100410_tarea2_graficas_erick_diaz.docx

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA EJERCICIOS, GRÁFICAS y PROBLEMAS TAREA 2: LÍMITES Y CONTINUIDAD

TAREA 2 CÁLCULO DIFERENCIAL (100410 A_611)

Desarrollado por: ERICK FABIAN DIAZ MORALES (Estudiante) Grupo: 100410_83 Programa actual: INGENIERÍA DE SISTEMAS

Desarrollado a: JUAN GABRIEL CABRERA (Director del curso)

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD MARZO de 2019 CEAD BOGOTÁ D.C (JAG)

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A continuación, se presentan los ejercicios y graficas asignados para el desarrollo de Tarea 2, en este grupo de trabajo: EJERCICIOS TAREA 2: LÍMITES Y CONTINUIDAD

Calcular los siguientes límites. Temática

Límite indeterminado por racionalización

Estudiante 1

Estudiante 2

Estudiante 3

𝑙𝑖𝑚

𝑥→∞ √

𝑙𝑖𝑚

𝑥→𝛼

Estudiante 5

𝑥 + √𝑥

𝑥 (√𝑥 2 + 1 − 𝑥)

lim

x→81

Estudiante 4

√𝑥

√𝑥 − 9 𝑥 − 81

√1 + 𝑥 − √1 − 𝑥 𝑙𝑖𝑚 𝑥→0 𝑥

2 − √𝑥 − 3 𝑥→8 𝑥 2 − 64 𝑙𝑖𝑚

Límite indeterminado por factorización y 3 + 3y 2 + 2y lim y→−2 y 2 − y − 6

3

lim

u + 4u + 4u + 2)(u − 3)

4x 3 − 2x 2 + x lim x→0 3x 2 + 2x

𝑥 2 − 5𝑥 + 6 𝑙𝑖𝑚 2 𝑥→2 𝑥 − 12𝑥 + 20

𝑥→5

lim

x→α

2x 3∕2

5− 3x 2 − 4

Límite indeterminado trigonométrico, (no usar método del L’Hopital). 𝑇𝑎𝑛(𝜋𝑥) lim 𝑥→−2 𝑥 + 2

𝜋𝑥 𝐶𝑜𝑠( ) 2 𝑥→1 1 − √𝑥 lim

2

u→−2 (u

𝑙𝑖𝑚

Límite indeterminado al infinito

𝑥 2 − 8𝑥 + 15 𝑥 2 − 25

3 2x − 1 lim √ x→−∞ 7 − 16x

𝑥 − 𝑥 −3 𝑥→−𝛼 3𝑥 + 𝑥 −2 𝑙𝑖𝑚

3x 3 + 2 x→α 9x 3 − 2x 2 + 7 lim

1 4 lim 𝑥 − 2 2 𝑥 x→α

lim

𝑥→0

lim

𝑥→0

lim𝜋 𝑥→

4

Calcular los valores de 𝑎 y 𝑏 para que la función 𝑓(𝑥) sea continua 𝑥 2 + 2 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0 √𝑎𝑥 + 𝑏 𝑠𝑖 0 < 𝑥 ≤ 2 𝑓(𝑥) = −𝑥 3 + 𝑠𝑖 𝑥 > 2 { 2√2 √2 𝑥 2 − 𝑎𝑥 − 6 𝑠𝑖 2 ≤ 𝑥 𝑥2 + 𝑏 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 𝑏 𝑠𝑖 2 ≤ 𝑥 < 3 𝑎 {9 − 𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 3

6𝑥 − 𝑆𝑒𝑛(2𝑥) 2𝑥 + 3𝑆𝑒𝑛(4𝑥)

𝑥 2 + 1 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0 |𝑥 − 𝑎| 𝑠𝑖 0 < 𝑥 < 3 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 3𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 3 { 𝑥+𝑏

𝐶𝑜𝑠 𝑥 𝑇𝑎𝑛 𝑥 𝑥

1 𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0 𝑒 𝑓(𝑥) = { 𝑎𝐶𝑜𝑠𝑥 + 𝑏 𝑠𝑖 0 < 𝑥 ≤ 𝜋 𝑆𝑒𝑛𝑥 − 𝑎𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 𝜋

1 − 𝑇𝑎𝑛(𝑥) 𝑆𝑒𝑛(𝑥) − 𝐶𝑜𝑠(𝑥)

1 1 (1 + 𝑥 2 )𝑥 + 1 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0 𝑎 𝑓(𝑥) = 𝑏𝑥 2 𝑠𝑖 0 < 𝑥 ≤ 3 𝑥2 − 𝑥 − 1 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 3 { 𝑥

