1. Sinyal, Sistem, Dan Pemrosesan Sinyal.pdf

Sinyal, Sistem, dan Pemrosesan Sinyal TEKNIK PENGOLAHAN ISYARAT (2 SKS)

Ayu Jati Puspitasari, S.Si, M.Si

Referensi: 1. Proakis, J.G., Manolakis D. G. 1995. Digital Signal Processing: Principles, Algorithms, and Application 3 rd. 2. Oppenheim, A.V., Willsky, A.S. 2000. Sinyal & Sistem Jilid 1 Edisi Kedua. Jakarta: Erlangga 3. Oppenheim, A.V., Willsky, A.S. 2001. Sinyal & Sistem Jilid 2 Edisi Kedua. Jakarta: Erlangga 4. Gunawan, Dadang. 2012. Pengolahan Sinyal Digital. Yogyakarta: Graha Ilmu

Sinyal, Sistem dan Pemrosesan Sinyal

1. 2. 3. 4. 5. 6. 7. 8.

Pendahuluan Analog vs Digital Dasar Sistem Pemrosesan Sinyal Digital Klasifikasi Sinyal Operasi Dasar Sinyal Sifat-Sifat Sistem Dasar Konsep Frekuensi dalam Sinyal Waktu-Kontinu dan Waktu-Diskrit Konversi Analog ke Digital dan Digital ke Analog

Pendahuluan • • • • •

Sinyal dapat menggambarkan beraneka ragam fenomena fisik Fenomena alam seperti suhu, kelembaban, tekanan darah, dan denyut jantung juga dapat digolongkan sebagai sinyal Sinyal didefinisikan sebagai kuantitas fisik yang membawa pesan atau informasi Sinyal yang paling mudah diukur dan sederhana adalah sinyal listrik, sehingga sinyal listrik biasanya dijadikan kuantitas fisik referensi Sinyal-sinyal lain seperti suhu, kelembaban, tekanan darah dll biasanya akan diubah terlebh dahulu menjadi sinyal listrik menggunakan tranduser atau sensor

Pendahuluan (cont.) • •

•

Istilah pengolahan sinyal berhubungan dengan metode-metode analisis, modifikasi, atau ekstraksi informasi dari suatu sinyal Secara umum, pengolahan sinyal merupakan representasi matematik dan algoritma untuk melakukan proses-proses analisis, modifikasi, atau ekstraksi informasi Istilah digital berarti bahwa pengolahan sinyal tersebut dilakukan menggunakan komputer atau perangkat digital

Analog vs Digital

Analog vs Digital (cont.) Analog signal  sinyal yang outputnya berubah-ubah secara kontinu terhadap sinyal masukan Example:

Analog

Digital signal  sinyal yang outputnya berubah-ubah secara level diskrit, biasanya Example: HIGH or 1 Digital

LOW or 0

Time

Analog vs Digital (cont.)

Analog vs Digital (cont.) Sistem Transmisi Televisi

Dasar Sistem Pemrosesan Sinyal Digital

• • •

Sebagian besar sinyal-sinyal yang ditemukan dalam sains dan teknologi di alam adalah sinyal analog Sinyal analog adalah sinyal-sinyal yang berfungsi dari suatu variable kontinu, seperti waktu Sinyal-sinyal seperti itu dapat diproses secara langsung dengan sistem analog yang tepat (seperti filter atau penganalisis frekuensi)

Sinyal Masukan

Prosesor Sinyal

Sinyal Keluaran

Analog

Analog

Analog

Dasar Sistem Pemrosesan Sinyal Digital (cont.) •

Untuk melakukan pemrosesan secara digital, diperlukan dua interface yang dinamakan pengkonversi analog menjadi digital atau analog to digital converter

Sinyal masukan analog

Proses Sinyal Digital

Konverter A/D Sinyal masukan digital

•

Konverter D/A

Sinyal keluaran analog

Sinyal keluaran digital

Prosesor sinyal digital dapat merupakan sebuah komputer digital besar yang dapat diprogram atau sebuah mikroprosesor kecil yang diprogram untuk melakukan operasi-operasi yang diinginkan pada sinyal masukan

Klasifikasi Sinyal 1. 2. 3. 4. 5. 6. 7.

Sinyal Sinyal Sinyal Sinyal Sinyal Sinyal Sinyal

real vs kompleks multi-channel vs single-channel multi-dimensional vs single-dimensional waktu-kontinu vs waktu-diskrit nilai-kontinu vs nilai-diskrit deterministic vs random lainnya

1. Sinyal real vs kompleks •

•

Sinyal real adalah sinyal yang bernilai bilangan nyata 𝑆1 𝑡 = 𝐴𝑠𝑖𝑛3𝜋𝑡

(1)

Sinyal kompleks adalah sinyal yang bernilai bilangan kompleks 𝑆2 𝑡 = 𝐴𝑒 𝑗3𝜋𝑡 = 𝐴𝑐𝑜𝑠3𝜋𝑡 + 𝑗𝑠𝑖𝑛3𝜋𝑡

