1. Material 1era. Semana Identid.-r.t(x+y) (1).pdf

“Año del diálogo y de la reconciliación nacional” “Decenio de la Igualdad de Oportunidades para mujeres y hombres”

SESIÓN DE APRENDIZAJE N° 01- I U

 IDENTIDADES PITAGÓRICAS

.

Sen2   Cos 2   1 1  t g2   Sec 2 

Desempeño(s) específico(s): Usa un modelo basado en identidades trigonométricas al plantear o resolver un problema real o simulado combinando y adaptando estrategias, recursos y procedimientos más convenientes. Expresa identidades trigonométricas de un ángulo agudo en razón al círculo trigonométrico. Expresa diseños de construcción geométrica que reproducen relaciones entre identidades y razones trigonométricas. Calcula términos trigonométricos para que cumplan una identidad en diferentes contextos. Calcula el valor de razones trigonométricas de ángulos no conocidos mediante las identidades de la suma y diferencia de arcos.

Indicador(es):  Usa las identidades trigonométricas básicas para demostrar otras identidades y simplificar sus expresiones.  Justifica a través de procedimientos deductivos identid. Trigonométricas de ángulos compuestos.

TEMA: IDENTIDADES TRIGONOMÉTRICAS

DEFINICIÓN: Son igualdades entre razones trigonométricas que se va a verificar para todo valor admitido por la variable (x).

1  Ct g2   Csc 2 

IDENTIDADES AUXILIARES * * * * *

Sen 4x + Cos 4x = 1 – 2Sen 2x.Cos 2x Sen 6x + Cos 6x = 1 – 3Sen 2x.Cos 2x tgx + Ctgx = Secx.Cscx Sec 2x + Csc 2x = Sec 2x.Csc 2x (1 + Senx + Cosx) 2 =2(1+Senx)(1+ Cosx)

APLICACIONES 1. Demuestre que: (senx + cosx)2 - 1 = 2senx cosx En este caso; desarrollamos el primer miembro: sen2x + 2senx cosx + cos2x – 1 = 2senx cosx 1 1 + 2senx cosx - 1 = 2senx cosx reduciendo: 2senx cosx = 2senx cosx 2. Reducir: P = (tgx cosx)2 + (ctgx senx)2 Para reducir expresiones, generalmente se recomienda colocar toda la expresión en términos de senos y cosenos; así: 2

2

 senx   cos x  P . cos x    . senx   cos x   senx 

IDENTIDADES FUNDAMENTALES Las identidades trigonométricas fundamentales sirven de base para la demostración de otras identidades más complejas.

 IDENTIDADES POR COCIENTE t g 

Ct g 

Sen Cos 

P = sen2x + cos2x  P = 1 3. Si: tgx + ctgx = 3; hallar: E = tg2x + ctg2x En este problema condicional; tomaremos primero el dato: tgx + ctgx = 3  (tgx + ctgx)2 = 32 tg2x + 2tgx ctgx + ctg2x = 9 tg2x+2 ctg2x = 9 1+tg2x + ctg2x = 7  E = 7

Cos  Sen

APLICAMOS LO APRENDIDO  IDENTIDADES RECÍPROCAS

01. Reducir:

M Sen.Csc   1

Cos .Sec   1 Tg.Ct g  1

4TO. GRADO – MATEMÁTICA

senx 1  cos x  1  cos x senx

a) 0 d) 4

b) 2 e) 1

c) 1/4

1

“Año del diálogo y de la reconciliación nacional”

02. Hallar el valor de M en: (tgx .cscx)2 - 1 = 2M.tg2x a)1 d)1/2

10. Si: tgx + ctgx = 3; calcular: E = tg3x + ctg3x

b)0 e)1/3

c)-1 a)1 d)7

03. Reducir: L = (Sec w + Tg w).Cosw -1

b)18 e)9

c)5

11. Si: 2Senx+3Cosx = 13 Halle: Cscx

a)1 d)tgw

b)Senw e)ctgw

c)Cosw a)

