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UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA

Calculo integral Trabajo colaborativo 3

PRESENTADO POR: DAIVER JOSE PEÑALOZA ALMANZA YOBANY SAAVEDRA HARLEY CUETA MAURICIO ROJAS RODRÍGUEZ

PRESENTADO A: JAVIER MELO

BOGOTA D.C 16 DE NOVIEMBRE DE 2014

INTRODUCCIÓN

Las ciencias exactas son una expresión de la humanidad que desde que tenemos razón. Las personas tienen problemas desde entonces la búsqueda de soluciones en las que se haga la menor pérdida de energía y esfuerzo posible. Por ello las ciencias exactas han cobrado importancia cada vez mas ya que teniendo los datos suficientes o sin tenerlos. Por ello con el cálculo integral es posible tener muchas variantes, pero también muchos métodos que nos ayudan a solucionarlos. Con esta trabajo pretendemos poner a prueba estos conocimientos.

PROBLEMAS PROPUESTOS 1. Hallar el área situada entre las curvas 𝒚 = 𝒙 − 𝟏 y 𝒚 = 𝟐𝒙𝟑 − 𝟏 entre 𝒙 = 𝟏 y 𝒙=𝟐 y = x − 1 y y = 2x 3 − 1 entre x = 1 y x = 2 :x − 1 = 2x 3 − 1

− 2x 3 + x = 0

2

= ∫(−2x 3 + x) dx 1

x4 x2 2 = (− + ) 2 2 1 = (−

16 4 1 1 + ) − (− + ) 2 2 2 2

1 1 = (−8 + 2) − (− + ) 2 2 = −6 2. Hallar el área de la región limitada por las gráficas de𝒇(𝒙) = 𝒙𝟑 − 𝟑𝒙 + 𝟐 y 𝒈(𝒙) = 𝒙 + 𝟐 f(x) = x 3 − 3x + 2 y g(x) = x + 2 x 3 − 3x + 2 = x + 2 x 3 − 4x x(x 2 − 4) (x + 2)(x − 2) x1 = −2 y x2 = 2 2

= ∫(x 3 − 4x) dx −2

=(

x4 2 − 2x 2 ) −2 4

(−2)4 24 2 = ( − 2(2) ) − ( − 2(−2)2 ) 4 4 =(

16 16 − 8) − ( − 2) 4 4

= (4 − 8) − (4 − 8) = −4 + 4 =0 3. La región limitada por la gráfica de 𝒚 = 𝒙𝟑 , el eje X y 𝒙 = 𝟏⁄𝟐 se gira alrededor del eje X Hallar el área de la superficie lateral del solido resultante.

b

A = 2π ∫a f (x)√1 + (f′(x)2 )dx y ′ = 3x 2 1⁄ 2 x 3 √1

A = 2π ∫0 2π

1⁄ 2 36x 3

∫ 36 0

1⁄ 2 x3

+ (3x 2 )2 dx C = A = 2π ∫0

√1 + 9x 4 dx

u = 1 + 9x 4 du = 36x 3 dx 1⁄ 2

π A= ∫ 18 0

A=

π (u)3⁄2 √u du = 18 3 2

π 3 (1 + 9x 4 ) ⁄2 27 3⁄ 2

π 1 4 A= [(1 + 9 ( ) ) 27 2 3⁄ 2

π 9 A= [(1 + ) 27 16

− (1 + 0)

3⁄ 2

π 25 A= [( ) 27 16

− (1 + 9(0)4 )

− 1]

3⁄ 2]

3⁄ 2]

√1 + 9x 4 dx = A =

π 2 25 3 A= [ √( ) − 1] 27 16

A=

π 2 15625 [√ − 1] 27 4096

A=

π 125 [ − 1] 27 64

A=

π 61 [ ] 27 64

A=

61 π 1728

4. Hallar la longitud de la curva 𝒄𝒐𝒔(𝒙) = 𝒆𝒚 para x entre 𝝅⁄𝟔 y 𝝅⁄𝟑

𝑏

𝐿 = ∫ √1 + (𝑦 𝐼 )2 𝑑𝑥 𝑎

𝐿𝑛(𝑐𝑜𝑠𝑥) = 𝑦 𝒚 = 𝑳𝒏|(𝒄𝒐𝒔𝒙)| 𝑦𝐼 =

1 𝑠𝑒𝑛𝑥 𝑑𝑥 𝑐𝑜𝑠𝑥

𝑦 𝐼 = 𝑡𝑔𝑥 𝑑𝑥 𝜋⁄3

∫

√1 + 𝑡𝑔2 𝑥 𝑑𝑥

𝜋⁄6 𝜋⁄3

∫ 𝜋⁄6

𝜋⁄3

√𝑠𝑒𝑐 2 𝑥 𝑑𝑥 ⇒ ∫

𝑠𝑒𝑐𝑥 𝑑𝑥 = 𝐿𝑛|𝑠𝑒𝑐𝑥 + 𝑡𝑔𝑥|

𝜋⁄6

𝐿𝑛|𝑠𝑒𝑐60 + 𝑡𝑔60| − 𝐿𝑛|𝑠𝑒𝑐30 + 𝑡𝑔30| 𝐿𝑛|2 + 0.86| − 𝐿𝑛|1.15 + 0.56| = 0.51

5. Hallar el volumen generado por la rotación del área del primer cuadrante por la parábola 𝒚𝟐 = 𝟖𝒙 y la ordena correspondiente a 𝒙 = 𝟐 con respecto al eje x, como lo muestra la figura. 𝑏

