 = √2 𝑖 Reemplazamos con la formula general 𝑦ℎ = 𝑥 ∝ (𝑐1 cos(𝛽𝑙𝑛𝑥) + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑙𝑛𝑥)) 5

∝= 0 𝛽 = √2 5

5

𝑦ℎ = 𝑥 0 (𝑐1 cos √2 𝑥 + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛√2 𝑥) Donde 𝑥 0 = 1 luego, 5 5 𝑦ℎ = 𝑐1 cos √ 𝑥 + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛√ 𝑥 2 2

Ejercicio 3

Para encontrar la solución de una ecuación diferencial de orden superior con coeficientes variables se procede sustituir 𝑦 = 𝑥𝑚, 𝑦′= 𝑚𝑥𝑚−1, 𝑦′′ =𝑚(𝑚−1)𝑥𝑚−2 Para, en primera instancia hallar la solución de su respectiva ecuación homogénea asociada, y luego, con la ayuda de los wronskianos

Se procede a encontrar la solución particular. Con base en lo anterior, si la ecuación x2y’’ + xy’ +y=2x tiene por solución homogénea la expresión 𝑦ℎ=𝑐1cos(𝑙𝑛𝑥)+𝑐2𝑠𝑒𝑛(𝑙𝑛𝑥), los respectivos Wronskianos w1 y w2 equivalen a: a. b. c. d.

−2𝑥 𝑆𝑒𝑛(𝑙𝑛𝑥), 2𝑥 𝐶𝑜𝑠(𝑙𝑛𝑥) Correcta 𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑙𝑛𝑥), −𝑥 𝐶𝑜𝑠(𝑙𝑛𝑥) −𝑥 𝑠𝑒𝑛(𝑙𝑛𝑥), 𝑥 𝐶𝑜𝑠(𝑙𝑛𝑥) 2𝑥 𝑆𝑒𝑛(𝑙𝑛𝑥), −2𝑥 𝐶𝑜𝑠(𝑥) Demostración de la Solución a. Se procede a demostrar la solución homogénea ya que necesitamos estar seguros de

𝑢1 𝑢2

𝑦 = 𝑥𝑚 𝑦 ′ = 𝑚𝑥 𝑚−1 𝑦 ′′ = 𝑚(𝑚 − 1)𝑥 𝑚−2 De la siguiente forma la ecuación 𝑦 ′′ + 𝑎(𝑥)𝑦 ′ + 𝑏(𝑥)𝑦 = 𝑔(𝑥)

𝑥 2 𝑦 ′′ + 𝑥𝑦 ′ + 𝑦 = 2𝑥 Caso homogéneo 𝑥 2 𝑚(𝑚 − 1)𝑥 𝑚−2 + 𝑥(𝑚𝑥 𝑚−1 ) + 𝑥 𝑚 = 0 𝑥 2+𝑚−2 (𝑚2 − 𝑚) + 𝑚𝑥 𝑚−1+1 + 𝑥 𝑚 = 0 𝑥 𝑚 (𝑚2 − 𝑚) + 𝑚𝑥 𝑚 + 𝑥 𝑚 = 0 𝑥 𝑚 (𝑚2 − 𝑚 + 𝑚 + 1) = 0 0 𝑚2 + 1 = 𝑚 𝑥 𝑚2 + 1 = 0 √𝑚2 = √−1 𝑚 = −1𝑖 𝑚 = 1𝑖 𝒎 = 𝜶 + 𝒊𝜷 𝜶=𝟎 𝜷=𝟏 𝑢1 = 𝑥 ∝ cos(𝛽𝑙𝑛𝑥) 𝑢2 = 𝑥 ∝ 𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑙𝑛𝑥) . 𝑦ℎ = 𝑥 ∝ (𝑐1 cos(𝛽𝑙𝑛𝑥) + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛(𝛽𝑙𝑛𝑥)) 𝑦ℎ = 𝑐1 cos(𝑙𝑛𝑥) + 𝑐2 𝑠𝑒𝑛(𝑙𝑛𝑥) Derivamos 𝑢1 , 𝑢2 con el método de la regla de la cadena 𝑢1 = cos(𝑙𝑛𝑥) 1 𝑢1 ′ = − sen (𝑙𝑛𝑥) 𝑥 𝑢2 = sen(𝑙𝑛𝑥)

𝑢2 ′ =

cos(𝑙𝑛𝑥) 𝑥

Se determina los Wronskianos 0 𝑢2 ] = 0 ∗ 𝑢2 ′ − 𝑢2 𝑔(𝑥) 𝑔(𝑥) 𝑢2 ′ 0 sen(𝑙𝑛𝑥) cos(𝑙𝑛𝑥) ] = −2X sen(𝑙𝑛𝑥) 𝑊1 = [ 2𝑋 𝑥 cos(𝑙𝑛𝑥) 0 𝑊2 = [ 1 ] = 2𝑥 cos(𝑙𝑛𝑥) − sen (𝑙𝑛𝑥) 2X 𝑥 𝑊=[

