08 - Equazioni Della Trave Elastica.pdf

Equazioni della trave rettilinea elastica lineare 0.1

Equazioni di equilibrio, congruenza e legame

Riprendiamo le equazioni di equilibrio dT + q (z) = 0 dz

dN + p (z) = 0 dz

dM + m (z) = T (z) dz

le equazioni di legame N = EAε

T = χGAγ

M = EJ

dϕ = EJκ dz

e le equazioni di congruenze ε=

dw dz

γ=

dv +ϕ dz

κ=

dvϕ2 dϕ =− 2 ds dz

Compendiamo l’equilibrio, la congruenza e il legame nelle seguenti tre equazioni differenziali d dw EA dz dz 

d GK dz 

d dϕ EJ dz dz 





+ p (z) = 0

dv +ϕ dz



+ q (z) = 0





+ m (z) = χGA

dv +ϕ dz



che per il caso in esame assumo l’analogo significato alle equazioni di Navier (equazioni di equilibrio in termini di variabili cinematiche con costanti coincidenti con le caratteristiche del materiale) che verranno dedotte per il continuo elastico lineare omogeneo isotropo. Affrontiamo lo studio di queste equazioni separando le variabili cinematiche e con opportune semplificazioni.

0.2

Analisi assiale

Consideriamo dapprima l’equazione differenziale che governa lo spostamento lungo l’asse della trave w. Dalle equazioni precedenti otteniamo w=w ε=

dw N dw = N = EA dz EA dz   d dw EA = −p (z) dz dz 1

Assumendo EA costante lungo la trave EA

d2 w = −p dz 2

Assumendo p = cost e integrando otteniamo p 2 z + C1 z + C2 2EA dove C1 e C2 dipendono dalle condizioni al contorno. Si osserva che w=−

N = EA

0.3

dw = −pz + EAC1 dz

Analisi flessionale

Prendiamo ora in esame lo spostamento ortogonale all’asse della trave v che viene comunemente indicato come flessione della trave. Se assumiamo di trascurare il contributo dello scorrimento a taglio (γ = 0) cioè v ≡ vϕ otteniamo le seguenti espressioni v=v d2 v dz 2

=−

dϕ M = −κ = − dz EJ "

EJ

d2 v = −M dz 2

#

d d2 v dM EJ 2 = − = −T + m dz dz dz "

#

d2 dm dm d2 v dT + = q (z) + EJ =− 2 2 dz dz dz dz dz Assumendo m = 0 e il prodotto EJ costante lungo la trave otteniamo v=v dv = −ϕ dz d2 v M =− dz 2 EJ

EJ

d2 v = −M dz 2

d3 v T =− dz 3 EJ

EJ

d3 v = −T dz 3

d4 v q (z) d4 v = EJ = q (z) dz 4 EJ dz 4 Il modello precedentemente descritto corrisponde al modello di trave inflessa di EuleroBernoulli. La determinazione della flessione della trave v = v(z), noti i carichi applicati, richiede l’integrazione di una equazione differenziale del quarto ordine. Necessitano quini quattro condizioni al contorno che dipendono dai vincoli; tale condizioni riguarderanno la funzione v e le sue derivate e quindi si potranno distinguere condizioni cinematiche e condizioni statiche. Noto lo spostamento v si potrà per derivazione successiva determinare le caratteristiche di sollecitazione T e M . Questo evidenzia che avendo introdotto l’equilibrio, la congruenza e il legame è possibile risolvere il problema strutturale di trave iperstatica. Qualora la trave sia isostatica è possibile dalle sole equazioni di equilibrio del corpo rigido determinare le reazioni vincolari e quindi le caratteristiche di sollecitazione e in particolare il momento flettente M = M (z). Noto il momento flettente è possibile determinare l’inflessione 2

