1 - Unidades Y Vectores.docx

Segundo cuatrimestre de 2018

Departamento de tecnología y administración

Carrera: Ingeniería en Informática

Asignatura: Física I

Guía Teórico-Práctica Nº 1

[Herramientas Introductorias] Magnitudes, Sistema de Unidades y Vectores

Elaboración: Gustavo Montero

Miguel Dall’Oso Tomás Jovic Paulina Armagno Juan Cruz Moreno

Física I Índice Una caracterización de la Física.........................................................................................2 Magnitudes y unidades.....................................................................................................5 Magnitudes escalares y vectoriales.................................................................................10 Representación de magnitudes vectoriales....................................................................11 Formato de n-tupla ordenada: ...................................................................................11 Formato Versorial:.......................................................................................................12 Formato Polar:.............................................................................................................12 Suma y resta de vectores en el plano..............................................................................16 Métodos Gráficos: Método del Paralelogramo:..........................................................17 Métodos Gráficos: Método de las poligonales............................................................18 Método Analítico.........................................................................................................18 Algunas propiedades de la suma de Vectores.............................................................19 Multiplicación de un escalar por un vector.....................................................................20

Una caracterización de la Física Una situación muy común, en nuestra vida cotidiana, suele ser mantener una conversación con alguna persona amiga (o por qué no, enemiga) y utilizar una serie de conceptos, de las cuales todas resultan conocidas y entendemos parcial o completamente a qué hacen referencia. En ninguna charla nos pondríamos a explicar el significado de cada una de las palabras que utilizamos. Por ejemplo, podemos describir el desarrollo de un partido de fútbol o de alguna jugada interesante utilizando palabras tales como fuerza, movimiento, rebote, velocidad, peso, pelota o tiempo entre otras… lo cierto es que todas estas palabras tienen un claro significado para cada interlocutor, pero si por alguna razón el otro no nos entiende y necesitaríamos definir algunas de estas palabras la tarea no sería tan simple. Por ejemplo… si queremos explicarle a alguien lo que es una pelota le decimos que es un cuerpo esférico que cumple determinada función y es utilizada para tales o cuales propósitos de cierta manera, y si por alguna razón el otro continuara sin entender, entonces, agotadas las explicaciones, existe la posibilidad buscar una pelota y simplemente mostrársela. Se complica cuando tenemos que explicar el significado de conceptos tales como fuerza o tiempo. ¿Qué pasa en el momento en el que se nos agotan las palabras? No tenemos la posibilidad de mostrar esta “cosa” que intentamos explicar. Esta “cosa” resulta no ser algo concreto, tangible sino algo abstracto, un concepto, una idea, algo que no tiene representación material, algo abstracto, en definitiva una construcción humana. 2

Física I La Ciencia es la responsable de crear este universo de ideas, de conceptos que nos permiten describir y representar la realidad concreta y un poco más. En esta representación conceptual del mundo surgen las distintas clasificaciones de las ciencias de acuerdo a sus objetos de estudio. Lo importante en este caso es que podamos enmarcar a la Física dentro de alguna de estas clasificaciones para poder precisar un poco las características de lo que vamos a aprender. Una de las clasificaciones más interesante es la que diferencia las ciencias que estudian la realidad concreta (ciencias fácticas) de las que no lo hacen (ciencias formales). Dentro de las ciencias fácticas (hechos concretos) encontramos las ciencias naturales (lo que existe en la naturaleza) y las ciencias sociales. Por otra parte dentro de las ciencias formales o exactas tenemos a la matemática y la lógica, cuyos objetos de estudio son operaciones y mecanismos de razonamiento, que como tales, no necesariamente deben tener una representación en la realidad concreta. Y por último señalar que dentro de las ciencias naturales encontramos a la física, la química y la biología. Encontramos en este punto una cuestión importante, y es el tema de considerar a la física dentro de las ciencias fácticas y naturales y NO como una ciencia exacta como en algún momento o lugar se la pudo clasificar. Existe aquí una clara diferenciación con la matemática en relación a que si la física es una ciencia fáctica, y no formal, entonces el objeto de estudio debe ser algo real, concreto y que no es exacta dado que en esa representación de la realidad no se abordan la totalidad de los detalles del objeto de estudio sino una parte conveniente de ellos. La Física como el resto de las ciencias naturales trabajará con un modelo que represente de la mejor manera posible el objeto de estudio. La representación nunca podrá reemplazar al objeto ni abordarlo en su totalidad, por lo tanto esto dará lugar a una reconstrucción inexacta o, en términos físicos, con cierto error de la situación analizada. Bien, definimos algunas características de la Física…, pero en este punto se nos presenta un gran inconveniente si intentamos continuar con las definiciones. Es muy difícil encontrar buenas explicaciones sobre qué es o qué estudia la Física y esto no es debido a la escasez de curiosidad científica sino a la dificultad en la respuesta a esta pregunta. Probablemente resulte un poco más sencillo pensar qué es o qué estudian la química o la biología. La cuestión sobre el objeto de estudio de la Física está ampliamente discutida y por lo tanto es un poco difícil lograr un acuerdo al respecto. Está claro que podemos vincular la Biología al estudio de los seres vivos o la Química al estudio de la estructura de la materia y sus transformaciones, pero encontrar un “grupo o conjunto” de estos para asignárselo a la Física es casi imposible. 3

