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Números racionales e irracionales

ÍNDICE DE LA UNIDAD 1. Números racionales e irracionales 2. Fracciones 3. Notación científica. Aproximaciones y errores

4. Representación de los números en la recta numérica

Conoces

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1. Números racionales e irracionales

1 Números racionales e irracionales 1.1. Los números racionales Observa que… Una expresión decimal es una secuencia de cifras separadas por una coma. Consta de: • Parte entera, escrita a la izquierda de la coma. • Parte decimal, escrita a la derecha de la coma. Por ejemplo: 23,2708 es un número decimal donde 23 es la parte entera y 2708 es la parte decimal. Ten en cuenta que un número entero puede considerarse como decimal cuya parte decimal es 0.

Con frecuencia nos referimos a cantidades que se pueden representar mediante números enteros, decimales o fracciones, es decir, mediante números racionales. Por ejemplo: 37,5º de temperatura, 1,65 metros de altura, un cuarto de hora, tres cuartos de kilo de jamón, media porción de tarta... Hasta este curso has estudiado estos tipos de números: Números naturales

Hay infinitos. El conjunto de todos ellos se representa con IN.

1, 2, 3, …, 1 000, 1 001, …

Números enteros

Incluyen a los naturales, a sus opuestos y al cero. El conjunto de todos ellos se representa con Z.

…, -3, -2, -1, 0, 1, 2, 3, …

a , donde a y b b son números enteros.

1 3 1 – , , – , ....... 2 2 5

Números fraccionarios

Son de la forma

a , se efectúa la división de a entre b, se obb tiene la expresión decimal de dicho número. Multiplicando la expresión decimal por 100, se obtiene el porcentaje correspondiente. Por ejemplo: Si en el número fraccionario

Fracción

Expresión decimal

Porcentaje

1 = 0,2 = 20% 2 Las fracciones forman el conjunto de los números racionales, que se representa con la letra Q. Los números enteros también son racionales, ya que cualquier número entero se puede representar por una fracción con denominador 1 o por sus fracciones equivalentes. Por ejemplo: 5=

Clasifica las siguientes fracciones en números enteros y en números racionales no enteros:

1

a)

3 16 b) – c) -8/4 d) 6/3 e) 15/6 f) -1/10 2 4

Escribe una fracción equivalente a cada una de las siguientes y obtén su expresión decimal:

2

a) -2 2

b) 3/5

c) 4

d) -9/2

e) 4/5

f) 9/3

5 10 15 = = 1 2 3

3

–3 = –

3 6 30 =– =– 1 2 10

Un número racional puede expresarse como fracción, como decimal y como porcentaje. Completa la tabla siguiente: Fracción

1/4

Expresión decimal

0,25

Porcentaje

25 %

1/2

2/5

3/8

0,4 37,5%

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1. Números racionales e irracionales

1.2. Los números irracionales Hay cantidades que no pueden expresarse en forma de número entero ni fraccionario; son los números irracionales. Un número irracional expresado en forma decimal tiene una cantidad infinita de cifras decimales no periódicas. Uno de estos números, muy conocido, es π. Otros números irracionales son:

2, 5, 3 7

También son números irracionales la diagonal de un cuadrado en función de su lado, la longitud de una circunferencia en función de su radio…

d = 12 + 12 =

L = 2π r

212 = 1 2

Un número irracional no se puede expresar como la división de dos números enteros. Para operar con números irracionales, hay que utilizar valores aproximados, con un número limitado de cifras decimales, según el grado de precisión que nos interese. Así, el número π se suele tomar con dos cifras decimales: π ≅ 3,14.

1.3. Los números reales Los números racionales y los números irracionales forman el conjunto de los números reales y se representa con la letra R .

Naturales N → 1, 5,

⎫⎭

Números reales R

4

⎫⎭

Enteros Z

24 7

⎫ ⎭ Enteros negativos → –4, –9

Racionales Q

⎫⎭

Decimales exactos → 0,75 =

3 4

Periódicos puros → 2, 3 =

Fraccionarios

21 9

⎫ 85 ⎭ Periódicos mixtos → 0,94 = 90

Decimales periódicos

Irracionales: Decimales no periódicos –π ,

2, 3 7

Indica qué números entre los siguientes son irracionales: a) π b) 9 c ) 5 d ) 3 1000 e) 4 16 f ) ( 3 )2

5

Dibuja un círculo de 4 cm de radio y calcula su área, tomando π ≅ 3,14.

6

Calcula la cantidad de cable necesaria para unir dos vértices opuestos de un cuadrado de 2,5 m de lado.

