10 Sol

‫חדו"א להנדסה‪ -‬פתרונות תרגיל ‪10‬‬ ‫‪ .1‬בדקו התכנסות במ"ש של סדרות הפונקציות הבאות בקטעים הנתונים‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫א‪ f n ( x)  x .‬בקטע )‪. (0,1‬‬

‫אין התכנסות במ"ש‪ .‬הוכחה‪ f n ( x)  0 :‬נקודתית‪ .‬כי לכל )‪, x  (0,1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪f n ( x)  lim x n  0‬‬ ‫‪ . lim‬נוכיח עתה שההתכנסות היא לא במידה שווה‪ .‬ניקח‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪4‬‬

‫‪ .  ‬יהי ‪ N‬טבעי‪.‬‬

‫'‪n‬‬

‫‪1‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪ 1 ‬‬ ‫ניקח ‪ n '  N‬ו ' ‪ . x '  n‬אזי‪. f n ' ( x ')  0   n '    ,‬‬ ‫‪2 4‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪n‬‬ ‫ב‪ f n ( x)  x .‬בקטע )‪. a  1 (0, a‬‬

‫)‪ f n ( x‬מתכנסת במ"ש לפונקצית האפס בקטע )‪ . (0, a‬הוכחה‪ :‬יהי ‪ .   0‬צריך למצוא ‪N‬‬ ‫‪n‬‬ ‫טבעי כך שלכל ‪ n  N‬ולכל ) ‪ f n ( x)  0   , x  (0, a‬או ‪ . x  ‬ניקח ‪ N  log a ‬ואז לכל‬ ‫‪log ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ n  N‬ולכל ) ‪ x  (0, a‬מתקיים‪. f n ( x)  0  x  a  a a   :‬‬

‫‪n‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫ג‪ f n ( x)  x  x .‬בקטע ]‪. [0,1‬‬

‫יש התכנסות במ"ש לאפס‪ .‬הוכחה‪ :‬יהי ‪ .   0‬אפשר להניח כי ‪ .   1‬ניקח ‪ . N  log1 ‬אזי‪,‬‬ ‫‪n‬‬ ‫לכל ‪ n  N‬מתקיים‪ :‬אם ‪ 1    x  1‬אזי ‪. f n ( x)  x (1  x )  1  x  1  (1   )  ‬‬ ‫‪log ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫אם ‪ 0  x  1  ‬אזי ‪. f n ( x)  x (1  x )  x  (1   )  (1   ) 1  ‬‬

‫לכן‪ ,‬לכל ‪ n  N‬ולכל ]‪ x  [0,1‬מתקיים‪. f n ( x)  0   :‬‬ ‫‪nx‬‬ ‫ד‪.‬‬ ‫‪1  n2 x2‬‬

‫‪ f n ( x) ‬בקטע ]‪. [0,1‬‬

‫הסדרה אינה מתכנסת במ"ש בקטע ]‪ . [0,1‬הוכחה‪ :‬לכל ]‪ x  (0,1‬מתקיים‪:‬‬ ‫‪nx‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪lim f n ( x )  lim‬‬ ‫‪ lim‬‬ ‫‪ 0‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n  1  n x‬‬ ‫‪n  1‬‬ ‫‪ . n‬כמו כן‪,‬‬ ‫‪ nx 2 ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n 0‬‬ ‫‪ lim 0  0‬‬ ‫‪ . lim f n (0)  lim‬לכן הסדרה מתכנסת נקודתית לפונקצית האפס‪.‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪n  1  n 2 0 2‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪ f n ( x‬לא מתכנסת לאפס במ"ש‪ .‬כי ניקח ‪ ,  ‬נגדיר ‪ xn ‬ונקבל כי‪:‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n 11‬‬ ‫‪ . f n ( xn ) ‬מכאן נובע כי )‪ f n ( x‬לא מתכנסת לאפס במ"ש‪ .‬כי עבור‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1  n2  2 2 4‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪1 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪  ‬ועבור ‪ N‬טבעי כלשהו ניקח ‪ n  N‬ואת ‪ xn‬ונקבל ש‪. lim f n ( xn )   :‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪2 4‬‬ ‫‪4‬‬

‫)‪nx sin(nx‬‬ ‫ה‪.‬‬ ‫‪n  x4‬‬

‫‪ f n ( x) ‬בקטע ]‪. [0,1‬‬

‫‪‬‬ ‫הסדרה לא מתכנסת במ"ש בקטע ]‪ [0,1‬כי היא לא מתכנסת למשל בנקודה‬ ‫‪4‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫) ‪8n  sin(8n ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪ .‬אבל‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4  lim 0  0‬‬ ‫‪lim f8 n ( )  lim‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪8n‬‬