Física I No diremos aquí que es la madre de todas las ciencias ni que estudia todos los fenómenos naturales porque entonces no les daríamos lugar a las ya mencionadas ciencias. Simplemente echaremos un poco de luz sobre el mecanismo y la forma en que trabaja la Física para abordar determinados fenómenos naturales. Cuando pensamos, qué estudia la Física nos vienen a la mente palabras como velocidad, fuerzas, aceleraciones, tiempo, distancia, desplazamiento, energía, carga eléctrica, etc. Es imposible crear un conjunto para englobar todos estos conceptos, pero sí está claro que todas estas palabras no son más que eso… palabras, conceptos. Lo que debemos tener claro es que mismas palabras pueden tener significados diferentes en contextos diferentes y no por eso uno es solo es el adecuado. La palabra “trabajo” por ejemplo tiene un significado dentro de la Física, otro dentro de la Sociología, otro dentro de la Economía y hasta otro dentro del vudú. Estos conceptos claramente existen para poder representar o simplemente dar nombre a algo que existe en la naturaleza. Otra cuestión a señalar, es que todas estas palabras son casi imposible de definir (piensen sino ¿qué es el tiempo o la energía?) pero sin importarnos esta dificultad la utilizamos a menudo y entendiendo claramente a qué hacemos referencia cuando las utilizamos. Es por este camino que comenzamos a ver una de las características de la Física, utilizamos conceptos o palabras para dar nombre propio a ciertos fenómenos que existen en la naturaleza y queriendo poder estudiarlos en profundidad identificando algunas características propias de ellos. Además de darles nombre, lo que el físico hará, paso siguiente, será identificar algunas variables que puedan estar relacionadas con este fenómeno, entonces por ejemplo, cuando decide estudiar los movimientos se da cuenta que tanto la posición como el tiempo son muy importantes en ese estudio, y define entonces una relación entre esos dos conceptos. Elige definir la tasa de cambio de la posición respecto al cambio (pero podría elegir cualquier otra relación). Para referirse a esa relación la llama, inventa la palabra velocidad y la simboliza como ⃗v . Esta relación puede además expresarse con una expresión matemática (no todos los conceptos pueden serlo): v⃗ = donde ⃗r es la posición, t

d r⃗ dt

es el tiempo.

En breve ahondaremos mucho más acerca del concepto de velocidad, qué representa esa flecha encima de la letra, por qué una derivada y otras cosas. Lo que queríamos plantear acá es que en la Física –como en todas las Ciencias- se construyen conceptos, relacionados entre sí para construir una Teoría o Marco Teórico. Dentro de ese Marco Teórico, esos conceptos tiene significado propio, un determinado rango de validez, una estructura lógica y a veces también una expresión matemática.

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Física I Otra de las herramientas que utiliza la Física para llevar adelante la construcción de Marcos teóricos y su verificación, es la medición, que consiste en la determinación de las magnitudes a medir, instrumentos adecuados y unidades para poder expresar esas mediciones. ¿y qué es medir? Medir una magnitud implica directa o indirectamente una comparación con un patrón de referencia, este patrón se denomina unidad de magnitud, como resultado de la medición obtenemos un numero que indica cuantas veces la unidad está contenida en la magnitud medida. Como esta unidad es arbitraria es necesario agregar un símbolo al valor numérico que indique que unidad se utilizó. Los objetos no “tienen” medidas, el medir es una actividad creativa humana, necesaria para dimensionar los objetos y la naturaleza. Las mediciones dan una idea del objeto pero ni “son” el objeto ni sus resultados son absolutos, TODAS las medidas tiene una incerteza propia.

