05-usaha&energi

USAHA DAN ENERGI

Bab 5, Usaha dan Energi

1

Setelah mempelajari bab ini mahasiswa mampu dan kompeten, mengenai : Usaha sebagai perkalian titik antar vektor gaya dan perpindahan Usaha sebagai luas dibawah kurva (F-x) Gaya konservatif dan gaya non konservatif Teorema kerja energi Energi kinetik dan energi potensial Hukum kekekalan energi mekanik Hukum kekekalan energi umum

Bab 5, Usaha dan Energi

2

Secara intuitif untuk memindahkan benda lebih jauh dibutuhkan usaha yang lebih banyak, demikian juga bila diperlukan gaya yang lebih besar maka usahanya pun lebih banyak, jadi usaha haruslah sebanding dengan gaya dan jarak. Usaha (W, work) didefinisikan sebagai gaya kali jarak Usaha adalah hasil dari gaya kali jarak

W =F.S (Joule; erg) Dimana :

F = Fx ˆi + Fy ˆj + Fz kˆ, gaya [N, dyne] S ≡ x ˆi + y ˆj + z kˆ; jarak [m, cm] W = Usaha (Work) (N.m=Joule; erg=dyne.cm) Bab 5, Usaha dan Energi

3

gaya sejajar dengan perpindahan A

A'

m

F

m

F

Lantai licin S

Rumusan gaya: F = Fx ˆi = F ˆi

Perpindahan atau jarak (1 dimensi, dapat ditulisk

S ≡ r = xˆi Usahanya diperoleh : W = Fx ˆi.ˆi x = Fx x = F x =1

Bab 5, Usaha dan Energi

4

Gaya F membentuk sudut terhadap lantai licin,

Fy = F sinθ A

F

A'

m

m

θ

Fx = F cos θ

Lantai licin S

Bab 5, Usaha dan Energi

5

Rumusan gaya menjadi

F = Fx ˆi + Fy ˆj Perpindahan atau jarak

S ≡ r = xˆi Usahanya diperoleh :

ˆi.ˆi + F x ˆj.ˆi = (F cos θ ) x W = (Fx ˆi + Fy ˆj).ˆi x = Fx x  y  =0

=1

Fy = F sinθ A

F

A'

m

m

θ

Fx = F cos θ

Lantai licin Bab 5, Usaha dan Energi

S

6

Benda berpindah dari A ke A’, lantai kasar Fy = F sinθ A

F

A'

m fk

m

θ

Fx = F cos θ

fk

Lantai kasar S

Usaha oleh gaya tarik

W = F Cos θ . x

Usaha oleh gaya gesek

W = −f k x = −µk m g x

Usaha total

W = ( Fx − f k ).x = (F Cosθ − µmg).x Bab 5, Usaha dan Energi

7

Gaya F tidak konstan dan lintasan tidak lurus persamaan usaha dituliskan F F F A

θ

F

F

' A F

F

Dimana

FRes =semua gaya yang bekerja pada benda dS = Elemen perpindahan

W = ∫ dW = ∫ Fres .dS Bab 5, Usaha dan Energi

8

Usaha sebagai luas dibawah kurva (FJika gaya merupakan fungsi dari jarak, dalam x) satu dimensi, dan usaha oleh gaya ini benda berpindah dari x1 ke x2, maka menurut teori kalkulus ditafsirkan sebagai luas dibawah kurva F (x) X2

X2

X1

X1

W = ∫ F.d r =

∫

F( x )ˆi . ˆi dx

F

X2

F = F (x )

= ∫ F( x ) dx

W = lu a s

X1

X Bab 5, Usaha dan Energi

1

X

x

2 9

Soal : Sebuah gaya dalam grafik Fx digambarkan pada kurva dibawah ini, •Tentukan usahanya ? •Tuliskan gaya sebagai fungsi jarak pada daerah I dan II Penyelesaian

F [N] 5 II

I

x [m] 5

10

a) Usaha merupakan luas dibawah kurva diperoleh :

