100410_tarea1__ejercicios_erick_diaz.pdf

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA – UNAD ESCUELA DE CIENCIAS BÁSICAS TECNOLOGÍA E INGENIERÍA EJERCICIOS Y GRAFICAS TAREA 1: FUNCIONES Y SUCESIONES.

TAREA 1 CÁLCULO DIFERENCIAL (100410 A_611)

Desarrollado por: ERICK FABIAN DIAZ MORALES (Estudiante) Grupo: 100410_83 Programa actual: INGENIERÍA DE SISTEMAS

Desarrollado a: JUAN GABRIEL CABRERA (Director del curso)

UNIVERSIDAD NACIONAL ABIERTA Y A DISTANCIA UNAD FEBRERO de 2019 CEAD BOGOTÁ D.C (JAG)

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A continuación, se presentan los ejercicios y gráficas asignados para el desarrollo de Tarea 1, en este grupo de trabajo, debe escoger un numero de estudiante y desarrollar los ejercicios propuestos para este estudiante, El ejercicio 2 aplica para todos los miembros del grupo y debe ser desarrollado cumpliendo los parámetros solicitados en el enunciado. EJERCICIOS 1. Determine el rango y el dominio de las siguientes funciones: Estudiante 1 Estudiante 2 Estudiante 3

a. 𝑓(𝑥) =

3𝑥 2 𝑥+1

b. 𝑓(𝑥) =

(4𝑥+1)3

c. 𝑓(𝑥) =

(2𝑥+3)4

8𝑥−2

𝑥−5

Estudiante 4

d. 𝑓(𝑥) = √5𝑥 3 (3𝑥 + 2)5

Estudiante 5

e. 𝑓(𝑥) = √(𝑥 − 3)(2𝑥 + 6)7𝑥 3

3

2. Proponga una gráfica que describa la relación entre dos variables con una de ellas describiendo el tiempo en un término no menor a 3 años con valores mensuales, de alguna situación aplicable a su contexto profesional (administración, Ingeniería, Agronomía, Etc.). De acuerdo con lo propuesto deberá identificar: a. Las variables dependiente e independiente. b. Valor máximo y mínimo. c. Rango y Domino de la función

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3. Hallar la ecuación de la recta que pasa por el punto C y es perpendicular a la recta que pasa por los puntos A y B. Graficar las dos rectas en GeoGebra encontrando su punto de intersección y verificando el ángulo entre ellas. Estudiante 1

𝐴(0,3); 𝐵(2, 5); 𝐶(1, 4) 𝐴(−1,6); 𝐵(−2, −5); 𝐶(2, −7) 𝐴(2, −2); 𝐵(2, − 4); 𝐶(1, −6) 𝐴(3,0); 𝐵(5, 2); 𝐶(4,1) 𝐴(5,2); 𝐵(6, 1); 𝐶(7,2)

Estudiante 2 Estudiante 3 Estudiante 4 Estudiante 5

4.

Si 𝑓(𝑥) = √(−3𝑥 + 4)3 evaluar: Estudiante 1 Estudiante 2

a. 𝑓(

1 𝑥+1

)

1

b. 𝑓( + 1) 𝑥

Estudiante 3

c. 𝑓(𝑥 3 )

Estudiante 4

d. 𝑓(√𝑥)

Estudiante 5

e. 𝑓(𝑓(𝑥)2 )

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5. Dadas las siguientes sucesiones calcular el enésimo término y calcular el término correspondiente a su edad. a. Sucesión Aritmética Estudiante 1 Estudiante 2

1 3 𝑈𝑛 = 0, , 1, … 𝑢𝑛 2 2 𝑈𝑛 = −10, − 8, −6, − 4 … 𝑢𝑛

Estudiante 3

𝑈𝑛 = 2, 7, 12, 17 … 𝑢𝑛

Estudiante 4

𝑈𝑛 = 3, −6, −15, −24 … 𝑢𝑛

Estudiante 5

1 2 4 𝑈𝑛 = , , 1, … 𝑢𝑛 3 3 3

b. Sucesión Geométrica

𝑈𝑛 = 2, 8, 32, 128 … 𝑢𝑛 1 1 𝑈𝑛 = 2, −1, , − … 𝑢𝑛 2 4 2 3 9 𝑈𝑛 = − , −1, − , − … 𝑢𝑛 3 2 4 1 1 1 1 𝑈𝑛 = , , , … 𝑢𝑛 3 9 27 81 𝑈𝑛 = 1, 3, 9, 27 … 𝑢𝑛

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EJERCICIOS EJERCICIO 1 El dominio de una función me indica los valores de entrada para los cuales la función es real y está definida. En la función: 𝑓(𝑥) =

