1. Kolokvij_teorija.docx

1. Opće pretpostavke i osnovni elementi proračuna Otpornost materijala unosi pretpostavke o strukturi i ponašanju materijala, kao i karakteru deformacija: a) Pretpostavka o neprekinutosti materijala: pretpostavimo da tvar ima svojstva neprekinute sredine, tj. da jednoliko i bez šupljina ispunjava volumen tijela. Posljedično, sve funkcije koje opisuju ponašanje materijala su neprekinute, tako da se može primijeniti pojam granične vrijednosti (limesa) b) Pretpostavka o elastičnom ponašanju materijala: pod djelovanjem vanjskih sila, tijelo se deformira, tj. mijenja svoj oblik i volumen. Ako tijelo nakon rasterećenja u potpunosti zauzme svoj prvobitni oblik, kažemo da je idealno elastično. Ako deformacije, izazvane vanjskim silama, ne iščeznu potpuno nakon rasterećenja, kažemo da je tijelo elasto-plastično. Preostale deformacije nazivaju se trajnim ili plastičnim. Realno tijelo možemo smatrati potpuno elastičnim samo do granice opterećenja koja se naziva granica elastičnosti, a određuje se eksperimentalno. c) Materijal je homogen i izotropan: homogen je ako su mu fizikalno-mehanička svojstva u svim točkama jednaka (nehomogen ako se mijenjaju od točke do točke). Izotropan je ako su mu fizikalno-mehanička svojstva u svim smjerovima jednaka (u suprotnom, anizotropan) d) Pretpostavka o malim deformacijama: deformacije su relativno male u odnosu na dimenzije tijela – jednadžbe ravnoteže postavljaju se na „kruto“ nedefinirano tijelo, tj. deformacije se smatraju toliko malim da se mogu zanemariti promjene u rasporedu vanjskih sila zbog pojedinih dijelova tijela. e) Pretpostavka o ravnim presjecima: tijekom djelovanja vanjskih sila, poprečni presjek štapa ostaje ravan i okomit na uzdužnu os štapa (Bernoulijeva hipoteza – ravni presjeci izvedeni u mislima prije deformacija ostaju ravni i nakon deformacije) 2. Analiza naprezanja 2.1. Pojam naprezanja i komponente naprezanja Ako s vanjskim opterećenjem djelujemo na tijelo, čestice unutar tijela će se razmaknuti te će se u tijelu aktivirati unutarnja sila koja se odupire deformaciji tijela. Ta sila je naprezanje. Naprezanje je aktivirana unutarnja sila u tijelu koja se odupire tendenciji deformiranja tijela. Naprezanje može biti normalno i posmično. Normalno djeluje u smjeru normale, izaziva ga uzdužna sila i moment savijanja. Ako sila razmiče čestice, naprezanje je vlačno, ako ih primiče, naprezanje je tlačno. Kod posmičnog naprezanja dolazi do klizanja čestica. Izaziva ga poprečna sila i moment torzije. Stanje naprezanja uvijek određujemo u točki tijela. Pretpostavimo da oko te točke možemo izdvojiti elementarnu površinu ∆A na koju djeluju unutarnje sile koje možemo reducirati u tu točku na glavni vektor ⃗⃗⃗ (kvocijent momenta i površine teži nuli pa ga zanemarujemo). Kvocijent sile i Δ𝐹⃗ i glavni moment Δ𝑀 površine naziva se srednjim naprezanjem na elementu površine ∆A i glasI: 𝜌⃗𝑛 𝑠𝑟 =

Δ𝐹⃗ Δ𝐴

(vektor srednjeg

naprezanja u točki) Ako se površina elementa ∆A stalno smanjuje zadržavajući u sebi promatranu točku, onda graničnu vrijednost 𝜌⃗𝑛 lim

∆𝐹⃗

Δ𝐴→0 ∆𝐴

nazivamo totalnim naprezanjem u točki tj, vektorom ukupnog naprezanja u točki. On

se može rastaviti na dvije komponente: u smjeru normale (normalno naprezanje) σn i u smjeru tangente (posmično naprezanje) τn tako da je |𝜌⃗𝑛 |2 = 𝜎𝑛2 + 𝜏𝑛2 pri čemu su normalne i posmične komponente naprezanja veličine koje za pobliže označavanje imaju dva indeksa (prvi označuje smjer normale ravnine na koju djeluje ta komponenta, a drugi smjer same komponente naprezanja; kod posmičnog naprezanja indeksi su različiti)

1

Do izraza za vektor ukupnog naprezanja u točki dolazi se:

Stanje naprezanja u točki napregnutoga tijela potpuno je određeno sa devet komponenata naprezanja koje djeluju u tri uzajamno okomite ravnine, a možemo ih prikazati u obliku kvadratne matrice koju nazivamo tenzorom naprezanja gdje elementi jednog retka predstavljaju komponente naprezanja u jednoj ravnini. 𝜎𝑥𝑥 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑥𝑧 [𝜎𝑖𝑗 ] = [𝜏𝑦𝑥 𝜎𝑦𝑦 𝜏𝑦𝑧 ] 𝜏𝑧𝑥 𝜏𝑧𝑦 𝜎𝑧𝑧 Ako vektori ukupnog naprezanja kroz danu točku oblikuju prostorni snop, govorimo o prostornom stanju naprezanja. Ako vektori leže u jednoj ravnini govorimo o linijskom stanju naprezanja, a ako su svi ti vektori kolinearni, radi se o linijskom stanju naprezanja (skica) 2.2. Diferencijalne jednadžbe ravnoteže Iz tijela koje je u stanju ravnoteže izrezan je beskonačno mali paralelopiped veličine dx, dy, dz. U općem slučaju komponente naprezanja su neprekinute funkcije pa na usporednim pobočkama paralelopipeda ne djeluju komponente naprezanja jednake veličine (nehomogeno stanje tijela), već su te komponente različite, a razlike se mogu izraziti na način diferencijalnih prirasta na razmacima dx, dy i dz. Pretpostavljamo da postoje volumenske sile s komponentama Fx, Fy i Fz. Za promatrani paralelopiped mora biti zadovoljeno šest jednadđbi ravnoteže: Σ𝐹𝑥 = 0, Σ𝐹𝑦 = 0, Σ𝐹𝑧 = 0, Σ𝑀𝑥 = 0, Σ𝑀𝑦 = 0, Σ𝑀𝑧 = 0. Na osnovi jednadžbe Σ𝐹𝑥 = 0 dobit ćemo: 𝛿𝜏 𝛿𝜎𝑥 𝑑𝑥) 𝑑𝑦𝑑𝑧 − 𝜎𝑥 𝑑𝑦𝑑𝑧 + (𝜏𝑦𝑥 + 𝑦𝑥 𝑑𝑦) 𝑑𝑥𝑑𝑧 − 𝛿𝑥 𝛿𝑦 𝛿𝜏𝑧𝑥 𝜏𝑦𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑧 + (𝜏𝑧𝑥 + 𝛿𝑧 𝑑𝑧) 𝑑𝑥𝑑𝑦 − 𝜏𝑧𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑦 + 𝐹𝑥 𝑑𝑥𝑑𝑦𝑑𝑧 =

