1. Talasna Jednacina.pdf

Zvuk i buka Zvuk je sastavni deo svakodnevnog života.

Veoma često zvuk uznemirava i ugrožava čoveka.

Zvuk i buka Nivo smetnji zavisi od kvaliteta zvuka ali i od stava prema njemu. Zvuk ne treba da bude glasan da bi predstavljao smetnju. Ocena glasnosti buke zavisi i od perioda dana. Buka može da ima i razorno dejstvo ali i da odšteti ljudsko uvo.

Zvuk i buka Zvuk je buka ako zvuk uznemirava i ugrožava čoveka, ako su generisani zvuci neželjeni i neprijatni. Nivo ometanja ne zavisi samo od jačine zvuka već i od: kvaliteta zvuka, od stava prema njemu, od perioda dana. Buka je svaki neželjeni zvuk koji pored fizičkih karakteristika izaziva i psihofiziološke senzacije (smeta, uznemirava, ugrožava).

Zvuk i buka Zvučne oscilacije (zvuk) nastaju pod dejstvom spoljašnje sile koja izvodi iz ravnotežnog položaja čestice elastične sredine i podstiče ih na ocilatorno kretanje oko ravnotežnog položaja. Spoljašna sila koja izaziva poremećaj sredine naziva se izvor zvuka. Zvučni talas se definiše kao poremećaj koji se prostire kroz elastičnu sredinu, prenoseći energiju s jedne lokacije na drugu.

Zvuk i buka Promene položaja čestica, tzv. akustičke ili zvučne oscilacije, praćene su promenama akustičkog ili zvučnog pritiska u elastičnoj sredini oko ravnotežne vrednosti. Zvučni pritisak predstavlja promenljivu komponentu ukupnog pritiska u nekoj tački elastične sredine koja se superponira atmosferskom ili statičkom pritisku. Zvučni pritisak nastaje kao rezultat generisanja zvuka i prostiranja zvučnih talasa.

pt  ps  p

p[Pa=N/m2]

Zvuk i buka Osnovne veličine koje karakterišu zvučne talase i njihovo prostiranje su: talasna dužina, [m] frekvencija, f [Hz] period oscilovanja, T [s] brzina prostiranja zvuka – brzina zvuka, c [m/s]

Veća talasna dužina – manja frekvencija

Manja talasna dužina – veća frekvencija

Zvuk i buka Iako se iz prikazane jednačine može izračunati brzina zvuka na osnovu frekvencije i talasne dužine, brzina zvuka ne zavisi od talasne dužine i frekvencije.

Frekvencija i talasna dužina su međusobno zavisne veličine.

TALASNA JEDNAČINA

 p 2 2 c  p  0 2 t 2

Stacionarno stanje Talasna jednačina povezuje prostornu i vremensku promenu neke od veličina koje opisuju prostiranje zvučnih talasa.

 p 2 2 c  p  0 2 t 2

DV  DxDyDz

z

Dz y

Dy

x Dx

Za izvođenje talasne jednačine, koja opisuje promene nastale usled delovanja zvučnih talasa, posmatra se delić fluidnog prostora ograničen elementarnom zapreminom DV, paralelopipednog oblika, stranica Dx, Dy, i Dz.

Stacionarno stanje DV  DxDyDz

z

ps Dz

ps

ps

ps ps

y

Dy

ps

x Dx

U stacionarnom stanju, kada nema zvučnih talasa, na stranice paralelopipeda deluju sile koje su posledice statičkog pritiska (za slučaj vazduha - atmosferskog pritiska), koji je jednak u svim tačkama, pa su i sile koje deluju na suprotne stranice paralelopipeda jednake. S obzirom da su smerovi sila suprotni, masa fluida u elementarnoj zapremini miruje.

Jednačina kretanja DV  DxDyDz

z

Pravac talasa Dz

ps + p y

Dy

x

Dx

Pojavom zvučnih talasa, masa fluida u posmatranoj zapremini izložena je statičkom pritisku fluida i promenljivom zvučnom pritisku u funkciji položaja posmatrane tačke. Zvučni pritisak u centru paralelopipeda označićemo sa p, tako da je ukupni pritisak u centru ps+p.