(2)

2. Sinyal multi-channel vs single-channel •

Sinyal multi-channel adalah sinyal yang terdiri dari kumpulan beberapa sinyal independen 𝑆1 𝑡 = 𝑠1 𝑡 , 𝑠2 𝑡 , 𝑠3 𝑡 (3) • Sinyal single-channel adalah sinyal tunggal 𝑆2 𝑡 = 𝑠1 𝑡 (4)

3. Sinyal multi-dimensional vs single-dimensional •

Sinyal multi-dimensional adalah sinyal dengan lebih dari satu variable independen 𝑓(𝑥, 𝑦) Contoh: sinyal televise hitam-putih maupun berwarna •

Sinyal single-dimensional adalah sinyal dengan variable independen tunggal 𝑠1(𝑡)

4. Sinyal waktu-kontinu vs waktu-diskrit •

Sinyal waktu-kontinu adalah sinyal dengan variable independen bernilai real 𝑥 𝑡 = 𝑒 − 𝑡 , −∞ < 𝑡 < ∞

•

(5)

Sinyal waktu-diskrit adalah sinyal dengan variable independen bernilai integer

0.8𝑛 , 𝑛 ≥ 0 𝑥 𝑛 =ቊ 0, 𝑜𝑡ℎ𝑒𝑟𝑤𝑖𝑠𝑒

(6)

Contoh sinyal waktu kontinu • • • •

Fungsi step Fungsi ramp Fungsi impuls Sinyal periodic

Contoh sinyal waktu diskrit • •

Fungsi ramp Fungsi impuls

Contoh sinyal waktu-kontinu

Fungsi step 𝑢 𝑡 =ቊ

1, 𝑡 ≥ 0 0<0

(7)

Fungsi Unit Step •

Sinyal unit step kontinu:

𝑢 𝑡 =ቊ

1, 𝑡 > 0 0, 𝑡 < 0

Fungsi Ramp •

Fungsi ramp didefinisikan

𝑟 𝑡 =ቊ •

𝑡, 𝑡 ≥ 0 0, 𝑡 < 0

Fungsi ramp juga dapat diperoleh dengan mengintegralkan fungsi unit step 𝑡

𝑡

න 𝑢 𝜏 𝑑𝜏 = න 𝑑𝜏 = 𝑟(𝑡) −∞

0

Fungsi Impulse • •

•

Sinyal unit impuls sering disebut sebagai fungsi dirac delta atau fungsi delta Sinyal jenis ini banyak digunakan untuk pemodelan berbagai fenomena fisik, diantaranya adalah tegangan/arus yang terjadi dalam waktu yang sangat singkat Fungsi dirac delta 𝑡2

න 𝑥 𝑡 𝛿 𝑡 𝑑𝑡 = 𝑥 0 , 𝑡1 < 0 < 𝑡2 𝑡1

Dengan syarat x(t) kontinu pada x=0

•

Fungsi dirac delta kontinu dan diskrit

•

Fungsi impuls merupakan turunan pertama dari fungsi unit step, dan sebaliknya unit step merupakan integral dari fungsi impuls 𝑑 𝛿 𝑡 = 𝑢(𝑡) 𝑑𝑡 𝑡

𝑢 𝑡 = න 𝛿 𝜏 𝑑𝜏 −∞

Sinyal periodik •

Ditetapkan T sebagai suatu nilai real positif. Suatu sinyal waktu-kontinu x(t) dikatakan periodic terhadap waktu dengan periode T, jika 𝑥 𝑡 + 𝑇 = 𝑥 𝑡 , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑛𝑖𝑙𝑎𝑖 𝑡, −∞ < 𝑡 < ∞ (11)

Suatu contoh, sinyal periodic adalah suatu sinyal sinusoida 𝑥 𝑡 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑡 + 𝜃) Dimana: A= amplitude ω= frekuensi dalam radian per detik Θ= fase dalam radian •

•

𝜔

Frekuensi f falam Hz sebesar 𝑓 = 2𝜋

(12)

Sinyal periodik (cont.) (13)

Sinyal periodik (cont.) Pembangkitan sinya kontinu dengan Matlab Buat sebuah sinyal periodik sinusoida y=sin(2πft+θ), dengan frekuensi 5 Hz Dan fase awalnya 45°

Sinyal periodik (cont.) Hasilnya…

Contoh sinyal waktu-diskrit

Sinyal Unit Step diskrit •

Sinyal unit step diskrit:

𝑢 𝑛 =ቊ

1, 𝑛 ≥ 0 0, 𝑛 < 0

Sinyal impulse diskrit •

Bentuk diskrit dapat ditulis

𝛿 𝑛 =ቊ

1, 𝑛 = 0 0, 𝑛 ≠ 0

5. Sinyal nilai-kontinu vs nilai-diskrit • •

Sinyal nilai-kontinu adalah sinyal yang besarnya (atau variable dependennya) merupakan bilangan nyata Sinyal nilai diskrit adalah sinyal yang besarnya (atau variable dependennya) merupakan bilangan diskrit (artinya bilangan yang memiliki indeks)