(𝜎𝑥 +

0

Slične jednadžbe dobivamo i za druga dva smjera. Nakon sređivanja izraza dobivamo: 𝛿𝜎𝑥 𝛿𝜏𝑦𝑥 𝛿𝜏𝑧𝑥 + + + 𝐹𝑥 = 0 𝛿𝑥 𝛿𝑦 𝛿𝑧 𝛿𝜏𝑥𝑦 𝛿𝜎𝑦 𝛿𝜏𝑧𝑦 + + + 𝐹𝑦 = 0 𝛿𝑥 𝛿𝑦 𝛿𝑧 𝛿𝜏𝑥𝑧 𝛿𝜏𝑦𝑧 𝛿𝜎𝑧 + + + 𝐹𝑧 = 0 𝛿𝑥 𝛿𝑦 𝛿𝑧

2

Kako bi odredili jednadžbe momenata, kroz težište paralelopipeda postavimo os z0 koja je usporedna s osi z. Moment u odnosu na os z0 davat će samo posmične komponente naprezanja okomite na otu os. Iz uvjeta ravnoteže da je Σ𝑀𝑧0 = 0 mozemo zaključiti da je 𝜏𝑥𝑦 = 𝜏𝑦𝑥 i analogno 𝜏𝑖𝑗 = 𝜏𝑗𝑖 (𝑗 ≠ 𝑖, 𝑖, 𝑗 = 𝑥, 𝑦, 𝑧). Te jednadžbe izražavaju zakon o uzajamnosti posmičnih naprezanja koji glasI: posmična naprezanja u dvjema međusobno okomitim ravninama su jednaka i usmjerena prema njihovoj presječnici ili od nje. Budući da su posmične komponente s jednakim indeksima jednake, matrica tenzora je simetrični tenzor drugog reda i ima šest različitih komponenata naprezanja te ima oblik: 𝜎𝑥 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑥𝑧 𝜏 [𝜎𝑖𝑗 ] = [ 𝑥𝑦 𝜎𝑦 𝜏𝑦𝑧 ] 𝜏𝑥𝑧 𝜏𝑦𝑧 𝜎𝑧 2.3. Jednadžbe transformacija Naprezanje u promatranoj točki možemo odrediti pod bilo kojim kutem. Zamislimo neki kvadar koji presiječemo ravninom pod nekim kutem. Površina te kose stranice novog lika dana je izrazom 𝐴𝑛 = Tada je naprezanje u smjeru normale jednako 𝜎𝑛 = Naprezanje u smjeru tangente jednako je 𝜏𝑛𝑡 =

𝑉 𝐴𝑛

𝑵 𝑨𝒏

=

=

𝑃∙cos 𝜃 𝐴 cos 𝜃

−𝑃∙sin 𝜃 𝐴 cos 𝜃

𝐴 . 𝑐𝑜𝑠𝜃

𝑃 𝐴

= ∙ cos 2 𝜃 = 𝝈𝒙 ∙ 𝒄𝒐𝒔𝟐 𝜽 𝑃 𝐴

= − sin 𝜃 cos 𝜃 = −𝜎𝑥 sin 𝜃 cos 𝜃

Kada to premjestimo u ravninu, iz uvjeta ravnoteže dobivamo izraz: 𝜎𝑛 = 𝜎𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 + 𝜎𝑦 𝑠𝑖𝑛2 𝜃 + 2𝜏𝑥𝑦 sin 𝜃 cos 𝜃 𝜏𝑛𝑡 = −(𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 ) sin 𝜃 cos 𝜃 + 𝜏𝑥𝑦 (𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 − 𝑠𝑖𝑛2 𝜃) Ako u te izraze uvrstimo trigonometrijske zakonitosti sinusa i kosinusa, dobivamo: (𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 ) (𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 ) 𝜎𝑛 = + 𝑐𝑜𝑠2𝜃 + 𝜏𝑥𝑦 𝑠𝑖𝑛2𝜃 2 2 (𝜎𝑥 − 𝜎𝑦 ) 𝜏𝑛𝑡 = − 𝑠𝑖𝑛2𝜃 + 𝜏𝑥𝑦 𝑐𝑜𝑠2𝜃 2 2.4. Glavna naprezanja Glavna naprezanja djeluju u ravninama glavnih naprezanja (glavnim ravninama). Normalna naprezanja koja djeluju na tim ravninama nazivaju se glavna normalna naprezanja. To su ekstremne vrijednosti normalnih naprezanja, označavaju se sa 𝜎1,2 ; 𝜎𝑚𝑎𝑥,𝑚𝑖𝑛 . Smjer glavnih normalnih 2𝜏𝑥𝑦

naprezanja određen je izrazom tan 2𝜃 = (𝜎

. Uvijek postoje dvije međusobno okomite glavne ravnine u

𝑥 −𝜎𝑦 )

kojima se pojavljuju ekstremne vrijednosti normalnih naprezanja, maksimalno i minimalno. U tim ravninama su posmična naprezanja jednaka nuli, a glavna naprezanja su dana izrazom: 𝜎1,2 =

(𝜎𝑥 +𝜎𝑦 ) 2

±

𝜎𝑥 −𝜎𝑦 2

√(

2

2 , pri čemu 𝜎 + 𝜎 = 𝜎 + 𝜎 ) + 𝜏𝑥𝑦 1 2 𝑥 𝑦

Glavna posmična naprezanja smještena su pod kutem 45° u odnosu na glavna normalna naprezanja. To su ekstremne vrijednosti posmičnih naprezanja, označene sa 𝜏1,2 ; 𝜏𝑚𝑎𝑥,𝑚𝑖𝑛 . Smjer im je određen izrazom tan 2𝜃 =

−(𝜎𝑥 −𝜎𝑦 ) 2𝜏𝑥𝑦

. Također, uvijek postoje dvije međusobno okomite ravnine u kojima se pojavljuju 1

ekstremne vrijednosti gdje su pripadajuća normalna naprezanja jednaka 𝜎𝑠 = 2 (𝜎1 + 𝜎2 ). Kada je 𝜎𝑠 = 0 → 𝜎1 = −𝜎2 govorimo o čistom posmiku jer se tada normalna naprezanja ne pojavljuju. 2.5. Mohrova kružnica Mohrova kružnica nam služi za grafičko određivanje naprezanja za linijsko i ravninsko stanje. (skica) 3

2.6. Sferni tenzor naprezanja i devijator naprezanja Stanje deformacija u danoj točki određeno je tenzorom naprezanja. 𝜎𝑥 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑥𝑧 [𝜎𝑖𝑗 ] = [𝜏𝑥𝑦 𝜎𝑦 𝜏𝑦𝑧 ] 𝜏𝑥𝑧 𝜏𝑦𝑧 𝜎𝑧 Tenzor naprezanja možemo prikazati kao zbroj dvaju tenzora: sferni tenzor naprezanja + devijator naprezanja 𝜎𝑥 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑥𝑧 𝜎𝑥 − 𝜎𝑠 𝜏𝑥𝑦 𝜏𝑥𝑧 𝜎𝑠 0 0 𝜏 𝜎 𝜏 𝜏 𝜎 − 𝜎 𝜏 𝜎𝑠 0 ] + [ 𝑥𝑦 𝑦 𝑦𝑧 ] = [ 0 𝑦 𝑠 𝑦𝑧 ] [ 𝑥𝑦 𝜏𝑥𝑧 𝜏𝑦𝑧 𝜎𝑧 𝜏𝑥𝑧 𝜏𝑦𝑧 𝜎𝑧 − 𝜎𝑠 0 0 𝜎𝑠 gdje je σs srednje normalno naprezanje, jednako trećini zbroja normalnih naprezanja u svim smjerovima: 1