‫‪ . x ‬ואמנם‪,‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫) ‪(8n  1)  sin((8n  1) ‬‬ ‫) ‪sin(2 n ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4  lim 4‬‬ ‫‪4   sin(  )    0‬‬ ‫‪lim f8 n 1 ( )  lim‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪8n  1‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4‬‬ ‫‪4 2‬‬ ‫‪1‬‬ ‫)‪4(8n  1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪.2‬הוכיחו כי אם ‪ { f n ( x)}n 1‬סדרה של פונקציות המוגדרות בקטע ]‪ . [a, b‬אזי ‪ { f n ( x)}n 1‬שואפת‬

‫במידה שווה לאפס )=פונקצית האפס( אם ורק אם הסדרה ‪f n ( x)  n 1‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫שואפת במ"ש לאפס‪.‬‬

‫הוכחה‪ :‬הכיוון )‪ (‬נניח ‪ f n‬שואפת לאפס במידה שווה‪ .‬יהי ‪ .   0‬צריך למצוא ‪ N‬טבעי כך שלכל‬ ‫‪ n  N‬ולכל ]‪ . f n ( x)  0   , x  [a, b‬כיוון ש ‪ f n‬שואפת לאפס במידה שווה‪ ,‬קיים‬ ‫‪ N‬טבעי כך שלכל ‪ n  N‬ולכל ]‪ . f n ( x)  0   , x  [a, b‬ל ‪ N‬הזה גם נכון‬ ‫שלכל ‪ n  N‬ולכל ]‪ , f n ( x)  0   , x  [a, b‬כי ‪. f n ( x)  0  f n ( x)  0‬‬ ‫בכיוון השני )‪ . (‬נניח כי ‪ f n‬שואפת לאפס במידה שווה‪ .‬יהי ‪ .   0‬צריך למצוא ‪N‬‬

‫טבעי כך שלכל ‪ n  N‬ולכל ]‪ . f n ( x)  0   , x  [a, b‬כיוון ש ‪ f n‬שואפת לאפס במידה שווה‪,‬‬ ‫קיים ‪ N‬טבעי כך שלכל ‪ n  N‬ולכל ]‪ . f n ( x)  0   , x  [a, b‬כיוון ש )‪, f n ( x)  f n ( x‬‬ ‫נובע כי לכל ‪ n  N‬ולכל ]‪. f n ( x)  0   , x  [a, b‬‬ ‫‪ .3‬האם קיימת סדרת פונקציות רציפות ‪ { f n ( x)}n 1‬השואפת במידה שווה לפונקציה ] ‪f ( x )  [ x‬‬ ‫בקטע ]‪? [8,15‬‬ ‫לא‪ ,‬כי לפי משפט‪ :‬גבול במידה שווה של פונקציות רציפות הוא פונקציה רציפה‪ .‬אבל הפונקציה‬ ‫]‪ f ( x)  [ x‬אינה רציפה בקטע ]‪ . [8,15‬למשל‪ ,‬היא לא רציפה בנקודה ‪. x  9‬‬ ‫‪ .4‬בדקו התכנסות נקודתית והתכנסות במידה שווה של טורי הפונקציות הבאים‪:‬‬ ‫א‪ x n ) .‬‬

‫‪n 1‬‬

‫‪‬‬

‫‪ (x‬‬ ‫‪n 0‬‬

‫בתחום ‪ . 0  x  1‬לא מתכנס במ"ש‪ .‬הוכחה‪ :‬נסמן ב )‪ sn ( x‬את סדרת‬

‫הסכומים החלקיים של הטור‪ .‬אזי‬ ‫‪n‬‬

‫‪sn ( x)   x k 1  x k  x 2  x  x 3  x 2  ...  x n 1  x n  x n 1  x‬‬ ‫‪k 1‬‬

‫‪  x ___ 0  x  1‬‬ ‫לכן‪,‬‬ ‫}‪ 0 ____ x  {0,1‬‬ ‫רציפה ) הפונקציה לא רציפה בנקודה ‪ .( x  1‬מכאן אין התכנסות במידה שווה בתחום ‪. 0  x  1‬‬

‫‪sn ( x )  ‬‬ ‫‪ . lim‬לכן יש התכנסות נקודתית‪ .‬הגבול הוא פונקציה לא‬ ‫‪n ‬‬

‫ב‪.‬‬

‫‪n‬‬

‫‪‬‬

‫‪x‬‬ ‫‪n 0‬‬

‫‪‬‬

‫‪n‬‬ ‫בתחום ‪ . 0  x  1‬הטור לא מתכנס בנקודה ‪ x  1‬כי הטור ‪ 1‬מתבדר‪ .‬לכן אין‬ ‫‪n 0‬‬

‫התכנסות נקודתית בתחום ‪ 0  x  1‬ולכן אין גם התכנסות במ"ש בתחום ‪. 0  x  1‬‬ ‫‪n‬‬