6. Sinyal deterministik vs random • •

Sinyal deterministik adalah snyal dimana besarannya diketahui dengan pasti apabila diketahui variable independennya Sinyal random adalah sinyal yang besarnya tidak terprediksi sebelum terjadi

7. Sinyal Genap dan Ganjil • •

Sinyal waktu-kontinu x(t) disebut genap jika 𝑥 −𝑡 = 𝑥 𝑡 , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑡 Dan disebut sinyal ganjil jika 𝑥 −𝑡 = −𝑥 𝑡 , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑡

Sinyal waktu-diskrit x(n) disebut genap jika 𝑥 −𝑛 = 𝑥 𝑛 , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑛 • Dan disebut sinyal ganjil jika 𝑥 −𝑛 = −𝑥 𝑛 , 𝑢𝑛𝑡𝑢𝑘 𝑠𝑒𝑚𝑢𝑎 𝑡

(14)

(15)

8. Sinyal energi dan sinyal daya •

Daya sesaat yang diserap (daya disipasi) pada sebuah hambatan didefinisikan sebagai 𝑝 𝑡 =

𝑣 2 (𝑡) 𝑅

(16)

Atau •

𝑝 𝑡 = 𝑅𝑖 2 (𝑡) (17) Dalam banyak sistem, nilai R biasanya dinormalisasi unity (1 ohm), sehingga secara umum daya berbanding lurus dengan kuadrat tegangan atau arus. Oleh karena itu, untuk sinyal x(t), tanpa ememandang apakah sinyal tersebut merupakan tegangan atau arus, daya sesaatnya diberikan oleh 𝑝 𝑡 = 𝑣 2(𝑡)

(18)

8. Sinyal energi dan sinyal daya (cont.) •

Energi total dari sinyal waktu-kontinu merupakan integral dari daya sesaat, yaitu ∞

𝐸 = ‫׬‬−∞ 𝑥 2 𝑡 𝑑𝑡

•

Daya rata-rata didefinisikan sebagai energy total dibagi total waktu sehingga 1 𝑇/2 2 ‫׬‬−𝑇/2 𝑥 𝑇 𝑇−→∞

𝑃 = lim

•

(19)

𝑡 𝑑𝑡

Jika sinyal x(t) periodik dengan periode dasar T maka daya rata-rata menjadi 1

𝑇/2

𝑃 = ‫׬‬−𝑇/2 𝑥 2 𝑡 𝑑𝑡 𝑇 •

(20)

Untuk sinyal waktu-diskrit, pers (19)-(21) diubah menjadi (22)-(24) 2 𝐸 = σ∞ 𝑛=−∞ 𝑥 [𝑛] 1 2 σ𝑁 𝑛=−𝑁 𝑥 [𝑛] 𝑁−→∞ 2𝑁 1 𝑁−1 2 σ 𝑥 [𝑛] 𝑁 𝑛=0

(21)

(22)

𝑃 = lim

(23)

𝑃=

(24)

contoh Daya rata-rata untuk sinyal di bawah ini dapat dicari dengan persamaan (21)

Sehingga didapatkan 1

𝑇/2

𝑃 = 𝑇 ‫׬‬−𝑇/2 𝑥 2 𝑡 𝑑𝑡

𝑃=

1 0.2 ‫ ׬‬1 𝑑𝑡 0.2 0

=

1 𝑡ȁ 0.2 0 0.2

=1

(25)

(26)

9. Sinyal Lainnya Sinyal Eksponensial 𝑥 𝑡 = 𝐵𝑒 𝑎𝑡 Dengan B dan a adalah konstanta. Parameter B disebut amplitudo

Untuk sinyal eksponensial waktu-diskrit 𝑥 𝑛 = 𝐵𝑟 𝑛 Dengan 𝑟 = 𝑒 𝑎

Sinyal Sinusoidal •

Secara umum, sinyal sinus dan kosinus disebut sebagai sinyal sinusoidal 𝑥 𝑡 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(Ω𝑡 + 𝜃) Dengan A adalah amplitude, 𝜔 adalah frekuensi sudut dalam rad/detik, dan ∅ adalah sudut fasa dalam radian •

Bentuk diskrit dari sinyal sinusoidal adalah 𝑥 𝑛 = 𝐴𝑐𝑜𝑠(𝜔𝑛 + ∅)

•

Jika sinyal sinusoidal dikalikan dengan sinyal eksponensial menurun, maka akan didapatkan sinyal sinusoidal teredam eksponensial 𝑥 𝑡 = 𝐴𝑒 −𝛼𝑡 sin 𝜔𝑡 + ∅ , 𝛼 > 0

Fungsi Sampling •

Fungsi yang paling sering muncul pada spectrum frekuensi adalah fungsi sampling 𝑆𝑎 𝑥 , yang didefinisikan sebagai sin(𝑥) 𝑆𝑎 𝑥 = 𝑥