𝜎𝑠 = 3 (𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 + 𝜎𝑧 ) Sferni tenzor naprezanja karakterizira promjenu volumena elementa bez promjene njegova oblika. Devijator naprezanja karakterizira promjenu oblika elementa bez promjene njegova volumena, odnosno, volumenska deformacija je jednaka nuli → posmična komponenta naprezanja (time i deformacije) nema utjecaja na promjenu volumena: (𝜎𝑥 − 𝜎𝑠 ) + (𝜎𝑦 − 𝜎𝑠 ) + (𝜎𝑧 + 𝜎𝑠 ) = 0 2.7. Veza između komponenata unutarnjih sila i komponenata naprezanja 3. Analiza deformacija 3.1. Pojam pomaka i deformacija Uslijed djelovanja vanjskih sila na tijelo, dolazi do pomaka ili deformacija. Kod pomaka nema promjene udaljenosti među točkama u tijelu i pomak može biti translacija ili rotacija ili oboje.

Do deformacije dolazi ako spriječimo pomake pri čemu dođe do promjene udaljenosti dvaju točaka.

Stanje deformacija u točki određeno je skupom svih relativnih normalnih deformacija (𝜀𝑥 , 𝜀𝑦 , 𝜀𝑧 ) i relativnih 1

posmičnih deformacija (𝛾𝑥𝑦 , 𝛾𝑦𝑧 , 𝛾𝑥𝑧 ), gdje je: 𝜀𝑖𝑗 = 2 𝛾𝑖𝑗 , 𝑖, 𝑗 = 𝑥, 𝑦, 𝑧 Točnije, određeno je tenzorom deformacija koji se može prikazati kao zbroj dvaju tenzora deformacija: sferni tenzor deformacija + devijator deformacija.

4

𝜀𝑥 [𝜀𝑥𝑦 𝜀𝑥𝑧

𝜀𝑥𝑧 𝜀𝑥 − 𝜀𝑠 𝜀𝑥𝑦 𝜀𝑥𝑧 𝜀𝑠 0 0 𝜀𝑦𝑧 ] = [ 0 𝜀𝑠 0 ] + [ 𝜀𝑥𝑦 𝜀𝑦 − 𝜀𝑠 𝜀𝑦𝑧 ] 𝜀𝑧 𝜀𝑥𝑧 𝜀𝑦𝑧 𝜀𝑧 − 𝜀𝑠 0 0 𝜀𝑠 Sferni tenzor deformacija karakterizira promjenu volumena elementa bez promjene njegova oblika. Devijator deformacija karakterizira promjenu oblika elementa bez promjene njegovog volumena: 𝜀𝑉 = (𝜀𝑥 − 𝜀𝑠 ) + (𝜀𝑦 − 𝜀𝑠 ) + (𝜀𝑧 + 𝜀𝑠 ) = 0 Ako su u svim točkama napregnutog tijela i za sve međusobno paralelne pravce dužinske i kutne deformacije međusobno jednake, deformaciju nazivamo homogenom. To stanje deformacija određeno je tenzorom deformacija (analog. tenzor naprezanja) 3.2. Komponente deformacija Ako promatramo tijelo u prostoru, aproksimiramo ga paralelopipedom. Uslijed deformiranja tijela, paralelopiped će se pomaknuti i deformirati. Promatrajući neku točku, sa u označimo pomak te točke u smjeru osi x, sa v pomak točke u smjeru osi y i sa w u smjeru osi z. Tada će izrazi za normalne deformacije ∆𝑢

𝜀𝑥𝑦 𝜀𝑦 𝜀𝑦𝑧

∆𝑣

imati izraze: 𝜀𝑥 = ∆𝑥 , 𝜀𝑦 = ∆𝑦 , 𝜀𝑧 =

∆𝑤 . ∆𝑧

∆𝑣

Izrazi za posmične deformacije glasit će: 𝛾𝑥𝑦 = ∆𝑥 +

∆𝑢 𝑦

= 𝛾𝑦𝑥

3.3. Deformacije u zadanom smjeru Deformaciju u zadanom smjeru dobit ćemo ako promatrano tijelo presiječemo ravninom i odredimo mu točku u kojoj povučemo tangentu i normalu. Tada će iz uvjeta ravnoteže dobijemo izraze za normalnu i posmičnu deformaciju : 𝜀𝑛 = 𝜀𝑥 𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 + 𝜀𝑦 𝑠𝑖𝑛2 𝜃 + 2𝛾𝑥𝑦 sin 𝜃 cos 𝜃 𝛾𝑛𝑡 = −(𝜀𝑥 − 𝜀𝑦 ) sin 𝜃 cos 𝜃 + 𝛾𝑥𝑦 (𝑐𝑜𝑠 2 𝜃 − 𝑠𝑖𝑛2 𝜃) 3.4. Smjerovi i veličine glavnih deformacija Glavne deformacije imaju isti smjer kao i glavna naprezanja – djeluju u glavnim ravninama. Glavne normalne deformacije su ekstremne vrijednosti normalnih deformacija. Uvijek postoje dvije međusobno okomite ravnine u kojima se pojavljuju glavne normalne deformacije (minimalna i maksimalna). U tim ravninama posmične deformacije su jednake nuli, a glavne deformacije su dane izrazom: 𝜀1,2 = 𝜀𝑥 −𝜀𝑦 2

√(

2

2 , a smjer im je određen izrazom: tan 2𝜃 = ) + 𝛾𝑥𝑦 𝜀

𝛾𝑥𝑦 𝑥 −𝜀𝑦

(𝜀𝑥 +𝜀𝑦 ) 2

±

.

3.5. Ravninsko stanje deformacija Ako je promatrana točka napregnutoga tijela stalno u istoj ravnini, kažemo da je tijelo u ravninskome stanju deformacija. Ako promatramo ravninu xy, komponente pomaka su u i v. Stanje deformacija ovisi o 4 veličine 𝜀𝑥 𝜀𝑥𝑦 pa tenzor deformacija ima oblik: [𝜀𝑖𝑗 ] = [𝜀 𝜀𝑦 ]. 𝑥𝑦 Mohrova kružnica deformacija konstruira se kao i Mohrova kružnica naprezanja 3.6. Uvjeti neprekinutosti Ako su zadane komponente deformacija, određivanje polja pomaka svodi se na rješavanje sustava jednadžbi. Da bi taj sustav imao jednoznačno rješenje, 6 komponenata deformacija moraju ispunjavati uvjete neprekinutosti. Ako tijelo nakon deformacije ostane neprekinuto tada njegove deformacije jednoznačno određuju pomake svih njegovih točaka, odnosno susjedni dijelovi tijela se zajedno deformiraju.