Ejercicio 4 Dn es un operador diferencial para cualquier polinomio de orden n-1, esto es, para 1, x, x2, …, xn-1 y cualquier combinación lineal de ellos y (D-∝)n es un operador diferencial que anula a cualquier función de la forma 𝑒 2𝑥 , 𝑥𝑒 2𝑥 , 𝑥 2 𝑒 2𝑥 , ⋯ , 𝑥 𝑛−1 𝑒 2𝑥 En concordancia con lo anterior, al resolver la ecuación 𝑦 ′′ + 8𝑦 ′ − 20𝑦 = 𝑒 −3𝑥 haciendo uso de operadores lineales se llega a la expresión: a. b. c. d.

(D − 3)( D2 + 8D − 20)y = (D − 3)e−3x = 0 (D + 3)2 ( D2 − 8D + 20)y = (D + 3)2 e−3x = 0 (D − 3)2 ( 8D − 20)y = (D − 3)2 e−3x = 0 (D + 3)( 𝐷2 + 8𝐷 − 20)𝑦 = (𝐷 + 3)𝑒 −3𝑥 = 0 Respuesta

d. (D + 3)( 𝐷2 + 8𝐷 − 20)𝑦 = (𝐷 + 3)𝑒 −3𝑥 = 0 Justificación 𝐷 = 𝑒 −3𝑥 𝑑𝑥 = −3𝑒 −3𝑥 3 ∗ 𝑒 −3𝑥 𝑑𝑥 = 3𝑒 −3𝑥 D + 3 = −3𝑒 −3𝑥 + 3𝑒 −3𝑥 = 0 Luego sumamos D + 3 a ambos lados para anular la función

(D + 3)( 𝐷2 + 8𝐷 − 20)𝑦 = (𝐷 + 3)𝑒 −3𝑥 = 0 ÍTEMS DE SELECCIÓN MÚLTIPLE CON MÚLTIPLE RESPUESTA Este tipo de preguntas consta de un enunciado, problema o contexto a partir del cual se plantean cuatro opciones numeradas de 1 a 4, usted deberá seleccionar la combinación de dos opciones que responda adecuadamente a la pregunta y marcarla en la hoja de respuesta, de acuerdo con la siguiente información: Seleccione A si 1 y 2 son correctas. Seleccione B si 1 y 3 son correctas. Seleccione C si 2 y 4 son correctas. Seleccione D si 3 y 4 son correctas. Una vez seleccione su respuesta, describa el procedimiento que la justifique Ejercicio 5

El método de variación de parámetros para dar solución a una ecuación diferencial de tercer orden establece que primero se encuentra la función complementaria 𝑦𝑐 = 𝐶1 𝑦1 + 𝐶2 𝑦2 + 𝐶3 𝑦3 y después se calcula el wronskiano 𝑊(𝑦1 (𝑥), 𝑦2 (𝑥), 𝑦3 (𝑥)). Posteriormente se determina 𝑓(𝑥), para poder encontrar 𝑢1 𝑢2 y 𝑢3 , y poder hallar la solución particular mediante la integración de 𝑢1 ´ =

𝑊1 𝑊

, 𝑢2 ´ =

𝑊2 𝑊

y 𝑢3 ´ =

𝑊3 𝑊

, donde:

𝑦1 ′ 𝑊 = | 𝑦1 𝑦1′′ 𝑦1 𝑊3 = | 𝑦1′ 𝑦1′′

𝑦2 𝑦2′ 𝑦2′′

𝑦2 𝑦2′ 𝑦2′′

𝑦3 𝑦3′ |, 𝑦3′′

0 𝑦2 𝑦2′ 𝑊1 = | 0 𝑓(𝑥) 𝑦2′′

𝑦3 𝑦3′ |, 𝑦3′′

𝑦1 𝑊2 = | 𝑦1′ 𝑦1′′

0 𝑦3 0 𝑦3′ | 𝑓(𝑥) 𝑦3′′

0 0 | 𝑓(𝑥)

Una solución particular es 𝑦𝑝 = 𝑢1 𝑦1 + 𝑢2 𝑦2 + 𝑢3 𝑦3 y la solución general de la ecuación diferencial es entonces 𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝 . Con base en lo anterior, los valores para 𝑊1 , 𝑊2 y 𝑊3 y la solución general de la ecuación 𝑦 ′′′ + 2𝑦′′ = 𝑒 𝑥 son respectivamente: 1. 𝑊1 = −2𝑥𝑒 −𝑥 − 𝑒 −𝑥 , 𝑊2 = 2𝑒 −𝑥 y 𝑊3 = 𝑒 𝑥 𝟏

