10 Tsra Analiza In Frecventa 0.pdf

Analiza SRA prin metoda reprezentarii in frecventa Aspecte teoretice

1

G ( j) 

arg G( j)  arg

Y ( s) G( s)  X ( s)

Y  X G( j) Im[G(j)]   arg G( j)  arctg Re[G(j)]

2

Y ( j) X ( j)

unde,

x(t )  X sin t y(t )  Y sin  t  

Y ( j) X ( j)

X ( j)

- amplitudinea semnalului sinusoidal de intrare

Y ( j)

- amplitudinea semnalului sinusoidal de iesire

arg  X ( j)  - faza semnalului sinusoidal de intrare arg Y ( j) 

- faza semnalului sinusoidal de iesire

In general, se folosesc trei tipuri de reprezentari grafice ale functiilor de transfer sinusoidale: • reprezentari logaritmice (caracteristicile Bode) • reprezentari polare (caracteristicile Nyquist) • reprezentari ale amplitudinii logaritmice functie de unghiul de faza

3

REPREZENTARI LOGARITMICE DE FRECVENTA Reprezentarile logaritmice de frecventa se refera la reprezentarea separata a modulului 𝐺(𝑗𝜔) si a unghiului de faza ale functiei de transfer sinusoidale in . coordonate logaritmice de frecventa (pulsatie) pe tot domeniul pozitiv de valori ale acesteia (0 ≤ 𝜔 < ∞). G( j)  G( j)  e j arg G ( j)

In reprezentarea logaritmica a modulului si fazei acestor expresii, ambele functii de pulsatie se folosesc urmatoarele diagrame si unitati de masura: • pentru modul, unitatea de masura este decibelul (dB): A dB  G( j) dB  20lg G( j) • pentru faza, unitatea de masura este gradul (◦):   arg G ( j ) • pentru pulsatie unitatea de masura este radiani/s 4

• Reprezentarea logaritmica se foloseste in special atunci cand polinoamele 𝑋(𝑗𝜔) si Y(𝑗𝜔) din expresia functiei sinusoidale de transfer sunt sub forma de factori. • In reprezentarile logaritmice de frecventa graficele se reprezinta in coordonate semilogaritmice

5

• Avantajul folosirii reprezentarilor lui Bode este ca operatia de inmultire a amplitudinilor se transforma in adunare. In plus, exista o metoda simpla pentru trasarea unei curbe aproximative a amplitudinii logaritmice.

6

TERMENUL PROPORTIONAL K G ( s )  K  G ( j )  K A dB  G( j) dB  20lg G( j)  A  20lg K   arg G ( j )    0 Curba amplitudinii logaritmice pentru un termen constant K este o dreapta orizontala a carei amplitudine este 20lg(𝐾) dB. Unghiul de faza este zero. Efectul variatiei valorii in funcţia de transfer a termenului proportional K este deplasarea in sus sau in jos a reprezentarii curbei amplitudinii logaritmice a functiei de transfer, fara interventie aspura reprezentarii grafice a unghiului de faza.

7

TERMENI INTEGRATIVI SI DERIVATIVI 𝑗𝜔 si zerouri in origine) 1 1 1  j 2 G  j   G  j    j  e j   A dB  G  j  20 lg

1  20 lg  dB 

  arg G( j )    90

8

∓1

(poli

TERMENI INTEGRATIVI SI DERIVATIVI 𝑗𝜔 si zerouri in origine) G  j  j  G  j   e

j

 2

A dB  G  j  A  20 lg  dB

  arg G( j )    90

9

∓1

(poli

• Pantele reprezentarilor grafice ale amplitudinilor logaritmice ai teremnilor 𝑗𝜔 ∓𝑛 sunt ∓20𝑛 dB/dec. • Unghiurile de faza sunt egale cu ∓900 𝑛 pe tot domeniul de frecventa. • Reprezentarile grafice ale amplitudinilor logaritmice trec prin punctul de coordonate (0 dB, 1).

