100 Soal Olimpiade Matematika & Pembahasan Farijan.pdf

100 SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA DAN PEMBAHASAN SMAN 1 MASBAGIK ACHMAD FARIJAN,S.Pd.

100 SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA DAN PEMBAHASAN SMAN 1 MASBAGIK ACHMAD FARIJAN,S.Pd.

1. Jika m bilangan bulat positif, tentukan nilai m yang menyebabkan 2002 : (m2 – 2) juga merupakan bilangan bulat positif 2. Nomor polisi mobil di sebuah negara selalu berupa bilangan 4 angka. Selain itu, jumlah keempat angka pada setiap nomor juga harus habis dibagi 5. Nomor polisi terbesar yang diperbolehkan negara itu adalah …. 3. Berapa banyak bilangan antara 100 dan 400 yang memiliki angka terakhir 5? 4. Carilah semua bilangan bulat positif yang kurang dari 10000 sedemikian hingga jumlah digit pertama dan digit terakhirnya 10 5. Hitunglah hasil dari 12 – 22 + 32 – 42 + 52 – 62 + …. + 20092 – 20102 + 20112 6. Berapa digit satuan dari 17103 + 5? 7. Dengan menggunakan digit-digit 0, 1, 2, 3, … , 9, masing-masing hanya sekali. Buatlah dua buah bilangan bulat positif 5 angka yang berbeda sedemikian hingga selisih positif dari kedua bilangan itu paling kecil 8. (OSP 2009) Tiga dadu berwarna hitam, merah, dan putih dilempar bersama-sama. Macam hasil lemparan sehingga jumlah ketiga mata dadu adalah 8 sebanyak …… 9. (OSP 2006) Sebuah himpunan tiga bilangan asli disebut himpunan aritmatika jika salah satu unsurnya merupakan rata-rata dari dua unsur lainnya. Banyaknya subhimpunan aritmatika dari {1,2,3,….,8} adalah ….. 10. (OSP 2011) Banyak bilangan tiga digit yang semua digit-digitnya berbeda dan digit terakhirnya merupakan hasil penjumlahan dari dua digit yang lainnya adalah ….. 11. (OSK 2016) Misalkan 𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒,𝑓 adalah sebarang pengurutan dari (1,2,3,4,5,6). Banyaknya pengurutan sehingga 𝑎+𝑐+𝑒>𝑏+𝑑+𝑓 adalah ….. 12. (OSP 2003) Berapakah banyaknya cara memilih tiga bilangan berbeda sehingga tidak ada dua bilangan yang berurutan, jika bilangan-bilangan tersebut dipilih dari himpunan {1, 2, 3, ….., 9, 10 } ? 13. (OSP 2005) Di dalam sebuah kotak terdapat 4 bola yang masing-masing bernomor 1, 2, 3 dan 4. Anggi mengambil bola secara acak, mencatat nomornya, dan mengembalikannya ke dalam kotak. Hal yang sama ia lakukan sebanyak 4 kali. Misalkan jumlah dari keempat nomor bola yang terambil adalah 12. Berapakah peluang bola yang terambil selalu bernomor 3? 14. (OSP 2013) Bilangan asli n dikatakan “cantik” jika n terdiri dari 3 digit berbeda atau lebih dan digit-digit penyusunnya tersebut membentuk barisan aritmatika atau barisan geometri. Sebagai contoh 123 bilangan cantik karena 1, 2, 3 membentuk barisan aritmatika. Banyak bilangan cantik adalah ……

15. (OSK 2003) Hari ini usiaku 1/3 kali usia ayahku. Lima tahun yang lalu, usiaku 1/4 kali usia ayahku pada waktu itu. Berapakah usiaku sekarang ? 16. (OSK 2004) Delegasi Indonesia ke suatu pertemuan pemuda internasional terdiri dari 5 orang. Ada 7 orang pria dan 5 orang wanita yang mencalonkan diri untuk menjadi anggota delegasi. Jika dipersyaratkan bahwa paling sedikit seorang anggota itu harus wanita, banyaknya cara memilih anggota delegasi adalah …

100 SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA DAN PEMBAHASAN SMAN 1 MASBAGIK ACHMAD FARIJAN,S.Pd.

17. (OSK 2013) Suatu dadu ditos enam kali. Banyak cara memperoleh jumlah mata yang muncul 28 dengan tepat satu dadu muncul 6 adalah …. 18. (OSK 2012) Tentukan angka satuan pada (2012)2012 19. Tentukan dua angka terakhir dari 432014 20. (OSP 2009) Suatu fungsi f : Z

Q mempunyai sifat

1+𝑓(𝑥)

f(x+1) = 1−𝑓(𝑥)untuk setiap x € Z. Jika f(2) = 2, maka nilai fungsi f(2009) adalah ….. 21. (OSP 2011) diberikan barisan bilangan rasional {𝑎𝑘 }𝑘∈𝑁 yang didefinisikan 𝑎 −1

𝑎1 = 2 𝑑𝑎𝑛 𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛+1 , 𝑛 ∈ 𝑁 tentukan nilai 𝑎2011 𝑛

22. (OSP 2011) Jika kedua akar persamaan x2 - 2013x + k = 0 adalah bilangan prima, maka nilai k yang mungkin adalah …… 23. (OSP 2012) Misalkan 𝑥; 𝑦; dan 𝑧 adalah bilangan-bilangan prima yang memenuhi persamaan 34𝑥−51𝑦=2012𝑧 Nilai dari 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 adalah …

24. (OSP 2012) Carilah semua pasangan bilangan real (x, y, z) yang memenuhi sistem persamaan 𝑥 = 1 + √𝑦 − 𝑧 2 𝑦 = 1 + √𝑧 − 𝑥 2 𝑧 = 1 + √𝑥 − 𝑦 2

25. Tentukan bilangan bulat positif terbesar n sehinga n  1n 4  2n   3n 3  57 habis dibagi oleh n2  2 .

26. Jika 62ab427 adalah suatu kelipatan 99, tentukan digit a dan b. 27. Pada penyusunan nomer telepon dengan 7 angka digunakan digit yaitu 0,1,2,3,4,5,7,8. Tidak ada nomer telepon yang diijinkan menggunakan awal 0, 1 atau 5. Tentukan banyaknya nomer telepon yang mungkin dari kriteria berikut (1). Semua digit boleh diulang (2) Tidak ada digit yang boleh berulang (3) Digit boleh diulang, tetapi nomer telepon harus genap (4) Digit dapat diulang, tetapi nomer telepon ganjil (5) Digit-digit tidak boleh diulang dan nomer telepon harus ganjil.

28. Ada berapa macam cara jika dari 20 orang siswa, ada 5 macam test yang harus diikuti oleh 4 orang siswa ?. 29. Ada berapa cara kita dapat menulis bilangan 10 sebagai jumlahan dari 3 bilangan positif ?.Disini urutan penulisan 1 + 8 + 1 dianggap susunan yang berbeda dengan 8 + 1 +1.

100 SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA DAN PEMBAHASAN SMAN 1 MASBAGIK ACHMAD FARIJAN,S.Pd.

30. Diketahui bilangan real positif a, b, dan c sedemikian hingga

a b c   , Tentukan nilai b c a

3a  2b  c . 3a  2b  c 31. Tentukan nilai dari

1 1 2



1 2 3



1 3 4



1 5 6

 ... 

1 99  100

=…

32. Tentukan nilai dari :

33. Berdasarkan sifat angka 7, tentukan bilangan satuan dari 71234 + 72341 + 73412 + 74123 tanpa menghitung tuntas 34. Bagaimana cara termudah untuk mencari 32008 (102013 + 52012 . 22011) 52012 (62010 + 32009 . 22008)

35. Banyaknya faktor bulat positif dari 2015 adalah .... ( OSK 2015 ) 36. Suatu dadu ditos enam kali. Probabilitas jumlah mata yang muncul 9 adalah ... ( OSK 2015 ) 37. Diberikan trapesium ABCD, dengan AB sejajar DC dan AB = 84 serta DC = 25. Jika trapesium ABCD memiliki lingkaran dalam yang menyinggung keempat sisinya, keliling trapesium ABCD adalah .... ( OSK 2015 ) 38. Bilangan bulat x jika dikalikan 11 terletak diantara 1500 dan 2000. Jika x dikalikan 7 terletak antara 970 dan 1275. Jika x dikalikan 5 terletak antara 960 dan 900. Banyaknya bilangan x sedemikian yang habis dibagi 3 sekaligus habis dibagi 5 ada sebanyak …. ( OSK 2015 ) 39. Suatu sekolah mempunyai lima kelompok belajar siswa kelas 11. Kelompok-kelompok belajar itu berturut-turut mengirimkan 2, 2, 2, 3, dan 3 siswa untuk suatu pertemuan. Mereka akan duduk melingkar sehingga setiap siswa memiliki paling sedikit satu teman dari kelompok belajar yang sama yang duduk disampingnya. Banyaknya cara melakukan hal tersebut adalah ( OSK 2015 )

100 SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA DAN PEMBAHASAN SMAN 1 MASBAGIK ACHMAD FARIJAN,S.Pd.

40. In triangle , , and the altitude from divides segments of length 3 and 17. What is the area of triangle ? ( AIME 1988 )

41.

into

Diketahui CD diameter lingkaran O. DE

A

= 50 dan EAD = 50. Tentukanlah

E ●

besar DAB. O ●

D●

( Math Contests, New Jersey 1982 ) C

●F B

42.

ACH dan BDG adalah dua buah seperempat lingkaran dengan jari-jari 10 cm. Hitung luas daerah yang diarsir! (KomMat DKI/MGMP tkt Semifinal 2009 )

43. Keliling sebuah segitiga adalah 8.Jika panjang sisi-sisinya adalah bilangan bulat,maka luas segitiga tersebut sama dengan….( OSK 2007) 44. Pada segitiga ABC yang siku-siku di C, AE dan BF adalah garis-garis berat(median). Maka

AE  BF 2

AB

2

2

=….. ( OSK 2007 )

45. Pada segitiga PQR sama sisi diberikan titik-titik S dan T yang terletak berturut-turut pada sisi QR dan PR demikian rupa, sehingga sudut SPR=400 dan sudut TQR=350. Jika titik X adalah perpotongan garis-garis PS dan QT,maka sudut SXT=…. ( OSK 2007 )

46. Jika a679b adalah bilangan lima angka yang habis dibagi 72, tentukan nilai a dan b. (Sumber : Canadian Mathematical Olympiad 1980)

100 SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA DAN PEMBAHASAN SMAN 1 MASBAGIK ACHMAD FARIJAN,S.Pd.

47. Segitiga ABC memiliki sisi AB = 137, AC = 241 dan BC = 200. Titik D terletak pada sisi BC sehingga lingkaran dalam ΔABD dan lingkaran dalam ΔACD menyinggung sisi AD di titik yang sama, yaitu E. Tentukan panjang CD. (Sumber : Canadian Open Mathematics Challenge 1997)

48. Tentukan bilangan real x, y dan z yang memenuhi sistem persamaan : 𝑥 − √𝑦𝑧 = 42 𝑦 − √𝑥𝑧 = 6 𝑧 − √𝑥𝑦 = −30 (Sumber : Canadian Open Mathematics Challenge 1997)