2. 𝑦 = 𝐂𝟏 + 𝐂𝟐 𝐱 + 𝐂𝟑 𝐞−𝟐𝐱 + 𝟑 𝑒 𝑥 1

3. 𝑦 = 𝐶1 + 𝐶2 𝑥 + 𝐶3 𝑒 𝑥 + 4 𝑒 −𝑥

4. 𝑊1 = 2𝑥𝑒 −𝑥 + 𝑒 −𝑥 , 𝑊2 = 2𝑥𝑒 𝑥 y 𝑊3 = −2𝑒 −𝑥 Solución: 𝑦 ‴ + 2𝑦 ″ = 𝑒 𝑥 La ecuación no es Homogénea por que no está igualada a cero. 𝑦 ‴ + 2𝑦 ″ = 0 Se hace f(x)=0 para convertir la ecuación en Homogénea 𝑚3 + 2𝑚2 = 0 𝑚1 = 0 𝑚2 = 0 𝑚3 = −2 Se describe la ecuación 𝑦𝑐 = 𝐶1 + 𝐶2 𝑥 + 𝐶3 𝑒 −2𝑥 𝑦𝑝 = 𝑢1 𝑦1 + 𝑢2 𝑦2 + 𝑢3 𝑦3

𝑦2 = 𝑥 𝑦3 = 𝑒 −2𝑥

𝑦1 = 1 Solución partícula tiene la forma: 𝑦1 ′ 𝑊 = | 𝑦1 𝑦1′′

𝑦2 𝑦2′ 𝑦2′′

𝑦3 1 𝑥 𝑒 −2𝑥 ′ 𝑦3 | = |0 1 −2𝑒 −2𝑥 | = 4𝑒 −2𝑥 𝑦3′′ 0 0 4𝑒 −2𝑥

0 𝑦2 𝑦2′ 𝑊1 = | 0 𝑓(𝑥) 𝑦2′′

𝑦3 1 𝑦3′ | = | 0 𝑦3′′ 𝑒𝑥

𝑥 𝑒 −2𝑥 1 −2𝑒 −2𝑥 | = −2𝑥𝑒 −𝑥 − 𝑒 −𝑥 0 4𝑒 −2𝑥

𝑦1 𝑊2 = | 𝑦1′ 𝑦1′′

0 𝑦3 1 0 𝑦3′ | = |0 𝑓(𝑥) 𝑦3′′ 0

0 0 𝑒𝑥

𝑦1 𝑊3 = | 𝑦1′ 𝑦1′′

𝑦2 0 1 𝑦2′ 0 | = |0 𝑓(𝑥) 𝑦3′′ 0

𝑥 1 0

𝑒 −2𝑥 −2𝑒 −2𝑥 | = 2𝑒 −𝑥 4𝑒 −2𝑥 0 0 | = 𝑒𝑥 𝑒𝑥

Buscamos el wronskiano 𝑈𝑛 = ∫

𝑊𝑛 𝑑𝑥 𝑊

Se halla U donde se deriva 𝑈1 = ∫

−2𝑥𝑒 −𝑥 − 𝑒 −𝑥 𝑑𝑥 = 4𝑒 −2𝑥

Se integra −2𝑥𝑒 −𝑥 𝑒 −𝑥 ∫[ − −2𝑥 ] 𝑑𝑥 = 4𝑒 −2𝑥 4𝑒

∫[

−2𝑥𝑒 𝑥 𝑒 𝑥 1 1 − ] 𝑑𝑥 = − ∫ 𝑥𝑒 𝑥 𝑑𝑥 − ∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 4 4 2 4 1 1 𝑈1 = − [𝑒𝑥 𝑥 − 𝑒 𝑥 ] − 𝑒 𝑥 2 4

𝑈2 = ∫

2𝑒 −𝑥 1 𝑑𝑥 = ∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 −2𝑥 4𝑒 2 1 ∫ 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 = 2

𝑈2 =

1 𝑥 𝑒 2

𝑒𝑥 𝑈3 = ∫ −2𝑥 𝑑𝑥 = 4𝑒 1 ∫ 𝑒 3𝑥 𝑑𝑥 = 4

𝑈3 =

1 3𝑥 𝑒 12

𝑦𝑝 = 𝑢1 𝑦1 + 𝑢2 𝑦2 + 𝑢3 𝑦3 1 1 1 1 𝑦𝑝 = (− [𝑥𝑒 𝑥 − 𝑒 𝑥 ] − 𝑒 𝑥 ) + 𝑥 ∗ 𝑒 𝑥 + 𝑒 3𝑥 ∗ 𝑒 −2𝑥 2 4 2 12 1 1 1 1 𝑦𝑝 = (− [𝑥𝑒 𝑥 − 𝑒 𝑥 ] − 𝑒 𝑥 ) + 𝑥 𝑒 𝑥 + 𝑒 3𝑥 ∗ 𝑒 −2𝑥 2 4 2 12