Magnitudes y unidades Todo aquello que se pueda medir y representar con una unidad adecuada se denomina magnitud. Para cada una de las magnitudes se asigna un número (escalar) y una unidad correspondiente para su representación. Con respecto a las unidades debemos tener en cuenta que para cada magnitud existe más de una unidad para expresar una medición dado que estas son propias de cada sistema adoptado por los diferentes países. Algunos ejemplos de ello pueden ser:

Para salvar este inconveniente se ha creado y adoptado por la mayoría de los países un Sistema Internacional (S.I.) de unidades de medidas en base al cual nos manejaremos en todos los cálculos a realizar. Un caso bien conocido es el de las unidades de longitud para las cuales utilizamos el metro o sus múltiplos y submúltiplos (decámetro, hectómetro, kilómetro 5

Física I y decímetro, centímetro y milímetro), pero también podemos oír hablar de una distancia en pulgadas, millas o yardas, por lo tanto será necesario contar con algunas herramientas para poder realizar las conversiones correspondientes. Para el caso del sistema decimal, donde existe una unidad patrón y múltiplos y submúltiplos podemos utilizar una tablita como la siguiente y visualizar el resultado de la conversión a la unidad deseada.

Aquí se puede ver la equivalencia entre el metro y el resto de las unidades y utilizar una regla de tres simples, o varias, para convertir nuestro valor a la unidad deseada o simplemente ubicar el número en la tabla y correr la coma a la unidad deseada y completar con ceros los espacios vacíos, Acá van una serie de ejemplos:

Si quiero pasar 25dm a mm, primero ubico la coma en dm y el número. Luego traslado la coma a mm y completo con ceros las celdas vacías. El resultado es 2500mm. El mecanismo es el mismo para cualquier pasaje. Por ejemplo, intentemos pasar 1134mm a metros

Al aplicar el método propuesto el resultado es 1,134m (metros). O si queremos pasar 12,5mm a m:

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Física I

El resultado es 0,0125m.

Cabe aclarar que si la unidad patrón fuese el litro o el gramos, la operatoria para convertir un número a cualquiera de sus múltiplos o submúltiplos es exactamente la misma.

Para los casos de las unidades de superficies (m2, cm2, km2, etc.) o de volúmenes (m3, cm3, etc.) la operatoria es lo mismo solo que en el caso de las superficies se deberá completar cada casillero con 2 dígitos y en las de volumen cada casillero se completa con tres dígitos. Por ejemplo si quiero pasar 100cm 3 a m3 entonces deberé hacer…

Por otra parte también existen unidades de otros sistemas de medida como pueden ser las pulgadas, yardas, millas, pies, etc. Para todos estos casos deberás tener a mano las equivalencias entre las distintas unidades y realizar una regla de tres simples para pasar de una unidad a otra. Existen muchas tablas de equivalencias y con muchas más unidades, tal vez las unidades de longitud más utilizadas pueden ser las

siguientes:

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Física I Para convertir una longitud expresada en alguna de estas unidades a cualquier otra simplemente debemos escribir la relación de equivalencia que conocemos (ver tabla) y realizar el planteo según la regla de tres simple.

Estas solo son algunas de las unidades de longitud más comunes que podrás encontrar y sobre todo respecto al sistema inglés de medidas que en muchos casos encontraremos alguna referencia al respecto. Para cada magnitud definida hay distintas unidades relacionadas, por lo tanto sería imposible nombrarlas todas, algunas de las más utilizadas podrías ser las que se presentan en la siguiente tabla (después del siguiente párrafo) Por razones pragmáticas no todas las magnitudes presentadas en la tabla están presentes en los temas de Física presentado en este curso, pero serán de utilidad para el resto de la carrera, si se usa como una de las herramientas de trabajo posibles.

Ejercicio 1

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Física I Objetivo: Con este ejercicio se busca generar la necesidad de utilizar las abreviaturas y prefijos por razones de practicidad ya que resultaría engorroso tener que realizar cálculos utilizando todos los números.

El corazón humano de un adulto late de 1 a 1,6 pulsaciones por segundo aprox. Y teniendo en cuenta que la expectativa de vida es de 80 años. a) Expresar la cantidad de latidos totales experimentados por una población de 2x106 habitantes en 8 décadas de vida, en notación científica y usando prefijos adecuados. b) Teniendo en cuenta que el caudal que bombea el corazón es de 300 litros por hora aprox. Calcular en caudal total de una persona adulta en 0,008x10 4 años, y expresarlo en galones.

Ejercicio 2 Objetivo: Con este ejercicio se espera que a partir del análisis dimensional planteado en las diferentes situaciones, se pueda corroborar la corrección de los resultados obtenidos a la luz del manejo de las unidades resultantes. *tener en cuenta que en una expresión matemática no pueden sumarse ni igualarse términos de distintas dimensiones, sumar o restar distintas magnitudes. La Ley de Gravitación Universal de Newton expresa que el módulo de la fuerza establecida entre dos cuerpos vienen dada por F=G

Mm 2 r

donde F representa al módulo de la fuerza, M y m son las masas de los cuerpos involucrados, y r es la distancia entre ellos. En el SI, la unidad de fuerza kg ∙ m es el Newton (simbolizado por N ) y se define como N= 2 . s ¿Qué unidades tiene la constante G en el SI?. Rta:

Ejercicio 3 Objetivo: con este ejercicio se busca que se realicen los pasajes de forma sistemática adoptando una metodología que puede ir desde el uso de la tabla el uso de la regla de tres simple, además de la posibilidad de interpretar el problema y analizar dimensionalmente la situación.