0.4 Applicazione della equazione differenziale dello spostamento assiale della trave a partire dalla derivata seconda; in questo caso si dovranno due sole equazioni al contorno (solo condizioni cinematiche). Può destare perplessità la determinazione di spostamenti a partire dall’ipotesi di rigidità che ha permesso la determinazione delle reazioni vincolari e quindi del momento flettente. Questo è del tutto compatibile con l’ipotesi di spostamenti piccoli che permette appunto di scrivere le equazioni di equilibrio in configurazione C0 (e non nella configurazione C∗ , che peraltro non è nota). Gli spostamenti determinati successivamente non hanno, per ipotesi, influenza sulle reazioni vincolari. Si deve osservare che la conoscenza degli spostamenti elastici assume una notevole importanza non solo per la validazione a posteriori del modello ma anche dal punto di vista tecnico ove sia richiesto che gli stessi rispettino opportuni limiti. L’equazione del trave inflessa va imposta nei tratti di trave sottoposti al carico q = q(z) (eventualmente nullo). Nel caso di trave sottoposta a azioni concentrate e/o sistemi di travi con opportuni vincoli interni l’equazione dovrà essere imposta per ogni tratto coerente al modello di trave sottoposta al solo carico distribuito, dopodiché verranno imposte opportune condizioni, di raccordo fra i tratti, cinematiche (per i vincoli interni) e/o condizioni statiche (sulle caratteristiche di sollecitazione). Qualora si consideri non trascurabile l’effetto di γ si ha il modello di trave con deformazione a taglio di trave di Timoshenko. Assumendo EJ e χGA costanti lungo la trave e m = 0, in questo caso si ottiene EJκ = M EJ EJ

dϕ =M dz

d2 ϕ dM = =T 2 dz dz

EJ

d2 ϕ = χGAγ dz 2

d2 ϕ dv EJ 2 = χGA +ϕ dz dz 

Inoltre −q (z) =



dT dz

−q (z) = χGA

dγ dz

d2 v dϕ −q (z) = χGA + dz 2 dz

!

e utilizzando la precedente d3 ϕ = −q dz 3 Riassumendo otteniamo le seguenti due equazioni differenziali EJ

d3 ϕ EJ 3 = −q dz

0.4

d2 ϕ dv EJ 2 = χGA +ϕ dz dz 



Applicazione della equazione differenziale dello spostamento assiale

Consideriamo una trave rettilinea con cerniera in A e appoggio in B con un carico distribuito costante pari a p. La struttura è isostatica (Fig. 1 a)) quindi possiamo determinare la reazione 3

vincolare H(A) = −pL e la caratteristica di sollecitazione forza normale N = N (z) = pL − pz. Conoscendo N si può considerare la equazione differenziale ε=

dw N = dz EA

da cui 

w=

1 EA



p pLz − z 2 + C1 2



e imponendo le condizioni al contorno w(0) = 0 da cui C1 = 0 

w=

1 EA

p pLz − z 2 2





con w(L) = pL2 /(2EA)

Consideriamo la trave con cerniera in A e B (Fig. 1 b)). Il sistema è iperstatico assialmente e quindi attraverso le sole equazioni di equilibrio non è possibile determinare le reazioni vincolari e quindi le caratteristiche di sollecitazione. In questo caso possiamo utilizzare w=−

p 2 z + C1 z + C2 2EA

che ricordiamo si possono ottenere combinando all’equilibrio le equazioni di congruenza e le equazioni di legame. Considerando le condizioni al contorno (congruenza al contorno) wA = w (0) = 0

wB = w (L) = 0

le costanti sono C2 = 0

C1 =

pL 2EA

e quindi lo spostamento risulta w = w (z) = −

pL p 2 z + z 2EA 2EA

che rispetta le condizioni al contorno. La forza normale risulta N = EAε = EA

dw pL = −pz + dz 2

con pL N (0) = + 2

L 2

 

N

=0

N (L) = −

pL 2

Le reazioni vincolari risultano pL pL HB = − 2 2 Si osserva che considerando equilibrio, congruenza e legame abbiamo risolta il sistema iperstatico. HA = −