𝑦𝑝 =

2𝑒 𝑥 − 2𝑥𝑒 𝑥 − 𝑒 𝑥 + 2𝑥𝑒 𝑥 𝑒 𝑥 + 4 12 𝑦𝑝 =

𝑒𝑥 𝑒𝑥 + 4 12

𝑦𝑝 =

4 𝑥 𝑒 12

1 𝑦𝑝 = 𝑒𝑥 3 Se obtiene la solución particular

𝑦 = 𝑦𝑐 + 𝑦𝑝 1 𝑦 = 𝐶1 + 𝐶2 𝑥 + 𝐶3 𝑒 𝑥 + 𝑒 𝑥 3 𝑊1 = −2𝑥𝑒−𝑥 − 𝑒−𝑥 𝑊2 = 2𝑒−𝑥 𝑦𝑊3 = 𝑒𝑥 Ejercicio 6

Una ecuación diferencial lineal homogénea de segundo orden con coeficientes constantes,

de

la

forma

𝑦´´ + 𝑎1 (𝑥)𝑦´ + 𝑎2 (𝑥)𝑦 = 𝑚(𝑥),

tiene

dos

soluciones

independientes, donde se pueden presentar tres casos: a) Soluciones reales y distintas, b) Soluciones iguales y reales y c) Soluciones complejas y conjugadas. De las siguientes ecuaciones diferenciales, cuáles tienen soluciones reales e iguales. 1. 𝑦´´ − 16𝑦 = 0 2. 𝑦´´ + 6𝑦´ − 7𝑦 = 0 3. 𝑦´´ − 20𝑦´ + 100𝑦 = 0 4. 𝑦´´ + 4𝑦´ + 4𝑦 = 0 Solución: 𝟏. 𝒚´´ = −𝟏𝟔𝒚 = 𝟎 Solución coeficiente constante 𝑦𝑥 = 𝑐1 𝑒 𝑥𝑦 + 𝑐2 𝑒 𝑥𝑦 ) 𝑦 2 − 𝑒 𝑥𝑦 16 = 0

𝑒 𝑥𝑦 (𝑦 2 − 16) = 0 𝑦 2 − 16 = 0 Factorizar cuadrado perfecto (𝑦 2 − 4)(𝑦 + 4) = 0 𝑦1 = 4 𝑦2 = −4 Solución general 𝑦 = 𝑐1 𝑒 𝑟𝑦 + 𝑐2 𝑒 𝑟𝑦 Reemplazamos 𝒚 = 𝒄𝟏 𝒆𝟒𝒙 + 𝒄𝟐 𝒆−𝟒𝒙 𝟐. 𝒚´´ + 𝟔𝒚 − 𝟕𝒚 = 𝟎 Solución general Solución coeficientes constantes 𝑦𝑥 = 𝑐1 𝑒 𝑥𝑦 + 𝑐2 𝑒 𝑥𝑦 𝑒 𝑥𝑦 = 𝑦 𝑒 𝑥𝑦 = 𝑦 2 + 𝑒 𝑥𝑦 ∙ 6𝑦 − 𝑒 𝑥𝑦 ∙ 7 = 0 𝑒 𝑥𝑦 (𝑦 2 + 6𝑦 − 7) = 0 Factorizamos (𝑦 2 + 6𝑦 − 7) 𝑦

7𝑦 − 1

𝑦 − 1𝑦 𝑦

7

6𝑦

(𝑦 − 1)(𝑦 + 7) = 0

𝑦2 = 1 𝑦2 = −7

𝒚𝒙 = 𝒄𝟏 𝒆𝒙 + 𝒄𝟐 𝒆−𝟕𝒙 𝟑. 𝒚´´ − 𝟐𝟎𝒚 + 𝟏𝟎𝟎𝒚 = 𝟎 Solución general Solución coeficientes constantes 𝑦𝑥 = 𝑐1 𝑒 𝑥 + 𝑐2 𝑒 −7𝑥 𝑒 𝑥𝑦 = 𝑦 𝑒 𝑥𝑦 𝑦2 − 𝑒 𝑥𝑦 20𝑦 + 𝑒 𝑥𝑦 100 = 0 𝑒 𝑥𝑦 (𝑦2 − 20𝑦 + 100) = 0 Factorizando (𝑦2 − 20𝑦 + 100)

𝑦

(𝑦 − 10)(𝑦 − 10) = 0

− 10𝑦 − 10

𝑦 − 10𝑦 − 10

𝑦2 = 10

𝑦 20𝑦

𝑦2 = 10 𝑦𝑥 = 𝒚𝒙 = 𝒄𝟏 𝒆𝟏𝟎𝒚 + 𝒄𝟐 𝒙𝒆𝟏𝟎𝒙

𝟒. 𝒚´´ + 𝟒𝒚´ + 𝟒𝒚 = 𝟎 Solución coeficientes constantes 𝑦𝑥 = 𝑐1 𝑒 𝑥𝑦 + 𝑐2 𝑥𝑒 𝑥𝑦 𝑒 𝑥𝑦 = 𝑦 𝑒 𝑥𝑦 𝑦 2 + 𝑒 𝑥𝑦 ∙ 4𝑦 + 𝑒 𝑥𝑦 ∙ 4 = 0 𝑒 𝑥𝑦 (𝑦2 − 4𝑦 + 4) = 0 Factorizamos