7

Calcula la altura de un triángulo isósceles de 2 cm de base y 4 cm de altura. 3

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1. Números racionales e irracionales

2 Fracciones Recuerda que… Para reducir fracciones a común denominador: 1º Se calcula el m.c.m. de los denominadores. 2º Se buscan fracciones equivalentes con el m.c.m. hallado.

a con b 0. Una fracción es el cociente indicado de dos números enteros — b –7 . Si a y b tienen el mismo signo, la fracción es positiva. Por ejemplo, ? o — –8 –3 5 o . Si a y b tienen distinto signo, la fracción es negativa. Por ejemplo, 5 –7 Si a = 0, la fracción es igual a cero. Por ejemplo,

0 0 o . 3 –5

2.1. Fracciones equivalentes Dos fracciones son equivalentes cuando representan la misma parte de una cantidad. 4 y— 2 representan la misma parte de la unidad: Por ejemplo, las fracciones — 8 4 FALTA DIBUJO Para saber si dos fracciones son equivalentes, se multiplica el numerador de la primera por el denominador de la segunda y, por otra parte, el denominador de la primera por el numerador de la segunda. Si se obtiene el mismo resultado, las fracciones son equivalentes. Por ejemplo,

2 6 2 6 son equivalentes y y no lo son. y 5 15 5 10

2.2. Simplificación de fracciones Para simplificar fracciones se dividen el numerador y el denominador por un mismo número. El resultado es una fracción equivalente a la dada. Una fracción es irreducible cuando sus términos no tienen divisores comunes mayores que 1. Para obtener la fracción irreducible equivalente a una dada, se dividen el numerador y el denominador de la fracción entre el m.c.d. de ambos. Una fracción simplificada no debe tener el signo menos en el denominador, sino en el numerador o delante de la fracción. Para eliminar el signo menos del denominador, se multiplican los dos términos de la fracción por -1. Por ejemplo: 4 −4 4 = =− −7 7 7 Procedimiento

Ejemplo

Simplificación de fracciones

Simplificar la fracción

Si el denominador tiene un signo menos, se multiplican el numerador y el denominador por -1. Se descomponen el numerador y el denominador en factores primos y se halla su m.c.d. 4

Se dividen el numerador y el denominador de la fracción entre el m.c.d,

−18 −30

−18 18 = −30 30 18 = 2 · 32 y 30 = 2 · 3 · 5 m.c.d. (18 y 30) = 2 · 3 = 6 18 = (18:6)/(30:6) = 3/5 30

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1. Números racionales e irracionales

2.3. Comparación de fracciones Podemos comparar varias fracciones de dos maneras. Por ejemplo, par 3 2 comparar y . 5 3 Hallando su expresión decimal Reduciéndolas a común denominador

8

3 2 = 0,6 y = 0,666 5 3

3 9 2 10 = y = 5 15 3 15

3 2 < porque 0,6 < 0,666 5 3

3 2 9 10 < porque < . 5 3 15 15

Indica qué pares de fracciones son equivalentes: a)

4 8 y 3 9

b)

5 25 y 2 4

c)

7 21 y 2 6

d)

2 3 y 3 2

3. Escribe dos fracciones equivalentes a — 5 10 Escribe la fracción correspondiente a cada gráfico:

Observa que… • Fracciones positivas propias e impropias Una fracción p/q es propia si p < q. Por ejemplo, 3/5 es una fracción propia. Una fracción p/q es impropia si p > q. Por ejemplo, 9/5 es una fracción impropia.

• Fracciones decimales y no decimales Una fracción es decimal si su denominador es una potencia de 10 o puede convertirse en otra equivalente que tenga por denominador una potencia de 10. En caso contrario, no es decimal.

9

a)

b)

c)

d)

11 Simplifica hasta obtener fracciones irreducibles:

a)

24 36

b)

18 40

c)

14 28

d)

22 33

e)

80 100

f)

60 9

12 Simplifica las fracciones:

a)

108 18

b)

336 56

c)

242 33

d)

18 80 45 5

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1. Números racionales e irracionales

2.4. Operaciones con fracciones Suma y resta de fracciones Para sumar o restar fracciones con el mismo denominador, se conserva este y se suman o restan los numeradores. Ejemplo: 4 7 2 –1 – + = 9 9 9 9 Para sumar o restar fracciones con distinto denominador, se reducen las fracciones al mismo denominador y después se suman o restan los numeradores, dejando el mismo denominador. Ejemplo: 3 5 7 27 30 28 ( 27 – 30 + 28) 25 – + = – + = = 4 6 9 36 36 36 36 36 donde el m.c.m. (4, 6, 9) = 36 Multiplicación de fracciones Para multiplicar fracciones, se multiplican los numeradores entre sí y el resultado se pone en el numerador. Después, se multiplican los denominadores entre sí y el resultado se pone en el denominador. a c a·c · = b d b·d Ejemplo: 4 5 4 · 5 20 · = = 3 7 3 · 7 21 División de fracciones Para dividir fracciones, se multiplican el numerador de la primera por el denominador de la segunda y el resultado se pone en el numerador. Después, se multiplica el denominador de la primera por el numerador de la segunda y el resultado se pone en el denominador. a c a·d : = b d b·c Ejemplo: 5 2 5 · 3 15 : = = 4 3 4·2 8 Potencias de fracciones Para elevar una fracción a un exponente, se elevan a dicho exponente el numerador y el denominador. Ejemplo: (–3/5)3 = (–3/5) · (–3/5) · (–3/5) = (–3)3/53 = –27/125 6

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1. Números racionales e irracionales

Operaciones combinadas con fracciones Procedimiento

Ejemplo

Operaciones combinadas con fracciones.

