06 Momentum Linear&impuls

MOMENTUM LINEAR DAN IMPLUS

Bab 6, MOMENTUM LINEAR DAN IMPULS

1

Setelah mempelajari bab ini mahasiswa mampu dan kompeten, mengenai :       

Pengertian tentang momentum Pengertian tentang impuls Gaya impulsif Perubahan momentum sama dengan impuls Tumbukan satu dimensi Tumbukan dua dimensi Hukum kekekalan momentum linear

Bab 6, MOMENTUM LINEAR DAN IMPULS

2

PENDAHULUAN Dua hal yang telah kita pelajari dalam memecahkan persoalan dinamika yaitu dengan konsep gaya dan konsep energi. Persoalan yang terlalu rumit jika dipecahkan dengan konsep gaya, dapat diselesaikan lebih mudah dengan konsep energi, karena kita hanya bekerja dalam besaran-besaran skalar. Dengan konsep energi, kerugiannya yaitu kita kehilangan informasi tentang arah. Diperkenalkan konsep tentang impuls sebagai perubahan momentum, karena impuls dan besaran momentum adalah besaran vektor, maka informasi tentang arah dapat dipertahankan. Bab 6, MOMENTUM LINEAR DAN IMPULS

3

HUKUM NEWTON DALAM BENTUK IMPULS DAN MOMENTUM Hukum II Newton, Dalam Bentuk Implus dan Momentum Telah diketahui rumusan hukum II Newton adalah

  dp d  F= = ( mv ) ; p = mv dt dt

Gaya turunan (diferensial) dari momentum.

Bab 6, MOMENTUM LINEAR DAN IMPULS

4

Dari Persamaan :

  dp F= → F.dt = dp dt

Jika diketahui gaya sebagai fungsi waktu, dapat dituliskan dalam bentuk integral p   ∫ F.dt = ∫ dp = p − p 0 = mv − mu t

0

p0

Keterangan : u = kecepatansebelumtumbukan v = kecepatansetelahtumbukan Bab 6, MOMENTUM LINEAR DAN IMPULS

5

Didefinisikan besaran Impuls, yaitu :

 t Ι = ∫ F.dt

[ N.dt ]

0

Dan ruas kanan dikenal momentum linear

p = mv

 m Kg dt 

Persamaan

 Ι = ∆p = p − p 0

(Besaran Vektor)

Ekivalen dengan usaha sama dengan perubahan energi (skalar)

W = ∆Ε Bab 6, MOMENTUM LINEAR DAN IMPULS

6

 Ι = ∆p

Kelebihan adalah persamaan vektor, jadi memiliki arah. Dalam komponen sumbu x, y, z, adalah :

 Ι = I x ˆi + I y ˆj + I z kˆ

Momentum sesudah tumbukan

p f = mv x ˆi + mv y ˆj + mv z kˆ Momentum sebelum tumbukan

p i = mu x ˆi + mu y ˆj + mu z kˆ Bab 6, MOMENTUM LINEAR DAN IMPULS

7

F

GAYA IMPULSIF

G aya Im p u ls if

Gaya impulsif

∆t

Gaya yang bekerja pada waktu singkat, dan berubah terhadap waktu, dan dapat mencapai harga yang besar sekali

non

t Bab 6, MOMENTUM LINEAR DAN IMPULS

8

Contoh (1) Bola “soft-ball” dilempar dengan kecepatan u = 10 ms-1 dalam arah sumbu x, kemudian setelah dipukul oleh gaya F bola berbelok arah pada arah sumbu y dengan kecepatan ν = 10 ms-1. Jika massa bola m = 200 gram, dan waktu tumbukan antara pemukul dan bola Δt = 0,1 detik, bersifat lenting Bab 6, MOMENTUM LINEAR DAN sempurna. Tentukan arah dan IMPULS

9

Penyelesaian (1)

Berdasarkan rumusan :