(𝑦2 − 4𝑦 + 4) 𝑦

2𝑦

2

𝑦2 = −2

𝑦

2𝑦

2

𝑦2 = −2

𝑦 4𝑦 (𝑦 + 2)(𝑦 + 2) = 0 𝑦𝑥 = 𝑐1 𝑒 −2𝑥 + 𝑐2 𝑥𝑒 −2𝑥 Respuesta: son la 3 y 4 porque tienen soluciones reales iguales.

17 Ejercicio 7 Teniendo en cuenta, que la solución de una ecuación diferencial de la forma 𝑎𝑦 ′′ + 𝑏𝑦 ′ + 𝑐𝑦 = 0

, se puede hallar mediante la ecuación característica o auxiliar, donde por ser

de segundo orden tiene dos soluciones, los valores de 𝑦1 , 𝑦2 de la siguiente ecuación diferencial 𝑦 ′′ + 𝑦 ′ + 𝑦 = 0 corresponden a: −𝑥

√3 𝑥 2

1. 𝑒 2 𝑐1 cos −𝑥

2. 𝑒 2 𝑐2 sen

√3 𝑥 2

−𝑥

3. 𝑒 2 (𝑐1 + 𝑐2 ) 4. (𝑐1 cos

√3 𝑥 2

+ 𝑐2 sin

√3 𝑥) 2

Solución: 𝑦 ´´ + 𝑦 ′ + 𝑦 = 0

=

𝑎𝑦 ´´ + 𝑏𝑦 ′ + 𝑐𝑦 = 0

Solución auxiliar ( 𝑦 = 𝑒 𝑘𝑥 ) = 𝑦𝑥 (𝑒 𝑘𝑥 )′′ + (𝑒 𝑘𝑥 )′ + (𝑒 𝑘𝑥 )′ = 0 (𝑒 𝑘𝑥 )′ = 𝑒 𝑘𝑥 . 𝐾 𝑘𝑒 𝑘𝑥

=

𝑘 2 𝑒 𝑘𝑥

𝑘 2 𝑒 𝑘𝑥 + 𝑘𝑒 𝑘𝑥 + 𝑒 𝑘𝑥 = 0 𝑒 𝑘𝑥 ( 𝑘 2 + k + 1) = 0 𝑘2 + k + 1 = 0 𝑎 = 1,

⟹ ⟹

𝑒 𝑘𝑥 ≠ 0 𝑘𝑥 2 + bx + 𝑒

𝑏=1 𝑐=1

𝑘 1,2 =

1 ± √12 − 4.1.1 2.1

𝐾2 =

1 √3 −m 2 2

18

𝐾1 =

1 √3 +m 2 2

Raíces compleja 𝐾2 ≠ 𝐾1

𝐾1 = 𝑎 + m B 𝐾2 = 𝑎 − m B 1

𝑦 (𝑥) = 𝑒 − 2 𝑥 ∁, ∁𝑜𝑠 (

√3 𝑥 2

) ∁, 𝑠𝑒𝑛 (

𝑦1

√3 𝑥 2

)

𝑦2

ÍTEMS DE ANÁLISIS DE RELACIÓN Este tipo de ítems consta de dos proposiciones así: una Afirmación y una Razón, unidas por la palabra PORQUÉ. Usted debe examinar la veracidad de cada proposición y la relación teórica que las une. Para responder este tipo de ítems, debe leerla completamente y señalar en la hoja de respuesta, la elegida de acuerdo con las siguientes instrucciones: Marque A si la afirmación y la razón son VERDADERAS y la razón es una explicación CORRECTA de la afirmación. Marque B si la afirmación y la razón son VERDADERAS, pero la razón NO es una explicación CORRECTA de la afirmación. Marque C si la afirmación es VERDADERA, pero la razón es una proposición FALSA. Marque D si la afirmación es FALSA, pero la razón es una proposición VERDADERA.