Calcular:

2 1 3 2 ⎛ 5⎞ ·( + )– + ⎜ ⎟ 3 5 4 7 ⎝ 2⎠

2

1 3 4 + 25 19 + = = 5 4 20 20

1. Se realizan las operaciones del interior de los paréntesis.

2

25 ⎛ 5⎞ ⎜⎝ ⎟⎠ = 2 4

2. Se calculan las potencias. 3. Se efectúan las multiplicaciones y divisiones.

Sustituimos el paréntesis por su resultado y efectuamos la multiplicación: 2 19 38 · = 3 20 60 38 2 25 266 120 2625 2771 – + = – + = 60 7 4 420 420 420 420

4. Se realizan las sumas y restas.

13 Realiza las siguientes sumas y restas:

a) 3/8 – 5/2 + 7/5

c) -1 – ? + 7/5 – 3/2

b) 5/6 – 2 – 3/8

d) -7/2 – 1/12 – 3/10 + 1/3

14 Efectúa y simplifica:

a) (5/9) · (-3/4)

c) (-1/7) : (-4/3)

e) (-7/8) · (-1/2)

b) (-4/15) · (-3/7)

d) (7/8) : (-2)

f) (-1/5) · 10

15 Calcula:

a) (-3/5)4

c) (-7/2)3

e) (-9 + 1/4)2

g) (5 : 1/8)3

b) (3/10)4

d) (-2/3)6

f) (2 -10/3)2

h) (1 + 1/3)3

16 Reduce a una sola fracción:

a)

3 10 1 3 · –2 ·( + ) 5 3 5 2

b)

2 3 1 1 · ( – ) + (1 – )2 3 4 2 2

17 Reduce a una sola fracción:

1 2 a) 1 2+ 2 1+

1 +1 b) 8 1 –1 8

5 2 + 2 5 c) 5 2 – 2 5 7

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1. Números racionales e irracionales

2.5. Tipos de expresiones decimales racionales Para transformar una fracción en expresión decimal, solo hay que dividir el numerador entre el denominador. Por ejemplo: 5/6 = 5 : 6 = 0,8333… La expresión decimal procedente de una fracción puede ser: • Número entero: la parte decimal es cero. Por ejemplo, 4 y -38. • Decimal exacto, limitado o finito: el número de cifras decimales es limitado. Por ejemplo: 1,6 y 2,25. • Decimal periódico puro: el número de cifras decimales es ilimitado y la parte decimal está formada por un grupo de cifras, llamado periodo, que se repite infinitamente. q Por ejemplo: 0, 333 ... = 0, 3 y 2, 343434 ... = 2, 34 • Decimal periódico mixto: el número de cifras decimales es ilimitado y la parte decimal está formada por un grupo de cifras que no se repite, llamado anteperiodo, y un grupo de cifras que se repite infinitamente, llamado periodo. Por ejemplo: 1, 2444 ... = 1, 24 y 3,01454545 ... = 3,014q5 Anteperiodo: 2 Periodo: 4

Anteperiodo: 01 Periodo: 45

2.6. Fracción generatriz Fracción generatriz de una expresión decimal es la fracción de la que procede la expresión decimal. El procedimiento para transformar expresiones decimales en fracciones generatrices irreducibles depende del tipo de decimal: Fracción generatriz de un número entero 1 Se multiplica el número entero por . 1 Por ejemplo, para hallar la fracción generatriz de 265: 1 265 265 = 265 = 1 1 Fracción generatriz de una expresión decimal limitada o finita 10 100 1000 , , , ......... según el Se multiplica la expresión decimal limitada por 10 100 1000 número de cifras decimales que tenga y, después, se simplifica la fracción obtenida para hallar la fracción generatriz irreducible. Por ejemplo: 3,12 = 3,12 ·

8

100 312 78 = = 100 100 25

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1. Números racionales e irracionales

Fracción generatriz de una expresión decimal periódica Expresión decimal periódica: dependiendo de que sea periódica pura o mixta se utiliza uno de los procedimientos indicados en la siguiente tabla. Ejemplo Expresión decimal periódica mixta

Ejemplo Expresión decimal periódica mixta

Obtención de la fracción generatriz

7,5414141…

4,121212...