W = L I + L II = (0.5)(25) + 25 = 37.5 Joule

b) Fungsi gaya didaerah I dan II,

FI = x N FII = 5 N

Bab 5, Usaha dan Energi

10

Gaya Konservatif dan Gaya Non Konservatif Jika sebuah benda berpindah dari A ke B melalui dua atau lebih lintasan oleh gaya dan usaha oleh gaya Fc tersebut tidak bergantung pada lintasan yang ditempuh maka dikatakan sebagai gaya konservatif. Rumus matematis untuk gambar diatas, adalah ;

B

WA → B (1) = WA → B (2) L in ta s a n 1 Sebuah benda berpindah dari A ke B melalui dua lintasan dipengaruhi oleh gaya Fc

F

F

c

L in ta s a n 2 c

A Bab 5, Usaha dan Energi

11

Sebuah benda berpindah dari A kembali ketempat semula dengan lintasan yang berbeda

B L in ta s a n 1

F F

c

L in ta s a n 2

c

A

∫ F.dr = 0

→ WAB(1) + WBA ( 2) = 0 Bab 5, Usaha dan Energi

12

B

Dan untuk lintasan “tertutup”gaya FC menempuh suatu lintasan dan kembali ke tempat semula dengan lintasan A yang berbeda akan menghasilkan usaha yang berjumlah sama dengan nol :

L in ta s a n 1

F F

c

L in ta s a n 2

c

F . d r = 0 → W + W = 0 AB ( 1 ) BA ( 2 ) ∫ Bab 5, Usaha dan Energi

13

Contoh gaya konservatif Gaya tarik bumi (Fc=mg) Gaya Pegas (Fc=-kx) Gaya oleh dua muatan atau lebih Gaya magnetik Jika benda berpindah dari A ke B melalui dua lintasan atau lebih dan menghasilkan usaha (W) yang berbeda usaha yang berbeda maka gaya tersebut dikatakan gaya non konservatif (FNC)

WA →

B (1)

≠ WA → Bab 5, Usaha dan Energi

B (2)

14

Teorema Kerja-Energi Energi Kinetik Adalah energi yang dimiliki benda karena gerak atau kecepatan benda tersebut. Berdasarkan persamaan : B

WAB

B

B

B

B

B

dv dr = ∫ dW = + ∫ F.d r = ∫ ma.d r = m ∫ .d r = m ∫ dv = m ∫ v.dv dt dt A A A A A A

WAB

1 1 2 = mv B − mv 2A 2 2

Didefinisikan, Energi kinetik (K) :

1 K = mv 2 2 Maka, Usaha sama dengan perubahan energi kinetik:

WAB = ∆ K = K B − K A Bab 5, Usaha dan Energi

15

Energi Potensial

B

WAB = − ∫ FC d r = − ( U B − U A ) A

WAB = − ( U B − U A )

Dimana : U = Fungsi Potensial (joule) FC = gaya konservatif (N)

Secara umum fungsi potensial dapat r dituliskan :

U (r ) = −

∫ F .dr C

Acuan

Tanda minus, artinya kita melakukan usaha untuk melawan gaya-gaya dari lingkungan sistem, jika kita memindahkan benda keatas (dari titik A ke titik B) artinya kita melawan gaya atau medan gaya gravitasi, sehingga Bab 5, Usaha dan Energi diberi tanda minus.

16

Contoh (1); Energi Potensial Gravitasi Tunjukkan usaha untuk memindahkan benda (massanya = m kg) dari permukaan bumi (hA = 0 m) sampai pada ketinggian tertentu dari permukaan bumi (hB = h m), adalah usaha untuk melawan “medan gravitasi” untuk sampai pada ketinggian tertentu.

hB = h

B

Penyelesaian (1) Menurut definisi : B

FC = mg (−ˆj) d r = ˆj dy

WAB = Woleh kita = − ∫ FC . d r

Dalam hal ini

A

FC = mg (− ˆj); gaya konservatif yang

drˆ = ˆj dy

dialami benda akibat medan gravitasi

Bab 5, Usaha dan Energi

A

hA = 0

Benda berpindah dari A ke B

17

Sehingga kita peroleh :