  ∆t ∆p = ∫ Fdt = F.∆t 0

Dalam dua dimensi (x, y) •arah x: mv x − mu x = Fx .∆t 0 − ( 0,2 ) (10) = Fx .(0,1) Fx = −20 N

sesudah d ip u k u l S e b e lu m d ip u k u l

F

benda berbelok arah setelah dipukul

•arah y : mv y − mu y = Fy .∆t

( 0,2) (10) − 0 = Fy .(0,1) Fy = +20 N Bab 6, MOMENTUM LINEAR DAN IMPULS

10

Lanjutan penyelesaian (1 Diperoleh rumusan berikut ini

 F = Fx ˆi + Fy ˆj = −20ˆi + 20ˆjN Besar F adalah

sesudah d ip u k u l S e b e lu m d ip u k u l

 F = Fx2 + Fy2 = 20 2 N

F

Sudut antara sumbu x (+) dan F adalah

Fy

20 α = arctan = arctan = 1350 Fx − 20 Bab 6, MOMENTUM LINEAR DAN IMPULS

11

HUKUM KEKEKALAN MOMENTUM LINEAR Jika tidak ada gaya eksternal (luar), atau resultan gaya luar sama dengan nol, maka

 dp = 0 atau p = konstan dt

Jadi momentum total sistem tetap, dikenal sebagai Hukum Kekekalan Momentum Linear, atau : Jumlah momentum sebelum tumbukan sama dengan Jumlah momentum sesudah tumbukan

∑p = ∑p i

i

f

f

Bab 6, MOMENTUM LINEAR DAN IMPULS

12

TUMBUKAN Dalam setiap proses tumbukan selalu berlaku hukum kekekalan momentum karena gaya-gaya yang bekerja bersifat implusif yang jauh lebih besar dari pada gaya-gaya luar. Jika dua buah benda (atau lebih) bertumbukan, dikenal 3 jenis tumbukan yakni : (a)Tunbukan lenting sempurna : e = 1 (b)Tumbukan lenting sebagian : 0<e<1 (c)Tumbukan tidak lenting sama sekali, e = 0 Dimana e = koefisien restifusi. Bab 6, MOMENTUM LINEAR DAN IMPULS

13

TUMBUKAN DALAM 1 DIMENSI Tumbukan satu dimensi jika terdapat dua benda (atau lebih) sebelum dan sesudah tumbukan berada dalam satu garis lurus. u1

m1

u2

m2

Dua benda bergerak sentral berlawanan arah, sebelum tumbukan

∑p = ∑m u i

i

i

i

= m1u1 + m 2 (−u 2 )

i

Tanda minus karena benda 2 bergerak kesebelah kiri. Energi Kinetik (K) sebelum tumbukan

1 1 1 2 2 2 Κ i = m i u i = m1u1 + m 2 ( − u 2 ) 2 2 2 Bab 6, MOMENTUM LINEAR DAN IMPULS

14

TUMBUKAN TIDAK LENTING SAMA SEKALI Kedua benda setelah bertumbukan bergerak bersama m1

m2

v1 = v2 = v

Berlaku hukum kekekalan momentum linear yaitu Jumlah momentum sebelum sama dengan sesudah tumbukan, dituliskan :

m1u1 − m 2 u 2 = m1v1 + m 2 v 2 = (m1 + m 2 ) v

m1u1 −m 2 u 2 v= ( m1 + m 2 ) Bab 6, MOMENTUM LINEAR DAN IMPULS

15

Energi Kinetik (Kf) sesudah tumbukan

1 1 2 2 Κ f = m1v1 + m 2 v 2 2 2 1 = ( m1 + m 2 ) v 2 2  m1u1 − m 2 u 2  1  = ( m1 + m 2 )  2  m1 + m 2  1 ( m1u1 − m 2 u 2 ) = 2 ( m1 + m 2 )

2

2

Energi Kinetik yang “hilang” dipakai untuk tumbukan

∆K = K f − K i 2 ( ) m u + m u 1 1 1 2 2 2 2 ∆ K = m1 u 1 + m 2 u 2 − ⋅ 1 1 2 2 2 ( m1 + m 2 ) Bab 6, MOMENTUM LINEAR DAN IMPULS

16

Contoh (2) Sebuah peluru massa m =10 gr ditembakan pada balok kayu yang terikat pada tali M = 5 Kg. Jika ketinggian peluru dan balok sejauh h=6 cm berapakah kecepatan sesaat sebelum peluru menembus balok ? g =10 ms-2

M +m

u M

m

Penyelesaian (2) Berlaku hukum kekekalan momentum

∑p = ∑p m u = ( m + M) v i

i

M +m

h

f

f

(1)

Bab 6, MOMENTUM LINEAR DAN IMPULS

17

Energi kinetik berubah menjadi energi potensial 1

2

( m + M) v2 = ( m + M) g h

( 2)

v2 = 2 g h

Persamaan 1 di kuadratkan diperoleh :

( mu )

2

= ( m + M) v2 2

2 ( mu ) 2 v = (m + M ) 2

Sehingga diperoleh :

(m u ) 2 2gh = (m + M) 2 Bab 6, MOMENTUM LINEAR DAN IMPULS

18

Sehingga diperoleh :