5

4. Veze između naprezanja i deformacija 4.1. Eksperimetalni podaci o vezi između naprezanja i deformacija Naprezanja i deformacije su međusobno ovisni i vezani funkcionalnom vezom koja ima fizikalni karakter, ovisi o vrsti materijala i određuje se eksperimentalno: pokusom utvrđujemo vezu između naprezanja i deformacija u obliku dijagrama pri određenim uvjetima. Budući da se isti materijal ponaša različito pri različitim uvjetima, izvode se pokusi na rastezanje, pritisak, torziju i savijanje. Uz pretpostavku da se radi o neprekinutom, homogenom i izotropnom materijalu, na osnovi dobivenih eksperimentalnih podataka, definiraju se veze između naprezanja i deformacija ne samo za promatrani već i za opći slučaj naprezanja i deformacija. Pri statičkom opterećenju osnovni oblik ispitivanja je rastezanje jer se pri tom ispitivanju dobije najviše podataka o mehaničkim svojstvima materijala: uzorci materijala određenih dimenzija i oblika rastežu se uzdužnom silom F u stroju za ispitivanje (kidalici). Pri tom se mjeri veličina sile F i pripadajuće produljenje ∆l na mjerenoj dužini uzorka l0 te se prikazuju u obliku dijagrama rastezanja F-∆l. Oblik dijagrama ovisi o svojstvima ispitivanog materijala. Karakterističan oblik dijagrama: P – granica proporcionalnosti (krivulja prestaje biti linearna) E – granica elastičnosti (do te sile deformacije se vraćaju u početno stanje, a poslije dolazi do trajnog oštećenja) T – granica tečenja (dolazi do rasta deformacije bez prirasta sile, kritično stanje materijala) M – maksimalna sila (dolazi do suženja i potom do pada sile) L – lom materijala Pritom, tijelo ima veću deformaciju u uzdužnom smjeru. Mjerenjem ustanovimo da se uzorak u uzdužnom smjeru produlji za ∆l = l – l0 (apsolutna dužinska deformacija), a u poprečnom suzi za ∆d = d – d0 (apsolutna poprečna deformacija). Budući da do određene granice postoji homogeno stanje naprezanja i deformacija, relativna dužinska deformacija glasi: 𝜀 =

∆𝑙 , 𝑙0

odnosno, relativna poprečna deformacija: 𝜀𝑝 =

∆𝑑 𝑑0

Pokusima je dokazano da u području u kojem vrijedi Hookeov zakon, između relativne poprečne i relativne dužinske deformacije postoji konstantan odnos. Apsolutna vrijednost toga odnosa naziva se Poissonov koeficijent: 𝜈 =

𝜀𝑝 𝜀

. To je karakteristika materijala i kreće se uglavnom u intervalu 0 – 0.5

Iz dijagrama rastezanja F-∆l, vidi se da on karakterizira određeni materijal, ali u ovisnosti o dimenzijama uzorka. Ako bismo uzeli uzorak s drugim poprečnim presjekom ili druge duljine, dobili bismo drugi dijagram. Da bismo dobili dijagram koji karakterizira mehanička svojstva materijala neovisno o apsolutnim dimenzijama uzorka, dijagram rastezanja dobiven na kidalici u koordinatnom sustavu F-∆l transformira se u koordinatni sustav σ-ε, gdje je σ naprezanje, omjer sile i površine. Budući da su početna površina presjeka i njegova početna duljina konstantne veličine, dijagram naprezanja σ-ε imat će isti oblik kao i dijagram rastezanja F-∆l

6

σP – najveće naprezanje do kojega vrijedi linearna ovisnost između naprezanja i deformacija σE – najveće naprezanje do kojega se materijal ponaša elastično σT – naprezanje pri kojem deformacije rastu bez porasta opterećenja σM – vlačna (rastezna) čvrstoća materijala, naprezanje koje odgovara najvećem opterećenju koje uzorak može izdržati σL – naprezanje pri kojem dolazi do raskida uzorka L' – čvrstoća pri raskidu

4.2. Hookeov zakon, konstante elastičnosti materijala Iz prethodno objašnjenog σ-ε dijagrama, vidimo da je 𝑡𝑔 𝛼 =

𝜎 𝜀

= 𝐸, pri čemu je E modul elastičnosti

materijala (karakteristika materijala koja povezuje naprezanje i deformaciju materijala). Taj izraz i njegove transformacije predstavljaju Hookeov zakon za jednoosno stanje naprezanja i vrijede samo do granice proporcionalnosti σP - u području elastičnih deformacija gdje je naprezanje normalno. Tu linearnu vezu između naprezanja i deformacija prvi je formulirao Robert Hooke promatrajući ponašanje čeličnih opruga pod opterećenjem. Koeficijent proporcionalnosti E između naprezanja i deformacija naziva se (Youngov) modul elastičnosti. Na osnovi dijagrama τ-γ analogno se definira Hookeov zakon pri posmiku: 𝑡𝑔 𝛼 =

𝜏 𝛾

= 𝐺, pri čemu je G

modul posmika materijala (Coulombov modul, modul klizanja). G je omjer posmičnog naprezanja i relativne posmične deformacije. Pokusima je dokazano da u području u kojem vrijedi Hookeov zakon, između relativne poprečne i relativne dužinske deformacije postoji konstantan odnos. Apsolutna vrijednost toga odnosa naziva se Poissonov koeficijent: 𝜈 =

𝜀𝑝 𝜀

. To je karakteristika materijala i kreće se uglavnom u intervalu 0 – 0.5

Poissonov koeficijent, modul elastičnosti i modul posmika karakteriziraju elastična svojstva materijala u određenim uvjetima pa se nazivaju konstante elastičnosti materijala. Određuju se eksperimentalno, E i G imaju dimenzije naprezanja, a v je bezdimenzionalni koeficijent. 𝐸

Ovisnost između njih: 𝐺 = 2(1+𝜈). 4.3. Zakon superpozicije Ako na tijelo djeluju istovremeno dva ili više opterećenja, stanje naprezanja (deformacija i pomaka) jednako je zbroju dvaju ili više stanja naprezanja izazvano tim opterećenjima Zakon vrijedi ako vrijede pretpostavke u znanosti o otpornosti materijala (promatramo elastično, homogeno i izotropno tijelo te pretpostavljamo da su deformacije male i da između opterećenja, naprezanja i pomaka postoji linearna ovisnost). Zakon također ne vrijedi ako jedno opterećenje utječe na stanje naprezanja, deformacija i pomaka drugog opterećenja (sile moraju biti nezavisne) Dakle, pomak točke A određen je kao zbroj pojedinačnih pomaka zbog djelovanja nezavisnih sila. Ako promijenimo redoslijed opterećenja ukupni pomak ostaje isti 𝑢𝐴 = 𝑘1 𝐹1 + 𝑘2 𝐹2