49. Sebuah trapesium DEFG dengan sebuah lingkaran dalam menyinggung keempat sisinya dan berjari-jari 2 serta berpusat di C. Sisi DE dan GF adalah sisi yang sejajar dengan DE < GF o

dan DE = 3. Diketahui bahwa ∠DEF = ∠EFG = 90 . Tentukan luas trapesium. (Sumber : Canadian Open Mathematics Challenge 1999)

2

2

50. Jika a = 7b + 51 dan b = 7a + 51 dengan a dan b bilangan real berbeda, tentukan hasil kali ab. (Sumber : KRMO 1996)

51. Tentukan semua pasangan bilangan bulat tak negatif (x, y) yang memenuhi 2

2

2

(xy − 7) = x + y . (Sumber : Pra Seleksi Olimpiade Matematika Indonesia 1997) 2

3

4

8

1

2

3

7

52. 𝑥1 = 97, 𝑥2 = 𝑥 , 𝑥3 = 𝑥 , 𝑥4 = 𝑥 , … . 𝑥8 = 𝑥 . 𝑡𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘𝑎𝑛 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑥1 × 𝑥2 × 𝑥3 × … × 𝑥8 (Sumber : American Invitational Mathematics Examination 1985) 2

2 2

2

2 2

53. m dan n adalah bilangan bulat yang memenuhi m + 3m n = 30n + 517. Tentukan 3m n . (Sumber : American Invitational Mathematics Examination 1987) 54. Diberikan bahwa : x1 + 4x2 + 9x3 + 16x4 + 25x5 + 36x6 + 49x7 = 1 4x1 + 9x2 + 16x3 + 25x4 + 36x5 + 49x6 + 64x7 = 12 9x1 + 16x2 + 25x3 + 36x4 + 49x5 + 64x6 + 81x7 = 123 Tentukan 16x1 + 25x2 + 36x3 + 49x4 + 64x5 + 81x6 + 100x7 (Sumber : American Invitational Mathematics Examination 1989)

100 SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA DAN PEMBAHASAN SMAN 1 MASBAGIK ACHMAD FARIJAN,S.Pd.

55. Pada sebuah persegi panjang berukuran 25 × 20 akan dibuat bujursangkar sehingga menutupi seluruh bagian persegi panjang tersebut. Berapa banyak bujursangkat yang mungkin dapat dibuat? ( OSK 2010 ) 56. Diketahui segitiga ABC siku-siku di A, dan pada masing-masing sisi dibuat setengah lingkaran kearah keluar. Jika luas setengah lingkaran pada sisi AB dan AC adalah 396 dan 1100, berturut-turut, maka luas setengah lingkaran pada sisi BC adalah.... ( OSK 2010 ) 57. Suppose that

and

are three positive numbers that satisfy the equations

and prime positive integers. Find 58. Find

Then . ( AIME 2000)

if the real numbers

,

,

, and

where

and

are relatively

satisfy the equations ( AIME 1990)

59. Tentukan jumlah 5 bilangan pertama dari deret aritmetika yang merupakan bilangan prima pertama 60. Find

if and

are positive integers such that ( AIME 1991 )

61. Perhatikan Gambar, yaitu 4 buah layang-layang kongruen yang memuat pada persegi dan ternyata masih tersisa daerah persegi yang diarsir. Jika panjang p = 3√2 cm, dan q = 5√2 cm, maka luas daerah yang diarsir adalah ….

62. Perhatikan gambar berikut ini.

Dari gambar di atas diketahui bahwa jari- jari lingkaran kecil adalah 3 cm dan jari-jari lingkaran besar adalah 5 cm. Panjang CD adalah ……cm.

100 SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA DAN PEMBAHASAN SMAN 1 MASBAGIK ACHMAD FARIJAN,S.Pd.

63. Enam belas tim sepak bola mengikuti turnamen. Pertama-tama mereka dikelompokkan ke dalam 4 kelompok dengan masing-masing 4 tim di setiap kelompoknya. Di setiap kelompok mereka saling bermain satu sama lain satu kali. Dua tim yang memiliki peringkat teratas selanjutnya maju babak berikutnya yang menggunakan sistem gugur (kalah langsung tereliminasi) sampai ditemukan juaranya. Berapa banyak pertandingan yang berlangsung dalam turnamen tersebut? 64. Tentukan semua (x,y,z), dengan x, y, z bilangan-bilangan real, yang memenuhi sekaligus ketiga persamaan berikut : ( OSP 2004 ) 2

3

x + 4 = y + 4x − z

3

2

3

3

2

3

3

y + 4 = z + 4y − x z + 4 = x + 4z − y

65. Pada gambar di bawah, a, b, c, d dan e berturut-turut menyatakan besar sudut pada titik-titik ujung bintang lima yang terletak pada suatu lingkaran. Jumlah a + b + c + d + e = … ( OSK 2005)

66. Perhatikan gambar. ABCD dan BEFG masing-masing adalah persegi (bujur sangkar) dengan panjang sisi 8 dan 6. Tentukan luas daerah yang diarsir.

67. ABC adalah sebuah segitiga dengan panjang AB = 6. Dibuat sebuah lingkaran dalam yang menyinggung sisi AB di K, AC di L dan BC di M (lihat gambar). Jika panjang LC = 5, tentukan keliling segitiga ABC.

100 SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA DAN PEMBAHASAN SMAN 1 MASBAGIK ACHMAD FARIJAN,S.Pd.

68. Tentukan bilangan kuadrat 4 angka dengan angka pertama sama dengan angka kedua dan angka ketiga sama dengan angka keempat. 69. Hitunglah 1 +

1 1+2

+

1 1+2+3

+

1 1+2+3+4

+ ⋯+

1 1+2+3+4….+2004

=⋯

70. What is the sum of the digits of the decimal form of the product 1999)

71. Tentukan nilai x, y dan z yang memenuhi

72. Jika a, b, c, d bilangan riil dan

? ( AIME

( SOAL KOMAT 2011)

bcd acd abd abc     x . tentukan a b c d

nilai x ( SOAL KOMAT 2011)

x 2010 73. Diketahui f(x) = 2010 , 2010 x  1  x   1   2   3   2011  Tentukan nilai f   f    ....  f   ( SOAL KOMAT 2011)  2011   2011   2011   2011 

74. Lima siswa A, B, C, D, E berada pada satu kelompok dalam lomba lari estafet. Jika A tidak bisa berlari pertama dan D tidak bisa berlari terakhir, berapa banyak susunan yang mungkin terjadi? 75. (𝑐𝑜𝑠 ∅ − 𝑐𝑜𝑠 𝜃)2 + (𝑠𝑖𝑛 ∅ − 𝑠𝑖𝑛 𝜃 )2 = 1, maka 𝑡𝑎𝑛(∅ + 𝜃) = ⋯ 76. sin x + cos x + sin3 x + cos 3 x + sin5 x + cos 5 x + ⋯ = 77. sin8 75 − cos 8 75 = ⋯ 78. Delegasi Indonesia ke suatu pertemuan pemuda internasional terdiri dari 5 orang. Ada 7 orang pria dan 5 orang wanita yang mencalonkan diri untuk menjadi anggota delegasi. Jika dipersyaratkan bahwa paling sedikit seorang anggota itu harus wanita, banyaknya cara memilih anggota delegasi adalah ⋅⋅⋅⋅

79. Bilangan prima terkecil sehingga dapat ditemukan bilangan prima yang memenuhi 𝑞 2 = 10𝑝 + 131 adalah….

80. Pada segitiga ABC sama kaki dengan puncak A, AD adalah garis tinggi dengan D pada sisi BC. Titik E adalah titik pada AC sehingga DE garis tinggi segitiga ADC. Jika AD = 2 dan BC = 2, maka nilai dari AE : EC adalah ….

100 SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA DAN PEMBAHASAN SMAN 1 MASBAGIK ACHMAD FARIJAN,S.Pd.

81. Jika 4𝑥 + 4−𝑥 = 7 𝑡𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘𝑎𝑛 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 8𝑥 + 8−𝑥 = ⋯ 82. Misalkan a, b adalah bilarang riil sedemikian sehingga a  b 

1 1   6 . Nilai dari a b

a b   1980 adalah ... ( OSK 2014 ) b a 83. Ada sebanyak 6! Permutasi dari huruf – huruf OSNMAT. Jika semua permutasi tersebut diurutkan secara abjad dari A ke Z, maka OSNMAT pada urutan ke ... ( OSK 2014 ) 84. Semua pasangan bilangan prima (p,q) yang memenuhi persamaan 7 p  q 2  2p  1q 2 adalah ... ( OSK 2014 ) 85. Tentukan nilai eksak untuk tan 1° tan 2°. tan 3° …. tan 89° 86. Diketahui nilai tan x + tan y. = 25 dan cot x + cot y = 30. Tentukan nilai tan ( x + y ) ( OSP 2009/ AIME 1986 ) 87. Tentukan banyaknya susunan dari kata”OLIMPIADE”! 88. Diketahui 2012 titikpada sebuah bidang dan tidak ada 3 buah titik yang segaris. Banyaknya garis lurus yang dapat dibuat dari titik-titik tersebut adalah ...( OMITS 2012) 89. Perhatikan gambar berikut, jika ada lingkaran dalam segitiga dan lingkaran luar segi tiga serta segitiganya adalah segitiga sama sisi, maka tentukan Perbandingan ketiga luas bangun dan Perbandingan luas lingkaran dalam dan luar segitiga tersebut.