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EJERCICIOS

EJERCICIO 1 √𝑥 − 9 x→81 𝑥 − 81 lim

Primero reemplazamos el valor de x para conocer el tipo de indeterminación √𝑥 − 9 √81 − 9 0 = = x→81 𝑥 − 81 81 − 81 0 lim

0

Al reemplazar nos damos cuenta que tenemos una indeterminación 0, entonces podemos removerla, lo que haremos es expresar el denominador como una diferencia de cuadrados, para así quitar la indeterminación, es decir: 1 1 1 1 √𝑥 − 9 √𝑥 − 9 √𝑥 − 9 = lim = lim = lim = = = x→81 𝑥 − 81 x→81 (√𝑥)2 − 92 x→81 (√𝑥 − 9)(√𝑥 + 9) x→81 (√𝑥 + 9) (√81 + 9) (9 + 9) 18 lim

Por lo tanto: 1 √𝑥 − 9 = x→81 𝑥 − 81 18 lim

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EJERCICIO 2 4x 3 − 2x 2 + x x→0 3x 2 + 2x lim

Como tenemos una indeterminación de la forma 0/0, debemos factorizar para evadirla, entonces: 4x 3 − 2x 2 + x 𝑥(4𝑥 2 − 2𝑥 + 1) lim = lim , 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚ú𝑛 𝑥 x→0 x→0 3x 2 + 2x 𝑥(3𝑥 + 2) (4𝑥 2 − 2𝑥 + 1) = lim , 𝑐𝑎𝑛𝑐𝑒𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑥 x→0 (3𝑥 + 2) =

(4(0)2 − 2(0) + 1) 1 = , 𝑟𝑒𝑒𝑚𝑝𝑙𝑎𝑧𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑙 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑥 = 0 (3(0) + 2) 2

Así obtenemos: 4x 3 − 2x 2 + x 1 lim = x→0 3x 2 + 2x 2

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EJERCICIO 3 𝑥 − 𝑥 −3 𝑥→−∞ 3𝑥 + 𝑥 −2 𝑙𝑖𝑚

𝑥 𝑥 −3 𝑥 − 𝑥 −3 𝑥 − 𝑥 , 𝑑𝑖𝑣𝑖𝑑𝑖𝑚𝑜𝑠 𝑒𝑛𝑡𝑟𝑒 𝑙𝑎 𝑚𝑎𝑦𝑜𝑟 𝑝𝑜𝑡𝑒𝑛𝑐𝑖𝑎 𝑙𝑖𝑚 = 𝑙𝑖𝑚 𝑥→−∞ 3𝑥 + 𝑥 −2 𝑥→−∞ 3𝑥 𝑥 −2 + 𝑥 𝑥 𝑥 𝑥 −3 𝑙𝑖𝑚 𝑥 − 𝑙𝑖𝑚 𝑥 𝑥 − 𝑥 −3 𝑥→−𝛼 𝑙𝑖𝑚 = 𝑥→−𝛼 , 𝑥→−∞ 3𝑥 + 𝑥 −2 3𝑥 𝑥 −2 𝑙𝑖𝑚 𝑥 + 𝑙𝑖𝑚 𝑥 𝑥→−𝛼 𝑥→−𝛼 𝑙𝑖𝑚 1 − 𝑙𝑖𝑚 𝑥 −4

=

𝑥→−𝛼

𝑥→−𝛼

𝑙𝑖𝑚 3 + 𝑙𝑖𝑚

𝑥→−𝛼

𝑥→−𝛼

𝑥 −3

=

𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑𝑒𝑠 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒

1−0 1 = , 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑒𝑙 𝑐𝑜𝑛𝑐𝑒𝑝𝑡𝑜 𝑑𝑒 𝑙𝑖𝑚𝑖𝑡𝑒 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑖𝑛𝑓𝑖𝑛𝑖𝑡𝑜 3+0 3

luego 𝑥 − 𝑥 −3 1 𝑙𝑖𝑚 = −2 𝑥→−𝛼 3𝑥 + 𝑥 3

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EJERCICIO 4

6𝑥 − 𝑆𝑒𝑛(2𝑥) 2𝑥 + 3𝑆𝑒𝑛(4𝑥)