04. Reducir: Cos  1 + Sen  H +  2 Sec  1 + Sen  Cos  a)1 d)0

d)5 11 4

b)senθ e)-1

c)cosθ

B) 2 E) 1

C) 1/4

b)0 e)Tanx

b)3 e)9

c)5

es una identidad, calcular: a 2  b2 - d b)7 e)6

09. Si: Senx + Cosx = 2 . Hallar: H= Sen4x + Cos4x a)1 b)0,5 d)-0,5 e)0,3

b)2 e) secx cscx

1- a - b

b)

c)3

2-a -b

c) 3 - a - b

e) 5  a  b

d) 4  a  b

a) b2 - a2 = 4 d) a – b2 = 2

08. Sabiendo que la siguiente igualdad: 2Sen 2x + 3Sen 4x = a + bCos 2x + dCos 4x -1

a)13 d)9

tg 2 x  ctg 2 x  2 tg 2 x  ctg 2 x  1  tgx  ctgx  2 tgx  ctgx  1

14. Eliminar “x” a partir de: Tgx = a + Ctgx bSenxCosx = 1

07. Siendo: tgx = 2cscx - ctgx; Calcular: E = tg2x + 3csc2x a)1 d)7

c)3 7 4

13. Si: sen2x – tan2x = a................1 cos2x – ctg2x = b................2 Calcule: M = tanx + cotx a)

c)Secx

13 13

e)4 15 7

a)1 d)secx

06. Reducir: N = cos4x - sen4x - cos2x + sen2x a)1 d)Cotx

b)2

12. Reducir:

P

05. Si se cumple: Sen3x . Cosx + Senx . Cos3x = 1/4 Calcular: Tgx + Ctgx A) 1/2 D) 4

13 2

c)8

15. Si Secx+tanx = 5 Calcule: Cosx a)5/12 d)7/13

DOCENTES: Manrique Henry, Celestino Aldo, Garay Eladio

b)5/13 e)1

c)7/12

b) 1/9 e) 5/9

c) 7/9

16. Si: Tgx + Ctgx = 3 Calcular: F = Sen4x + Cos4x a) 1/3 d) 2/3

c)-1

b) b2 – a2 = 2 c) b2 + a2 = 4 e) a2 – b2 =4

“Año del diálogo y de la reconciliación nacional”

TEMA: RAZONES TRIGONOMÉTRICAS DE ÁNGULOS COMPUESTOS R.T.(A  B) Son los ángulos expresados como una suma o diferencia de dos o más ángulos. En este capítulo interesa conocer lo desarrollo de las razones trigonométricas de la suma o diferencia de ángulos, así: sen (A  B) = senA.cos B  cosA.senB

Cos 16° = Cos 53° Cos 37° + Sen 53° Sen37° Cos 16° =

24 3 4  4  3            Cos 1 6   25 5  5   5 4 

C. Calcular Tg8° Tg8° = Tg(45° – 37°) Tg8° =

Tg 4 5   Tg 3 7   1  Tg 4 5  Tg 3 7 

3 1 4  Tg 8   7 3  1  1   4  1

En general:

cos (A  B)= cosA.cos B  senA.senB tg (A  B) =

tg A  tg B 1  tg A . tg B

75° 4

6 2

15°

PROPIEDADES 6+

I.

 a 2  b 2  a sen x  b cos x 

a 2  b2

Es decir: (a sen x + b cos x)máx =

2

75° 1 5 °

a b 2

6 2

6+ 2

2

1

(a sen x + b cos x)mín =  a 2  b 2

75°

15°

2 3

2+ 3

Para lo cual es necesario que a, b  0; x  R Ejemplo: E = 3senx + 4cosx -5  3senx + 4cosx  5

4

74° 25

7

II. tg x  tg y  tg x. tg y. tg (x  y) = tg (x  y) Ejemplo: tg12º + tg14º + tg12º tg14º tg26º = tgx + tg2x + tgx tg2x tg3x =

16° 24

82°

III. Si: A + B + C = 180°K; (K  Z)  tg A + tg B + tg C = tg A . tg B . tg C

1

5 2

8°

IV. Si: x + y + z = (2K + 1) 90°; (K  Z)  cot x + cot y + cot z = cot x . cot y . cot z

sen (  ) V. Tg   tg  = cos  . cos  EJEMPLOS:

A. Calcular Sen 75° Sen 75° = Sen(45° + 30°) desarrollando Sen 75° = Sen 45° Cos 30° + Cos 45° Sen 30°  2  3   2  1  6 2          Sen75   2 2 2 2 4      