1. Se nombra la expresión decimal con una letra.

b = 7,5414141…

4,121212...

Procedimiento

2. Se multiplica la igualdad por una potencia de 10 para transformar la expresión periódica mixta en periódica pura.

10 b = 75,414141…

3. Se multiplica la igualdad por una potencia de 10 para que la coma pase al final del primer periodo.

1 000 b = 7 541,414141…

4. Se restan las dos últimas igualdades para que desaparezca la parte decimal.

100 a = 412,121212...

1 000 b = 7 541,414141… 100 a = 412,121212... - 10 b = 75,414141… a = 4,121212… 990 b = 7 466 99 a = 408

5. Se despeja el valor de b y se simplifica.

b=

7466 3733 = 990 495

a=

136 33

3733 495

6. Fracción generatriz irreducible.

408 136 = 99 33

18 Clasifica los siguientes decimales en enteros, decimales limitados, periódicos puros y periódicos mixtos:

a) 0,31 b) 0, 41

d ) 10,1 q e) 10, 54

c) 5

q f ) 10,115

19 Halla la expresión decimal correspondiente a cada fracción e indica de qué tipo es:

a) 25/5

c) -8/3

e) 4/9

b) 1/45

d) 3/10

f) 7/15

20 Halla la fracción generatriz de los siguientes decimales limitados:

a) 0,12

c) 1,4

b) 0, 3

d) 5,35

21 Halla la fracción generatriz irreducible de las siguientes expresiones decimales:

a) 62

b) 3,7

c ) 0,375

d ) 10,1

e) 1,3

f ) 2, 64

g) 0,752

h ) 2, 0318

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1. Números racionales e irracionales

3 Notación científica Observa que… Al realizar la operación 1/1 250 en una calculadora científica, en la pantalla aparecerá como resultado: 8E-04 o bien otra expresión similar. Tienes que interpretarlo como 8 · 10-4, que es la notación científica de 0,0008. Potencias de 10 104 = 10 000 103 = 1 000 102 = 100 101 = 10 100 = 1 101 = 0,1 10-2 = 0,01 10-3 = 0,001 10-4 = 0,0001

En la ciencia es común trabajar con números muy grandes y muy pequeños. Por ejemplo, la distancia de la Tierra al Sol es 150 000 000 km y el diámetro de una glóbulo rojo es de 0,0065 cm. Resulta complicado trabajar con tantas cifras, por lo que este tipo de números se escriben, generalmente, usando la notación científica. Una cantidad expresada en notación científica consta de un número comprendido entre 1 y 10 multiplicado por una potencia de 10. Por ejemplo: Distancia de la Tierra al Sol, 150 000 000 km = 1,5 · 108 km. Diámetro de una glóbulo rojo, 0,0065 cm = 6,5 · 10-3 cm. Observa que la potencia de 10 tendrá exponente positivo al expresar de números muy grandes y exponente negativo en el caso de números muy pequeños. Las calculadoras científicas, cuando el resultado de una operación tiene más cifras de las que caben en la pantalla, lo expresan directamente en esta notación. Observa el ejemplo del margen.

3.1. Aproximaciones y errores En ocasiones es complicado indicar una medida y hacer operaciones con expresiones decimales ilimitadas o que tienen un gran número de cifras decimales. Hacer una aproximación de un número consiste en tomar un valor del mismo recortando cifras a partir de una dada, de modo que se faciliten las operaciones. Por ejemplo, 0,3 es un valor aproximado de 0,333... o bien 1/3. El número 3,14 es un valor aproximado de π.

Aproximaciones

Hallar el error absoluto y relativo al aproximar 4,25872 por 4,26

Aproximación por defecto. Si el valor que se toma es menor que el valor exacto.

15,234902 ª 15,23 es una aproximación por defecto.

Aproximación por exceso. Si el valor que se toma es mayor que el valor exacto.

4,25872 ª 4,26 es una aproximación por exceso.

Cuando se opera con valores aproximados, siempre se está cometiendo un error.

Errores de una aproximación

10

Hallar el error absoluto y relativo al aproximar 4,25872 por 4,26

Error absoluto de una aproximación Es el valorabsoluto de la diferencia entre el valor exacto del número y el valor aproximado.

| 4,25872 - 4,26 | = 0,00128

Error relativo de una aproximación Es el cociente entre el error absoluto y el valor exacto.