Jednačina kretanja z

ps  ( p 

ps  ( p 

1 p Dy) 2 y

1 p Dx) 2 x y

ps  ( p 

Pravac talasa

ps + p

Pritisak na bočne strane paralelopipeda je različit.

p  f ( x, y , z , t )

ps  ( p 

ps  ( p 

Zvučni pritisak funkcija:

Zakon prostorne promene zvučnog pritiska:

1 p Dz ) 2 z

x

p x

ps  ( p 

1 p Dz ) 2 z

y

1 p Dy ) 2 y x

p Animacija 1 y p  p  p  grad p  i j k x y z

x,y,z

1 p Dx) 2 x

z p z Animacija 2

Jednačina kretanja z

  1 p p  ( p  D y )  s  DxDz 2 y   1 p   p  ( p  D x ) DyDz  s  2 x   y

1 p   p  ( p  D z ) DxDy  s  2 z   Pravac talasa

ps + p

1 p   p  ( p  D x ) DyDz  s  2 x  

Dz

Sila na bočne strane paralelopipeda je Dy različita.

  1 p p  ( p  D y )  s  DxDz 2 y x  Dx  1 p   p  ( p  D z ) DxDy  s  2 z  

x

Rezultujuća sila:



p DV x

x,y,z



y

p DV y

  p  p  p   F   i  j  k  DV y z   x

z p  DV z

Jednačina kretanja Rezultujuća sila izaziva kretanje posmatranog delića sredine kroz koju se talas kreće.

Zapreminska gustina posmatranog delića sredine, , može se aproksimirati sa gustinom u stacionarnim uslovima, s. Objašnjenje: Promene zvučnog pritiska su male u odnosu na statički pritisak.

x

Primena II F  ma x x Njutnovog v x p zakona:  DV   s DV x t Jednačine kretanja

v p  s x x t

x,y,z

y

Fy  ma y

z

Fz  ma z

v z p v y p  D V   D V  DV   s DV s  z t y t v y p  s y t

 v grad p    s t

v p  s z z t

Jednačina kontinuiteta

Zbog zvučnih oscilacija i promene pritiska dolazi i do promene zapremine posmatranog delića sredine, odnosno do kompresije (praćeno smanjenjem zapremine) i ekspanzije fluida (praćeno povećanjem zapremine) u posmatranom elementarnom paralelopipedu. Jednačina kontinuiteta predstavlja matematički izraz fizičke činjenice da pri promeni zapremine paralelopipeda masa fluida u njemu ostaje ista.

Jednačina kontinuiteta Za definisanje promene zapremine (odnosno dimenzija paralelopipeda) potrebno je definisati premenu brzine čestica u funkciji prostornih koordinata. Brzina čestica   vektorska  funkcija:

 v  vx i  v y j  vz k

Komponente brzine funkcija:

vx  f1 ( x, y, z , t ) v y  f 2 ( x, y , z , t )

v z  f 3 ( x, y , z , t ) Zakon prostorne promene brzine:

x

y

v x x

v y

x,y,z

 vx v y vz div v    x y z

y

z

v z z Animacija 3

Jednačina kontinuiteta DV  DxDyDz

z

1 vx Dz vx  Dx 2 x

 v

y

1 vx vx  Dx 2 x

Dy

x Dx

1 vx  Pomeraj leve  v   x 2 x Dx  dt strane:   Ukupan pomeraj

x

Pravac talasa

-

+ 

Različite brzine čestica u funkciji prostornih koordinata izazivaju različita pomeranja zapremine paralelopipeda.

1 vx  Pomeraj desne v   x 2 x Dx  dt strane:    vx  vx d D V  D xdt DyDz d x  Dxdt x   x  x 

Jednačina kontinuiteta DV  DxDyDz

z

1 v y vy  Dy 2 y Dz

Pravac talasa

 v

y

Analogno

1 v y vy  Dy x 2 y Dx

Dy

Pomeraj prednje strane: 

1 v y  Dy  dt v y  2 y  

Ukupan pomeraj

y

+ v  1 v y Dy  dt  y  2 y

-



y 

v y y

Dydt

Pomeraj zadnje strane:

  v y  dDVy   Dydt  DxDz  y 

Jednačina kontinuiteta DV  DxDyDz

z

1 vz vz  Dz 2 z Dz

Pravac talasa

 v

y

Analogno Dy

x Dx

Pomeraj donje strane:

vz 

1 vz   v   z 2 z Dz  dt  

Ukupan pomeraj

z

1 vz Dz 2 z

-

Pomeraj gornje strane: 