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Física I Un albañil desea colocar cerámica al piso del dormitorio de una casa cuyas dimensiones son 4000mm x 0,03hm Sabiendo que las cerámicas que utilizará son cuadradas y de 3x105μm de lado, ¿cuántas cerámicas deberá comprar para lograr cubrir toda la habitación? Considerar los cortes que deberá realizar en algunas de las cerámicas. Realizar un esquema de la situación y convertir todas las unidades a metros para operar correctamente.

Magnitudes escalares y vectoriales Ya nos referimos a las magnitudes como todo aquello que vayamos a medir para representar o reconstruir un objeto o un fenómeno observado en la realidad. Esta magnitud será la herramienta para representación cuantitativa de un objeto, fenómeno o característica de la realidad que desee observar. Cuando utilizamos una magnitud con este objetivo, en muchos casos nos alcanza con un número y su unidad para describir representar lo que corresponde, por ejemplo cuando nos referimos a la temperatura solo basta con indicar el valor de la temperatura de lo que se quiere indicar y su unidad, por lo tanto con decir que el horno está a 180°C es suficiente y no cambia por más que éste se encuentre en movimiento, cayendo o subiendo. Estas magnitudes, en las que solo basta con un número para definirlas son las magnitudes escalares. Cuando la situación a describir (representar) requiere algo más que un número que indique cantidad, se necesita agregar algo de información a la descripción de la medición. Por ejemplo, si quisieras indicar Sentido dónde vives no alcanzaría con que Módulo digas “a 6km” ya que con este Punto de Aplicación Dirección único dato podríamos imaginar distintas Figura 1. Representación gráfica de un vector genérico , identificando sus características principales. ubicaciones posibles en un radio de 6km. Para este caso será necesario indicar algunos datos más para precisar la ubicación de tu casa. Será necesario aclarar a 6km respecto de dónde, una vez definido el punto de referencia deberé indicar en qué dirección tengo que caminar esa distancia, es decir qué avenida deberé tomar para caminar esos 6km y por último será necesario indicar hacia qué lado caminar los 6km sobre la avenida indicada, es decir el sentido. Por lo tanto para indicar correctamente una única posición será necesario dar un grupo de informaciones que son mucho más que solo 10

Física I un número. Estas magnitudes que requieren de la existencia de un módulo (número), dirección (recta), sentido (¿hacia dónde?) y punto de aplicación (¿a partir de dónde?) se llaman magnitudes vectoriales. Las magnitudes vectoriales se representan a través de los elementos matemáticos llamados –casualmente- vectores. Los vectores tienen una representación gráfica que es en forma de flecha, flecha que me permite identificar esas cuatro características que definen a las magnitudes vectoriales (Figura 1).

Representación de magnitudes vectoriales Como hemos señalado las magnitudes vectoriales “acarrean” mucha más información que las magnitudes escalares, por lo tanto debemos pensar cuales son las Figura 2. Representación gráfica de los vectores y . maneras que tenemos de representar gráficamente un vector para poder indicar toda la información necesaria. Será necesario entonces utilizar un Sistema de Coordenadas en el cual realizar la representación, para ello utilizaremos el plano de ejes cartesianos, como ejemplo en la Figura 2 representamos gráficamente dos vectores ⃗v y ⃗u . Las representaciones gráficas suelen ser para vectores de hasta 3 dimensiones. Vectores de más dimensiones utilizan otro tipo de representaciones gráficas (ya veremos qué significa la dimensión del vector). Para describir analíticamente los vectores existen tres formas de hacerlo: Formato de n-tupla ordenada: Indico las coordenadas x, y, juan carlos, avellaneda o cómo elijo llamarlas de cada vector como una n-tupla ordenada ubicados en un sistema de coordenadas que Z preferentemente será el de ejes cartesianos. El valor de n nos indica la dimensión del espacio vectorial y por lo tanto del vector, por ejemplo en el caso de que n sea 2, diremos que es un ¨par X Y ordenado¨ o ¨dupla ordenada¨. Los vectores de la Figura 2 son justamente de este tipo, y su representación como dupla Figura 3. Representación gráfica de los versores , y . ordenada es ⃗v =(1 ; 3) y ⃗u=(4 ; 1) . Las coordenadas de los vectores pueden o no tener unidades (dependen de las características del vector)

