1. Modelación Matemática Y Metodos Núméricos Fred.docx

MODELACIÓN MATEMÁTICA

PRESENTADO POR: Freddy Yesid Diaz Heredia CÓDIGO

UNIVERSIDAD LA GRAN COLOMBIA FACULTAD DE INGENIERÍA CIVIL MÉTODOS NUMÉRICOS BOGOTÁ D.C. 2015

El conocimiento y la comprensión son prerrequisitos para la aplicación eficaz de cualquier herramienta. Si no sabemos cómo funcionan las herramientas, por ejemplo, tendremos serios problemas para reparar un automóvil, aunque la caja de herramientas sea de lo más completa. Ésta es una realidad, particularmente cuando se utilizan computadoras para resolver problemas de ingeniería. Aunque las computadoras tienen una gran utilidad, son prácticamente inútiles si no se comprende el funcionamiento de los sistemas de ingeniería

FORMULACION Exposición profunda de la relación del problema ingenieril con las leyes fundamentales

SOLUCION (Utilizar Ordenadores Programación)

INTERPRETACION (Estudiar la sensibilidad y el comportamiento del sistema)

Debe destacarse que ambos están estrechamente relacionados. las generalizaciones tienen una gran influencia en la experimentación y en las observaciones. En lo particular, las generalizaciones sirven para organizar principios que se utilizan para sintetizar los resultados de observaciones y experimentos en un sistema coherente y comprensible, del que se pueden obtener conclusiones. Desde la perspectiva de la solución de un problema de ingeniería, el sistema es aún más útil cuando el problema se expresa por medio de un modelo matemático. .

Un modelo matemático se define, de manera general, como una formulación o una ecuación que expresa las características esenciales de un sistema físico o de un proceso en términos matemáticos. En general, el modelo se representa mediante una relación funcional de la forma: Variable dependiente = f (variable dependiente, parámetros, funciones de fuerza) (1) donde la variable dependiente es una característica que generalmente refleja el comportamiento o estado de un sistema; las variables independientes son, por lo común, dimensiones tales como tiempo y espacio, a través de las cuales se determina el comportamiento del sistema; los parámetros son el reflejo de las propiedades o la composición del sistema; y las funciones de fuerza son influencias externas que actúan sobre el sistema.

La expresión matemática de la ecuación (1) va desde una simple relación algebraica hasta un enorme y complicado grupo de ecuaciones diferenciales. Por ejemplo, a través de sus observaciones, Newton formuló su segunda ley del movimiento, la cual establece que la razón de cambio del momentum con respecto al tiempo de un cuerpo, es igual a la fuerza resultante que actúa sobre él. La expresión matemática, o el modelo, de la segunda ley es la ya conocida ecuación

F = ma (2)

Donde F es la fuerza neta que actúa sobre el objeto (N, o kg m/s 2), m es la masa del objeto (kg) y a es su aceleración (m/s2). La segunda ley puede escribirse en el formato de la ecuación (1), dividiendo, simplemente, ambos lados entre m para obtener

a = F/m

(3)

Donde a es la variable dependiente que refleja el comportamiento del sistema, F es la función de fuerza y m es un parámetro que representa una propiedad del sistema. Observe que en este caso específico no existe variable independiente porque aún no se predice cómo varía la aceleración con respecto al tiempo o al espacio. La ecuación (3) posee varias de las características típicas de los modelos matemáticos del mundo físico: 1. Describe un proceso o sistema natural en términos matemáticos. 2. Representa una idealización y una simplificación de la realidad. Es decir, ignora los detalles insignificantes del proceso natural y se concentra en sus manifestaciones esenciales. Por ende, la segunda ley de Newton no incluye los efectos de la relatividad, que tienen una importancia mínima cuando se aplican a objetos y fuerzas que interactúan sobre o alrededor de la superficie de la Tierra, a velocidades y en escalas visibles a los seres humanos. 3. Finalmente, conduce a resultados reproducibles y, en consecuencia, llega a emplearse con la finalidad de predecir. Por ejemplo, dada la fuerza aplicada sobre un objeto de masa conocida, la ecuación (3) se emplea para calcular la aceleración.