19 Ejercicio 8 La solución general de una ecuación diferencial lineal de segundo grado no homogénea es de la forma: 𝑥(𝑡) = 𝑥ℎ (𝑡) + 𝑥𝑝 (𝑡) donde 𝑥ℎ (𝑡) es la solución de la homogénea y 𝑥𝑝 (𝑡) es la solución particular. Para hallar la solución particular de una ecuación diferencial 𝑎𝑥 ′′ (𝑡) + 𝑏𝑥′(𝑡) + 𝑐𝑥(𝑡) = 𝑓(𝑡) suele emplearse el método de los coeficientes indeterminados. El método en cuestión consiste fundamentalmente en intuir la forma de una solución particular. Se aplica cuando la función f(t) es una combinación lineal de productos (finitos) de funciones tales que derivadas den el mismo tipo de función. Tales como polinomios en t, función exponencial 𝑒 𝜔𝑡 , combinaciones lineales de cos 𝑤𝑡 y sin 𝑤𝑡. En base a la información anterior se puede afirmar que: 𝑑2 𝑞

𝑑𝑞

1

La ecuación que modela un circuito RLC serie es 𝐿 𝑑𝑡 2 + 𝑅 𝑑𝑡 + 𝐶 𝑞 = 𝐸, consta de una fuente FEM 𝐸 = 200 sin 60𝑡 V, una resistencia de R= 4Ω, un inductor de L=0.1H y un condensador de C= 1/52 F. La solución particular es de la forma 𝑞(𝑡) = 𝐴 sin 60𝑡 + 𝐵 cos 60𝑡 PORQUE el termino independiente es una función f(t)=2000 sin 60𝑡. Solución: Se reescribe la ecuación con los datos dados: 0.1𝑞 ′′ + 4𝑞 ′ + 52𝑞 = 200 𝑠𝑒𝑛(60𝑡) Hallar la solución Homogénea, se divide por 0.1 𝑞 ′′ + 40𝑞 ′ + 520𝑞 = 0 𝑚 = −20 + 2√30𝑖 q h= 𝑒 −20𝑡 𝑐1 cos(11𝑡) + 𝑒 −20𝑡 𝑐2 𝑠𝑒𝑛(11𝑡) Hallar la solución particular 𝑞𝑝 = 𝐴𝑠𝑒𝑛(60𝑡) + 𝑏𝑐𝑜𝑠(60𝑡)

20 Es verdadera la solución particular ya que su forma no se parece a la homogénea si es asi, se debe agregar otro parámetro para que sea diferente en este caso lo hace el Euler, y la función independiente si es f(t)= 2000 sin 60𝑡 2000 sin 60𝑡, ya que la forma general de la ecuación no homogénea para coeficientes indeterminados es de esa manera 𝑦 ′′ + 𝑎(𝑡)𝑦 ′ + 𝑏(𝑡)𝑦 = 𝑓(𝑡) además, cumple esta función ya que puede ser polinómico, exponencial, seno, coseno o combinaciones de estas funciones.

Ejercicio 9 La función 𝑦(𝑥) = 𝑒4𝑥 [𝐶1 + 𝐶2𝑥] es la solución general de la ecuación diferencial 𝑦′′ − 8𝑦′ + 16𝑦 = 0 PORQUE las raíces de su ecuación característica asociada son reales diferentes.

Para la ecuación 𝑎𝑦`` + 𝑏𝑦` + 𝑐𝑦 = 0, adoptar una solución de la forma 𝑦 = 𝑒 𝛾.𝑡 Reescribir ((𝑒 𝛾𝑡 ))`` − 8((𝑒 𝛾𝑡 ))` + 16𝑒 𝛾𝑡 = 0

𝑒 𝛾𝑡 (𝛾 2 − 8𝛾 + 16) = 0 𝛾=4 Para una raíz real 𝛾, la solución general toma la forma 𝛾 = 𝑐1 𝑒 𝛾.𝑡 + 𝑐2 𝑡𝑒 𝛾.𝑡 𝑦 = 𝑐1 𝑒 4𝑡 + 𝑐2 𝑡𝑒 4𝑡 𝑦 = 𝑒 4𝑥 (𝑐1 + 𝑐2) Marque A si la afirmación y la razón son VERDADERAS y la razón es una explicación CORRECTA de la afirmación.

Ejercicio 10

21 𝑥

La solución de una ecuación diferencial 2𝑦 ′′ + 5𝑦 ′ + 2𝑦 = 5𝑒 ⁄2 se puede hallar mediante la ecuación característica o auxiliar PORQUE la ecuación diferencial no es homogénea con coeficientes constantes. Es una ecuación diferencia lineal no homogénea de segundo orden con coeficientes constantes 𝒂𝒚`` + 𝒃𝒚` + 𝒄𝒚 = 𝒈(𝒙) 𝑦 = 𝑦ℎ + 𝑦𝑝 𝑦ℎ Es la solución para una ecuación diferencial ordinal homogénea 𝑎𝑦`` + 𝑏𝑦` + 𝑐𝑦 = 𝑔(𝑥) 𝑦𝑝 La solución particular es para cualquier función que satisface la ecuación no homogénea Hallar 𝑦ℎ 2𝑦`` + 5𝑦` + 2𝑦 = 0 1

𝑦 = 𝑐1 𝑒 −2𝑥 + 𝑐2 𝑒 −2𝑥 Hallar 𝑦𝑝 𝑥

2𝑦`` + 5𝑦` + 2𝑦 = 5𝑒 2 𝑥

𝑦 = 𝑒2 La solución general 1

𝑥

𝑦 = 𝑐1 𝑒 −2𝑥 + 𝑐2 𝑒 −2𝑥 + 𝑒 2 Respuesta: D. Marque D si la afirmación es FALSA, pero la razón es una proposición VERDADERA. El enunciado es falso porque la ecuación es homogénea, no es una ecuación con cifras constantes; puesto que corresponde utilizar el procedimiento de una ecuación auxiliar, se observa que la repetición del factor de la ecuación es una cifra y no una variable.