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Física I De esta forma podemos indicar un origen o punto de aplicación del vector, la posición y el sentido a partir de sus coordenadas cartesianas. Esta es la información necesaria para expresar un vector bajo este formato. Formato Versorial: Es otro método usual en la representación de vectores, utiliza el producto de un escalar por un vector y a los vectores unitarios, también llamados versores. Para el espacio vectorial de 3 dimensiones, se definen los versores i^ , ^j y k^ como vectores de módulo 1 (uno) contenidos en la dirección de los ejes x, y, z respectivamente: ^ i=(1; 0 ; 0)

k^ =(0 ; 0 ; 1)

^j=(0 ; 1 ; 0)

De modo tal que cualquier vector unidimensional podrá representarse como el producto de un escalar por el vector unitario correspondiente a esa dirección del espacio en el que se encuentra, por ejemplo el vector ⃗a =( 4 ; 0) podrá expresarse como ⃗a =4 i^ ; o el vector ⃗b=(0 ; 5) como ⃗b=5 ^j . En definitiva cualquier vector en el plano, podrá representarse como la suma de dos vectores ortogonales entre sí utilizando versores. Por ejemplo el vector ^ ^j . ⃗p=(−3 ; 5) podrá representarse como ⃗p=−3 i+5 La representación de los vectores ⃗u y ⃗v ⃗v =1 i^ +3 ^j

y

de la Figura 2 sería de la forma:

^ ^j ⃗u=4 i+1

Diremos que los números (con o sin unidades) que permiten expresar el vector en formato versorial o como n-tupla, son las componentes del vector. En nuestro ejemplo, la primera componente del vector ⃗v corresponde a 1 y la segunda componente tiene el valor 3. Formato polar: Es otra manera de representar un vector, donde la información que se suministra en este caso es el módulo del vector y un ángulo de referencia α para indicar su dirección y sentido. El módulo del vector es el valor de su longitud, de acuerdo a la escala utilizado y se lo simbolizará como |a⃗| (módulo de ⃗a ). Es decir que el vector ⃗a queda definido por |a⃗| y α. Para calcular el valor del Figura 4. El vector, su módulo, su ángulo de orientación y sus componentes. módulo usaremos las coordenadas 12

Física I que componen al vector. Si tomamos el ejemplo del vector ⃗v de la Figura 2, vemos que podemos pensar al vector graficado como la hipotenusa de un triángulo rectángulo (los que tienen un ángulo recto) cuyos catetos son las coordenadas x e y . En este caso los catetos miden x=1 e y=3 (Figura 4). Con lo cual para conocer el módulo del vector lo podemos obtener aplicado el Teorema de Pitágoras a partir del valor de sus coordenadas:

2

2

|v⃗|=√ x 2+ y 2 =√ 12 +32 =√2 10 El ángulo de referencia α, es el que forma el vector con uno de los ejes cartesianos. Usualmente se usa el eje x , con lo cual si el vector no estuviera ubicado en el primer cuadrante, el ángulo del vector se debe expresar siempre tomándolo desde el primer cuadrante. En el caso del vector del ejemplo, vemos en la Figura 4 que corresponde al valor α =71.56° . Este valor surgió de haber utilizado las funciones trigonométricas, ya que del nombrado triángulo rectángulo podemos establecer: y , |⃗v|

seno α = Concretamente, si



⃗v

x |⃗v|

tangente α =

y x

y 3 tangente α = = =3 , tenemos que α =arcotan ( 3 ) =71.56° x 1

En definitiva, los vectores expresan como (Figura 5): 

coseno α=

⃗u

y

⃗v

de la Figura 2, en formato polar se

se expresa en función de |⃗v|=√2 10

y α =71.56° ⃗u se expresa en función de

|u⃗|=√2 17

y α =14.03°

Como hemos visto, la manera de convertir la representación del vector de su forma de pares ordenados a la forma polar consiste en calcular el módulo del vector a partir del Teorema de Figura 5. Vectores y en formato polar. Pitágoras, como se mostró anteriormente y utilizar las funciones trigonométricas para obtener el ángulo que represente dirección y sentido.

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Física I También podemos realizar la operación inversa, que sería pasar un vector de su forma polar a pares ordenados. Esta operación consiste en representar un vector en el plano y calcular sus proyecciones (componentes) sobre ambos ejes para expresarlo como un par ordenado, este proceso se lo conoce como la descomposición de un vector. En el siguiente ejemplo (Figura 6) tenemos 2 vectores que llamamos por falta de ⃗u ⃗v , originalidad y ambos representados en el sistema de ejes cartesianos cuya información viene dada Figura 6. Nuevos vectores y en formato polar. inicialmente en coordenadas polares. Notemos sin embargo que las componentes de estos vectores tienen unidades (¿de qué?), por lo que estos vectores indican algo en particular.

|⃗v|=4m

y

α=36,86°

|⃗u|=3m

y

α= 57,65°

La forma de averiguar las componentes de los vectores expresados en forma polar es nuevamente utilizar el triángulo rectángulo cuya hipotenusa es el módulo del vector dado y sus catetos son las componentes x, y.