+ v  1 vz Dz dt  z 2 z   

v  z  z Dzdt z

 v  dDVz   z Dzdt  DxDy  z 

Jednačina kontinuiteta

x y z

dDVx 

dDVy 

dDVz 

DV  DxDyDz

vx DVdt x

v y y

DVdt

vz DVdt z

Pravac talasa

Dz

 v

y

Dy

Dx

Promena ukupne zapremine:

x

 vx v y vz   dDV      DVdt  div v DVdt  x y z 

Jednačina kontinuiteta:

 dDV  div v dt DV

Gasni zakon Primenom gasnog zakona (PV=RT) na proces prostiranja zvučnih talasa nalazi se relacija između zvučnog pritiska i promene zapremine elementarnog paralelopipeda:

dDV 1  dp DV pt 



cp cv

cv – specifična toplota pri stalnom pritisku cv – specifična toplota pri stalnoj zapremini pt – ukupni zvučni pritisak

Izvođenje Animacija 4

1. Jednačina kretanja

 v grad p    s t

 v div(grad p )    s div t

div

2 p 2 2 c  p  0 2 t

1 2 p 1    div(grad p ) 2 pt  t s  2 p pt   div(grad p ) 2 t s

2. Jednačina kontinuiteta

 dDV  div v dt DV 

3. Jednačina gasnog zakona

dDV 1  dp DV pt 

TALASNA JEDNAČINA

 1 dp  div v dt pt 

c2 

pt

s

 2 (...)  div(grad(. ..))  2 p v   pt  div 2 t t

 dp p    pt  div v dt t

 t

Ravni talasi Oscilovanjem beskonačne ravni ili klipne membrane u pravoj cevi idealno krutih zidova, nastaje najprostiji oblik talasa, ravni talas.

Ravanski talasi Talasni front, u obliku beskonačne ravni ili ravni klipne membrane, normalan je na pravac prostiranja talasa i na toj površini u svim tačkama, u bilo kojem trenutku vremena, svaka akustička promenljiva je uniformna bez obzira na vremensku zavisnost polja. Formirano zvučno polje se naziva polje ravnih talasa

Ravni talas z

Formirano zvučno polje opisuje se homogenom talasnom jednačinom koja predstavlja trodimenzionalni oblik talasne jednačine u Dekartovom koordinatnom sistemu.

( x, y, z )

x y

2 p 2 2 c  p  0 2 t p  p  p  grad p  i  j k x y z

2=div(grad...)

    a  ax i  a y j  az k

 a a y az div a  x   x y z

2 p 2 2 p 2 p 2 p c ( 2  2  2 )  0 2 t x y z

2 p 2 p 2 z div(grad p )  2  2  2 x y z

Za slučaj prostiranja ravnih talasa u pravcu x-ose sve akustičke veličine su funkcija samo jedne koordinate x, tako da talasna jednačina ima oblik dat jednačinom: 2 p 2 2 p c 0 2 2

t

x

Ravni talas 2 p t

2

c

2

2 p x

2

0

Opšte rešenje homogene diferencijalne jednačine u stacionarnom režimu sa sinuisoidalnom pobudom: zvučni pritisak sa vremenskom promenom po zakonu sinusoiide

p( x, t )  p( x)e jt Pretpostavljeno rešenje uneto u talasnu jednačinu daje homogenu diferencijalni jednačinu sa jednom nezavisnom promenljivom:  2 p ( x)  2  2 p ( x)  0 2 x c  2 p ( x) x 2

 k 2 p ( x)  0

 - kružna učestanost, f - frekvencija, k   k – fazna konstanta,

  2f c  2f c  2 

Ravni talas  2 p ( x) x 2

 k 2 p ( x)  0

p( x, t )  p( x)e jt

Opšte rešenje homogene diferencijalne jednačine ima oblik:

p ( x) 

  kx A pe



 kx A pe

Kompleksne konstante zavisne od graničnih i početnih uslova

Konačno rešenje ima oblik:

p( x , t ) 

 j ( t  kx) A pe



 j ( t  kx) A pe

Ravni talas

p( x , t ) 

 j ( t  kx) A pe



 j ( t  kx) A pe

Prvi član jednačine predstavlja progresivni talas koji se prostire u pozitivnom smeru xose brzinom c, dok drugi član predstavlja reflektovani zvučni talas koji se prostire u negativnom smeru x-ose, istom brzinom.