Primera actividad Grupal: Se plantea una situación problema y el grupo de realizar los aportes respectivos en el foro colaborativo con el fin de reconocer las características del problema que se ha planteado y buscar el método de solución más apropiado según las ecuaciones diferenciales de primer orden. Problema: Una masa que pesa 2 libras hace que un resorte se estire 6 pulgadas. Cuando t=0, la masa se suelta desde un punto a 8 pulgadas abajo de la posición de equilibrio con una velocidad

22 inicial, hacia arriba, de

4 3

pies/seg. Determine las ecuaciones que pueden representar este

movimiento. Solución: Se convierte las unidades a sistemas inglés, tal como: 1𝑖𝑛 = 0.0833𝑓𝑡

6𝑖𝑛 = 0.5𝑓𝑡

2𝑙𝑏 ∗

8𝑖𝑛 =

2 𝑓𝑡 3

0.031081 𝑠𝑙𝑢𝑔 1 = 𝑠𝑙𝑢𝑔 1𝑙𝑏 16

Ley de Hook 𝐹 = 𝑘𝑥 𝐹 =𝑘 𝑥 2𝑙𝑏 ∗ 2 =𝑘 1 𝑓𝑡

𝑘=4

𝑙𝑏 𝑓𝑡

m= Masa r=Constante de fricción k= Constante de elasticidad F: Fuerza externa. Por lo tanto, no hay fricción y tampoco fuerza externa por lo cual se refiere a osciladores armónico simple. 𝑚𝑥 ‘‘ + 𝑟𝑥 ‘ + 𝑘𝑥 = 𝐹 1 ‘‘ 𝑥 + 4𝑥 = 0 16 Equivalente, podemos escribir

16 ∗

1 ‘‘ 𝑥 + 16 ∗ 4𝑥 = 16 ∗ 0 16

23 𝑥 ‘‘ + 64𝑥 = 0 2

El desplazamiento y la velocidad iniciales son 𝑥(0) = 3

4

𝑥 ‘ (0) = − 3 el signo

negativo se debe a que la masa recibe una velocidad inicial en dirección negativa o hace arriba. La solución general de la ecuación diferencial es: El polinomio característica 𝑚2 + 64 = 0 donde seria 𝑚 = 8𝑖 donde 𝛼 = 0 𝛽 = 8 𝑥(𝑡) = 𝑐1 cos 8𝑡 + 𝑐2 sin 8𝑡 2

Se procede a calcular las contantes, con la condición inicial 𝑥(0) = 3 2 = 𝑐1 3 𝑥 ‘ (0) = −8 𝑐1 sin 8𝑡 + 8𝑐2 cos 8𝑡 −

𝑥(𝑡) =

1 = 𝑐2 16 2 1 − sin 8𝑡 3 16

Se procede a calcular la amplitud:

𝐴 = √𝐶1 2 + 𝐶2 2

2 2 1 2 √ 𝐴 = ( ) + (− ) = 0.669𝑓𝑡 3 16 Calcular el Angulo de fase:

24

Se utiliza la identidad trigonométrica de tangente.

𝑡𝑎𝑛∅ =

𝐶𝑂 2 ∗ 16 = 𝐶𝐴 3 ∗ −1

∅ = 1.816𝑟𝑎𝑑 Se calcula la frecuencia angular:

𝑤=√

𝑘 4 ∗ 16 =√ =8 𝑚 1

Observe que la forma 𝑥(𝑡) = 𝐴 cos(𝑤𝑡 − ∅) 𝑥(𝑡) = 0.669 cos(8𝑡 − 1.816)

Segunda actividad Grupal: Se presenta un problema junto con su solución, de forma colaborativa deben evaluar y analizar toda la solución a la situación plantea, si consideran que todo el proceso y respuesta se encuentra de manera correcta, deben realizar aportes en cuanto a procedimiento faltante y fórmulas utilizadas, resaltando en otro color los aportes extras a la solución. Si el grupo considera que el proceso y/o respuesta se encuentra incorrecto, deben realizar la observación y corrección al error o errores encontrados resaltando en otro color la corrección y aportes extras a la solución. Situación y solución planteada: Situación y solución planteada: Muchos sistemas físicos (Péndulo Simple, Sistema masa-resorte amortiguado, Sistema masa-resorte no amortiguado, Sistema masa-resorte movimiento forzado, circuitos, etc.) se describen mediante ecuaciones diferenciales de segundo orden.