lim

𝑥→0

lim

𝑥→0

6𝑥 − 𝑆𝑒𝑛(2𝑥) = lim 2𝑥 + 3𝑆𝑒𝑛(4𝑥) 𝑥→0

𝑆𝑒𝑛(2𝑥) 2𝑥 ) , 𝑡𝑜𝑚𝑎𝑛𝑑𝑜 𝑓𝑎𝑐𝑡𝑜𝑟 𝑐𝑜𝑚ú𝑛 2𝑥 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑛𝑢𝑚𝑒𝑟𝑎𝑑𝑜𝑟 𝑦 4𝑥 𝑒𝑛 𝑒𝑙 𝑑𝑒𝑛𝑜𝑚𝑖𝑛𝑎𝑑𝑜𝑟 1 3𝑆𝑒𝑛(4𝑥) 4𝑥 (2 + ) 4𝑥 2𝑥 (3 −

= lim

𝑆𝑒𝑛(2𝑥) 2𝑥 ) , 𝑐𝑎𝑛𝑐𝑒𝑙𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑥 1 3𝑆𝑒𝑛(4𝑥) 4( + ) 2 4𝑥

= lim

𝑆𝑒𝑛(2𝑥) 2𝑥 ) , 𝑠𝑖𝑚𝑝𝑙𝑖𝑓𝑖𝑐𝑎𝑛𝑑𝑜 1 3𝑆𝑒𝑛(4𝑥) 2 (2 + ) 4𝑥

2 (3 −

𝑥→0

(3 −

𝑥→0

=

3−1 2 2 = = , 𝑎𝑝𝑙𝑖𝑐𝑎𝑚𝑜𝑠 𝑙𝑎 𝑝𝑟𝑜𝑝𝑖𝑒𝑑𝑎𝑑 lim 1 𝑢→0 2(2 + 3) 2(7/2) 7

Por lo tanto, lim

𝑥→0

6𝑥 − 𝑆𝑒𝑛(2𝑥) 2 = 2𝑥 + 3𝑆𝑒𝑛(4𝑥) 7

𝑆𝑒𝑛(𝑢) =1 𝑢

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EJERCICIO 5 𝑥 2 + 1 𝑠𝑖 𝑥 ≤ 0 |𝑥 − 𝑎| 𝑠𝑖 0 < 𝑥 < 3 𝑓(𝑥) = 𝑥 2 + 3𝑥 𝑠𝑖 𝑥 ≥ 3 { 𝑥+𝑏 Solución: Para que una función sea continua, debemos hallar los limites laterales en el punto y estos deben ser iguales, es decir: lim 𝑥 2 + 1 = 0 + 1 = 1

𝑥→0−

lim |𝑥 − 𝑎| = |0 − 𝑎| = 𝑎

𝑥→0+

Como los limites laterales deben ser iguales, entonces tenemos que a=1 Ahora hallamos los limites laterales en x=3 lim |𝑥 − 𝑎| = lim−|𝑥 − 1| = |3 − 1| = 2

𝑥→3−

lim+

𝑥→3

𝑥→3

𝑥 2 +3𝑥 𝑥+𝑏

=

32 +3(3) 3+𝑏

9+9

18

= 3+𝑏 = 3+𝑏

Como los limites laterales deben ser iguales entonces 18 =2 3+𝑏

→ 18 = 2(3 + 𝑏) → 18 = 6 + 2𝑏 → 18 − 6 = 2𝑏 →

12 =𝑏 → 𝑏=6 2

Luego concluimos que para que la función f(x) sea continua los valores de a y b. son a=1 y b=6

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA EJERCICIOS, GRÁFICAS y PROBLEMAS TAREA 2: LÍMITES Y CONTINUIDAD Graficar función a trozos encontrando el punto de (a) que hace que la función sea continua. (Geogebra). Demostrar matemáticamente y realizar el respectivo análisis. 𝑥 + 2𝑎 − 2 𝑆𝑖 𝑥 < 2 a) 𝑓(𝑥) = { 𝑥 2 + 3 𝑆𝑖 𝑥  2 Estudiante 1 b) 𝑓(𝑥) = {