Debido a su forma algebraica sencilla, la solución de la ecuación (2) se obtiene con facilidad. Sin embargo, es posible que otros modelos matemáticos de fenómenos físicos sean mucho más complejos y no se resuelvan con exactitud, o que requieran para su solución de técnicas matemáticas más sofisticadas que la simple álgebra. Para ilustrar un modelo más complicado de este tipo, se utiliza la segunda ley de Newton para determinar la velocidad final de la caída libre de un cuerpo que se encuentra cerca de la superficie de la Tierra. Nuestro cuerpo en caída libre será el de un paracaidista. (Figura 1)

(Figura 1) Un modelo para este caso se obtiene expresando la aceleración como la razón de cambio de la velocidad con respecto al tiempo (dv/dt), y sustituyendo en la ecuación (3). Se tiene entonces;

dv/dt = F/m

(4)

Donde v es la velocidad (m/s) y t es el tiempo (s). Así, la masa multiplicada por la razón de cambio de la velocidad es igual a la fuerza neta que actúa sobre el cuerpo. Si la fuerza neta es positiva, el cuerpo se acelerará. Si es negativa, el cuerpo se desacelerará. Si la fuerza neta es igual a cero, la velocidad del cuerpo permanecerá constante. Ahora expresemos la fuerza neta en términos de variables y parámetros mensurables. Para un cuerpo que cae a distancias cercanas a la Tierra (figura 1), la fuerza total está compuesta por dos fuerzas contrarias: la atracción hacia abajo debida a la gravedad FD y la fuerza hacia arriba debida a la resistencia del aire FU. F = FD + FU

(5)

Si a la fuerza hacia abajo se le asigna un signo positivo, se usa la segunda ley de Newton para expresar la fuerza debida a la gravedad como FD = mg

(6)

Donde g es la constante gravitacional, o la aceleración debida a la gravedad, que es aproximadamente igual a 9.8 m/s2. La resistencia del aire puede expresarse de varias maneras. Una forma sencilla consiste en suponer que es linealmente proporcional a la velocidad, y que actúa en dirección hacia arriba tal como

FU = –cv

(7)

Donde c es una constante de proporcionalidad llamada coeficiente de resistencia o arrastre (kg/s). Así, cuanto mayor sea la velocidad de caída, mayor será la fuerza hacia arriba debida a la resistencia del aire. El parámetro c toma en cuenta las propiedades del objeto que cae, tales como su forma o la aspereza de su superficie, que afectan la resistencia del aire. En este caso, c podría ser función del tipo de traje o de la orientación usada por el paracaidista durante la caída libre. La fuerza total es la diferencia entre las fuerzas hacia abajo y las fuerzas hacia arriba. Por lo tanto, combinando las ecuaciones (4) a (7), se obtiene

dv/dt = (mg – cv)/m

(8)

o simplificando el lado derecho de la igualdad, dv/dt = g – (c/m)v

(9)

La ecuación (9) es un modelo que relaciona la aceleración de un cuerpo que cae con las fuerzas que actúan sobre él. Se trata de una ecuación diferencial porque está escrita en términos de la razón de cambio diferencial (dv/dt) de la variable que nos interesa predecir. Sin embargo, en contraste con la solución de la segunda ley de Newton en la ecuación (3), la solución exacta de la ecuación (9) para la velocidad del paracaidista que cae no puede obtenerse mediante simples manipulaciones algebraicas. Siendo necesario emplear técnicas más avanzadas, del cálculo, para obtener una solución exacta o analítica. Por ejemplo, si inicialmente el paracaidista está en reposo (v = 0 en t = 0), se utiliza el cálculo integral para resolver la ecuación (9), así

𝑑𝑣 (𝑔−

𝑐 𝑣) 𝑚

𝑣(𝑡)

∫ 0 𝑠𝑖 𝑢 = (𝑔 −

𝑐𝑣 ) 𝑚

= 𝑑𝑡

(10)

𝑡 𝑑𝑣 = ∫ 𝑑𝑡 𝑐 0 (𝑔 − 𝑣) 𝑚

𝑑𝑢 = 𝑔 −

𝑐 𝑑𝑣 𝑚

𝑑𝑢 = −

𝑐 𝑑𝑣 𝑚

𝑑𝑣 = −

𝑐 𝑑𝑢 𝑚

∫

−

𝑐 𝑑𝑢 𝑚 𝑢

−

𝑚 𝑑𝑢 ∫ 𝑐 𝑢

−

𝑚 1 ∫ 𝑑𝑢 𝑐 𝑢

−

𝑚 ln 𝑢 𝑐

−

𝑚 𝑐𝑣 𝑣(𝑡) ln (𝑔 − )| 𝑐 𝑚 𝑣0 𝑣(𝑡) =

𝑐 𝑔𝑚 −( )𝑡 (1 − 𝑒 𝑚 ) 𝑐

Les dejo como ejercicio la solución de esta integral usando las técnicas de integración apropiadas