10

TERMENI DE ORDINUL INTAI 1 + 𝑗𝜔𝑇 𝐺 𝑗𝜔 = 𝐴ȁ𝑑𝐵 = 𝐺 𝑗𝜔

1 1 + 𝑗𝜔𝑇 = 20𝑙𝑔

𝜔𝑇 ≪ 1 ⇒ 𝐴ቚ

𝑑𝐵

𝜔𝑇 ≫ 1 ⇒ 𝐴ቚ

𝑑𝐵

1 1+𝑗𝜔𝑇

= 20𝑙𝑔

1 1+𝜔2 𝑇 2

= −20𝑙𝑔 1 + 𝜔 2 𝑇 2 𝑑𝐵

= −20𝑙𝑔 1 + 𝜔 2 𝑇 2 = −20𝑙𝑔1 = 0 𝑑𝐵 = −20𝑙𝑔 1 + 𝜔 2 𝑇 2 = −20𝑙𝑔𝜔𝑇 = 0 𝑑𝐵

1 𝜔 = ⇒ 𝐴 = 0 𝑑𝐵/𝑑𝑒𝑐 𝑇 10 𝜔= ⇒ 𝐴 = −20 𝑑𝐵/𝑑𝑒𝑐 𝑇 11

∓1

12

• Valoarea pentru care cele doua asimptote se intersecteaza se numeste pulsatie (frecventa) de taiere. 1 1+𝑗𝜔𝑇

1 𝑇

• Pentru termenul 𝐺 𝑗𝜔 = pulsatia de taiere este , deoarece ambele asimptote au aceeasi valoare ( 0 dB). • Pulsatia (frecventa) de taiere imparte raspunsul in frecventa in doua regiuni: • de joasa frecventa (JF) • de inalta frecventa (IF) • Valoarea pulsatiei (frecventei) de taiere este foarte importanta in procesul de trasare a curbelor logaritmice de frecventa. 13

• Elementele a caror functie de transfer are expresia 𝐺 𝑗𝜔 =

1 , 1+𝑗𝜔𝑇

1 , 𝑇

au caracteristica unui filtru trece-jos. Pentru frecvente 𝜔 = aplitudinea logaritmica scade rapid catre −∞. Acest fapt se datoreaza prezentei constantei de timp. • In filter trece-jos, iesirea urmareste cu fidelitate o marime de intrare sinusoidala de joasa frecventa. Pe masura ce creste frecventa, iesirea nu poate urmari intrarea. • In aceasta situatie, daca intrarea are armonici, componentele de JF se reproduc fidel la iesire, in timp ce componentele de IF se atenueaza in amplitudine si isi schimba faza. • Un element de ordinal I, produce o duplicare exacta, sau aproape exacta, doar pentru fenomene constant sau care variaza lent. 14

TERMENI DE ORDINUL INTAI 1 + 𝑗𝜔𝑇 𝐺 𝑗𝜔 = 1 + 𝑗𝜔𝑇

𝐴ȁ𝑑𝐵 = 𝐺 𝑗𝜔

= 20𝑙𝑔 1 + 𝑗𝜔𝑇 = 20𝑙𝑔 1 + 𝜔 2 𝑇 2 𝑑𝐵

𝜔𝑇 ≪ 1 ⇒ 𝐴ቚ

𝑑𝐵

𝜔𝑇 ≫ 1 ⇒ 𝐴ቚ

= 20𝑙𝑔 1 + 𝜔 2 𝑇 2 = 20𝑙𝑔1 = 0 𝑑𝐵

𝑑𝐵

= 20𝑙𝑔 1 + 𝜔 2 𝑇 2 = 20𝑙𝑔𝜔𝑇 = 0 𝑑𝐵

1 𝜔 = ⇒ 𝐴 = 0 𝑑𝐵/𝑑𝑒𝑐 𝑇 10 𝜔= ⇒ 𝐴 = +20 𝑑𝐵/𝑑𝑒𝑐 𝑇 15

∓1 +20 𝑑𝐵/𝑑𝑒𝑐

16

• Se poate observa faptul ca modificand valoarea constantei de timp T se modifica pozitia frecventei de taiere, dar nu modifica forma curbelor amplitudinii logaritmice de frecventa.