•

Fungsi yang berkaitan dengan fungsi sampling adalah fungsi sinc(x), yaitu sin 𝜋𝑥 𝑠𝑖𝑛𝑐 𝑥 = = 𝑆𝑎(𝜋𝑥) 𝜋𝑥 𝑎 adalah factor kompresi

Operasi Dasar Sinyal

•

Ada 2 macam operasi dasar yang biasanya dilakukan terhadap sinyal • Operasi terhadap variabel terikatnya (variabel tak bebas) • Operasi terhadap variabel bebasnya

•

Operasi pada variabel terikatnya meliputi: 1. Penskalaan amplitudo 2. Penjumlahan 3. Perkalian 4. Diferensiasi 5. Integrasi

•

Operasi pada variabel bebasnya meliputi: 1. Pergeseran 2. Pencerminan 3. Penskalaan waktu

Operasi pada variabel terikatnya 1. Penskalaan Amplitudo • Jika x(t) adalah sinyal waktu-kontinu maka suatu penskalaan amplitude diberikan oleh 𝑦 𝑡 = 𝑐𝑥 𝑡 (27) Dengan c adalah skala. Begitu juga untuk sinyal waktu-diskrit 𝑦 𝑛 = 𝑐𝑥[𝑛] (28) • Ada 2 operasi pada penskalaan amplitude: Atenuasi (c<1) Amplifikasi (c>1)

Operasi pada variabel terikatnya (cont.) -

Contoh Atenuasi (pelemahan) Sebuah sinyal sinus 𝑠 𝑡 = 2 sin 2𝜋𝑓𝑠 𝑡 melalui suatu medium kanal yang bersifat meredam dengan konstanta atenuasi 0.5. berikan gambaran bentuk sinyal sebelum dan sesudah melalui medium. Solusi: Input  𝑠 𝑡 = 2 sin 2𝜋𝑓𝑠 𝑡 Output  𝑠𝑜 𝑡 = 0.5(2 sin 2𝜋𝑓𝑠 𝑡 ) = sin 2𝜋𝑓𝑠 𝑡

Operasi pada variabel terikatnya (cont.)

Operasi pada variabel terikatnya (cont.) -

Contoh Amplifikasi Sebuah sinyal sinus 𝑠 𝑡 = 2 sin 2𝜋𝑓𝑠 𝑡 dikuatkan dengan rangkaian penguat yang memiliki gain=2. Berikan gambaran bentuk sinyal sebelum dan sesudah melewati rangkaian penguat. Solusi: Input  𝑠 𝑡 = 2 sin 2𝜋𝑓𝑠 𝑡 Output 𝑠𝑜 𝑡 = 2(2 sin 2𝜋𝑓𝑠 𝑡 ) = 4 sin 2𝜋𝑓𝑠 𝑡

Operasi pada variabel terikatnya (cont.)

Operasi pada variabel terikatnya (cont.) 2. Penjumlahan Penjumlahan dari sinyal waktu-kontinu dan waktu-diskrit 𝑦 𝑡 = 𝑥1 𝑡 + 𝑥2 𝑡 (29) 𝑦 𝑛 = 𝑥1 𝑛 + 𝑥2 [𝑛] (30) Contoh device yang menggunakan prinsip penjumlahan adalah audio mixer Contoh: Sinyal sinus 𝑓 𝑡 = sin(4𝜋𝑓𝑐 𝑡) dijumlahkan dengan sinyal h 𝑡 = sin(8𝜋𝑓𝑐 𝑡). Solusi: 𝑔 𝑡 = 𝑓 𝑡 + ℎ 𝑡 = sin(4𝜋𝑓𝑐 𝑡) + sin(8𝜋𝑓𝑐 𝑡)

Operasi pada variabel terikatnya (cont.) Gambar:

Operasi pada variabel terikatnya (cont.) 3. Perkalian Operasi perkalian dua buah sinyal diberikan oleh: 𝑦 𝑡 = 𝑥1 𝑡 𝑥2 𝑡 𝑦 𝑛 = 𝑥1 𝑛 𝑥2 [𝑛]

(31) (32)

Contoh: Sebuah pemancar menggunakan operasi perkalian dalam proses modulasi sinyal informasi 𝑠𝑖 = 2 sin 2𝜋𝑓𝑠 𝑡 dan sinyal carrier 𝑠𝑐 = 4 sin 2𝜋𝑓𝑐 𝑡 . Nilai 𝑓𝑠 = 1 sedangkan 𝑓𝑐 = 8. Bagaimana gambaran proses operasi perkalian kedua sinyal di atas? Dan bagaimana bentuk sinyal akhir yang dihasilkan? Solusi: 𝑠 𝑡 = 𝑠𝑖 𝑡 × 𝑠𝑐 𝑡 = 2 sin 2𝜋𝑓𝑠 𝑡 × 4 sin 2𝜋𝑓𝑐 𝑡