0,00128/4,25872 = 0,00030056

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Los números enteros se truncan o redondean de modo análogo, pero, en lugar de suprimir cifras, estas se sustituyen por ceros. Por ejemplo, el número 7 018… truncado a las centenas es 70 y redondeado a las decenas es 702. Ejemplo resuelto Los radios reales de los planetas Mercurio, Tierra y Júpiter son, respectivamente, de 2 421 km, 6 371 km y 71 355 km. Redondear estas cantidades a las centenas y escribirlas a continuación en notación científica. Número exacto 2 421 6 371 71 355 Número redondeado a las centenas 2 400 6 400 71 400 Número en notación científica 2,4 · 103 6,4 · 103 7,14 · 104

f) 900,0102

6,835 redondeado con dos cifras decimales es 6,84.

d) 212,1996

- Si es impar, se le suma una unidad.

b) 0,1205

2,485 redondeado con dos cifras decimales es 2,48.

e) 21,22803

- Si es par, se deja como está.

c) 0,32102

- Si es 5 y las siguientes son 0, entonces se observa la última cifra de la parte que no se elimina:

a) 3,34679

306,285203 redondeado con dos cifras decimales es 306,29.

28 Redondea a las milésimas los siguientes números:

- Si es 5 y las siguientes no son todas 0, se incrementa la última cifra en una unidad.

f) 0,3
0,3333

- Si es menor que 5, se deja la cifra anterior.

17,934 redondeado con dos cifras decimales es 17,93.

d) 426,721
426,721001

52,636 redondeado con dos cifras decimales es 52,64.

b) 31,222
31,22299

- Si es mayor que 5, se aumenta en una unidad la cifra anterior.

e) 0,079
0, 07999

Se observa la primera cifra de la parte que se elimina:

c) 0,67
0,6666

Reglas del redondeo

a) 4,5
4,571

Truncar un decimal consiste en suprimir cifras decimales a partir de una dada. Por ejemplo, 5,728 truncado a las centésimas es 5,72. Redondear un decimal consiste en suprimir cifras decimales a partir de una dada, de acuerdo con las siguientes reglas.

27 Calcula el error absoluto en las siguientes aproximaciones:

3.2. Truncamientos y redondeos

26 La distancia de la Tierra al Sol es 149 529 544,26 km. Calcula el error absoluto al aproximar esta cantidad por 150 000 000 km.

1. Números racionales e irracionales

22 El número de moléculas en 1 g de agua es 33 400 000 000 000 000 000 000. Expresa esta cantidad en notación científica. 23 Expresa en notación científica los siguientes valores:

a) El diámetro promedio del núcleo de un átomo, que es de 0,000000000001 cm. b) El peso de un litro de mercurio, que es 13 000 000 mg. c) La velocidad de la luz en el vacío, que es 300 000 km/s. d) La masa de un protón, que es 0,00000000000000000000000000167 kg. 24 Expresa con todas las cifras los siguientes números:

a) 1,3 · 105

c) 2,95 · 108

b) 1,3 · 10-3

d) 0,0028 · 107

e) 8 989 · 10-6 f) 7,1002 · 1010

25 Expresa en notación científica los siguientes números:

a) 20 000 b) 0,002 c) 12 000 000 000 d) 0,00034

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1. Números racionales e irracionales

4 Representación de los números en la recta numérica 4.1. Representación de números racionales en la recta numérica Para representar un número racional en la recta numérica: 1. Dividimos el segmento unidad en tantas partes como indica el denominador. 2. Tomamos tantas partes como indica el numerador: • Hacia la derecha del 0 si el número es positivo. • Hacia la izquierda del 0 si el número es negativo. Por ejemplo, fíjate en la representación de 3/4: FALTA DIBUJO

Observa que hemos dividido el segmento unidad en 4 partes (número indicado en el denominador) y hemos tomado 3 partes hacia la derecha (indicado en el numerador). Representamos ahora –1 —: 4 FALTA DIBUJO En este caso hemos dividido también en 4 partes y hemos tomado una parte hacia la izquierda del 0. Para representar en la recta números racionales cuyo numerador es (en valor absoluto) mayor que el denominador, es necesario dividir en partes iguales más de una unidad. 5 en la recta, es necesario dividir en cuatro Por ejemplo, para representar — 4 partes iguales las dos primeras unidades positivas. FALTA DIBUJO

Representación de varios números racionales Para representar dos o más fracciones con distinto denominador en la misma recta: Calculamos el m.c.m. de los denominadores y obtenemos fracciones equivalentes a las dadas. Dividimos el segmento unidad en tantas partes como indica el m.c.m. hallado y tomamos tantas partes como indique cada numerador. 2 y— 4 , se divide la recta en 15 partes, ya Por ejemplo, para representar — 3 5 que m.c.m. (3,5) = 15: FALTA DIBUJO

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1. Números racionales e irracionales

4.2. Representación de los números irracionales en la recta numérica La representación gráfica de un número irracional se puede hacer de forma aproximada y en algunos casos, de forma exacta. Vamos a verlo con un ejemplo, representando 5 = 2,23606… Para representarlo de forma aproximada, tomamos el valor de

5 como 2,2.

Observa que… Al representar los números positivos en la recta real, estos se sitúan a la derecha del 0 y los números negativos, a la izquierda.