Deben llegar a la siguiente expresión:

𝑣 (𝑡) =

𝑔𝑚 𝑐

(1 − 𝑒

𝑐 𝑚

−( )𝑡

)

(11)

Note que la ecuación (11) es un ejemplo de la forma general de la ecuación (1), donde v(t) es la variable dependiente, t es la variable independiente, c y m son parámetros, y g es la función de fuerza.

Solución analítica del problema del paracaidista que cae Planteamiento del problema. Un paracaidista con una masa de 68.1 kg salta de un globo aerostático fijo. Aplique la ecuación (11) para calcular la velocidad antes de que se abra el paracaídas. Considere que el coeficiente de resistencia es igual a 12.5 kg/s. Solución. Sustituya los valores de los parámetros en la ecuación (11)

𝑘𝑔

12,5 𝑚 𝑠𝑒𝑔 −( )𝑡 9,8 × 68,1𝑘𝑔 2 68,1𝑘𝑔 𝑠𝑒𝑔 𝑣(𝑡) = (1 − 𝑒 ) 𝑘𝑔 12,5 𝑠𝑒𝑔 Que sirve para calcular la velocidad del paracaidista a diferentes tiempos, Elabore la tabulación

t 0 2 4 6 8 10 12 Representación gráfica (figura 3)

v (m/s) 0 16,405 27,769 35,642 41,095 44,873 47,490

De acuerdo con el modelo: 

Después de 10 segundos que velocidad se alcanza La velocidad que alcanza despues de los 10 segundos es 44,873 m/seg



Cuál es la velocidad límite (para un tiempo suficientemente grande) La velocidad límite es 53,390 m/seg la cual es alcanzada cuando a transcurrido un minuto despues de iniciar



Esta velocidad será constante? (Cómo se puede justificar?) La velocidad es constante despues de transcurrir un minuto por que llega a su límite de velocidad, por lo tanto la aceleración es constante y la velocidad también

A la ecuación (11) se le llama solución analítica o exacta ya que satisface con exactitud la ecuación diferencial original. Por desgracia, hay muchos modelos

matemáticos que no pueden resolverse con exactitud. En muchos de estos casos, la única alternativa consiste en desarrollar una solución numérica que se aproxime a la solución exacta.

Como ya se mencionó, los métodos numéricos son aquellos en los que se reformula el problema matemático para lograr resolverlo mediante operaciones aritméticas. Esto puede ilustrarse para el caso de la segunda ley de Newton, observando que a la razón de cambio de la velocidad con respecto al tiempo se puede aproximar mediante (figura 4):

(12) donde Δv y Δt son diferencias en la velocidad y en el tiempo, respectivamente, calculadas sobre intervalos finitos, v(ti) es la velocidad en el tiempo inicial ti, y v(ti+1)

es la velocidad algún tiempo más tarde ti + l. Observe que dv/dt ≅ Δv/Δt es aproximado porque Δt es finito. Recordando los cursos de cálculo tenemos que 𝑑𝑣 ∆𝑣 = lim 𝑑𝑡 ∆𝑡→0 ∆𝑡 La ecuación (12) representa el proceso inverso. A la ecuación (12) se le denomina una aproximación en diferencia finita dividida de la derivada en el tiempo ti. Sustituyendo en la ecuación (9), tenemos: 𝑣(𝑡𝑖+1 ) − 𝑣(𝑡𝑖 ) 𝑐 = 𝑔 − 𝑣(𝑡𝑖 ) 𝑡𝑖∓1 − 𝑡𝑖 𝑚 Despejando (reordenando) obtenemos:

𝑣(𝑡𝑖+1) = 𝑣 ( 𝑡𝑖 ) + [𝑔 −

𝑐 𝑚

𝑣(𝑡𝑖) ] (𝑡𝑖+1) − 𝑡𝑖 )

(13)