WAB = −

hB =h

∫

hA =0

h

mg (− ˆj) (ˆjdy) = mg ∫ dy = mgh       = FC

= dr

0

Dituliskan secara umum : hB

WAB = U B − U A = − ∫ mg (−ˆj) (ˆj dy) hA

WAB = U B − U A = m g h B − m g h A didefinisikan energi potensial gravitasi

U= mgh Bab 5, Usaha dan Energi

18

Contoh (2) Energi Potensial Pegas Tunjukkan bahwa gaya F menekan atau menarik pegas pada jarak simpangan tertentu adalah usaha untuk melawan gaya pegas tersebut Penyelesaian(2) k

Gbr 6-8a Pegas dalamkeadaansetimbang di titik A

k

Gbr 6-8b Pegas ditekangaya F Bergeser sejauh x

XA

xB – x A = x

F XB

x

Gaya luar F (kita; orang) menekan pegas yang bergeser sejauh x di kedudukan B,

XA

Fkita = k x ; F= ke kiri, x = ke kiri

Bab 5, Usaha dan Energi

19

Dan berlaku FKita sebanding Fpegas Artinya : Pegas melakukan gaya yang melawan gaya kita k sebesar kx, dengan tanda minus, dituliskan : FPegas =FC = - kx (gaya konservatif)

Gbr 6-8a Pegas dalamkeadaansetimbang di titik A

k

Dan usaha yang dilakukan adalah : B

B

XB = x

A

A

XA =0

WAB = ∫ FC . d r = − ∫ FPegas . d r = − WAB

Gbr 6-8bPegas ditekangaya F Bergeser sejauhx

F XB

∫ − kx dx

1 2 = kx 2

1 2 definisikan energi potensial pegas adalahU: = kx 2 Bab 5, Usaha dan Energi

XA

20

x

XA

Hukum Kekekalan Energi Mekanik Dari persamaan B

WAB = ∫ F. d r = K B − K A A

Dan persamaan usaha sama dengan minus selisih energi potensial

WAB = − ∫ FC . d r = − ( U B − U A ) Sehingga kita peroleh :

WAB = K B − K A = − ( U B − U A ) = − U B + U A Bab 5, Usaha dan Energi

21

Atau

KA + UA = KB + UB Persamaan diatas dinamakan hukum kekekalan energi mekanik, artinya jumlah energi kinetik dan energi potensial disebarang titik adalah konstan (selama berada dalam medan gaya konservatif). Jika dituliskan energi mekanik E, adalah E=K+U Maka berlaku EA = EB → ∆E = EA – EB = 0 Bab 5, Usaha dan Energi

22

Contoh (3) gerak benda jatuh bebas hA v A =0 h A >h B

A

A = Kedudukan awal B = Kedudukan setelah t detik

Usaha=∆W = Perubahan energi kinetik = ∆K B

vB

h

B

B

Benda Jatuh bebas

1 1 2 2 K B − K A = ∫ mv dv = mv B − mv A 2 2 A

Usaha →∆W = perubahan energi potensial = B ∆U

∆U = − ( U B − U A ) = − ∫ mg dh = − (mgh B − mgh A ) A

Bab 5, Usaha dan Energi

23

Penyelesaian (3) A tau1

1 2 mv − mv A = mgh A − mgh B 2 2 2 B

1 1 2 2 mv A + mgh A = mv B + mgh B 2 2 hA vA = 0 hA > hB

A

Jadi

KA + UA = KB + UB B

vB Bab 5, Usaha dan Energi

hB 24

Penyelesaian (3) A tau1

1 2 mv − m vA = mgh A − mgh B 2 2 =0 2 B

1 2 v B = g( h A − h B ) 2

Jadi

hA vA = 0 hA > hB

A

v B = 2g ( h A − h B ) B

vB Bab 5, Usaha dan Energi

hB 25

Contoh (4) Sebuah benda m=2 kg, berada pada lintasan licin AD; seperti pada gambar, dengan kecepatan awal nol pada titik A setinggi h=1,8 m , percepatan gravitasi g=10 ms-2, panjang lintasan BC = 2 m, dan pegas tertekan sejauh CD = 1 cm benda berhenti, Tentukan: •Kecepatan pada titik B dan C •Konstanta pegas A

k B

C Bab 5, Usaha dan Energi

D 26

Penyelesaian (4) Berdasarakan hukum kekekalan energi mekanik :