Sen75°= 

B. Calcular Cos 16°

DOCENTES: Manrique Henry, Celestino Aldo, Garay Eladio

7

APLICAMOS LO APRENDIDO 01. Simplificar: Cos 3 x Cos 2 x + Sen 3 x Sen 2 x 1 A = + 2 Secx Csc x A) 1 D) -1/2

B) -1 E) 2

02. Reducir: A = Cos80° + 2Sen70°.Sen10°

C) 1/2

“Año del diálogo y de la reconciliación nacional”

A) 1/7 D) 1/3

B) 1/6 E) 1/2

C) 1/5

03. Calcular: M = Tg40º + Tg5º + Tg40º.Tg5º A) 1 D) -2

B) -1 E) 1/2

A) 1,5 D) 2,5

B) -1 E) -4/3

C) -2

09. Calcule la variación de: W= 2Sen(60º+x) + Senx C) 2



a)  3; 3







b)  1;2



d)  2;2

e) - 5; 5





c) - 7 ; 7

04. Si: Tg(a + b) = 4 y Tg(a - b) = 3. Hallar: Tg2b A) 1/11 D) 1/14

B) 1/12 E) 1/15

C) 1/13

05. En un triángulo ABC, se cumple que: Cos(A - B) = 2SenA.SenB luego, el triángulo es: A) escaleno D) rectángulo

B) isósceles E) N. A.

10. Calcular el valor de: A = Sen50º - 2Cos40º . Sen10º A) 1/2 D) 1/5

B) 1/3 E) 1/6

C) 1/4

11. Calcular: Tgθ

C) equilátero

06. Del gráfico, hallar “Tgα”

A) 2 D) 1/3

B) 1/2 E) 1/4

C) 3

12. Al simplificar la expresión: 1 Ctg(A - B) Tg(A+ B) 1Ctg(A - B)

Tg(A+ B) +

A) 2/5 D) 3/7

B) 2/7 E) 2/3

C) 5/14

se obtiene:

07. Calcular el valor de: G = (1 + Tg32°) (1 + Tg13°) A) 1 D) 4

B) 2 E) 5

K

C) 3

08. En la figura se tiene que ABCD es un cuadrado.. Calcule Tgθ.

A)Tg2A D)TgB

B)Tg2B E)Ctg2A

C)TgA

13. Calcular el valor de: W = Csc20º [ A) -1 D)

2 Sen65º - Cos20º] B) -1/2

2 /2

C) 1/2

E) 1

14. Calcular: A = Tg40° + Tg20° +

A) 3 D)

DOCENTES: Manrique Henry, Celestino Aldo, Garay Eladio

B)

2

E) 1

3 Tg40° . Tg20° 3

C) 2



“Año del diálogo y de la reconciliación nacional”

A) -2 D) 1

15. Si: Tgα = 0,6, calcular “x”

B) -1 E) 2

C) 0

07. Reducir: 1  Senx 1  Cosx Tgx Ctgx    M= Cscx Secx Secx Cscx A) -1 D) Senx

B) 0 E) Cosx

C) 1

08. Reducir: A) 1 D) 4

B) 2 E) 5

C) 3

G=

Sen4 x(1 + Sen2 x) + Cos 4 x(1 + Cos 2 x) - 2 Sen4 x(1 - Sen2 x) + Cos 4 x(1 - Cos 2 x)

A) 1 D) 5 PROBLEMAS PARA PRACTICAR 01. Reducir: H = Senx(Cscx + Senx) – Cosx(Secx – Cosx) A) 0 D) 1