𝑉 = ∫ 𝑑𝑣 𝑎 2

𝑉 = ∫ 𝜋𝑦2 𝑑𝑥 0 2

𝑉 = 𝜋 ∫ 8𝑥 𝑑𝑥 0

𝑉 = 4𝜋𝑥 2 ]20 𝑉 = 16𝜋 ≈ 50,27

6. El volumen del solido de revolución generado cuando la región limitada por las gráficas de las ecuaciones 𝒚 = 𝒙𝟐 𝒚 𝒚 = 𝟒 , gira alrededor del eje Y, es: 2

𝑉𝑜𝑙𝑢𝑚𝑒𝑛 𝑑𝑒𝑙 𝑖 − 𝑒𝑠𝑖𝑚𝑜: 𝜋[√𝑡𝑖 ] . ∆𝑦 4

2

𝑉 = ∫ 𝜋[√𝑦] 𝑑𝑦 0 4

𝑉 = ∫ 𝜋𝑦 𝑑𝑦 0 4

𝑦2 𝑉=𝜋 | 2 0 𝑉 = 8𝜋𝑢3

7. Un hombre lleva un costal de 100 Libras de arena, por una escalera de 20 pies, a razón de 5 pies por minutos. El costal tiene un agujero por el cual se fuga continuamente la arena a razón de 4 libras por minuto ¿cuánto trabajo realiza el hombre en llevar el costal por la escalera? Datos: Costal = 100libras Longitud escalera = 20 pies

Sube = 5 pies/minuto Pierde arena = 4 libras/minutos Cuanto trabajo realiza W =? W = F. d Donde, F = 100 − 4t d = 5∆t Tenemos que W = (100 − 4t)5∆t Entonces la integral seria, 4

W = ∫ (100 − 4t) 5dt 0 4

W = ∫ (500 − 20t) dt 0

4

20t 2 W = 500t − | 2 0 W = 500t − 10t 2 |40 W = 500(4) − 10(4)2 W = 2000 − 10(16) W = 2000 − 160 W = 1840 pies/libra 8. Un objeto se empuja en el plano desde 𝒙 = 𝟎 hasta 𝒙 = 𝟏𝟎, pero debido al viento la fuerza que debe aplicarse en el punto x es: 𝑭(𝒙) = 𝟑𝒙𝟐 − 𝒙 + 𝟏𝟎 ¿cuál es el trabajo realizado al recorrer esta distancia? 10

𝑊 = ∫ (3𝑥 2 − 𝑥 + 10)𝑑𝑥 = 𝑥 3 − 0

4 𝑥2 + 10𝑥 ∫ 𝑊 = 990 2 0

9. El excedente del consumidor de un producto para un nivel de venta a un precio P de Q artículos, esta dado por la expresión EC=

𝑸

𝑬𝑪 = ∫𝟎 𝑫 (𝒙)𝒅𝒙 −

𝑸𝑷 . El excedente del consumidor de un producto a un precio de $10.000 cuya ecuación de la demanda está dada por D( x) ( x+ 10)2 , es:

Solución: 𝑄

𝐸𝐶 = ∫ 𝐷(𝑋)𝑑𝑥 − 𝑄𝑃 0 𝑄

𝐸𝐶 = ∫ 𝐷(𝑋 + 10)𝑑𝑥 − 10000𝑄 0 𝑄

𝐸𝐶 = ∫ 𝐷(𝑥 2 + 20 + 100)𝑑𝑥 − 10000𝑄 0

𝐸𝐶 =

𝑄 𝑥 3 202 + + 100𝑥 ∫ −10000𝑄 3 2 0

𝐸𝐶 =

𝑄3 + 10𝑄 2 + 100𝑄 − 10000𝑄 3

𝐸𝐶 =

𝑄3 + 10𝑄 2 − 9900𝑄 3

10. Si la función demanda es D(q) = 1000 − 0.4q2 y la función oferta es S(q) = 42q2 . Calcule el excedente del productor EP Y el excedente del consumidor EC .

Solución: Decimos que el EC está dado por:

𝑄

𝑞

𝐸𝐶(𝑞) = ∫ 𝐷(𝑞)𝑑𝑝 − 𝑄𝑃 = ∫ (1000 − 0,4𝑞 2 )𝑑𝑝 − 𝑞𝐷(𝑞) 0

0

𝑞

= ∫ (1000 − 0,4𝑞 2 )𝑑𝑞 − 𝑞(1000 − 0,4𝑞 2 ) 0

𝐸𝐶(𝑞) 𝑞

𝑞3 𝑞3 𝑞3 2 3 = [1000𝑞 − 0,4 ] − 𝑞 (10000 − 0,4𝑞 ) = 1000𝑞 − 0,4 − 1000𝑞 + 0,4𝑞 = 4 3 0 3 15 Entonces el EP está dada por: 𝑄

𝑞

𝑞

𝐸𝑃(𝑞) = 𝑄𝑃 − ∫ 𝑆 (𝑞)𝑑𝑝 = 𝑞𝑆(𝑞) − ∫ 42𝑞𝑑𝑞 = 𝑞(42𝑞) − ∫ 42𝑞 𝑑𝑝 0

0 𝑞

𝑞2 𝐸𝑃(𝑞) = 42𝑞 − [42 ] = 42𝑞 2 − 21𝑞 2 = 21𝑞 2 2 0 2

El resultado entonces es: 𝑞3 𝐸𝐶(𝑞) = 4 15

2

𝐸𝑃(𝑞) = 21𝑞 2

0

Conclusiones 



Como primera conclusión podemos decir que con este trabajo pudimos identificar de forma clara la integral y como es aplicable a diferentes áreas como la física, la economía y áreas de cálculo matemático. También podemos decir que fue importante poder determinar los diferentes modelos del cálculo infinitesimal como las sucesiones, progresiones y los límites de las funciones.

Bibliografía



Documento electrónico Rondón, J. (2011). Modulo de Calculo Diferencial. Bogotá: Universidad Nacional Abierta y Distancia