1 1 2 mv A + mgh A = mv 2B + mgh B 2 2

1 1 2 2 mv + mgh = mv + mg h A A B B   2 =0 2 =0 v B = 2gh =

( 2)(10)(1,8) =

36 = 6 ms −1 A

Karena lintasan BC licin berlaku :

v C = v B = 6 ms

−1

Bab 5, Usaha dan Energi

k B

C

D

27

Penyelesaian (4) Pada lintasan CD energi kinetik di C berubah menjadi energi potensial pegas di D, sehingga diperoleh :

1 1 2 2 m v C = kx 2 2

2

1 1  1  ( 2)( 36) = k  2 2 100  N k = 7,2 x10 m

A

5

Bab 5, Usaha dan Energi

k B

C

D

28

Teorema Kerja Energi dengan Gaya Luar (Gaya Gesek). Jika selama perpindahan benda dari A ke B terdapat gaya luar Fl) dan gaya gesek (fk) azas teorema kerja energi dituliskan : B

F . d r = ∆ U + ∆ K + W  nk ∫

A

Keterangan: Wnk= usaha non konsevatif, oleh gaya gesek , ingat, harga mutlak bersifat positif Bab 5, Usaha dan Energi

29

Contoh(5) Sesuai contoh (4) jika lintasan BD kasar dengan koefisien gesek kinetik µk=0,2 dan konstanta pegas sebesar k=7,2 x 105 N/m. Tenttukan : •Kecepatan di C •Seberapa jauh pegas tertekan sampai benda berhenti. A

k B

C

Bab 5, Usaha dan Energi

D

30

Penyelesaian (5)

Berdasarkan teorema kerja energi dengan gaya luar B

∫ F .d r = 0

A



A

k

B

∫ F .d r = ∆U + ∆K + W

B

C

D

nk



 

A

=0

0 = ∆ U + ∆ K + Wnk

0 = U C − U B + K C − K B + Wnk U B + K B = U C + K C + Wnk Bab 5, Usaha dan Energi

31

Penyelesaian (5)

Karena ketinggian benda sepanjang lintasan sama, maka

UC − UB = 0

A

Sehingga diperoleh :

k

K B − Wnk = K C

B

C

D

1 1 2 mv B − Wnk = mv C2 2 2 Usaha oleh gaya gesek (Wnk)

Wnk = f k SBC Wnk = µ k mg SBC = ( 0,2)( 2)(10)( 2) = 8 Joule Bab 5, Usaha dan Energi

32

Penyelesaian (5)

A

Atau : 1 1 ( 2)( 36) − 8 = 24 = ( 2) v C2 2 2

k B

C

v C = 2 6 ms −1 Dengan konstanta pegas k=7,2 x 105 N/m dan pegas tertekan sejauh x m diperoleh :

K C = K D + U pegas + Wnk 1 1 1 2 2 2 mv C − Wnk = m vD + kx 2 2 0 2 Bab 5, Usaha dan Energi

33

D

Penyelesaian (5)

1 2 1 2 1 2 mvC − Wnk = m vD + kx 2 2 0 2

(

A

k

)

1 1 ( 2)( 24) − ( 0,2)( 2)(10) x = 7,2x105 x 2 2 2

(3,6x10 ) x 5

2

B

C

D

+ 4x − 24 = 0

− 4 + 4 2 + 4(3,6 x10 5 )(24) x1 = ( 2)(3,6 x10 5 )

x1 = 8,159 mm = 0,8159 cm − 4 − 4 2 + 4(3,6 x105 )(24) x2 = tidak memenuhi ( 2)(3,6 x105 ) Bab 5, Usaha dan Energi

34