1-unidad 1 Conceptos Preliminares-

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Conceptos Previos

CONJUNTO DE LOS NÚMEROS REALES Los números reales pueden representarse geométricamente como puntos en una recta numérica, llamada recta real:

Se distinguen tres subconjuntos de los números reales: a) Los números naturales (N):0; 1; 2; 3; 4; ……… b) Los números enteros (Z): ± 1,±2,±3,±4,±5,...... c) Los números racionales (Q): son aquellos que pueden ser expresados en forma de fracción a/b, donde a y b son números enteros / b ≠ 0 . Por ejemplo:

1 − 4 200  57  ; ; ;57 ;.... 3 9 13  1 

Los números racionales se pueden expresar en forma decimal como: c1) Decimales exactos: son los que tienen cifras decimales finitas. Por ejemplo:

3 1 = 0.75; = 0.5 4 2

c2) Decimales periódicos: son los que tienen infinitas cifras decimales periódicas(se repiten). Por ejemplo:

1 = 0.33333333... = 0.3 3

23 = 2.090909.... = 2.09 11

d) Los números irracionales: Son aquellos números reales que poseen infinitas cifras decimales no

periódicos. No pueden ser escritos en forma de fracción. Por ejemplo: π ; 2 , 3 , 5

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Conceptos Previos

Conjunto intervalo Dados dos puntos a y b llamados puntos frontera ( o puntos extremos), se llama intervalo a un subconjunto de los números reales. Geométricamente, los intervalos corresponderán a semirrectas o segmentos de recta dentro de la recta real. Un intervalo puede ser cerrado si contiene a sus dos puntos extremos , abierto si no los contiene, o semiabierto si contiene a uno sí y a otro no. Llamamos “puntos interiores”a los puntos situados entre los puntos frontera. Notación como intervalo

( a; b )

[ a; b ) ( a; b]

[ a; b]

[ a;+∞ )

( − ∞; b]

( a;+∞ ) ( − ∞; b )

Significado Conjunto de números reales “x”, mayores que “a” y menores que “b”. Conjunto de números reales “x”, mayores o iguales que “a” y menores que “b”. Conjunto de números reales “x”, mayores que “a” y menores o iguales que “b”. Conjunto de números reales “x”, mayores o iguales que “a” y menores o iguales que “b”. Conjunto de números reales “x”, mayores o iguales que “a” y menores que más infinito. Conjunto de números reales “x”, mayores que menos infinito y menores o iguales que “b”. Conjunto de números reales “x”, mayores que “a” y menores que más infinito. Conjunto de números reales “x”, mayores que menos infinito y menores que “b”.

Notación como Conjunto

{ x / x ∈ ℜ ∧ a < x < b}

{ x / x ∈ ℜ ∧ a ≤ x < b} { x / x ∈ ℜ ∧ a < x ≤ b} { x / x ∈ ℜ ∧ a ≤ x ≤ b}

{ x / x ∈ ℜ ∧ x ≥ a}

{ x / x ∈ ℜ ∧ x ≤ b}

{ x / x ∈ ℜ ∧ x > a} { x / x ∈ ℜ ∧ x < b}

Notación geométrica

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Conceptos Previos

EJERCICIO: Completar el siguiente cuadro Por Intervalos

Por Comprensión

(0;3)

Por Gráfica

{ x / x ∈ ℜ ∧ 1 > x > −2 } 5 ( .............................. ] 9

(5;+∞)

{x / x ∈ℜ ∧ 3 ≥ x > 0 } INECUACIONES Son proposiciones donde se manifiestan desigualdades entre expresiones. Dicha desigualdad se puede resolver, representándose su solución en forma geométrica y como intervalo. EJERCICIO: Determinar el conjunto solución de las siguientes desigualdades:

a )3 x + 2 ≥ 5 x − 1

b)

1 4 1 x− ≥ x+2 2 3 2

Modulo o Valor absoluto El módulo (o valor absoluto) de un número real es el número real considerado con signo positivo. Se lo representa con barras verticales. Por ejemplo:

−4 =4

12 = 12

4 =4

− 12 = 12

x = 3 ⇒ x = 3 ∨ x = −3 Podemos deducir entonces que si se cumple: Esto quiere decir que la igualdad (o desigualdad) se cumple para el caso en que la expresión encerrada entre barras de módulo es positiva y también cuando es negativa. x = 3 → x = 3 x =3⇒  − x = 3 → x = −3 EJERCICIO : Resolver:

x + 1 = 2 → x = 1 a) x + 1 = 2 ⇒  − ( x + 1) = 2 → − x − 1 = 2 → x = −3 x + 1 < 2 → x < 1 b) x + 1 < 2  − x − 1 < 2 → − x < 3 → x > −3