⃗v . En este caso tomando como referencia el ángulo dado, la componente en el eje x del vector ⃗v llamada vx es el Analicemos la situación para el vector

cateto adyacente del triángulo y la componente vy es el cateto opuesto. Para averiguar los valores de las componentes utilizaremos las funciones trigonométricas seno y coseno:

Sabemos que

sen α=

cat . opuesto hipotenusa

y

cosα=

cat . adyacente hipotenusa

para nuestro triángulo queda

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Física I cosα=

⃗v x |⃗v|

⃗v x =|⃗v|.cosα

∴

⃗v sen α= y |⃗v|

y

∴

⃗v y =|⃗v|.senα Reemplazamos para obtener las componentes

⃗v x =|⃗v|.cosα

⇒

⃗v x =4 m. cos36 , 86°

⇒

⃗v x =3,2 m

⃗v y =|⃗v|.senα

⇒

⃗v y =4 m.sen36,86°

⇒

⃗v y =2,4 m

Podemos expresar el vector ⃗v entonces como:

⃗v =(3,2 m ;2,4 m)

o en suma de versores como

⃗v =3,2 m ^i+2,4 m ^j

Para el vector u⃗ obtenemos:

u x=|⃗u|.cosα

⇒

u x=3 m .cos57 ,65 °

⇒

u x=1,6 m

u y =|⃗u|.sen α

⇒

u y =3m. sen57 ,65°

⇒

u y =2, 53 m

Podemos expresar el vector ⃗u entonces a través de las componentes calculadas agregándoles el signo negativo (-) a cada una de ellas dado que el vector está en el tercer cuadrante:

⃗u =(−1,6 m ;−2, 53 m) o como suma de versores

⃗u =−1,6m ^i−2,53m ^j

Para que aparezca el signo negativo que corresponde, en el cálculo deberíamos expresar el ángulo del vector desde el primer cuadrante.

⃗u x =|⃗u|.cosα

⇒

⃗u x =3m.cos212, 65°

⇒

⃗u x =−1,6 m

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Física I ⃗u y =|⃗u|.senα

⇒

⃗u y =3m.sen212,65°

⇒

⃗u y =−2,53 m

⃗u =−1,6m ^i−2,53m ^j Si bien la suma de magnitudes escalares es bien sencillo, ya que al sumar valores de una misma magnitud no tengo más que sumar los módulos (el número), es necesario hacer una observación respecto de algunas magnitudes escalares. Una clasificación, no menos importante, de las magnitudes es la que las agrupa en magnitudes extensivas e intensivas. Las magnitudes extensivas son todas aquellas cuyo valor dependan de la cantidad de materia que tenga el cuerpo o el sistema, por ejemplo la longitud, el volumen, la masa, o la carga eléctrica. Todas las magnitudes extensivas son aditivas, es decir si sumo dos longitudes, por ejemplo, el resultado será una longitud del mismo valor que la suma de las anteriores. Parece trivial pero existen también las magnitudes intensivas, el valor que toma una magnitud intensiva no depende de la cantidad de materia del cuerpo o sistema y por lo tanto no son aditivas, por ejemplo si a 1litro de agua a 10°C agrego otro litro de agua a 50°C, el resultado no son 2 litros de agua a 60°C. Son 2 litros de agua, porque el volumen sí es aditivo, pero la temperatura final del sistema, será un temperatura intermedia entre 50°C y 10°C (el por qué la temperatura final no es mayor a 50°C o menor a 10°C se explica desde la Termodinámica mediante el Segundo Principio de la Termodinámica, que obviamente escapa a los objetivos de esta guía) . Para el caso de las magnitudes vectoriales al realizar operaciones con vectores debo tener en cuenta no solamente el módulo sino también todas las otras partes (información) que componen al vector.

Suma y resta de vectores en el plano Hemos presentado entonces tres maneras analíticas de representar vectores, la forma polar, la forma de n-tuplas ordenadas y la forma versorial. Mostraremos ahora la manera de realizar operaciones de suma, resta y de multiplicación de un vector por un escalar. Es importante identificar que las operaciones de suma y resta implican: 

que los vectores pertenezcan al mismo sistema de coordenadas, es decir un origen y escala común.



que solo podré operar con vectores con las mismas unidades (esto es una consecuencia del sistema de coordenadas común).