(m u ) 2 2gh = (m + M) 2

(m + M) u = 2gh m (5,01) m u = 2(10)(6 x10 ) ≅ 548,8 (0,01) s −2

Bab 6, MOMENTUM LINEAR DAN IMPULS

19

TUMBUKAN LENTING SEMPURNA Kedua benda setelah bertumbukan bergerak berlawanan arah memenuhi nilai koefisien restitusi e=1 v1

m1

m2

v2

Jumlah momentum sesudah tumbukan

∑p =∑m v f

f

f

f

= m1 ( − v1 ) + m 2 v 2

f

Energi Kinetik setelah tumbukan (Kf)

1 1 2 2 Κ f = m1v1 + m 2 v 2 2 2 Bab 6, MOMENTUM LINEAR DAN IMPULS

20

Pada tumbukan lenting sempurna, jka tidak ada perubahan energi potensial (ΔU = 0), maka energi kinetik sebelum tumbukan sama dengan energi kinetik sesudah tumbukan

Κi = Κf 1 1 1 1 2 2 2 2 m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v1 + m 2 v 2 2 2 2 2 Hukum kekekalan momentum berlaku :

m 1 u 1 − m 2 u 2 = − m 1 v1 + m 2 v 2 v1

Bab 6, MOMENTUM LINEAR DAN IMPULS

m1

m2

v2

21

TUMBUKAN DALAM 2 DIMENSI Jika tumbukan terjadi dalam bidang masingmasing momentum mempunyai komponen dalam arah x dan y. Hukum kekekalan momentum linear

∑p

= ∑p f

i

i

i

∑m u = ∑m v i

i

i

f

f

f

Jika terdapat dua benda yang bertumbukan makam1 u 1

+ m 2 u 2 = m 1 v1 + m 2 v 2 Bab 6, MOMENTUM LINEAR DAN IMPULS

22

Karena :

u 1 = u 1x ˆi +u 1y ˆj u = u ˆi + u ˆj 2

2x

2y

v1 = v1x ˆi + v1y ˆj

v 2 = v 2 x ˆi + v 2 y ˆj Dituliskan dalam komponen x

m 1 u 1x + m 2 u 2 x = m 1 v1x + m 2 v 2 x

Dan dalam komponen y

m 1 u 1 y + m 2 u 2 y = m 1 v1 y + m 2 v 2 y Bab 6, MOMENTUM LINEAR DAN IMPULS

23

Energi kinetik sebelum tumbukan :

1 1 K i = m1 (u 1 .u 1 ) + m 2 (u 2 .u 2 ) 2 2 Dimana

(u 1 .u 1 ) = (u 1x ˆi + u 1y ˆj).(u 1x ˆi + u 1y ˆj)

=u

2 1x

+u

2 1y

(u 2 .u 2 ) = (u 2 x ˆi + u 2 y ˆj).(u 2 x ˆi + u 2 y ˆj)

=u

2 2x

+u

2 2y

Bab 6, MOMENTUM LINEAR DAN IMPULS

24

Sehingga

1 1 2 2 2 2 K i = m 1 ( u 1x + u 1 y ) + m 2 ( u 2 x + u 2 y ) 2 2 Dengan cara yang sama energi kinetik sesudah tumbukan (Kf)

1 1 2 2 K f = m1 ( v1x + v1y ) + m 2 ( v 22 x + v 22 y ) 2 2

Bab 6, MOMENTUM LINEAR DAN IMPULS

25

Contoh (3) Sebuah truk m1=7,5 ton bergerak dengan kecepatan u1= 5 ms-1 dalam arah sumbu x+, bertabrakan dengan mobil m2 = 1,5 ton yang bergerak dengan kecepatan u2= 20 ms-1 membentuk sudut 300 dalam arah yang berlawanan (lihat gambar). Jika sesudah bertabrakan kedua mobil bergerak bersama.

Bab 6, MOMENTUM LINEAR DAN IMPULS

26

Tentukan: • • • • •

besar dan arah kecepatan kedua mobil setelah bertabrakan. Sudut kedua mobil setelah bertabrakan dengan sumbu x +. Energi kinetik sebelum tabrakan (Ki). Energi Kinetik sesudah tabrakan (Kf) Energi yang “hilang” ΔK = Ki – Kf.