25 La ecuación del movimiento de un péndulo con longitud 1 𝑚 es para 𝑡 = 0 , 𝜃 = 0,2 𝑟𝑎𝑑 y la velocidad angular inicial

𝑑𝜃 𝑑𝑡

=1

𝑟𝑎𝑑 𝑠

𝑑2 𝜃 𝑑𝑡 2

+ 10𝜃 = 0 : Si

, Determine 𝜃 en función

de t para el movimiento. SOLUCIÓN

Si para 𝑡 = 0 , 𝜃 = 0,2 𝑟𝑎𝑑 y la velocidad angular inicial

𝑑𝜃 𝑑𝑡

=1

𝑟𝑎𝑑 𝑠

, 𝜃 en función

de t corresponde a: 1. Se parte de la ecuación: 𝑑2 𝜃 + 10𝜃 = 0 𝑑𝑡 2 2. Para simplificar la ecuación se resuelve la ecuación auxiliar: 𝑚2 + 10 = 0 3. Solucionando por fórmula cuadrática se obtienen las siguientes soluciones: 𝑚1 = √10𝑖 𝑚2 = −√10𝑖 4. Cuando las raíces son complejas, una función complementaria es: 𝑥(𝑡) = 𝐶1 𝑒 √10𝑖𝑡 + 𝐶2 𝑒 −√10𝑖𝑡 5. Como es importante trabajar con funciones reales en lugar de exponenciales complejas. Se usa la fórmula de Euler y se obtiene: 𝑥(𝑡) = 𝐴 sen √10𝑡 + 𝐵 sin √10𝑡 6. Para 𝑡 = 0, 𝜃 = 0,2 0,2 = 𝐴 cos √10(0) + 𝐵 sin √10(0) 𝐴 = 0,2

26 7. Entonces: 𝜃(𝑡) = 0,2 cos √10𝑡 + 𝐵 sin √10 𝑡 𝐴 = 0,4 8. Entonces: 𝜃(𝑡) = 0,4 cos √10𝑡 + 𝐵 sin √10 𝑡 9. Para 𝑡 = 0,

𝑑𝜃 𝑑𝑡

=1

𝑟𝑎𝑑 𝑠

𝑑𝜃 = −0,2√10 sin √10𝑡 + √10𝐵 cos √10𝑡 𝑑𝑡 1 = −0,2√10 sin 4(0) − √10𝐵 cos 4(0) 1 = √10𝐵

𝐵=

1 √10

10. Reemplazando los valores de A y B la función 𝑥 de 𝑡 corresponde a: 1 𝜃(𝑡) = 0,2 cos √10𝑡 + sin √10𝑡 √10

CONCLUSIONES Este trabajo grupal fue desarrollado en siguiendo el aprendizaje basado en problemas, los cuales fomentan nuestra auto evaluación y formación cualitativa para cuando debamos aplicarlos en nuestra vida cotidiana. Se logró con el fin del trabajo con la resolución de las ecuaciones diferenciales planteadas que relacionan una función y su respectiva clasificación de orden para aplicar métodos coherentes e interpretación geométrica dependiendo de los parámetros.

27 Se desplegó una representación grupal comprendida en los conceptos de las ecuaciones, compartiendo diferentes opiniones y conocimiento para resolver formulas explicitas, el cual reconoce una sabiduría amplia comprendida en problemas que suelen definir indirectamente sobre aplicaciones para la solución de los ejercicios expuestos.

REFERENCIAS BIBLIOGRÁFICAS García, A. (2014) Ecuacones diferenciales. Larousse – Grupo Editorial Patria. 128-139. Recuperado

de:

http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2068/lib/unadsp/reader.action?docID=11017467 Gomez, R. (2012) Módulo Ecuaciones Diferenciales. Universidad Abierta y a Distancia.

Recuperado

de:

28 http://datateca.unad.edu.co/contenidos/100412/MODULO%20Ecuaciones%20Diferenciales %202013-2.pdf Mesa, F. (2012). Ecuaciones diferenciales ordinarias: una introducción. Colombia: Ecoe

Ediciones.

(pp.

54-107).

Recuperado

de

http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2077/lib/unadsp/detail.action?docID=10584022 Montoya, W. (2015). Criterios de Convergencia de Series Infinitas. Unad. [Videos]. Disponible en: http://hdl.handle.net/10596/7220 Alvarado, E. (2014). Solución ecuaciones diferenciales por variación de parámetros. Unad. [Videos]. Disponible en: http://hdl.handle.net/10596/7213 Aprende en línea. (Sin fecha). Ecuaciones diferenciales de orden superior- Capitulo 2 [Documento].

Recuperado

de:

http://aprendeenlinea.udea.edu.co/lms/investigacion/pluginfile.php/15325/mod_resource/cont ent/2/EcuacionesDiferenciales-Cap2.pdf