7

4.4. Saint Venantov princip U presjecima štapa koji su dovoljno udaljeni od mjesta u kojem djeluje opterećenje, naprezanja i deformacije su raspodijeljene jednoliko po cijeloj površini presjeka. Dakle, ako se jedno opterećenje zamijeni drugim, statičkim ekvivalentnim opterećenjem, raspodjela naprezanja i deformacija je različita na relativno malim dijelovima elastičnog tijela, u pravilu u blizini mjesta djelovanja sile. No, na dijelovima koji su dovoljno udaljeni od mjesta na kojima djeluje opterećenje, razlika je mala tako da se praktički može zanemariti. 4.5. Hookeov zakon za prostorno stanje naprezanja Izvod: 

Naprezanje 𝜎𝑥 izaziva uzdužnu deformaciju 𝜀𝑥 = 𝜎 −𝜈 𝐸𝑥

𝜎𝑦

𝜎𝑦

𝜎𝑥 𝐸

i poprečne deformacije 𝜀𝑦 = −𝜈𝜀𝑥 = −𝜈

𝜎𝑥 , 𝜀𝑧 𝐸

=

𝜎𝑦



Naprezanje 𝜎𝑦 izaziva: 𝜀𝑦 =



Naprezanje 𝜎𝑧 izaziva: 𝜀𝑧 =



Ukupne deformacije u glavnim smjerovima dobivamo zbrajanjem: 1 𝜀𝑥 = [𝜎𝑥 − 𝜈(𝜎𝑦 + 𝜎𝑧 )] 𝐸 1 𝜀𝑦 = [𝜎𝑦 − 𝜈(𝜎𝑥 + 𝜎𝑧 )] 𝐸 1 𝜀𝑧 = [𝜎𝑧 − 𝜈(𝜎𝑥 + 𝜎𝑦 )] 𝐸 Izrazi se mogu transformirati ovisno o tome koju veličinu tražimo (deformacija ili naprezanje) budući da

, 𝜀𝑥 = −𝜈

𝐸 𝜎𝑧 , 𝜀𝑥 𝐸

= −𝜈

, 𝜀𝑧 = −𝜈

𝐸 𝜎𝑧 , 𝜀𝑦 𝐸

= −𝜈

𝐸 𝜎𝑧 𝐸

𝜎

je 𝐸 = 𝜀 . Također imamo i izraze za posmično naprezanje koji glase: 𝜀𝑥𝑦 =

1+𝜈 𝜏𝑥𝑦 , 𝜀𝑦𝑧 𝐸

=

1+𝜈 𝜏𝑦𝑧 , 𝜀𝑥𝑧 𝐸

=

1+𝜈 𝜏𝑥𝑧 𝐸

4.6. Hookeov zakon za ravninsko stanje naprezanja Izvod: 

Naprezanje 𝜎𝑥 izaziva uzdužnu deformaciju 𝜀𝑥 = 𝜎 −𝜈 𝐸𝑥

𝜎𝑦

𝜎𝑦

𝜎𝑥 𝐸

i poprečne deformacije 𝜀𝑦 = −𝜈𝜀𝑥 = −𝜈

Naprezanje 𝜎𝑦 izaziva: 𝜀𝑦 =



Ukupne deformacije u glavnim smjerovima dobijemo zbrajanjem: 1 𝜀𝑥 = [𝜎𝑥 − 𝜈𝜎𝑦 ] 𝐸 1 𝜀𝑦 = [𝜎𝑦 − 𝜈𝜎𝑥 ] 𝐸 −𝜈 𝜀𝑧 = [𝜎 + 𝜎𝑦 ] 𝐸 𝑥

, 𝜀𝑥 = −𝜈

𝐸

, 𝜀𝑧 = −𝜈

=

𝜎𝑦



𝐸

𝜎𝑥 , 𝜀𝑧 𝐸

𝐸

Izrazi se mogu transformirati ovisno o tome koju veličinu tražimo (deformacija ili naprezanje) budući da 𝜎

je 𝐸 = 𝜀 . Također imamo i izraz za posmično naprezanje koji glasi: 𝜀𝑥𝑦 =

1+𝜈 𝜏𝑥𝑦 𝐸

4.7. Hookeov zakon za ravninsko stanje deformacija Izvod i izrazi su isti kao za ravninsko stanje naprezanja

8

5. Dopušteno naprezanje i koeficijenti sigurnosti Pri dimenzioniranju elementa konstrukcije, mora biti ispunjen uvjet da je maksimalno naprezanje manje ili jednako dopuštenom naprezanju (𝜎𝑚𝑎𝑥 ≤ 𝜎𝑑𝑜𝑝 ). Dopušteno naprezanje je unaprijed određena vrijednost naprezanja kod koje smo sigurni da konstrukcija ne može doći u stanje loma ili pojave stalnih deformacija. Razlikujemo krhke i duktilne (elastoplastične) materijale. Kod duktilnih je deformacija uočljiva prije raskida, dok je kod krhkih mala ili je uopće nema. Kritično naprezanje σK kod krhkih materijala odgovara čvrstoći materijala (lomno naprezanje) σM, odnosno granici tečenja σT kod duktilnih materijala. Za krhke materijale dopušteno naprezanje dano je izrazom 𝜎𝑑𝑜𝑝 =

𝜎𝑀 , 𝑘

a duktilne 𝜎𝑑𝑜𝑝 =

𝜎𝑇 , 𝑘

pri čemu je k 𝜎𝑘

koeficijent sigurnosti koji je uvijek veći od jedan, a najčešće je u granicama 2-10 i dan je izrazom 𝑘 = 𝜎

𝑑𝑜𝑝

6. Opći princip rješavanju problema u nauci o Otpornosti materijala Pristup rješavanju problema u znanosti o otpornosti materijala nazivamo klasičnom metodom: - Usvojimo potrebne pretpostavke, u ovisnosti o karakteru promatranog problema i postavljenih zahtjeva, a u pogledu točnosti rezultata. - Provodimo statičku analizu problema i postavljamo statičke jednadžbe (jednadžbe ravnoteže vanjskih i unutarnjih sila koje djeluju na pojedine dijelove promatranog tijela) - Provodimo geometrijsku analizu problema i postavljamo geometrijske jednadžbe (jednadžbe izražavaju vezu između deformacija i pomaka pojedinih dijelova tijela) - Postavimo fizikalne jednadžbe (jednadžbe izražavaju vezu između naprezanja i deformacija u pojedinim dijelovima tijela) - Riješimo sustav geometrijskih, geometrijskih i fizikalnih jednadžbi te na osnovi dobivenih rezultata utvrđujemo stanje naprezanja i deformacija promatranog tijela. 7. Aksijalno opterećenje štapa 7.1. Rastezanje i pritisak ravnog štapa Kod aksijalno opterećenog štapa, vanjske sile svode se na sile usmjerene duž osi štapa. U poprečnom presjeku postoji uzdužna sila N, a sve ostale komponente unutarnjih sila jednake su nuli. Ako je u presjeku N usmjerena u smjeru vanjske normale (N > 0), štap je opterećen na rastezanje (vlak), a ako je u presjeku N usmjerena suprotno od smjera vanjske normale, (N < 0), štap je opterećen na pritisak (tlak). Dakle, rastezanje se od pritiska razlikuje samo po predznaku uzdužne sile N. Promatramo ravni štap duljine l, proizvoljnog, ali konstantnog, poprečnog presjeka koji je na jednom kraju upet, a na drugom kraju opterećen uzdužnom silom F koja djeluje u težištu poprečnog presjeka. Kako od unutarnjih sila imamo samo uzdužnu silu N, iz uvjeta ravnoteže ΣFx = 0, dobivamo da je: ∫ 𝜎𝑥 𝑑𝐴 = 𝑁 = 𝐹 𝐴

