10. Formulario Integrales Irracionales.pdf

Integrales irracionales     pq   rs ax + b ax + b ax + b 1) Integrando del tipo R x, , , . . . , cambio = tm cx + d cx + d cx + d siendo m = m.c.m.(q, s . . . ). 2) Ra´ız de suma o diferencia de cuadrados. √  √  a) R x, c2 − a2 x2 , cambio ax = c sen t =⇒ c2 − a2 x2 = c cos t √  √  c b) R x, a2 x2 − c2 , cambio ax = =⇒ a2 x2 − c2 = c tan t cos t √  √  c c) R x, a2 x2 + c2 , cambio ax = c tan t =⇒ a2 x2 + c2 = cos t 3) Ra´ız de un trinomio. Puede reducirse al caso anterior.  2   √ b b2 . 2 a) a > 0 =⇒ ax + bx + c = ax + √ + c − 4a 2 a 2 2 b) a < 0 =⇒ ax + bx + c = − (−ax − bx − c) = . . .  √  4) M´etodo de Euler. Integrando del tipo R x, ax2 + bx + c . a) a > 0, cambio

√

ax2 + bx + c =

√

ax + t √ √ b) c > 0, cambio ax2 + bx + c = tx + c √ c) α ra´ız del trinomio, cambio ax2 + bx + c = t(x − α) P (x) . + bx + c i √ P (x) λ d h √ Q(x) ax2 + bx + c + √ = 2 2 dx ax + bx + c ax + bx + c

5) M´etodo alem´an. Integrando del tipo √

ax2

siendo el grado de Q(x) una unidad inferior al de P (x). 6) Integrando del tipo

1 1 √ , cambio x − α = t (x − α)p ax2 + bx + c

7) Integrales binomias. Integrando del tipo xm (a + bxn )q ; m, n, q ∈ Q. Z 1 m−n+1 n x = t =⇒ I = tp (a + bt)q dt, siendo p = n n que tiene soluci´on en los tres casos siguientes: a) p ∈ Z (q = r/s), cambio a + bt = us b) q ∈ Z− (p = r/s), cambio t = us (si q ∈ N, la integral es inmediata).  q R a + bt c) p + q ∈ Z =⇒ I = tp+q a +t bt dt, q = r/s, cambio = us t