Operasi pada variabel terikatnya (cont.) Gambar sinyal akhir

Operasi pada variabel terikatnya (cont.) 4. Diferensiasi Jika x(t) adalah sinyal waktu-kontinu maka diferensial terhadap waktu diberikan oleh 𝑑

𝑦 𝑡 = 𝑑𝑡 𝑥(𝑡)

(33)

Operasi diferensiasi ini terdapat pada induktor. 5. Integrasi Jika x(t) adalah sinyal waktu-kontinu maka integral terhadap waktu diberikan oleh 𝑡

𝑦 𝑡 = ‫׬‬−∞ 𝑥 𝑡 𝑑𝑡

(34)

Operasi pada variabel bebasnya 1. Pergeseran Sinyal 𝑥 𝑡 − 𝑡0 merupakan 𝑥(𝑡) yang digeser sejauh 𝑡0 . Jika 𝑡0 > 0 maka 𝑥(𝑡) digeser ke kanan, sebaliknya jika 𝑡0 < 0 maka digeser ke kiri.

Operasi pada variabel bebasnya (cont.) Contoh: Jika sinyal x(t) diberikan 𝑡 + 1, −1 ≤ 𝑡 ≤ 0 1, 0 < 𝑡 ≤ 2 𝑥 𝑡 = −𝑡 + 3, 2 < 𝑡 ≤ 3 0, 𝑦𝑎𝑛𝑔 𝑙𝑎𝑖𝑛

Cari dan gambarkan x(t-2) dan x(t+3).

Operasi pada variabel bebasnya (cont.) Penyelesaian

Operasi pada variabel bebasnya (cont.) 2. Pencerminan Sinyal x(-t) didapatkan dari sinyal x(t) dengan melakukan pencerminan terhadap t=0 .

Aplikasi dari operasi ini adalah jika x(t) merepresentasikan sinyal video yang keluar dari suatu video recorder, maka sinyal x(-t) merepresentasikan pemutaran balik (rewind) video tersebut (dengan asumsi kecepatan putar dan rewind adalah sama)

Operasi pada variabel bebasnya (cont.) Contoh: Jika sinyal diskrit 1, 𝑛 = 1 −1, 𝑛 = −1 𝑥 𝑛 =ቐ 0, 𝑛 = 0 𝑑𝑎𝑛 𝑛 > 1

Kita akan membuktikan y[n]=x[n]+x[-n] Solusi: Sinyal x[-n] dapat diberikan sebagai −1, 𝑛 = 1 1, 𝑛 = −1 𝑥 −𝑛 = ቐ 0, 𝑛 = 0 𝑑𝑎𝑛 𝑛 > 1 Sehingga jika dijumlahkan dengan x[n] hasilnya adalah 0 untuk semua n

Operasi pada variabel bebasnya (cont.) 3. Penskalaan waktu Jika sinyal x(t) ingin dibentuk menjadi 𝑥(2𝑡) atau 𝑥

tersebut dilakukan penskalaan waktu Secara umum penskalaan waktu dapat ditulis sebagai 𝑦 𝑡 = 𝑥 𝑎𝑡 𝑦 𝑛 = 𝑥 𝑘𝑛 , 𝑘 > 0

1 𝑡 2

maka pada sinyal

Operasi pada variabel bebasnya (cont.)

Untuk sinyal waktu-kontinu terlihat jika a>1, maka sinyal tersebut akan terkompresi, sedangkan jika 0
Operasi pada variabel bebasnya (cont.) Jika operasi pergeseran dan penskalaan waktu dikombinasikan, yaitu untuk mendapatkan sinyal y(t)=x(at-b), maka - langkah pertama yang dilakukan adalah pergeseran v(t)=x(t-b) dan - langkah kedua adalah penskalaan waku y(t)=v(at)=x(at-b)

Operasi pada variabel bebasnya (cont.) Contoh 1:

Konsep Frekuensi dalam Sinyal Waktu - Kontinu dan Waktu-Diskrit Sinyal Sinusoidal Waktu-Kontinu Osilasi harmonik sederhana secara matematis dideskripsikan dengan sinyal sinusoida waktu kontinu

𝑥𝑎 𝑡 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 Ω𝑡 + 𝜃 , −∞ < 𝑡 < ∞ 𝑥𝑎 𝑡  sinyal analog A  amplitude Ω  frekuensi dalam rad/s θ  fase dalam rad Ω = 2𝜋𝐹 𝑥𝑎 𝑡 = 𝐴𝑐𝑜𝑠 2𝜋𝐹𝑡 + 𝜃 , −∞ < 𝑡 < ∞

Sinyal Sinusoidal Waktu-Diskrit •

Sinyal sinusoida waktu-diskrit: 𝑥 𝑛 = 𝐴 cos(𝜔𝑛 + 𝜃) , −∞ < 𝑛 < ∞ Dengan n adalah jumlah cuplikan, A adalah amplitude sinusoida, ω adalah frekuensi dalam rad/cuplikan, dan θ adalah fase dalam rad. • ω menggunakan variabel frekuensi (f): 𝜔 ≡ 2𝜋𝑓 • Sehingga 𝑥 𝑛 = 𝐴 cos(2𝜋𝑓𝑛 + 𝜃) , −∞ < 𝑛 < ∞