Para representarlo de forma exacta, tenemos que encontrar un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mida 5 . Este triángulo es el de catetos 2 y 1, como se indica en el dibujo.

DIBUJAR COMPÁS COMO EN EL DIBUJO DEL MARGEN DE LA PÁGINA 16 – LIBRO 3º ESO - ESFERA

Aplicando el teorema de Pitágoras para hallar la hipotenusa: h2 = 22 + 12 = 5, por tanto h = 5 . Trazamos con un compás un arco con centro en 0 y que corte la recta graduada. Este punto de corte representa el número irracional 5 . 29 Representa en la misma recta los números: − 1 , 3 , 7 .

2 4 10

30 Representa en la misma recta los números: − 1 , − 1 , − 5 , 1 , 5 y 1 .

2

2

6 3 6

2

31 Representa, con regla y compás, los siguientes números irracionales:

a)

2

b)

10

32 Dibuja un rectángulo de base

2 cm y 1 cm de altura y calcula el valor de su diagonal.

33 Utiliza el resultado anterior para representar exactamente

3 . 13

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1. Números racionales e irracionales

RESUMEN NÚMEROS REALES 4 , 3,6, 1, 547... 5

Números racionales. Son los que pueden expresarse en forma fraccionaria. Comprenden los números enteros, los decimales exactos y los decimales periódicos.

−2,

Números irracionales. Son los que no se pueden expresar como cociente de dos números enteros. Tienen un número infinito de cifras decimales no periódicas.

π , 2 , 5 , 3 7.

FRACCIÓN GENERATRIZ Fracción generatriz de una expresión decimal. Es la fracción simplificada de la que procede una expresión decimal.

13 La fracción generatriz de 1, 4 es . 9

OPERACIONES CON FRACCIONES Suma y resta de fracciones con el mismo denominador. Se conserva el denominador y se suman o restan los numeradores.

5 7 17 5 + − =− 3 3 3 3

Suma y resta de fracciones con distinto denominador. Se reducen las fracciones al mismo denominador y, después, se suman o restan los numeradores, dejando el mismo denominador.

5 7 8 45 84 32 7 − + = − + =− , 4 3 9 36 36 36 36 donde el m.c.m. (4, 3, 9) = 36

Multiplicación de fracciones. Se multiplican los numeradores entre sí y el resultado se pone en el numerador. Después, se multiplican los denominadores entre sí y el resultado se pone en el denominador.

3 2 6 3 ⋅ = = 4 5 20 10

División de fracciones. Se multiplica la primera por la inversa de la segunda.

1 10 5 4 20 1 : = ⋅ = = 2 4 8 10 80 4

Operaciones combinadas con fracciones: Se suprimen los paréntesis. Se efectúan las multiplicaciones y divisiones. Se realizan las sumas y restas.

2 3

⎛ 1 3 ⎞ 2 2 19 2 38 2 73 ⋅⎜ + ⎟− = ⋅ − = − = ⎝ 5 4 ⎠ 7 3 20 7 60 7 210

NOTACIÓN CIENTÍFICA Una cantidad expresada en notación científica consta de un número comprendido entre 1 y 10 multiplicado por una potencia de 10. La notación científica se utiliza para expresar de forma abreviada los números que contienen muchas veces la cifra 0, bien por ser muy grandes o muy pequeños.

14

El número 450 000 000 000 se expresado en notación científica es 4,5 · 1011 El número 0,00000000037expresado en notación científica es 3,7 · 10-10

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1. Números racionales e irracionales

RESUMEN APROXIMACIONES Y ERRORES Hacer una aproximación de un número consiste en tomar un valor del mismo recortando cifras a partir de una dada. Aproximación por defecto: es menor que el número dado. Aproximación por exceso: es mayor que el número dado.

3,14 es una aproximación por defecto de π. 3,1416 es una aproximación por exceso de π.

Error absoluto de una aproximación. Es el valor absoluto de la diferencia entre el valor exacto del número y el valor aproximado.

Al tomar 7,2 como aproximación de 7,235, el error absoluto es: I 7,2 – 7,235 I = 0,035

Error relativo de una aproximación. Es el cociente entre el error absoluto y el valor exacto.

En el ejemplo anterior:

0,035 = 0,0048 7, 235

Truncar un decimal consiste en suprimir cifras decimales a partir de una dada.

4,134 truncado a las centésimas es 4,13.

Redondear un decimal consiste en suprimir cifras decimales a partir de una dada, pero si la primera cifra suprimida es igual o mayor que 5, se añade 1 a la última cifra que se conserva.

8,137 redondeado a las centésimas es 8,14.

REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS RACIONALES EN LA RECTA NUMÉRICA 1. Se calcula el m.c.m. de los denominadores. 2. Se obtienen fracciones equivalentes a las dadas. 3. Se divide el segmento unidad en tantas partes como indica el m.c.m. hallado.