90. Tentukan nilai 𝑎𝑥𝑏𝑥𝑐𝑥𝑑𝑥𝑒𝑥𝑓 jika 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑒 + 0 = 20 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 0 + 𝑓 = 19 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 0 + 𝑒 + 𝑓 = 18 𝑎 + 𝑏 + 0 + 𝑑 + 𝑒 + 𝑓 = 17 𝑎 + 0 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑒 = 𝑓 = 16 0 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑒 + 𝑓 = 15

91. Jika diberikan 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 0 tentukan nilai dari

𝑎2 𝑏𝑐

+

𝑏2 𝑎𝑐

+

𝑐2 𝑎𝑏

92. Bilangan tiga digit yang merupakan faktorial dari digit-digitnya adalah …( OMITS 2012) 93. Angka terakhir bila P = 1! + 2! + 3! + . . . + 2012! adalah. …( PORSEMA NU 2012) 94. Angka terakhir bila Q = 1.1!+2.2!+3.3!+4.4!+ . . . + 2013.2013! adalah…

95. Nilai x terbesar jika 9x membagi 3366 adalah…

100 SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA DAN PEMBAHASAN SMAN 1 MASBAGIK ACHMAD FARIJAN,S.Pd.

96. Tentukan sisa pembagian 32012 jika dibagi 41! 97. Banyaknya pembagi positif untuk 1005010010005001 adalah …( OMITS 2012) 98. Nilai maksimum untuk perbandingan antara bilangan empat digit abcd dan jumlah digitdigitnya adalah…( OMITS 2012 ) 1

1

99. Carilah solusi x real yang memenuhi 𝑥 = √𝑥 − 𝑥 + √1 − 𝑥 ( CANADIAN MO 1998 ) 100. Untuk pasangan bilangan bulat (x,y,n) yang memenuhi :

(𝑥! + 𝑦!) = 3𝑛 𝑛! maka nilai maksimum dari 𝑥 + 𝑦 + 𝑛 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ ( OMITS 2012 )

100 SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA DAN PEMBAHASAN SMAN 1 MASBAGIK ACHMAD FARIJAN,S.Pd.

1. Jika m bilangan bulat positif, tentukan nilai m yang menyebabkan 2002 : (m2 – 2) juga merupakan bilangan bulat positif JAWAB : Karena 2002 = 2. 7. 11. 13, maka m2 – 2 harus sama dengan nilai salah satu faktor atau hasil kali sebagian atau seluruh faktor tersebut. Dan yang memenuhi m sebagai bilangan bulat positif adalah : m2 – 2 = 2, dengan m = 2 m2 – 2 = 7, dengan m = 3 m2 – 2 = 14, dengan m = 4 2. Nomor polisi mobil di sebuah negara selalu berupa bilangan 4 angka. Selain itu, jumlah keempat angka pada setiap nomor juga harus habis dibagi 5. Nomor polisi terbesar yang diperbolehkan negara itu adalah …. JAWAB : Angka yang diperbolehkan diambil 0 sampai 9. Bilangan empat angka yang terbesar adalah 9.999. Namun jumlah keempat angka adalah 36 (tidak habis dibagi 5). Kita ganti angka terakhirnya sehingga menjadi 999A. Agar jumlah 9 + 9 + 9 + A habis dibagi 5, maka A = 8. Jadi, nomor polisi terbesar adalah 9998. 3. Berapa banyak bilangan antara 100 dan 400 yang memiliki angka terakhir 5?

JAWAB : Antara bilangan 101 dan 150, ada 5 buah Antara bilangan 151 dan 159, ada 1 buah Antara bilangan 160 dan 200, ada 4 buah Antara bilangan 201 dan 250, ada 5 buah (terlihat berulang) Hal ini berarti ada 3 kelompok berulang tiga kali, maka banyak bilangan antara 100 dan 400 yang berakhir 5 ada sebanyak 3 x ( 5 + 1 + 4) = 30 buah.

4. Carilah semua bilangan bulat positif yang kurang dari 10000 sedemikian hingga jumlah digit pertama dan digit terakhirnya 10 Jawab : Karena jumlah angka pertama dan angka terakhirnya adalah 10, maka pasangan angka pertama dan angka terakhir yang mungkin adalah (1,9), (2,8), (3,7), (4,6), dan (5,5) Untuk (1,9) a. Tanpa angka tengah 2 angka yaitu 19 dan 91 b. Satu angka ditengah 20 angka, yaitu 109 … 199 (10 angka) dan kebalikanya (10 angka) c. Dua angka tengah : banyaknya sesuai jumlah kombinasi 2 angka dari angka 0 sampai 9 yaitu 10! : 2! = 10 x 9 = 90 dikurangi dengan 10 pasang angka yang sama yaitu 00, 11, … 99. Sehingga jumlahnya adalah 80. Total jumlah semua bilangan untuk kombinasi dua angka ditengah adalah 160 ( dikali 2, karena satu bentuk berawal 1 dan berakhir 9 dan bentuk lainya merupakan kebalikannya) Sehingga keseluruhannya adalah 182 angka. Dengan cara yang sama kita dapatkan pula banyak kombinasi angka untuk pasangan (2,8), (3,7), (4,6), dan (5,5) Dan akhirnya kita akan dapatkan total keseluruhan banyak bilangan adalah : 182 + 182 + 182 + 182 + 91 = 819 (ingat : pasangan (5,5) hanya dihitung sekali saja)

100 SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA DAN PEMBAHASAN SMAN 1 MASBAGIK ACHMAD FARIJAN,S.Pd.

5. Hitunglah hasil dari 12 – 22 + 32 – 42 + 52 – 62 + …. + 20092 – 20102 + 20112 Jawab : 12 – 22 dapat diubah menjadi (1 – 2) (1 + 2) = – 1 – 2, 32 – 42 dapat diubah menjadi (3 – 4)(3 + 4) = – 3 – 4, dan seterusnya. Sehingga bentuk tersebut dapat diubah menjadi : -1. -2, -3, -4, -5, -7, … , -2009, -2010, 20112 , atau : - (1 + 2 + 3 + 4 + … + 2009 + 2010) + 20112 - ½ x 2010 x 2011 + 20112 2011 (-1005 + 2011) 2011 x 1006 = 2023066 6. Berapa digit satuan dari 17103 + 5?

Jawab : Karena yang diminta hanya angka satuanya saja, maka kita cukup hanya memperhatikan angka terakhir dari 7103 Jika kita urutkan mulai dari 71, 72, 73, 74, dan seterusnya, maka kita akan dapatkan pola angka satuanya sebagai berikut : 7, 9, 3, 1, 7, 9, 3, 1, … dengan pola yang berulang 7, 9, 3, 1 Dan jika kita tambahkan dengan 5, maka kita dapatkan pola angka satuan sebagai berikut : 2, 4, 8, 6, 2, 4, 8, 6, … dengan pola pengulangan angka 2, 4, 8, 6 Yang artinya untuk pangkat yang tepat habis dibagi 4, maka angka satuannya = 2, jika bersisa 1, maka angka satuannya 4, jika bersisa 2, maka angka satuanya 8, dan jika bersisa 3, maka angka satuanya 6 Dan karena pangkatnya 103, serta 103 = 25 x 4 + 3, maka angka terakhirnya adalah 6

7. Dengan menggunakan digit-digit 0, 1, 2, 3, … , 9, masing-masing hanya sekali. Buatlah dua buah bilangan bulat positif 5 angka yang berbeda sedemikian hingga selisih positif dari kedua bilangan itu paling kecil Jawab : Karena kedua bilangan berbeda dan angka-angka penyusunya juga berbeda, maka selisih paling kecil adalah 11111 Yang salah satunya dipenuhi oleh 59731 dan 48620, sedangkan angka-angka lain dapat diperoleh dengan membolak-balikan susunan angka tersebut. 8. (OSP 2009) Tiga dadu berwarna hitam, merah, dan putih dilempar bersama-sama. Macam hasil lemparan sehingga jumlah ketiga mata dadu adalah 8 sebanyak …… Solusi : Misalkan (a, b, c) menyatakan mata dadu hitam adalah a, mata dadu merah adalah b dan mata dadu putih adalah c. Semua kemungkinan yang muncul adalah (1,1,6), (1,2,5), (1,3,4), (1,4,3), (1,5,2), (1,6,1), (2,1,5), (2,2,4), (2,3,3), (2,4,2), (2,5,1), (3,1,4), (3,2,3), (3,3,2), (3,4,1), (4,1,3), (4,2,2), (4,3,1), (5,1,2,), (5,2,1), (6,1,1). Macam lemparan ada sebanyak 21. 9. (OSP 2006) Sebuah himpunan tiga bilangan asli disebut himpunan aritmatika jika salah satu unsurnya merupakan rata-rata dari dua unsur lainnya. Banyaknya subhimpunan aritmatika dari {1,2,3,….,8} adalah ….. Solusi : Dengan mendaftar akan didapat (1,2,3), (1,3,5), (1,4,7), (2,3,4), (2,4,6), (2,5,8), (3,4,5), (3,5,7), (4,5,6), (4,6,8), (5,6,7), (6,7,8). sebanyak 12 subhimpunan yang memenuhi.

100 SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA DAN PEMBAHASAN SMAN 1 MASBAGIK ACHMAD FARIJAN,S.Pd.

10. (OSP 2011) Banyak bilangan tiga digit yang semua digit-digitnya berbeda dan digit terakhirnya merupakan hasil penjumlahan dari dua digit yang lainnya adalah ….. Solusi : (1,2,3), (1,3,4), (1,4,5), (1,5,6), (1,6,7), (1,7,8), (1,8,9), (2,1,3), (2,3,5), (2,4,6), (2,5,7), (2,6,8), (2,7,9), (3,1,4), (3,2,5), (3,4,7), (3,5,8), (3,6,9), (4,1,5), (4,2,6), (4,3,7), (4,5,9), (5,1,6), (5,2,7), (5,3,8), (5,4,9), (6,1,7), (6,2,8), (6,3,9), (7,1,8), (7,2,9), (8,1,9). Banyaknya bilangan ada sebanyak 32.

11. (OSK 2016) Misalkan 𝑎,𝑏,𝑐,𝑑,𝑒,𝑓 adalah sebarang pengurutan dari (1,2,3,4,5,6). Banyaknya pengurutan sehingga 𝑎+𝑐+𝑒>𝑏+𝑑+𝑓 adalah ….. Solusi : 1 + 2 + 3 + 4 + 5 + 6 = 21 Maka a + c + e > 11 Maka tripel (a, c, e) yang memenuhi adalah (1,4,6), (1,5,6), (2,3,6), (2,4,5), (2,4,6), (2,5,6), (3,4,5), (3,4,6), (3,5,6), (4,5,6) ada sebanyak 10. (a,c,e) dan (b,d,f) dapat dipermutasikan. Banyaknya pengurutan sehingga 𝑎+𝑐+𝑒>𝑏+𝑑+𝑓 = 10 x 3! x 3! = 360. Jadi, banyak pengurutan sehingga 𝑎+𝑐+𝑒>𝑏+𝑑+𝑓 adalah 360.

12. (OSP 2003) Berapakah banyaknya cara memilih tiga bilangan berbeda sehingga tidak ada dua bilangan yang berurutan, jika bilangan-bilangan tersebut dipilih dari himpunan {1, 2, 3, ….., 9, 10 } ?

Solusi : Dengan cara mendaftar kita dapatkan 3 bilangan yang dipilih adalah : (1,3,5), (1,3,6), (1,3,7), (1,3,8), (1,3,9), (1,3,10), (1,4,6), (1,4,7), (1,4,8), (1,4,9), (1,4,10), (1,5,7), (1,5,8), (1,5,9), (1,5,10), (1,6,8), (1,6,9), (1,6,10), (1,7,9), (1,7,10), (1,8,10), (2,4,6), (2,4,7), (2,4,8), (2,4,9), (2,4,10), (2,5,7), (2,5,8), (2,5,9), (2,5,10), (2,6,8), (2,6,9), (2,6,10), (2,7,9), (2,7,10), (2,8,10), (3,5,7), (3,5,8), (3,5,9), (3,5,10), (3,6,8), (3,6,9), (3,6,10), (3,7,9), (3,7,10), (3,8,10), (4,6,8), (4,6,9), (4,6,10), (4,7,9), (4,7,10), (4,8,10), (5,7,9), (5,7,10), (5,8,10), (6,8,10). Banyaknya cara = 56.