Konversi Analog ke Digital

Proses A/D dapat diilustrasikan menjadi 3 langkah: • Pencuplikan Mengambil "cuplikan" sinyal waktu-kontinu pada saat waktu-diskrit. Jika 𝑥𝑎 𝑡 adalah masukan terhadap pencuplik, keluarnya adalah 𝑥𝑎 𝑛𝑇 ≡ 𝑥 𝑛 dengan T dinamakan selang pencuplikan. • Kuantisasi Konversi sinyal yang bernilai-kontinu waktu diskrit menjadi sinyal (digital) bernilai-diskrit waktu diskrit • Pengkodean setiap nilai diskrit 𝑥𝑎 (𝑛) digambarkan dengan suatu barisan biner b

Konversi Analog ke Digital

Konversi Analog ke Digital Konversi digital ke analog zero-order hold

Pencuplikan •

Pencuplikan periodik 𝑥 𝑛 = 𝑥𝑎 𝑛𝑇 , −∞ < 𝑛 < ∞ 1

Dimana 𝑇 = 𝐹

𝑠

•

•

Pencuplikan periodik menetapkan suatu hubungan antara variable waktu t dan n dari sinyal waktu-kontinu dan sinyal waktu-diskrit 𝑛 𝑡 = 𝑛𝑇 = 𝐹𝑠 Sinyal sinusoida analog yang terbentuk 𝑥𝑎 𝑡 = 𝐴 cos(2π𝐹𝑡 + 𝜃) Yang bila dicuplik secara periodik pada laju 𝐹𝑠 = 1/𝑇 cuplikan/detik, menghasilkan 2π𝑛𝐹 𝑥𝑎 𝑛𝑇 ≡ 𝑥 𝑛 = 𝐴 cos( 2π𝐹𝑡 + 𝜃) = 𝐴 cos( + 𝜃) 𝐹𝑠

Pencuplikan (cont.) •

Prosedur pencuplikan sinyal

Pencuplikan (cont.) •

Variabel frekuensi F dan f berhubungan secara linier yaitu 𝐹 𝑓= 𝐹𝑠 Atau ekivalennya 𝜔 = Ω𝑇 • Interval variabel F atau Ω untuk sinusoida waktu-kontinu adalah −∞ < 𝐹 < ∞ −∞ < 𝜔 < ∞ • Interval variabel f atau ω untuk sinusoida waktu-diskrit adalah 1 1 − <𝑓< 2 2 −𝜋 < 𝜔 < 𝜋

Pencuplikan (cont.)

Pencuplikan (cont.) • Contoh 1: Ubah sinyal waktu-kontinu berikut menjadi sinyal waktu-diskrit dengan laju pencuplikan Fs=40 Hz. 𝑥1 𝑡 = cos 2𝜋 10 𝑡 𝑥2 𝑡 = cos 2𝜋 50 𝑡 Solusi 10 𝜋 𝑛 = cos 𝑛 40 2 50 5𝜋 𝑥2 𝑛 = cos 2𝜋 𝑛 = cos 𝑛 40 2

𝑥1 𝑛 = cos 2𝜋

Namun, cos

5𝜋 𝑛 2

𝜋

𝜋

= cos 2𝜋𝑛 + 2 𝑛 = cos 2 𝑛. Maka 𝑥1 𝑛 = 𝑥2 𝑛 sehingga kedua

sinyal tersebut identik dan konsekuensinya tidak dapat dibedakan

Pencuplikan (cont.)  Dapat dikatakan bahwa F2=50 Hz merupakan sinyal alias F1=10 Hz untuk laju pencuplikan Fs=40 Hz

Catatan: F2 tidak hanya alias dengan F1, namun pada Fs=40 Hz, frekuensi F3=90 Hz, F4=130 Hz, dst juga alias dari F1. Seluruh sinusoida cos 2π (F1+40k)t, dengan k=1,2,3,... yang dicuplik pada 40 cuplikan per detik menghasilkan sinyal-sinyal identik. Konsekuensinya, mereka adalah seluruh alias dari F=10 Hz •

Sehingga dapat dituliskan Fk adalah frekuensi yang beraliasing dengan F0 Fk=F0+kFs

Pencuplikan (cont.) •

Contoh 2: Perhatikan sinyal berikut: 𝑥𝑎 𝑡 = 3 cos 100𝜋𝑡 a) b)

c) d)

Tentukan laju pencuplikan minimum yang dibutuhkan untuk menghindari aliasing. Andaikan bahwa sinyal dicuplik dengan laju Fs=200 Hz. Berapa sinyal waktu-diskrit yang diperoleh sesudah pencuplikan? Andaikan bahwa sinyal dicuplik pada laju Fs=75 Hz. Berapa sinyal waktudiskrit yang diperoleh sesudah pencuplikan? Berapa frekuensi 0
Pencuplikan (cont.) •