2 y— 4 , se divide el segmento unidad en Para representar — 3 5 15 partes, ya que m.c.m. (3,5) = 15: 2 10 = 3 15

4 12 = 5 15

DIBUJO 50 x 15 mm

REPRESENTACIÓN DE NÚMEROS IRRACIONALES EN LA RECTA NUMÉRICA De forma aproximada: Se redondea el número a las décimas.

Para representar de forma aproximada , lo aproximamos a 2,2. DIBUJO 50 x 15 mm

De forma exacta Se busca el procedimiento geométrico adecuado en cada caso.

Para representar de forma exacta 5 , tenemos que encontrar un triángulo rectángulo cuya hipotenusa mida 5 . Aplicamos el teorema de Pitágoras: h2 = 22 + 12 = 5; por tanto, h = 5 . Trazamos con un compás un arco con centro en 0 y que corte la recta graduada. Este punto de corte representa de forma exacta al número irracional 5 .

DIBUJO 50 x 25 mm

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1. Números racionales e irracionales

Niveles de dificultad:

1

sencillo

medio

NÚMEROS RACIONALES E IRRACIONALES

34

ACTIVIDADES

alto

2

FRACCIONES

42

Calcula la hipotenusa del triángulo de la figura:

Reduce a una sola fracción:

a)

b) 3 −

43 35

a)

c)

5

d)

144

e) 10,101010

36

Indica cuáles de los siguientes números son irracionales: 1 q, 9, 2 2 , π , 5 4, , 5 , 0,3, 5,16 3 3

b)

c)

3 2 − 2 3 3 2 + 2 3

q c) 16,31

b) 25,6

d) –4,587587587…

q c) 49,1243

Halla la fracción generatriz de los siguientes decimales periódicos mixtos: a) 0,31

Representa sobre una recta y escribe ordenados de menor a mayor los números: 26/12

–35/12

b) 5, 03

–36/6

39

Escribe un número racional y otro irracional comprendidos entre 1/3 y 1/4.

40

Justifica si la siguiente afirmación es o no es verdadera: si un número tiene un número infinito de cifras decimales es irracional.

41

Encuentra un número racional que sea mayor que 14,0517681 y menor que 14,0517682. ¿Podrías encontrar un número irracional comprendido entre estos dos números?

16

1 2 1 2− 2 1−

Halla la fracción generatriz de los siguientes decimales periódicos puros: a) 0,3 b) 1, 4

Encuentra la fracción que corresponde a los números decimales siguientes: q a) 1,276

5/6

2

44

37

38

1⎞ 1⎞ ⎛ ⎛ ⋅ ⎜ 2 − ⎟ − 2 ⋅ ⎜1 + ⎟ ⎝ ⎝ 3⎠ 2⎠

1 −1 3 1 +1 3

9

b) 2,451

1 5

Reduce a una sola fracción:

a)

Clasifica los siguientes números en racionales e irracionales y expresa en forma de fracción los que sean racionales:

2

1⎞ 1 ⎛ ⎜⎝ 1 − 2 ⎟⎠ + 4 ⋅ 3

2 1 − 3 2

q c) 2, 431 d) 1, 001

3

NOTACIÓN CIENTÍFICA. APROXIMACIONES Y ERRORES

45

Expresa con todas sus cifras:

a) 2 · 10-4

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1. Números racionales e irracionales

AC T I V I D A D E S 53

b) 4,56 · 102 c) 3,2 · 10

-4

2 , hasta las milésimas.

d) 0,3 · 10-2

46

Da un valor redondeado de las siguientes cantidades:

2,374578..., hasta las centésimas.

Los gastos mundiales en armamento en el año 2004 fueron de un billón de ¤ aproximadamente.

54

Calcula cuántos segundos son:

a) Expresa esta cantidad en notación científica.

a) 1 hora.

b) Calcula, aproximadamente, el gasto mundial por día en armas en el año 2004.

b) Media hora.

47 48

c) 1/4 de hora. d) 5/12 de hora.

¿Cómo se obtiene una mejor aproximación de un número, por truncamiento o por redondeo?

55

Trunca a las centésimas cada uno de los siguientes números:

a) El número de estrellas de la Vía Láctea es de 100 000 millones.

a) 27,82496

b) El origen del universo fue aproximadamente hace 10 000 millones de años.

b) 0,3219 c) 6,80934

56

d) 0,079 e) 20,456212

Calcula el error absoluto y el error relativo en las siguientes aproximaciones:

a) 7,2
7,28456

f) 115,296071

49

Expresa en notación científica las siguientes cantidades:

b) 6,21
6,21403

Trunca a las milésimas cada uno de los siguientes números:

c) 2,3478
2,3478412

a) 1,85496 b) 6,2456102

4

REPRESENTACIÓN DE LOS NÚMEROS EN LA RECTA NUMÉRICA

c) 2,972402

50

Redondea a las centésimas los siguientes números:

57

Escribe la expresión decimal y en forma de fracción los números representados en la recta numérica.