4

0.5 Applicazione della equazione differenziale della trave inflessa

0.5

Applicazione della equazione differenziale della trave inflessa

Supponiamo, senza perder di generalità che q sia constante, integrando l’equazione differenziale otteniamo  q  v 0000 =    EJ       q   v 000 = z + C1    EJ       00 q 2

v =

z + C1 z + C2

2EJ        q 3 C1 2   v0 = z + z + C2 z + C3    6EJ 2          v = q z 4 + C1 z 3 + C2 z 2 + C3 z + C4 24EJ

6

2

Consideriamo una trave con cerniera in A e appoggio in B con un carico distribuito costante pari a q (Fig. 2). Questo è il caso di un sistema isostatico per il quale è possibile determinare le reazioni vincolari HA = −qL/2 HB = −qL/2 e quindi le caratteristiche di sollecitazione. Dal momento flettente M =+

qL q z − z2 2 2

otteniamo la curvatura 1 κ= EJ



qL q + z − z2 2 2



Integrando l’equazione differenziale del secondo ordine otteniamo 1 v = −κ = EJ 00

1 v = −ϕ = EJ 0

1 v= EJ







q 2 qL z − z 2 2



q 3 qL 2 z − z + C1 6 4 

q 4 qL 3 z − z + C1 z + C2 24 12 

Dalle condizioni al contorno v(0) = 0 e v(L) = 0 otteniamo C2 = 0 1 v= EJ

C1 =

qL3 24EJ

q 4 qL 3 qL3 z − z + z 24 12 24

!

che rispetta le condizioni al contorno. Si ottiene inoltre il ben noto risultato L 2

 

v

=

qL4 EJ



1 1 1 − + 384 96 48



=

5

qL4 EJ



1−4+8 384



=

5 qL4 384 EJ

Consideriamo la trave doppiamente incastrata con un carico distribuito costante pari a q. La soluzione è riportata in Fig.3.

0.6

Trave sottoposta a variazioni termiche

Consideriamo che la trave sia sottoposta, oltre al carico distribuito q, a una variazione termica a farfalla, in questo caso si deve considerare che la curvatura è la somma dei contributi dovuti al momento flettente e alla variazione termica κ=

dϕ M 2α∆T = + dz EJ h

Quindi d2 v M 2α∆T = −κ = − − dz 2 EJ h e per successive derivazioni d3 v T =− dz 3 EJ q d4 v = 4 dz EJ Considerando q = cost e integrando otteniamo  q  v 0000 =    EJ        q T   v 000 = z + C1 = −    EJ EJ       q

v 00 =

z 2 + C1 z + C2 = −

M 2α∆T − EJ h

 2EJ        q 3 C1 2   v0 = z + z + C2 z + C3 = −ϕ    6EJ 2          v = q z 4 + C1 z 3 + C2 z 2 + C3 z + C4

24EJ 6 2 Si consideri una trave doppiamente incastrata sottoposta ad una variazione termica a farfalla, Fig. 4. Assumiamo q = 0, segue che il sistema assume la forma  0000 v =0          T   v 000 = C1 = −    EJ        00