Vidimo da je uzdužna sila N duž osi štapa konstantna i jednaka vanjskoj sili F. Pod djelovanjem sile F, štap se deformira. U procesu deformiranja štapa vrijedi hipoteza ravnih presjeka (poprečni presjeci štapa ostaju ravni i okomiti na os štapa), tako da je relativna deformacija uzdužnih vlakana u poprečnom presjeku a-a: εxx=konst. Prema Hookeovom zakonu, za linijsko stanje naprezanja vrijedi: 𝜎𝑥𝑥 = 𝜀𝑥𝑥 𝐸 Ako taj izraz uvrstimo u gornji integral, dobit ćemo: ∫ 𝐸𝜀𝑥𝑥 𝑑𝐴 = 𝑁 = 𝐹 → 𝐸𝜀𝑥𝑥 ∫ 𝑑𝐴 = 𝐸𝜀𝑥𝑥 𝐴 = 𝑁 = 𝐹 𝐴

𝐴

9

Primjenom izraza 𝜎𝑥𝑥 = 𝜀𝑥𝑥 𝐸 dobivamo: 𝜎𝑥 𝐴 = 𝑁 = 𝐹, Odakle je naprezanje jednako kvocijentu sile i površine: 𝜎𝑥 =

𝑁 𝐴

𝐹

= 𝐴 → jednolika raspodjela normalnih

naprezanja (uz primjenu St Venatovog principa). 𝑑𝑢

Pomak točke A u presjeku a-a je relativna dužinska deformacija u toj točki: 𝜀𝑥𝑥 = 𝑑𝑥

Transformacijom tog izraza dobijemo izraz za prirast pomaka: 𝑑𝑢 = 𝜀𝑥𝑥 𝑑𝑥 Primjenom transformiranog izraza za linijsko stanje naprezanja 𝜎𝑥𝑥 = 𝜀𝑥𝑥 𝐸 dobivamo: 𝜎𝑥 𝑁 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 → 𝑑𝑢 = 𝑑𝑥 𝐸 𝐴𝐸 𝑁 𝑁𝑥 Integriranjem izraza dobivamo: 𝑢 = ∫ 𝐴𝐸 𝑑𝑥 + 𝐶 → 𝑢 = 𝐴𝐸 + 𝐶 Konstantu C određujemo iz rubnih uvjeta. Za x=0 i u=0 slijedi da je C=0, a za x=l i u=∆l. dobivamo da je ukupno produljenje štapa, odnosno njegova apsolutna deformacija: ∆𝑙 =

𝑁𝑙 𝐴𝐸

Taj izraz predstavlja Hookeov zakon za rastezanje ravnog štapa, pri čemu je umožak AE aksijalna krutost. Pri dimenzioniranju štapa, moraju biti ispunjeni uvjet čvrstoće: 𝜎𝑚𝑎𝑥 ≤ 𝜎𝑑𝑜𝑝 i uvjet krutosti: ∆𝑙𝑚𝑎𝑥 ≤ ∆𝑙𝑑𝑜𝑝 7.2. Utjecaj vlastite težine Vlastita težina materijala je volumenska sila koja je rasprostranjena po čitavom volumenu tijela i razmjerna je masi tijela. Promotrimo ravni štap konstantnog poprečnog presjeka A i duljine l koji je na gornjem kraju obješen i opterećen vlastitom težinom. Specifična težina materijala je γ, a modul elastičnosti materijala E. Ako štap presječemo ravninom a-a i promatramo ravnotežu donjeg dijela štapa duljine l-x, dobit ćemo da je u presjeku a-a uzdužna sila jednaka: 𝑁 = 𝛾𝐴(𝑙 − 𝑥), odakle dobivamo da je naprezanje jednako: 𝜎𝑥 =

𝑁 𝐴

= 𝛾(𝑙 −

𝑥). Najveće naprezanje pojavljuje se u gornjem upetom presjeku pa iz uvjeta 𝜎𝑥 𝑚𝑎𝑥 = 𝛾𝑙 ≤ 𝜎𝑑𝑜𝑝 možemo dobiti dopuštenu duljinu štapa: 𝑙𝑑𝑜𝑝 ≤

𝜎𝑑𝑜𝑝 𝛾

. A iz uvjeta 𝜎𝑥 𝑚𝑎𝑥 = 𝛾𝑙 = 𝜎𝐾𝑅 dobivamo kritičnu duljinu

štapa 𝑙𝐾𝑅 =

𝜎𝐾𝑅 𝛾

kod koje dolazi do prekida štapa pod utjecajem vlastite

težine. Pomoću Hookeovog zakona 𝜀𝑥𝑥 =

𝜎𝑥 𝐸

𝛾

= 𝐸 (𝑙 − 𝑥) odakle je 𝑁 = 𝛾𝐴(𝑙 − 𝑥) dobivamo izraz za pomak: 𝑢 =

𝑁

𝛾𝐴(𝑙−𝑥) 𝑑𝑥 + 𝐶. Konstantu C određujemo iz rubnih uvjeta: za x=0, u=0 i konstanta C=0. A za 𝐴𝐸 𝛾𝑙 3 x=l i u=umax, Δ𝑙 = 𝑢𝑚𝑎𝑥 = 2𝐸 . Uz činjenicu da je težina štapa 𝐺 = 𝛾𝐴𝑙 dobivamo produljenje uslijed 𝐺𝑙 djelovanja vlastite težine: Δ𝑙 = 2𝐴𝐸 (produljenje štapa zbog vlastite težine je dva puta manje nego kad na

∫ 𝐴𝐸 𝑑𝑥 + 𝐶 = ∫

štap djeluje koncentrirano opterećenje na slobodnom kraju. Promatramo slučaj kada na štap djeluje istodobno i sila F na slobodnom kraju. U presjeku a-a-a uzdužna je sila: 𝑁 = 𝐹 + 𝐺 = 𝐹 + 𝛾𝐴(𝑙 − 𝑥), a naprezanje: 𝜎𝑥 =