17

TERMENI DE ORDINUL DOI

∓𝟏 𝟐 𝒋𝝎 𝝎𝒏

𝒋𝝎 𝝎𝒏

𝟏 + 𝟐𝜻 + (TERMENI PATRATICI) G ( j) 

1  j   j  1  2      n   n 

A dB  G  j  20 lg

2



1  2   1  2   j 2 n  n 

1   2   1  2   j 2 n  n  2

 2     20 lg  20 lg 1  2   4 2   2 2  n   n   2     2 1  2   4    n   n  1

𝜔 ≪ 𝜔𝑛 ⇒ 𝐴ቚ

𝑑𝐵

18 𝜔 ≫ 𝜔𝑛 ⇒ 𝐴ቚ

𝑑𝐵

= 20𝑙𝑔1 = 0 𝑑𝐵 = −20𝑙𝑔

𝝎 𝝎𝒏

𝟒

= −40𝑙𝑔

𝝎 𝑑𝐵 𝝎𝒏

2

19

TERMENI DE ORDINUL DOI

∓𝟏 𝟐 𝒋𝝎 𝝎𝒏

𝒋𝝎 𝝎𝒏

𝟏 + 𝟐𝜻 + (TERMENI PATRATICI) 2

 j   j   2   G ( j)  1  2    1   j 2      2  n  n   n   n  2

A dB

 2   2      G  j  20 lg 1  2   j 2  20 lg 1  2   4 2   n  n   n   n 

𝜔 ≪ 𝜔𝑛 ⇒ 𝐴ቚ

𝑑𝐵

𝜔 ≫ 𝜔𝑛 ⇒ 𝐴ቚ

𝑑𝐵

20

= 20𝑙𝑔1 = 0 𝑑𝐵

= 20𝑙𝑔

𝝎 𝝎𝒏

𝟒

= +40𝑙𝑔

𝝎 𝑑𝐵 𝝎𝒏

2

21

ALGORITMUL DE TRASARE A CARACTERISTICILOR LOGARITMICE DE FRECVENTA • In primul rând se rescrie funcţia de transfer sinusoidala 𝐺 𝑗𝜔 ca un produs de termeni de baza (analizati anterior). Dupa aceea se identifica frecventele de frangere asociate cu acesti factori de baza. In final, se traseaza curbele asimptotice ale amplitudinii logaritmice tinand cont de frecventele de frangere. • Curba unghiului de faza a functiei de transfer sinusoidala 𝐺 𝑗𝜔 se traseaza tinand cont de curbele de unghi de faza ale factorilor individuali. (Este dificil sa se traseze curba unghiului de faza manual, motiv pentru care nu se practica.)

22

SISTEME DE FAZA MINIMA SI DE FAZA NEMINIMA • Functiile de transfer care nu au poli sau zerouri in semiplanul drept al planului complex s sunt functii de transfer de faza minima, in timp ce functiile care au poli sau zerouri in semiplanul drept al planului s se numsesc functii de transfer de faza neminima. Sistemele de control ale caror functii de transfer sunt de faza minima se numesc sisteme de control de faza minima. Sistemele de control ale caror functii de transfer sunt de faza neminima se numesc sisteme de control de faza neminima.

23

SISTEME DE FAZA MINIMA SI DE FAZA NEMINIMA • Sistemele de faza neminima sunt lente in raspuns. • In marea majoritate a sistemelor de control de faza neminima trebuie avut in vedere evitarea unei intarzieri de faza excesiva. In procesul de proiectare al unui sistem de control, viteza de raspuns trebuie sa fie rapida, nu trebuie folosite componente de faza neminima (un exemplu obisnuit de elemente de faza neminima care pot fi prezente intr-un sistem de control este intarzierea de transport).

24

CARACTERISTICI POLARE (NYQUIST)

25

26

27

28

29

U ()  0 G  j  j  U ()  jV ()  V ()  

30

31

U ()  1 G  j  1  jT  U ()  jV ()  V ()  T

32

33

34

35

36

37