13. (OSP 2005) Di dalam sebuah kotak terdapat 4 bola yang masing-masing bernomor 1, 2, 3 dan 4. Anggi mengambil bola secara acak, mencatat nomornya, dan mengembalikannya ke dalam kotak. Hal yang sama ia lakukan sebanyak 4 kali. Misalkan jumlah dari keempat nomor bola yang terambil adalah 12. Berapakah peluang bola yang terambil selalu bernomor 3?

Solusi : Setelah didaftar didapat (1,3,4,4), (1,4,3,4), (1,4,4,3), (2,2,4,4), (2,3,3,4), (2,3,4,3), (2,4,2,4), (2,4,3,3), (2,4,4,2), (3,1,4,4), (3,2,3,4), (3,2,4,3), (3,3,2,4), (3,3,3,3), (3,3,4,2), (3,4,1,4), (3,4,2,3), (3,4,3,2), (3,4,4,1), (4,1,3,4), (4,1,4,3), (4,2,2,4), (4,2,3,3), (4,2,4,2), (4,3,1,4), (4,3,2,3), (4,3,3,2), (4,3,4,1), (4,4,1,3), (4,4,2,2), (4,4,3,1) Banyaknya kemungkinan jumlah mata dadu adalah 31 dengan munculnya bola yang terambil selalu tiga sebanyak 1 kali. Peluang kejadian = 1/31.

100 SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA DAN PEMBAHASAN SMAN 1 MASBAGIK ACHMAD FARIJAN,S.Pd.

14. (OSP 2013) Bilangan asli n dikatakan “cantik” jika n terdiri dari 3 digit berbeda atau lebih dan digit-digit penyusunnya tersebut membentuk barisan aritmatika atau barisan geometri. Sebagai contoh 123 bilangan cantik karena 1, 2, 3 membentuk barisan aritmatika. Banyak bilangan cantik adalah …… Solusi : Jika abc adalah bilangan cantik maka cba juga bilangan cantik kecuali a atau c sama dengan 0. Maka cukup dengan membuat daftar bilangan cantik dengan a < b. Bilangan-bilangan cantik dengan a < b adalah 123, 1234, 12345, 123456, 1234567, 12345678, 123456789, 124, 1248, 135, 1357, 13579, 139, 147, 159, 234, 2345, 23456, 234567, 2345678, 23456789, 246, 2468, 248, 258, 345, 3456, 34567, 345678, 3456789, 357, 3579, 369, 456, 4567, 45678, 456789, 468, 469, 567, 5678, 56789, 579, 678, 6789, 789 yang banyaknya ada 46. Jika angka terakhir bilangan cantik sama dengan 0 maka bilangan-bilangan cantik tersebut adalah 210, 3210, 43210, 543210, 6543210, 76543210, 876543210, 9876543210, 420, 6420, 86420, 630, 9630, 840 yang banyaknya ada 14. Maka banyaknya bilangan cantik = 46 x 2 + 14 = 106. Jadi, banyaknya bilangan cantik ada 106.

15. (OSK 2003) Hari ini usiaku 1/3 kali usia ayahku. Lima tahun yang lalu, usiaku 1/4 kali usia ayahku pada waktu itu. Berapakah usiaku sekarang ? Solusi : Misal usiaku saat ini = X dan usia ayahku saat ini = Y, maka : X = Y/3 dan X - 5 = (Y - 5)/4. X - 5 = (3X - 5)/4 4X - 20 = 3X - 5 X = 15 Usiaku saat ini 15 tahun

16. (OSK 2004) Delegasi Indonesia ke suatu pertemuan pemuda internasional terdiri dari 5 orang. Ada 7 orang pria dan 5 orang wanita yang mencalonkan diri untuk menjadi anggota delegasi. Jika dipersyaratkan bahwa paling sedikit seorang anggota itu harus wanita, banyaknya cara memilih anggota delegasi adalah … Solusi : Susunan delegasi yang mungkin adalah 4 pria dan 1 wanita atau 3 pria dan 2 wanita atau 2 pria dan 3 wanita atau 1 pria dan 4 wanita atau 5 wanita . Banyaknya cara memilih anggota delegasi = 7C4 . 5C1 + 7C3 . 5C2 + 7C2 . 5C3 + 7C1 . 5C4 + 7 C0 . 5C5 Banyaknya cara memilih anggota delegasi = 35 . 5 + 35 . 10 + 21 . 10 + 7 . 5 + 1 . 1 Banyaknya cara memilih anggota delegasi = 175 + 350 + 210 + 35 + 1 = 771 cara. Banyaknya cara memilih anggota delegasi ada 771.

100 SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA DAN PEMBAHASAN SMAN 1 MASBAGIK ACHMAD FARIJAN,S.Pd.

17. (OSK 2013) Suatu dadu ditos enam kali. Banyak cara memperoleh jumlah mata yang muncul 28 dengan tepat satu dadu muncul 6 adalah …. Solusi : Semua kemungkinan susunan jumlah mata dadu 28 dengan angka 6 muncul tepat sekali adalah : 6! •Susunan dadu (6,5,5,5,5,2) Banyaknya susunan = 4! = 30 6!

•Susunan dadu (6,5,5,5,4,3) Banyaknya susunan = 3! = 120 •Susunan dadu (6,5,5,4,4,4) Banyaknya susunan =

6!

3!×2!

= 60 Maka banyaknya semua

kemungkinan = 30 + 120 + 60 = 210 Jadi, banyak cara memperoleh jumlah mata 28 dengan tepat satu dadu muncul 6 = 210. 18. (OSK 2012) Tentukan angka satuan pada (2012)2012 Solusi : Angka satuan (2012)2012 sama dengan angka satuan 22012 Angka satuan 21 sama dengan 2 Angka satuan 22 sama dengan 4 Angka satuan 23 sama dengan 8 Angka satuan 24 sama dengan 6 Angka satuan 25 sama dengan 2 Angka satuan 2n berulang dengan priode 4. Sehingga 22012=24x503 habis dibagi 4 (sisanya 0), sehingga angka satuan dari (2012) 2102 =22012 adalah 6. 19. Tentukan dua angka terakhir dari 432014 Solusi : Dua angka terakhir 431 sama dengan 43 Dua angka terakhir 432 sama dengan 49 Dua angka terakhir 433 sama dengan 07 Dua angka terakhir 434 sama dengan 01 Dua angka terakhir 435 sama dengan 43 Dua angka terakhir 43n berulang dengan periode 4. Karena 2014 dibagi 4 bersisa 2 maka dua angka terakhir 43 2014 sama dengan dua angka terakhir 432 yaitu 49. 20. (OSP 2009) Suatu fungsi f : Z

Q mempunyai sifat

1+𝑓(𝑥)

f(x+1) = 1−𝑓(𝑥)untuk setiap x € Z. Jika f(2) = 2, maka nilai fungsi f(2009) adalah ….. Solusi : f(2) = 2 f(3) = -3 −1 f(4) = 2 1

f(5) = 3 f(6) = 2 jadi nilai f(x) akan berulang dengan periode 4. 1 f(2009) = f(501x4+5)=f(5)= 3

100 SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA DAN PEMBAHASAN SMAN 1 MASBAGIK ACHMAD FARIJAN,S.Pd.

21. (OSP 2011) diberikan barisan bilangan rasional {𝑎𝑘 }𝑘∈𝑁 yang didefinisikan 𝑎 −1

𝑎1 = 2 𝑑𝑎𝑛 𝑎𝑛+1 = 𝑎𝑛+1 , 𝑛 ∈ 𝑁 tentukan nilai 𝑎2011 𝑛

Solusi : 𝑎1 = 2 1 𝑎2 = 3 1 𝑎3 = − 2 𝑎4 = −3 𝑎5 = 2 Nilai 𝑎𝑛 berulang dengan periode 4 𝑎2011 = 𝑎4×502+3 = 𝑎3 = −

1 2

22. (OSP 2011) Jika kedua akar persamaan x2 - 2013x + k = 0 adalah bilangan prima, maka nilai k yang mungkin adalah ……

Solusi : x2 - 2013x + k = memiliki akar-akar p dan q dengan p dan q keduanya bilangan prima. p + q = 2013 Karena p dan q prima maka salah satunya genap dan satunya ganjil sehingga nilai p dan q yang memenuhi adalah 2 dan 2011. k = pq = 2 × 2011 = 4022 Jadi, nilai k yang memenuhi adalah k = 4022. Rumus ax2+bx+c=0 maka x1+x2=

−𝒃 𝒂

𝒄

dan x1.x2= 𝒂

23. (OSP 2012) Misalkan 𝑥; 𝑦; dan 𝑧 adalah bilangan-bilangan prima yang memenuhi persamaan 34𝑥−51𝑦=2012𝑧 Nilai dari 𝑥 + 𝑦 + 𝑧 adalah … Solusi : 34x - 51y = 2012z dengan x, y, z adalah bil prima. Karena 34 dan 2012 habis dibagi 2 maka y habis dibagi 2. Karena y prima maka y = 2. Karena 34 dan 51 habis dibagi 17 maka z habis dibagi 17. Karena z prima maka z = 17. 34x - 51(2) = 2012(17) x = 1009 yg memenuhi bahwa x adalah bil prima. x + y + z = 1009 + 2 + 17 = 1028 Jadi, nilai dari x + y + z adalah 1028.

100 SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA DAN PEMBAHASAN SMAN 1 MASBAGIK ACHMAD FARIJAN,S.Pd.

24. (OSP 2012) Carilah semua pasangan bilangan real (x, y, z) yang memenuhi sistem persamaan 𝑥 = 1 + √𝑦 − 𝑧 2 𝑦 = 1 + √𝑧 − 𝑥 2 𝑧 = 1 + √𝑥 − 𝑦 2 Solusi Jelas bahwa x, y, z ≥ 1. Karena x, y, z ≥ 1 maka x2 ≥ x ; y2 ≥ y dan z2 ≥ z Karena x real maka y ≥ z2 ≥ z ≥ x2 ≥ x ≥ y2 Karena y ≥ y2 dan y2 ≥ y maka haruslah y = y2 yang dipenuhi oleh y = 1. Dengan cara yang sama didapat x = z = 1. Jadi, tripel bilangan real (x,y,z) yang memenuhi x = y = z = 1. Alternatif Lain : Jelas bahwa x, y, z ≥ 1. Karena x, y, z ≥ 1 maka x2 ≥ x ; y2 ≥ y dan z2 ≥ z Kalikan ketiga ketaksamaan didapat xyz ≥ (xyz) 2 Karena x, y, z positif maka 1 ≥ xyz Karena x, y, z ≥ 1 maka ketaksamaan hanya dipenuhi jika x = y = z = 1. Jadi, tripel bilangan real (x,y,z) yang memenuhi x = y = z = 1. 25. Tentukan bilangan bulat positif terbesar n sehinga n  1n 4  2n   3n 3  57 habis dibagi oleh n2  2 .



 



Jawab : Bagilah n  1 n 4  2n  3 n 3  57 dengan n 2  2 sehingga

n  1n 4  2n   3n 3  57  n 3  n 2  n  

171 171 . Jadi agar 2 bulat maka n 2  2 2 n 2 n 2 n 2 2 merupakan faktor dari 171. Yaitu n  2  1,3,9,19,27,57,171 . 2

Yang terbesar yaitu n 2  171  2 = 169 . Jadi n = 13.