Ravni talas 

p( x, t )  A p e j (t kx ) Za slučaj beskonačno duge cevi prostire se samo progresivni talas, jer ne dolazi do refleksije. Vrednost zvučnog pritiska u tom slučaju predstavljena je gornjim izrazom. Trenutna vrednost zvučnog pritiska p(x,t) određena je realnom komponentom kompleksne veličine pritiska.





p( x, t )  Re p( x, t )  Ap cos(t  kx) Ap – amplituda zvučnog pritiska

Ravni talas





p( x, t )  Re p( x, t )  Ap cos(t  kx) Polazeći od relacija koje povezuju akustičke veličine mogu se izvesti izrazi za trenutne vrednosti pomeraja čestice i brzine oscilovanja čestice:

p( x , t )   K

( x, t ) x

K  c 2 zapreminski moduo elastičnosti

( x, t )  A sin( t  kx)

A, Av – amplitude pomeraja i brzine

( x, t ) v( x, t )  t

v( x, t )  Av cos(t  kx)

Ravni talas Efektivna vrednost zvučnog pritiska (veličina koje se meri) u svim tačkama polja ravnog talasa je ista. Animacija

Odnos zvučnog pritiska i brzine oscilovanja čestica definiše p specifičnu akustičku impedansu sredine kroz koju se prostire Z S  v talas i određuje reakciju sredine na prostiranje talasa. Za ravne talase specifična akustička impedansa ima konstantnu vrednost što znači da su pritisak i brzina u fazi, Z  c S odnosno da imaju istu vremensku i prostornu raspodelu u fiksnom vremenskom trenutku.

Za ravne talase specifična akustička impedansa zavisi od karakteristika sredine i u vazduhu pri sobnoj temeperaturi i normalnom pritisku ima približno vrednost: Z S  414 kg  s/m2





Kako je specifična akustička impedanca realna veličina, za ravne talase nije potrebno posmatrati parametre polja u kompleksnom obliku, što znatno pojednostavljuje analizu.

Ravni talas Prethodno prikazane jednačine opisuju osnovne akustičke veličine ravnog progresivnog neprigušenog zvučnog talasa. Ukoliko se zvučni talas prostire u sredini sa gubicima, nastaje ravan progresivan prigušeni talas čija se amplituda menja po eksponencijalnom zakonu. Efektivna vrednost zvučnog pritiska nije ista u svim tačkama! Jednačine koje opisuju osnovne akustičke veličine prigušenog talasa:

( x, t )  A ex sin( t  kx) p( x, t )  Ap ex cos(t  kx)

v( x, t )  Av ex cos(t  kx)  - koeficijent prigušenja sredine

Specifična akustička impedanca ravnih prigušenih zvučnih talasa je realna veličina, promenljiva u funkciji rastojanja i vremena:

Z sc

c 2  c  tg( t  kx) 

Sferni talas Sferni talasi nastaju oscilovanjem tačkastog zvučnog izvora ili pulsiranjem sfere.

Talasni front, u obliku sfere, normalan je na pravac prostiranja talasa i na toj površini u svim tačkama, u bilo kojem trenutku vremena, svaka akustička promenljiva je uniformna bez obzira na vremensku zavisnost polja. Formirano zvučno polje se naziva polje sfernih talasa. Za definisanje jednačine sfernih talasa polazi se od osnovne talasne jednačine z



2 p  c 2 2 p  0 2 t

( r , , )

koristi se princip transformacije pravouganih u sferne koordinate

r  y

x

x  r sin  cos y  r sin c sin z  r cos 

Sferni talas Dobija se homogena talasna jednačina u sfernim koordinatama koja opisuje polje sfernih zvučnih talasa: 2 p 2 2 p 2  p 1  p 1 2 p c ( 2   2 2 (sin   )  2 2 )0 2 2 t r r r r sin    r sin  

Za slučaj sferno-simetričnih talasa (kada se izvor zvuka postavi u centar sfernog koordinatnog sistema), promene akustičkih veličina su funkcija samo koordinate r, tako da talasna jednačina ima oblik: 2  2p 2 p  2  p   c  2  2 t r r   r

Za ravne talase:

T

 2 ( pr ) 2  2 ( pr ) c 2 t r 2

 p 2 p c 0 2 2 t x 2

z



( r , , )

r

2



x

y

Sličnost dobijenih talasnih jednačina omogućuje korišćenje rešenja za ravne talase, gde se proizvod pr shvata kao nova promenljiva.