Solusi: a) 𝑥𝑎 𝑡 = 3 cos 100𝜋𝑡, maka F=50 Hz. Syarat frekuensi minimum sampling (nyquist rate) untuk menghindari aliasing adalah Fs=2Fmax. Sehingga Fs yang tepat adalah 100 Hz. b) Jika sinyal dicuplik pada Fs=200 Hz, sinyal waktu-diskrit adalah 100𝜋 𝜋 𝑥 𝑛 = 3 cos 𝑛 = 3 cos 𝑛 200 2 c) Jika sinyal dicuplik pada Fs=75 Hz, sinyal waktu diskrit adalah 100𝜋 4𝜋 𝑥 𝑛 = 3 cos 𝑛 = 3 cos 𝑛 75 3 2

3

1

Karena syarat frekuensi -1/2
Pencuplikan (cont.) Ingat bahwa cos(-x)=cos(x), sehingga

1 𝑥(𝑛) = 3 cos 2𝜋 𝑛 3 d) Untuk laju pencuplikan Fs=75 Hz, kita mempunyai 𝐹 = 𝑓𝐹𝑠 = 75𝑓 2

Frekuensi sinusoida di bagian (c) adalah 𝑓 = 3, karena karena syarat batas f, maka 2/3-3/3=-1/3, sehingga yang digunakan adalah f=1/3 𝐹 = 25 𝐻𝑧 Sehingga sinyal sinusoida tersebut 𝑦𝑎 𝑡 = 3 cos 2𝜋𝐹𝑡 = 3 cos 50𝜋𝑡 Dicuplik pada Fs=75 cuplikan per detik, menghasilkan cuplikan-cuplikan yang identic. Karena itu F=50 Hz adalah alias dari F=25 Hz untuk laju pencuplikan Fs=75 Hz

Pencuplikan (cont.) •

Contoh 3: Perhatikan sinyal analog 𝑥𝑎 𝑡 = 3 cos 50𝜋𝑡 + 10 sin 300𝜋𝑡 − cos 100𝜋𝑡 Berapa laju Nyquist untuk sinyal ini?

• Solusi: Frekuensi-frekuensi yang ada pada sinyal di atas adalah 𝐹1 = 25 𝐻𝑧 𝐹2 = 150 𝐻𝑧 𝐹3 = 50 𝐻𝑧 Jadi Fmax=150 Hz, maka 𝐹𝑠 rel="nofollow"> 2𝐹𝑚𝑎𝑥 = 300 𝐻𝑧 Laju Nyquist adalah 𝐹𝑁 = 2𝐹𝑚𝑎𝑥 . Karena itu 𝐹𝑁 = 300 𝐻𝑧

Pencuplikan (cont.) •

Contoh 4:

Perhatikan sinyal analog: 𝑥𝑎 𝑡 = 3 cos 200𝜋𝑡 + 5 sin 6000𝜋𝑡 − 10cos 12000𝜋𝑡

a) b)

c)

Berapa laju Nyquist untuk sinyal ini? Sekarang asumsikan bahwa kita mencuplik sinyal ini dengan menggunakan laju pencuplikan Fs=5000 cuplikan/detik. Berapa sinyal waktu-diskrit yang diperoleh sesudah pencuplikan? Berapa sinyal analog ya(t) yang dapat disusun ulang dari pencuplikan dengan menggunakan interpolasi ideal?

Pencuplikan (cont.) •

Solusi: ?????

Konversi Analog ke Digital

Proses A/D dapat diilustrasikan menjadi 3 langkah: • Pencuplikan Mengambil "cuplikan" sinyal waktu-kontinu pada saat waktu-diskrit. Jika 𝑥𝑎 𝑡 adalah masukan terhadap pencuplik, keluarnya adalah 𝑥𝑎 𝑛𝑇 ≡ 𝑥 𝑛 dengan T dinamakan selang pencuplikan. • Kuantisasi Konversi sinyal yang bernilai-kontinu waktu diskrit menjadi sinyal (digital) bernilai-diskrit waktu diskrit • Pengkodean setiap nilai diskrit 𝑥𝑎 (𝑛) digambarkan dengan suatu barisan biner b

Kuantisasi Sinyal Amplitudo-Kontinu •

• • • • •

Proses pengkonversian suatu sinyal amplitudo-kontinu waktu-diskrit menjadi sinyal digital dengan menyatakan setiap nilai cuplikan sebagai suatu angka digit dinamakan kuantisasi Kesalahan (error) pada sinyal bernilai kontinu dengan himpunan tingkatan nilai diskrit berhingga dinamakan kesalahan kuantisasi Cuplikan  x(n) Operasi pengkuantisasi pada cuplikan x(n)  Q[x(n)] Deret cuplikan terkuantisasi pada keluaran pengkuantisasi  xq(n) Sehingga 𝑥𝑞 𝑛 = 𝑄[𝑥 𝑛 ]

Kuantisasi Sinyal Amplitudo-Kontinu (cont.) •

Maka kesalahan kuantisasi adalah deret 𝑒𝑞 (𝑛) yang didefinisikan sebagai selisih antara nilai terkuantisasi dan nilai cuplikan yang sebenarnya 𝑒𝑞 𝑛 = 𝑥𝑞 𝑛 − 𝑥(𝑛)

•

Ilustrasi proses kuantisasi. Suatu sinyal waktu diskrit 0.9𝑛 , 𝑛 ≥ 0 𝑥 𝑛 =ቊ 0, 𝑛 < 0

yang didapatkan dari proses sampling sinyal analog eksponensial 𝑥𝑎 𝑡 = 0.9𝑡 , 𝑡 ≥ 0 dengan frekuensi sampling Fs=1Hz.