Bab 6, MOMENTUM LINEAR DAN IMPULS

27

Penyelesaian (3) (a) Dari gambar sebelum tabrakan kecepatan truk (u1)

u 1 = u 1x ˆi + u 1y ˆj

u 1 = u 1x ˆi ; u 1y ˆj = 0 −1 ˆ u = 5i ms 1

Dan kecepatan mobil (u2)

u 2 = u 2 x ˆi + u 2 y ˆj

u 2 = −20 cos 30 0 ˆi − 20 sin 30 0 ˆj u 2 = −10 3ˆi −10ˆj

Bab 6, MOMENTUM LINEAR DAN IMPULS

28

Lanjutan penyelesaian (3) Sesudah tabrakan kedua mobil bergerak (v1 = v 2 = v) bersama hukum kekekalan momentum :

m 1 u 1 + m 2 u 2 = m 1 v1 + m 2 v 2 = ( m 1 + m 2 ) v Dalam komponen arah x dan y

m 1 u 1 x + m 2 u 2 x = m 1 v1 x + m 2 v 2 x = ( m 1 + m 2 ) v x m 1 u 1 y + m 2 u 2 y = m 1 v1 y + m 2 v 2 y = ( m 1 + m 2 ) v y Dalam arah x

(7500)(5) − (1500)(10 3 ) = (7500 + 1500) v x

v x ≅ 1,28 ms

−1

Dalam arah y

0 − (1500)(10) = (7500 + 1500) v y v y = −0,6 ms −1 Bab 6, MOMENTUM LINEAR DAN IMPULS

29

Kecepatanv setelahtabrakan

Lanjutan penyelesaian (3)

−1 ˆ ˆ ˆ ˆ v = v x i + v y j = 1,28i − 0,6 j ms

besar/ normv

v = v +v = 2 x

2 y

(1,28)

2

+ ( − 0,6 ) ≅ 1,41 ms −1 2

(b) Sudut setelah bertabrakan dengan sumbu x+ v

θ = arc tan

y

vx

≅ 25.110

Bab 6, MOMENTUM LINEAR DAN IMPULS

30

Lanjutan penyelesaian (c) Energi Kinetik sebelum tabrakan(3) : 1 1 1 2 2 K i = ∑ m i (u i .u i ) = m1 (u 1x + u 1y ) + m 2 (u 22 x + u 22 y ) 2 i 2 2 2 1 1 2 2  K i = ( 7500) (5 + 0) + (1500)  − 10 3 + ( − 10 )    2 2 Ki = 3,94 x 105 joule

(

)

(d) Energi Kinetik sesudah tabrakan :

1 1 K f = ∑ m f (v f .v f ) = (m1 + m 2 )(v 2x + v 2y ) 2 f 2 1 2 2 K f = ( 7500 + 1500 ) (1,28) + ( − 0,6 ) 2 3

(

)

Kf ≅ 8,99 x 10 joule

(e) Energi Kinetik yang hilang, 5 ΔK = K − KBab=6, 3,85 x 10 joule MOMENTUM LINEAR DAN IMPULS

31

Contoh (4) Sebuah bola bilyard =0,25 kg bergerak dalam bidang datar licin arah sumbu x+ dengan kecepatan u=10 ms-1. menumbuk bola lain identik yang diam. Jika tumbukan bersifat lenting sempurna, bola kedua sesudah tumbukan bergerak membentuk sudut tanθ  Tentukan sudut yang dibentuk oleh bola =0,75. pertama  Tentukan besar dan arah kecepatan bola  Tunjukkan besar energi kinetik sebelum dan sesudah tumbukan sama.

Bab 6, MOMENTUM LINEAR DAN IMPULS

32

Penyelesaian (4) 1. sudut yang dibentuk oleh bola pertama Berlaku hukum kekekalan momentum dalam dua dimensi dituliskan :

∑p = ∑p i

i

f

f

Untuk dua benda yang bertumbukan maka

m1u1 + m 2 u 2 = m1v1 + m 2 v 2 atau

m1 (u1x ˆi + u1y ˆj) + m 2 (u2x ˆi + u 2 y ˆj) = m1 ( v1x ˆi + v1y ˆj) + m 2 (v 2x ˆi + v 2 y ˆj)   0

0

0

Bab 6, MOMENTUM LINEAR DAN IMPULS

33

Lanjutan penyelesaian (4 Dari gambar asumsikan benda kedua membentuk sudut α terhadap sumbu x+, diperoleh tiga parameter yang belum diketahui yaitu α, v1 dan v2, sehingga diperlukan tiga buah persamaan . Karena :

m1 = m 2 = m = 0.25 kg

Persamaan dalam arah x :

u1x = v1x + v 2x

10 = v1 cos α + v 2 cos θ

4 10 = v1 cos α + v 2 5

Bab 6, MOMENTUM LINEAR DAN IMPULS

34

Lanjutan penyelesaian (4 Persamaan dalam arah y :

u1y = v1y + v 2 y 0 = − v1 sin α + v 2 sin θ Dapat ditulisan kembali :