(2𝑥 + 3)4 𝑥−5

Hay una singularidad cuando 𝑥 = 5 porque el denominador sería nulo y eso arrojaría una indeterminación. Por lo tanto, x puede tomar todos los valores exceptuando el 5. Df = 𝑥 ∈ 𝑅\ 𝑥 < 5 v 𝑥 > 5 El rango de una función me indica los valores de la variable dependiente para los cuales la función está definida. En la función 𝑓(𝑥) =

(2𝑥 + 3)4 𝑥−5

Para determinar el rango recurrimos observar la gráfica que produce la función:

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Inicialmente nos damos cuenta que la función se debe analizar en dos tramos. Para −∞ < 𝑥 < 5, la función solo toma valores negativos incluyendo al cero, por lo que −∞ < 𝑓(𝑥) ≤ 0. Por otro lado, para 5 < 𝑥 < ∞ se tiene que:

1124864 27

≤ 𝑓(𝑥) ≤ ∞ , De este

modo: R f = 𝑓(𝑥) ∈ 𝑅\ 𝑓(𝑥) ≤ 0 𝑜 𝑓(𝑥) ≥

1124864 ≈ 41600 27

EJERCICIO 2 Una consultoría decide analizar la cantidad de usuarios que ingresan o salen de una red social mensualmente. El análisis lo realizan durante 5 años.

Relacion t vs U 150,0

usuarios U (#)

100,0 50,0

0,0 0

10

20

30

40

-50,0 -100,0 -150,0

tiempo t (meses)

50

60

70

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Las variables que aquí se relacionan son: el número de Usuarios [U] y el tiempo [dado en meses]. Claramente se presenta que la variable U está en función del tiempo 𝑈(𝑡) La función que describe la gráfica es: 𝑈(𝑡) = 100 ∗ 𝑠𝑒𝑛(𝑡) Para determinar su máximo o mínimo, entonces se deriva la función e igualamos a 0: 𝑑𝑈(𝑡) = 100 ∗ 𝑐𝑜𝑠(𝑡) 𝑑𝑡 100 ∗ 𝑐𝑜𝑠(𝑡) = 0 Por lo tanto: 𝑐𝑜𝑠(𝑡) = 0 → 𝑡 =

𝜋 3𝜋 + 2𝜋𝑛; + 2𝜋𝑛 2 2

Evaluando las anteriores t en la función U(t): 𝜋 𝑈𝑚𝑎𝑥 = 100 ∗ 𝑠𝑒𝑛 ( + 2𝜋𝑛) 2 𝑈𝑚𝑎𝑥 = 100 𝑈𝑚𝑖𝑛 = −100 Eso quiere decir que el máximo de usuarios alcanza las 100 personas mensualmente, mientras que también puede ocurrir que se pierdan 100 personas al mes. Además, como el número de personas oscila entre -100 y 100, se sabe que el dominio es todos los reales, pues el tiempo se puede tener en cuenta en todo real, mientras que el rango son solo los que están entre [-100,100]

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EJERCICIO 3 Inicialmente determinemos la ecuación de la recta que pasa por lo puntos 𝐴(𝐴𝑥 , 𝐴𝑦 ) y B(𝐵𝑥 , 𝐵𝑦 ). Calculemos su pendiente con la fórmula: 𝑚𝐴𝐵 =

𝐵𝑦 − 𝐴𝑦 𝐵𝑥 − 𝐴𝑥

A través de los valores dados por el ejercicio: 𝑚𝐴𝐵 =

−4 − (−2) −4 + 2 −2 = = → 𝑖𝑛𝑑𝑒𝑡𝑒𝑟𝑚𝑖𝑛𝑎𝑐𝑖ó𝑛 2−2 0 0

Eso quiere decir que la recta es paralela al eje y, de la forma 𝒙 = 𝟐 que es el valor común en ambos puntos. Como necesitamos la recta que sea perpendicular a la anterior recta, y sabemos que es paralela al eje y, entonces esta deberá ser perpendicular al eje y, (𝑦 = 𝑘)𝑐𝑜𝑛 𝑒𝑙 𝑣𝑎𝑙𝑜𝑟 𝑑𝑒 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑛𝑠𝑡𝑎𝑛𝑡𝑒 𝑖𝑔𝑢𝑎𝑙 𝑎 𝑙𝑎 𝑐𝑜𝑜𝑟𝑑𝑒𝑛𝑎𝑑𝑎 𝑒𝑛 𝑐. Esto es 𝒚 = −𝟔 El punto de intersección serán precisamente los valores de x (de la primera recta) e y (de la segunda recta). Esto es: (𝑥, 𝑦)𝑖𝑛𝑡𝑒𝑟𝑠𝑒𝑐𝑐𝑖ó𝑛 = (2, −6)

Para verificar que el ángulo entre los dos es 90, basta con considerar que la primera es paralela al eje y . La segunda es perpendicular al eje y. Por transitividad, se supone entonces que la primera recta es perpendicular a la segunda.