100 SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA DAN PEMBAHASAN SMAN 1 MASBAGIK ACHMAD FARIJAN,S.Pd. 26. Jika 62ab427 adalah suatu kelipatan 99, tentukan digit a dan b.

Jawab : Bilangan yang habis dibagi 99 adalah bilangan yang habis dibagi 9 dan 11. Bilangan yang habis dibagi 9 adalah bilangan yang jumlah digit-digitnya habis dibagi 9 sehingga 6 + 2 + a + b + 4+ 2 + 7 = 9k , k bulat. a + b + 21 = 9k . (Untuk 9k yang terdekat adalah 27.) Cukuplah k = 1 dan jumlahkan kembali digit-digit pada ruas kiri yaitu a+b+2+1=9 atau a + b = 6. ……. (i) Karena bilangan tersebut juga habis dibagi 11 maka perlu dibuat bahwa bilangan habis dibagi 11 jika jumlah selang-selingnya habis dibagi 11. Sehingga 6 - 2 + a - b + 4 - 2 + 7 = 11. Atau a- b = -2………. (ii) Jadi diperoleh 2 persamaan a + b = 6, a- b = -2. Kedua persamaan diselesaikan diperoleh a = 2 dan b = 4.

27. Pada penyusunan nomer telepon dengan 7 angka digunakan digit yaitu 0,1,2,3,4,5,7,8. Tidak ada nomer telepon yang diijinkan menggunakan awal 0, 1 atau 5. Tentukan banyaknya nomer telepon yang mungkin dari kriteria berikut (1). Semua digit boleh diulang (2) Tidak ada digit yang boleh berulang (3) Digit boleh diulang, tetapi nomer telepon harus genap (4) Digit dapat diulang, tetapi nomer telepon ganjil (5) Digit-digit tidak boleh diulang dan nomer telepon harus ganjil.

100 SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA DAN PEMBAHASAN SMAN 1 MASBAGIK ACHMAD FARIJAN,S.Pd.

Jawab : Misalkan posisi nomer telepon digambarkan pada kotak berikut

(1) Ada 8 digit yang mungkin , tetapi pada awal tidak boleh ada 0, 1 atau 5. Sehingga tinggal 5 digit yang boleh mengisi kotak pertama. Sedangkan setiap kotak ada 8 kemungkinan yang digambarkan pada gambar berikut 5 8 8 8 8 8 8 6 Jadi ada (5)(8)(8)(8)(8)(8)(8) = 5x8 . (2) Diperoleh 5

7

6

5

4

3

2

Susunan yang diperoleh = 5x7! (3) Digit awal ada 5 macam; sedang digit belakang ada 4 macam . Digit yang lain dapat diulang (8) macam jadi 5 8 8 8 8 8 4 (4) Digit ganjil adalah 1,3,5,7 dan angka telepon ganjil adalah digit terakhir ganjil (ada 4 macam) ; Yang didepan ada 5 macam sehingga diperoleh sama 5 8 8 8 8 8 4 (5) Hal ini dilakukan dengan memisahkan didepan genap dan didepan ganjil. Jika didepan genap maka diperoleh 3 6 5 4 3 2 4 Jika didepan ganjil dan hanya ada 4 macam tetapi 1 dan 5 tidak boleh, maka didepan hanya ada 2 macam digit. Sedangkan jika pada digit terakhir karena harus ganjil dan tidak boleh diulang. Jadi jika sudah digunakan didepan tidak bisa digunakan dibelakang. Jadi kemungkinan digit terakhir hanya ada 3 macam : yaitu digit (1, 3,5,7) – (3) atau (7) (yang dapat digunakan didepan. Artinya jika sudah digunakan didepan tidak boleh digunakan dibelakang. Diperoleh : 2

6

5

4

3

2

3

Jadi banyaknya jenis nomer telepon dijumlahkan (ingat bahwa bilangan-bilangan pada kotak adalah banyaknya digit yang mungkin dapat mengisi) : (6)(5)(4)(3)(2)[(3)(4) + (2)(3)].

100 SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA DAN PEMBAHASAN SMAN 1 MASBAGIK ACHMAD FARIJAN,S.Pd.

28. Ada berapa macam cara jika dari 20 orang siswa, ada 5 macam test yang harus diikuti oleh 4 orang siswa ?. Jawab : Artinya setiap 4 siswa akan mengikuti test sedangkan 16 yang lain paling sedikit 1 macam test. Banyaknya cara melakukan mengambil 4 orang dari 20 siswa yang harus 5 macam test  20  adalah   . 4 Sedangkan 16 siswa yang lain dapat melakukan 1 test, 2 test , 3 test, atau 4 test atau 5 test (tetapi tidak perlu berempat).

16  Bagian ini dapat ditulis sebagai    1

16     2

16     3

16     4

 16    . 5

Oleh karena itu banyaknya susunan yang diinginkan :

 20    4

16   20       1 4

16   20       2 4

16   20       3  4

16   20       4 4

 16    . 5

29. Ada berapa cara kita dapat menulis bilangan 10 sebagai jumlahan dari 3 bilangan positif ?.Disini urutan penulisan 1 + 8 + 1 dianggap susunan yang berbeda dengan 8 + 1 +1.

Jawab : Banyknya cara menulis bilangan 10 sebagai jumlahan 3 bilangan positif : a + b + c

(a,b,c) (1,1,8) (1,2,7) (1,3,6) (1,4,5) (2,2,6) (2,3,5) (2,4,4) (3,3,4)

Banyak permutasi 3!/2!=3 3!=6 3! 3!=6 3!/2!=3 3! = 6 3!/2!=3 3!/2!=3

Jadi banyak bilangan tersebut adalah = 3 + 6 + 6+ 6 + 3 + 6 +3 + 3 = 36. Cara lain : menggunakan Teorema : De Moivre : Diketahui x1  x2  x3  10 , 1  xi  7

10  1  9  9!  36.       3  1   2  2!7!

Maka banyaknya bilangan 3 digit yang jumlah digitnya 10 adalah 

100 SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA DAN PEMBAHASAN SMAN 1 MASBAGIK ACHMAD FARIJAN,S.Pd.

30. Diketahui bilangan real positif a, b, dan c sedemikian hingga

a b c   , Tentukan nilai b c a

3a  2b  c . 3a  2b  c Jawab : Diketahui bilangan real positif a, b, dan c sedemikian hingga

a b c   , Tentukan nilai b c a

3a  2b  c 3a  2b  c

Dengan diketahui

Dari

a b c   . b c a

a b diperoleh ac  b 2  b c

Dari

a c  diperoleh bc  a 2 b a

Dari

b c  diperoleh ab  c 2 c a

Dijumlah ketiga ruas kiri dan kalikan dengan 2 yaitu 2(ac + bc + ab) = 2( a 2  b 2  c 2 .). Sehingga

2a 2  2b 2  2c 2  2ab  2bc  2ac  0 . Atau a  b   ( a  c ) 2  (b  c ) 2  0 . 2

Agar hal ini benar maka a = b , a = c dan b = c sehingga a= b = c.

3a  2b  c = 6c/4c = 3/2 3a  2b  c

Substitusikan hasil tersebut pada

31. Tentukan nilai dari

1 1 2



1 2 3



1 3 4



1 5 6

 ... 

Jawab :

1 1 1 2   1  2 , 1 2 1 2 1 2 1 2 3

2 3   2  3, 2 3

1 1  3 4 3 4

3 4   3 4, 3 4

1  2 3

. .

1 99  100

=…

100 SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA DAN PEMBAHASAN SMAN 1 MASBAGIK ACHMAD FARIJAN,S.Pd. .

1 1  99  100 99  100

99  100   99  100. 99  100

Dengan menjumlahkan semuanya diperoleh

1 1 2



1 2 3



1 3 4

32. Tentukan nilai dari :

Penyelesaian :



1 5 6

 ... 

1 99  100

= 100  1  10  1  9.

100 SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA DAN PEMBAHASAN SMAN 1 MASBAGIK ACHMAD FARIJAN,S.Pd.

33. Berdasarkan sifat angka 7, tentukan bilangan satuan dari 71234 + 72341 + 73412 + 74123 tanpa menghitung tuntas Jawab : 71 = 7

angka satuannya 7

72 = 49

angka satuannya 9

angka satuannya berulang

73= 343

angka satuannya 3

setelah pangkatnya

74= 2401

angka satuannya 1

kelipatan 4

75= 16807

angka satuannya 7

71234 =

7(4.308 + 2)

= 74.308 x 72

= angka satuannya 1 x angka satuannya 9 = 9

72341 =

7(4.585 + 1)

= 74x585 x 71

= angka satuannya 1 x angka satuannya 7 = 7

73412 =

74x853

= angka satuannya 1

74123 =

74x1030 + 3

= 74x1030 x 73

= angka satuannya 1 x angka satuannya 3 = 9 Maka 71234 + 72341 + 73412 + 74123 = 9 + 7 + 1 + 3 = 20 Jadi angka satuannya = 0

34. Bagaimana cara termudah untuk mencari 32008 (102013 + 52012 . 22011) 52012 (62010 + 32009 . 22008)

Jawab : = 32008 (52013. 22013+ 52012 . 22011) 52012 (22010 . 32010 + 32009 . 22008) = 32008 .52013. 22011( 5 .22 + 1 ) 52012 .22008 . 32009( 22 .3 + 1 ) = 23 (21) = 56 3 (13) 13

100 SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA DAN PEMBAHASAN SMAN 1 MASBAGIK ACHMAD FARIJAN,S.Pd. 35. Banyaknya faktor bulat positif dari 2015 adalah .... ( OSK 2015 ) JAWAB :2015 = 5 ⋅ 13 ⋅ 31 Banyaknya faktor positif = 2 ⋅ 2 ⋅ 2 = 8 ( pangkat +1, kemudian kalikan ) ∴ Jadi, banyaknya faktor bulat positif dari 2015 adalah 8.

36. Suatu dadu ditos enam kali. Probabilitas jumlah mata yang muncul 9 adalah .... ( OSK 2015 )

JAWAB : Semua kemungkinan jumlah keenam dadu sama dengan 9 adalah (1,1,1,1,1,4), (1,1,1,1,2,3), (1,1,1,2,2,2). Maka ada 3 kasus : a. Kasus 1, jika susunannya adalah (1,1,1,1,1,4). Banyaknya permutasi adalah

6!

!

5!

=6

b. Kasus 2, jika susunannya adalah (1,1,1,1,2,3). 6!

Banyaknya permutasi adalah 4! ! = 30 c. Kasus 3, jika susunannya adalah (1,1,1,2,2,2). Banyaknya permutasi adalah

6! 3!.3!

= 20 !

Jadi, banyaknya cara = 56. 56

∴ Jadi, probabilitas jumlah mata yang muncul 9 adalah 66

37. Diberikan trapesium ABCD, dengan AB sejajar DC dan AB = 84 serta DC = 25. Jika trapesium ABCD memiliki lingkaran dalam yang menyinggung keempat sisinya, keliling trapesium ABCD adalah ....