‫ג‪.‬‬

‫)‪(1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n 0 x  n‬‬ ‫‪‬‬

‫בתחום ‪ .   x  ‬לכל ‪ x‬קבוע זהו טור לייבניץ ולכן מתכנס‪ .‬לכן‪ ,‬לכל ‪x‬‬

‫קבוע‪:‬‬ ‫)‪(1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪x  n 1 n 1‬‬ ‫‪k  n 1 x  k‬‬ ‫‪k‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫‪ ,‬כאשר אי השוויון הראשון בביטוי האחרון נובע מכך‬ ‫‪n‬‬

‫)‪(1‬‬ ‫שבטור לייבניץ סכום הטור קטן או שווה לאיבר הראשון‪ .‬לכן‪ ,‬השארית של הטור‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n 0 x  n‬‬ ‫שואפת לאפס בלי תלות ב ‪ x‬ומכאן יש התכנסות במ"ש בתחום ‪   x  ‬ולכן גם התכנסות‬ ‫נקודתית‪.‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪  2‬בתחום‬ ‫ד‪3 .‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪ .‬נסמן ‪3‬‬ ‫‪x n‬‬ ‫‪n 1 x  n‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ 3‬‬ ‫‪. un ( x )  2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪x n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪  2‬מתכנס במ"ש בתחום‬ ‫כיוון שהטור ‪  3‬מתכנס נובע ממשפט ויירשטרס כי הטור ‪3‬‬ ‫‪n 1 x  n‬‬ ‫‪n 0 n‬‬ ‫‪ .   x  ‬ולכן יש גם התכנסות נקודתית‪.‬‬

‫‪ . un ( x) ‬אזי לכל ‪ x‬בתחום‪:‬‬

‫‪‬‬

‫‪1‬‬

‫‪‬‬

‫ה‪.‬‬ ‫‪3 1  n2 x2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ n‬‬ ‫‪ . un ( x )  n 3‬כיוון שהטור ‪  n‬מתכנס נובע ממשפט ויירשטרס כי הטור‬ ‫‪2‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪3‬‬ ‫‪n 0 3‬‬ ‫‪3 1 n x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪  n 3‬מתכנס במ"ש בתחום ‪ .   x  ‬ולכן יש גם התכנסות נקודתית‪.‬‬ ‫‪n 1 3‬‬ ‫‪1  n2 x2‬‬ ‫‪n3‬‬

‫‪n 1‬‬

‫בתחום‬

‫‪  x  ‬‬

‫‪ .‬נסמן‬

‫‪1‬‬

‫‪ . un ( x) ‬אזי לכל ‪ x‬בתחום‪:‬‬

‫‪2‬‬

‫‪3 1 n x‬‬ ‫‪2‬‬

‫‪n3‬‬

‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪xn‬‬ ‫‪ f ( x )  ‬מצאו את תחום ההתכנסות של הטור והוכיחו כי‬ ‫‪ .5‬נגדיר‬ ‫‪1 x‬‬ ‫‪n 0 2  n‬‬

‫‪2‬‬ ‫‪. ( x f ( x)) ' ‬‬

‫‪1‬‬ ‫זהו טור חזקות‪ .‬נשתמש בקריטריון קושי למצוא רדיוס התכנסות‪ 1 :‬‬ ‫‪n ‬‬ ‫‪n2‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪(1) n‬‬ ‫‪ , ‬זהו טור לייבניץ ולכן מתכנס‪.‬‬ ‫נבדוק בקצוות‪ :‬עבור ‪ x  1‬מתקבל הטור‬ ‫‪n 0 2  n‬‬ ‫‪. lim n‬‬

‫‪‬‬

‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪ ‬והוא מתבדר‪ ,‬לפי מבחן המנה עם הטור ההרמוני ‪ . ‬לכן‪,‬‬ ‫עבור ‪ x  1‬מתקבל הטור‬ ‫‪n 0 n‬‬ ‫‪n 0 2  n‬‬ ‫תחום ההתכנסות הוא הקטע )‪ . [1,1‬עבור ‪ x  1‬נוכל להשתמש במשפט הגזירה ונקבל‪:‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪xn‬‬ ‫‪nx n 1‬‬ ‫‪ x2 ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n 0 2  n‬‬ ‫‪n 0 n  2‬‬ ‫‪‬‬

‫‪ x 2 f ( x)   2 x f ( x)  x 2 f '( x)  2 x‬‬ ‫*‬

‫'‬

‫‪‬‬ ‫‪2 x n 1  nx n 1 **  (2  n) x n 1  n 1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪xn  x ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2n‬‬ ‫‪1 x 1 x‬‬ ‫‪n 0 2  n‬‬ ‫‪n0 n  2‬‬ ‫‪n 0‬‬ ‫‪n 0‬‬ ‫‪n0‬‬ ‫‪‬‬