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Veamos su grafica en Geogebra:

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EJERCICIO 4 Evaluar una variable en una función consiste en reemplazar dicha variable en las posiciones de x de la función. 𝑓(𝑥) = √(−3𝑥 + 4)3 Reemplazando entonces: 𝑓(𝑥 3 ) = √(−3(𝑥 3 ) + 4)3 Simplificando la función: 𝑓(𝑥 3 ) = √(−3𝑥 3 + 4)3 Aplicando producto notable 𝑓(𝑥 3 ) = √1 ∗ (−3𝑥 3 )3 + 3 ∗ (−3𝑥 3 )2 (4) + 3 ∗ (−3𝑥 3 )(4)2 + 1 ∗ ((4)3 ) Re-simplificando: 𝑓(𝑥 3 ) = √−27𝑥 9 + 108𝑥 6 − 144𝑥 3 + 64 Donde, se han distribuido los exponentes en caso de un producto de bases, y los signos se han simplificado por ley de signos. Entonces:

𝑓(𝑥 3 ) = √−27𝑥 9 + 108𝑥 6 − 144𝑥 3 + 64

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EJERCICIO 5 Estudiante 3

𝑈𝑛 = 2, 7, 12, 17 … 𝑢𝑛

2 3 9 𝑈𝑛 = − , −1, − , − … 𝑢𝑛 3 2 4

Sucesión Aritmética 𝑈𝑛 = 2, 7, 12, 17 … 𝑢𝑛 El enésimo término de una sucesión aritmética se obtiene a partir de: 𝑢𝑛 = 𝑢1 + (𝑛 − 1)𝑑 Donde u1 es el termino inicial y d es la diferencia común. Obtengamos esta última: 𝑑 = 𝑢𝑛+1 − 𝑢𝑛 Con cualquiera de los datos se puede encontrar la diferencia común, pues debería dar igual independientemente el valor de n. 𝑑 = 7 − 2 = 12 − 7 = 17 − 12 = 5 Por lo tanto: 𝑑=5 De esta manera el termino n-ésimo viene dado por: 𝑢𝑛 = 2 + (𝑛 − 1)(5) = 2 + 5𝑛 − 5 = 5𝑛 − 3 𝑢𝑛 = 5𝑛 − 3

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Termino correspondiente a la edad: (n=22 años) 𝑢𝑛=22 = 5(22) − 3 𝑢𝑛=22 = 110 − 3 𝑢22 = 107

Sucesión Geométrica

2 3

3 2

9 4

𝑈𝑛 = − , −1, − , − … 𝑢𝑛 El enésimo término de una sucesión geométrica se obtiene a partir de: 𝑢𝑛 = 𝑢1 𝑟 𝑛−1 Donde u1 es el termino inicial y r es la razón común. Obtengamos esta última: 𝑟=

−1 −3/2 −9/4 = = −2/3 −1 −3/2 𝑟=

3 2

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De esta manera el termino n-ésimo viene dado por: 2 3 𝑛−1 𝑢𝑛 = (− ) ( ) 3 2 Simplificando: 3 −1 3 𝑛−1 𝑢𝑛 = − ( ) ( ) 2 2 3 𝑛−2 𝑢𝑛 = − ( ) 2

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BIBLIOGRAFIA

•

García, G. Y. L. (2010). Introducción al cálculo diferencial. Dominio y Rango de una función. Pág. 30-34. Tipos de Funciones. Pág 35-41. Funciones Invertibles. 49-50. Paridad y Periodicidad. Pág. 61 México, D.F., MX: Instituto Politécnico Nacional. Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co:2051/login.aspx?direct=true&db=edsebk&AN=865890&lang=es&site=eds-live

•

Rivera, F. A. (2014). Cálculo diferencial: fundamentos, aplicaciones y notas históricas. Pág 157-164. Sucesiones Monótonas, acotadas y límite de una sucesión. Recuperado de: http://bibliotecavirtual.unad.edu.co/login?url=http://search.ebscohost.com/login.aspx?direct=true&db=edselb&AN=edselb.3227460&lan g=es&site=eds-live

•

Cabrera, J. (2018). OVA –Funciones en Geogebra. Recuperado de: http://hdl.handle.net/10596/18813

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