B) -1 E) 2

C) -2

02. Simplifique: G=

B) -Ctgx E) 1

C) Tgx

03. Simplifique:  Cosx - Senx K =   1- Tgx

2

  Senx  Cosx        1  Ctgx 

A) 0 D) Sen2x

B) 1 E) Cos2x

C) 2

B) Tg2x E) Ctg3x

1  Senx - Cosx 

2

A) 0 D) 3

1  Senx

E

C) a

Cscx  Senx Secx  Cosx

A) a3 D) a-1

A) 0 D) -1

B) 1 E) -2

A) 16 D) 19

B) 17 E) 20

C) 18

C) Tg3x

1- Senx  Cosx 

2



B) 14 E) 20

C) 16

13. Simplificar: Sen5  Cos2 – Sen2  Cos5 

Cos7  Cos4   Sen7  Sen4 

1  Senx

B) 1 E) 4

A) 12 D) 18

C) 2

A) Tg3 D) Tg2

B)Ctg3 E)Sen6

06. Simplifique la expresión: W=

C) 2

12. Sabiendo que: 4SenxCosx – 1= 0 Calcular: M = Tg2x + Ctg2x

05. Simplifique: T=

B) a-3 E) 1

09. Si: Senx = aCosx Obtener:

11. Si: Secx + Tgx = 4 Calcular: E = 15Ctgx + 17Cosx

2

04. Simplifique: Tgx .Cscx - Cosx F= Ctgx .Secx - Senx A) Tgx D) Ctgx

C) -5

10. Siendo: Csc2x = Cscx + 1 Calcular: E = Ctg2x(Ctgx + 1)(Ctgx – 1)

Tgx  Ctgx Senx  Secx 1  Cosx

A) -Tgx D) Ctgx

B) -1 E) -1/5

Tgx  Cscx 2  Ctgx

 Secx 

2

Secx  Cscx

DOCENTES: Manrique Henry, Celestino Aldo, Garay Eladio

15. Reducir:

2 Cos  60º –x  – 3 Senx

C)Ctg2

“Año del diálogo y de la reconciliación nacional”

A) Senx D) 2 Senx

B) Cosx C)2Cosx E) 2(Senx+Cosx)

16. Reduzca

B) cos80º E) 2sen40º

Sen(x  y) Cosx.Cosy



D)3

C) 2sen80º

C) 3

E)N. A.

A)–2

B)–1

D)1

E)2

C)0

23. Si: Cscx + Ctgx = 2, calcular el valor de “Ctgx”

Sen(y  z) Sen(z  x)  Cosy.Cosz Cosz.Cosx

A) 3 D) 8

B)1

M = Tg19°.Tg26°+ Tg19°+ Tg26°

17. Siendo: Tg x + Tg y + Tg z = 4 Calcular: C

3 /3

22. Hallar el valor de la expresión:

M  3 cos 20º  sen 20º A) sen80º D) 2cos80º

A)

B) 4 E) 12

A) 0,5 D) 1,25

B) 0,75 E) 1,5

C) 1

C) 6

18. Del gráfico, calcular el máximo valor de: "tgθ"

24. Si: Cscx – Senx = a Secx – Cosx = 2a. Calcular: Tgx A) 4 2 4

D) 3

B) 3 2

C) 2

3

E) 3

25. Dada la figura, hallar Tgx

a 2 (a  b )a

A)

a 2 ab

B)

D)

b 2 (a  b )a

E) a - b

C)

a 2 (a  b ) b

19. Hallar el valor de Tgθ A) 11/16 D) -16/7

B) -2/3 E) -16/11

C) 4

Referencias Bibliográficas: 

A) 1/2 D) 3

B) 2 E) 1/4

C) 1/3

 

20. Calcular el valor de:

H

Tg 70º - Tg 20º Tg 50 º

 

A) 1/3 D) 2

B) 1/2 E) 3

C) 1  

21. Si: A - B = 30°, calcular el valor de: M = 3 (TgA - TgB) - TgA . TgB

DOCENTES: Manrique Henry, Celestino Aldo, Garay Eladio

Buchanan L., Fenson J., Kemp E., La Rondie P. & Stevens J. (2015). Matemáticas Nivel Medio. Reino Unido: Oxford University Press. Robert B., Mackenzie S.(2004). Mathematics Higher Level for IB Diploma. Reino Unido: Oxford University Press. Silva, Juan. (2008). Fundamentos de matemática: Algebra, trigonometría, geometría analítica y cálculo. 7ª ed. México DF: Limusa Stewart,J., Redlin, L. & Watson,S. (2012). Precálculo. Matemáticas para el cálculo.Mexico: Cengage Learning. Ynfanzon,A.(2005). Trigonometría _ In Advance. Lima : Impecus. Santillana. (2005). Matemática 4º de secundaria. Lima : Santillana. Sullivan, M. (2006). Álgebra y Trigonometría. México: Pearson Educación.