JAWAB : Jika titik P di luar lingkaran dan garis yang ditarik dari titik P menyinggung lingkaran tersebut di titik Q dan R maka PQ = PR.

Dari gambar di atas didapat DG = DH ; CG = CF ; BF = BE ; AE = AH Keliling = AE + AH + BE + BF + CF + CG + DG + DH = 2 (DG + CG + AE + BE) Keliling = 2(DC + AB) = 2(25 + 84) ∴Keliling trapesium = 218

100 SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA DAN PEMBAHASAN SMAN 1 MASBAGIK ACHMAD FARIJAN,S.Pd.

38. Bilangan bulat x jika dikalikan 11 terletak diantara 1500 dan 2000. Jika x dikalikan 7 terletak antara 970 dan 1275. Jika x dikalikan 5 terletak antara 960 dan 900. Banyaknya bilangan x sedemikian yang habis dibagi 3 sekaligus habis dibagi 5 ada sebanyak …. ( OSK 2015 )

JAWAB : 1500 < 11x < 2000 sehingga 136 < x < 182 970 < 7x < 1275 sehingga 138 < x < 183 690 < 5x < 900 sehingga 138 < x < 180 Maka 138 < x < 180 Bilangan yang habis dibagi 3 dan 5 maka bilangan tersebut habis dibagi 15. Bilangan yang habis dibagi 15 ada 2 yaitu 150 dan 165. ∴ Jadi, banyaknya bilangan yang memenuhi ada 2.

39. Suatu sekolah mempunyai lima kelompok belajar siswa kelas 11. Kelompok-kelompok belajar itu berturut-turut mengirimkan 2, 2, 2, 3, dan 3 siswa untuk suatu pertemuan. Mereka akan duduk melingkar sehingga setiap siswa memiliki paling sedikit satu teman dari kelompok belajar yang sama yang duduk disampingnya. Banyaknya cara melakukan hal tersebut adalah ( OSK 2015 )

JAWAB : Karena setiap siswa memiliki paling sedikit satu teman dari kelompok belajar yang sama yang duduk disampingnya maka setiap siswa dalam kelompok belajar yang sama akan duduk berdekatan. Jika setiap kelompok dinyatakan sebagai obyek maka akan ada 5 obyek yang duduk membentuk lingkaran serta ada permutasi susunan duduk siswa pada masing-masing obyek. Banyaknya cara melakukan = (5 − 1)! ⋅ 2! ⋅ 2! ⋅ 2! ⋅ 3! ⋅ 3! = 6912. ∴ Jadi, banyaknya cara melakukan hal tersebut adalah 6912.

40. In triangle , , and the altitude from segments of length 3 and 17. What is the area of triangle ?

divides

into

Solution

Let

be the intersection of the altitude with

loss of generality, let

and

, and be the length of the altitude. Without . Then

. Using the tangent sum formula,

and

100 SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA DAN PEMBAHASAN SMAN 1 MASBAGIK ACHMAD FARIJAN,S.Pd.

The postive value of

41.

, so the area is

.

Diketahui CD diameter lingkaran O. DE

A

= 50 dan EAD = 50. Tentukanlah

E ●

besar DAB. ( Math Contests, New Jersey 1982 )

O ●

D●

C

F● B Penyelesaian: A

BE  AC dan AF  BC, berarti AF dan BF 50 15

merupakan garis tinggi ∆ABC. BE dan AF

E ●

berpotongan di titik D. Jika CD

50

G●

O ●

D● ● F

B

diperpanjang hingga titik G, maka CG juga 25

C

berpotongan dengan BE dan AF di titik D. Berarti CG juga merupakan garis tinggi ∆ABC. Maka DAB = 15.

100 SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA DAN PEMBAHASAN SMAN 1 MASBAGIK ACHMAD FARIJAN,S.Pd. 42. ACH dan BDG adalah dua buah seperempat lingkaran dengan jari-jari 10 cm. Hitung luas daerah yang diarsir! (KomMat DKI/MGMP tkt Semifinal 2009 ) Penyelesaian:

LI

LII

1 = Luas BDEG – Luas L I lingkaran 4 1 = 100 - .100 L II 4 = 100 - 25 = Luas

L yang diarsir = Luas ADEH – (LI+LII) = 150 – 100

1 lingkaran 4

= 50 cm2

= 25

43. Keliling sebuah segitiga adalah 8.Jika panjang sisi-sisinya adalah bilangan bulat,maka luas segitiga tersebut sama dengan…. Jawab : Sisi-sisi segitiga yang kelilingnya 8 adalah 2, 3, 3.

t  32 12  2 2 L

1  2 2 2  2 2 2

Jadi, luas segitiga tersebut adalah 2 2 .

3

3

t

1

1

100 SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA DAN PEMBAHASAN SMAN 1 MASBAGIK ACHMAD FARIJAN,S.Pd.

44. Pada segitiga ABC yang siku-siku di C, AE dan BF adalah garis-garis berat(median). Maka

AE  BF 2

AB

2

=….. ( OSK 2007 )

2

JAWAB

AE  BF 2

AB

AE  BF 2

AB

2

2

AE  BF 2

AB



2

2

2

2

AC  12 BC  BC  2

2

2

AC  BC 2



5 2 2 AC  BC 4 2 2 AC  BC

1 2

AC

2

B

2



E

C

5  4

F

5 (Jawaban: ) 4

A

45. Pada segitiga PQR sama sisi diberikan titik-titik S dan T yang terletak berturut-turut pada sisi QR dan PR demikian rupa, sehingga sudut SPR=400 dan sudut TQR=350. Jika titik X adalah perpotongan garis-garis PS dan QT,maka sudut SXT=…. ( OSK 2007 )

R

JAWAB

PSR  180  (40  60)  80 T

QTR  180  (35  60)  85

400

XST  360  (80  85  60)  135 P

S X

350 Q

46. Jika a679b adalah bilangan lima angka yang habis dibagi 72, tentukan nilai a dan b. (Sumber : Canadian Mathematical Olympiad 1980) Solusi : 72 = 9 ⋅ 8. Karena 9 dan 8 relatif prima maka a679b harus habis dibagi 8 dan 9. Karena a679 habis dibagi 8 maka 79b habis dibagi 8. Agar 790 + b habis dibagi 8 maka b = 2. Karena a6792 habis dibagi 9 maka a + 6 + 7 + 9 + 2 habis dibagi 9. Nilai a yang memenuhi hanya 3. Jadi bilangan tersebut adalah 36792.

100 SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA DAN PEMBAHASAN SMAN 1 MASBAGIK ACHMAD FARIJAN,S.Pd.

47. Segitiga ABC memiliki sisi AB = 137, AC = 241 dan BC = 200. Titik D terletak pada sisi BC sehingga lingkaran dalam ΔABD dan lingkaran dalam ΔACD menyinggung sisi AD di titik yang sama, yaitu E. Tentukan panjang CD. (Sumber : Canadian Open Mathematics Challenge 1997)

Solusi

100 SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA DAN PEMBAHASAN SMAN 1 MASBAGIK ACHMAD FARIJAN,S.Pd.

48. Tentukan bilangan real x, y dan z yang memenuhi sistem persamaan : 𝑥 − √𝑦𝑧 = 42 𝑦 − √𝑥𝑧 = 6 𝑧 − √𝑥𝑦 = −30 (Sumber : Canadian Open Mathematics Challenge 1997) Solusi :

100 SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA DAN PEMBAHASAN SMAN 1 MASBAGIK ACHMAD FARIJAN,S.Pd.

49. Sebuah trapesium DEFG dengan sebuah lingkaran dalam menyinggung keempat sisinya dan berjari-jari 2 serta berpusat di C. Sisi DE dan GF adalah sisi yang sejajar dengan DE < GF o

dan DE = 3. Diketahui bahwa ∠DEF = ∠EFG = 90 . Tentukan luas trapesium. (Sumber : Canadian Open Mathematics Challenge 1999)

2

2

50. Jika a = 7b + 51 dan b = 7a + 51 dengan a dan b bilangan real berbeda, tentukan hasil kali ab. (Sumber : KRMO 1996)

51. Tentukan semua pasangan bilangan bulat tak negatif (x, y) yang memenuhi 2

2

2

(xy − 7) = x + y . (Sumber : Pra Seleksi Olimpiade Matematika Indonesia 1997)

100 SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA DAN PEMBAHASAN SMAN 1 MASBAGIK ACHMAD FARIJAN,S.Pd. 2

3

4

8

1

2

3

7

52. 𝑥1 = 97, 𝑥2 = 𝑥 , 𝑥3 = 𝑥 , 𝑥4 = 𝑥 , … . 𝑥8 = 𝑥 . 𝑡𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘𝑎𝑛 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑥1 × 𝑥2 × 𝑥3 × … × 𝑥8 (Sumber : American Invitational Mathematics Examination 1985) Solusi : Perhatikan bahwa : x x = 2 ; x x = 4 ; x x = 6 ; x x = 8 1 2

x1x2x3x4x5x6x7x8 = 2 ⋅ 4 ⋅ 6 ⋅ 8

3 4

5 6

7 8

x1x2x3x4x5x6x7x8 = 384 2

2 2

2

2 2

53. m dan n adalah bilangan bulat yang memenuhi m + 3m n = 30n + 517. Tentukan 3m n . (Sumber : American Invitational Mathematics Examination 1987)

54. Diberikan bahwa : x1 + 4x2 + 9x3 + 16x4 + 25x5 + 36x6 + 49x7 = 1 4x1 + 9x2 + 16x3 + 25x4 + 36x5 + 49x6 + 64x7 = 12 9x1 + 16x2 + 25x3 + 36x4 + 49x5 + 64x6 + 81x7 = 123 Tentukan 16x1 + 25x2 + 36x3 + 49x4 + 64x5 + 81x6 + 100x7 (Sumber : American Invitational Mathematics Examination 1989)

Solusi : x1 + 4x2 + 9x3 + 16x4 + 25x5 + 36x6 + 49x7 = 1 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (1) 4x1 + 9x2 + 16x3 + 25x4 + 36x5 + 49x6 + 64x7 = 12 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (2) 9x1 + 16x2 + 25x3 + 36x4 + 49x5 + 64x6 + 81x7 = 123 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (3)

(2) − (1) → 3x1 + 5x2 + 7x3 + 9x4 + 11x5 + 13x6 + 15x7 = 11 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (4) (3) − (2) → 5x1 + 7x2 + 9x3 + 11x4 + 13x5 + 15x6 + 17x7 = 111 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (5) (5) − (4) → 2x1 + 2x2 + 2x3 + 2x4 + 2x5 + 2x6 + 2x7 = 100 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ (6) (5) + (6) → 7x1 + 9x2 + 11x3 + 13x4 + 15x5 + 17x6 + 19x7 = 211 ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅(7) (3) + (7) → 16x1 + 25x2 + 36x3 + 49x4 + 64x5 + 81x6 + 100x7 = 334 Maka 16x1 + 25x2 + 36x3 + 49x4 + 64x5 + 81x6 + 100x7 = 334

100 SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA DAN PEMBAHASAN SMAN 1 MASBAGIK ACHMAD FARIJAN,S.Pd.

55. Pada sebuah persegi panjang berukuran 25 × 20 akan dibuat bujursangkar sehingga menutupi seluruh bagian persegi panjang tersebut. Berapa banyak bujursangkat yang mungkin dapat dibuat? Solusi Ada 5 bujur sangkar ((Persegi 1 berukuran 20 × 20 dan persegi 2,3,4,&5 memiliki berukuran 5 × 5)

56. Diketahui segitiga ABC siku-siku di A, dan pada masing-masing sisi dibuat setengah lingkaran kearah keluar. Jika luas setengah lingkaran pada sisi AB dan AC adalah 396 dan 1100, berturut-turut, maka luas setengah lingkaran pada sisi BC adalah.... ( OSK 2010 ) SOLUSI

100 SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA DAN PEMBAHASAN SMAN 1 MASBAGIK ACHMAD FARIJAN,S.Pd.

57. Suppose that

and

are three positive numbers that satisfy the equations

and prime positive integers. Find

Then . ( AIME 2000)

where

and

are relatively

Solution 1

Let

.

