100411_12 Calulo Integral Fase 2.docx

TRABAJO COLABORATIVO FASE 2

PRESENTADO POR:

TUTOR: SONIA SORADYA PINILLA

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD ESCUELA CIENCIAS SOCIALES ARTES Y HUMANIDADES ECSAH BOGOTÁ, D.C., MAYO DE 2016

INTRODUCCIÒN

En este proceso se debe realizar los siguientes puntos más los aportes a seguir

Aportes individuales. El estudiante debe generar aportes fundados en el entorno de la unidad número 2 para ello debe realizar 4 ejercicios fundamentados y con estructurados para dar una idea de cómo desarrollo en el trabajo grupal.

PROBLEMAS PROPUESTOS:

2

∞

1. ∫𝟎 𝐞−𝐱 𝐝𝐱

= −e−x |∞ 0 = −e−∞ +e−0 =−

1 +1 e∞

= 𝟏 ( 𝑪𝒐𝒏𝒗𝒆𝒓𝒈𝒆𝒏𝒕𝒆)

2. 𝟏

∫ 0

=∫

−𝟖

1

1 −8 𝑥 3 𝑏

𝟏 𝟑

√𝐱

𝐝𝐱 1

1

𝑑𝑥 + ∫ 1/𝑥 3 𝑑𝑥 0 1

1

1

= 𝑙𝑖𝑚 ∫ 𝑥 −3𝑑𝑥 + 𝑙𝑖𝑚 ∫ 𝑥 −3𝑑𝑥 𝑏→0 −8

𝑏→0 𝑏

3 2/3 𝑏 3 2/3 1 = 𝑥 |−8 + 𝑥 | 2 2 𝑏 3 3 3 3 = 𝑙𝑖𝑚 (𝑏)2/3 − (−8)2/3 + (1)2/3 − 𝑙𝑖𝑚 (𝑏)2/3 𝑏→0 2 𝑏→0 2 2 2 3 3 = − (4) + 2 2 =−

𝟗 𝑪𝒐𝒏𝒗𝒆𝒓𝒈𝒆 𝟐

∞

3. ∫−∞ 𝒆−𝟓𝒙 𝒅𝒙

∝

∝

= ∫ 𝑒 −5𝑥 𝑑𝑥 + ∫ 𝑒 −5𝑥 𝑑𝑥 −∝ 𝑜

0

𝑏

= lim ∫ 𝑒 −5𝑥 𝑑𝑥 + lim ∫ 𝑒 −5𝑥 𝑑𝑥 𝑎→−∝ 𝑎

0

𝑎→∝ 0

1 1 = lim − 𝑒 −5 | + lim − 𝑒 −5 |𝑏𝑜 𝑎→∝ 𝑏→∝ 5 5 𝑎 1 −5 (0) 1 −(∞)5 1 −5 (∞) 1 5(0) =− 𝑒 + 𝑒 − 𝑒 + 𝑒 5 5 5 5 𝟏 𝟏 𝟏 𝟏 = − + 𝟓∗𝟎 − 𝟓∗𝟎 + = 𝟎 𝑪𝒆𝒐𝒏𝒗𝒆𝒓𝒈𝒆 𝟓 𝟓𝒆 𝟓 𝟓𝒆

3

𝟓 𝟒+𝒙

4. ∫𝟐

√𝒙𝟐 −𝟒

𝒅𝒙 5

lim ∫

𝑎→2 𝑎

4+𝑥 √𝑥 2 − 4

dx

Se resuelve la integral:

∫

4+𝑥 √𝑥 2 − 4

𝑑𝑥

𝑋 = 2𝑠𝑒𝑐 𝐷𝑥 = 2 sec. tan 𝑑𝑥 = ∫

(4 + 2𝑆𝑒𝑐).2𝑆𝑒𝑐. 𝑇𝑎𝑛 𝑑𝑥

=∫

√4𝑆𝑒𝑐 2 − 4 (4 + 2𝑆𝑒𝑐).2𝑆𝑒𝑐. 𝑇𝑎𝑛𝑑 √4𝑇𝑎𝑛2 − 4

= 4 ∫ 𝑆𝑒𝑐 𝑑 + 2 ∫ 𝑆𝑒𝑐 2 𝑑 = 4𝐼𝑛 ( 𝑆𝑒𝑐 𝑑 + 2) ∫ 𝑆𝑒𝑐 2 𝑑 = 4𝐼𝑛 ( 𝑆𝑒𝑐 + 𝑇𝑎𝑛) + 2𝑇𝑎𝑛 Sabemos que:

𝑆𝑒𝑐 =

𝑥 4 = 2 𝑐. 𝑎 5

𝑥 + √𝑥 2 − 4 √𝑥 2 − 4 = 4𝐼𝑛 ( )+2 | 2 2 𝑎 = 4𝐼𝑛 (

5 + √52 − 4 ) + √52 − 4 − 4𝐼𝑛 (2 + √4 − 4) − √4 − 4 2 5 + √21 = 4𝐼𝑛 ( ) + √21 − 4𝐼𝑛 (2) 2 = 𝟖, 𝟏

Para resolver diferentes tipos de integrales es indispensable tener en cuenta las propiedades básicas de las integrales (integrales inmediatas) y las diferentes técnicas o métodos de integración con integración inmediata con sustitución, integración por cambio de variable, integración por racionalización e integración por sustitución trigonométrica.

4

Evaluar las siguientes integrales: 5. 𝒙𝟑

∫

√𝟏 − 𝒙𝟐

=∫

𝒅𝒙

𝑥 2 . 𝑑𝑥 √1 − 𝑥 2

𝑢2 = 1 − 𝑥 2 2𝑢 = −2𝑥𝑑𝑥 −𝑢 = 𝑋𝑑𝑥 = −∫

(1 − 𝑢3 )𝑢 𝑑𝑥 √𝑢2

∫ 1 − 𝑢2 𝑑𝑢 = −𝑢 +

𝑢3 3

= − √1 − 𝑥 2 +

(1 + 𝑥 2 )3/2 + 𝐶 3

= − √1 − 𝑥 2 +

√(1 + 𝑥 2 )3 + 𝐶 3

6. 𝟏

∫ 𝟎

√𝒙 𝒅𝒙 √𝒙 + 𝟏

𝑢2 = 𝑥 + 1 𝑥 = 𝑢2 − 1 √𝑥 = √𝑢2 − 1 2𝑢. 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 = 2∫

𝑢√𝑢2 − 1 𝑑𝑢 √𝑢2 5

= 2 ∫ √𝑢2 − 1 𝑑𝑢 𝑈 = 𝑆𝑒𝑐𝜃 =

ℎ 𝑐. 𝑎

𝑑𝑢 = 𝑆𝑒𝑐𝜃 . 𝑇𝑎𝑛 𝜃. 𝑑𝜃 = 2 ∫ √𝑆𝑒𝑐 2 𝜃 − 1 𝑆𝑒𝑐𝜃 𝑇𝑎𝑛𝜃 𝑑𝜃 = 2 ∫ √𝑇𝑎𝑛2 𝜃 𝑆𝑒𝑐𝜃 𝑇𝑎𝑛 𝜃 𝑑𝜃 = 2 ∫ 𝑆𝑒𝑐𝜃 𝑇𝑎𝑛2 𝜃 𝑑𝜃 = 2 ∫ 𝑆𝑒𝑐𝜃 (𝑆𝑒𝑐 2 − 1)𝑑𝜃 = 2[

𝑆𝑒𝑐 𝜃 𝑇𝑎𝑛 𝜃 1 + 𝐼𝑛 ( 𝑆𝑒𝑐 𝜃 + 𝑇𝑎𝑛 𝜃)] − 2𝐼𝑛 (𝑆𝑒𝑐 𝜃 + 𝑇𝑎𝑛 𝜃) 2 2 = 𝑆𝑒𝑐 𝜃 𝑇𝑎𝑛 𝜃 − 𝐼𝑛 ( 𝑆𝑒𝑐 𝜃 + 𝑇𝑎𝑛 𝜃) = 2 ∫ 𝑆𝑒𝑐𝜃 𝑇𝑎𝑛2 𝜃 𝑑𝜃 = 𝑢 ( √𝑢2 − 1 − 𝐼𝑛 ( 𝑢 + √𝑢2 − 1)

= √𝑥 + 1 √𝑥 + 1 − 1 − 𝐼𝑛 ( √𝑥 + 1 + √𝑥 + 1 − 1 |

1 0

1

= √𝑥 + 1 √𝑥 − 𝐼𝑛 ( √𝑥 + 1 + √𝑥 |0 = √1 + 1 √1 − 𝐼𝑛 ( √1 + 1 + √1) − √0 + 1 √0 + 𝐼𝑛 ( √1 + 0) = √𝟐 − 𝑰𝒏 ( 𝟏 + √𝟐) 7. ∫