58

Indica el valor de los puntos A, B y C y escribe y representa el valor de sus opuestos.

59

Representa en la recta las siguientes fracciones y ordénalas de mayor a menor:

a) 3,34679 b) 0,1205 c) 0,32102 d) 212,1996 e) 21,22803 f) 900,0102

51

¿Cuáles son los errores absoluto y relativo que se cometen al medir una longitud con una cinta métrica que aprecia hasta los milímetros?

52

Algunas de las hormigas más grandes que existen alcanzan aproximadamente los 8 cm de longitud. Las más pequeñas miden aproximadamente 0,5 mm. Compara, en cada caso, los errores absoluto y relativo que se cometen con estas aproximaciones si se han encontrado ejemplares de 8,01 cm y 0,6 mm, respectivamente.

2/3, 1/2, 5/6, 7/12 y 3/4

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1. Números racionales e irracionales

AC T I V I D A D E S 60

Representa de forma exacta

6 y– 6.

65

Expresa en porcentaje los siguientes números decimales:

a) 0,15 b) 0,2 c) 0,35 d) 0,4

61

e) 0,5

Calcula la fracción que representa la zona sombreada:

f) 0,6 g) 0,75 h) 1

66

Expresa en porcentaje los siguientes números fraccionarios:

a) 1/2 b) 1/4 c) 3/5

A

d) 2/5

CTIVIDADES DE SÍNTESIS

62

e) 4/5 f) 3/4

Comprueba que el resultado es un número entero:

g) 1/8 0

⎛ 3⎞ a) ⎜ ⎟ ⎝ 2⎠

h) 1/12

67

Juan se compró hace dos años una mochila que le costó 65 €. La tienda donde la compró ha realizado dos aumentos de precio desde entonces: uno del 15% y otro del 5%. ¿Cuánto costará este curso la mochila?

68

Escribe la fracción que representa la parte coloreada de las figuras:

16

b) (– 1) ⎡1 ⎤ c) ⎢ ⎥ ⎣2 ⎦

−3

d) (-1/5)-2

63

Una tienda ofrece un descuento del 20 % en todos sus artículos. Completa el siguiente cuadro:

Precio sin rebajar (€)

Descuento (€)

a)

Precio rebajado (€)

200 550 60 48

b) 96 208

64

18

Claudia ha gastado el 60 % de su asignación mensual y le sobran 16 €. Calcula cuánto ha gastado y cuál es su asignación mensual.

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1. Números racionales e irracionales

AC T I V I D A D E S c)

d)

69

Calcula la fracción del rectángulo ABCD que representa la parte coloreada, sabiendo que

EB = 3 · AE, FD = 3 · AF , BH = 3 · HC y DG = 3 · GC

19

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ENTORNO MATEMÁTICO

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TECNOLOGÍ@S

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1. Números racionales e irracionales

E VA LUAC I Ó N 4 es: La fracción — 5 6 a) Equivalente a — . 11 b) Irreducible.

1

c) 0,0094 d) 0,0004 Y el error relativo:

c) Un número decimal periódico.

a) 0,0001864

d) Un número irracional.

b) 0,0029197

3 +— 7 –— 1 da como resultado: La operación — 4 8 4 11 a) — 8

c) 0,0001869

2

18 b) — 5 9 c) — 4 3 d) — 8

3

La diagonal de un rectángulo de base 3 cm y altura 1,5 cm mide:

d) 0,080485

7

a) –179 b) 221 c) 23 d) 203

8

a) 11,25 cm b) 4,5 cm c) 2,6 cm d) 3,354 cm

Sabiendo que x = 2 y que y = 5 , el resultado de la operación y2 – x2 + 2 · (x y)2 es igual a:

La diagonal de un rectángulo de base ra 10 mide:

15 y altu-

a) 5 5 b) 150 c) 5 d) 25

9 5 · 1 3 :— 2 es — –— 4 El resultado de la operación — 6 10 4 3 igual a: 25 a) – — 24 125 b) — 120

La fracción que representan los cuadros sombreados de la figura corresponde al número decimal:

a) 0,3 b) 0,5 c) 0,3 d) 0,33

5 c) — 60 5 La fracción generatriz irreducible de 2,3111… es: 231 a) — 99 b) 104 — 45 c) 28 — 9 208 d) — 90

6

Si aproximamos 3,2194 hasta las centésimas, el error absoluto que cometemos es:

a) 0,0194 b) 0,0006

22

10

El resultado de la operación 4,2 ·10 + 0,3, expresado en forma de fracción, equivale a:

3827 a) — 90 423 b) — 10 c) 383 — 9 1409 d) — 30