Thus

. So

.

Solution 2

Since the second equation. Substitution gives is 4+1 which is equal to .

58. Find

if the real numbers

, so ,

,

,

, and

. Also, , and

satisfy the equations ( AIME 1990)

Solution 1 Set

and

. Then the relationship

can be exploited:

Therefore:

Consequently,

and

. Finally:

by , so the answer

100 SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA DAN PEMBAHASAN SMAN 1 MASBAGIK ACHMAD FARIJAN,S.Pd.

Solution 2 A recurrence of the form will have the closed form , where are the values of the starting term that make the sequence geometric, and are the appropriately chosen constants such that those special starting terms linearly combine to form the actual starting terms. Suppose we have such a recurrence with , and Solving these simultaneous equations for

and

and

. Then .

, we see that

and

. So,

. 59. Tentukan jumlah 5 bilangan pertama dari deret aritmetika yang merupakan bilangan prima pertama Solusi we find that

60. Find

, and

if and

sehingga jumlahnya adalah 85

are positive integers such that ( AIME 1991 )

Solution 1 Define and . Then and . Solving these two equations yields a quadratic: , which factors to . Either and or and . For the first case, it is easy to see that can be (or vice versa). In the second case, since all factors of must be , no two factors of can sum greater than , and so there are no integral solutions for . The solution is .

Solution 2 Since , this can be factored to . As and are integers, the possible sets for (ignoring cases where since it is symmetrical) are . The second equation factors to . The only set with a factor of is , and checking shows that it is our solution.

100 SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA DAN PEMBAHASAN SMAN 1 MASBAGIK ACHMAD FARIJAN,S.Pd.

61. Perhatikan Gambar, yaitu 4 buah layang-layang kongruen yang memuat pada persegi dan ternyata masih tersisa daerah persegi yang diarsir. Jika panjang p = 3√2 cm, dan q = 5√2 cm, maka luas daerah yang diarsir adalah ….

62. Perhatikan gambar berikut ini.

Dari gambar di atas diketahui bahwa jari- jari lingkaran kecil adalah 3 cm dan jari-jari lingkaran besar adalah 5 cm. Panjang CD adalah ……cm.

100 SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA DAN PEMBAHASAN SMAN 1 MASBAGIK ACHMAD FARIJAN,S.Pd.

63. Enam belas tim sepak bola mengikuti turnamen. Pertama-tama mereka dikelompokkan ke dalam 4 kelompok dengan masing-masing 4 tim di setiap kelompoknya. Di setiap kelompok mereka saling bermain satu sama lain satu kali. Dua tim yang memiliki peringkat teratas selanjutnya maju babak berikutnya yang menggunakan sistem gugur (kalah langsung tereliminasi) sampai ditemukan juaranya. Berapa banyak pertandingan yang berlangsung dalam turnamen tersebut?

64. Tentukan semua (x,y,z), dengan x, y, z bilangan-bilangan real, yang memenuhi sekaligus ketiga persamaan berikut : 2

3

x + 4 = y + 4x − z

3

2

3

3

2

3

3

y + 4 = z + 4y − x z + 4 = x + 4z − y

100 SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA DAN PEMBAHASAN SMAN 1 MASBAGIK ACHMAD FARIJAN,S.Pd.

65. Pada gambar di bawah, a, b, c, d dan e berturut-turut menyatakan besar sudut pada titik-titik ujung bintang lima yang terletak pada suatu lingkaran. Jumlah a + b + c + d + e = … ( OSK 2005)

SOLUSI :

66. Perhatikan gambar. ABCD dan BEFG masing-masing adalah persegi (bujur sangkar) dengan panjang sisi 8 dan 6. Tentukan luas daerah yang diarsir.

100 SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA DAN PEMBAHASAN SMAN 1 MASBAGIK ACHMAD FARIJAN,S.Pd.

67. ABC adalah sebuah segitiga dengan panjang AB = 6. Dibuat sebuah lingkaran dalam yang menyinggung sisi AB di K, AC di L dan BC di M (lihat gambar). Jika panjang LC = 5, tentukan keliling segitiga ABC.

Solusi : Perhatikan bahwa CM = CL, BM = BK dan AL = AK Keliling ΔABC = BK + KA + AL + LC + CM + MB Keliling ΔABC = BK + KA + KA + LC + LC + BK Keliling ΔABC = 2(BK + KA) + 2LC Keliling ΔABC = 2AB + 2LC = 2 ⋅ 6 + 2 ⋅ 5 Keliling ΔABC = 22

68. Tentukan bilangan kuadrat 4 angka dengan angka pertama sama dengan angka kedua dan angka ketiga sama dengan angka keempat. Solusi : Misal bilangan tersebut adalah aabb. Nilai b yang memenuhi adalah 0, 1, 4, 5, 6, atau 9. Tetapi 11, 55, 99 jika dibagi 4 bersisa 3 sedangkan 66 jika dibagi 4 bersisa 2 yang membuat aabb tidak mungkin merupakan bilangan kuadrat. Jadi nilai b yang mungkin adalah 0 atau 4. 2 Jika b = 0 maka aa00 = 10 (10a + a) yang berakibat 10a + a harus bilangan kuadrat. Tetapi 11, 22, 33, ⋅⋅⋅, 99 tidak ada satupun yang merupakan bilangan kuadrat. Sehingga tidak mungkin b = 0. Jika b = 4 maka aa44 = 11(100a + 4). Karena aa44 bilangan kuadrat maka 100a + 4 habis dibagi 11. Sesuai dengan sifat bilangan habis dibagi 11 maka a + 4 − 0 habis dibagi 11. Nilai a yang memenuhi hanya 7. Jadi bilangan tersebut adalah 7744.

100 SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA DAN PEMBAHASAN SMAN 1 MASBAGIK ACHMAD FARIJAN,S.Pd. 1 1 1

69. Hitunglah 1 +

1+2

+

1+2+3

+

1+2+3+4

+ ⋯+

1 1+2+3+4….+2004

70. What is the sum of the digits of the decimal form of the product 1999)

=⋯

? ( AIME

Solution , a number with the digits "25" followed by 1999 zeros. The sum of the digits in the decimal form would be , thus making the answer 7

71. Tentukan nilai x, y dan z yang memenuhi

Solusi:

,

,

100 SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA DAN PEMBAHASAN SMAN 1 MASBAGIK ACHMAD FARIJAN,S.Pd.

z = 22

→

72. Jika a, b, c, d bilangan riil dan

bcd acd abd abc     x . tentukan a b c d

nilai x

Solusi :

bcd acd abd abc    x a b c d

bcd x a



b+c+d =ax

acd x b



a+c+d=bx

abd x c



a+b+d= cx

abc x d



a+b+c=dx + 3 (a + b + c + d) = (a + b + c + d) x x=3

100 SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA DAN PEMBAHASAN SMAN 1 MASBAGIK ACHMAD FARIJAN,S.Pd.

73. Diketahui f(x) =

x 2010 , 2010 x 2010  1  x 

 1   2   3   2011  Tentukan nilai f   f    ....  f   ( SOAL KOMAT 2011)  2011   2011   2011   2011 

Solusi :

f(x) =

x 2010 , 2010 x 2010  1  x 

f(1 – x) =

(1  x) 2010 (1  x) 2010  x 2010

f(x) + f(1-x) =

x 2010 (1  x) 2010 + =1 2010 (1  x) 2010  x 2010 x 2010  1  x 

 1   2010  f  f  =1  2011   2011 

 2   2009  f  f  =1  2011   2011 

 3  f   2011 

 2008  f  =1  2011 

-

 1005   2006  f  f  =1  2011   2011 

 2011  f  =1  2011 

Jumlah 1006

100 SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA DAN PEMBAHASAN SMAN 1 MASBAGIK ACHMAD FARIJAN,S.Pd.

74. Lima siswa A, B, C, D, E berada pada satu kelompok dalam lomba lari estafet. Jika A tidak bisa berlari pertama dan D tidak bisa berlari terakhir, berapa banyak susunan yang mungkin terjadi?

Pembahasan: Banyaknya cara menyusun kelompok lari estafet dari lima siswa A, B, C, D, E adalah 5!. Banyaknya cara menyusun kelompok lari estafet dengan A adalah pelari pertama dan D adalah pelari terakhir, artinya sama dengan banyaknya cara menyusun 3 siswa lainnya yaitu 3! Sehingga banyaknya cara menyusun kelompok lari estafet dengan ketentuan bahwa A tidak bisa berlari pertama dan D tidak bisa berlari terakhir adalah: 5! - 3! = 114 cara.