La solución de estos dos ejemplos también se puede representar en forma geométrica o como intervalo.

a ) No se puede representar como intervalo. c) x − 6 ≤ 7

d ) 4 − 2x ≤ 8

b)( − 3;3) e) 5 − x ≥ 20

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Conceptos Previos

EXPRESIONES LOGARITMICAS Sea b > 0 ∧ b ≠ 1(b= base del logaritmo) log b a =c ⇒ ⇒ ⇒ b c =a

Propiedades: 1) log b 1 = 0 2) log b b = 1 n 3) log b a = n. log b a

4) log b ( x. y ) = log b x + log b y

x

5) log b   = log b x − log b y  y Cambio de base: Si

log b x = y x = by

Aplicando logaritmos de ambos miembros, tendremos:

log x = log b y log x = y. log b log x y= log b Entonces reemplazando en la primera expresión:

log b x =

log x log b

EJERCICIO: 1) Calcular los siguientes logaritmos: a)

log 2

40 6 + log 3 = 3 5

b) log 2 8 =

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Conceptos Previos

TRIGONOMETRÍA Generación de ángulos: Un ángulo se genera a partir de la rotación de una semirrecta con respecto de otra y que tienen un vértice común.

α =−

α =+

Si para formar el ángulo, la semirrecta gira en sentido antihorario, se dice que el ángulo es positivo. Si para formar el ángulo, la semirrecta gira en sentido horario, de dice que el ángulo es negativo. Medición de ángulos: Los dos sistemas que utilizaremos para expresar los ángulos serán: a) Sistema sexagesimal: la unidad de dicho sistema es el grado( ° ), minuto( ‘ )y segundo( “ ). b) Sistema circular: la unidad es el radian. Equivalencias entre los dos sistemas:

360° = 2πradian 180° = πradian π 90° = radian 2 Razones trigonométricas Considerando la circunferencia trigonométrica, y haciendo coincidir el centro de la misma con el vértice de dos semirrectas que generan un ángulo llamado α , se pueden definir las siguientes razones: Seno

→ sen α =

Coseno → cos α =

Tangente → tg α =

cat.op. y = hip. ρ

Cosecante → cos ecα =

cat.ady x = hip. ρ

Secante → sec α =

cat.op. y = cat.ady. x

Signos de las funciones para cada cuadrante

hip. ρ = cat.ady x

hip. ρ = cat.ady x

Cotangente → cot gα =

cat.ady. x = cat.op. y

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Seno de α Coseno de α Tangente de α Cotangente de α Secante de α Cosecante de α

Primer Cuadrante

Conceptos Previos

Segundo Cuadrante

Tercer cuadrante

Cuarto cuadrante

Relaciones entre las funciones trigonométricas de un mismo ángulo: a) “la suma de los cuadrados del seno y coseno de un mismo ángulo es igual a 1”

sen 2 α + cos 2 α = 1 sen α = 1 − cos 2 α

de esta igualdad podemos obtener:

cos α = 1 − sen 2 α

b) “la tangente de un ángulo es el cociente entre el seno y el coseno del mismo ángulo”

tg α =

sen α cos α

c) “la cotangente de un ángulo es la inversa de la tangente del mismo ángulo”

cot gα =

1 cos α = tg α sen α

d) “la secante de un ángulo es la inversa del coseno del mismo ángulo”

sec α = e)

1 cos α

“la cosecante de un ángulo es la inversa del seno del mismo ángulo” cosec α =

EJERCICIO :

1 sen α

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Conceptos Previos

1) Expresar en el sistema sexagesimal los siguientes ángulos:

πrad − 2πrad −

π π 2 rad − rad − πrad − 5rad − 2,5rad − 2 3 3

2) Expresar en el sistema circular: 90°-135°-360°- 45°- 65°30’- 225°44¨50”- 60°3) Completar el siguiente cuadro: 0° 30° 75°

135° 225° 425° π

2

r

1,5πr 6r

4πr 3,5πr 7 πr 3

Seno Coseno Tangente Cotangente Secante Cosecante 4) Calcular el valor del ángulo:

3 3 a ) senα = b) cos β = − c) cot gγ = 0,57735d ) sec λ = 22e) cos ecω = −3,5 5 5 5) Hallar el valor de la incógnita:

a ) x = sen128°. cos 235°. cot g 310° sec18°. cos(−120°). − cos ec 200° b) x = cos(−10°). cot g 260°