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Física I Básicamente podremos proceder a realizar la operación adición mediante dos maneras 

Método Analítico: Donde se trabaja con la expresión analítica del vector (en general a partir de n-tuplas ordenadas y la forma versorial).



Métodos Gráficos. Donde podemos usar el método del paralelogramo o el método de las poligonales. Método del paralelogramo Métodos Gráficos Método de las poligonales

Suma de Vectores Método Analítico

Descomposición del vector (pasar a la forma binómica) Sumar componente a componente Dado dos vectores cualesquiera ⃗v y ⃗u definimos el vector suma u . Llamaremos al vector ⃗r , vector resultante de la suma de ⃗v +⃗

⃗r =⃗v +⃗u .

Métodos Gráficos: Método del Paralelogramo: A los dos vectores

⃗v y ⃗u ,

⃗v =3,2 m ^i+2,4 m ^j

Figura 7. Secuencia para obtener la suma gráfica de los vectores

y

⃗u =−1,6m ^i−2,53m ^j

y . A partir de graficarlos en un sistema de coordenadas (izq), se agrega al final d

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Física I los representamos en el sistema de coordenadas (Figura 7 izq). Luego, desde el final de cada uno de los vectores trazamos una recta paralela al otro vector y buscamos su intersección (Figura 7 der). La intersección de las rectas que trazamos marca la dirección del vector resultante. Trazamos el vector resultante (vector ⃗r ) desde el origen del sistema de coordenadas, donde hemos ubicado el punto de aplicación de nuestros vectores, hasta la intersección de las rectas paralelas que forman el paralelogramo Figura 8. Vector obtenido por el método del paralelogramo. (Figura 8). De manera tal que ya tenemos ⃗r =⃗u + ⃗v .

Métodos Gráficos: Método de las poligonales Consiste en ubicar los vectores uno a continuación del otro arrancando desde el origen de coordenadas y trazar el vector resultante desde el origen del sistema de coordenadas hasta el final del último vector ubicado. En este caso ubicamos el vector ⃗v desde el origen del sistema de coordenadas y a continuación el vector ⃗u . Trazamos entonces la resultante desde el origen del sistema de coordenadas hasta al final del último vector ubicado, en este caso el extremo del vector ⃗u (Figura 9). Resulta interesante observar que el resultado es y debe ser el mismo que el obtenido en la misma operación utilizando el método del paralelogramo. En este mismo gráfico podemos observar cómo se representa la resta de dos vectores ya que si

⃗r =⃗v +⃗u

⃗u =⃗r −⃗v siendo ⃗u en entonces este caso la otra diagonal del Figura 9. Vector obtenido por el método de las Poligonales. paralelogramo que se representaría si sumamos ⃗r +⃗v .

Método Analítico 18

Física I El método para realizar la suma analítica de vectores consiste en descomponer los vectores involucrados, es decir expresar los vectores a través de sus componentes y sumar las componentes (que no son más que escalares) en el eje X por un lado y las componentes en el eje Y por otro para obtener el vector resultante en forma binómica A =( A X , AY ) y ⃗ B =(B X , BY ) sólo tengo también. Si quiero sumar los vectores ⃗ que hacer

⃗ C =⃗ A +⃗ B=( A X , A Y ) + ( B X , B Y ) =( A X + B X , A Y + B Y )

⃗ tiene componentes Es decir que C sea C X = A X + B X y CY = A Y + BY .

⃗ C =( C X ,C Y )=( A X + B X , AY +B Y )

, o

Por ejemplo para sumar analíticamente los vectores anteriores:

⃗v =3,2 m ^i+2,4m ^j

Si

⃗r =⃗v +⃗u

⃗u =−1,6m ^i−2,53m ^j

y

⇒

⃗r =(3,2m ^i +2,4m ^j)+(−1,6 m ^i−2,53m ^j)

⃗r =(3,2m−1,6m) ^i+(2,4 m−2,53 m) ^j

⃗r =1,6m ^i−0,13m ^j

⇒

El vector resultante pasado a su forma polar podemos expresarlo como:

|⃗r |= √(1,6 m ^i )2+(−0,13m ^j )2 0,13m 1,6 m α=4, 64 °

tg α=

⇒

⇒

tg α=0,08125

|⃗r|=1,605m

⇒

α=arctg 0,08125

⇒

Este ángulo a está medido con respecto al eje x en el 4to cuadrante, por lo tanto para expresar el ángulo desde el primer cuadrante debemos realizar 360°-4,64°, entonces α=355,36 °

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Física I Algunas propiedades de la suma de Vectores A +⃗ B y a su resultado sumarle I. Propiedad Asociativa: Realizar la suma de vectores ⃗ ⃗ C , ¿equivale a sumar ⃗ A más el resultado de ⃗ B+ ⃗ C ? Si tomamos tres vectores y los sumamos en ese orden con el método del polígono, veremos por qué el resultado es siempre el mismo:

(⃗ A +⃗ B ) +⃗ C =⃗ A+ ( ⃗ B +⃗ C) II. Propiedad Conmutativa: ¿Llegamos al mismo resultado haciendo la suma ⃗ A +⃗ B +⃗ C+⃗ D que haciendo ⃗ D +⃗ C+⃗ B+⃗ A ?