𝝅 𝟐

𝟎

𝒔𝒆𝒏(𝒙) 𝒅𝒙 𝟐𝟓 + 𝒄𝒐𝒔𝟐 (𝒙) 𝑈 = 𝐶𝑜𝑠 𝑥

−𝑑𝑢 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 =∫

𝑑𝑢 25 + 𝑢2

6

1 𝑢 𝑇𝑎𝑛−1 [ ] 5 5

= −

𝜋

1 cos 𝑥 2 = − 𝑇𝑎𝑛−1 [ ]| 5 5 0

𝜋 𝐶𝑜𝑠 2 1 1 cos 𝜃 −1 = − 𝑇𝑎𝑛 [ ] + 𝑇𝑎𝑛−1 [ ] 5 5 5 5 = −

1 1 𝑇𝑎𝑛−1 [ ] 5 5

= 𝟎, 𝟎𝟑𝟗𝟒

8. ∫

𝒆𝟒𝒙 √𝟒 − (𝒆𝟒𝒙 )𝟐

𝒅𝒙

𝑢 = 𝑒 4𝑥 𝑑𝑢 = 4𝑒 4𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑢 = 𝑒 4𝑥 𝑑𝑥 4 =

1 𝑑𝑢 ∫ 4 √4 − 𝑢2

𝑢 = 2 𝑠𝑒𝑛 𝜃 𝑢 𝜃 = 𝑠𝑒𝑛−1 [ ] 2 𝑑𝑢 = 2 cos 𝜃 𝑑 𝜃 =

1 2 𝐶𝑜𝑠 𝜃 𝑑 𝜃 ∫ 4 √4 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 =

1 ∫ 𝑑𝜃 4 1 = 𝜃 4

7

1 𝑢 𝑆𝑒𝑛 −1 [ ] 4 2

= −

1 𝑢4𝑥 𝑆𝑒𝑛−1 [ ] + 𝐶 4 2

Existen varios metodos para resolver integrales como integracion por racionalizacion, integracion por sustitucion trigonometrica, integracion por partes, integracion por fracciones parciales. Resolver las siguientes integrales enunciando claramente la tecnica o propiedad usada. 9. ∫

𝒅𝒙 √𝒙 . (𝟏 + √𝒙)

𝒅𝒙

𝑈 = 1 + √𝑥 𝐷𝑢 =

1 −1/2 𝑥 𝑑𝑥 2

=2 ∫

𝑑𝑢 𝑢

= 2 𝐼𝑛 𝑢 = 𝟐 𝑰𝒏 ( 𝟏 + √𝒙) + 𝑪

𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊𝒐𝒏 𝒏𝒐𝒓𝒎𝒂𝒍

10. ∫

𝟏 √𝒙𝟐 − 𝟏

𝒅𝒙

𝑥 = 𝑆𝑒𝑐 𝜃 𝑑𝑥 = 𝑆𝑒𝑐 𝜃 𝑇𝑎𝑛 𝜃 𝑑 𝜃 = ∫ = ∫

𝑆𝑒𝑐 𝜃 𝑇𝑎𝑛 𝜃 𝑑 𝜃 √𝑆𝑒𝑐 2 𝜃 − 1 𝑆𝑒𝑐 𝜃 𝑇𝑎𝑛 𝜃 𝑑 𝜃 √𝑇𝑎𝑛 2 𝜃

= ∫ 𝑆𝑒𝑐 𝜃 𝑑𝜃 = 𝐿𝑛 ( 𝑆𝑒𝑐 𝜃 + 𝑇𝑎𝑛 𝜃 ) = 𝑳𝒏 ( 𝒙 + √𝒙𝟐 − 𝟏) + 𝑪

𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝑻𝒓𝒊𝒈𝒐𝒏𝒐𝒎𝒆𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂 8

11. ∫ 𝒆𝒙 𝒔𝒆𝒏 (𝒙)𝒅𝒙 𝑢 = 𝑒𝑥 𝑑𝑢 = 𝑒 𝑥 𝑑𝑥 𝑑𝑣 = 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 −𝑣 = −𝑐𝑜𝑠𝑥 1. ∫ 𝑒 𝑥 𝑠𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝑥 + ∫ 𝑒 𝑥 𝑆𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 𝑢 = 𝑒𝑥