75. (𝑐𝑜𝑠 ∅ − 𝑐𝑜𝑠 𝜃)2 + (𝑠𝑖𝑛 ∅ − 𝑠𝑖𝑛 𝜃 )2 = 1, maka 𝑡𝑎𝑛(∅ + 𝜃) = ⋯

Pembahasan: (𝑐𝑜𝑠 ∅ + 𝑐𝑜𝑠 𝜃 )2 + (𝑠𝑖𝑛 ∅ + 𝑠𝑖𝑛 𝜃 )2 = 1 𝑐𝑜𝑠 2 ∅ + 2 𝑐𝑜𝑠 ∅ 𝑐𝑜𝑠 𝜃 + 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 + 𝑠𝑖𝑛2 ∅ − 2 𝑠𝑖𝑛 ∅ 𝑠𝑖𝑛 𝜃 + 𝑠𝑖𝑛2 𝜃 = 1 (𝑐𝑜𝑠 2 ∅ + 𝑠𝑖𝑛2 ∅) + (𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 + 𝑠𝑖𝑛2 𝜃) + 2𝑐𝑜𝑠∅ 𝑐𝑜𝑠𝜃 − 2 𝑠𝑖𝑛 ∅ 𝑠𝑖𝑛 𝜃 = 1 1 + 1 + 2 𝑐𝑜𝑠 ∅ 𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 2 𝑠𝑖𝑛 ∅ 𝑠𝑖𝑛 𝜃 = 1 2(𝑐𝑜𝑠 ∅ 𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 𝑠𝑖𝑛 ∅ 𝑠𝑖𝑛 𝜃 ) = −1 (𝑐𝑜𝑠 ∅ 𝑐𝑜𝑠 𝜃 − 𝑠𝑖𝑛 ∅ 𝑠𝑖𝑛 𝜃 ) = −

1 2

𝑐𝑜𝑠(∅ + 𝜃) = −

1 2

2

√3

-1

tan(∅ + θ) =

√3 = −√3 −1

Jadi, nilai 𝒕𝒂𝒏(∅ + 𝜽) adalah −√𝟑 76. sin x + cos x + sin3 x + cos 3 x + sin5 x + cos 5 x + ⋯ = Pembahasan :  Dengan rumus jumlah geometri tak hingga 𝑎

𝑆∞ = 1−𝑟 𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛3 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛5 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 5 𝑥 + ⋯ = (𝑠𝑖𝑛 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛3 𝑥 + 𝑠𝑖𝑛5 𝑥 + ⋯ ) + (𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 + 𝑐𝑜𝑠 5 𝑥 + ⋯) =

𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 1 − 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 1 − 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥

100 SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA DAN PEMBAHASAN SMAN 1 MASBAGIK ACHMAD FARIJAN,S.Pd.

= =

𝑠𝑖𝑛 𝑥 𝑐𝑜𝑠 𝑥 + 2 𝑐𝑜𝑠 𝑥 𝑠𝑖𝑛2 𝑥 𝑠𝑖𝑛 3 𝑥+𝑐𝑜𝑠 3 𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝑥 ∙𝑠𝑖𝑛 2 𝑥

Jadi, nilai dari 𝒔𝒊𝒏 𝒙 + 𝒄𝒐𝒔 𝒙 + 𝒔𝒊𝒏𝟑 𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝟑 𝒙 + 𝒔𝒊𝒏𝟓 𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝟓 𝒙 + ⋯ adalah 𝒔𝒊𝒏𝟑 𝒙 + 𝒄𝒐𝒔𝟑 𝒙 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝒙 ∙ 𝒔𝒊𝒏𝟐 𝒙 77. sin8 75 − cos 8 75 = ⋯ Pembahasan: 𝑠𝑖𝑛8 75 − 𝑐𝑜𝑠 8 75 = (𝑠𝑖𝑛4 75 − 𝑐𝑜𝑠 4 75)(𝑠𝑖𝑛4 75 + 𝑐𝑜𝑠 4 75) = ((𝑠𝑖𝑛2 75 − 𝑐𝑜𝑠 2 75)(𝑠𝑖𝑛2 75 + 𝑐𝑜𝑠 2 75))((𝑠𝑖𝑛2 75 + 𝑐𝑜𝑠 2 75)2 − 2 𝑠𝑖𝑛2 75 ∙ 𝑐𝑜𝑠 2 75) = (−(𝑐𝑜𝑠 2 75 − 𝑠𝑖𝑛2 75))(𝑠𝑖𝑛2 75 + 𝑐𝑜𝑠 2 75) ((𝑠𝑖𝑛2 75 + 𝑐𝑜𝑠 2 75)2 1 − (2 𝑠𝑖𝑛 75 𝑐𝑜𝑠 75)2 ) 2 1 = (− 𝑐𝑜𝑠 150)(1) (12 − (𝑠𝑖𝑛 150)2 ) 2 1 1 1 2 = − (− √3) (1 − ( ) ) 2 2 2 1 7 √3 ∙ 2 8 7 = √3 16 =

Jadi, nilai dari 𝒔𝒊𝒏𝟖 𝟕𝟓 − 𝒄𝒐𝒔𝟖 𝟕𝟓 adalah

𝟕 𝟏𝟔

√𝟑

78. Delegasi Indonesia ke suatu pertemuan pemuda internasional terdiri dari 5 orang. Ada 7 orang pria dan 5 orang wanita yang mencalonkan diri untuk menjadi anggota delegasi. Jika dipersyaratkan bahwa paling sedikit seorang anggota itu harus wanita, banyaknya cara memilih anggota delegasi adalah ⋅⋅⋅⋅ Solusi : Susunan delegasi yang mungkin adalah 4 pria dan 1 wanita atau 3 pria dan 2 wanita atau 2 pria dan 3 wanita atau 1 pria dan 4 wanita atau 5 wanita . Banyaknya cara memilih anggota delegasi adalah C ⋅ C + C ⋅ C + C ⋅ C + C ⋅ C + C ⋅ C = 7 4

5 1

7 3

5 2

7 2

5 3

35 ⋅ 5 + 35 ⋅ 10 + 21 ⋅ 10 + 7 ⋅ 5 + 1 ⋅ 1 = 175 + 350 + 210 + 35 + 1 = 771 cara. ∴ Banyaknya cara memilih anggota delegasi ada 771.

7 1

5 4

7 0

5 5

100 SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA DAN PEMBAHASAN SMAN 1 MASBAGIK ACHMAD FARIJAN,S.Pd.

79. Bilangan prima terkecil sehingga dapat ditemukan bilangan prima yang memenuhi 𝑞 2 = 10𝑝 + 131 adalah….

80. Pada segitiga ABC sama kaki dengan puncak A, AD adalah garis tinggi dengan D pada sisi BC. Titik E adalah titik pada AC sehingga DE garis tinggi segitiga ADC. Jika AD = 2 dan BC = 2, maka nilai dari AE : EC adalah ….

81. Jika 4𝑥 + 4−𝑥 = 7 𝑡𝑒𝑛𝑡𝑢𝑘𝑎𝑛 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 8𝑥 + 8−𝑥 = ⋯

100 SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA DAN PEMBAHASAN SMAN 1 MASBAGIK ACHMAD FARIJAN,S.Pd.

82. Misalkan a, b adalah bilarang riil sedemikian sehingga a  b 

1 1   6 . Nilai dari a b

a b   1980 adalah ... ( OSK 2014 ) b a

83. Ada sebanyak 6! Permutasi dari huruf – huruf OSNMAT. Jika semua permutasi tersebut diurutkan secara abjad dari A ke Z, maka OSNMAT pada urutan ke ... .

84. Semua pasangan bilangan prima (p,q) yang memenuhi persamaan 7 p  q 2  2p  1q 2 adalah ... ( OSK 2014 )

100 SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA DAN PEMBAHASAN SMAN 1 MASBAGIK ACHMAD FARIJAN,S.Pd.

85. Tentukan nilai eksak untuk tan 1° tan 2°. tan 3° …. tan 89°

86. Diketahui nilai tan x + tan y. = 25 dan cot x + cot y = 30. Tentukan nilai tan ( x + y ) ( OSP 2009/ AIME 1986 )

87. Tentukan banyaknya susunan dari kata”OLIMPIADE”!

88. Diketahui 2012 titikpada sebuah bidang dan tidak ada 3 buah titik yang segaris. Banyaknya garis lurus yang dapat dibuat dari titik-titik tersebut adalah ...( OMITS 2012)

100 SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA DAN PEMBAHASAN SMAN 1 MASBAGIK ACHMAD FARIJAN,S.Pd.

89. Perhatikan gambar berikut, jika ada lingkaran dalam segitiga dan lingkaran luar segi tiga serta segitiganya adalah segitiga sama sisi, maka tentukan Perbandingan ketiga luas bangun dan Perbandingan luas lingkaran dalam dan luar segitiga tersebut.

90. Tentukan nilai 𝑎𝑥𝑏𝑥𝑐𝑥𝑑𝑥𝑒𝑥𝑓 jika 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑒 + 0 = 20 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 0 + 𝑓 = 19 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 + 0 + 𝑒 + 𝑓 = 18 𝑎 + 𝑏 + 0 + 𝑑 + 𝑒 + 𝑓 = 17 𝑎 + 0 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑒 = 𝑓 = 16 0 + 𝑏 + 𝑐 + 𝑑 + 𝑒 + 𝑓 = 15

100 SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA DAN PEMBAHASAN SMAN 1 MASBAGIK ACHMAD FARIJAN,S.Pd.

91. Jika diberikan 𝑎 + 𝑏 + 𝑐 = 0 tentukan nilai dari

𝑎2 𝑏𝑐

+

𝑏2 𝑎𝑐

+

𝑐2 𝑎𝑏

92. Bilangan tiga digit yang merupakan faktorial dari digit-digitnya adalah …( OMITS 2012) Jawab : Perhatikan bahwa 1! = 1 2! = 2 3! = 6 4! = 24 5! = 120 6! = 720 Yang agak mungkin adalah bilangan tersebut ≤ 5! Dengan cara coba-coba, misalkan 123 ≠ 1! + 2! + 3! 123 ≠ 1 + 2 + 6 = 9 Coba yang ini 145 = 1! + 4! + 5! = 1 + 24 + 120 = 145 Jadi bilangan tersebut 145

93. Angka terakhir bila P = 1! + 2! + 3! + . . . + 2012! adalah. …( PORSEMA NU 2012)

Jawab : ingat bahwa n! = 1 x 2 x 3 x 4 x . . . x (n-2) x (n-1) x n Untuk 1! = 1 2! = 2 3! = 6 4! = 24 51 = 120 6! = 720 7! = ……0 , dst selalu berakhir dengan angka nol Sehingga 1! + 2! + 3! + . . . + 2012! = 1 + 2 + 6 + 24 +120 + 720 + ……0 = ………3 Jadi jawaban akhirnya adalah berangka terakhir 3

100 SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA DAN PEMBAHASAN SMAN 1 MASBAGIK ACHMAD FARIJAN,S.Pd. 94. Angka terakhir bila Q = 1.1!+2.2!+3.3!+4.4!+ . . . + 2013.2013! adalah…

Jawab : Perhatikan bahwa 1.1!=1 2.2!=2.2=4 3.3!=3.6=18 4.4!=4.24=96 5.5!=5.120=600 6.6!=6.720=4320 7.7!=……………0 dst 2013.3013!=……….0 ___________________ + …………………………9 Jadi angka terakhir untuk Q = 1.1!+2.2!+3.3!+4.4!+ . . . + 2013.2013! adalah 9

95. Nilai x terbesar jika 9x membagi 3366 adalah…

96. Tentukan sisa pembagian 32012 jika dibagi 41!

100 SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA DAN PEMBAHASAN SMAN 1 MASBAGIK ACHMAD FARIJAN,S.Pd.

97. Banyaknya pembagi positif untuk 1005010010005001 adalah …( OMITS 2012)

98. Nilai maksimum untuk perbandingan antara bilangan empat digit abcd dan jumlah digitdigitnya adalah…( OMITS 2012 )

1

1

99. Carilah solusi x real yang memenuhi 𝑥 = √𝑥 − 𝑥 + √1 − 𝑥 ( CANADIAN MO 1998 )

100 SOAL OLIMPIADE MATEMATIKA DAN PEMBAHASAN SMAN 1 MASBAGIK ACHMAD FARIJAN,S.Pd.

100. Untuk pasangan bilangan bulat (x,y,n) yang memenuhi :

(𝑥! + 𝑦!) = 3𝑛 𝑛! maka nilai maksimum dari 𝑥 + 𝑦 + 𝑛 𝑎𝑑𝑎𝑙𝑎ℎ ( OMITS 2012 )