𝑥 + 2𝑎 𝑥 4

2

+2

𝑆𝑖 𝑥 < 𝑆𝑖 𝑥 

3 2

3 2

𝑆𝑖 𝑥 < −1 a) 𝑓(𝑥) = {𝑥 − 23𝑎 − 2 2𝑥 − 𝑥 𝑆𝑖 𝑥  − 1 Estudiante 2

𝑥+𝑎 b) 𝑓(𝑥) = {2 + 4 𝑥

a) 𝑓(𝑥) = {

𝑆𝑖 𝑥 < 3 𝑆𝑖 𝑥  3

𝑥 2 − 2𝑎 + 3 𝑥2 + 1

Estudiante 3

2𝑥 2 − 3𝑎 b) 𝑓(𝑥) = { 4 −3 𝑥

𝑆𝑖 𝑥 < 𝑆𝑖 𝑥 

1 2

1 2

𝑆𝑖 𝑥 < 2 𝑆𝑖 𝑥  2

2 𝑆𝑖 𝑥 < −2 a) 𝑓(𝑥) = {𝑥 −2 3𝑎 + 4 𝑥 − 3𝑥 𝑆𝑖 𝑥  − 2

Estudiante 4

𝑥 2 + 2𝑎 b) 𝑓(𝑥) = { 4 +4 𝑥

a) 𝑓(𝑥) = {

2𝑥 3 + 2𝑎 − 2 𝑥2 − 3

Estudiante 5

𝑆𝑖 𝑥 < 5 𝑆𝑖 𝑥  5 𝑆𝑖 𝑥 < 𝑆𝑖 𝑥 

4 3

4 3

3𝑥 3 − 3𝑎 𝑆𝑖 𝑥 < −3 b) 𝑓(𝑥) = { 4 +2 𝑆𝑖 𝑥  − 3 𝑥

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GRAFICAS GRAFICA 1 𝑥 2 − 2𝑎 + 3

𝑆𝑖 𝑥 <

𝑎) 𝑓(𝑥) = { 𝑥2 + 1

𝑆𝑖 𝑥 

1 2

1 2

1

Para encontrar el valor de a, para que la función sea continua debemos encontrar los limites laterales en el punto 𝑥 = 2, y además estos deben ser iguales 1 2

1

lim− 𝑥2 − 2𝑎 + 3 = (2) − 2𝑎 + 3 = 4 − 2𝑎 + 3 =

1 𝑥→ 2

1 2 2

1 4

lim+ 𝑥2 + 1 = ( ) + 1 = + 1 =

1 𝑥→ 2

13 − 2𝑎 4

5 4

Ahora igualamos los limites para hallar el valor de a 13 5 13 5 8 − 2𝑎 = → − = 2𝑎 → = 2𝑎 → 2 = 2𝑎 → 𝑎 = 1 4 4 4 4 4 Luego para que la función sea continua el valor de a, es a=1

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GEOGEBRA En la gráfica se observa que para que la función sea continua, el valor de a=1, pero en si lo que se observa es que se tiene la misma ecuación para ambas partes de la función, es decir, en si la función en todo su dominio es 𝑥 2 + 1

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GRAFICA 2 2𝑥 2 − 3𝑎 𝑏) 𝑓(𝑥) = { 4 −3 𝑥

𝑆𝑖 𝑥 < 2 𝑆𝑖 𝑥  2

Para realizar este ejercicio lo haremos de forma análoga al literal anterior, es decir hallaremos los limites laterales en el punto x=2 2

lim 2𝑥 − 3𝑎 = 2(2)2 − 3𝑎 = 8 − 3𝑎

𝑥→2−

4

4

lim− 𝑥 − 3 = 2 − 3 = 2 − 3 = −1

𝑥→2

Ahora igualamos los limites 8 − 3𝑎 = −1 → 8 + 1 = 3𝑎 → 9 = 3𝑎 → 𝑎 = 3

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GEOGEBRA Nos damos cuenta que el valor de a, para que la función sea continua es correcto, además vemos como las funciones se unen en el punto x=2

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BIBLIOGRAFIA

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García, G. Y. L. (2010). Introducción al Cálculo Diferencial. Capítulo 4- Límite de una función. Pág. 66. Propiedades Fundamentales de los Límites. Pág 67-74. Límites al Infinito. Pág. 77. Límites Laterales. Pág. 82. Continuidad. Pág 92-97. México, D.F., MX: Instituto Politécnico Nacional. Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2051/login.aspx?direct=true&db=edsebk&AN=865890&lang=es&site=eds-live Guerrero, T. G. (2014). Cá lculo diferencial: Serie universitaria patria. Concepto Intuitivo de Límite. Pág2-3. Límites Unilaterlaes. Pág. 3-4. Límites Bilaterales Pág 4-5. Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co/login?url=http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=true&db=edselb&AN=edselb .3227452&lang=es&site=eds-live Cabrera, J. (2018). OVA. Problemas de Aplicación Límites y Continuidad. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/19077 Cabrera, J. (2017). OVI - Continuidad en geogebra. Universidad Nacional Abierta y a Distancia. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/11623