v = C1 z + C2 = −

M 2α∆T − EJ h

       C1 2   v0 = z + C2 z + C3 = −ϕ    2          v = C1 z 3 + C2 z 2 + C3 z + C4

6

2

6

0.6 Trave sottoposta a variazioni termiche Dalle condizioni al contorno v(0) = 0, v 0 (0) = 0 e v(L) = 0, v 0 (L) = 0 otteniamo Cj = 0, j = 1, 2, 3, 4; quindi la trave non si inflette v(z) = 0, le derivate successive sono ovviamente nulle. In particolare nessuna sezione si inflette e ruota. Essendo la derivata terza nulla il taglio è nullo, con ciò le reazione verticali agli incastri sono nulle. Essendo la derivata seconda ovunque nulla, la trave è sottoposta a un momento flettente costante pari a 2α∆T EJ M =− h quindi i momenti di incastro sono pari a 2α∆T EJ 2α∆T EJ MB = − h h Non essendo applicati carichi lungo l’asse della trave l’applicazione dell’equazione differenziale per lo spostamento assiale fornisce w(z) = 0 e N (z) = 0; quindi le reazioni orizzontali agli incastri sono nulle. Il problema iperstatico (3 volte) risulta quindi completamente risolto. Si osserva che la variazione termica per la struttura isostatica provoca spostamenti con momento flettente nullo, nel caso esaminato gli spostamenti sono nulli ma la trave è sottoposta a momento flettente. MA = +

Se è applicata una variazione termica uniforme ∆T abbiamo la seguente equazione di legame dw N = + α∆T dz EA da cui, sempre utilizzando l’equazione di equilibrio, ε=

d2 w 1 dN p = =− 2 dz EA dz EA Per integrazioni successive, nell’ipotesi che di carico costante, fornisce  00 = − q  w   EA      

0 = − q z + C = N + α∆T w 1  EA EA  

     

q 2 z + C1 z + C2 2EA Nel caso in esame q = 0 e le condizioni al contorno w(0) = 0 e w(L) = 0 forniscono C1 = 0 e C2 = 0. Quindi w = w(z) = 0 (le sezioni non hanno spostamenti lungo l’asse) e ε = 0. La trave è comunque sottoposta a una forza normale N = α∆T EA, indipendente dalla lunghezza della trave. Si osserva che la variazione termica per la struttura isostatica provoca spostamenti con forza normale nulla, nel caso esaminato gli spostamenti sono nulli ma la trave è sottoposta a forza normale. Consideriamo una trave incastrata sottoposta alla sola variazione termica a farfalla (Fig. 5). La trave è isostatica e potrebbe essere affrontato a partire dalla derivata seconda. Affrontiamolo viceversa considerando a partire dalla equazione differenziale del quarto ordine. Otteniamo il sistema precedente ma con diverse condizioni al contorno. Da v(0) = 0, v 0 (0) = 0 otteniamo C4 = C3 = 0. Possiamo imporre la condizione di momento nullo all’estremo libero cioè M (L) = 0; dalla terza equazione del sistema otteniamo w == −

−

2α∆T M = C1 z + C2 + EJ h 7

2α∆T M = −EJ C1 z + C2 + h 



e quindi ! 2α∆T =0 h e quindi C1 = 0 Possiamo imporre la condizione di taglio nullo all’estremo libero da cui T (L) = 0; dalla seconda equazione C1 L + C2 +

T = −EJC1 e quindi C1 = 0 Sostituendo otteniamo C2 = −

2α∆T h

Otteniamo quindi 

v = v(z) =

C2 2 z = 2

− 2α∆T h

2α∆T M = M (z) = C2 + h

z2 = −

2

ϕ = ϕ (z) = −v 0 = 





α∆T 2 z h

2α∆T z h

2α∆T 2α∆T + = − h h 



≡0

T = T (z) ≡ 0 Gli spostamenti della trave sono negativi (verso l’alto) con spostamento massimo all’estremo libero pari a v(L) = −α∆T L2 /h; le rotazioni sono ovunque positive con andamento lineare in funzione di z con rotazione all’estremo libero ϕ(L) = 2α∆T L/h); il momento flettente e il taglio sono ovunque nulli così come ovviamente le reazioni vincolari all’incastro (struttura “isostatica” sottoposta a variazione termica). Si possono verificare i precedenti risultati utilizzando il teorema dei lavori virtuali.

0.7

Sistemi costituiti da più travi con vincoli interni

L’analisi precedentemente illustrata si ripete al caso di sistemi costituiti da più travi con vincoli interni e esterni. Per determinare le costanti di integrazione si applicheranno le condizioni statiche e cinematiche dei vincoli interni e esterni. Si rimanda per maggiore dettaglio agli esercizi.

8