‫כאשר השוויון עם כוכב מעליו נובע ממשפט הגזירה‬ ‫‪n 1‬‬

‫והשוויון עם שני כוכבים מעליו נובע מכך ששני הטורים‬

‫‪nx‬‬

‫‪‬‬

‫‪n 1‬‬

‫‪2x‬‬

‫‪‬‬

‫‪ 2  n, n  2‬‬ ‫‪n 0‬‬

‫מתכנסים עבור ‪, x  1‬‬

‫‪n 0‬‬

‫לכן ניתן לאחד אותם‪.‬‬ ‫‪x‬‬ ‫) (‪cos‬‬ ‫‪ . ((1) n‬מהו תחום התכנסות הטור? האם מתקיים‬ ‫‪.6‬נתון טור פונקציות ) ‪n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪2‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪‬‬

‫'‬

‫'‬

‫‪x ‬‬ ‫‪x ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪cos( )   ‬‬ ‫‪cos( ) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪((1) n 2 n )     ((1) n 2 n ) ‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n  1  n 1 ‬‬ ‫‪n 1 ‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬ ‫‪‬‬

‫‪‬‬

‫בתחום ההתכנסות?‬ ‫‪‬‬

‫‪x‬‬ ‫(‪cos‬‬ ‫)‬ ‫אזי לכל ‪   x  ‬מתקיים‪:‬‬ ‫נסמן‬ ‫‪n‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪un ( x)  (1) 2‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫) (‪cos‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n‬‬ ‫‪ 2‬‬ ‫‪ . un ( x )  (1) 2 n  2‬כיוון שהטור ‪  2‬מתכנס‪ ,‬לפי משפט ויירשטרס הטור‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪n 1 n‬‬ ‫‪n 0 n‬‬ ‫‪x‬‬ ‫) (‪cos‬‬ ‫מתכנס במ"ש בתחום ‪ .   x  ‬לכן מתכנס נקודתית‪ .‬נביט בטור הנגזרות‬ ‫) ‪((1) n 2 n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫‪x‬‬ ‫) (‪sin‬‬ ‫(‪sin‬‬ ‫)‬ ‫‪‬‬ ‫‪ .‬אזי לכל ‪:   x  ‬‬ ‫‪ .‬נסמן‬ ‫) ‪((1) n 1 3 n‬‬ ‫‪an ( x)  (1) n 1 3 n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n n‬‬ ‫‪n n‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪x‬‬ ‫) (‪sin‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪1‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪n  1‬‬ ‫)‪ . an ( x )  (1‬כיוון שהטור ‪  3‬מתכנס‪ ,‬לפי משפט ויירשטרס טור הנגזרות‬ ‫‪3‬‬ ‫‪n  n n3‬‬ ‫‪n 0 n‬‬ ‫‪‬‬

‫‪x‬‬ ‫) (‪sin‬‬ ‫מתכנס במ"ש בתחום ‪ .   x  ‬לכן לפי משפט הגזירה מתקיים‪:‬‬ ‫) ‪((1) n 1 3 n‬‬ ‫‪‬‬ ‫‪n n‬‬ ‫‪n 1‬‬ ‫‪‬‬

'

 

.   

'

x  x   cos( )    cos( )   ((1) n 2 n )     ((1) n 2 n )   n  1  n 1  n 1  n 1       '

  1 2 x :‫ האם מתקיים השוויון‬.7     3 2  2 2 2 n 1 n (1  nx )  n 1 n (1  nx )    1 1 1 1   x    ‫והטור‬ ,‫כי‬ ‫בתחום‬ ‫במ"ש‬ ‫מתכנס‬ ‫הטור‬   3 3 2 3 3 2 n (1  nx ) n n 0 n n 1 n (1  nx )  1 .‫ מתכנס נקודתית‬ 3 ‫ בפרט הטור‬.‫מתכנס לכן לפי משפט ויירשטרס הטור מתכנס במ"ש‬ 2 n 1 n (1  nx )  2 x . 2 2 2 ‫נביט בטור הנגזרות‬ n 1 n (1  nx ) 2 x 2 x 2 2  2  2 min{1, x}  2 2 2 2 2 2 n (1  nx ) n (1  nx ) n n   2 x 2 ‫ מתכנס במ"ש‬ 2 ‫הנגזרות‬ ‫טור‬ ‫ויירשטרס‬ ‫משפט‬ ‫לפי‬ ,‫מתכנס‬  2 2 2 ‫כיוון שהטור‬ n 1 n (1  nx ) n 0 n



'



  1 2 x .  3 .‫ ולפי משפט הגזירה מתקיים‬  x   ‫בתחום‬   2  2 2 2 n 1 n (1  nx )  n 1 n (1  nx )  