Sferni talas Opšte rešenje homogene diferencijalne jednačine ima oblik:

p( r , t ) 

A



r

e j (t kr ) 

A

Kompleksna konstanta zavisna od graničnih i početnih uslova



r

e j (t  kr )

Za slučaj prostiranja talasa u slobodnom prostoru, prostire se samo progresivni talas, nema refleksije. Vrednost zvučnog pritiska u tom slučaju predstavljena je izrazom:

p( r , t ) 

A



r

e j (t kr )

Trenutna vrednost zvučnog pritiska p(r,t) određena je realnom komponentom kompleksne veličine pritiska.





p( r , t )  Re p( r , t ) 

A r

cos(t  kr)

Sferni talas Iz izvedenih izraza proizilazi osnovna karakteristika sfernih talasa: zvučni pritisak opada sa povećanjem rastojanja. pr  const

Razlog: Povećanjem rastojanja od izvora zvuka povećava se površina talasnog fronta na kojoj se raspodeljuje energija koja je krenula od izvora zvuka. Površina talasnog fronta se povećava sa kvadratom rastojanja. Udvostručavanje rastojanja – četiri puta veća površina talasnog fronta, četiri puta manja gustina zvučne energije i dva puta manji zvučni pritisak. Zahvaljući navedenoj činjenici polje r1 p  p1 sfernog talasa je potpuno definisano 2 r2 jednim podatkom o veličini zvučnog pritiska.

p

p/2

Sferni talas Polazeći od relacija koje povezuju akustičke veličine mogu se izvesti izrazi za trenutne vrednosti pomeraja čestice i brzine oscilovanja čestice: p( r , t )   K

 ( r , t ) r

 ( r , t ) v( r , t )  t



1  p( r , t ) 1  jkr A j ( t  kr) v( r, t )  j  e 2  r j r 

1 1  jkr A j ( t  kr) ( r , t )  v( r, t )   2 e 2 j  r

Odnos zvučnog pritiska i brzine oscilovanja čestica definiše specifičnu akustičku impedansu koja je za slučaj sfernih talasa kompleksna veličina zavisna od rastojanja od izvora zvuka.

jckr ZS   v 1  jkr p

Sferni talas Specifična akustička impedanca se može napisati preko realnog i imaginarnog dela: 2 2

Z s  Rs  jX s 

ck r

1 k r

2 2

j

ckr

1  k 2r 2

Impedansa zavisi od proizvoda kr, što znači da je funkcija rastojanja i frekvencije. Kada je kr1 (u blizini izvora) impedansa je pretežno induktivna, dok na većim rastojanjima (kr1) impedansa postaje jednaka vrednosti za ravanski talas - c. Sferni talas pri udaljavanju od izvora zvuka se transformiše u ravni talas.

Ravni talasi Efektivna vrednost zvučnog pritiska je veličina koja se meri mernim instrumentima i u proizvoljnoj tački zvučnog polja, u opštem slučaju, računa se kao: Za ravne talase:

T

1 2 p p (t )dt  T 0

p( x, t )  Ap cos(t  kx)

T T Ap 1 1 2 2 2 p Ap cos (t  kx)dt  Ap cos (t  kx)dt    T 0 T 0 2

p p(x ili t) Ap

x ili t

Ap 2

Jednačina kretanja

(x)

p x

p(x)

p x

Izvod zavisne promnljive (funkcije) određuje osetljvost te funkcije na promene druge veličine (nezavine promenljive).

x

x

Gradijent Gradijent je generalizacija koncepta izvoda na funkcije više promenljivih. Ako je p  f ( x, y, z , t ) funkcija više promeljivih (skalarno polje)

tada je gradijent te funkcije vektor čije su komponente parcijalni izvodi funkcije: p  p  p  grad p 

x

i

y

j

z

k

Gradijent skalarnog polja je vektorsko polje gde gradijent ukazuje na pravac najveće promene polja. Intenzitet gradijenta određuje brzinu promene polja.

Divergencija Divergencija je vektorski operator koji meri intenzitet izvora ili ponora vektorskog polja u datoj tački. Divergencija je mera „isticanja“ vektora kroz površinu koja okružuje datu tačku. Divergencija vektorskog polja je skalar.

0

=0

0

=0

0

Laplasov operator Laplasov operator je dat divergencijom gradijenta neke skalarne funkcije.

Laplasijan neke funkcije u tački je brzina kojom se usrednjena vrednost funkcije na sferi sa centrom u posmatranoj tački menja u odnosu na vrednost funkcije u toj tački kako rastojanje od tačke raste.