𝑑𝑣 = 𝐶𝑜𝑠𝑥 𝑑𝑥

𝑑𝑢 = 𝑒 𝑥 𝑑𝑥

𝑣 = 𝑆𝑒𝑛 𝑥

∫ 𝑒 𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 𝑆𝑒𝑛 𝑥 − ∫ 𝑒 𝑥 𝑆𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 Reemplazamos en 1 ∫ 𝑒 𝑥 𝑆𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = −𝑒 𝑥 𝐶𝑜𝑠 𝑥 + 𝑒 𝑥 𝑆𝑒𝑛 𝑥 − ∫ 𝑒 𝑥 𝑆𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 2 ∫ 𝑒 𝑥 𝑆𝑒𝑛 𝑥 𝑑𝑥 = 𝑒 𝑥 ( 𝑠𝑒𝑛𝑥 − cos 𝑥 ) ∫ 𝒆𝒙 𝑺𝒆𝒏 𝒙 𝒅𝒙 =

𝒆𝒙 ( 𝒔𝒆𝒏 𝒙 − 𝐜𝐨𝐬 𝒙) + 𝑪 𝟐

𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó𝒏 𝒑𝒐𝒓 𝒑𝒂𝒓𝒕𝒆

9

12. ∫

𝟓𝒙 − 𝟒 𝒅𝒙 𝟐𝒙𝟐 + 𝒙 − 𝟏

1 5𝑥 − 4 = ∫ 2 𝑥2 + 𝑥 − 1 2 2 Complementamos cuadrados

𝑥2 +

𝑥 1 − 2 2

12 12 1 = [𝑥 + ] − [ ] − 4 4 2 12 9 = [𝑥 + ] − 4 16 =

1 ∫ 2

=−

𝑢=𝑥+

5𝑥 − 4𝑑𝑥 12 9 [𝑥 + 4] − 16

1 5𝑥 − 4𝑑𝑥 ∫ 2 9 12 − [𝑥 + 16 4] 1 4

𝑥=𝑢−

1 4

𝒅𝒙 = 𝒅𝒖 1 1 5 ( 𝑢 − 4) − 4 𝑑𝑢 =− ∫ 9 2 2 16 − 𝑢 5 1 5 𝑢 − 4 − 4 𝑑𝑢 =− ∫ 9 2 2 16 − 𝑢 21 1 5 𝑢 − 4 𝑑𝑢 =− ∫ 9 2 2 16 − 𝑢 𝑢=

3 𝑆𝑒𝑛 𝜃 4 10

𝐷𝑢 =

3 𝑐𝑜𝑠 𝜃 𝑑 𝜃 4

3 21 1 (5 . 4 𝑠𝑒𝑛 𝜃 − 4 ) 3/4 cos 𝜃 𝑑𝜃 =− ∫ 9 2 2 16 ( 𝑐𝑜𝑠 𝜃) 15 21 1 ( 4 𝑆𝑒𝑛 𝜃 − 4 ) 𝑑 𝜃 =− ∫ 3 2 4 𝐶𝑜𝑠 𝜃 =− =−

2 15 21 ∫( 𝑇𝑎𝑛 𝜃 − 𝑑𝜃 3 4 4 cos 𝜃

2 15 21 ∫( 𝑇𝑎𝑛 𝜃 − 𝑆𝑒𝑐 𝜃 𝑑 𝜃 3 4 4

=−

2 15 21 [ 𝐼𝑛 𝑆𝑒𝑐 𝜃 − 𝐼𝑛 ( 𝑆𝑒𝑐 𝜃 + 𝑇𝑎𝑛 𝜃)] 3 4 4

𝑢=

3 𝑆𝑒𝑛 𝜃 4

Se sabe que:

=−

𝟓 = − 𝑰𝒏 𝟐

𝑆𝑒𝑛 𝜃 =

4𝑢 𝐶. 𝑂 = 3 ℎ

2 15 3 21 3 + 4𝑢 [ 𝐼𝑛 ( )− 𝐼𝑛 ( )] 3 4 4 √9 − 16𝑢2 √9 − 16𝑢2

𝟑 𝟐 √𝟗 − 𝟏𝟔 (𝒙 + 𝟏) [( 𝟒 )

𝟕 + 𝑰𝒏 ( 𝟐

𝟏 𝟑 + 𝟒 ( 𝒙 + 𝟒) 𝟐 √𝟗 − 𝟏𝟔 ( 𝒙 + 𝟏) 𝟒 ]

+ 𝑪

𝑺𝒖𝒔𝒕𝒊𝒕𝒖𝒄𝒊ó 𝑻𝒓𝒊𝒈𝒐𝒏𝒐𝒎é𝒕𝒓𝒊𝒄𝒂

11

CONCLUSIONES

REFERENCIAS

12