Con los números, se cumple la propiedad: 2 + 3 + 4 + 5 es igual que 3 + 5 + 4 + 2. En ambos casos la suma da (calculadora de por medio): 14. Para el caso de los vectores podés comprobarlo con ejercicios.

III. El vector nulo: ¿Una suma de vectores puede dar 0? Así como la suma de números da como resultado otro número, la suma de vectores da siempre como resultado otro vector. Pero... el 0 es un número... ¿o será que existe un 0-vector? Efectivamente, un vector con módulo 0 se llama vector nulo.

IV. Vectores opuestos: Supongamos que a y b sean dos números. Si a + b = 0, entonces estamos seguros que a y b son dos números de igual módulo pero de distinto signo. A y ⃗ B son dos vectores y resulta que ⃗ A +⃗ B=0 , quiere decir Ahora, si ⃗ ⃗ ⃗ que A y B tienen igual módulo, igual dirección pero sentido opuesto. Se dice B =−⃗ A . que son vectores opuestos y se diferencian por el signo: ⃗ A +⃗ B=0 , podemos decir que: ⃗ A +⃗ B= ⃗ A +(−⃗ A) Entonces, si ⃗ B =−⃗ A y como ⃗

definimos la resta de vectores:

⃗ A−⃗ B =⃗ A +(−⃗ B) A que no es más que tomar ⃗ restar es sumar el opuesto.

B . Por eso dicen que y sumarle el vector opuesto a ⃗

Multiplicación de un escalar por un vector Al multiplicar un escalar con un vector, en realidad lo que hacemos es multiplicar el escalar por su módulo, o lo que es lo mismo multiplicar el escalar por cada componente. Si el número es mayor que 1, el vector resultante será mayor al 20

Física I original. Si está entre 0 y 1 será menor. ¿Y si el escalar es negativo? en ese caso cambiará el sentido del vector. Todo esto puede comprobarse eligiendo un vector cualquiera, descomponiéndolo, multiplicar sus componentes por escalares (uno mayor que 1, uno menor y otro negativo) y componer el vector resultante. Por ejemplo: Dado A =(2,−5) si lo multiplicamos por el escalar k = 3 tenemos el el vector ⃗ resultado k⃗ A =3∙ ( 2,−5 )=( 3 ∙ 2,3 ∙ (−5 ) )=( 6,−15) si el escalar dirección

k

es negativo, esto invertirá el sentido del vector manteniendo la

Hemos visto suma, resta y multiplicación por un escalar ¿Y la división con vectores es posible? Los vectores no se dividen entre sí. Claro que podemos pensar en dividir un vector por un escalar pero en realidad eso es sólo multiplicar por un escalar fracción ⃗ A 1 ⃗ = ∙A k k

()

Ejercicio 4 Dados los vectores:

⃗r =(3 m ;6 m)

⃗s =2m ^i−9m ^j

⃗u =(−5 ;0 )

|⃗v|=6m

α=120 °

Y los escalares a=7

b=4

c=-2

Hallar: a) ⃗r +⃗s

b) ⃗u −⃗r

c) a⋅(⃗v +⃗s )

⃗s −⃗u +⃗r b d)

**expresar todos los resultados en las tres formas estudiadas. Ejercicio 5 A tiene componentes Ax=1,cm Ay=2,25cm el vector El vector ⃗ componentes Bx= 4,1cm By=-3,75cm. Calculá

⃗ B

tiene

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Física I A +⃗ B a) la magnitud y dirección de ⃗ ⃗ A . b) la magnitud y la dirección de B −⃗ Ejercicio 6 A El vector ⃗

mide 2.80 cm y esta 60° sobre el eje x en el primer cuadrante. El

vector B⃗ mide 1.90 cm y esta 60° bajo el eje x en el cuarto cuadrante (ver figura). ⃗ + ⃗B , b) Utilice las componentes para obtener la magnitud y la dirección de a) A A⃗ − B⃗ , c) B⃗ − A⃗ . En cada caso, dibuje la suma o resta de vectores, y demuestre que sus respuestas analíticas (numéricas) concuerdan cualitativamente con el gráfico. Problema 1 Si las colocaras de forma ordenada ¿cuantas latas cerradas necesitarías para llenar esta pileta?

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