Note que el término entre corchetes es el lado derecho de la propia ecuación diferencial [ecuación (9)]. Es decir, este término nos da un medio para calcular la razón de cambio o la pendiente de v. Así, la ecuación diferencial se ha transformado en una ecuación que puede utilizarse para determinar algebraicamente la velocidad en ti+1, usando la pendiente y los valores anteriores de v y t. Si se da un valor inicial para la velocidad en algún tiempo ti, es posible calcular con facilidad la velocidad en un tiempo posterior ti+1. Este nuevo valor de la velocidad en ti+1 sirve para calcular la velocidad en ti+2 y así sucesivamente. Es decir, a cualquier tiempo, valor nuevo = valor anterior + pendiente × tamaño del paso Observe que esta aproximación formalmente se conoce como método de Euler. Solución numérica al problema de la caída de un paracaidista Planteamiento del problema. Realice el mismo cálculo que en el ejemplo 1.1, pero usando la ecuación (13) para obtener la velocidad. Emplee un tamaño de paso de 2 s para el cálculo.

Solución. Al empezar con los cálculos (ti = 0), la velocidad del paracaidista es igual a cero. Con esta información y los valores de los parámetros del caso analítico , se utiliza la ecuación (13) para calcular la velocidad en ti+l = 2 s: Ahora construya la tabla y su respectivo gráfico

t 0 2 4 6 8 10

v (m/s) (ana) 0,000 19,600 29,983 37,175 42,157 45,609

Debido a que se emplean segmentos de rectas para aproximar una función que es una curva continua, hay algunas diferencias entre los dos resultados. Una forma de reducir estas diferencias consiste en usar un tamaño de paso menor. Por ejemplo, si se aplica la ecuación (13) con intervalos de 1 s, se obtendría un error menor, ya que los segmentos de recta estarían un poco más cerca de la verdadera solución. Con los cálculos manuales, el esfuerzo asociado al usar incrementos cada vez más pequeños haría poco prácticas tales soluciones numéricas. No obstante, con la ayuda de una computadora personal es posible efectuar fácilmente un gran número de cálculos; por lo tanto, se puede modelar con más exactitud la velocidad del paracaidista que cae, sin tener que resolver la ecuación diferencial en forma analítica.

Ahora construya un gráfico donde aprezcan ambas soluciones y se precise la velocidad límite.

UTILIZANDO EXCEL

Excel es una hoja de cálculo producida por Microsoft Inc. Las hojas de cálculo son un tipo especial de software para matemáticas que permite al usuario ingresar y realizar cálculos en renglones y columnas de datos. Como tales, son una versión computarizada de una gran hoja de contabilidad en la que se lleva a cabo una gran cantidad de cálculos interrelacionados. Puesto que cuando se modifica un valor de la hoja, hay que actualizar todos los cálculos, las hojas de cálculo son ideales para hacer análisis del tipo “¿y qué pasa si...?” Excel cuenta con varios recursos numéricos interconstruidos como resolución de ecuaciones, ajuste de curvas y optimización. Incluye también VBA como un lenguaje de macro que sirve para hacer cálculos numéricos. Por último, tiene varias herramientas para la visualización como diagramas y gráficas tridimensionales, que son un valioso complemento para el análisis numérico. En esta sección mostraremos cómo se utilizan estos recursos en la solución del problema del paracaidista. Para ello, construimos primero una hoja de cálculo sencilla. Como se ve abajo, el primer paso consiste en colocar números y letras o palabras en las celdas de la hoja de cálculo. Voy a trabajar en Office 2010

Antes de escribir un programa de macro para calcular el valor numérico, podemos facilitar el trabajo consecuente dando nombres a los valores de los parámetros. Para esto, seleccione las celdas A3:B5 (la manera más fácil de hacerlo es mover el ratón hasta A3, mantener oprimido el botón izquierdo del ratón y arrastrarlo hasta B5).

Selección de las celdas

Vamos a Fórmulas y luego a crear desde la selección y se despliega el siguiente cuadro de dialogo “crear nombres a partir de la selección”. Noten que está marcado columna izquierda (que es lo que queremos) y le damos aceptar.

Para verificar que todo haya funcionado correctamente, seleccione la celda B3 y verifique que aparezca la etiqueta “m” en la casilla del nombre (casilla que se encuentra en el lado izquierdo de la hoja, justo debajo de las barras del menú).

Muévase hasta la celda C8 e introduzca la solución analítica (ecuación 9),

=9.8*m/cd*(1-exp(-cd/m*A8)) Al introducir esta fórmula debe aparecer el valor 0 en la celda C8.

Después copie la fórmula a la celda C9 para obtener 16.405 m/s.

Se le da el formato adecuado a la celda