Kuantisasi Sinyal Amplitudo-Kontinu (cont.)

Kuantisasi Sinyal Amplitudo-Kontinu (cont.) • • • • •

Nilai-nilai yang mungkin pada sinyal digital disebut tingkatan kuantisasi (level of quantization) Jarak Δ antara dua tingkatan kuantisasi yang berurutan disebut resolusi (quantization step) Pembulatan (rounding)  x(n) pada tingkatan kuantisasi terdekat Trunkasi (pemotongan/pembulatan ke bawah)  x(n) pada tingkatan kuantisasi di bawahnya Kesalahan kuantisasi 𝑒𝑞 𝑛 pada pembulatan dibatasi pada interval

Kuantisasi Sinyal Amplitudo-Kontinu (cont.)

Kuantisasi Sinyal Amplitudo-Kontinu (cont.)

•

Jika 𝑥𝑚𝑖𝑛 dan 𝑥𝑚𝑎𝑥 menunjukkan nilai minimum dan maksimum dari x(n) dan L adalah jumlah level kuantisasi, maka resolusi atau ukuran step kuantisasi (Δ) 𝑥𝑚𝑎𝑥 − 𝑥𝑚𝑖𝑛 ∆= 𝐿−1 𝑥𝑚𝑎𝑥 − 𝑥𝑚𝑖𝑛 dapat didefinisikan sebagai rentang dinamis.

•

Pada contoh tersebut, kita memiliki xmax=1, xmin=0, dan L=11, dg Δ=0.1

•

Kuantisasi Sinyal Sinusoida

Pengkodean Cuplikan Terkuantisasi (cont.) •

Contoh 1:

Sinyal 𝑥 𝑛 = 6.35 cos

𝜋 10

𝑛 hendak dikuantisasi. Berapa banyak bit per sampel

yang diperlukan apabila a) Δ=0.1 b) Δ=0.02

• Jawab: Rentang dinamis = 𝑥𝑚𝑎𝑥 − 𝑥𝑚𝑖𝑛 = 6.35-(-6.35)=12.7 Asumsi jumlah level adalah L

Pengkodean Cuplikan Terkuantisasi (cont.) a) 𝐿 − 1 = 𝐿−1=

𝑟𝑒𝑛𝑡𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑖𝑛𝑎𝑚𝑖𝑠 ∆ 12.7 0.1

𝐿 = 128 𝐿 = 2𝑏 128 = 2𝑏 𝑏=7

Pengkodean Cuplikan Terkuantisasi (cont.) b) 𝐿 − 1 =

𝑟𝑒𝑛𝑡𝑎𝑛𝑔 𝑑𝑖𝑛𝑎𝑚𝑖𝑠 ∆ 12.7

𝐿 − 1 = 0.02 𝐿 = 636 𝐿 = 2𝑏 636 = 2𝑏 𝑏 ≈ 10

Pengkodean Cuplikan Terkuantisasi (cont.) •

Contoh 2:

Sebuah sinyal seismik memiliki rentang dinamis 1 volt dan disampel dengan s ebuah ADC 8 bit yang memiliki Fs=20 Hz a) Tentukan bit rate dan resolusi (Δ) b) Frekuensi maksimum yang bisa direpresentasikan pada sinyal digitalnya Jawab: a) 𝐵𝑖𝑡 𝑟𝑎𝑡𝑒 = 𝑏𝑖𝑡 × 𝐹𝑠 𝐵𝑖𝑡 𝑟𝑎𝑡𝑒 = 8 × 20 𝐵𝑖𝑡 𝑟𝑎𝑡𝑒 = 160 𝑏𝑖𝑡 𝑝𝑒𝑟 𝑑𝑒𝑡𝑖𝑘 •

Pengkodean Cuplikan Terkuantisasi (cont.) Resolusi: 1

∆= 𝐿−1 1

∆= 2𝑏 −1 1

∆= 28 −1 1

∆= 256−1 ∆= 0.0039 𝑉𝑜𝑙𝑡/𝑏𝑖𝑡 b) 𝐹 = 2𝐹𝑚𝑎𝑥 1

𝐹𝑚𝑎𝑥 = 𝐹𝑠 𝐹𝑚𝑎𝑥 =

2 1 20 2

𝐹𝑚𝑎𝑥 = 10 𝐻𝑧

Pojok Matlab