𝑁 𝐴

𝐹

= 𝐴 + 𝛾(𝑙 −

𝑥). Najveće naprezanje pojavljuje se u gornjem presjeku za x=0: 𝐹 𝐴

𝐹 𝐴

𝜎𝑥 𝑚𝑎𝑥 = + 𝛾𝑙. Iz uvjeta da je: 𝜎𝑥 𝑚𝑎𝑥 = + 𝛾𝑙 ≤ 𝜎𝑑𝑜𝑝 dobivamo: 𝐴≥ 𝐹𝑙 𝐴𝐸

𝐹 . 𝜎𝑑𝑜𝑝 −𝛾𝑙

Produljenje uslijed djelovanja uzdužne sile ima izraz: Δ𝑙 =

pa je maksimalno produljenje štapa jednako zbroju: Δ𝑙𝑚𝑎𝑥 =

𝑢𝑚𝑎𝑥 = Δ𝑙𝐹 + Δ𝑙𝐺 =

𝐹𝑙 𝐴𝐸

+

𝐺𝑙 2𝐴𝐸

10

7.3. Štap jednake čvrstoće na rastezanje i pritisak U štapu konstantna presjeka naprezanje se mijenja po duljini štapa po linearnom zakonu. Najveće se naprezanje javlja u opasnom presjeku na mjestu uklještenja štapa. Pri dimenzioniranju štapa to je naprezanje jednako dopuštenom, dok u drugim presjecima naprezanja ostaju manja od dopuštenih (materijal nije iskorišten u potpunosti). Materijal bi bio bolje iskorišten kada bi se presjek štapa smanjivao prema slobodnome kraju štapa – tada bi u svim presjecima bila ista naprezanja i jednaka dopuštenim naprezanjima. Takav štap nazivamo štapom jednake čvrstoće na rastezanje i pritisak. On se zbog skupe izrade jako rijetko ili nikad ne upotrebljava. Izraz za površinu poprečnog presjeka glasi: 𝐴𝑥 =

𝐹

𝑒

𝜎𝑑𝑜𝑝

𝛾𝑥 𝜎𝑑𝑜𝑝

, izraz

za vlastitu težinu tijela: 𝛾𝐿

𝐺 = 𝐹 (𝑒 𝜎𝑑𝑜𝑝 − 1), i izraz za ukupno produljenje štapa: Δ𝑙 =

𝜎𝑑𝑜𝑝 𝐸

𝑙0 , gdje je

l0 duljina štapa 7.4. Sastavljen štap Sastavljeni štap sastavljen je od nekoliko prizmatičnih dijelova različitih presjeka. Kod tog štapa, materijal je bolje iskorišten nego kod štapa konstantnog poprečnog presjeka, a slabije nego kod štapa jednake čvrstoće. Radi jednostavnije izvedbe i ekonomičnosti, često se upotrebljava u praksi. Izvodi se tako da su na kraju svakog prizmatičnog dijela naprezanja jednaka dopuštenim, a u svim ostalim presjecima manja od dopuštenih. Izraz za naprezanje računamo iz uvjeta i glasi: 𝜎𝑥 𝑚𝑎𝑥 =

𝐹 𝐴1

+ 𝛾𝑙1 ≤ 𝜎𝑑𝑜𝑝 . Ako je duljina svih

segmenata jednaka, izraz za površinu svakog segmenta sastavljenog štapa A glasi: 𝐴𝑛 ≥

𝐴0 (1−𝜎

𝐿𝛾 𝑑𝑜𝑝

𝑛

)

7.5. Plan pomaka Kod konstrukcija sastavljenih od štapova, gdje je dva ili više štapova zglobno povezano, ako vanjsko opterećenje djeluje u zglobovima, štapovi su aksijalno opterećeni i dolazi do produljenja ili skraćenja šapova (ovisno o vrsti naprezanja). Sile u štapovima možemo odrediti iz uvjeta ravnoteže, a produljenje štapova iz Hookeovog zakona. Deformacije i naprezanja do kojih dolazi računamo s unutarnjim silama. Pretpostavljamo da su deformacije štapova vrlo male u usporedbi s njihovom duljinom. Položaj zgloba C nakon deformacija štapova pada u sjecište lukova opisanih iz točaka A i B s polumjerima jednakim novim duljinama štapova AC' i BC''. Uz pretpostavku malih deformacija štapova, lukove možemo zamijeniti okomicama u točki C' i C'' na pravce AC i BC. Točka C1 sjecište je okomica i određuje novi položaj čvora C nakon deformacije sustava. Spojnica CC1 predstavlja pomak čvora C i označuje se sa δ. Ako horizontalnu komponentu tog pomaka δx označimo sa u, a vertikalnu kao δy=v, tada je pomak točke C jednak: 𝛿 = √𝛿𝑥2 + 𝛿𝑦2 = √𝑢2 + 𝑣 2 7.6. Potencijalna energija deformacije Opterećenje F je statično i povećava se postupno od nule do konačne vrijednosti i pri tom obavlja rad na putu koji odgovara pomaku težišta donjeg presjeka štapa. Sa λ označimo apsolutno produljenje štapa duljine l pod djelovanjem sile F. Povećamo li silu F za beskonačno malu veličinu dF, i λ će dobiti beskonačno mali prirast dλ. Na tom beskonačno malom prirastu produljenja dλ, sila F izvršila je elementarni rad: 𝑑𝑊 = 𝐹𝑑𝜆. Kako bi dobili ukupan rad na produljenju ∆l, integriramo izraz: ∆𝑙

𝑊 = ∫ 𝐹𝑑𝜆 0

11

Ako ukupni rad utrošen na raskid štapa podijelimo s volumenom štapa Al, dobivamo specifični rad raskida: ∆𝑙

𝜀

𝑊 𝐹 𝜆 𝑤= = ∫ ( ) 𝑑 ( ) = ∫ 𝜎𝑑𝜀 𝑉 𝐴 𝑙 0

0

U području elastičnih deformacija za koje vrijedi Hookeov zakon, rad izvršen pri postupnom povećanju sile F od 0 do konačne vrijednosti F iznosi: Δ𝑙

𝑊𝑒 = ∫ 𝐹1 𝑑𝜆 = 0

𝐹Δ𝑙 2

Jednak je površini trokuta u dijagramu F-∆l – do granice proporcionalnosti, krivulja je linearna (pravac). Pri ovakvoj deformaciji tijela promjene su temperature i kinetičke energije tijela neznatne pa se mogu zanemariti. Ukupni rad We se tada potpuno pretvara u potencijalnu energiju deformacije U (sposobnost proizvodnje mehaničkog rada) i može se pri rasterećenju štapa povratiti u istom obliku bez gubitaka. Tako je potencijalna energija deformacija akumulirana u štapu: 𝑈 = 𝑊𝑒 = 𝐹𝑙

Pomoću Hookeovog zakona u obliku Δ𝑙 = 𝐸𝐴 , odnosno 𝐹 =

Δ𝑙𝐸𝐴 𝑙

𝐹Δ𝑙 . 2

izraz za potencijalnu energiju deformacija U

možemo pisati u obliku: 𝐹2𝑙 Δl2 EA , 𝑜𝑑𝑛𝑜𝑠𝑛𝑜 𝑈 = 2𝐸𝐴 2𝑙 Dijeljenjem vrijednosti ukupne potencijalne energije deformacija U s volumenom deformiranog štapa V (pri čemu je V=Al), dobit ćemo specifičnu potencijalnu energiju deformacija: 𝑈 𝑈 𝑢= = 𝑉 𝐴𝑙 𝐹Δ𝑙 Uvrstimo izraz za potencijalnu energiju deformacije 𝑈 = 2 , dobijemo da je specifična potencijalna energija 𝑈=

deformacije jednaka: 𝑢=

𝐹Δ𝑙 𝜎𝜀 = 2𝐴𝑙 2

𝑢=

𝜎2 𝜀2𝐸 = 2𝐸 2

Budući da je 𝜎 = 𝜀𝐸, možemo pisati:

7.7. Statički neodređeni sistemi Uzdužne sile u štapovima određujemo metodom prereza iz uvjeta ravnoteže promatranog dijela konstrukcije. Ako je pri određivanju sila u pojedinim štapovima konstrukcije potrebno više jednadžbi nego što nam daju statički uvjeti ravnoteže, onda kažemo da je konstrukcija statički neodređena. Razlika između broja nepoznatih sila i broja nezavisnih jednadžbi ravnoteže određuje stupanj statičke neodređenosti konstrukcije n. o Statički određen sustav: broj nepoznatih sila (n1) jednak je broju statičkih uvjeta ravnoteže (n2). Nepoznate sile određujemo iz statičkih uvjeta ravnoteže o Statički neodređen sustav: broj nepoznatih sila (n1) veći je od broja statičkih uvjeta ravnoteže(n2). Nepoznate sile određujemo iz statičkih uvjeta ravnoteže uz dopunske uvjete deformacija Da bismo mogli riješiti n puta statički neodređen sistem moramo promatrati deformaciju konstrukcije i postaviti n dopunskih uvjeta deformacije: a) Postavimo jednadžbe ravnoteže za promatrane dijelove konstrukcije koji sadrže nepoznate sile. Zatim odredimo stupanj statičke neodređenosti sistema. b) Svodimo sistem na osnovni statički određeni sistem i radimo zamjenu nedostajućih ograničenja silama c) Utvrdimo vezu među deformacijama pojedinih dijelova konstrukcije i postavimo potreban broj jednadžbi kompatibilnosti deformacija, odnosno pomaka d) Pomoću Hookeovog zakona deformacije pojedinih dijelova izrazimo silama 12

e) Radimo proračun jednadžbi ravnoteže i jednadžbi kompatibilnosti Metode proračuna su: metoda sila (ako su nepoznate veličine sile) i metoda deformacija (ako su nepoznate veličine deformacije) 7.8. Toplinska naprezanja Uslijed djelovanja temperature dolazi do deformacije, pri čemu relativna deformacija ovisi o vrsti materijala i temperaturi (𝜀𝑡 = 𝛼𝑡 Δ𝑡, gdje je 𝛼𝑡 koeficijent linearnog toplinskog rastezanja), a apsolutno produljenje ovisi o vrsti materijala, temperaturi i početnoj duljini štapa (Δ𝑙𝑡 = 𝜀𝑡 𝑙 = 𝛼𝑡 𝑙Δ𝑡). Kod jednolike promjene temperature u izotropnom materijalu ne mijenjaju se kutevi između dužina nego nastaju dužinske deformacije jednake u svim smjerovima. Promjena temeprature uzrokuje deformacije koje mogu biti sa ili bez naprezanja.

Deformacije bez naprezanja su one kod kojih ne dolazi do pojave sile jer je širenje/skupljanje slobodno.

Ako je širenje spriječeno, tj. ako su deformacije podvrgnute ograničenjima, onda zbog promjene temperature u tijelu nastaju naprezanja koja nazivamo toplinskim naprezanjima. Iz prvog uvjeta ravnoteže tada zaključimo da je 𝐹𝐴 = 𝐹𝐵 = 𝐹, a iz drugog uvjeta ravnoteže zaključimo da je Δ𝑙𝑢𝑘𝑢𝑝𝑛𝑖 = 0, a kako je Δ𝑙𝑢𝑘𝑢𝑝𝑛𝑖 = Δ𝑙𝑡 − Δ𝑙𝐹 → ∆𝑙𝑡 = ∆𝑙𝐹 , gdje je ∆𝑙𝑡 = ∆𝑡𝑙𝛼𝑡 i Δ𝑙𝐹 =

𝑁𝑙 𝐴𝐸

7.9. Koncentracija naprezanja Kod konstantnog poprečnog presjeka raspodjela normalnih naprezanja po površini poprečnog presjeka je jednolika i to s dovoljnom točnošću vrijedi i za štap kod kojeg se poprečni presjek mijenja postupno. No, u okolici otvora, utora, naglih promjena poprečnog presjeka raspodjela naprezanja je nejednolika i maksimalno naprezanje može biti nekoliko puta veće od prosječnog. Ove pojave lokalnog povećanja naprezanja nazivaju se koncentracijom naprezanja. Stupanj koncentracije naprezanja definiran je faktorom koncentracije naprezanja αk kojeg određujemo metodama teorije elastičnosti ili eksperimentalnim metodama i on glasi: 𝛼𝑘 =

𝜎𝑚𝑎𝑥 , 𝜎𝑠

𝐹

gdje je 𝜎𝑠 = 𝐴 normalno (srednje) naprezanje po oslabljenom presjeku (An površina oslabljenog 𝑛

presjeka) Hidrodinamička analogija – na mjestima gdje imaju najveći otklon (max. brzina), je najveće

strujnice naprezanje

Uz pretpostavku da maksimalno naprezanje ne prelazi granicu proporcionalnosti σP, karakter koncentracije naprezanja jednak je za sve materijale. Ako maksimalno naprezanje prijeđe granicu proporcionalnosti, raspodjela naprezanja u oslabljenome presjeku ovisi o stvarnom dijagramu σ-ε 13

Plastični materijali: ako maksimalno naprezanje dosegne granicu tečenja, dolazi do tečenja materijala na mjestu maksimalnih naprezanja. Daljnji porast opterećenja štapa preuzimaju vlakna u poprečnom presjeku koja su napregnuta ispod granice tečenja, tako da se raspodjela naprezanja sve više približava jednolikoj. Granično će stanje nastupiti onda kad naprezanja u svim točkama oslabljenog presjeka dosegnu granicu tečenja: 𝐹𝑔𝑟 = 𝜎𝑇 𝐴𝑛 , a dopušteno opterećenje štapa je: 𝐹𝑑𝑜𝑝 = čvrstoće glasi: 𝐹 ≤ 𝐹𝑑𝑜𝑝 =

𝜎 𝐴𝑛 𝑇 𝐾

𝐹𝑔𝑟 𝐾

gdje je K koeficijent sigurnosti. Uvjet

= 𝐴𝑛 𝜎𝑑𝑜𝑝 . Utjecaj koncentracije naprezanja pri statičkom opterećenju se

može zanemariti. Pri dinamičkom opterećenju deformacije i naprezanje brzo se mijenjaju po vremenu pa ne dolazi do izravnavanja naprezanja u presjeku. Koncentracija naprezanja zadržava se do loma štapa. Pri proračunu štapa od plastičnog materijala izložena dinamičkom opterećenju treba uzeti u obzir utjecaj koncentracije naprezanja (ne može se zanemariti) Krhki materijali: raspodjela naprezanja zbog koncentracije naprezanja zadržava se na svim stadijima naprezanja i pri statičkom opterećenju (ne možemo zanemariti pojavu koncentracije naprezanja). Kad maksimalno naprezanje dosegne čvrstoću materijala, na mjestu maksimalnih naprezanja pojave se pukotine koje uzrokuju još veću koncentraciju naprezanja, što onda dovodi do širenja pukotina i loma štapa. Uvjet 𝐹

čvrstoće glasi: 𝜎𝑚𝑎𝑥 = 𝛼𝑘 𝐴 ≤ 𝜎𝑑𝑜𝑝 𝑛

14