3 0 = −v1 sin α + v 2 5 5 v 2 = v1 sin α 3

Bab 6, MOMENTUM LINEAR DAN IMPULS

35

Lanjutan penyelesaian (4 Karena tumbukan bersifat lenting sempurna, maka berlaku energi kinetik sebelum tumbukan sama dengan energi kinetik sesudah tumbukan. Κi = Κf 1 1 1 m1u12 = m1v12 + m 2 v 22 2 2 2

u12 = v12 + v 22 10 2 = v12 + v 22 Dari persamaan : 5 v 2 = v1 sin α 3 Diperoleh : 2

v12

5 2 2 +   v1 sin α = 10 2  3  Bab 6, MOMENTUM LINEAR DAN IMPULS

36

Lanjutan penyelesaian (4

Dari persamaan dalam arah sumbu x :

4 10 = v1 cos α + v 2 5 4 10 = v1cos α + v1 sinα 3

Kuadratkan persamaan diatas :

4 10 = ( v1cos α + v1 sin α ) 2 3 2

2    4  4 2 2  2 2  10 = v1 cos α +   2 cos α sin α +   sin α   3 3       Sedangkan diketahui :

2

v12

5 2 2 +   v1 sin α = 10 2 3 Bab 6, MOMENTUM LINEAR DAN IMPULS

37

Lanjutan penyelesaian (4 Dari persamaan

 2 2 2 10 = v1 cos α +  

  4  4 2    2 cos α sin α +   sin α   3  3  2

Dan juga : 2   5 2 2 v1 1 +   sin α  = 10 2  3   

Diperoleh : 2

 5 1 +   sin 2α = cos 2 α +  3

2

 4  4 2 2 cos α sin α + sin α      3  3

Bab 6, MOMENTUM LINEAR DAN IMPULS

38

Lanjutan penyelesaian (4

25 2 1 + sin α = cos 2 α +   9 2 =1− sin α

16 2 8   cos α sin α + sin α 9  3

25 2 9 2 1 + sin α = 1 − sin α + 9 9

16 2 8   cos α sin α + sin α 9  3

8 2 sin α = cos α sin α 3 2

8 2sinα = cos α 3 sin α 4 tan α = = cos α 3 Bab 6, MOMENTUM LINEAR DAN IMPULS

39

Lanjutan penyelesaian (4

Maka diperoleh :

4 3 sin α = dan cos α = 5 5

Besar dan arah kecepatan bola pertama dan kedua : Dari persamaan :

5 v 2 = v1 sin α 3 5 4 v 2 = v1   3 5 4 v 2 = v1 5 Bab 6, MOMENTUM LINEAR DAN IMPULS

40

subtitusikan persamaan

Lanjutan penyelesaian (4

4 v 2 = v1 5

Ke persamaan

4 10 = v1 cos α + v 2 5 3 4 4 10 = v1   +   v1 5 5 5

3 16 10 = v1 + v1 5 15 Besar kecepatan benda pertama :

v1 = 6 ms

−1

Bab 6, MOMENTUM LINEAR DAN IMPULS

41

Besar kecepatan benda kedua :

v 2 = 8 ms

Lanjutan penyelesaian (4

−1

Vektor arah kecepatan benda pertama

v1 = v1 cos α ˆi + v1 sin α ˆj  3ˆ  4ˆ v1 = ( 6)   i − ( 6)   j 5 5 v1 = 3,6 ˆi − 4,8 ˆj Vektor arah kecepatan benda kedua

v 2 = v 2 cos θ ˆi + v 2 sin θ ˆj  4 ˆ  3ˆ v2 = 8   i + 8   j 5 5

v 2 = 6,4 ˆi + 4,8 ˆj

Bab 6, MOMENTUM LINEAR DAN IMPULS

42

Lanjutan penyelesaian (4 Besar energi kinetik sebelum dan sesudah tumbukan dapat ditunjukkan : 1 1 1 2 2 m1u1 = m1v1 + m 2 v 22 2 2 2 atau :

2 u1

=

2 v1

+

2 v2

10 2 = (6,4) 2 + (4,8) 2 + (3,6) 2 + (−4,8) 2 = 64 + 36 (Terbukti) Bab 6, MOMENTUM LINEAR DAN IMPULS

43